Một số yếu tố bên ngoài tác động đến sự phát triển của toán học

MỘT SỐ YẾU TỐ BÊN NGOÀI TÁC Đ ỘNG ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN
CỦA TỐN HỌC

Tập trung phân tích s ự tác động của thực tiễn xã hội, của các khoa h ọc
khác, của văn hoá và tri ết học đến sự phát triển của toán h ọc, tác gi ả
đã khẳng định: cũng như tất cả các khoa học khác, tốn h ọc khơng th ể
phát triển được nếu khơng d ựa vào các yếu tố bên ngoài này, nh ất là
triết học duy vật biện chứng và đến lượt mình, sự phát tri ển của tốn
học đã dẫn đến sự hợp tác và tương tác ngày càng sâu r ộng hơn của nó
với thực tiễn xã h ội, với các ngành khoa h ọc khác, nh ất là các ngành
khoa học xã hội – những ngành mới đối với các ứng dụng tốn học.
Từ khi hình thành như m ột khoa học, toán học đã trải qua nhi ều thời kỳ
phát triển khác nhau. Mỗi thời kỳ lịch sử đó đều ghi đậm những dấu ấn
quan trọng về vai trị của tốn học đối với sự phát triển của các khoa h ọc
khác, đồng thời toán học cũng chịu sự tác động không nh ỏ của các khoa học
khác đến quá trình phát tri ển của mình. Việc tìm hiểu, nghiên cứu những
yếu tố tác động đến sự phát triển của tốn học khơng chỉ đơn thuần là để
minh chứng cho tính khách quan c ủa các tri thức toán học, mà quan trọng
hơn, là để chỉ ra động lực phát tri ển của toán học. Trên cơ sở phân tích b ản
chất của các tri thức tốn học và mối quan hệ qua lại của nó với các khoa
học khác, chúng ta có th ể phân chia tất cả những yếu tố quan trọng nhất có
tác động đến sự phát tri ển của toán học thành các y ếu tố bên ngoài và các
yếu tố bên trong.
Những yếu tố bên trong th ể hiện lơgíc nội tại của sự phát triển toán học;
chúng được thể hiện rõ nét từ thời điểm tốn học được hình thành như m ột
khoa học lý thuyết. Những yếu tố bên trong liên quan đến việc hệ thống hóa
và chỉnh lý các tư li ệu hiện thực đã được tích lũy, liên quan đ ến việc hoàn
thiện và phát tri ển các phương pháp, khái ni ệm, lý thuyết cùng với những
nghịch lý xuất hiện trong toán h ọc. Đồng thời, tất cả các nhu cầu của sản
xuất xã hội, của kinh tế, kỹ thuật, của khoa học xã hội – nhân văn và khoa
học tự nhiên đều liên quan đến những yếu tố bên ngồi đ ối với sự phát triển

của tốn học. Trên th ực tế, triết học, hệ tư tưởng thống trị và môi trường


văn hóa của thời đại cũng có ảnh hưởng to lớn đến sự phát tri ển của khoa
học nói chung, của tốn học nói riêng.
Trong phạm vi bài vi ết này, chúng tôi chỉ đề cập đến một số yếu tố bên
ngồi có ảnh hưởng lớn đến sự phát triển của toán học.
Trước hết, toán học cũng như tất cả các khoa học khác, sự xuất hiện của nó
nhất thiết phải đáp ứng nhu cầu của sản xuất xã hội. Điều này được thể hiện
rất rõ từ thời Ai C ập cổ đại, trong đó tốn học mang tính th ực dụng thuần
túy, đa số các phương pháp toán h ọc được sử dụng là để giải quyết các
nhiệm vụ do nhu cầu thực tiễn của việc đo đạc đất đai, tính tốn th ể tích
của các vật thể và xây dựng các cơng trình văn hóa, ch ẳng hạn như cơng
trình nổi tiếng Kim t ự tháp v.v.. Rõ ràng là, t ừ cội nguồn xuất phát đó, các
phép đếm sơ đẳng và những cách đo đạc đã được sử dụng trong nhi ều thế
kỷ. Nhưng cùng với sự xuất hiện các nền văn minh, sự phát tri ển tiếp theo
của toán học đã diễn ra trong s ự tác động qua l ại, gắn bó hữu cơ với tự
nhiên học.
Lịch sử tốn học và văn hóa nói chung đã tích lũy đư ợc một khối tư liệu
khổng lồ, trong đó chứng tỏ một cách chắn chắc rằng, những khái ni ệm xuất
phát và những phương pháp c ủa những ngành cổ xưa nhất của tốn học có
nguồn gốc từ thực tiễn, cụ thể như số học và hình h ọc. Trên thực tế, những
khách thể toán học trừu tượng, như các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ,
số thực, số ảo, các hình hình học, v.v. đã được hình thành dưới ảnh hưởng
của các nhu cầu sản xuất xã hội, kinh t ế, kỹ thuật, thương mại, quân sự,
v.v., và hi ện tại, đa số các nhà khoa h ọc khơng ph ủ nhận điều đó.
Trong lịch sử khoa học, đặc biệt trong tri ết học, đã có khơng ít các nhà tư
tưởng xem xét s ự xuất hiện của đối tượng toán học độc lập với bất cứ kinh
nghiệm và thực tiễn nào. Những quan đi ểm về tính chất tiên nghi ệm của đối
tượng tốn học đã được truyền bá rộng rãi trong triết học duy tâm, k ể cả

trong xã hội hiện đại. Về vấn đề này, có những nhà hoạt động khoa h ọc đã
có quan ni ệm sai lầm rằng, một khi những khách thể toán học mới được
thiết lập cùng với việc giải quyết những vấn đề của khoa học - kỹ thuật và
tự nhiên, thì điều đó dường như chứng tỏ toán học đã phát triển trên cơ s ở
những tài liệu của tự nhiên học và các khoa học cụ thể khác chứ không phải


từ sản xuất, kinh t ế, kỹ thuật, v.v.. Trên thực tế, các nhu cầu của sản xuất,
kỹ thuật và kinh t ế đã thường xuyên được phản ánh thông qua các nhu c ầu
của các khoa học gần gũi với sản xuất, nhưng chính đi ều đó lại hồn tồn
khơng phải là cơ sở để loại trừ sự tác động của thực tiễn đối với sự ra đời
của các khách th ể tốn học mới. Đồng thời, nó cũng khơng ch ứng tỏ rằng,
tốn học được phát triển chỉ dựa trên cơ sở những tư liệu của tri thức thuần
túy. Điều quan trọng nhất là chúng ta phải lý giải được sự cần thiết về việc
tác động của các nhu cầu sản xuất, kỹ thuật và kinh t ế đối với sự phát triển
của toán học. Sự tác động đó đang trở nên gián ti ếp và ngày càng phức tạp.
Ở đây, phải nói rằng, tốn học phát triển được là dựa trên cơ s ở các khoa
học tự nhiên, khoa h ọc kỹ thuật và các khoa học khác, nhưng các khoa h ọc
này lại khai thác tư li ệu và đưa ra các m ục đích của mình từ thực tiễn.
Chẳng hạn, sự xuất hiện của phép tính vi phân và tích phân là do s ự tác
động của các khoa h ọc, như cơ học, vật lý học, thiên văn học, v.v.. Cho dù
các khoa học đó có tính đ ộc lập tương đối, có lơgíc n ội tại của sự phát triển
các khái ni ệm và lý thuy ết của mình thì cũng khơng ph ải vì thế mà nghi
ngờ mối quan hệ của chúng với sản xuất xã hội, với kỹ thuật và kinh t ế bị
giảm bớt. Trong tác phẩm nổi tiếng – Biện chứng của tự nhiên, Ph.Ăngghen
đã viết: “Trước hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết mà tuyệt đối
cần thiết cho những dân tộc chăn nuôi và làm ru ộng. Thiên văn học chỉ có
dựa vào tốn học mới phát tri ển được. Do đó mà người ta phải nghiên cứu
cả tốn học. Sau đó, đến một giai đoạn phát tri ển nhất định của nông
nghiệp và trong những khu vực nhất định (đưa nước lên để tưới ruộng ở Ai

Cập), và nhất là cùng với sự xuất hiện những thành ph ố, những cơng trình
xây dựng lớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì cơ
học cũng phát triển theo. Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cần thiết cho
cả hàng hải và chiến tranh. Cơ học cũng cần sự giúp đỡ của tốn học và do
đó thúc đẩy tốn học phát tri ển. Như thế là ngay t ừ đầu, sự phát sinh và
phát triển của các ngành khoa học đã do s ản xuất quy định”(1).
Mặt khác, do bản chất trừu tượng của toán học và việc tuân th ủ nghiêm
ngặt các quy lu ật lơgíc của các phép chứng minh toán học, sự tác động của
các yếu tố bên trong đối với sự phát tri ển của toán học đã trở nên rất mạnh
mẽ. Chính vì v ậy, người ta thường vin vào tình ti ết đó như một chứng cớ để


khằng định rằng, sự phát triển của toán học diễn ra độc lập với thực tiễn.
Từ lập trường duy vật biện chứng, chúng ta có đủ cơ sở để khằng định rằng,
những biến đổi căn bản trong toán học, về nhiều mặt, đã được quyết định
bởi nhu cầu của khoa học tự nhiên, kỹ thuật và qua đó, chúng đư ợc quyết
định bởi nhu cầu của sản xuất xã hội. Chẳng hạn, trong toán h ọc, việc đưa
các đại lượng biến thiên vào đã d ẫn đến sự ra đời của mơn gi ải tích tốn
học mà cơ sở của nó là phép tính vi phân, tích phân. Đi ều căn bản là ở chỗ,
sự chuyển biến này đã được quyết định trước hết bởi nhu cầu của cơ học,
của thiên văn h ọc và kỹ thuật. Cụ thể hơn, vấn đề nghiên cứu sự vận động
và quá trình bi ến đổi của các sự vật, hiện tượng trong th ế giới khách quan
đã tạo ra sự phát tri ển đối với các khoa h ọc nói trên, trong đó h ệ thống tri
thức toán học về các đại lượng biến thiên đã được thiết lập để phân tích
chúng. Tiếp theo, nhu c ầu của lực lượng sản xuất cũng như vi ệc chuyển từ
lao động chân tay sang lao đ ộng cơ khí trong xã h ội tư bản đã kích thích cơ
học và thiên văn h ọc phát tri ển. Chính nh ững điều đó đã nói lên cuộc cách
mạng mới nhất trong tốn học, trong đó phạm vi nghiên cứu của toán học
đã được mở rộng. Toán học đã chuyển từ việc nghiên cứu tính phụ thuộc
giữa các đại lượng sang vi ệc nghiên cứu các cấu trúc trừu tượng của những

hình dạng khơng gian và nh ững quan hệ số lượng phức tạp nhất. Việc thành
lập bộ mơn kỹ thuật điện tốn đã mở rộng một cách đáng kể khả năng áp
dụng phương pháp toán h ọc trong khoa học, trong kinh t ế và kỹ thuật. Có
thể nói, sự phát tri ển của tốn học ở một trình độ cao hơn đã mang l ại khả
năng áp dụng các phương pháp toán học ngày càng r ộng rãi và rốt cuộc, đã
dẫn đến cuộc cách m ạng khoa học và công nghệ hiện đại.
Sự tác động của những yếu tố bên ngoài, như tri ết học và văn hóa tinh th ần,
nhìn chung được thể hiện ở các nguyên tắc lập luận của toán học, ở bản
chất của những giá trị khoa học trong các lý thuy ết tốn học. Đặc biệt, sự
tác động đó cịn th ể hiện ở việc giải thích nh ững vấn đề cơ bản nhất của
toán học, như mối quan hệ hữu cơ giữa vô hạn và hữu hạn, giữa biến thiên
và bất biến, giữa tất nhiên và ng ẫu nhiên, v.v.. Tr ên thực tế, những vấn đề
nói trên thường là vũ đài của các cuộc tranh lu ận về các chương trình khác
nhau của lập luận tốn học. Chẳng hạn, trong vi ệc giải quyết các nghịch lý
xuất hiện ở lý thuyết tập hợp, bản thân tri ết học đã có vai trị r ất lớn, nó đã


chỉ rõ thực chất của các cuộc tranh luận giữa các trường phái khác nhau v ề
bản chất của tập hợp và các trừu tượng toán học khác. Ti ếp đó, trước sự
phát minh ra hình h ọc phi Ơcơlit thì tri ết học tiên nghiệm và kinh nghi ệm
đã thể hiện rõ thái đ ộ tiêu cực; trái lại, chủ nghĩa duy v ật biện chứng coi sự
phát minh ra hình h ọc phi Ơcơlit đã chứng tỏ tính đúng đắn về sức sáng tạo
của tri thức lý luận, về con đường biện chứng của nhận thức qua những
chân lý tương đ ối.
Để chứng minh cho ảnh hưởng to lớn của triết học và văn hóa tinh thần đến
sự phát triển của toán học, chúng ta hãy xem xét m ột vài thí dụ trong lịch
sử khoa học. Trước hết là hoạt động của nhà khoa học vĩ đại Hy Lạp cổ đại
– Đêmơcrít. Ơng là nhà khoa h ọc đầu tiên sử dụng có kết quả phép phân
chia các vật thể thành những lớp mỏng để tính thể tích của chúng. Về thực
chất, phương pháp này liên h ệ chặt chẽ với học thuyết về cấu tạo nguyên t ử

của các vật thể mà Đêmôcrit đã phát tri ển sau Lơxip. B ằng phương pháp
đó, Đêmơcrit đã ch ứng minh các định lý về tính thể tích của hình chóp,
hình trụ, hình nón và hình cầu và nhờ đó, đã khắc phục được khó khăn mà
trước đó, những đại diện của trường phái Pitago không th ể vượt qua được.
Nhà toán học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng là Acsimet đã đánh giá đúng tác d ụng
của phương pháp Đêmơcrit, phát tri ển phương pháp đó và s ử dụng nó để
giải những bài tốn tĩnh h ọc và hình học phức tạp nhất. Nhưng trong thời
đại của Đêmơcrit, ch ủ nghĩa duy tâm th ần bí giữ vai trị hệ tư tưởng thống
trị, vì vậy các cơng trình c ủa ơng đã khơng được phép xuất bản, thậm chí
cịn bị thủ tiêu một cách khơng thương ti ếc. Rõ ràng, đi ều đó đã cản trở lớn
đến sự truyền bá rộng rãi tư tưởng tiến bộ của Đêmôcrit, đ ặc biệt là những
tư tưởng duy vật của ông về vô hạn toán học.
Một sự thật lịch sử nữa là, vào th ời kỳ phong kiến, đặc biệt là ở các nước
Tây Âu, do sự thống trị của giáo hội, người ta đã ban hành các đ ạo luật
trừng phạt rất nặng các nhà khoa học đi ngược lại với lý thuy ết thần học.
Dưới các đạo luật đó, khơng ph ải chỉ một mình nhà khoa học Bruno bị chết
trong lửa thiêu. Cơ s ở hiện thực của những sự kiện dã man đó là, trong th ời
kỳ phong kiến, ngồi nh ững nhận thức về chính trị và lý luận khác nhau,


những yêu cầu của sản xuất đối với toán học nói chung là r ất nhỏ, khơng
đáng kể.
Để làm sáng tỏ thêm vấn đề này, chúng ta c ần tìm hiểu thêm hoạt động của
nhà toán học vĩ đại người Pháp – Cauchy, một tín đồ tơn giáo. Như chúng
ta đã biết, vào nửa đầu thế kỷ XIX, trên cơ sở khái niệm “vô cùng bé”, lý
thuyết giới hạn được thiết lập đã đánh dấu sự ra đời của bộ mơn giải tích
tốn học. Khái ni ệm “vơ hạn tiềm năng” đã trở thành cơ sở của giải tích
học. Song, quan đi ểm của Cauchy về vô hạn đã không tri ệt để. Đầu tiên,
ông chỉ ra rằng, nếu một tập hợp những vật thể là vô hạn hay mỗi vật có thể
phân chia thành vơ h ạn thì đặc điểm số lượng của tập hợp tất cả những vật

thể đó, cũng như tập hợp những phần của một vật thể không thể biểu diễn
bằng bất cứ số tự nhiên nào. Đó là một quan đi ểm đúng và đ ể mơ tả cho nội
dung của nó thì d ứt khốt phải sử dụng số vơ hạn, nhưng Cauchy l ại khẳng
định rằng, khơng thể có được ý kiến về số vô hạn những sự vật cùng tồn tại
mà lại không rơi vào mâu thu ẫn hiển nhiên. Theo Cauchy, mâu thu ẫn của
khái niệm tập hợp vô hạn là ở chỗ, nếu một tập hợp đối tượng là vô hạn thì
ta có thể sắp đặt tất cả các đối tượng đó theo một dãy nào đó và có th ể đánh
số chúng sao cho nh ững số hiệu của chúng l ập thành một dãy số tự nhiên:
1, 2, 3,…, n,… và khi đó, ph ải giả thiết rằng dãy số này kéo dài đ ến vô
hạn. Cauchy cho r ằng, điều giả thiết này là vơ lý. Ơng đã l ập luận như sau:
nếu dãy số tự nhiên kéo dài đến vơ hạn thì một mặt, có bao nhiêu số tự
nhiên là có b ấy nhiêu số tự nhiên chính phương, b ởi với mỗi số tự nhiên n
tương ứng với một số n 2 và ngược lại. Mặt khác, nếu số tự nhiên n càng lớn
thì tỷ số giữa các số chính phương từ 1 đến n càng trở nên nhỏ đi. Từ đó
phải kết luận rằng, nếu dãy số tự nhiên có th ể kéo dài đến vơ hạn thì bình
phương của dãy số đó chỉ là một bộ phận vơ cùng nhỏ bé của nó. Theo
Cauchy, chính gi ả thiết dãy số tự nhiên kéo dài đ ến vô hạn đã dẫn đến mâu
thuẫn quá rõ ràng, cho nên c ần phải bác bỏ giả thiết đó. Đó là lý do vì sao
Cauchy khơng bao gi ờ nghiên cứu tính chất của tập hợp vơ hạn. Đối với
ông, vô hạn chỉ là vô hạn tiềm năng. Kết luận của Cauchy không đúng ở
chỗ, đã xuất phát t ừ việc đồng nhất tính chất của những tập hợp vô hạn và
tập hợp hữu hạn một cách khơng có căn c ứ. Điều khẳng định của Cauchy
khơng thể phủ nhận được tính khách quan c ủa tập hợp vô hạn, mà chỉ chứng


tỏ rằng, các tập hợp hữu hạn và vô hạn có nhiều tính chất khác nhau. Ch ẳng
hạn, điều khẳng định “tồn thể lớn hơn mỗi bộ phận của nó” chỉ đúng với
những tập hợp hữu hạn mà không đúng v ới những tập hợp vô hạn.
Lịch sử phát triển của tốn học đã ghi nh ận cơng lao to lớn của Cauchy
trong tốn h ọc giải tích. Nhưng vì sao Cauchy l ại phản bác phương pháp

luận khoa học về bản chất của tập hợp vô hạn? Điều này cũng dễ hiểu, bởi
Cauchy là một tín đồ tơn giáo, mà theo l ời dạy của tôn giáo về nguồn gốc
của thế giới thì đã có một con người đầu tiên, một khoảnh khắc đầu tiên khi
Trái đất xuất hiện trong không gian và b ắt đầu tồn tại. Điều này hồn tồn
trái ngược với việc cơng nhận sự tồn tại của tập hợp vơ hạn những đồ vật.
Có thể nói, thần bí luận đã ngăn cản Cauchy nhìn thấy cơng cụ có hiệu quả
của tốn học giải tích trong khái ni ệm vơ hạn thực tại. Thần bí luận khơng
chỉ cản trở một mình Cauchy, mà cịn ngăn c ản nhà tốn học Cantor hồn
thiện lý thuyết tổng qt v ề tập hợp. Cơng trình khoa h ọc về lý thuyết tập
hợp của Cantor đã liên ti ếp bị cơng kích. Nhưng trong thời đại của Cantor,
lý thuyết tập hợp đã trở nên rất cần thiết cho sự phát triển của tốn học.
Chính vì vậy, ơng đã bất chấp mọi sự cơng kích của thần học để tiếp tục
hồn thiện cơng trình nghiên cứu của mình. Nhưng khi xu ất hiện những
nghịch lý của tập hợp thì những nhà thần học lại một lần nữa cơng kích
kịch liệt khái niệm vô hạn thực tại.
Tuy nhiên, cần thấy rằng, các tư tưởng thần học và hệ tư tưởng thống trị
của các giai cấp bóc lột đã ảnh hưởng tiêu cực đến sự phát tri ển của khoa
học nói chung, của tốn học nói riêng, song đi ều đó khơng th ể buộc khoa
học đi ngược lại quy luật khách quan của nó. Điều này dễ nhận thấy trong
xã hội tư bản công nghi ệp. Khi nhu cầu sử dụng một cách tự giác nội dung
khách quan của khoa học tự nhiên và tốn học đã trở nên vơ cùng cần thiết
cho sự phát triển của sản xuất, thần học đã phải hạn chế tham vọng của
mình. Một mặt, những nhà duy tâm thần học vẫn nắm lấy những lý luận mà
theo họ, là khoa học để phủ định những chân lý tốn học nhằm bảo vệ học
thuyết của mình. Mặt khác, họ vẫn để cho các nhà tư bản có khả năng sử
dụng toán học theo s ự cần thiết thực tế.


Điều đáng nói ở đây là, nh ững chân lý của khoa học tự nhiên cũng như c ủa
toán học có tính ch ất khách quan và ph ải được thực tiễn kiểm nghiệm, nên

chủ nghĩa duy vật luôn là cơ sở triết học của chúng. Những thành tựu rực
rỡ nhất của khoa học tự nhiên và toán học gắn liền với một thực trạng là,
trong thực tiễn hoạt động khoa học, các nhà bác học đã và đang được những
quan điểm duy vật về đối tượng nghiên cứu của mình chỉ đạo. Tiếp đó,
chúng ta nhận thấy rằng, trong bất cứ xã hội nào, đặc biệt là xã h ội được
xây dựng trên cơ s ở áp bức và bóc lột quần chúng lao động, bao giờ cũng
có những người tiến bộ so với thời đại của mình. Những người đó đã nhận
thức rõ vai trị cao c ả của khoa học trong sự nghiệp phục vụ nhân dân một
cách vô tư và kiên quy ết đấu tranh chống lại việc sử dụng khoa h ọc vào
mục đích có hại cho loài người, đồng thời phản đối lại sự xun t ạc nội
dung của khoa học.
Tốn học khơng bao giờ dừng chân t ại chỗ, nó phát triển mạnh mẽ dưới ảnh
hưởng của thực tiễn và của các khoa h ọc khác, cũng như nh ững nhu cầu
phát triển nội tại. Sự phát triển của toán học, sự phát minh ra các cơng c ụ
tốn học mới phù hợp với những ứng dụng trong các lĩnh vực mới của khoa
học đã tạo khả năng cho toán học thâm nhập vào các ngành khoa h ọc khác
nhau.
Trong bối cảnh toàn cầu hóa hiện nay, khơng ai có th ể nghi ngờ về vai trị
quan trọng của tốn học trong đời sống xã hội cũng như trong s ự phát triển
của khoa học, của kinh t ế và kỹ thuật, v.v.. Chính s ự thâm nhập ngày càng
sâu rộng của tốn học vào hầu hết các lĩnh v ực của khoa học hiện đại là
bằng chứng sinh đ ộng nhất để khẳng định điều đó, đặc biệt là khi lồi
người đã bước sang thế kỷ XXI, kinh t ế tri thức đã bắt đầu phát tri ển và có
ảnh hưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế. Đặc điểm nổi bật của kinh tế tri
thức là vai trò ngày càng to l ớn của những đổi mới liên tục về công nghệ
sản xuất và vị trí chủ đạo của thơng tin và tri th ức với tư cách nguồn lực cơ
bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh t ế.
Chúng ta không th ể phủ nhận được một thực tế là, kinh t ế tri thức đã thúc
đẩy toán học phát tri ển lên một tầm cao mới. Sự phát triển đó là một địi
hỏi khách quan, bởi trong nền kinh tế hiện đại luôn xuất hiện các yếu tố phi

tuyến, nghĩa là xuất hiện các mơ hình khơng th ể giải được nếu chỉ vận dụng
các công cụ suy luận phân tích và tính tốn đ ịnh lượng của toán học truyền
thống. Ở đây, để toán học phát huy đư ợc sức mạnh của mình trong vi ệc giải
quyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết khi xây dựng các
mơ hình, tốn học phải có sự kết hợp với các phương pháp khoa h ọc khác,
đặc biệt là coi trọng việc kết hợp với phương pháp tin học. Nếu thực hiện
sự kết hợp này, thì những khó khăn nảy sinh do s ự xuất hiện các yếu tố phi
tuyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mơ hình hóa và mơ ph ỏng
bằng đồ họa máy tính.
Trong bối cảnh hiện nay, giữa tốn học và khoa h ọc máy tính có mối quan
hệ hết sức bền chặt. Trên thực tế, lý thuyết automat và toán h ọc rời rạc đã
đi vào cơ sở lý thuyết của khoa học máy tính như một tất yếu. Khoa học
máy tính đã thực sự trở thành một cơng cụ tính tốn mạnh, việc sử dụng nó
đã làm tăng năng su ất và hiệu quả của các gi ải pháp toán h ọc trong mọi
lĩnh vực ứng dụng, từ đó góp phần phát triển ngành tốn học tính tốn, xây
dựng các phương pháp s ố, các phương pháp x ấp xỉ và gần đúng để giải
nhiều loại bài toán khác nhau, h ỗ trợ việc phát tri ển sâu rộng các ứng dụng
toán học đối với khoa học nói chung. Theo nh ận định của Giáo sư Phan
Đình Diệu, “năng lực tính tốn v ới khối lượng lớn, tốc độ cao của máy tính
cịn tạo ra một số khả năng mới nâng cao năng l ực chứng minh các định lý
của bản thân toán học bằng cách cung cấp cho tốn h ọc một cơng cụ thực
nghiệm rất có hiệu quả, nhất là đối với những chứng minh mà trong b ản
thân nó địi h ỏi giải những bài tốn ph ụ rất phức tạp, chỉ có thể thực hiện
được bởi máy tính trong m ột thời gian khá lớn” và “chấp nhận những chứng
minh như vậy có nghĩa là ch ấp nhận tốn học có thể dùng các công cụ thực
nghiệm để mở rộng năng lực tư duy lơgíc của mình, và điều đó chắc chắn sẽ
mang lại những phát tri ển mới cho toán h ọc”(2). Sự phát triển của tốn học
hiện đại đã góp ph ần nâng cao kh ả năng nhận thức của con người nhờ vào

sự trực cảm và sự suy luận định tính.
Khơng chỉ thế, trong bối cảnh hiện nay, tốn học đã bước sang một giai
đoạn phát tri ển mới, mà đặc điểm nổi bật nhất của nó là sự hợp tác và
tương tác ngày càng sâu r ộng hơn với các ngành khoa học khác, trong đó
phải kể cả các ngành khoa học xã hội - những ngành mới đối với các ứng


dụng toán học. Điều này đã được C.Mác nhấn mạnh trong các bản thảo toán
học: “Một khoa học chỉ đạt được sự hồn chỉnh khi nó sử dụng tốn
học”(3).


(*) Tiến sĩ triết học, Phó trưởng khoa Giáo dục chính trị, Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội.
(1) C.Mác và Ph.Ăngghen. Tồn tập, t.20. Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội,
1995, tr.659.
(2) Phan Đình Di ệu. Cơng nghệ thơng tin và ứng dụng toán học, t.1. Kỷ yếu
Hội nghị ứng dụng tốn học tồn quốc lần thứ nhất, 2000, tr.44.
(3) C.Mác. Các bản thảo toán học. Mátxcơva, 1968 (ti ếng Nga).