chuyên đề phương trình lượng giác

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Giá trị lượng giác của các cung có dạng:
; ; ; ; ( )
2 3 4 6
k k k k
k k
π π π π
π
∈¢
luôn tính được
bằng máy tính fx-570ES
1. Công thức lượng giác cơ bản
2 2
sin cos 1x x+ =
sin
tan
cos
x
x
x
=
cos
cot
sin
x
x
x
=
2
2
1

1 tan
cos
x
x
+ =
2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =
tan .cot 1x x
=
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
☻ Hai cung đối nhau :
x
và
x−
☻ Hai cung bù nhau :
x
và
( )
x
π
−
( )
cos cosx x− =
( )

sin sinx x− = −
( )
sin sinx x
π
− =
( )
cos cosx x
π
− = −
( )
tan tanx x− = −
( )
cot cotx x− = −
( )
tan tanx x
π
− = −
( )
cot cotx x
π
− = −
☻ Cung hơn kém
π
là :
x
và
( )
x
π
+

☻ Hai cung phụ nhau là :
x
và
2
x
π
 
−
 ÷
 
( )
sin sinx x
π
+ = −
( )
cos cosx x
π
+ = −
sin cos
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cos sin
2
x x
π

 
− =
 ÷
 
( )
tan tanx x
π
+ =
( )
cot cotx x
π
+ =
tan cot
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
cot tan
2
x x
π
 
− =
 ÷
 
3. Công thức CỘNG
( )

sin .cos cos .sin sin
α β α β α β
+ = +
( )
cos .cos sin .sin cos
α β α β α β
+ = −
( )
sin .cos cos .sin sin
α β α β α β
− = −
( )
cos .cos sin .sin cos
α β α β α β
− = +
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
α β
α β
α β
+
+ =
−
( )
tan tan
tan
1 tan .tan
α β

α β
α β
−
− =
+
4. Công thức NHÂN ĐÔI
sin 2 2.sin .cosa a a=
2 2
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
a a a
a
a
= −
= −
= −
Công thức HẠ BẬC
( )
2
1 cos2
cos
2
1
1 cos2
2
a
a

a
+
=
= +
( )
2
1 cos2
sin
2
1
1 cos2
2
a
a
a
−
=
= −
2
2tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
1
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
5. Công thức biến TỔNG thành TÍCH

cos cos 2cos .cos
2 2
u v
u v u v
+ =
+ −
cos cos 2sin .sin
2 2
u v
u v u v
− = −
+ −
sin sin 2sin .cos
2 2
u v
u v u v
+ =
+ −
sin sin 2cos .sin
2 2
u v
u v
u v −
− =
+
6. Công thức biến TÍCH thành TỔNG
( ) ( )
1
cos .cos cos cos
2

a b a b a b= − + + 
 
( ) ( )
1
sin .sin cos cos
2
a b a b a b= − − + 
 
( ) ( )
1
sin .cos sin sin
2
a b a b a b= − + + 
 

cos .sin sin .cos ?
α β β α
= =
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình :
sin x a=
(1)
CT1:
2
sin sin ,
2
x k
x k
x k
α π

α
π α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
CT2:
0 0
0
0 0 0
.360
sin sin ,
180 .360
x k
x k
x k
β
β
β

= +
= ⇔ ∈

= − +

¢
CT3:

arcsin 2
sin ,
arcsin 2
x a k
x a k
x a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt)
•
sin 1 2 ,
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
•
sin 1 2 ,
2
x x k k
π
π
= − ⇔ = − + ∈¢

•
sin 0 , x x k k
π
= ⇔ = ∈¢
Giải phương trình :
sin x a=
(1)
• Nếu
1a >
hoặc
1a < −
thì phương trình (1) vô nghiệm
• Nếu
1 2 3
; ;
2 2 2
a = ± ± ±
thì chúng ta dùng CT1 hoặc CT2
• Nếu
1; 0; 1a = −
thì chúng ta dùng phần chú ý
• Nếu
1 1a
− < <
và
1 2 3
; ;
2 2 2
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta dùng CT3

• Lưu ý: Chỉ sử dụng CT2 khi phương trình có mặt đơn vị độ.
2
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2. Phương trình :
cos x a=
(2)
CT4:
2
cos cos ,
2
x k
x k
x k
α π
α
α π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢

CT5:
0 0
0
0 0
360
cos cos ,

360
x k
x k
x k
β
β
β

= +
= ⇔ ∈

= − +

¢
CT6:
arccos 2
cos ,
arccos 2
x a k
x a k
x a k
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢

Chú ý : (đây là các phương trình rất đặc biệt)
•
cos 1 2 , x x k k
π
= ⇔ = ∈¢
•
cos 1 2 , x x k k
π π
= − ⇔ = + ∈¢
•
cos 0 ,
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
Giải phương trình :
cos x a=
(2)
• Nếu
1a >
hoặc
1a < −
thì phương trình (2) vô nghiệm
• Nếu
1 2 3
; ;
2 2 2
a = ± ± ±
thì chúng ta dùng CT4 hoặc CT5

• Nếu
1; 0; 1a = −
thì chúng ta dùng phần chú ý
• Nếu
1 1a
− < <
và
1 2 3
; ;
2 2 2
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta thường dùng CT6
• Lưu ý: Chỉ sử dụng CT5 khi phương trình có mặt đơn vị độ.
3. Phương trình:
tan x a
=
(3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) là :
cos 0x ≠

⇔

,
2
x k k
π
π
≠ + ∈¢
Phương trình (3) đã cho luôn có nghiệm.
CT7

tan tan , x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a = ± ± ±
thì chúng ta
dùng CT7 hoặc CT8
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta
thường dùng CT9
CT8
0 0 0
tan tan .180 , x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢
CT9
tan arctan , x a x a k k
π
= ⇔ = + ∈¢
4. Phương trình:
cot x a=
(4)
Điều kiện xác định của phương trình (4) là:

sin 0 , x x k k
π
≠ ⇔ ≠ ∈¢
.
Phương trình (4) luôn có nghiệm
CT10
cot cot , x x k k
α α π
= ⇔ = + ∈¢
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a = ± ± ±
thì chúng ta
dùng CT10 hoặc CT11
• Nếu
3
3 ; 1 ; 0 ;
3
a ≠ ± ± ±
thì chúng ta
thường dùng CT12
CT11
0 0 0
cot cot .180 , x x k k
β β
= ⇔ = + ∈¢
CT12
cot arccot , x a x a k k

π
= ⇔ = + ∈¢
3
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BT1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
( ) ( )
???
sin cos sin cos 1 0 sin 1 cos sin 1 0 x x x x x x x
− − + = ⇔ + − + = ⇔
1)
3 3 2
cos sin 2sin 1x x x+ + =
???
⇔

3 3 2 2 2
cos sin 2sin sin cosx x x x x+ + = +
⇔

3 3 2 2
cos sin sin cos 0x x x x+ + − =

???
⇔
( ) ( ) ( ) ( )
sin cos 1 sin cos sin cos sin cos 0x x x x x x x x+ − + + − =
⇔
…
2)

( ) ( )
cos 2 1 2cos sin cos 0x x x x+ + − =
⇔
( )
( ) ( )
2 2
cos sin 1 2cos cos sin 0x x x x x− − + − =

⇔
…
3)
3 2
4sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x+ + + =
⇔
3 2
4sin 4sin 6sin cos 6cos 0x x x x x+ + + =

⇔
( ) ( )
2
2sin sin 1 3cos sin 1 0x x x x+ + + =

⇔
…
4)
( ) ( )
2 2 2
2sin 1 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − =
(nhớ điều kiện của phương trình là:
cos 2 0x ≠

)
???
⇔
( )
2 2
cos2 tan 2 3 cos 1 0x x x− + − =
???
⇔

2
2
sin 2
3sin 0
cos2
x
x
x
− − =
⇔

2 2
sin 2 3cos 2 .sin 0x x x+ =
⇔

2 2 2
4sin .cos 3cos2 .sin 0x x x x+ =

⇔
…
5)

2sin 2 4sin 1 0
6
x x
π
 
− + + =
 ÷
 
⇔
2 sin 2 cos cos 2 sin 4sin 1 0
6 6
x x x
π π
 
− + + =
 ÷
 
⇔

3 sin 2 cos 2 4sin 1 0x x x− + + =
⇔

3 sin 2 4sin 1 cos2 0x x x+ + − =
⇔

2
2 3sin cos 4sin 2sin 0x x x x+ + =
⇔
…
6)

3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x
+
− =
(****)
Giải
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 3 2
2 cos . 2cos3 .cos sin . 2sin 3 .sin
2 2 8
1 1 2 3 2
cos cos4 cos 2 sin cos 2 cos4
2 2 8
2 3 2 2 3 2
cos4 cos sin cos2 cos sin cos 4 cos 2
4 4
2
4cos 4 2 1 cos4 2 3 2 cos 4
2 16 2
x x x x x x
x x x x x x

x x x x x x x x
k
x x x x k Z
π π
−
⇔ − =
−
⇔ + − − =
− −
⇔ + + − = ⇔ + =
⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈
7)
3
2 2 cos cos sin 0
4
x x x
π
 
− − − =
 ÷
 
( )
3
2 2 2=
4
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
???
⇔
3
2 cos cos sin 0

4
x x x
π
 
 
− − − =
 ÷
 
 
 
???
⇔
( ) ( )
3
sin cos sin cos 0x x x x+ − + =

⇔
…
8)
( )
2 2 3
sin cos2 cos tan 1 2sin 0x x x x x+ − + =
???
⇔
2 2
2 3
2
sin cos
sin cos2 cos 2sin 0
cos

x x
x x x x
x
−
+ + =
???
⇔
( )
2 2 2
sin cos2 2sin sin cos 0x x x x x+ + − =
???
⇔
2 2
sin sin cos 0x x x+ − =
???
⇔
2
2sin sin 1 0x x+ − =

⇔
…
9)
2
2
cos 2 1
tan 3tan
2 cos
x
x x
x

π
−
 
+ − =
 ÷
 
???
⇔
2
2
2
2sin
cot 3tan
cos
x
x x
x
−
− − =
⇔
2 2
1
3tan 2 tan
tan
x x
x
− − = −

⇔
…

10)
3 sin
tan 2
2 1 cos
x
x
x
π
 
− + =
 ÷
+
 
(nhớ tìm điều kiện của phương trình)
???
⇔
sin
cot 2
1 cos
x
x
x
+ =
+

⇔
cos sin
2
sin 1 cos
x x

x x
+ =
+
⇔
…
11)
sin 2 cos2 sin cos 1 0x x x x+ + − − =
⇔

( ) ( )
sin 2 1 cos2 sin cos 0x x x x− + + − =

⇔
( ) ( )
2
2 2
cos sin cos sin cos sin 0x x x x x x− − + − − − =

⇔
…
12)
sin( ) ? cos( ) ?
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
a b a b
x x x
π π
− = − =
   

− − − =
 ÷  ÷
   
1 44 2 4 43 1 4 2 4 3
???
⇔

2 5 5 2 3
sin cos cos sin 2 cos
2 2 2 2 2 2 2
x x x x x
   
− − + =
 ÷  ÷
   
???
⇔

sin sin ? cos cos ?
5 5 3
sin sin cos cos 2cos
2 2 2 2 2
u v u v
x x x x x
− = + =
   
− − + =
 ÷  ÷
   
1 4 4 2 4 43 1 4 4 2 4 4 3

⇔
…
13)
( )
2
2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + = +
(
2 2
1 sin cosx x= +
)
???
⇔
( )
2 2
3cos 2 3cos sin sin 3 sin 3 cosx x x x x x+ + = +

⇔
( ) ( )
2 2
2
2
2 ?
3 cos 2. 3 cos .sin sin 3 sin 3 cos
a ab b
x x x x x x
+ + =
+ + = +
1 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 3
⇔

…
14)
1 1
sin 2 sin cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
+ − − =
(điều kiện của phương trình là
sin 2 0x ≠
)
???
⇔

2
sin .sin ?
sin 2 sin sin 2 cos 1 cos 2
a b
x x x x x
=
+ − − =
1 42 43

⇔

( )
2
1
sin 2 cos cos3 cos 1 cos2
2

x x x x x+ − − − =
???
⇔
…
5
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
15)
sin 3 3 cos3 2sin 2x x x− =
???
⇔
sin3 cos cos3 sin ?
3 3
1 3
sin 3 cos3 sin 2
2 2
x x
x x x
π π
− =
− =
1 4 44 2 4 4 43
⇔
…
16)
2
2cos
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos
x
x x x x
 

+ + = +
 ÷
 ÷
 
142 43
???
⇔

2
4sin cos 2sin cos 1 2cosx x x x x+ = +

???
⇔

( )
2sin cos 2cos 1 1 2cosx x x x+ = +

⇔
…
17)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −
???
⇔
( ) ( )
2 2 2 2
sin sin cos 3 cos sin cos 0x x x x x x− + − =

⇔
…

18)
sin( ) ?
sin( ) ?
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
a b
a b
x
x
x
π
π
− =
− =
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
1 442 4 43
1 4 2 4 3
(nhớ tìm điều kiện của phương trình)
???

⇔

( )
1 1
2 2 sin cos
sin cos
x x
x x
+ = +

⇔
…
19)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
⇔
2
2sin 2 1 sin 7 sinx x x− + =
???
⇔
cos4 sin 7 sin 0x x x
− + − =
⇔
cos4 2cos 4 sin 3 0x x x
− + =

⇔
…
20)
2

sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
???
⇔
1 sin 3 cos 2x x+ + =
⇔
sin 3 cos 1x x+ =

⇔
…
21)
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
???
⇔

( ) ( ) ( )
2
cos sin sin cos sin cos sin cosx x x x x x x x+ + + = +
⇔
…
22)
2

cos 2 1
cot 1 sin sin 2
1 tan 2
− = + −
+
x
x x x
x
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (A2003)
⇔
2 2
2
sin cos sin
1 sin sin cos
cos 1 tan
x x x
x x x
x x
−
− = + −
+
???
⇔
( )
2 2
2
cos cos sin
sin
1 sin sin cos
cos cos sin

x x x
x
x x x
x x x
−
− = + −
+
⇔

( ) ( )
sin cos
cos cos sin sin cos sin
cos
x x
x x x x x x
x
−
= − − −
⇔
…
23)
2
cot tan 4sin 2
sin 2
x x x
x
− + =
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2003)
⇔
cos sin 2

4sin 2
sin cos 2sin cos
x x
x
x x x x
− + =

6
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
⇔

2 2
cos sin 4sin 2 sin cos 1
sin cos sin cos sin cos
x x x x x
x x x x x x
−
+ =
???
⇔

2
cos2 2sin 2 1x x+ =
⇔
( )
2
cos 2 2 1 cos 2 1x x+ − =

⇔
…

24)
2 2 2
sin tan cos 0
2 4 2
x x
x
π
 
− − =
 ÷
 
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (D2003)
⇔
2
2 2 2
2sin ?
2sin tan 2cos 0
2 4 2
a
x x
x
π
=
 
− − =
 ÷
 
1 44 2 4 43
???
⇔

( )
2
cos( ) ?
1 cos tan cos 1 0
2
a b
x x x
π
− =
 
 
 
− − − + =
 
 ÷
 
 
 
 
1 4 2 4 3

⇔
…
25)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
⇔
??? Dùng CT hạ bậc, nhóm và biến tổng
→
tích (B-2002)

26)
2 2
cos 3 cos2 cos 0x x x− =
???
⇔
2
2 2
2cos ?
2cos 3 .cos 2 2cos 0
a
x x x
=
− =
14 2 43
⇔
( ) ( )
cos6 1 cos 2 cos2 1 0x x x+ − + =
⇔
…
27)
( )
2
5sin 2 3 1 sin tanx x x− = −
(nhớ tìm điều kiện của phương trình) (B2004)
⇔
( )
2
2
sin
5sin 2 3 1 sin

cos
x
x x
x
− = −
⇔
( )
2
2
sin
5sin 2 3 1 sin
1 sin
x
x x
x
− = −
−

⇔

2
3sin
5sin 2
1 sin
x
x
x
− =
+
⇔

( ) ( )
2
5sin 2 1 sin 3sinx x x− + =

⇔
…
28)
( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = −
(D2004)
⇔

( ) ( )
2cos 1 2sin cos 2sin cos sinx x x x x x− + = −
⇔
( ) ( ) ( )
2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x− + = −

⇔
…
29)
4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
x x x x
π π
   
+ + − − − =

 ÷  ÷
   
???
⇔
( )
4 4
2cos .sin ???
2 cos sin 2cos sin 3 3 0
4 4
a b
x x x x
π π
=
   
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43
(sử dụng công thức biến tích thành tổng)
???
⇔
( )
( )
4 4
sin ?
2 cos sin sin 4 sin 2 3 0
2
a b
x x x x
π

− =
 
+ + − + − =
 ÷
 
1 442 4 43
???
⇔

( )
4 4
2 cos sin cos 4 sin 2 3 0x x x x+ − + − =
⇔

( )
2
2 2 2 2
2 cos sin 2sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x x x
 
+ − − + − =
 
 
???
⇔

2 2
2 4sin cos cos 4 sin 2 3 0x x x x− − + − =
⇔

2

2 sin 2 cos4 sin 2 3 0x x x− − + − =
7
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
???
⇔

( )
2 2
2 sin 2 1 2sin 2 sin 2 3 0x x x− − − + − =
⇔

2
sin 2 sin 2 2 0x x+ − =

⇔
…
30’)
( )
6 6
2 sin cos sin cos 0x x x x+ − =
???
⇔
( ) ( )
3
2 2 2 2 2 2
2 sin cos 3sin .cos . sin cos sin .cos 0x x x x x x x x
 
+ − + − =
 
 

???
⇔

( )
2 2
2 1 3sin .cos sin .cos 0x x x x− − =
⇔

( )
2 2
4 1 3sin .cos 2sin .cos 0x x x x− − =
???
⇔

2
3sin 2 sin 2 4 0x x− − + =

⇔
…
30)
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−

(điều kiện
2 2sin 0 ???x− ≠ ⇔
)
⇔

( )
6 6
2 sin cos sin cos 0x x x x+ − =

⇔
…
31)
cot sin 1 tan tan 4
2
 
+ + =
 ÷
 
x
x x x
(điều kiện phương trình
sin 2 0x ≠
)Chú ý:
???
sin 0
cos 0 sin 2 0
cos 0
2
x
x x

x


≠

≠ ⇔ ≠



≠

32)
cos3 cos2 cos 1 0x x x
+ − − =

???
⇔

( ) ( )
cos3 cos cos 2 1 0x x x− + − =

⇔
… (biến tổng thành tích)
33)
2sin cot 2sin 2 1x x x+ = +
(điều kiện
sin 0x
≠
)
⇔

cos
2sin 4sin cos 1
sin
x
x x x
x
+ = +

⇔
… (quy đồng)
34)
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
(điều kiện:
sin 2 0x
≠
) Chú ý:
sin 2 0
cos 0 sin 2 0
sin 0
x

x x
x
≠


≠ ⇔ ≠


≠

???
⇔

2 2
1 2sin .cos 1 sin cos
sin 2 2 cos sin
x x x x
x x x
−
 
= +
 ÷
 

⇔
…
36)
2 2
sin sin cos sin 1 2cos
2 2 4 2

x x x
x x
π
 
− + = −
 ÷
 

⇔

2
2 2
2cos 1 ?
sin sin cos sin 2cos 1
2 2 4 2
a
x x x
x x
π
− =
 
− = − −
 ÷
 
1 4 44 2 4 4 43
???
⇔

2
sin sin cos sin cos

2 2 2
x x
x x x
π
 
− = −
 ÷
 

???
⇔

2
sin .sin cos .sin sin
2 2
x x
x x x− =

⇔
…
38)
( )
2
2cos 1 ?
2 2 sin cos cos 3 cos2
a
x x x x
− =
+ = +
123

???
⇔

( )
2
2 2 sin cos cos 2cos 2x x x x+ = +

⇔
…
(chia cả hai vế cho
2
cos x
, rồi đưa về pt bậc hai đối với
tan x
, nhớ vận dụng
2
2
1
1 tan
cos
x
x
= +
)
39)
( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4cos 3x x x x+ + − + =
8

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
⇔

( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 4(1 sin ) 3x x x x+ + − + − =

⇔

( ) ( )
2
2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 4sin 0x x x x+ + − + − =
⇔

( ) ( ) ( ) ( )
2sin 1 3cos 4 2sin 4 1 2sin 1 2sin 0x x x x x+ + − + − + =

⇔
…
41)
( )
3 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
− =
−

(nhớ tìm điều kiện của phương trình)
???
⇔

( )
3 sin .cos sin
2cos 2
sin sin .cos
x x x
x
x x x
+
− =
−

⇔

( )
3 cos 1
2cos 2
1 cos
x
x
x
+
− =
−

⇔

( )
( )
3 cos 1
2 cos 1 0
1 cos
x
x
x
+
− + =
−

⇔

42)
2sin 2 cos 2 7sin 2cos 4x x x x− = + −
???
⇔

2
4sin cos 2sin 1 7sin 2cos 4x x x x x+ − = + −

???
⇔

( ) ( ) ( )
2cos 2sin 1 sin 2sin 1 3 2sin 1x x x x x− + − = −

⇔
…

44)
2
sin 3 3 cos3 2 4sinx x x− = −

⇔

2
cos2 ?
1 3
sin 3 cos3 1 2sin
2 2
a
x x x
=
− = −
14 2 43

⇔
…
46)
3
4cos 3 2 sin 8cosx x x+ =

⇔
… (pp chia cả hai vế cho
3
cos x
)
47)
3 3

3 3
?
cos sin sin cos
a b
x x x x
+ =
+ = +
1 44 2 4 43

⇔
… (pp phân tích)
48)
( )
3 3
2 sin cos
3 cos 2
cos sin
x x
x
x x
−
=
−
(nhớ ĐK của phương trình)
⇔

( )
( )
2 2
2 sin cos sin sin cos cos

3 cos 2
cos sin
x x x x x x
x
x x
− + +
=
−
???
⇔

2 sin 2 3 cos 2x x− − =

⇔

sin 2 3 cos2 2x x+ = −
⇔
…
49)
3 3
sin cos cos2x x x+ =
???
⇔

( )
( )
2 2 2 2
sin cos sin sin cos cos cos sinx x x x x x x x+ − + = −

⇔

…
50)
2 2
3
4sin 3cos2 1 2cos
2 4
π
 
− = + −
 ÷
 
x
x x

???
⇔

2 2
3
4sin 2 3 cos2 2cos 1
2 4
x
x x
π
 
− − = − −
 ÷
 
⇔
…

⇔

3
2cos 3 cos2 cos 2
2
x x x
π
 
− = −
 ÷
 

⇔

2cos 3 cos2 sin 2x x x− =

⇔
…
51)
3 3
sin cos
cos2
cos sin
x x
x
x x
+
=
+
(nhớ ĐK của phương trình)

⇔

( )
( )
2 2
sin cos sin sin cos cos
cos2
cos sin
x x x x x x
x
x x
+ − +
=
+

⇔
9
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
69)
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
(D-2011)
70)
sin 2 .cos sin .cos cos 2 sin cosx x x x x x x

+ = + +
(B-2011)
71)
2
1 sin 2 cos 2
2.sin .sin 2
1 cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(A-2011)
52)
sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x− + − − =
(D2010)
53)
( )
sin 2 cos2 cos 2cos 2 sin 0x x x x x+ + − =
(B2010)
54)
3 cos5 2sin3 cos 2 sin 0x x x x− − =
(D-2009)
55)
( )
3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = +
(B-2009)
56)

( )
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(A-2009)
57)
( )
2sin 1 cos2 sin 2 1 2cosx x x x+ + = +
(D-2008)
58)
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x− = −
(B-2008)
59)
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x
π

π
 
+ = −
 ÷
 
 
−
 ÷
 
(A-2008)
60)
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 
+ + =
 ÷
 
(D-2007)
61)
2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − =
(B-2007)
62)
( ) ( )
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x+ + + = +
(A-2007)

63)
cos3 cos 2 cos 1 0x x x+ − − =
(D-2006)
64)
cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
+ + =
 ÷
 
(B-2006)
65)
( )
6 6
2 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(A-2006)
66)
1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x
+ + + + =
(B-2005)
67) Tìm

( )
0;2x
π
∈
thỏa mãn phương trình :
cos3 sin3
5 sin cos 2 3
1 2sin 2
x x
x x
x
+
 
+ = +
 ÷
+
 
(A-2002)
68)
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = −
(B-2002)
1.
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 

+ = +
 ÷
 

2 sin
sin cos
4
2 2 sin 2 2 sin
4 sin cos 4 sin cos
x
x x
x x
x x x x
π
π π
 
+
 ÷
+
   
 
⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
sin 0
4
4
1
2 sin 2 0
sin 2 0

sin cos 0
4 sin cos
sin 2 1
2sin cos 1
x
x k
x
x
x x
x x
x
x x
π
π
π
π

 

+ =
= − +
 ÷


 
  


⇔ + − = ⇔ ⇔
 ÷ ÷

≠


≠


  




=
=




10
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
sin 2 sin 1 0
4 2
(k Z)
4
sin 2 1 2 2
2 4
x k x
x k
x x k x k
π π
π

π
π
π π
π π

 
= − + ⇒ = − = − ≠
 ÷

 

⇔ ⇔ = ± + ∈

= ⇔ = + ⇔ = +


2. C1.
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

3 5 5 3
sin 2sin 2cos cosx x x x⇔ − = −
( ) ( )
3 2 3 2 3 3
sin 1 2sin cos 2cos 1 sin cos 2 cos cos 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
3 3 3
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1

sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

=
= =

 
C2.
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

( ) ( ) ( )
3 3 2 2 5 5
sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = +
( ) ( )
3 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2
sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos cos sinx x x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ − = −
( ) ( )
2 2
2 2

2 2 3 3
3 3
cos sin 0
cos sin 0
cos sin cos sin 0
cos sin
cos sin 0
x x
x x
x x x x
x x
x x

− =

− =
⇔ − − = ⇔ ⇔


=
− =


2 2
2 2
cos sin 0
cos sin 0 cos2 0
cos sin
x x
x x x

x x

− =
⇔ ⇔ − = ⇔ =

=

3.
2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x= +
( ) ( )
1 cos 2 1 cos4 1 cos6
cos4 cos 2 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
− − −
⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 cos cos3 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
4.
( )
6 6 8 8
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

6 8 8 6
sin 2sin 2cos cosx x x x⇔ − = −
( ) ( )
6 2 6 2 6 6

sin 1 2sin cos 2cos 1 sin cos 2 cos cos2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1
sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= ±
= =

 
6 .
6 6 2
13
cos sin cos 2
8
x x x− =

( ) ( )
3 3

2 2 2
13
cos sin cos 2
8
x x x⇔ − =
( ) ( )
2 2 4 4 2 2 2
13
cos sin cos sin sin cos cos 2
8
x x x x x x x⇔ − + + =
( )
2 2 2 2 2
1 1 13
cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 8 2sin 2 13cos 2
2 4 8
x x x x x x x
 
⇔ − + = ⇔ − =
 ÷
 
11
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
2
2 2
cos2 0
cos2 0 cos2 0
8 2 1 cos 2 13cos2
8 2sin 2 13cos 2 2cos 2 13cos 2 6 0

x
x x
x x
x x x x
=

= =
 
⇔ ⇔ ⇔

 
− − =
− = − + =

 

7.
1 3tan 2sin 2x x+ =
(*). Đặt
tant x=
( )
( )
3 2 2
2
4
(*) 1 3 3 1 0 1 3 2 1 0 1 tan 1
1
t
t t t t t t t t x
t

⇒ + = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ = − ⇒ = −
+
8.
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +

( )
3tan cos 2cos 3tan 2 cos 3tan 2 3tan 2x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +
cos 1
2
tan
3
x
x
=


⇔

= −

8.
3
sin 2 sin
4
x x
π
 
− =
 ÷
 

(*) . C1. Ta có :
2 sin sin cos
4
x x x
π
 
− = −
 ÷
 

( ) ( )
3 3
3 3
1
2 2 sin sin cos sin sin cos
4 4
2 2
x x x x x x
π π
   
⇔ − = − ⇔ − = −
 ÷  ÷
   
( ) ( )
3 3
1
(*) sin cos 2 sin sin cos 4sin
2 2
x x x x x x⇔ − = ⇔ − =
Vì

= ≠
3
cos 0 không thỏa mãn phương trình . Chia hai vế của phương trình cho cos 0 ta có :x x
( )
( )
( )
( )
3
2 2
tan 1 4 tan 1 tan tan 1 3tan 1 0 tan 1x x x x x x− = + ⇔ + + = ⇔ = −
C2.
( ) ( ) ( )
3 2
(*) sin cos 4sin sin cos sin cos 4sinx x x x x x x x⇔ − = ⇔ − − =

( ) ( )
2 2
sin cos 1 2sin cos 4sin cos 3sin 2sin cos 2sin cos 0x x x x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ − − − + =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
cos 2sin 1 sin 2cos 3 0 cos cos 2 2 sin cos 2 2 0x x x x x x x x⇔ − − + − = ⇔ − + − =
( ) ( )
cos 2 2 (loai)
cos2 2 cos sin 0
tan 1
x
x x x
x
=


⇔ − + = ⇔

= −

9.
( )
4 4
4 sin cos 3 sin 4 2x x x+ + =
2
1
4 1 sin 2 3sin 4 2
2
x x
 
⇔ − + =
 ÷
 
2
1
3 sin 4 2sin 2 2 3 sin 4 cos4 1 cos 4
3 2
x x x x x
π
 
⇔ − = − ⇔ + = − ⇔ − = −
 ÷
 
10.
( )

8 8 6 6
2 sin cos sin cosx x x x+ = +
8 6 6 8
2cos cos sin 2sinx x x x⇔ − = −
( ) ( )
6 2 6 2 6 6
cos 2cos 1 sin 1 2sin cos cos2 sin cos 2x x x x x x x x⇔ − = − ⇔ =
6 6 6
cos2 0 cos 2 0
cos2 0
tan 1
sin cos tan 1
x x
x
x
x x x
= =
=
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= ±
= =

 

12.
2 2

3
sin 2 2cos 0
4
x x− + =
( )
( )
2
4 1 cos 2 4 1 cos2 3 0x x⇔ − − + + =
12
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2 2
4 4cos 2 4 4cos 2 3 0 4cos 2 4cos 2 3 0x x x x⇔ − − − + = ⇔ + − =

1
cos2
2
3
cos2 1 (loai)
2
x
x

=

⇔


= − < −



13.
4 2
tan 4tan 3 0x x− + =
2
2
tan 1 tan
tan 1
4
tan 3
tan 3 tan
3
x
x
x
x
π
π

 
= ± = ±
 ÷


=
 

⇔ ⇔


=

 

= ± = ±

 ÷
 

14.
4 2
cos 2 2 cos 2x x= −
2
4 2
2
cos 2 1 sin 2 0
cos 2 cos 2 2 0
cos 2 2 1 (loai)
x x
x x
x

= ⇔ =
⇔ + − = ⇔

= >

15.
2 4
cos 2 4sin 3 0x x− + =
( )
2

2 4
1 2sin 4sin 3 0x x⇔ − − + =
2 4 4
1 4sin 4sin 4sin 3 0x x x⇔ − + − + =
2
sin 1 cos 0x x⇔ = ⇔ =
16.
2 2
cos cos 2 1x x= −
( )
2
2 2 2 4 2
cos 2cos 1 1 0 cos 4cos 4cos 1 1 0x x x x x⇔ = − − = ⇔ = − + − =
2
4 2
2
cos 0
4cos 5cos
5
cos 1 (loai)
4
x
x x
x

=

⇔ = ⇔

= >



17.
4
2cos 1 3cos 2x x+ =
( ) ( )
2
4 2 4 4 2
2cos 1 3 2cos 1 2cos 1 3 4cos 4cos 1x x x x x⇔ + = − ⇔ + = − +
2
4 2
2
2
sin 0 sin 0
cos 1
5cos 6cos 1 0
2 2
1
2cos 1 cos 2
cos
5 5
5
x x
x
x x
x x
x
= =

=

 

 
⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔

 
= + =
=

 

sin 0
3
cos2
5
x
x
=


⇔

= −

18.
2 2
2sin tan 2 (1)x x+ =
. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
C1.

2
2 2 2 2 2
2
sin
(1) 2sin 2 2sin cos sin 2cos
cos
x
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ + =
( )
2 2 2 2 2 4 2 2
2 1 cos cos 1 cos 2cos 2cos 2cos 1 cos 2cosx x x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =
2
4 2
2 2 2
cos 1 (loai)
2cos cos 1 0
1
cos 2cos 1 2cos 1 0 cos 2 0
2
x
x x
x x x x

= −

⇔ + − = ⇔

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =



C2.
2
2 2 2 4 2
2
2 tan
(1) tan 2 2tan tan tan 2 2 tan
1 tan
x
x x x x x
x
⇔ + = ⇔ + + = +
+
13
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2
4 2
2
tan 1
tan tan 2 0
tan 2 (loai)
x
x x
x

=
⇔ + − = ⇔

= −


19.
4
8sin 13cos 2 7 0x x+ − =
( )
4 2 4 2
8sin 13 1 2sin 7 0 8sin 26sin 6 0x x x x⇔ + − − = ⇔ − + =
2
4 2
2 2
1
sin
4
4sin 13sin 3 0
1 1
sin 3 1 (loai) 2sin 1 cos 2
2 2
x
x x
x x x

=

⇔ − + = ⇔


= > ⇔ = ⇔ − =


20.

4 4
3 3sin 5cos 0x x− − =
( ) ( )
2
2 4 2 4 4
3 3 1 cos 5cos 0 3 3 1 2cos cos 5cos 0x x x x x⇔ − − − = ⇔ − − + − =
( )
2
2
2
4 2
2
cos 0
cos 0
cos 0
8cos 6cos
2 1 cos2 3
2cos 2 1
4cos 3
x
x
x
x x
x
x
x


=
=


=
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔



+ =
=
=




cos 0
1
cos2
2
x
x
=


⇔

=

21.
2 2
tan cot 2x x+ =
2

2
1
tan 2
tan
x
x
⇔ + =
(1) . Ñieàu kieän :
tan 0x
≠
(1)
( )
2
4 2 2
tan 2tan 1 0 tan 1 0x x x⇔ − + = ⇔ − =
2
tan 1 tan 1x x⇔ = ⇔ = ±
22.
4
2
1
4 tan 2 (1)
cos
x
x
= +
. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
2
4 2 4 2

2
tan 1
(1) 4 tan 1 tan 2 4 tan tan 3 0
3
tan (loai)
4
x
x x x x
x

=

⇔ = + + ⇔ − − = ⇔

= −


23.
8 8
1
sin cos
8
x x+ =
( ) ( ) ( )
2 2 2
4 4 4 4 4 4
1 1
sin cos sin cos 2sin cos
8 8
x x x x x x⇔ + = ⇔ + − =

( )
2 4
4
2 2 4
1 1 1 1 1
1 sin 2 2 sin cos 1 sin 2 sin 2 2 sin 2
2 8 4 2 8
x x x x x x
   
⇔ − − = ⇔ − + − =
 ÷  ÷
   
2 4 4 2 4 4
1 1 1
1 sin 2 sin 2 sin 2 8 8sin 2 2sin 2 sin 2 1
4 8 8
x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =
2
4 2
2
sin 2 1
sin 2 8sin 2 7 0
sin 2 7 1 (loai)
x
x x
x

=
⇔ − + = ⇔


= >

24.
( ) ( )
2 1 sin 2 5 sin cos 3 0x x x− − − + =
( ) ( )
2
2 sin cos 5 sin cos 3 0x x x x⇔ − − − + =
2
sin cos 1 sin
4 2
3
sin cos 2 (loai)
2
x x x
x x
π

 
− = ⇔ − =

 ÷
 

⇔

− = >



14
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
25.
( ) ( )
5 1 sin 2 12 sin cos 7 0x x x+ − + + =
( ) ( )
2
5 sin cos 12 sin cos 7 0x x x x⇔ + − + + =

2
sin
sin cos 1
4 2
7
sin cos
7
sin
5
4
5 2
x
x x
x x
x
π
π

 
+ =
+ =



 ÷
 


⇔ ⇔


+ =
 
+ =


 ÷
 

27.
2
2
4 2
2 cos 5 cos 15 0
cos cos
x x
x x
   
+ + − − =
 ÷  ÷
   
28.

2
2
1 1
cos 2 cos 2 0
cos cos
x x
x x
   
+ − + + =
 ÷  ÷
   
2 2
1 1 1 1
cos 2 2 cos 2 cos 2 cos
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
       
⇔ + − = + − ⇔ + = +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
1
cos 0 (1)
cos
1
cos 2 (2)
cos
x
x
x

x

+ =

⇔


+ =


. Ñieàu kieän :
cos 0x ≠
2 2
(1) 1 cos 0 cos 1 (vn)x x⇔ + = ⇔ = −
2
(2) cos 2cos 1 0 cos 1x x x⇔ − + = ⇔ =
29.
2
2
1 1
cos cos
cos cos
x x
x x
+ = +

2 2
1 1 1 1
cos 2 cos cos cos 2 0
cos cos cos cos

x x x x
x x x x
     
⇔ + − = + ⇔ + − + − =
 ÷  ÷  ÷
     
1
cos 1 (1)
cos
1
cos 2 (2)
cos
x
x
x
x

+ = −

⇔


+ =


.Ñieàu kieän :
cos 0x
≠
2
(1) cos cos 1 0 (vn)x x⇔ + + =

( )
2
2
(2) cos 2cos 1 0 cos 1 0 cos 1x x x x⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
30.
2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos cos
x x
x x
 
+ = − +
 ÷
 

2
1 1
cos 2 2 cos 1
cos cos
x x
x x
   
⇔ − + = − +
 ÷  ÷
   
2
1 1
cos 2 cos 1 0

cos cos
x x
x x
   
⇔ − − − + =
 ÷  ÷
   
2
1 1
[cos 1] 0 cos 1 0
cos cos
x x
x x
⇔ − − = ⇔ − − =

2
cos cos 1 0x x⇔ − − =
1 5
cos 1 (loai)
2
1 5
cos
2
x
x

+
= >



⇔

−
=


15
Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
31.
2
2
1 1
2 cos 7 cos 2 0
cos cos
x x
x x
   
+ + − + =
 ÷  ÷
   
2 2
1 1 1 1
2 cos 2 7 cos 2 0 2 cos 7 cos 6 0
cos cos cos cos
x x x x
x x x x
 
       
⇔ − + + − + = ⇔ − + − + =
 

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
1
cos 2 (1)
cos
1 3
cos (2)
cos 2
x
x
x
x

− = −

⇔


− = −


. Ñieàu kieän :
cos 0x
≠
2
cos 1 2
(1) cos 2cos 1 0
cos 1 2 1 (loai)

x
x x
x

= − +
⇔ + − = ⇔

= − − < −


2
1
cos
(2) 2cos 3cos 2 0
2
cos 2 (loai)
x
x x
x

=

⇔ + − = ⇔

= −

32.
2
2
1 1

sin sin 0
sin sin
x x
x x
   
+ − + =
 ÷  ÷
   
2
1 1
sin sin 2 0
sin sin
x x
x x
   
⇔ + − + − =
 ÷  ÷
   

1
sin 1 (1)
sin
1
sin 2 (2)
sin
x
x
x
x


+ = −

⇔


+ =


. Ñieàu kieän :
sin 0x ≠
⇔ + + =
2
(1) sin sin 1 0 (voâ nghieäm)x x
2
(2) sin 2sin 1 0 sin 1x x x⇔ − + = ⇔ =
33.
2
2
1 1
4 sin 4 sin 7 0
sin sin
x x
x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   

2 2
1 1 1 1

4 sin 2 4 sin 7 0 4 sin 4 sin 15 0
sin sin sin sin
x x x x
x x x x
 
       
⇔ + − + + − = ⇔ + + + − =
 
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
 
1 3
sin (1)
sin 2
1 5
sin (2)
sin 2
x
x
x
x

+ =

⇔


+ = −



. Ñieàu kieän :
sin 0x
≠
⇔ − + =
2
(1) 2sin 3sin 2 0 (voâ nghieäm)x x
2
sin 2(loai)
(2) 2sin 5sin 2 0
1
sin
2
x
x x
x
= −


⇔ + + = ⇔

= −

34. C1 :
( )
2 2
tan cot 2 tan cot 6 (*)x x x x+ + + =

Ñieàu kieän :
sin cos 0 sin 2 0 (k Z)

2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
16
Chuyờn : PHNG TRèNH LNG GIC
( ) ( )
2
(*) tan cot 2 2 tan cot 6x x x x + + + =
( ) ( )
2
tan cot 2 tan cot 8 0x x x x + + + =
tan cot 2 (1)
tan cot 4 (2)
x x
x x
+ =



+ =

( )
2
2
1
(1) tan 2 tan 2tan 1 0 tan 1 0 tan 1
tan
x x x x x

x
+ = + = = =
2 2
sin cos 1
(2) 4 sin cos 4sin cos 2sin 2 1 sin 2
cos sin 2
x x
x x x x x x
x x
+ = + = = =
35.
( )
2 2
tan cot 5 tan cot 6 0 (*)x x x x+ + + + =

ẹieu kieọn :
sin cos 0 sin 2 0 (k Z)
2
k
x x x x


( ) ( )
2
(*) tan cot 2 5 tan cot 6 0x x x x + + + + =
tan cot 1 (1)
tan cot 4 (2)
x x
x x
+ =

+ =

38.
( ) ( )
3
sin cos 2 1 sin 2 sin cos 2 0x x x x x+ + + + =
( ) ( )
3 2
sin cos 2 sin cos sin cos 2 0x x x x x x + + + + =
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =
ữ

. ieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( )

( )
3 2 2
2 2 0 2 1 0 2t t t t t t + = + = =

39.
( )
2 sin cos tan cotx x x x+ = +
( )
sin cos
2 sin cos
cos sin
x x
x x
x x
+ = +
( )
2 sin cos sin cos 1x x x x + =
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =
ữ

. ieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( ) ( )
3 2
2 0 2 2 1 0 2t t t t t t = + + = =
40.
3 3
sin cos sin 2 sin cosx x x x x+ = + +
( ) ( )
sin cos 1 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x x + = + +
t
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x



= + = =
ữ

. ủieu kieọn:
2t
.
Phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
( )

( )
3 2 2
1
2 2 0 1 2 5 0
2 ( )
t
t t t t t t
t loai
=

+ = + + =

=

41.
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
+ + + =
( )
1 10
sin cos 1
sin cos 3
x x
x x

+ + =
ữ

17
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Đặt
2
1
sin cos 2 cos sin cos
4 2
t
t x x x x x
π
−
 
= + = − ⇒ =
 ÷
 
.
điều kiện:
2t ≤
. Phương trình trở thành :
( )
( )
3 2 2
t = 2
2 19
3 10 3 10 0 2 3t 4t 5 = 0 t =
3
2 19
t = ( )
3

t t t t
loai



−

− + + = ⇔ − − − ⇔


+




57.Đại học An Giang khối D năm 2000
2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x+ + =

( )
cos2 cos 4 cos6 0 cos4 2cos 2 1 0x x x x x⇔ + + = ⇔ + =

cos4 0
1
cos2
2
x

x
=


⇔

= −

58. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999
1 1
2 2 sin
4 sin cos
x
x x
π
 
+ = +
 ÷
 
2 sin
sin cos
4
2 2 sin 2 2 sin
4 sin cos 4 sin cos
x
x x
x x
x x x x
π
π π

 
+
 ÷
+
   
 
⇔ + = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
sin 0 sin 0
2 sin 0
4 4
4
sin cos 0 sin 2 0
1
2
2sin cos 1 sin 2 1
sin cos
x x
x
x x x
x x x
x x
π π
π
 
   

 
+ = + =

+ =
 ÷  ÷
 
 ÷

   
 
 

⇔ ⇔ ⇔
 
≠ ≠
 

=
 
 

= =

 
 
sin 2 sin 1 0
4 2
sin 2 0
4
sin 2 1 2 2
2 4
x k x
x k

x
x x k x k
π π
π
π
π
π π
π π

 
= − + ⇒ = − = − ≠
 ÷

 

⇔ ⇔ = ± +

≠





= ⇔ = + ⇔ = +




59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999
cos cos 2 cos3 cos4 0x x x x+ + + =

cos 0
5 5
4cos .cos .cos 0 cos 0
2 2 2
cos 0
2
x
x x x
x
x


=


⇔ = ⇔ =



=

.
60. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
( )
3 3 5 5
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +
18
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( ) ( ) ( )
3 3 2 2 5 5

sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x⇔ + + = +
( ) ( )
3 2 2 3 5 5 3 2 2 3 2 2
sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sinx x x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ − = −
3 3
3 3
cos2 0
cos2 0 cos 2 0
cos2 sin cos2 cos
sin cos tan 1
sin cos
x
x x
x x x x
x x x
x x
=
= =

 
⇔ = ⇔ ⇔ ⇔

 
= =
=
 

61. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
2 2 2
sin cos 2 cos 3x x x= +

( ) ( )
1 cos 2 1 cos4 1 cos6
cos2 cos 4 1 cos6 0
2 2 2
x x x
x x x
− + +
⇔ = + ⇔ + + + =
( )
2
2cos3 cos 2cos 3 0 2cos3 cos cos3 0 4cos3 .cos 2 .cos 0x x x x x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
cos3 0
cos2 0
cos 0
x
x
x
=


⇔ =


=


62. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999
( )
6 6 8 8
sin cos 2 sin cosx x x x+ = +

( ) ( )
6 2 6 2
sin 1 2sin cos 2cos 1 0x x x x⇔ − + − =

( )
6 6
cos2 sin cos 0 cos 2 0x x x x⇔ + = ⇔ =

64. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000
6 6
13
cos sin
8
x x− =

( )
2
cos2 2cos 2 13cos 2 6 0x x x⇔ − + =

cos2 0
cos2 6 ( )
1
cos2
2
x
x loai
x


=


⇔ =


=


66. Học Viện Quân Y khối B năm 2001
3sin 2cos 2 3tanx x x+ = +
( )
3tan .cos 2cos 2 3tan cos 3tan 2 2 3tanx x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = +
.
2
3tan 2 0
tan
3
cos 1
cos 1
x
x
x
x

+ =
= −


⇔ ⇔



=

=


67. Đại Học Sư Phạm Hà Nội khối B năm 2000
3
4cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
19
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
( )
3 2
4cos 6 2 sin cos 8cos 2cos 2cos 3 2 sin 4 0x x x x x x x⇔ + = ⇔ + − =
( )
2
cos 0
2cos 2sin 3 2 sin 2 0 sin 2 ( )
2
sin
2
x
x x x x loai
x


=

⇔ − + = ⇔ =




=



69. Đại Học Sư Phạm Hải Phòng khối B năm 2001
3
sin 2 sin (*)
4
x x
π
 
+ =
 ÷
 
.
Đặt :
4 4
t x x t
π π
= + ⇒ = −
( )
3 3 2
(*) sin 2 sin sin sin cos sin 1 cot sin cos
4
t t t t t t t t t
π
 
⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = −
 ÷

 

( )
cost 0 cost 0
cos 1 sin cot 0
sin cos 1 sin 2 2 ( )
2 4
t t t t k x k
t t t vn
π π
π π
= =
 
⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔ = + ⇔ = +
 
= =
 
70. Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh khối D năm 2000
( )
4 4
4 sin cos 3 sin 4 2x x x+ + =
2 2
1
4 1 sin 2 3sin 4 2 2sin 2 3sin 4 2
2
x x x x
 
⇔ − + = ⇔ − + = −
 ÷
 

1 3 1 1
cos4 3sin 4 1 cos 4 sin 4 cos 4
2 2 2 3 2
x x x x x
π
 
⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ − = −
 ÷
 
71. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 1997
( )
2
4cos cos3 6cos 2 1 cos 2x x x x− = − +
( )
2 3 2
4cos 4cos 3cos 6cos 4cosx x x x x⇔ − − = −
( )
3 2
4cos 3cos 0 cos 4cos 3 0 cos 0x x x x x⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
72. Đại Học Thái Nguyên khối D năm 2000
( ) ( ) ( )
sin 2 4 cos sin 4 1 sin 2 4 cos sin 3 0x x x x x x+ − = ⇔ − − − + =
( ) ( )
2
cos sin 4 cos sin 3 0x x x x⇔ − − − + =
cos sin 1
2 cos 1
cos sin 3 ( )
4
x x

x
x x vn
π
− =

 
⇔ ⇔ + =
 ÷

− =
 

72. Đại Học Văn Hóa Hà Nội khối D năm 2001
20
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
s 2cos cos 2 2sin cos 0inx x x x x
+ + − =
( )
2
sin 1 2sin 2cos 1 sin 0x x x x⇔ + − + − =
( ) ( )
sin 1
sin 1
1 sin 2sin 2cos 1 0
1
sin
2(sin cos ) 1
4
2 2
x

x
x x x
x
x x
π
=

=


⇔ − + + = ⇔ ⇔
 


+ = −
+ = −

 ÷

 

73. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
4 6
cos sin cos 2x x x+ =
4 6 4 4 6 4
cos sin cos sin sin sin 0x x x x x x⇔ + = − ⇔ + =

( )
4 2
2

sin 0
sin sin 1 0
1 sin 0 ( )
x
x x
x vn
=

⇔ + = ⇔

+ =

.
74. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1997
3 3 1
cos .cos .cos sin .sin . in
2 2 2 2 2
x x x x
x x s− =
( ) ( )
1 1 1
cos cos cos2 sin cos cos 2
2 2 2
x x x x x x⇔ + − − =
2 2
cos cos cos 2 sin cos sin cos2 1 cos cos2 sin cos 2 sin sin cosx x x x x x x x x x x x x x⇔ + − + = ⇔ + = +
( ) ( ) ( ) ( )
cos2 cos sin sin sin cos cos sin cos 2 sin 0x x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + − =
( )
( )

( )
( )
2 2
cos sin 1 2sin sin 0 cos sin 2sin sin 1 0x x x x x x x x⇔ + − − = ⇔ + + − =
tan 1
sin 1
1
sin
2
x
x
x


= −

⇔ = −


=


.
75. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
2 2 2
sin 3 sin 2 in 0x x s x− − =
( )
2 2
1 cos6 1 cos 2 1
sin 2 0 cos2 cos6 sin 2 0

2 2 2
x x
x x x x
− −
⇔ − − = ⇔ − − =
( )
2 2 2 2
sin 4 sin 2 sin 2 0 2sin 2 cos2 sin 2 0 sin 2 2cos2 1 0x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
.
76. Đại Học Y Khoa Hà Nội khối B năm 1998
( )
2 cot 2 cot3 tan 2 cot 3x x x x− = +
.
Điều kiện :
sin 2 0 ; sin 3 0 ; cos2 0x x x≠ ≠ ≠
cos 2 cos3 sin 2 cos3
2(cot 2 cot3 ) tan 2 cot 3 2
sin 2 sin 3 cos 2 sin 3
x x x x
x x x x
x x x x
 
− = + ⇔ − = +
 ÷
 
( )
2
3
2sin cos2 cos
2sin cos

0 sin 0 ( )
sin 2 sin 3 sin 3 cos2 sin 2 sin3 cos 2
x x x
x x
x loai
x x x x x x x
−
⇔ = ⇔ = ⇔ =
do đk
sin 2 0x
≠
Vậy phương trình vô nghiệm.
77. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh khối B năm 1997
21
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
3
sin sin 2 sin3 6cosx x x x+ =
2 3 3
2sin cos 3sin 4sin 6cosx x x x x⇔ + − =
( )
( )
3 2 2
tan 2 tan 3tan 6 0 tan 2 tan 3 0x x x x x⇔ − − + = ⇔ − − =
86. Đại Học Dân Lập Văn Lang năm 1997 khối B & D
3cos cos 2 cos3 1 2sin sin 2x x x x x
+ − + =
(1)
Đặt
cost x=
(1)

( )
2 3 2
3 2 1 4 3 1 4 4t t t t t t⇒ + − − + + = −

2
0 cos 0
2 2 0
1 cos 1
t x
t t
t x
= =
 
⇔ + = ⇔ ⇒
 
= − = −
 
87. Đại Học Thủy Sản năm 1997 khối A
4 4
cos sin sin 2
2 2
x x
x− =

2 2
cos sin sin 2 cos 2sin cos
2 2
x x
x x x x⇔ − = ⇔ =

cos 0
1
sin
2
x
x
=


⇔

=

88. Trung Học Kỹ Thuật Y Tế 3 năm 1997
( ) ( )
2
2sin 1 2sin 2 1 3 4cosx x x− + = −
( )
2
2sin sin 2 2sin 2sin 2 1 3 4 1 sinx x x x x⇔ + − − = − −
2 2
sin 0
8sin cos 2sin 4sin cos 4sin
4sin cos 1 2cos 2sin
x
x x x x x x
x x x x
=

⇔ + − = ⇔


+ − =

( )
sin 0
4sin cos 2 sin cos 1 0
x
x x x x
=

⇔

− + + =

92. Đại Học Ngoại Thương năm 1997 khối D
2
2 tan cot 3
sin 2
x x
x
+ = +
2sin cos 1
3 (1)
cos sin sin cos
x x
x x x x
⇔ + = +
. Điều kiện :
sin 0
sin cos 0

cos 0
x
x x
x
≠

≠ ⇔

≠

2 2 2 2
2sin cos 3 sin cos 1 1 sin 3 sin cos 1 sin 3 sin cosx x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ =
sin 0 ( )
sin 3 cos tan 3
x loai
x x x
=

⇔

= ⇔ =

93. Đại Học Bách Khoa Hà Nội năm 1994
2 2
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0 (*)
cos
x x x
x
+ − −

=
.
Điều kiện :
cos 0x ≠
( )
( )
2 2
(*) 4 1 cos 2 3 1 cos2 9 3cos 2 0 2cos 2 3cos2 1 0x x x x x⇔ − + − − − = ⇔ + + =

cos2 1
1
cos2
2
x
x
= −


⇔

= −

22
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
96. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1995
3 3
1
sin cos cos sin
4
x x x x− =

( )
2 2
1 1 1 1 1
sin .cos sin cos sin 2 cos2 sin 4
4 2 4 4 4
x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = ⇔ − =
97. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
4 2 2 4
3cos 4cos sin sin 0x x x x− + =

2
4 2
2
tan 1
tan 4tan 3 0
tan 3
x
x x
x

=
⇔ − + = ⇔

=

98. Đại Học Kỹ Thuật TP. Hồ Chí Minh năm 1998
3
sin 2 sin
4
x x

π
 
− =
 ÷
 
( )
3
3
1
(sin cos ) 2 sin sin cos 4sin
2
x x x x x x
 
⇔ − = ⇔ − =
 
 
( )
3
3 2
3
3 2 3
sin cos 4sin
(tan 1) 4tan 1 tan
cos cos
tan 3tan 3tan 1 4tan 4tan
x x x
x x x
x x
x x x x x
−

 
⇔ = ⇔ − = +
 ÷
 
⇔ − + − = +
3 2
3tan 3tan tan 1 0x x x⇔ + + + =
tan 1
tan 3
x
x
= ±

⇔

= ±

99. Đại Học Y Dược TP. Hồ Chí Minh năm 1998
2
1 2 5
tan 0
2 cos 2
x
x
− + =
2 2
1 1 2 5 1 4
1 0 4 0
2 cos cos 2 cos cosx x x x
 

⇔ − − + = ⇔ − + =
 ÷
 

2
1 1
2 0 cos
cos 2
x
x
 
⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
101. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1995
2
tan 2 cot 8cosx x x+ =
2
sin 2 cos
8cos (*)
cos2 sin
x x
x
x x
⇔ + =
. Điều kiện :
cos2 0
sin 0
x
x

≠


≠


2 2
cos 0
sin 2 sin cos2 cos
(*) 8cos cos 8cos cos2 sin
8cos cos 2 sin 1
cos2 sin
x
x x x x
x x x x x
x x x
x x
=

+
⇔ = ⇔ = ⇔

=

cos 0
cos 0 cos 0
(tmdk)
1
4cos 2 sin 2 1 2sin 4 1
sin 4

2
x
x x
x x x
x
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
 

= =
=
 

102. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
2
(sin 2 3 cos 2 ) 5 cos 2
2
x x x
π
 
+ − = −
 ÷
 
23
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
2

1 3
4( sin 2 cos 2 ) cos 2 5 0
2 2 2
x x x
π
 
⇔ + − − − =
 ÷
 
. Điều kiện
2
5
cos 2 ( )
2 4
4cos 2 cos 2 5 0
2 2
cos 2 1
2
x loai
x x
x
π
π π
π

 
− =
 ÷

 

   

⇔ − − − − = ⇔
 ÷  ÷

   
 
− = −

 ÷
 


103. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1996
( ) ( )
3 cot cos 5 tan sin 2 (*)x x x x− − − =
Điều kiện
cos 0
sin 0
x
x
≠


≠

( ) ( )
cos sin
(*) 3 cot cos 1 5 tan sin 1 0 3 cos 1 5 sin 1 0
sin cos

x x
x x x x x x
x x
   
⇔ − + − − + = ⇔ − + − − + =
 ÷  ÷
   
cos sin cos sin sin sin cos cos
3 5 0
sin sin
x x x x x x x x
x x
− + − +
   
⇔ − =
 ÷  ÷
   

( )
cos sin cos sin 0 (1)
3 5
cos sin cos sin 0
3 5
sin cos
(2)
sin cos
x x x x
x x x x
x x
x x

− + =

 

⇔ − + − = ⇔
 ÷

=
 

2
1 2
(1) 2 1 0 ( sin cos 2 sin 2)
4
1 2 ( )
t
t t t x x x t
t loai
π

= −
 
⇔ − − = ⇔ = + = + ⇒ ≤

 ÷
 
= +


1 2

sin
4
2
x
π
−
 
⇔ + =
 ÷
 
3 5 3
(2) tan
sin cos 5
x
x x
⇔ = ⇔ =
104. Đại Học Giao Thông Vận Tải năm 1998
( )
tan cot 2 sin 2 cos2x x x x+ = +
Điều kiện :
cos 0
sin 2 0
sin 0
x
x
x
≠

⇔ ≠


≠

( ) ( ) ( )
sin cos 1
tan cot 2 sin 2 cos2 2 sin 2 cos 2 2 sin 2 cos2
cos sin sin cos
x x
x x x x x x x x
x x x x
+ = + ⇔ + = + ⇔ = +
( ) ( )
2
2
2 sin 2 cos2 1 sin 2 sin 2 cos2 1 sin 2 sin 2 cos 2
sin 2
x x x x x x x x
x
⇔ = + ⇔ = + ⇔ = +
2
cos 2 0
cos 2 sin 2 cos 2 (tm)
tan 2 1
x
x x x
x
=

⇔ = ⇔

=


24
Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
106. Đại Học Kiến Trúc Hà Nội năm 1995 khối A
1 1 1
cos sin 2 sin 4x x x
+ =
Điều kiện :
sin 4 0x ≠
1 1 1 1 1 1
cos sin 2 sin 4 cos 2sin cos 2sin cos cos 2x x x x x x x x x
+ = ⇔ + =
2
2sin cos2 cos 2 1 0 2sin cos 2 1 cos2 2sin cos2 2sinx x x x x x x x x⇔ + − = ⇔ = − ⇔ =
sin 0 ( )
cos2 sin cos
2
x loai
x x x
π
=


⇔
 

= = −
 ÷

 


107. Đại Học Kinh Tế Quốc Dân năm 1998 khối A
1
cos cos2 cos 4 cos8
16
x x x x =
(*)
Xét sinx = 0 thì phương trình không thỏa.
Vậy (*)
⇔

1
sin cos cos2 cos 4 cos8 sin
16
x x x x x x=

sin16 sinx x
⇔ =
108. Đại Học Kinh Tế năm 1995
( )
2
cos 2sin 3 2 2cos 1
1 (*)
1 sin 2
x x x
x
+ − −
=
+
. Điều kiện :

sin 2 1
4
x x k
π
π
≠ − ⇔ ≠ − +
2 2
(*) sin 2 3 2 cos 2cos 1 1 sin 2 2cos 3 2 cos 2 0x x x x x x⇔ + − − = + ⇔ − + =
cos 2 ( )
2
cos
2
x loai
x

=

⇔

=


109. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1995
( )
4sin 2 3cos 2 3 4sin 1x x x− = −
( )
2
8sin cos 3 1 2sin 12sin 3x x x x⇔ − − = −
( )
sin 0

sin 4cos 3sin 6 0
4cos 3sin 6 (vn)
x
x x x
x x
=

⇔ + − = ⇔

+ =

110. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
2
tan tan .tan 3 2x x x− =
Điều kiện :
cos 0
cos3 0
x
x
≠


≠

( )
2
2
sin sin 2 2sin cos
tan tan .tan 3 2 tan tan tan 3 2 2 2
cos cos cos3 cos cos cos3

x x x x
x x x x x x
x x x x x x
− −
− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
2 2 4 2 4 2
sin cos cos3 cos 1 4cos 3cos 4cos 4cos 1 0x x x x x x x x⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − + =
( )
2
2
2cos 1 0 cos 2 0x x⇔ − = ⇔ =
111. Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 1996
25