Luận văn thạc sĩ VNU UET tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu composite cốt sợi đồng phương luận văn ths cơ học 60 44 21

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN TIẾN ĐẮC

TÍNH TỐN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG
CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE
CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, năm 2012

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

NGUYỄN TIẾN ĐẮC

TÍNH TỐN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG
CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE
CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG
Chuyên ngành

: Cơ học vật thể rắn

Mã số

: 60 44 21

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC

Hà Nội, năm 2012
1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỤC LỤC
Trang

Lời cảm ơn.................................................................................................................1
Mở đầu .................................................................................................................. 2
Chƣơng 1. Tổng quan về vật liệu composite cốt sợi đồng phƣơng ..................... 4
1.1. Mơ hình ............................................................................................................... 4
1.2. Ngun lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite ............................................... 9
1.3. Mối quan hệ ứng suất - biến dạng của composite cốt sợi đồng
phương................16

Chƣơng 2. Xác định các module đàn hồi của vật liệu composite hai pha
cốt sợi đồng phƣơng ............................................................................................ 20
2.1. Phương pháp xấp xỉ thể tích ............................................................................... 20
2.2. Xác định module đàn hồi Young E11 .................................................................. 20
2.3. Xác định module khối biến dạng phẳng K23 ....................................................... 28

2.3.1. Đặt và giải bài toán .................................................................................... 28
2.3.2. Ví dụ minh họa .......................................................................................... 34

Chƣơng 3. Xác định hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha
cốt sợi đồng phƣơng độn hạt cầu ....................................................................... 34
3.1. Đặt vấn đề .......................................................................................................... 34
3.2. Xác định hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt
cầu ............................................................................................................................ 35
3.2.1. Hệ số giãn nở nhiệt của nền giả định .......................................................... 35
3.2.2. Hệ số giãn nở nhiệt của composite hai pha cốt sợi đồng phương ................ 34
3.2.3. Hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt
cầu...........................................................................................................................37
3.3.Ví dụ bằng số.........................................................................................................39

Kết luận ............................................................................................................... 48
Phụ lục.....................................................................................................................46

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Tài liệu tham khảo ............................................................................................ 497

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


MỞ ĐẦU

Composite là vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều vật liệu có bản chất khác
nhau, nhằm mục đích tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những
thành phần ban đầu. Nhờ những thuộc tính ưu việt hơn hẳn các vật liệu truyền thống
mà ngày nay vật liệu composite đã được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế cuộc sống,
trong các lĩnh vực khác nhau như xây dựng, chế tạo máy, trong giao thông vận tải,
công nghiệp nặng, công nghiệp dân dụng, thậm chí cả trong y học và đặc biệt là ứng
dụng trong thiết kế chế tạo các kết cấu hàng khơng, vũ trụ hiện đại,…
Đến nay, có hai cách phân loại vật liệu composite: dựa vào cấu trúc của thành
phần cốt hoặc bản chất của vật liệu nền. Theo cơ học, composite được phân loại dựa
vào cấu trúc của các thành phần cốt, bao gồm composite độn hạt, composite cốt sợi
đồng phương, composite phân lớp, composite có cấu trúc khơng gian, composite tạp
lai. Theo công nghệ, composite được phân loại dựa trên bản chất của vật liệu nền, bao
gồm các loại cơ bản như composite polime, composite kim loại, composite gốm,
composite cacbon, nano composite (khi có một thành phần composite có cấu trúc
nano).
Trong khn khổ luận văn này, chúng tơi chỉ đi sâu nghiên cứu vào loại vật
liệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một số module đàn hồi
độc lập của compostite hai pha và đưa ra một phương án xác định các hệ số giãn nở
nhiệt của composite ba pha, qua đó góp phần xác định được ứng xử cơ học của vật
liệu composite cốt sợi đồng phương.
Vấn đề xác định module đàn hồi cho composite cốt sợi đồng phương đã được
nhiều tác giả nghiên cứu như Christensen, Pobedria, Vanin [8]...Cách tiếp cận là dựa
trên các phương pháp như tìm các biểu thức giới hạn nhờ các định lý biến phân năng
lượng, tìm lời giải giải tích, phương pháp xác định bằng thực nghiệm. Theo cách tìm
các biểu thức giới hạn, người ta sử dụng các định lý biến phân năng lượng (định lý thế

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

năng toàn phần) để xác định các cận trên và cận dưới của các module đàn hồi. Tuy
nhiên, phương pháp trên dẫn đến các cận, xa với thực tế và chỉ xác định khoảng gần
đúng các module này. Trong khi đó, phương pháp tìm lời giải giải tích thơng qua các
hàm năng lượng. Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp này được tìm dựa vào
các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số nhưng tính tốn khá phức tạp.
Các cách tiếp cận như vậy đã ứng dụng nguyên lý Esenpi, sử dụng các hàm
năng lượng…Ưu điểm của của những phương pháp đó là cho phép đưa ra lời giải với
độ chính xác khá cao, vấn đề ở chỗ khi giải quyết bài toán ta thường gặp rất nhiều khó
khăn.
Theo cách tiếp cận mới, phương pháp xấp xỉ thể tích đã được giới thiệu trong
các bài báo của PGS.TSKH.Nguyễn Đình Đức và những người khác. Ưu điểm của
phương pháp này dễ nhận thấy là đơn giản, gần gũi, dễ tiếp cận. Việc mơ hình hố
dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích thường đưa về giải các bài tốn cơ bản của lý
thuyết đàn hồi để tìm các hằng số đàn hồi.
Dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích, luận văn đã đề ra mục tiêu xác định
module đàn hồi K23 - module khối biến dạng phẳng của vật liệu composite cốt sợi
đồng phương thơng qua bài tốn kéo trụ đều mọi phía theo phương ngang với lực
kéo khơng đổi. Bên cạnh đó, luận văn cũng đề xuất một phương án nhằm xác định
biểu thức của các hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng
phương độn hạt cầu như là hàm của các đặc trưng đàn hồi thành phần, các hệ số giãn
nở nhiệt thành phần, tỉ lệ thể tích của thành phần sợi và hạt.

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU COMPOSTE CỐT SỢI
ĐỒNG PHƢƠNG

1.1. Mơ hình vật liệu composite cốt sợi đồng phƣơng
Composite cốt sợi đồng phương được cấu tạo từ các sợi song song theo một
phương cơ bản nằm trong vật liệu nền. Sợi được sử dụng trong vật liệu có thể làm
dưới dạng liên tục như sợi dài, hoặc có thể dưới dạng gián đoạn như sợi ngắn,
vụn,…Khi chế tạo vật liệu, chúng ta hồn tồn có thể điều chỉnh được sự phân bố,
phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật liệu có cơ lý tính khác nhau. Khi đó, ta cần chú ý đến bản chất của vật liệu thành phần, tỉ lệ của
các vật liệu tham gia và phương của sợi.
Bây giờ, ta đưa ra một mặt cắt ngang mô tả vật liệu có cấu trúc tuần hồn được
minh họa trong hình vẽ 1.1:

Hình 1.1: Mơ hình vật liệu composite cốt sợi đồng phương.
Ta xét một phần tử đại diện trong trường hợp tổng qt là một hình bình hành
có chiều dài 2 cạnh a, b. Ta gọi nó là hình bình hành mắt xích chu kì tuần hồn. Trong
mỗi mắt xích này các sợi đồng phương được bố trí sao cho các đỉnh của hình bình
hành trùng với tâm của mỗi sợi (các sợi có tiết diện trịn với bán kính R). Khi đó, toạ
độ các điểm cắt trục của những sợi đồng phương trên mặt  x1 , x 2  (còn phương cơ
bản theo phương x 3 ) sẽ là:

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 x  ma
với m, n = 0, 1, 2,.....

 x  nb
1

2

Xét các trường hợp riêng:
+) a=b=1,    / 2 . Khi đó, hình bình hành trở thành hình vng và cấu trúc được
gọi là cấu trúc hình vng.

Hình 1.2: Cấu trúc hình vng.

Trong mơ hình composite có cấu trúc hình vng này, chúng ta thấy bán kính
R đạt giá trị tối đa là 1/2 và có sự phân bố thể tích sợi trong composite ( a   R )
2

phụ thuộc vào R:

0 R

1
2

;

0  a 


4

 0.785

Như vậy, đối với trường hợp này, phân bố thể tích sợi trong composite đạt mức tối đa
là 78.5%.

Hình 1.3: Mô tả mặt cắt của phần tử đại diện có cấu trúc hình vng.
+) a=b=1,    / 3 . Khi đó, cấu trúc có dạng tam giác đều.

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Từ trước đến nay, nhiều bài toán về composite khi xem xét các phần tử đại diện
đều được giả thiết là có cấu trúc tuần hồn với mỗi mắt xích tuần hoàn là một phần tử
đại diện. Cách tiếp cận mà các bài tốn đó hướng tới dựa trên quan điểm vi mô.
Trong khuôn khổ luận văn này, ta xem vật liệu nền và sợi đều là những vật liệu
đàn hồi đồng nhất, đẳng hướng. Hơn nữa, các sợi là dài liên tục và có dạng hình trụ
trịn. Miền vật liệu nền sẽ ký hiệu là S, miền cốt sợi có tâm đi qua điểm (m,n) trong
mặt phẳng  x 1 , x 2  là Amn . Biên của nền và sợi Amn là  mn . Mắt xích chu kỳ tuần
hồn trên mặt có chiều dài cạnh bằng đơn vị (xem hình vẽ 1.3).
Khi đó, tenxơ hằng số đàn hồi của composite đang xét là hàm tuần hoàn của x 1 , x 2
và không phụ thuộc vào x 3 :

Cijkl ( x1 , x 2 )   ( x1 , x 2 ) ij kl   ( x1 , x 2 )( ik jl   il jk )

(1.1)

trong đó:


 ( x1 , x 2 )   1
 2

khi

 1

khi

 2

khi

khi

 ( x1 , x 2 )  


x S

x  Amn

xS

x  Amn

Theo một số tác giả [3], thực nghiệm chỉ ra vật liệu composite cốt sợi đồng
phương là đẳng hướng ngang, do đó nó có 5 hằng số đàn hồi độc lập. Đối với trường
hợp này, bài toán xác định các module đàn hồi thực chất là đi tìm các biểu thức của 5
module đàn hồi khi ta đã biết các đặc trưng cơ học và hình học của các vật liệu thành
phần, ví dụ như module đàn hồi của các sợi, vật liệu nền, độ dài sợi, tỉ lệ khối lượng,
tỉ lệ thể tích...Cơ tính của sợi và nền trong vật liệu được đặc trưng bởi các module đàn
hồi. Để tiện cho việc sử dụng, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu:
+ Đặc trưng cho cốt sợi là E1 ,1 .

+ Đặc trưng cho vật liệu nền là E 2 , 2 .
+ Tỉ lệ thể tích của pha sợi trong nền là  .
Hơn nữa, ta bổ sung thêm các giả thiết sau:
+ Các sợi có cùng các đặc trưng về kích thước như mặt cắt trịn, chiều dài...

8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


+ Sự phân bố các sợi trong nền là đều, có cấu trúc tuần hồn.

Hình 1.4: Hình dạng các cốt sợi trong vật liệu nền.
Với những đặc tính vuợt trội, vật liệu composite thực sự đã trở thành loại vật
liệu then chốt trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đặc biệt là ngành công
nghiệp nặng, hàng không vũ trụ. Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ hiện
đại đã đưa đến nhu cầu to lớn về vật liệu, đặc biệt là vật liệu composite với những đặc
tính hơn hẳn các vật liệu thơng thường khác. Composite với các sợi độn đồng phương
cũng là một trong các dạng phân loại theo cơ học của vật liệu composite, đem lại
những ứng dụng hữu ích cho khoa học kĩ thuật và thực tế đời sống.
Trong composite cốt sợi đồng phương, các sợi độn đóng vai trị quan trọng
trong việc tạo ra các vật liệu composite có tính năng nổi trội. Bằng cách dựa vào đặc
tính và mật độ của các sợi trong thành phần nền, chúng ta có thể tạo nên những vật
liệu có đặc điểm phù hợp với nhu cầu và mục đích sử dụng như đặc tính cơ lí, tính dễ
gia cơng, chi phí gia cơng vật liệu… Khi chế tạo vật liệu, ta có thể điều chỉnh được sự
phân bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật
liệu có cơ lí tính khác nhau.
Để giúp cho việc chế tạo kết cấu chi tiết composite, luận văn muốn giới thiệu
sơ lược về công nghệ pulltrusion [1]. Công nghệ này là q trình cơng nghệ chế tạo
các kết cấu composite bằng cách kéo liên tục các sợi cốt, được tẩm qua nhựa nền

thông qua những khuôn tạo dáng nóng (hình 1.5). Một trong những ví dụ về sản phẩm
của phương pháp này là các dầm, cốt của bê tơng trong xây dựng, có hình dáng hệt
như thép nhưng lại được chế tạo từ composite (những dầm như vậy có cấu trúc cốt sợi

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


đồng phương). Q trình cơng nghệ này, về thực chất giống như công nghệ extrusion,
chỉ khác nhau ở chỗ: trong công nghệ extrusion, lực ép đẩy vật liệu qua khuôn tạo
dáng là áp lực được tạo ra từ trong máy đúc ép, cịn trong cơng nghệ pulltrusion, vật
liệu được kéo qua khuôn đúc nhờ tác động của lực kéo bên ngoài, được tạo ra nhờ
thiết bị kéo (điểm số 7 trên hình 1.5 - hai con lăn quay áp sát vào dầm composite tạo
ra sức kéo liên tục).

Hình 1.5: Sơ đồ chế tạo composite theo phương pháp pulltrusion.

Trong sơ đồ của hình 1.5, sợi cốt (điểm số 1 trong hình), trực tiếp được tẩm qua bình
chứa nhựa nền ướt (điểm số 2), sau đó được bóp, gạt lại những nhựa thừa (điểm số 3)
và được kéo qua khuôn tạm thời (điểm 4) để tạo dáng tương đối, sau đó được kéo qua
khn đúc nóng để tạo dáng kết cấu đúng theo yêu cầu cần chế tạo - thiết kế (điểm 5),
rồi sau đó sản phẩm được đưa qua lị nung (điểm 6) để làm đơng rắn hồn tồn.
Phương pháp cơng nghệ pulltrusion có ưu điểm là sản phẩm nhận được có độ chính
xác cao, có thể chế tạo kết cấu composite có chiều dài tuỳ ý, hệ số sử dụng vật liệu
cao (đến 95%), điều chỉnh được chính xác tỷ lệ phân bố nền-cốt sợi trong composite,
có năng suất khá lớn (có thể đến 1,5 m/ph).
Mọi thiết bị của quá trình cơng nghệ pulltrusion như giá mắc, bể chứa, khn đúc, lị
nung, con lăn kéo,...đều đơn giản và có thể dùng được cho những phương pháp công
nghệ khác.

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Các dầm cốt bằng vật liệu composite cốt sợi các bon dọc theo hướng tâm của loa phụt
của động cơ tên lửa cũng được chế tạo theo phương pháp này.
Với vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu vật liệu composite cốt sợi đồng phương có ý
nghĩa khoa học và thực tiễn.

1.2. Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite
Nhiều bài tốn tìm module đàn hồi của vật liệu composite đã sử dụng phương
pháp năng lượng để giải quyết vấn đề. Luận văn xin giới thiệu khái quát nguyên lý
năng lượng do Esenpi xây dựng, nguyên lý này có những ứng dụng quan trọng trong
cơ học vật liệu composite [8].
Theo Esenpi, môi trường composite độn là vô hạn chỉ chứa một hạt cầu, tức là
sự phân bố thể tích của các hạt độn trong miền nền coi là nhỏ (   0.3 ). Do đó, thay
vì tính năng lượng của vật thể thơng qua tích phân trên biên có hình dạng phức tạp,
năng lượng tồn phần của vật thể được tính thơng qua năng lượng của miền đồng chất
cộng với năng lượng lấy trên biên của miền hạt độn (biên này có hình dạng đơn giản,
dễ tính tốn).
* Xét hai vật thể có cấu trúc tương tự nhau, chịu tác dụng của lực ngoài và điều kiện
biên như nhau. Tuy nhiên, vật thể thứ hai khơng có cốt (hình 1.6).
+ Nghiệm của bài toán với vật thể một là:  ij ,  ij , ui .
+ Nghiệm của bài toán với vật thể hai là:  ijo ,  ijo , uio .

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Hình 1.6: Mơ hình hai vật thể.
Điều kiện biên đối với vật thể một:  ij n j   i trên S
Điều

kiện

đối

biên

với

vật

thể

(1.2)

 ijo n j   io

hai:

trên

S

(1.3)
Theo giả thiết của bài tốn, hai vật thể có điều kiện biên giống nhau, tức là:

 i   io trên S

Năng

lượng

đàn

hồi:

+

(1.4)

Đối

với

vật

thể

1:

U

1
 ij ij dV
2 V

U0 

1
 ijo  ijo dV

2V

(1.5)
Đối

+
(1.6)

vật

thể

Từ (1.5) và (1.6), ta có:

(1.7)
Vì:

với

Ta có:

2:
U  Uo 

1

( ij ij   ijo ijo )dV
2 V

( ij ui ), j   ij , j ui   ij ui , j

+  ij , j  0 (phương trình cân bằng bỏ qua lực khối)
1
2

1
2

+  ij ui , j   ij (ui , j  u j ,i )  (ui , j  uô,i )   ij ij   ijij   ij ij
 ij ij  ( ij ui ), j

Suyra:
(1.8)
Thay (1.8) vào (1.7), ta có:
U  Uo 

1
( ij ui   ijo uio ), j dV

2V

(1.9)

Áp dụng công thức Ostrogradsky - Gauss:

 (

V

Theo điều kiện biên:

u   ijouio ), j dV   ( ij ui   ijouio )n j dS

ij i

S

 ijui n j   ij n jui   iui   ioui trên S
 ijouio n j   ijo n j uio   iouio

trên S

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Suy ra:

 (

ij

ui   ijoui0 )n j dS   ( ioui   ioui0 )dS    io (ui  uio )dS

S

S

U  Uo 

Vậy:

S

1
 io (ui  uio )dS

2S

(1.10)

Như vậy, năng lượng của vật thể 1 (có cốt) có thể biến đổi về năng lượng của
vật thể 2 (khơng có cốt) với các điều kiện tương đương của biên và hình dáng. Hệ
thức (1.10) là một biểu thức trung gian sẽ được sử dụng khi xét bài toán bổ trợ với
một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực ngồi.
* Xét bài tốn với một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực như hình 1.7. Có thể xem
vật thể tương đương với hai vật thể như sau:

Hình 1.7: Phân tích cấu trúc của vật thể.
Gọi nghiệm của bài toán với vật thể (a) là:  ij ,  ij , ui , với vật thể (b) là:  ijo ,  ijo , uio ,
với vật thể (c) là:  ij ,  ij , ui .
Theo nguyên lí hợp nhất nghiệm ta có:

 ij   ijo   ij
 ij   ijo   ij

(1.11)

ui  uio  ui
Thế đàn hồi của bài tốn (a) có dạng:

U

1
1
 ij ij dV   ( ijo   ij )( ijo   ij )dV

2V
2V

(1.12)

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Khai triển (1.12) có: U  U o U   UTH

(1.13)

trong đó:
Uo 

1
 ijo ijo dV


2V

(1.14)

U 

1
 ij  ij dV
2 V

(1.15)

U  Uo 
U TH 

1
 io (ui  uio )dS

2S

1
( ijo ij   ij  ijo )dV

2V

(1.16)

với U TH là năng lượng tương hỗ của hai trạng thái ứng suất trên (b) và (c).
Tích phân năng lượng (1.16) có thể biểu diễn dưới dạng thuận tiện hơn. Xét số hạng

thứ hai trong vế phải (1.16), áp dụng định luật Hooke ta có:
 ij  ijo  Cijkl  kl  ijo  Cijkl  ijo kl  Cklij  ijo kl   klo  kl

(1.17)

Thay (1.17) vào (1.16) ta có:
U TH    ijo ij dV

(1.18)

V

Sử dụng nguyên lí hợp nhất nghiệm và  ijo, j  0 ta có:
U TH    io ui dS

(1.19)

S

Theo (1.10) ta đã có:
U  Uo 

1
 io (ui  uio )dS
2 S

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Hình 1.8
Suy

U  Uo 

ra:

1
U  U o  U TH
2

(1.20) Từ (1.19) và (1.20) suy ra:
(1.21)

1
 iouidS

2S

Trở lại (1.18), phân tích miền lấy tích phân thành hai miền với mặt phân

chia  như hình 1.8. Khi đó, (1.18) có dạng:
U TH    ijo ij dV    ijo ij dV
VI

(1.22)

VII

Hệ thức (1.22) có thể viết lại dưới dạng:
U TH    io uids    iuio ds    iuio ds




(1.23)

S

Dấu “-” trong (1.23) chỉ ra rằng véctơ đơn vị của  quay hướng dương ra ngồi. Vì
 i  0 trên S nên suy ra:
U TH   ( io ui   iuio )ds

(1.24)



Theo nguyên lí hợp nhất nghiệm và biến đổi, ta được:
U TH   ( io uˆ i  ˆ i uio )ds

(1.25)



Với ui , i có ý nghĩa như trong trạng thái ban đầu, khi đó:
U TH   ( io ui   i uio )ds

đúng với mọi 



Khi  tiến dần đến biên S i thì ta có :
U  Uo 

1
( io u i   i u io )dS

2 SI

(1.26)

Dễ thấy, kết quả này có thể tổng quát cho trường hợp nhiều cốt. Như vậy, năng
lượng của vật liệu nhiều thành phần bằng năng lượng của vật liệu đồng nhất nào đó
cộng với một năng lượng được lấy tích phân trên biên của thành phần độn. Nhờ
nguyên lý này, ta có thể xác định các module đàn hồi K và G của vật liệu composite
các hạt độn cầu...Phương pháp dùng hàm năng luợng là một trong các phương pháp
được sử dụng để giải bài tốn tìm module đàn hồi nhưng tính tốn lại rất phức tạp.

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.3. Mối quan hệ ứng suất - biến dạng đối với composite cốt sợi đồng
phƣơng
Trong thực tế, nhiều vật liệu sử dụng cho kĩ thuật đều là những vật liệu khơng
thuần nhất. Vì thế để nghiên cứu các ứng xử cơ học, mối quan hệ bản chất của vật
liệu, ta đưa ra giả thiết về tính liên tục của vật liệu, tức là cấu tạo thực của vật liệu
được lí tưởng hóa bằng cách xem nó là liên tục. Do đó, khái niệm về sự thuần nhất

hóa được đưa ra: môi trường trong vật liệu được coi là thuần nhất khi tính chất của nó
tại mọi điểm là như nhau.
Vật liệu thực tế thường khơng thuần nhất ở chỗ tính chất cơ lí của nó phụ thuộc
vào các điểm của vật liệu. Theo đó, các q trình biến đổi ở composite hoặc là liên tục
hoặc là gián đoạn. Với trường hợp này, sự biến đổi là gián đoạn tại các mặt chuyển
tiếp giữa các pha khác nhau, trong đó ta coi các pha là thuần nhất và đẳng hướng.
Phương pháp làm thuần nhất một vật liệu không thuần nhất được gọi là phương pháp
thuần nhất hóa.
Việc xét composite đưa về xét trên một phần tử đại diện, hay người ta gọi là “
tế bào ” hoặc mắt xích tuần hồn. Từ các điều kiện biên cho trước trên biên của phần
tử đại diện, ta có:
Ứng suất trung bình (tensơ ứng suất) trên thể tích đại diện được xác định bởi

 ij 

1
 ( x )dV
V V ij k

(1.27)

Biến dạng trung bình (tensơ biến dạng) trên thể tích đại diện được xác định bởi

 ij 

1
 ( x )dV
V V ij k

(1.28)

trong đó:
+  ij và  ij là ứng suất biến dạng tại điểm xk .
+ dV là vi phân thể tích bao quanh điểm xk .
Các quan hệ trên rất tổng quát, cho phép biểu thị các hằng số độ cứng và các hằng số
độ mềm bởi các biểu thức sau:

 ij  Cijkl  kl

(1.29)

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


 ij  Sijkl  kl

(1.30)

trong đó:
+ Cijkl là tensơ hằng số độ cứng theo phương pháp trung bình hóa.
+ Sijkl là tensơ hằng số độ mềm theo phương pháp trung bình hóa.
Để đơn giản về sau ta xét các hằng số độ cứng và độ mềm theo nghĩa ”thuần
nhất” ở trên. Như vậy, muốn xác định các tính chất đã thuần nhất của một vật liệu
khơng thuần nhất, thì trước hết cần phải tính tốn các ứng suất, biến dạng trung bình
trên thể tích đại diện thơng qua cơng thức (1.27) và (1.28). Sau đó, suy ra các hằng số
độ cứng hoặc độ mềm nhờ công thức (1.29) và (1.30). Trên thực tế, bài toán xác định
các hằng số này là rất phức tạp. Do vậy, vấn đề ở chỗ là ta phải tìm cách giải chính
xác của trường ứng suất  ij ( xk ) và biến dạng  ij ( xk ) tại mỗi điểm của vật khơng

thuần nhất [3].
Khi có lực ngồi tác dụng lên vật thể, trạng thái biến dạng tại mỗi điểm của vật
thể sẽ thay đổi, kéo theo trạng thái ứng suất sẽ thay đổi theo. Ứng suất xuất hiện trong
vật thể là do biến dạng làm thay đổi sự sắp xếp các phần tử cơ bản của nó. Điều đó
cho thấy giữa ứng suất và biến dạng phải tồn tại một sự liên hệ nào đấy. Công thức
Green [2] chỉ ra liên hệ giữa ứng suất và biến dạng:

1W W 


2   ij  ij 

Vì thế, ta có:

 ij  

(1.31)

 ij  Cijmn mn

(1.32)

Trường hợp vật liệu là trực hƣớng tròn xoay (tức là đẳng hướng ngang), số hằng số
độc lập là 5, bao gồm: C1111 , C1122 , C2222 , C2233 , C1212 .
Vật liệu composite cốt sợi đồng phương mà luận văn quan tâm chính là loại vật liệu
đẳng hướng ngang. Phần tử đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương bao
gồm một sợi được bao xung quanh bởi một hình trụ làm bằng vật liệu thành phần
khác. Vì vật liệu này có một trục quay, nên được gọi là vật liệu trực hướng tròn xoay,
tức là khi quay hệ cơ sở xung quanh trục trên ta không làm thay đổi ma trân độ cứng
hoặc độ mềm. Hình vẽ 1.9 dưới đây sẽ mơ tả rõ điều này:

17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


( phương x

 2, y  3, z  1 ).

Hình 1.9: Hình khơng gian của vật liệu composite cốt sợi đồng phương.
Bây giờ, ta ký hiệu các đại lượng như sau:

 1   11 
   
 2   22 
   


   3    33 
 4   23 
   
 5   13 
   
 6   12 

 1   11 
   
 2   22 
   



   3    33 
 4   23 
   
 5   13 
   
 6   12 

;

(1.33)

Khi đó, định luật Hooke biểu thị ứng suất qua biến dạng:

  1   C11
   C12
 2  
    C12
 3
 4   0
  
 5   0
   
 6  0

C12

C12

0

0

C22

C23

0

0

C23

C22

0

0

0

0

0
0

0
0

C22  C23
2
0
0

0
C66
0

0  
1
0  
 2 
0  
3 
0 4 
 
0 5 
 
C66    6 

(1.34)

hay    A 
Nếu biểu thị biến dạng qua ứng suất, ta có:

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

 1   S
   11
  2   S12
   S
 3    12
4   0
   0
5  
   0
 6

S12

S12

0

0

S22

S23

0

0

S23

S22

0

0

0

0

2( S22  S23 )

0

0

0

0

S66

0

0

0

0

0   1 
 
0   2 

0   3 
 
0    4 
0    5 

S66    
 6

(1.35)

hay    B  
trong đó: A, B tương ứng là các ma trận độ cứng, độ mềm (với A, B là ma trận nghịch
đảo của nhau). Tính chất của vật liệu cốt sợi đồng phương phụ thuộc vào 5 hằng số
đàn hồi độc lập trên, bao gồm C11 , C12 , C22 , C23 , C66 hoặc S11 , S12 , S22 , S23 , S66 . Vấn đề
đối với chúng ta là xác định 5 hằng số đàn hồi độc lập này (hằng số độ cứng hoặc dộ
mềm). Muốn vậy, ta cần tìm cơng thức biểu diễn các module như E11 , K 23 ,12 , 12 , 23
(các module này phụ thuộc vào vật liệu thành phần và tỉ lệ thể tích  ...). Mặt khác, ta
lại có mối quan hệ qua lại giữa các module này và các hằng số độ cứng (hoặc độ
mềm), từ đó xác định được mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng hay ứng xử đàn
hồi của vật liệu composite cốt sợi đồng phương.
Thực tế, có 2 cách chủ yếu giải bài tốn xác định các module đàn hồi là bằng
thực nghiệm và giải tích. Theo phương pháp thực nghiệm, [3] khơng chỉ ra được ảnh
hưởng của vật liệu thành phần lên composite. Theo phương pháp giải tích, một số tác
giả đã dùng hàm năng lượng, sử dụng định lý biến phân năng lượng...để nghiên cứu
sự ảnh hưởng của đặc trưng hình học, cấu trúc cũng như tính chất ban đầu của các vật
liệu thành phần tác động lên composite, tuy nhiên một điểm dễ nhận thấy là các

phương pháp này thường rất phức tạp. Do vậy, chương 2 trong luận văn này sẽ đi sâu
vào việc thiết lập và giải bài toán xác định các module đàn hồi (nghiệm giải tích) của
vật liệu composite cốt sợi đồng phương theo phương pháp xấp xỉ thể tích.

19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


CHƢƠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC MODULE ĐÀN HỒI CỦA VẬT
LIỆU COMPOSITE HAI PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG
2.1. Phƣơng pháp xấp xỉ thể tích
Mục tiêu của luận văn là xác định các module đàn hồi của vật liệu composite
cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một trong năm hằng số đàn hồi độc lập
là module khối biến dạng phẳng K 23 . Thực chất của việc xác định các module đàn hồi
là xác định mối liên hệ giữa ứng suất trung bình và biến dạng trung bình của môi
trường composite, tức là xác định các hằng số Cijkl trong công thức của định luật
Hook. Như phần mở đầu giới thiệu, có nhiều phương pháp tiếp cận để giải bài tốn
tìm module đàn hồi, nhưng phương pháp chủ đạo được sử dụng trong luận văn là
phương pháp xấp xỉ thể tích của phần tử thể tích đại diện. Ưu điểm dễ nhận thấy của
phương pháp này là đơn giản, dựa trên phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lý
thuyết đàn hồi và dạng nghiệm thu được là giải tích.
Tư tưởng chính của phương pháp này là ta xem tồn bộ vật thể trong một mơ
hình được đơn giản hoá. Với các giả thiết đã nêu ở trên, ta có một mẫu vật liệu
composite như là một khối hình hộp chữ nhật, khối này chứa các sợi được phân bố
đều theo phương dọc của hình hộp. Với cơng nghệ sản xuất đạt chuẩn, vật liệu
composite cốt sợi đồng phương được xem như có cấu trúc tuần hồn. Do đó, việc
nghiên cứu vật liệu này đưa về xét một phần tử đại diện có dạng hình hộp chứa hình
trụ tròn tượng trưng cho pha sợi. Phương pháp xấp xỉ thể tích thể hiện ở việc xấp xỉ
hình hộp chữ nhật bên ngồi bởi một vỏ trụ có cùng thể tích tượng trưng cho pha nền.

Kết quả là phần tử thể tích đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương có
dạng 2 hình trụ trịn lồng nhau. Ta có các bước xấp xỉ thể tích như hình vẽ dưới đây:

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 2.1: Phần tử thể tích đại diện của composite cốt sợi đồng phương và mơ hình
gần đúng.
Bây giờ, ta xét một phần tử đại diện có mặt cắt ngang như trên hình vẽ. Bằng cách xấp
xỉ 2 thể tích, ta có:
+ V ban đầu = V của hình hộp chữ nhật (có đáy là hình vng đơn vị)
= 1.1.h = h
+ V xấp xỉ = V của trụ tròn ngồi (bán kính đáy là R) =  R .h =  R .h
2

2

+ V ban đầu = V xấp xỉ, nên có:
 h =  R .h
2

 R = 1/ 
với h là chiều dài của sợi.
Như vậy, với mặt cắt là hình vng đơn vị thì hình vng này sẽ được xấp xỉ diện tích
thành hình trịn có bán kính 1/  trong mặt phẳng.
Từ cấu trúc hình hộp chữ nhật chứa hình trụ trịn chuyển thành cấu trúc hai
hình trụ trịn lồng nhau thơng qua việc xấp xỉ thể tích, có thể nói đây chính là ý tưởng
chính của phương pháp xấp xỉ thể tích. Sau đó, dựa vào các hệ thức cơ sở, các giả

thiết ban đầu và phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lí thuyết đàn hồi, ta sẽ
giải bài tốn này tìm ra cơng thức xác định các module khối biến dạng phẳng K23 của
vật liệu composite cốt sợi đồng phương.

21

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 2.2: Phần tử đại diện sau khi đã được xấp xỉ.

2.2. Xác định mođun đàn hồi Young E 11
Trong [5], vấn đề xác định module đàn hồi Young E 11 đã được trình bày rất cụ
thể và rõ ràng. Bài toán kéo dọc trụ xác định module E 11 của vật liệu composite cốt
sợi đồng phương đặt ra:
Giả sử, có một hình trụ khơng đồng chất được làm từ hai vật liệu khác nhau, bao gồm:
+ Miền trong - miền cốt  0  r  a  có các đặc trưng 1 , 1 .
+ Miền ngoài - miền nền  a  r  b  có các đặc trưng 2 ,  2 .
Trụ được kéo dọc bởi lực hằng theo phương sinh và coi rằng liên kết giữa 2 miền là lí
tưởng, bỏ qua tương tác của các sợi độn và vật liệu nền. Điều này dẫn đến biến dạng
dọc theo trục z của 2 miền là như nhau và bằng  . Bài toán đặt ra: hãy xác định
module đàn hồi Young E 11 của trụ khơng đồng chất khi xem nó là một vật liệu
composite tương đương với các đặc trưng   ,   .

22

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Hình 2.3: Mơ tả cấu trúc khơng gian của một phần tử đại diện.

* Các hệ thức cơ sở trong hệ toạ độ trụ  r, , z  :
Do tính đối xứng, các thành phần chuyển dịch trong toạ độ trụ có dạng:

ur  ur  r 

u  0
u   z
 z

(2.1)

dur

e

 rr dr

ur

e

 
r

ezz    const

er  e z  ezr  0

(2.2)

Các thành phần biến dạng:

nên:

e 

dur ur
 
dr
r

(2.3)

Định luật Hooke trong toạ độ trụ có dạng:

 rr   e  2  rr

    e  2  

 zz   e  2  zz
      0
z
zr
 r

(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
(2.4d )

Phương trình cân bằng có dạng:

23

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


d rr  rr   

0
dr
r

(2.5)

Thay  e ở trên vào các phương trình (2.4a), (2.4b), (2.4c) ta được:

dur
ur

 rr  (  2  ) dr   r  

ur
dur

 
   (  2  )  
r
dr


dur ur

 )
 zz  (  2  )   (
dr
r


(2.6)
(2.7)
(2.8)

Thay (2.6) và (2.7) vào phương trình cân bằng (2.5), ta nhận được phương trình vi
phân đối với u r :

d 2 ur
dr 2



1 dur 1
 u 0
r dr r 2 r

Phương trình này có nghiệm tổng quát dạng: ur  Ar 

(2.9)

B
r

Hình 2.4
* Trong miền nền  a  r  b  :
Nghiệm của (2.9) có dạng: ur  A2 r 
(2)

B2
r

(2.10)

Khi đó:

dur(2) ur(2)
e 

   2 A2  
dr
r

24

LUAN VAN CHAT LUONG download : add