Tải bản đầy đủ (.doc) (32 trang)

chuyên đề phương trình lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (320.41 KB, 32 trang )

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giá trị lượng giác của các cung có dạng:
; ; ; ; ( )
2 3 4 6
k k k k
k k
π π π π
π
∈¢
luôn tính được
bằng máy tính fx-570ES
1. Công thức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1x x+ =
sin
tan
cos
x
x
x
=
cos
cot
sin
x
x
x
=
2
2
1


1 tan
cos
x
x
+ =
2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =
tan .cot 1x x
=
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
☻ Hai cung đối nhau :
x

x−
☻ Hai cung bù nhau :
x

( )
x
π

( )
cos cosx x− =
( )

sin sinx x− = −
( )
sin sinx x
π
− =
( )
cos cosx x
π
− = −
( )
tan tanx x− = −
( )
cot cotx x− = −
( )
tan tanx x
π
− = −
( )
cot cotx x
π
− = −
☻ Cung hơn kém
π
là :
x

( )
x
π
+

☻ Hai cung phụ nhau là :
x

2
x
π
 

 ÷
 
( )
sin sinx x
π
+ = −
( )
cos cosx x
π
+ = −
sin cos
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cos sin
2
x x
π

 
− =
 ÷
 
( )
tan tanx x
π
+ =
( )
cot cotx x
π
+ =
tan cot
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
3. Công thức CỘNG
( )

sin .cos cos .sin sin
α β α β α β
+ = +
( )
cos .cos sin .sin cos
α β α β α β
+ = −
( )
sin .cos cos .sin sin
α β α β α β
− = −
( )
cos .cos sin .sin cos
α β α β α β
− = +
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
α β
α β
α β
+
+ =

( )
tan tan
tan
1 tan .tan
α β

α β
α β

− =
+
4. Công thức NHÂN ĐÔI
sin 2 2.sin .cosa a a=
2 2
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
a a a
a
a
= −
= −
= −
Công thức HẠ BẬC
( )
2
1 cos2
cos
2
1
1 cos2
2
a
a

a
+
=
= +
( )
2
1 cos2
sin
2
1
1 cos2
2
a
a
a

=
= −
2
2tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=

1
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
5. Công thức biến TỔNG thành TÍCH

cos cos 2cos .cos
2 2
u v
u v u v
+ =
+ −
cos cos 2sin .sin
2 2
u v
u v u v
− = −
+ −
sin sin 2sin .cos
2 2
u v
u v u v
+ =
+ −
sin sin 2cos .sin
2 2
u v
u v
u v −
− =
+
6. Công thức biến TÍCH thành TỔNG
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2

a b a b a b= − + + 
 
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b= − − + 
 
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b= − + + 
 

cos .sin sin .cos ?
α β β α
= =
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình :
sin x a=
(1)
CT1:
2
sin sin ,
2
x k
x k
x k
α π

α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
CT2:
0 0
0
0 0 0
.360
sin sin ,
180 .360
x k
x k
x k
β
β
β

= +
= ⇔ ∈

= − +

¢
CT3:

arcsin 2
sin ,
arcsin 2
x a k
x a k
x a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt)

sin 1 2 ,
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢

sin 1 2 ,
2
x x k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈¢


sin 0 , x x k k
π
= ⇔ = ∈¢
Giải phương trình :
sin x a=
(1)
• Nếu
1a >
hoặc
1a < −
thì phương trình (1) vô nghiệm
• Nếu
1 2 3
; ;
2 2 2
a = ± ± ±
thì chúng ta dùng CT1 hoặc CT2
• Nếu
1; 0; 1a = −
thì chúng ta dùng phần chú ý
• Nếu
1 1a
− < <

1 2 3
; ;
2 2 2
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta dùng CT3

• Lưu ý: Chỉ sử dụng CT2 khi phương trình có mặt đơn vị độ.
2
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2. Phương trình :
cos x a=
(2)
CT4:
2
cos cos ,
2
x k
x k
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢

CT5:
0 0
0
0 0
360
cos cos ,

360
x k
x k
x k
β
β
β

= +
= ⇔ ∈

= − +

¢
CT6:
arccos 2
cos ,
arccos 2
x a k
x a k
x a k
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢

Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt)

cos 1 2 , x x k k
π
= ⇔ = ∈¢

cos 1 2 , x x k k
π π
= − ⇔ = + ∈¢

cos 0 ,
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
Giải phương trình :
cos x a=
(2)
• Nếu
1a >
hoặc
1a < −
thì phương trình (2) vô nghiệm
• Nếu
1 2 3
; ;
2 2 2
a = ± ± ±
thì chúng ta dùng CT4 hoặc CT5

• Nếu
1; 0; 1a = −
thì chúng ta dùng phần chú ý
• Nếu
1 1a
− < <

1 2 3
; ;
2 2 2
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta thường dùng CT6
• Lưu ý: Chỉ sử dụng CT5 khi phương trình có mặt đơn vị độ.
3. Phương trình:
tan x a
=
(3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) là :
cos 0x ≠



,
2
x k k
π
π
≠ + ∈¢
Phương trình (3) đã cho luôn có nghiệm.
CT7

tan tan , x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a = ± ± ±
thì chúng ta
dùng CT7 hoặc CT8
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta
thường dùng CT9
CT8
0 0 0
tan tan .180 , x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢
CT9
tan arctan , x a x a k k
π
= ⇔ = + ∈¢
4. Phương trình:
cot x a=
(4)
Điều kiện xác định của phương trình (4) là:

sin 0 , x x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈¢
.
Phương trình (4) luôn có nghiệm
CT10
cot cot , x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a = ± ± ±
thì chúng ta
dùng CT10 hoặc CT11
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta
thường dùng CT12
CT11
0 0 0
cot cot .180 , x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢
CT12
cot arccot , x a x a k k

π
= ⇔ = + ∈¢
3
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BT1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
( ) ( )
???
sin cos sin cos 1 0 sin 1 cos sin 1 0 x x x x x x x
− − + = ⇔ + − + = ⇔
1)
3 3 2
cos sin 2sin 1x x x+ + =
???


3 3 2 2 2
cos sin 2sin sin cosx x x x x+ + = +


3 3 2 2
cos sin sin cos 0x x x x+ + − =

???

( ) ( ) ( ) ( )
sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0x x x x x x x x+ − + + − =


2)

( ) ( )
cos 2 1 2cos sin cos 0x x x x+ + − =

( )
( ) ( )
2 2
cos sin 1 2cos cos sin 0x x x x x− − + − =



3)
3 2
4sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x+ + + =

3 2
4sin 4sin 6sin cos 6cos 0x x x x x+ + + =


( ) ( )
2
2sin sin 1 3cos sin 1 0x x x x+ + + =



4)
( ) ( )
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − =
(nhớ điều kiện của phương trình là:
cos 2 0x ≠

)
???

( )
2 2
cos2 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − =
???


2
2
sin 2
3sin 0
cos2
x
x
x
− − =


2 2
sin 2 3cos 2 .sin 0x x x+ =


2 2 2
4sin .cos 3cos2 .sin 0x x x x+ =



5)

2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 ÷
 

2 sin 2 cos cos 2 sin 4sin 1 0
6 6
x x x
π π
 
− + + =
 ÷
 


3 sin 2 cos 2 4sin 1 0x x x− + + =


3 sin 2 4sin 1 cos2 0x x x+ + − =


2
2 3sin cos 4sin 2sin 0x x x x+ + =


6)

3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
+
− =
(****)
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos . 2cos3 .cos sin . 2sin 3 .sin
2 2 8
1 1 2 3 2
cos cos4 cos 2 sin cos 2 cos4
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4 cos sin cos2 cos sin cos 4 cos 2
4 4
2
4cos 4 2 1 cos4 2 3 2 cos 4
2 16 2
x x x x x x
x x x x x x

x x x x x x x x
k
x x x x k Z
π π

⇔ − =

⇔ + − − =
− −
⇔ + + − = ⇔ + =
⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈
7)
3
2 2 cos cos sin 0
4
x x x
π
 
− − − =
 ÷
 
( )
3
2 2 2=
4
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
???

3
2 cos cos sin 0

4
x x x
π
 
 
− − − =
 ÷
 
 
 
???

( ) ( )
3
sin cos sin cos 0x x x x+ − + =



8)
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x+ − + =
???

2 2
2 3
2
sin cos
sin cos2 cos 2sin 0
cos

x x
x x x x
x

+ + =
???

( )
2 2 2
sin cos2 2sin sin cos 0x x x x x+ + − =
???

2 2
sin sin cos 0x x x+ − =
???

2
2sin sin 1 0x x+ − =



9)
2
2
cos 2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x

π

 
+ − =
 ÷
 
???

2
2
2
2sin
cot 3tan
cos
x
x x
x

− − =

2 2
1
3tan 2 tan
tan
x x
x
− − = −




10)
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π
 
− + =
 ÷
+
 
(nhớ tìm điều kiện của phương trình)
???

sin
cot 2
1 cos
x
x
x
+ =
+


cos sin
2
sin 1 cos
x x

x x
+ =
+


11)
sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x+ + − − =


( ) ( )
sin 2 1 cos2 sin cos 0x x x x− + + − =


( ) ( )
2
2 2
cos sin cos sin cos sin 0x x x x x x− − + − − − =



12)
sin( ) ? cos( ) ?
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
a b a b
x x x
π π
− = − =
   

− − − =
 ÷  ÷
   
1 44 2 4 43 1 4 2 4 3
???


2 5 5 2 3
sin cos cos sin 2 cos
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
   
− − + =
 ÷  ÷
   
???


sin sin ? cos cos ?
5 5 3
sin sin cos cos 2cos
2 2 2 2 2
u v u v
x x x x x
− = + =
   
− − + =
 ÷  ÷
   
1 4 4 2 4 43 1 4 4 2 4 4 3




13)
( )
2
2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = +
(
2 2
1 sin cosx x= +
)
???

( )
2 2
3cos 2 3cos sin sin 3 sin 3 cosx x x x x x+ + = +


( ) ( )
2 2
2
2
2 ?
3 cos 2. 3 cos .sin sin 3 sin 3 cos
a ab b
x x x x x x
+ + =
+ + = +
1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3



14)
1 1
sin 2 sin cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
(điều kiện của phương trình là
sin 2 0x ≠
)
???


2
sin .sin ?
sin 2 sin sin 2 cos 1 cos 2
a b
x x x x x
=
+ − − =
1 42 43



( )
2
1
sin 2 cos cos3 cos 1 cos2
2

x x x x x+ − − − =
???


5
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
15)
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− =
???

sin3 cos cos3 sin ?
3 3
1 3
sin 3 cos3 sin 2
2 2
x x
x x x
π π
− =
− =
1 4 44 2 4 4 43


16)
2
2cos
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos
x
x x x x
 

+ + = +
 ÷
 ÷
 
142 43
???


2
4sin cos 2sin cos 1 2cosx x x x x+ = +

???


( )
2sin cos 2cos 1 1 2cosx x x x+ = +



17)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −
???

( ) ( )
2 2 2 2
sin sin cos 3 cos sin cos 0x x x x x x− + − =




18)
sin( ) ?
sin( ) ?
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
a b
a b
x
x
x
π
π
− =
− =
 
+ = −
 ÷
 
 

 ÷
 
1 442 4 43
1 4 2 4 3
(nhớ tìm điều kiện của phương trình)
???



( )
1 1
2 2 sin cos
sin cos
x x
x x
+ = +



19)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =

2
2sin 2 1 sin 7 sinx x x− + =
???

cos4 sin 7 sin 0x x x
− + − =

cos4 2cos 4 sin 3 0x x x
− + =



20)
2

sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
???

1 sin 3 cos 2x x+ + =

sin 3 cos 1x x+ =



21)
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
???


( ) ( ) ( )
2
cos sin sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x+ + + = +


22)
2

cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (A2003)

2 2
2
sin cos sin
1 sin sin cos
cos 1 tan
x x x
x x x
x x

− = + −
+
???

( )
2 2
2
cos cos sin
sin
1 sin sin cos
cos cos sin

x x x
x
x x x
x x x

− = + −
+


( ) ( )
sin cos
cos cos sin sin cos sin
cos
x x
x x x x x x
x

= − − −


23)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2003)

cos sin 2

4sin 2
sin cos 2sin cos
x x
x
x x x x
− + =

6
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


2 2
cos sin 4sin 2 sin cos 1
sin cos sin cos sin cos
x x x x x
x x x x x x

+ =
???


2
cos2 2sin 2 1x x+ =

( )
2
cos 2 2 1 cos 2 1x x+ − =




24)
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (D2003)

2
2 2 2
2sin ?
2sin tan 2cos 0
2 4 2
a
x x
x
π
=
 
− − =
 ÷
 
1 44 2 4 43
???


( )
2
cos( ) ?
1 cos tan cos 1 0
2
a b
x x x
π
− =
 
 
 
− − − + =
 
 ÷
 
 
 
 
1 4 2 4 3



25)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −

??? Dùng CT hạ bậc, nhóm và biến tổng

tích (B-2002)

26)
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =
???

2
2 2
2cos ?
2cos 3 .cos 2 2cos 0
a
x x x
=
− =
14 2 43

( ) ( )
cos6 1 cos 2 cos2 1 0x x x+ − + =


27)
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2004)

( )
2
2
sin
5sin 2 3 1 sin

cos
x
x x
x
− = −

( )
2
2
sin
5sin 2 3 1 sin
1 sin
x
x x
x
− = −




2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
− =
+



( ) ( )
2
5sin 2 1 sin 3sinx x x− + =



28)
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
(D2004)


( ) ( )
2cos 1 2sin cos 2sin cos sinx x x x x x− + = −

( ) ( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x− + = −



29)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =

 ÷  ÷
   
???

( )
4 4
2cos .sin ???
2 cos sin 2cos sin 3 3 0
4 4
a b
x x x x
π π
=
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43
(sử dụng công thức biến tích thành tổng)
???

( )
( )
4 4
sin ?
2 cos sin sin 4 sin 2 3 0
2
a b
x x x x
π

− =
 
+ + − + − =
 ÷
 
1 442 4 43
???


( )
4 4
2 cos sin cos 4 sin 2 3 0x x x x+ − + − =


( )
2
2 2 2 2
2 cos sin 2sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x x x
 
+ − − + − =
 
 
???


2 2
2 4sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x− − + − =


2

2 sin 2 cos4 sin 2 3 0x x x− − + − =
7
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
???


( )
2 2
2 sin 2 1 2sin 2 sin 2 3 0x x x− − − + − =


2
sin 2 sin 2 2 0x x+ − =



30’)
( )
6 6
2 sin cos sin cos 0x x x x+ − =
???

( ) ( )
3
2 2 2 2 2 2
2 sin cos 3sin .cos . sin cos sin .cos 0x x x x x x x x
 
+ − + − =
 
 

???


( )
2 2
2 1 3sin .cos sin .cos 0x x x x− − =


( )
2 2
4 1 3sin .cos 2sin .cos 0x x x x− − =
???


2
3sin 2 sin 2 4 0x x− − + =



30)
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=


(điều kiện
2 2sin 0 ???x− ≠ ⇔
)


( )
6 6
2 sin cos sin cos 0x x x x+ − =



31)
cot sin 1 tan tan 4
2
 
+ + =
 ÷
 
x
x x x
(điều kiện phương trình
sin 2 0x ≠
)Chú ý:
???
sin 0
cos 0 sin 2 0
cos 0
2
x
x x

x




≠ ⇔ ≠





32)
cos3 cos2 cos 1 0x x x
+ − − =

???


( ) ( )
cos3 cos cos 2 1 0x x x− + − =


… (biến tổng thành tích)
33)
2sin cot 2sin 2 1x x x+ = +
(điều kiện
sin 0x

)



cos
2sin 4sin cos 1
sin
x
x x x
x
+ = +


… (quy đồng)
34)
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(điều kiện:
sin 2 0x

) Chú ý:
sin 2 0
cos 0 sin 2 0
sin 0
x

x x
x



≠ ⇔ ≠




???


2 2
1 2sin .cos 1 sin cos
sin 2 2 cos sin
x x x x
x x x

 
= +
 ÷
 



36)
2 2
sin sin cos sin 1 2cos
2 2 4 2

x x x
x x
π
 
− + = −
 ÷
 



2
2 2
2cos 1 ?
sin sin cos sin 2cos 1
2 2 4 2
a
x x x
x x
π
− =
 
− = − −
 ÷
 
1 4 44 2 4 4 43
???


2
sin sin cos sin cos

2 2 2
x x
x x x
π
 
− = −
 ÷
 

???


2
sin .sin cos .sin sin
2 2
x x
x x x− =



38)
( )
2
2cos 1 ?
2 2 sin cos cos 3 cos2
a
x x x x
− =
+ = +
123


???


( )
2
2 2 sin cos cos 2cos 2x x x x+ = +



(chia cả hai vế cho
2
cos x
, rồi đưa về pt bậc hai đối với
tan x
, nhớ vận dụng
2
2
1
1 tan
cos
x
x
= +
)
39)
( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + =
8

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4(1 sin ) 3x x x x+ + − + − =



( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0x x x x+ + − + − =


( ) ( ) ( ) ( )
2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0x x x x x+ + − + − + =



41)
( )
3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =


(nhớ tìm điều kiện của phương trình)
???


( )
3 sin .cos sin
2cos 2
sin sin .cos
x x x
x
x x x
+
− =




( )
3 cos 1
2cos 2
1 cos
x
x
x
+
− =





( )
( )
3 cos 1
2 cos 1 0
1 cos
x
x
x
+
− + =




42)
2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4x x x x− = + −
???


2
4sin cos 2sin 1 7sin 2cos 4x x x x x+ − = + −

???


( ) ( ) ( )
2cos 2sin 1 sin 2sin 1 3 2sin 1x x x x x− + − = −




44)
2
sin 3 3 cos3 2 4sinx x x− = −



2
cos2 ?
1 3
sin 3 cos3 1 2sin
2 2
a
x x x
=
− = −
14 2 43



46)
3
4cos 3 2 sin 8cosx x x+ =


… (pp chia cả hai vế cho
3
cos x
)
47)
3 3

3 3
?
cos sin sin cos
a b
x x x x
+ =
+ = +
1 44 2 4 43


… (pp phân tích)
48)
( )
3 3
2 sin cos
3 cos 2
cos sin
x x
x
x x

=

(nhớ ĐK của phương trình)


( )
( )
2 2
2 sin cos sin sin cos cos

3 cos 2
cos sin
x x x x x x
x
x x
− + +
=

???


2 sin 2 3 cos 2x x− − =



sin 2 3 cos2 2x x+ = −


49)
3 3
sin cos cos2x x x+ =
???


( )
( )
2 2 2 2
sin cos sin sin cos cos cos sinx x x x x x x x+ − + = −




50)
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
π
 
− = + −
 ÷
 
x
x x

???


2 2
3
4sin 2 3 cos2 2cos 1
2 4
x
x x
π
 
− − = − −
 ÷
 





3
2cos 3 cos2 cos 2
2
x x x
π
 
− = −
 ÷
 



2cos 3 cos2 sin 2x x x− =



51)
3 3
sin cos
cos2
cos sin
x x
x
x x
+
=
+
(nhớ ĐK của phương trình)



( )
( )
2 2
sin cos sin sin cos cos
cos2
cos sin
x x x x x x
x
x x
+ − +
=
+


9
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
69)
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
(D-2011)
70)
sin 2 .cos sin .cos cos 2 sin cosx x x x x x x

+ = + +
(B-2011)
71)
2
1 sin 2 cos 2
2.sin .sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(A-2011)
52)
sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − =
(D2010)
53)
( )
sin 2 cos2 cos 2cos 2 sin 0x x x x x+ + − =
(B2010)
54)
3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0x x x x− − =
(D-2009)
55)
( )
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = +
(B-2009)
56)

( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x

=
+ −
(A-2009)
57)
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(D-2008)
58)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −
(B-2008)
59)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π

π
 
+ = −
 ÷
 
 

 ÷
 
(A-2008)
60)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
(D-2007)
61)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
(B-2007)
62)
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(A-2007)

63)
cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − =
(D-2006)
64)
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
(B-2006)
65)
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=

(A-2006)
66)
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
(B-2005)
67) Tìm

( )
0;2x
π

thỏa mãn phương trình :
cos3 sin3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
(A-2002)
68)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
(B-2002)
1.
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 

+ = +
 ÷
 

2 sin
sin cos
4
2 2 sin 2 2 sin
4 sin cos 4 sin cos
x
x x
x x
x x x x
π
π π
 
+
 ÷
+
   
 
⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
sin 0
4
4
1
2 sin 2 0
sin 2 0

sin cos 0
4 sin cos
sin 2 1
2sin cos 1
x
x k
x
x
x x
x x
x
x x
π
π
π
π

 

+ =
= − +
 ÷


 
  


⇔ + − = ⇔ ⇔
 ÷ ÷







  




=
=




10
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
sin 2 sin 1 0
4 2
(k Z)
4
sin 2 1 2 2
2 4
x k x
x k
x x k x k
π π
π

π
π
π π
π π

 
= − + ⇒ = − = − ≠
 ÷

 

⇔ ⇔ = ± + ∈

= ⇔ = + ⇔ = +


2. C1.
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

3 5 5 3
sin 2sin 2cos cosx x x x⇔ − = −
( ) ( )
3 2 3 2 3 3
sin 1 2sin cos 2cos 1 sin cos 2 cos cos 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
3 3 3
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1

sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

=
= =

 
C2.
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

( ) ( ) ( )
3 3 2 2 5 5
sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = +
( ) ( )
3 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sinx x x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ − = −
( ) ( )
2 2
2 2

2 2 3 3
3 3
cos sin 0
cos sin 0
cos sin cos sin 0
cos sin
cos sin 0
x x
x x
x x x x
x x
x x

− =

− =
⇔ − − = ⇔ ⇔


=
− =


2 2
2 2
cos sin 0
cos sin 0 cos2 0
cos sin
x x
x x x

x x

− =
⇔ ⇔ − = ⇔ =

=

3.
2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x= +
( ) ( )
1 cos 2 1 cos4 1 cos6
cos4 cos 2 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
− − −
⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 cos cos3 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
4.
( )
6 6 8 8
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

6 8 8 6
sin 2sin 2cos cosx x x x⇔ − = −
( ) ( )
6 2 6 2 6 6

sin 1 2sin cos 2cos 1 sin cos 2 cos cos2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1
sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= ±
= =

 
6 .
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x− =

( ) ( )
3 3

2 2 2
13
cos sin cos 2
8
x x x⇔ − =
( ) ( )
2 2 4 4 2 2 2
13
cos sin cos sin sin cos cos 2
8
x x x x x x x⇔ − + + =
( )
2 2 2 2 2
1 1 13
cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 8 2sin 2 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x
 
⇔ − + = ⇔ − =
 ÷
 
11
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
2
2 2
cos2 0
cos2 0 cos2 0
8 2 1 cos 2 13cos2
8 2sin 2 13cos 2 2cos 2 13cos 2 6 0

x
x x
x x
x x x x
=

= =
 
⇔ ⇔ ⇔

 
− − =
− = − + =

 

7.
1 3tan 2sin 2x x+ =
(*). Đặt
tant x=
( )
( )
3 2 2
2
4
(*) 1 3 3 1 0 1 3 2 1 0 1 tan 1
1
t
t t t t t t t t x
t

⇒ + = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ = − ⇒ = −
+
8.
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +

( )
3tan cos 2cos 3tan 2 cos 3tan 2 3tan 2x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +
cos 1
2
tan
3
x
x
=




= −

8.
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
− =
 ÷
 

(*) . C1. Ta có :
2 sin sin cos
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 

( ) ( )
3 3
3 3
1
2 2 sin sin cos sin sin cos
4 4
2 2
x x x x x x
π π
   
⇔ − = − ⇔ − = −
 ÷  ÷
   
( ) ( )
3 3
1
(*) sin cos 2 sin sin cos 4sin
2 2
x x x x x x⇔ − = ⇔ − =


= ≠
3
cos 0 không thỏa mãn phương trình . Chia hai vế của phương trình cho cos 0 ta có :x x
( )
( )
( )
( )
3
2 2
tan 1 4 tan 1 tan tan 1 3tan 1 0 tan 1x x x x x x− = + ⇔ + + = ⇔ = −
C2.
( ) ( ) ( )
3 2
(*) sin cos 4sin sin cos sin cos 4sinx x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − =

( ) ( )
2 2
sin cos 1 2sin cos 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin cos 0x x x x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − − − + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
cos 2sin 1 sin 2cos 3 0 cos cos 2 2 sin cos 2 2 0x x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − + − =
( ) ( )
cos 2 2 (loai)
cos2 2 cos sin 0
tan 1
x
x x x
x
=


⇔ − + = ⇔

= −

9.
( )
4 4
4 sin cos 3 sin 4 2x x x+ + =
2
1
4 1 sin 2 3sin 4 2
2
x x
 
⇔ − + =
 ÷
 
2
1
3 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos4 1 cos 4
3 2
x x x x x
π
 
⇔ − = − ⇔ + = − ⇔ − = −
 ÷
 
10.
( )

8 8 6 6
2 sin cos sin cosx x x x+ = +
8 6 6 8
2cos cos sin 2sinx x x x⇔ − = −
( ) ( )
6 2 6 2 6 6
cos 2cos 1 sin 1 2sin cos cos2 sin cos 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1
sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= ±
= =

 

12.
2 2

3
sin 2 2cos 0
4
x x− + =
( )
( )
2
4 1 cos 2 4 1 cos2 3 0x x⇔ − − + + =
12
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 2
4 4cos 2 4 4cos 2 3 0 4cos 2 4cos 2 3 0x x x x⇔ − − − + = ⇔ + − =

1
cos2
2
3
cos2 1 (loai)
2
x
x

=




= − < −



13.
4 2
tan 4tan 3 0x x− + =
2
2
tan 1 tan
tan 1
4
tan 3
tan 3 tan
3
x
x
x
x
π
π

 
= ± = ±
 ÷


=
 

⇔ ⇔


=

 

= ± = ±

 ÷
 

14.
4 2
cos 2 2 cos 2x x= −
2
4 2
2
cos 2 1 sin 2 0
cos 2 cos 2 2 0
cos 2 2 1 (loai)
x x
x x
x

= ⇔ =
⇔ + − = ⇔

= >

15.
2 4
cos 2 4sin 3 0x x− + =
( )
2

2 4
1 2sin 4sin 3 0x x⇔ − − + =
2 4 4
1 4sin 4sin 4sin 3 0x x x⇔ − + − + =
2
sin 1 cos 0x x⇔ = ⇔ =
16.
2 2
cos cos 2 1x x= −
( )
2
2 2 2 4 2
cos 2cos 1 1 0 cos 4cos 4cos 1 1 0x x x x x⇔ = − − = ⇔ = − + − =
2
4 2
2
cos 0
4cos 5cos
5
cos 1 (loai)
4
x
x x
x

=

⇔ = ⇔

= >



17.
4
2cos 1 3cos 2x x+ =
( ) ( )
2
4 2 4 4 2
2cos 1 3 2cos 1 2cos 1 3 4cos 4cos 1x x x x x⇔ + = − ⇔ + = − +
2
4 2
2
2
sin 0 sin 0
cos 1
5cos 6cos 1 0
2 2
1
2cos 1 cos 2
cos
5 5
5
x x
x
x x
x x
x
= =

=

 

 
⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔

 
= + =
=

 

sin 0
3
cos2
5
x
x
=




= −

18.
2 2
2sin tan 2 (1)x x+ =
. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
C1.

2
2 2 2 2 2
2
sin
(1) 2sin 2 2sin cos sin 2cos
cos
x
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ + =
( )
2 2 2 2 2 4 2 2
2 1 cos cos 1 cos 2cos 2cos 2cos 1 cos 2cosx x x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =
2
4 2
2 2 2
cos 1 (loai)
2cos cos 1 0
1
cos 2cos 1 2cos 1 0 cos 2 0
2
x
x x
x x x x

= −

⇔ + − = ⇔

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =



C2.
2
2 2 2 4 2
2
2 tan
(1) tan 2 2tan tan tan 2 2 tan
1 tan
x
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ + + = +
+
13
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2
4 2
2
tan 1
tan tan 2 0
tan 2 (loai)
x
x x
x

=
⇔ + − = ⇔

= −


19.
4
8sin 13cos 2 7 0x x+ − =
( )
4 2 4 2
8sin 13 1 2sin 7 0 8sin 26sin 6 0x x x x⇔ + − − = ⇔ − + =
2
4 2
2 2
1
sin
4
4sin 13sin 3 0
1 1
sin 3 1 (loai) 2sin 1 cos 2
2 2
x
x x
x x x

=

⇔ − + = ⇔


= > ⇔ = ⇔ − =


20.

4 4
3 3sin 5cos 0x x− − =
( ) ( )
2
2 4 2 4 4
3 3 1 cos 5cos 0 3 3 1 2cos cos 5cos 0x x x x x⇔ − − − = ⇔ − − + − =
( )
2
2
2
4 2
2
cos 0
cos 0
cos 0
8cos 6cos
2 1 cos2 3
2cos 2 1
4cos 3
x
x
x
x x
x
x
x


=
=


=
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔



+ =
=
=




cos 0
1
cos2
2
x
x
=




=

21.
2 2
tan cot 2x x+ =
2

2
1
tan 2
tan
x
x
⇔ + =
(1) . Ñieàu kieän :
tan 0x

(1)
( )
2
4 2 2
tan 2tan 1 0 tan 1 0x x x⇔ − + = ⇔ − =
2
tan 1 tan 1x x⇔ = ⇔ = ±
22.
4
2
1
4 tan 2 (1)
cos
x
x
= +
. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
2
4 2 4 2

2
tan 1
(1) 4 tan 1 tan 2 4 tan tan 3 0
3
tan (loai)
4
x
x x x x
x

=

⇔ = + + ⇔ − − = ⇔

= −


23.
8 8
1
sin cos
8
x x+ =
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 4 4 4 4 4
1 1
sin cos sin cos 2sin cos
8 8
x x x x x x⇔ + = ⇔ + − =


( )
2 4
4
2 2 4
1 1 1 1 1
1 sin 2 2 sin cos 1 sin 2 sin 2 2 sin 2
2 8 4 2 8
x x x x x x
   
⇔ − − = ⇔ − + − =
 ÷  ÷
   
2 4 4 2 4 4
1 1 1
1 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 1
4 8 8
x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =
2
4 2
2
sin 2 1
sin 2 8sin 2 7 0
sin 2 7 1 (loai)
x
x x
x

=
⇔ − + = ⇔


= >

24.
( ) ( )
2 1 sin 2 5 sin cos 3 0x x x− − − + =
( ) ( )
2
2 sin cos 5 sin cos 3 0x x x x⇔ − − − + =
2
sin cos 1 sin
4 2
3
sin cos 2 (loai)
2
x x x
x x
π

 
− = ⇔ − =

 ÷
 



− = >



14
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
25.
( ) ( )
5 1 sin 2 12 sin cos 7 0x x x+ − + + =
( ) ( )
2
5 sin cos 12 sin cos 7 0x x x x⇔ + − + + =

2
sin
sin cos 1
4 2
7
sin cos
7
sin
5
4
5 2
x
x x
x x
x
π
π

 
+ =
+ =



 ÷
 


⇔ ⇔


+ =
 
+ =


 ÷
 

27.
2
2
4 2
2 cos 5 cos 15 0
cos cos
x x
x x
   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
28.

2
2
1 1
cos 2 cos 2 0
cos cos
x x
x x
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
2 2
1 1 1 1
cos 2 2 cos 2 cos 2 cos
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
       
⇔ + − = + − ⇔ + = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
1
cos 0 (1)
cos
1
cos 2 (2)
cos
x
x
x

x

+ =




+ =


. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
2 2
(1) 1 cos 0 cos 1 (vn)x x⇔ + = ⇔ = −
2
(2) cos 2cos 1 0 cos 1x x x⇔ − + = ⇔ =
29.
2
2
1 1
cos cos
cos cos
x x
x x
+ = +

2 2
1 1 1 1
cos 2 cos cos cos 2 0
cos cos cos cos

x x x x
x x x x
     
⇔ + − = + ⇔ + − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
1
cos 1 (1)
cos
1
cos 2 (2)
cos
x
x
x
x

+ = −




+ =


.Ñieàu kieän :
cos 0x

2
(1) cos cos 1 0 (vn)x x⇔ + + =

( )
2
2
(2) cos 2cos 1 0 cos 1 0 cos 1x x x x⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
30.
2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos cos
x x
x x
 
+ = − +
 ÷
 

2
1 1
cos 2 2 cos 1
cos cos
x x
x x
   
⇔ − + = − +
 ÷  ÷
   
2
1 1
cos 2 cos 1 0

cos cos
x x
x x
   
⇔ − − − + =
 ÷  ÷
   
2
1 1
[cos 1] 0 cos 1 0
cos cos
x x
x x
⇔ − − = ⇔ − − =

2
cos cos 1 0x x⇔ − − =
1 5
cos 1 (loai)
2
1 5
cos
2
x
x

+
= >






=


15
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
31.
2
2
1 1
2 cos 7 cos 2 0
cos cos
x x
x x
   
+ + − + =
 ÷  ÷
   
2 2
1 1 1 1
2 cos 2 7 cos 2 0 2 cos 7 cos 6 0
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
 
       
⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
 

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
1
cos 2 (1)
cos
1 3
cos (2)
cos 2
x
x
x
x

− = −




− = −


. Ñieàu kieän :
cos 0x

2
cos 1 2
(1) cos 2cos 1 0
cos 1 2 1 (loai)

x
x x
x

= − +
⇔ + − = ⇔

= − − < −


2
1
cos
(2) 2cos 3cos 2 0
2
cos 2 (loai)
x
x x
x

=

⇔ + − = ⇔

= −

32.
2
2
1 1

sin sin 0
sin sin
x x
x x
   
+ − + =
 ÷  ÷
   
2
1 1
sin sin 2 0
sin sin
x x
x x
   
⇔ + − + − =
 ÷  ÷
   

1
sin 1 (1)
sin
1
sin 2 (2)
sin
x
x
x
x


+ = −




+ =


. Ñieàu kieän :
sin 0x ≠
⇔ + + =
2
(1) sin sin 1 0 (voâ nghieäm)x x
2
(2) sin 2sin 1 0 sin 1x x x⇔ − + = ⇔ =
33.
2
2
1 1
4 sin 4 sin 7 0
sin sin
x x
x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   

2 2
1 1 1 1

4 sin 2 4 sin 7 0 4 sin 4 sin 15 0
sin sin sin sin
x x x x
x x x x
 
       
⇔ + − + + − = ⇔ + + + − =
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
1 3
sin (1)
sin 2
1 5
sin (2)
sin 2
x
x
x
x

+ =




+ = −



. Ñieàu kieän :
sin 0x

⇔ − + =
2
(1) 2sin 3sin 2 0 (voâ nghieäm)x x
2
sin 2(loai)
(2) 2sin 5sin 2 0
1
sin
2
x
x x
x
= −


⇔ + + = ⇔

= −

34. C1 :
( )
2 2
tan cot 2 tan cot 6 (*)x x x x+ + + =

Ñieàu kieän :
sin cos 0 sin 2 0 (k Z)

2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
16
Chuyờn : PHNG TRèNH LNG GIC
( ) ( )
2
(*) tan cot 2 2 tan cot 6x x x x + + + =
( ) ( )
2
tan cot 2 tan cot 8 0x x x x + + + =
tan cot 2 (1)
tan cot 4 (2)
x x
x x
+ =



+ =

( )
2
2
1
(1) tan 2 tan 2tan 1 0 tan 1 0 tan 1
tan
x x x x x

x
+ = + = = =
2 2
sin cos 1
(2) 4 sin cos 4sin cos 2sin 2 1 sin 2
cos sin 2
x x
x x x x x x
x x
+ = + = = =
35.
( )
2 2
tan cot 5 tan cot 6 0 (*)x x x x+ + + + =

ẹieu kieọn :
sin cos 0 sin 2 0 (k Z)
2
k
x x x x


( ) ( )
2
(*) tan cot 2 5 tan cot 6 0x x x x + + + + =
tan cot 1 (1)
tan cot 4 (2)
x x
x x
+ =




+ =

38.
( ) ( )
3
sin cos 2 1 sin 2 sin cos 2 0x x x x x+ + + + =
( ) ( )
3 2
sin cos 2 sin cos sin cos 2 0x x x x x x + + + + =
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =


. ieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( )

( )
3 2 2
2 2 0 2 1 0 2t t t t t t + = + = =

39.
( )
2 sin cos tan cotx x x x+ = +
( )
sin cos
2 sin cos
cos sin
x x
x x
x x
+ = +
( )
2 sin cos sin cos 1x x x x + =
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =



. ieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( ) ( )
3 2
2 0 2 2 1 0 2t t t t t t = + + = =
40.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +
( ) ( )
sin cos 1 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x x + = + +
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =


. ủieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( )

( )
3 2 2
1
2 2 0 1 2 5 0
2 ( )
t
t t t t t t
t loai
=

+ = + + =

=

41.
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
( )
1 10
sin cos 1
sin cos 3
x x
x x

+ + =



17
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đặt
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x
π

 
= + = − ⇒ =
 ÷
 
.
điều kiện:
2t ≤
. Phương trình trở thành :
( )
( )
3 2 2
t = 2
2 19
3 10 3 10 0 2 3t 4t 5 = 0 t =
3
2 19
t = ( )
3

t t t t
loai





− + + = ⇔ − − − ⇔


+




57.Đại học An Giang khối D năm 2000
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + =

( )
cos2 cos 4 cos6 0 cos4 2cos 2 1 0x x x x x⇔ + + = ⇔ + =

cos4 0
1
cos2
2
x

x
=




= −

58. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 
+ = +
 ÷
 
2 sin
sin cos
4
2 2 sin 2 2 sin
4 sin cos 4 sin cos
x
x x
x x
x x x x
π
π π

 
+
 ÷
+
   
 
⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
sin 0 sin 0
2 sin 0
4 4
4
sin cos 0 sin 2 0
1
2
2sin cos 1 sin 2 1
sin cos
x x
x
x x x
x x x
x x
π π
π
 
   

 
+ = + =

+ =
 ÷  ÷
 
 ÷

   
 
 

⇔ ⇔ ⇔
 
≠ ≠
 

=
 
 

= =

 
 
sin 2 sin 1 0
4 2
sin 2 0
4
sin 2 1 2 2
2 4
x k x
x k

x
x x k x k
π π
π
π
π
π π
π π

 
= − + ⇒ = − = − ≠
 ÷

 

⇔ ⇔ = ± +







= ⇔ = + ⇔ = +




59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999
cos cos 2 cos3 cos4 0x x x x+ + + =

cos 0
5 5
4cos .cos .cos 0 cos 0
2 2 2
cos 0
2
x
x x x
x
x


=


⇔ = ⇔ =



=

.
60. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +
18
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( ) ( ) ( )
3 3 2 2 5 5

sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = +
( ) ( )
3 2 2 3 5 5 3 2 2 3 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sinx x x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ − = −
3 3
3 3
cos2 0
cos2 0 cos 2 0
cos2 sin cos2 cos
sin cos tan 1
sin cos
x
x x
x x x x
x x x
x x
=
= =

 
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔

 
= =
=
 

61. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x= +

( ) ( )
1 cos 2 1 cos4 1 cos6
cos2 cos 4 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
− + +
⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 cos cos3 0 4cos3 .cos 2 .cos 0x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
cos3 0
cos2 0
cos 0
x
x
x
=


⇔ =


=


62. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999
( )
6 6 8 8
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

( ) ( )
6 2 6 2
sin 1 2sin cos 2cos 1 0x x x x⇔ − + − =

( )
6 6
cos2 sin cos 0 cos 2 0x x x x⇔ + = ⇔ =

64. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000
6 6
13
cos sin
8
x x− =

( )
2
cos2 2cos 2 13cos 2 6 0x x x⇔ − + =

cos2 0
cos2 6 ( )
1
cos2
2
x
x loai
x


=


⇔ =


=


66. Học Viện Quân Y khối B năm 2001
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +
( )
3tan .cos 2cos 2 3tan cos 3tan 2 2 3tanx x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +
.
2
3tan 2 0
tan
3
cos 1
cos 1
x
x
x
x

+ =
= −


⇔ ⇔



=

=


67. Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
19
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
3 2
4cos 6 2 sin cos 8cos 2cos 2cos 3 2 sin 4 0x x x x x x x⇔ + = ⇔ + − =
( )
2
cos 0
2cos 2sin 3 2 sin 2 0 sin 2 ( )
2
sin
2
x
x x x x loai
x


=

⇔ − + = ⇔ =




=



69. Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001
3
sin 2 sin (*)
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
.
Đặt :
4 4
t x x t
π π
= + ⇒ = −
( )
3 3 2
(*) sin 2 sin sin sin cos sin 1 cot sin cos
4
t t t t t t t t t
π
 
⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = −
 ÷

 

( )
cost 0 cost 0
cos 1 sin cot 0
sin cos 1 sin 2 2 ( )
2 4
t t t t k x k
t t t vn
π π
π π
= =
 
⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = + ⇔ = +
 
= =
 
70. Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000
( )
4 4
4 sin cos 3 sin 4 2x x x+ + =
2 2
1
4 1 sin 2 3sin 4 2 2sin 2 3sin 4 2
2
x x x x
 
⇔ − + = ⇔ − + = −
 ÷
 

1 3 1 1
cos4 3sin 4 1 cos 4 sin 4 cos 4
2 2 2 3 2
x x x x x
π
 
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ − = −
 ÷
 
71. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997
( )
2
4cos cos3 6cos 2 1 cos 2x x x x− = − +
( )
2 3 2
4cos 4cos 3cos 6cos 4cosx x x x x⇔ − − = −
( )
3 2
4cos 3cos 0 cos 4cos 3 0 cos 0x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
72. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000
( ) ( ) ( )
sin 2 4 cos sin 4 1 sin 2 4 cos sin 3 0x x x x x x+ − = ⇔ − − − + =
( ) ( )
2
cos sin 4 cos sin 3 0x x x x⇔ − − − + =
cos sin 1
2 cos 1
cos sin 3 ( )
4
x x

x
x x vn
π
− =

 
⇔ ⇔ + =
 ÷

− =
 

72. Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001
20
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
s 2cos cos 2 2sin cos 0inx x x x x
+ + − =
( )
2
sin 1 2sin 2cos 1 sin 0x x x x⇔ + − + − =
( ) ( )
sin 1
sin 1
1 sin 2sin 2cos 1 0
1
sin
2(sin cos ) 1
4
2 2
x

x
x x x
x
x x
π
=

=


⇔ − + + = ⇔ ⇔
 


+ = −
+ = −

 ÷

 

73. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
4 6
cos sin cos 2x x x+ =
4 6 4 4 6 4
cos sin cos sin sin sin 0x x x x x x⇔ + = − ⇔ + =

( )
4 2
2

sin 0
sin sin 1 0
1 sin 0 ( )
x
x x
x vn
=

⇔ + = ⇔

+ =

.
74. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
3 3 1
cos .cos .cos sin .sin . in
2 2 2 2 2
x x x x
x x s− =
( ) ( )
1 1 1
cos cos cos2 sin cos cos 2
2 2 2
x x x x x x⇔ + − − =
2 2
cos cos cos 2 sin cos sin cos2 1 cos cos2 sin cos 2 sin sin cosx x x x x x x x x x x x x x⇔ + − + = ⇔ + = +
( ) ( ) ( ) ( )
cos2 cos sin sin sin cos cos sin cos 2 sin 0x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + − =
( )
( )

( )
( )
2 2
cos sin 1 2sin sin 0 cos sin 2sin sin 1 0x x x x x x x x⇔ + − − = ⇔ + + − =
tan 1
sin 1
1
sin
2
x
x
x


= −

⇔ = −


=


.
75. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2 2 2
sin 3 sin 2 in 0x x s x− − =
( )
2 2
1 cos6 1 cos 2 1
sin 2 0 cos2 cos6 sin 2 0

2 2 2
x x
x x x x
− −
⇔ − − = ⇔ − − =
( )
2 2 2 2
sin 4 sin 2 sin 2 0 2sin 2 cos2 sin 2 0 sin 2 2cos2 1 0x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
.
76. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
( )
2 cot 2 cot3 tan 2 cot 3x x x x− = +
.
Điều kiện :
sin 2 0 ; sin 3 0 ; cos2 0x x x≠ ≠ ≠
cos 2 cos3 sin 2 cos3
2(cot 2 cot3 ) tan 2 cot 3 2
sin 2 sin 3 cos 2 sin 3
x x x x
x x x x
x x x x
 
− = + ⇔ − = +
 ÷
 
( )
2
3
2sin cos2 cos
2sin cos

0 sin 0 ( )
sin 2 sin 3 sin 3 cos2 sin 2 sin3 cos 2
x x x
x x
x loai
x x x x x x x

⇔ = ⇔ = ⇔ =
do đk
sin 2 0x

Vậy phương trình vô nghiệm.
77. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 1997
21
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3
sin sin 2 sin3 6cosx x x x+ =
2 3 3
2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x⇔ + − =
( )
( )
3 2 2
tan 2 tan 3tan 6 0 tan 2 tan 3 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ − − =
86. Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D
3cos cos 2 cos3 1 2sin sin 2x x x x x
+ − + =
(1)
Đặt
cost x=
(1)

( )
2 3 2
3 2 1 4 3 1 4 4t t t t t t⇒ + − − + + = −

2
0 cos 0
2 2 0
1 cos 1
t x
t t
t x
= =
 
⇔ + = ⇔ ⇒
 
= − = −
 
87. Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A
4 4
cos sin sin 2
2 2
x x
x− =

2 2
cos sin sin 2 cos 2sin cos
2 2
x x
x x x x⇔ − = ⇔ =


cos 0
1
sin
2
x
x
=




=

88. Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997
( ) ( )
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x− + = −
( )
2
2sin sin 2 2sin 2sin 2 1 3 4 1 sinx x x x x⇔ + − − = − −
2 2
sin 0
8sin cos 2sin 4sin cos 4sin
4sin cos 1 2cos 2sin
x
x x x x x x
x x x x
=

⇔ + − = ⇔


+ − =

( )
sin 0
4sin cos 2 sin cos 1 0
x
x x x x
=



− + + =

92. Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D
2
2 tan cot 3
sin 2
x x
x
+ = +
2sin cos 1
3 (1)
cos sin sin cos
x x
x x x x
⇔ + = +
. Điều kiện :
sin 0
sin cos 0

cos 0
x
x x
x


≠ ⇔



2 2 2 2
2sin cos 3 sin cos 1 1 sin 3 sin cos 1 sin 3 sin cosx x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ =
sin 0 ( )
sin 3 cos tan 3
x loai
x x x
=



= ⇔ =

93. Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0 (*)
cos
x x x
x
+ − −

=
.
Điều kiện :
cos 0x ≠
( )
( )
2 2
(*) 4 1 cos 2 3 1 cos2 9 3cos 2 0 2cos 2 3cos2 1 0x x x x x⇔ − + − − − = ⇔ + + =

cos2 1
1
cos2
2
x
x
= −




= −

22
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
96. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1995
3 3
1
sin cos cos sin
4
x x x x− =

( )
2 2
1 1 1 1 1
sin .cos sin cos sin 2 cos2 sin 4
4 2 4 4 4
x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
97. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
4 2 2 4
3cos 4cos sin sin 0x x x x− + =

2
4 2
2
tan 1
tan 4tan 3 0
tan 3
x
x x
x

=
⇔ − + = ⇔

=

98. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
3
sin 2 sin
4
x x

π
 
− =
 ÷
 
( )
3
3
1
(sin cos ) 2 sin sin cos 4sin
2
x x x x x x
 
⇔ − = ⇔ − =
 
 
( )
3
3 2
3
3 2 3
sin cos 4sin
(tan 1) 4tan 1 tan
cos cos
tan 3tan 3tan 1 4tan 4tan
x x x
x x x
x x
x x x x x


 
⇔ = ⇔ − = +
 ÷
 
⇔ − + − = +
3 2
3tan 3tan tan 1 0x x x⇔ + + + =
tan 1
tan 3
x
x
= ±



= ±

99. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh năm 1998
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
− + =
2 2
1 1 2 5 1 4
1 0 4 0
2 cos cos 2 cos cosx x x x
 

⇔ − − + = ⇔ − + =
 ÷
 

2
1 1
2 0 cos
cos 2
x
x
 
⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
101. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995
2
tan 2 cot 8cosx x x+ =
2
sin 2 cos
8cos (*)
cos2 sin
x x
x
x x
⇔ + =
. Điều kiện :
cos2 0
sin 0
x
x







2 2
cos 0
sin 2 sin cos2 cos
(*) 8cos cos 8cos cos2 sin
8cos cos 2 sin 1
cos2 sin
x
x x x x
x x x x x
x x x
x x
=

+
⇔ = ⇔ = ⇔

=

cos 0
cos 0 cos 0
(tmdk)
1
4cos 2 sin 2 1 2sin 4 1
sin 4

2
x
x x
x x x
x
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= =
=
 

102. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
2
(sin 2 3 cos 2 ) 5 cos 2
2
x x x
π
 
+ − = −
 ÷
 
23
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2

1 3
4( sin 2 cos 2 ) cos 2 5 0
2 2 2
x x x
π
 
⇔ + − − − =
 ÷
 
. Điều kiện
2
5
cos 2 ( )
2 4
4cos 2 cos 2 5 0
2 2
cos 2 1
2
x loai
x x
x
π
π π
π

 
− =
 ÷

 

   

⇔ − − − − = ⇔
 ÷  ÷

   
 
− = −

 ÷
 


103. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
( ) ( )
3 cot cos 5 tan sin 2 (*)x x x x− − − =
Điều kiện
cos 0
sin 0
x
x





( ) ( )
cos sin
(*) 3 cot cos 1 5 tan sin 1 0 3 cos 1 5 sin 1 0
sin cos

x x
x x x x x x
x x
   
⇔ − + − − + = ⇔ − + − − + =
 ÷  ÷
   
cos sin cos sin sin sin cos cos
3 5 0
sin sin
x x x x x x x x
x x
− + − +
   
⇔ − =
 ÷  ÷
   

( )
cos sin cos sin 0 (1)
3 5
cos sin cos sin 0
3 5
sin cos
(2)
sin cos
x x x x
x x x x
x x
x x

− + =

 

⇔ − + − = ⇔
 ÷

=
 

2
1 2
(1) 2 1 0 ( sin cos 2 sin 2)
4
1 2 ( )
t
t t t x x x t
t loai
π

= −
 
⇔ − − = ⇔ = + = + ⇒ ≤

 ÷
 
= +


1 2

sin
4
2
x
π

 
⇔ + =
 ÷
 
3 5 3
(2) tan
sin cos 5
x
x x
⇔ = ⇔ =
104. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998
( )
tan cot 2 sin 2 cos2x x x x+ = +
Điều kiện :
cos 0
sin 2 0
sin 0
x
x
x


⇔ ≠




( ) ( ) ( )
sin cos 1
tan cot 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos2
cos sin sin cos
x x
x x x x x x x x
x x x x
+ = + ⇔ + = + ⇔ = +
( ) ( )
2
2
2 sin 2 cos2 1 sin 2 sin 2 cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2
sin 2
x x x x x x x x
x
⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +
2
cos 2 0
cos 2 sin 2 cos 2 (tm)
tan 2 1
x
x x x
x
=

⇔ = ⇔

=


24
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
106. Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A
1 1 1
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
Điều kiện :
sin 4 0x ≠
1 1 1 1 1 1
cos sin 2 sin 4 cos 2sin cos 2sin cos cos 2x x x x x x x x x
+ = ⇔ + =
2
2sin cos2 cos 2 1 0 2sin cos 2 1 cos2 2sin cos2 2sinx x x x x x x x x⇔ + − = ⇔ = − ⇔ =
sin 0 ( )
cos2 sin cos
2
x loai
x x x
π
=



 

= = −
 ÷

 


107. Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A
1
cos cos2 cos 4 cos8
16
x x x x =
(*)
Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa.
Vậy (*)


1
sin cos cos2 cos 4 cos8 sin
16
x x x x x x=

sin16 sinx x
⇔ =
108. Đại Học Kinh Tế năm 1995
( )
2
cos 2sin 3 2 2cos 1
1 (*)
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
. Điều kiện :

sin 2 1
4
x x k
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
2 2
(*) sin 2 3 2 cos 2cos 1 1 sin 2 2cos 3 2 cos 2 0x x x x x x⇔ + − − = + ⇔ − + =
cos 2 ( )
2
cos
2
x loai
x

=



=


109. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995
( )
4sin 2 3cos 2 3 4sin 1x x x− = −
( )
2
8sin cos 3 1 2sin 12sin 3x x x x⇔ − − = −
( )
sin 0

sin 4cos 3sin 6 0
4cos 3sin 6 (vn)
x
x x x
x x
=

⇔ + − = ⇔

+ =

110. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
2
tan tan .tan 3 2x x x− =
Điều kiện :
cos 0
cos3 0
x
x





( )
2
2
sin sin 2 2sin cos
tan tan .tan 3 2 tan tan tan 3 2 2 2
cos cos cos3 cos cos cos3

x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− −
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
2 2 4 2 4 2
sin cos cos3 cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 1 0x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − + =
( )
2
2
2cos 1 0 cos 2 0x x⇔ − = ⇔ =
111. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
25

×