Sự phân tích triết học các khuynh hướng khác nhau trong lập luận toán học

Sự phân tích tri ết học - Các khuynh hư ớng khác nhau trong l ập luận toán
học

Trong khoảng 2500 năm tồn tại của mình, tốn h ọc đã có nh ững sự biến đổi
đáng kể về chất. Nh ững sự biến đổi đó đã diễn ra ở cả những khái ni ệm cơ
sở cũng như trong cách l ập luận toán h ọc. Ở đây, cần chú ý rằng, khi đặt
vấn đề lập luận tốn học nói riêng và nghiên cứu khoa học nói chung, cùng
với việc xác lập cơ sở nhận thức luận đảm bảo tính chân lý của các tư tưởng
khoa học, các nhà khoa h ọc thường lấy tính phi mâu thu ẫn lơgíc làm tiêu
chuẩn chỉ đạo.
Những biến đổi nói trên có mối liên hệ chặt chẽ với những quan đi ểm triết học
của các nhà toán học. Xuất phát từ những quan đi ểm triết học đa dạng và khác
nhau, nhiều khuynh hướng trong l ập luận toán học đã tiếp cận một cách siêu
hình về bản chất của các tiền đề nhận thức luận của tốn học và từ đó, đã dẫn tới
những hạn chế cơ bản của lĩnh vực này. Từ thực tế đó, chúng ta có th ể nhận xét
rằng, chỉ có đứng trên l ập trường của chủ nghĩa duy v ật biện chứng mới cho
phép người ta thiết lập được vấn đề về lập luận toán học, xây dựng cơ sở phù
hợp với bản chất của nó như một khoa học đang phát tri ển và đưa ra được những
tiền đề nhận thức luận toán học một cách đúng đ ắn.
Trước hết, ta hãy tìm hi ểu bối cảnh ra đời của lập luận toán học. Như chúng ta
đã biết, ở trình độ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, tốn h ọc nói riêng
ln phải sử dụng sự trừu tượng hoá. Toán học là khoa học sử dụng nhiều sự
trừu tượng nhất và mức độ trừu tượng cũng đạt trình độ cao nhất. Thực vậy,
trong lĩnh vực khoa học này, “Sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất”(1). Tuy
nhiên, cho dù sự trừu tượng có được thực hiện “nghiêm túc”, “đúng đ ắn” đến
đâu thì các tri thức nhận được vẫn có khả năng xa rời hiện thực. Vì vậy, để đảm
bảo tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý của các tri thức nhận được, chúng
ta cần phải xác lập cơ sở của chúng. Tuy nhiên, đây m ới chỉ là lý do thứ yếu và
tính cấp bách của vấn đề nằm ở chỗ khác. Sau phát hi ện về đại lượng biến thiên

của Đêcáctơ, người ta đã sử dụng phép tính tích phân và vi phân đ ể nghiên cứu
về vận động. Ta có thể mơ tả việc nghiên cứu này như sau:
Người ta sử dụng hàm số: S = f (t) đ ể biểu thị vận động.
- Vận tốc tức thời tại một thời điểm cụ thể t1 nào đấy là đạo hàm bậc nhất của
hàm số tại thời điểm đó: V(t1) = f’(t1).
- Gia tốc tức thời của vận động là đạo hàm bậc hai: a(t1) = f’’(t1).
Như vậy, lần đầu tiên người ta đã sử dụng các công cụ tốn học, các phương
pháp chặt chẽ, chính xác đ ể nghiên cứu về vận động nói riêng, về cái biện chứng
khách quan nói chung. Đ ặc biệt là với phương th ức nghiên cứu như vậy, người
ta đã thu nh ận được một khối lượng đồ sộ các thành tựu tốn học.
Trong khi sử dụng những phương pháp chính xác và ch ặt chẽ vào nghiên cứu các
q trình có k ết quả như vậy, thì một vấn đề gây lo ngại cho nhiều nhà triết học
và toán học là: liệu việc sử dụng chúng để nghiên cứu các đối tượng đó có thích
hợp khơng? Có gì mâu thu ẫn giữa một bên là các phương pháp chính xác, ch ặt
chẽ đến từng chi tiết và bên kia là nh ững đối tượng sống động, phong phú, đa
dạng (vận động) hay khơng? Chính tình hình đ ó đã buộc các nhà khoa h ọc phải
nghiên cứu vấn đề lập luận (thiết lập cơ sở) cho toán học.
Trong bối cảnh như vậy, nhà tốn học Canto đã xây dựng mơn lý thuyết tập hợp.
Lý thuyết này được xem như công cụ để “khuôn” cái sống động của vận động
vào một “cái khung” chính xác, chặt chẽ. Có thể coi tư tưởng của ông về việc sử
dụng lý thuyết tập hợp làm cơ sở cho sự lập luận toán học là một trong những ý
tưởng đầu tiên để giải quyết vấn đề này. Tư tưởng cơ bản của Canto được thể
hiện ở chỗ, khi sử dụng lý thuyết tập hợp vào lập luận toán học, điều quan trọng
là tất cả các lý thuyết tốn học hiện có sẽ được trình bày trên cơ s ở của lý
thuyết tập hợp. Phương pháp này đư ợc coi là phương pháp quy giản về lý thuyết
tập hợp. Bản chất của nó được quy định ở chỗ, tất cả các thuật ngữ của bất kỳ lý
thuyết tốn học hiện có nào cũng đều có thể được quy về các thuật ngữ của lý
thuyết tập hợp. Từ lợi thế đó, vấn đề cịn lại là cần phải chuyển bất kỳ một mệnh
đề nào của các lý thuyết tốn học hiện có thành m ệnh đề của lý thuy ết tập hợp.

Vì vậy, nhiệm vụ của việc sử dụng lý thuyết tập hợp để lập luận toán học là chỉ
ra sự biến đổi các mệnh đề của một lý thuyết toán học nào đấy thành các mệnh
đề của lý thuyết tập hợp.
Do mỗi lý thuyết toán học đều bao gồm một tập hợp vô hạn những mệnh đề, nên
một trong những khó khăn đầu tiên của việc thực hiện sự biến đổi như trên là ở
chỗ, khó có thể giải thích một cách rõ ràng, minh b ạch các phán đoán toán h ọc
bằng các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp. Do đó, phương pháp quy v ề lý thuyết
tập hợp của Canto cần phải được giả định trước bởi phương pháp tiên đ ề hoá các
lý thuyết.
Trước những năm 30 của thế kỷ XX, việc bất kỳ một lý thuyết tốn học nào cũng
có thể được tiên đề hố (xây d ựng lại bằng phương pháp tiên đ ề) được xem là
một điều đương nhiên. Ở đây, vấn đề quan trọng nhất là chọn ra được một số
hữu hạn nào đó các tiên đ ề, trong đó bao ch ứa tất cả những thông tin c ần thiết
về các khách th ể của lý thuy ết. Từ hệ tiên đề đã chọn, chúng ta rút ra đư ợc tất
cả các mệnh đề cịn lại bằng con đường lơgíc. Nói cách khác, b ất kỳ một mệnh
đề chân lý nào về các khách th ể của lý thuyết cũng đều có thể được rút ra từ các
tiên đề bằng con đường lơgíc. Và như v ậy, nhiệm vụ quy tất cả các lý thuyết
toán học về lý thuyết tập hợp ít nhất cũng được thực hiện một cách đầy đủ với
những lý thuyết sử dụng phương pháp tiên đ ề hoá. Tuy nhiên, điều cần lưu ý ở
đây là, nếu bằng con đường lơgíc thu ần t thì cách l ập luận tốn học dựa vào lý
thuyết tập hợp khơng th ể thực hiện được triệt để, bởi một loạt các lý do:
Thứ nhất, người ta đã phát hi ện thấy mâu thuẫn lơgíc từ những định nghĩa các
khái niệm cơ sở của lý thuy ết tập hợp (tức là những mệnh đề cơ bản của nó).
Một trong những mâu thu ẫn đó đã được Rátxen tìm thấy và gọi là nghịch lý
Rátxen. Thực chất của nghịch lý này là: d ựa vào những nguyên t ắc cơ bản của lý
thuyết tập hợp, người ta có thể đưa ra những khách th ể như “tập hợp của tất cả
các tập hợp”, “tập hợp của tất cả các tập hợp không t ự chứa mình với tư cách là
phần tử của mình”. Trên cơ s ở những nguyên t ắc của lý thuyết tập hợp, người ta
hồn tồn có th ể đưa ra kết luận rằng, tập hợp của tất cả các tập hợp khơng chứa

mình với tư cách là phần tử của mình là t ập con của chính nó. Phán đoán trên


chỉ có thể hoặc là chân thực, hoặc là giả dối. Như vậy, ở đây đã xu ất hiện
một nghịch lý được sinh ra t ừ những cơ sở của lý thuyết tập hợp của Canto.
Đương nhiên, một lý thuyết chứa đựng các mâu thu ẫn lơgíc thì khơng th ể lấy
làm cơ sở của toán học được.
Như vậy, trong l ập luận của Canto, mâu thuẫn lơgíc thường đi kèm với những
nguyên tắc cơ bản của lý thuyết tập hợp, do đó, để loại bỏ mâu thuẫn trên thì ít
nhất một trong số những nguyên t ắc cơ bản của nó phải bị loại bỏ. Tuy nhiên,
nếu điều này được thực hiện thì chắc chắn sẽ ảnh hưởng đến việc giữ lại nội
dung quan trọng của lý thuy ết tập hợp. Cho nên, gi ả sử rằng trong lý thuy ết này,
bằng một phương thức cải biến nào đó có thể chấp thuận mà người ta gạt bỏ
được nghịch lý của Rátxen thì, xét t ừ góc độ nhận thức luận và lơgíc học, điều
đó cũng chưa ph ải là một sự luận chứng đầy đủ cho tính phi mâu thu ẫn của lý
thuyết tập hợp. Nhận định trên là chính xác, b ởi vì lý thuy ết tập hợp của Canto
là lý thuyết có nội dung thu ần tuý. Đối với những lý thuyết như vậy, chúng ta
không thể có được khả năng nghiên cứu siêu lý thuyết chính xác tính phi mâu
thuẫn về nội dung và hình th ức của nó. Do đó, cũng khơng có s ự đảm bảo một
cách chắc chắn rằng lý thuy ết tập hợp sẽ khơng chứa đựng những mâu thu ẫn
lơgíc khác.
Tuy nhiên, có th ể khẳng định rằng cách l ập luận này có l ợi đối với tất cả những
trường hợp mà việc vận dụng các tập hợp và những định nghĩa của chúng khơng
dẫn đến mâu thuẫn lơgíc; ch ẳng hạn, với những loại tập hợp vô hạn khác nhau,
như tập hợp các số thực, tập hợp các điểm gọi là đường, tập hợp những hình
hình học, v.v.. Trong nh ững trường hợp đó, người ta đã loại bỏ việc nghiên cứu
“tập hợp của tất cả các tập hợp khơng tự chứa mình”.
Thứ hai, cách lập luận của Canto không gi ải quyết được vấn đề một cách tri ệt để
ở chỗ, nó khơng được xem là cách lập luận có đầy đủ căn cứ. Nguyên nhân này
bắt nguồn từ cơ sở của các lý thuy ết toán học chưa được tiên đề hoá nhờ một hệ

tiên đề hữu hạn, chẳng hạn như số học của các số tự nhiên là một ví dụ. Trong
trường hợp này, chúng ta khơng th ể mơ tả tồn bộ các mệnh đề số học của các số
tự nhiên bằng một hệ tiên đề hữu hạn nào đó. Từ đó, chúng ta nhận thấy rằng,


những mệnh đề chân lý của số học các số tự nhiên sẽ tồn tại không ph ụ thuộc
vào số lượng các tiên đ ề được định trước, dù cho hệ tiên đề có được bổ sung
thêm đi chăng nữa; đồng thời, số học tiên đề là không đầy đủ về phương di ện
ngữ nghĩa. Các lý thuyết toán học tương tự như vậy cũng là không đ ầy đủ. Và,
do đó, chúng ta chỉ có thể rút gọn từng phần của các lý thuy ết tốn học, chứ
khơng thể khẳng định rằng tất cả toán học đang t ồn tại đều được quy gi ản về lý
thuyết tập hợp.
Về phương diện lý thuyết, những khó khăn đ ại loại do các ngh ịch lý của lý
thuyết tập hợp gây ra đã d ẫn tới cuộc khủng hoảng trong lập luận tốn học. Có
thể khẳng định rằng, mâu thu ẫn lơgíc của lý thuyết tập hợp Canto là ngun
nhân cơ bản của cuộc khủng hoảng này. Điều này được thể hiện ở chỗ, các cơ sở
nhận thức luận của lý thuy ết tập hợp bao gồm những nguyên t ắc rất sâu sắc
của sự lý tưởng hố. Chính những ngun tắc đó đã cho phép hình thành các
khách thể của giới tự nhiên thứ hai; trong đó, có các tập hợp rất cần cho hoạt
động nhận thức của con người. Trong khi đó, tính chân lý c ủa các mệnh đề, kể
cả các mệnh đề cơ sở của lý thuyết tập hợp, lại được xem xét b ằng phương pháp
phân tích nh ững định nghĩa trừu tượng nên chưa có căn cứ đầy đủ. Do vậy, có
thể thấy là những ngun t ắc nêu trên khơng có lu ận cứ đích thực và chúng cần
có những sự thay đổi căn bản. Rốt cuộc, những sự thay đổi này sẽ dẫn đến tính
tất yếu phải thay đổi cơ sở nhận thức luận của lý thuyết tập hợp, nghĩa là thay
đổi những nguyên tắc lý tưởng hoá mà lý thuy ết tập hợp sử dụng để thiết lập các
khách thể của mình.
Cũng cần nói thêm rằng, tuy cịn một số vấn đề chưa được giải quyết triệt để
song cách lập luận trên vẫn được chú ý đặc biệt, vì trên thực tế, cho đến nay,
người ta không bắt gặp các nghịch lý (mâu thu ẫn) nào đáng kể. Bởi vậy, đến

cuối thế kỷ XIX, lý thuy ết tập hợp được xem là nền tảng của tồn bộ tốn học cổ
điển và “Chương trình quy gi ản tốn học thuần t về lý thuyết tập hợp, về đại
thể đã được hiện thực hoá”(2). Song, để khắc phục những hạn chế nói trên, m ột
số khuynh hướng lập luận toán học mới đã xuất hiện.
*


*

*

1. Chủ nghĩa Lơgíc
Một trong những ý tưởng đầu tiên tìm lối thốt cho cuộc khủng hoảng trong
cách lập luận toán học của Canto là con đường hạn chế những sự lý tưởng
hoá mà lý thuyết tập hợp đã sử dụng của Rátxen - nhà lơgíc h ọc người Anh.
Thực chất của sự hạn chế đó là việc ngăn cấm đưa vào lý thuy ết tập hợp những
khách thể tuỳ tiện, chẳng hạn như “tập hợp của tất cả các tập hợp khơng t ự chứa
mình với tư cách là phần tử của mình”.
Việc Rátxen thay đ ổi cơ sở nhận thức luận của toán học đã kéo theo sự thay đổi
những cơ sở hiện có của lý thuyết tập hợp. Từ đó, lý thuy ết tập hợp của Rátxen
đã trở thành lý thuy ết nghiên cứu các đối tượng và các t ập hợp được phân loại
thành những lớp dấu hiệu kế tiếp nhau. Vì vậy, người ta coi lý thuy ết của ơng là
lý thuyết suy diễn hình thức.
Cách lập luận của Rátxen thường được gọi là chủ nghĩa lơgíc. Tên gọi này là
hợp lý, bởi lẽ các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp ln ln có th ể được giải
thích như các thuật ngữ lơgíc và tính phi mâu thuẫn của các lý thuyết tốn học
dựa vào tính phi mâu thu ẫn của lơgíc học. Dựa trên những cơ sở của chủ nghĩa
lơgíc, người ta có thể xây dựng tốn học dưới dạng nào đó mà nó được phân bi ệt
một cách sâu sắc, tồn di ện với tốn học thơng thường (cịn gọi là tốn học
lơgíc).

Tuy nhiên, chúng ta ph ải hiểu rằng, sự phân biệt này không đem l ại những lợi
thế tuyệt đối cho các cơ sở nhận thức luận của toán học. Vì, thứ nhất, do việc
ngăn cấm những định nghĩa đưa đ ến mâu thuẫn lơgíc mà vơ hình trung, ngư ời ta
đã loại khỏi toán học những khách th ể và những thành ph ần đóng vai trị cơ b ản,
trong khi bản thân chúng l ại không đưa đ ến bất cứ một mâu thuẫn lơgíc nào. Thứ
hai, chính tốn học lơgíc đơi khi đã tiếp nhận một dạng quy giản khơng tự
nhiên. Ví dụ, đối với một số lớp đối tượng, theo b ản chất, người ta phải thông
qua việc sử dụng số học các số tự nhiên để quy giản.


Việc tiếp nhận những cơ sở nhận thức luận của lý thuyết suy diễn hình thức đã
loại bỏ được những nghịch lý của lý thuyết tập hợp mà Rátxen và các nhà tốn
học, lơgíc học khác đã phát hi ện. Tuy vậy, chúng ta cũng không th ể chứng minh
được tính phi mâu thuẫn tổng quát của lý thuyết suy diễn hình thức bằng phương
tiện siêu lý thuy ết. Bởi vì, lý thuyết suy diễn hình thức là ngơn ngữ phong phú
đến mức khiến những phương ti ện siêu lý thuy ết để chứng minh tính phi mâu
thuẫn của nó đã tự hình thức hố trong đó.
Những điểm thiếu chặt chẽ trong cách l ập luận của chủ nghĩa lơgíc là ở chỗ, tính
chân lý của các tiền đề của lý thuyết suy diễn hình thức chỉ được xác nhận bằng
phương pháp phân tích các đ ịnh nghĩa và chỉ dựa trên cơ sở định nghĩa của các
thuật ngữ xuất phát, mà khơng có b ất kỳ quan hệ gì với hiện thực. Ngồi
ra, sự quy giản tốn học về lơgíc học khơng thể thực hiện được đối với những
trường hợp mà lý thuyết chưa được tiên đề hoá hữu hạn. Vì những lý do đó, lý
thuyết suy diễn hình thức đã khơng đưa ra được những cơ sở có khả năng thoả
mãn cho tồn b ộ tốn học. Do vậy, cách l ập luận toán học dựa trên cơ sở của
chủ nghĩa lơgíc khơng phải là một cách lập luận hồn hảo.
Ngun nhân sâu xa d ẫn đến tính khơng hồn h ảo này chính là nh ững sự lý
tưởng hoá mà chúng ta đã đưa vào cơ s ở nhận thức luận của lý thuy ết suy diễn
hình thức. Một mặt, những sự lý tưởng hố đó đã làm thu h ẹp một cách đáng kể
đối tượng của tốn học; mặt khác, chúng khơng gi ải quyết được triệt để vấn đề

tính chân lý trong cơ s ở nhận thức luận của bản thân lý thuy ết suy di ễn hình
thức.
2. Chủ nghĩa hình thức
Những người theo chủ nghĩa hình thức đã đưa ra một cách ti ếp cận khác đối với
vấn đề lập luận toán học. Người sáng lập ra khuynh hướng này là Himbơ - nhà
toán học và lơgíc h ọc người Đức, sống vào giai đoạn cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ
XX. Ông cho rằng, cách l ập luận một lý thuyết toán học cần phải độc lập với nội
dung của nó và chỉ được dựa trên hình th ức của lý thuyết mà thôi. Đồng thời,
cũng theo quan đi ểm của chủ nghĩa hình thức, tính phi mâu thuẫn hình thức của
lý thuyết toán học được xem như là tiêu chu ẩn của sự lập luận. Việc chứng minh


tính phi mâu thuẫn này địi hỏi phải sử dụng phương pháp d ẫn dắt tính phi mâu
thuẫn của bất kỳ lý thuyết toán học nào, chẳng hạn như số học của các số tự
nhiên; sau đó, nó l ại địi hỏi phải được chứng minh bằng phương pháp hình th ức
một cách thuần tuý. Điều này đã làm h ạn chế việc sử dụng các phương pháp
khác để chứng minh tính phi mâu thu ẫn của lý thuyết hình thức.
Theo chủ nghĩa hình thức, để thực hiện việc lập luận tốn học, trước hết, người
ta cần phải hình thức hố mỗi lý thuyết tốn học, tách hình th ức khỏi nội dung
của nó dưới dạng thuần tuý bằng con đường trừu tượng hố. Hình thức hố tất cả
các lý thuyết tốn học nghĩa là sử dụng ngơn ng ữ nhân tạo, ngôn ngữ ký hiệu để
diễn tả các luận điểm toán học. Để thực hiện điều này, cần phải diễn tả các nội
dung của lý thuyết toán học qua ngơn ngữ hình thức của nó. Nói cách khác,
nhiệm vụ ở đây là xây d ựng các lý thuy ết tốn học được hình thức hố hồn tồn
về phương diện nội dung.
Khi chứng minh tính phi mâu thuẫn của các lý thuyết hình thức được xây dựng
thuần tuý bằng phương pháp hình thức hố, chúng ta chỉ có thể sử dụng lý thuyết
siêu toán học hữu hạn. Do nội dung hữu hạn của siêu tốn h ọc nên tính chân lý
trong các mệnh đề của nó cần phải đạt được mức độ tối đa về tính rõ ràng trực
giác. Vì vậy, cách lập luận tốn học của chủ nghĩa hình thức cần phải dựa trên

sự thiết lập tính chân lý trong siêu tốn h ọc. Từ đó, có thể thấy rằng, do cách
làm này, m ối liên hệ của các cơ sở nhận thức luận và lơgíc trong tốn h ọc bị hạn
chế và nó được chuyển sang siêu tốn h ọc mà ở đó, việc giải quyết vấn đề được
tiến hành đơn gi ản và rõ ràng hơn.
Như vậy, nội dung của chương trình Himbơ đã giả định sự trừu tượng hoá vấn
đề chân lý và các cơ s ở nhận thức luận trong quá trình l ập luận tốn học nhờ
ngơn ngữ nhân tạo; đồng thời, nó cũng gi ả định việc dịch chuyển những vấn đề
đó từ toán học sang siêu toán học. Sự trừu tượng hoá nội dung của tốn học
khơng phải là sự gạt bỏ một cách đơn gi ản mà là mô t ả nó qua hình th ức, tức là
sự hình thức hố đã giả định việc làm sáng tỏ hoàn toàn nội dung. Với cách ti ếp
cận như vậy, những phần toán học đã hình th ức hố đương nhiên là đư ợc lập


luận nhờ chương trình c ủa Himbơ, nh ững phần cịn lại (chưa được hình thức
hố) sẽ phải dựa vào siêu toán học.
Mặc dù siêu toán học hữu hạn nghiên cứu các khách thể vật chất là những hàng
ký hiệu, nhưng nó cho phép s ự lý tưởng hóa khá sâu s ắc về chúng. Đi ều đó được
thể hiện ở chỗ: thứ nhất, giả định rằng khi cần thiết, những hàng ký hi ệu có thể
lớn bao nhiêu cũng được. Điều này có nghĩa là kh ả năng thực hiện được các
khách thể của siêu toán học hữu hạn được giả thiết không chỉ là ở dạng thực
tại mà còn cả ở dạng tiềm năng. Thứ hai, giả định rằng, các ký hi ệu là những
khách thể chính xác, ch ặt chẽ và không bị thay đổi trong quá trình suy lu ận. Thứ
ba, giả định một cách xa hơn r ằng, việc đánh giá các phán đoán v ề tính chất và
quan hệ của các ký hiệu có thể được tiến hành trên cơ sở trực giác. Về thực
chất, những sự lý tưởng hoá như th ế đã xác định những tiền đề nhận thức luận
của chủ nghĩa hình thức. Những tiền đề này sẽ quyết định các phương pháp và
các tiêu chuẩn cho sự đánh giá tính chân lý của những phán đoán siêu toán h ọc,
và trên cơ sở đó, đánh giá tính chân lý c ủa các phán đốn tốn h ọc.
Tuy vậy, chương trình c ủa Himbơ về lập luận tốn học khơng thể thực hiện được
một cách hoàn h ảo, bởi những nguyên nhân sau: thứ nhất, mặc dù qua hình thức

ta có thể diễn tả nội dung của nó, nhưng đối với những lý thuyết phong phú,
chẳng hạn như số học của các số tự nhiên, thì khơng th ể mơ tả chúng một cách
đầy đủ; thứ hai, dường như khơng có khả năng chứng minh được tính phi mâu
thuẫn của số học bằng phương pháp hình th ức hố thuần t nhờ những dữ liệu
được rút ra bởi siêu toán học của Himbơ.
3. Chủ nghĩa trực giác.
Một khuynh hướng khác trong l ập luận toán học là chủ nghĩa trực giác với
những đại biểu như L.E.Brauơ, A.Gâytinh,… Ch ủ nghĩa trực giác đề cao tiêu
chuẩn về tính rõ ràng trực giác khi đánh giá nh ững giá trị chân lý của các phán
đoán toán học. Tuy nhiên, khác v ới quan điểm của Himbơ, tiêu chu ẩn về tính rõ
ràng trực giác mà nh ững người theo chủ nghĩa nhà trực giác đưa ra l ại có tính
chất chủ quan hồn tồn. Điều này được phản ánh ở chỗ, tính chất của sự lý
tưởng hoá bị qui định bởi những cơ sở nhận thức luận của chủ nghĩa trực giác.


Ngược lại, tính trực giác trong siêu tốn h ọc của Himbơ mang tính khách quan.
Trong siêu tốn h ọc, các dạng ký hiệu được nghiên cứu một cách trực tiếp, nghĩa
là các khách th ể vật chất biểu thị qua ký hiệu có thể được lý tưởng hố với mục
đích nhận được các kết luận chung về mọi tính chất của chúng, ch ứ không phải
được thực hiện một cách ch ủ quan.
Toán học trực giác khác với toán học thơng thường ở chỗ, một mặt, nó tiếp nhận
những sự lý tưởng hố về tính thực hiện được một cách yếu hơn - sử dụng vô
hạn tiềm năng. Những sự lý tưởng hoá như v ậy đã xác l ập lên những tiền đề làm
thành tiêu chu ẩn để đánh giá các phán đoán toán h ọc. Mặt khác, các nhà tr ực
giác luận đã gắn kết những sự lý tưởng hố này v ới cách gi ải thích duy tâm v ề
tính rõ ràng trực giác trong việc đánh giá các phán đoán toán h ọc. Trên th ực tế,
việc tiếp nhận sự lý tưởng hoá – ở dạng này hay d ạng khác – luôn phụ thuộc vào
các nhiệm vụ của khoa học và của thực tiễn, chứ khơng phụ thuộc vào đi ều kiện
có sự chỉ đạo nào đó của trực giác, như các nhà tr ực giác quan ni ệm.
Cơ sở nhận thức luận của toán học trực giác là s ự tiếp nhận các nguyên t ắc cho

phép xây dựng những khách th ể tốn học dựa trên sự trừu tượng hố tính thực
hiện được một cách tiềm năng; đồng thời, cho phép s ử dụng các phương pháp
trực giác để đánh giá tính chân lý c ủa các phán đoán toán h ọc.
Trong lập luận toán học, những nhà trực giác quan niệm rằng, tất cả các khách
thể được xây dựng nhờ những sự lý tưởng hoá sâu s ắc hơn so với sự lý tưởng
hố mà họ khởi xướng đều nằm ngồi đối tượng của tốn học. Khi đó, các t ập
hợp vô hạn thực tại bị gạt bỏ và chỉ những tập hợp vô hạn tiềm năng mới thuộc
về đối tượng của toán học. Độ tin cậy trong quan niệm trực giác về tính phi mâu
thuẫn của tốn học được thiết lập trên cơ sở dựa vào quá trình xây d ựng các
khách thể cho phép không d ẫn đến mâu thuẫn lơgíc .
Những người phê phán ch ủ nghĩa trực giác đã phát hiện thấy một thiếu sót chủ
yếu của cách lập luận trực giác là, trong toán h ọc trực giác, đối tượng của tốn
học thơng thường đã bị thu hẹp lại. Trong khi đó, tốn h ọc thơng thường có thể
được trực giác tiếp nhận lại trở nên phong phú hơn, đa d ạng hơn.


Như vậy, chủ nghĩa trực giác đã cố gắng xây dựng lập luận toán học bằng cách
dựa vào những tiền đề nhận thức luận sử dụng vô hạn tiềm năng và lo ại bỏ khỏi
tốn học tất cả những gì không đư ợc thu gom l ại trong phạm vi đó. Tuy nhiên,
những điều này đã dẫn tới chỗ làm hạn chế tối đa các thành phần cơ bản cũng
như làm thu hẹp phạm vi của tốn học. Đó chính là đi ểm yếu nhất của chủ nghĩa
trực giác.
4. Chủ nghĩa kiến thiết
Một khuynh hướng khác trong l ập luận toán học đáng được lưu tâm là chủ nghĩa
kiến thiết với những đại biểu như A.Triôtrơ, X.Clinhi, A.A.Mácc ốp… Khuynh
hướng này cũng s ử dụng vô hạn tiềm năng song nó khác với chủ nghĩa trực giác,
trước hết ở cách đặt vấn đề về lập luận các lý thuy ết toán học. Từ quan điểm của
những đại biểu theo trường phái này, chúng ta nh ận thấy rằng, chủ nghĩa kiến
thiết đã đặt vấn đề tách bộ phận cấu trúc của tốn học và nghiên c ứu nó ở dạng
thuần tuý, xem đó là nhi ệm vụ chủ yếu của mình. Đi ều này có ý nghĩa to l ớn

trong mối liên hệ với sự phát triển của toán học tính tốn. Cách l ập luận của chủ
nghĩa kiến thiết đã giả định sự cần thiết phải xây dựng cấu trúc của những lý
thuyết tốn học đích thực .
Cũng giống như chủ nghĩa trực giác, nguyên tắc lý tưởng hoá của chủ nghĩa kiến
thiết bị hạn chế bởi những phạm vi của tính thực hiện được một cách ti ềm
năng trong việc xây dựng các khách t hể toán học. Tuy nhiên, tính hi ệu quả của
các q trình xây d ựng những khách th ể toán học cũng như của sự đánh giá tính
chân lý của các phán đốn về những khách th ể đó được thể hiện trên cơ s ở các
định nghĩa được chính xác hố nhờ các thuật tốn, chứ khơng phải dựa vào tính
trực giác chủ quan như chủ nghĩa trực giác quan ni ệm. Do đó, tính rõ ràng tr ực
giác của những khẳng định về các khách thể tốn học kiến thiết hồn tồn khơng
liên hệ với một sự chỉ đạo nào bằng trực giác. Nó đư ợc quy định bởi đặc trưng
của những sự lý tưởng hoá mà chủ nghĩa kiến thiết sử dụng trong vi ệc xây
dựng các cấu trúc toán h ọc.
Đương nhiên, xét t ừ góc độ những tiêu chuẩn của chủ nghĩa kiến thiết, cách l ập
luận này cũng khơng ph ải là đã hồn h ảo, bởi vì khơng ph ải tất cả tốn học cổ


điển đều được lập luận một cách đầy đủ. Ở đây, vấn đề được đặt ra là nh ững bộ
phận khơng phải cấu trúc của tốn học đã bị loại bỏ khỏi tốn học. Những bộ
phận đó, một cách đơn gi ản, khơng nằm trong đối tượng của tốn học kiến thiết.
Cho nên, việc cần lập luận hay vứt bỏ chúng (những bộ phận không phải cấu
trúc) không ph ải là nhiệm vụ mà chủ nghĩa kiến thiết đặt ra. Như vậy, cũng
tương tự như khuynh hướng trực giác, khuynh hướng (chủ nghĩa) ki ến thiết
trong lập luận toán học không tránh khỏi làm thu hẹp đáng kể đối tượng của tốn
học.
*

*

*
Từ những sự phân tích trên, chúng ta có th ể rút ra nhận xét rằng, tất cả các
khuynh hướng lập luận toán học được xem xét, m ột cách rõ ràng ho ặc không rõ
ràng, trực tiếp hay gián tiếp, cũng đều xuất phát từ những sự lý tư ởng hoá được
sử dụng khác nhau. Những sự lý tưởng hố đó, một mặt, cho chúng ta phương
thức để xây dựng các khách thể của toán học, đánh giá tính chân lý c ủa những
khẳng định về chúng; mặt khác, đặt ra nhu cầu của sự lập luận. Do sử dụng
những sự lý tưởng hoá khác nhau, cho nên n ảy sinh các phương th ức lập luận
khác nhau. Nhìn chung, m ỗi cách lập luận trên đều có những ưu điểm và khuyết
điểm nhất định, mà không một phương th ức nào trong số đó có thể đem lại cho
chúng ta một cách lập luận hoàn hảo.
Theo quan điểm của chúng tôi, trên l ập trường của chủ nghĩa duy vật biện
chứng, chúng ta cần phải khai thác tri ệt để những ưu thế của từng cách lập luận
nhằm đảm bảo cho sự phát triển của toán học phù hợp với những yêu cầu mà
nhận thức khoa học và thực tiễn đặt ra. Với cách nhìn như v ậy, các cách l ập luận
này bổ sung và thống nhất với nhau trong quá trình phát tri ển của tốn học nói
riêng, của khoa học nói chung. Chính vì v ậy, cùng với việc vận dụng các cách
lập luận khác nhau vào nh ững bộ phận, lý thuy ết toán học cụ thể, chúng ta cần
chú ý tới giá trị thực tiễn mà các lý thuyết toán học cụ thể đem lại. Đồng thời,
trong việc đánh giá tính chân lý c ủa các tri thức toán học, bên cạnh những tiêu
chuẩn lơgíc mà các cách l ập luận khác nhau đưa ra, chúng ta c ần sử dụng triệt


để tiêu chuẩn thực tiễn. Chỉ có như vậy, chúng ta mới đem lại cho toán h ọc
những cơ sở lý luận và thực tiễn vững
chắc.

(*) Phó giáo sư, ti ễn sĩ triết học, Phó vi ện trưởng Viện Triết học.
(1) G..I Rudavin,. Về bản chất của tri thức toán học. Nxb Tư tưởng, Mátxcơva,
1974, tr. 39 (tiếng Nga).

(2) Triết học trong thế giới hiện đại. Triết học và Lơgíc h ọc. Nxb Khoa h ọc,
Mát xcơva, 1974, tr. 10 (ti ếng Nga).