ĐỀ CƯƠNG ôn tập TOÁN 8 GIÁO VIÊN TOÁN

GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477

GIÁO VIÊN TOÁN BIÊN SOẠN

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 8

ĐẠI SỐ - HÌNH HỌC
GVBM
HS:………………………………………..

Năm học 2021 - 2022

GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477
Page 1


GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477
ĐỀ CƯƠNG HKI NĂM HỌC 2018-2019

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN 12

MƠN: TỐN – LỚP 8

ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐƠN THỨC
- Quy tắc nhân đơn thức với đa thức:
- Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng số hạng của đa thức
rồi cộng các tích với nhau. Công thức:
+ Cho A, B, C là các đơn thức, ta có: A(B + C) = A.B + A.C
+ Cho A, B, C, D là các đơn thức, ta có: A(B + C - D) = AB + AC - AD.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Làm tính nhân:
a) 3x(5x2 - 2x - 1);

b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);

1
2
c) 2 x2y(2x3 - 5 xy2 - 1);

2
d) 7 x(1,4x - 3,5y);

1
2
3
4
e) 2 xy( 3 x2 - 4 xy + 5 y2);

f)(1 + 2x - x2)5x;

2

2

3

2
h) 3 x2y(15x - 0,9y + 6);

2

g) (x y - xy + xy + y ). 3xy ;

Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng:
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)

3
với a = 2 .

b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)

với x = 2,1.

c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2

với a = -0,2.

d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)

1
với b = 2

Bài 3. Thực hiện phép tính sau:
a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bài 4. Đơn giản các biểu thức:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b);

b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;

GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477
Page 2


GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477

1
1
3
c) (- 2 x) - x(1 - 2x - 8 x2);

d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).

Bài 5. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0:
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).

Bài 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
1. Qui tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa
thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.
2. Cơng thức:
Cho A, B, C, D là các đa thức ta có:
(A + B) . (C + D) = A(C + D) + B(C + D)
= AC + AD + BC + BD.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);

b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);

1
c) 2 x2y2(2x + y)(2x - y);

1
d) ( 2 x - 1) (2x - 3);

e) (x - 7)(x - 5);

1
1
f) (x - 2 )(x + 2 )(4x - 1);

Bài 2.Chứng minh:
a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;

b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;

Bài 3. Thực hiện phép nhân:
a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
Bài 4. Viết các biểu thức sau dưới dạng đa thức:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);

Bài 5. Tìm x, biết:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477
Page 3


GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477

c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);

Bài 3,4,5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. Bình phương của một tổng:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
2. Bình phương của một hiệu:
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
3. Hiệu của hai bình phương:
A2 – B2 = (A + B)(A – B)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
5. Lập phương của một hiệu:
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
6. Tổng hai lập phương:
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
7. Hiệu hai lập phương:
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477
Page 4

GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477

GIÁO VIÊN TOÁN – ZALO: 0943313477
Page 5


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Tính
a) (x + 2y)2;
d) (x - 1)2;

b) (x - 3y)(x + 3y);

c) (5 - x)2.

e) (3 - y)2

1
f) (x - 2 )2.

Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng:
2

a) x + 6x + 9;

1
b) x + x + 4 ;
2

c) 2xy2 + x2y4 + 1.

Bài 3. Rút gọn biểu thức:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bài 4. Ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:
a) (y - 3)(y + 3);

b) (m + n)(m2 - mn + n2);

c) (2 - a)(4 + 2a + a2);

d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;

Bài 5. Hãy mở các dấu ngoặc sau:
a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)

b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);

c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b);

d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).

Bài 6. Tính giá trị biểu thức:
a) x2 - y2 t¹i x = 87

với y = 13;

b) x3 - 3x2 + 3x - 1

với x = 101;

c) x3 + 9x2 + 27x + 27

với x = 97;

d) 25x2 - 30x + 9

với x = 2;

e) 4x2 - 28x + 49

với x = 4.

Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng:
a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)

với x = - 5, y = -3;

b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)

với a = -4, b = 4.

Bài 8. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
6

d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
Bài 9. Tìm x, biết:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
Bài 10. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;

b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;

c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2];

d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].

Bài 11. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến.
a) 9x2 - 6x +2;

b) x2 + x + 1;

c) 2x2 + 2x + 1.

Bài 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = x2 - 3x + 5;
b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = 4 - x2 + 2x;
b) B = 4x - x2;

Bài 6: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG
1. Khái niệm:
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của
những đa thức.
2. Ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử:
- Việc phân tích đa thức thành nhân tử giúp chúng ta rút gọn được biểu thức, tính nhanh, giải
phương trình.
- Phương pháp đặt nhân tử chung:
+ Khi tất cả các số hạng của đa thức có một thừa số chung, ta đặt thừa số chung đó ra ngồi
dấu ngoặc () để làm nhân tử chung.
+ Các số hạng bên trong dấu () có được bằng cách lấy số hạng của đa thức chia cho nhân tử
chung.
Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
7


Bài 1: Phân tích thành nhân tử

a) 3x-3y

b) 2x 2 +5x 3 +x 2 y

c)14x 2 -21xy 2 +28x 2 y 2

d) 4x 3 -14x 2

e) 5y10 +15y 6

f) 9x 2 y 2 +15x 2 y-21xy

g) x(y-1)-y(y-1)

h)10x(x-y)-8y(y-x)

i) 3x 2 (x+1)-2(x+1)

j) a(b+c)+3b+3c

k) a(c-d)+c-d

l) b(a-c)+5a-5c

m) b(a-c)+5a-5c

n) a(m-n)+m-n

o) mx+my+5x+5y

p) ma+mb-a-b

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 2x(x+3)+2(x+3)

b) 4x(x-2y)+8y(2y-x)

c) y 2 (x 2 +y)-zx 2 -zy

d) 3x(x+7) 2 -11x 2 (x+7)+9(x+7)

e) (x+5) 2 -3(x+5)

f) 2x(x-3)-(x-3) 2

g) x(x-7)+(7-x) 2

h) 3x(x-9) 2 -(9-x)3

i) 5x(x-2)-(2-x)

j) 4x(x+1)-8x 2 (x+1)

o) 5x 5 (x-2z)+5x 5 (2z-x)

p) 10x(x-y)-8y(y-x)

Bài 3: Tìm x, biết
a) 5x(x-2)-(2-x)=0
1 2
c) x(2x-1)+ - x=0
3 3
e) 3x(x-2)+2(2-x)=0;

b) 4x(x+1)=8(x+1)
d) x(x-4)+(x-4) 2 =0
f) 5x(3x-1)+x(3x-1)-2(3x-1)=0.

Bài 7: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC
Áp dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức cần lưu ý:
- Trước tiên nhận xét xem các hạng tử của đa thức có chứa nhân tử chung khơng ? Nếu có thì áp
dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung.
- Nếu khơng thì xét xem có thể áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích thành nhân tử
hay không ?
Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng hằng đẳng thức.
Ví dụ:
4 x 2  – 12 x – 9    4 x 2   12 x  9 
2
                         2 x    2 . 2 x . 3  32   



8

 2x

 3

2


BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x2 - 9;

b) 4x2 - 25;

c) x6 - y6

d) 9x2 + 6xy + y2;

e) 6x - 9 - x2;

f) x2 + 4y2 + 4xy

g) 25a2 + 10a + 1;

h)10ab + 0,25a2 + 100b2

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x3 + 8;

b) 27x3 -0,001

c) x6 - y3;

d)125x3 - 1

e) x3 -3x2 + 3x -1;

f) a3 + 6a2 + 12a + 8

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;

 4abcd   a 2  b2   c 2  d 2    4 cd  a 2  b2   ab  c 2  d 2  




b) M = 
2

2

Bài 4: Tìm x, biết
a) x3 - 0,25x = 0;

b) x2 - 10x = -25

c) x2 - 36 = 0;

d) x2 - 2x = -1

Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 2x8 - 12x4 + 18;

b) a4b + 6a2b3 + 9b5;

c) -2a6 - 8a3b - 8b2;

d) 4x + 4xy6 + xy12.

Bài 6: Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm
a) x2 - 2xy + y2 + a2;

b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;

c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;

d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;

Bài 8: Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz

Bài 8: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ
9


1. Phương pháp:
- Ta vận dụng phương pháp nhóm hạng tử khi khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử
bằng phương pháp đặt nhân tử chung hay bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
- Ta nhận xét để tìm cách nhóm hạng tử một cách thích hợp (có thể giao hốn và kết hợp các
hạng tử để nhóm) sao cho sau khi nhóm, từng nhóm đa thức có thế phân tích được thành nhân tử
bằng phương pháp đặt nhân tử chung, bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Khi đó đa thức mới
phải xuất hiện nhân tử chung.
- Ta áp dụng phương pháp đặt thành nhân tử chung để phân tích đa thức đã cho thành nhân
tử.
2. Chú ý:
- Với một đa thức, có thể có nhiều cách nhóm các hạng tử một cách thích hợp.
- Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích đến cuối cùng (khơng cịn phân tích
được nữa).
- Dù phân tích bằng cách nào thì kết quả cũng là duy nhất.
- Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý đến dấu của đa thức.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x2 - xy + x - y;

b) xz + yz - 5(x + y)

c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.

d) x2 + 4x - y2 + 4;

e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;

f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2;

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;

b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;

c) ax - bx - cx + ay - by - cy;

d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;

Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;

b) a4 + ab3 - a3b - b4;

c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2;

c) x4 + x3 y - xy3 - y4;

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;

b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;

c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b;

d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.

Bài 5: Tìm x, biết
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;

b) x3 - x2 - x + 1 = 0;

c) x2 - 6x + 8 = 0;

d) 9x2 + 6x - 8 = 0.

e) x(x - 2) + x - 2 = 0;

f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.

Bài 6: Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau
a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 khi x = 6; y = -4; z = 45.
10


b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48

khi x = 0,5

Bài 7: Tính nhanh
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.

Bài 9: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG
CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
1. Phương pháp: Ta tìm hướng giải bằng cách đọc kỹ đề bài và rút ra nhận xét để
vận dụng các phương pháp đã biết: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử và
phối hợp chúng để phân tích đa thức thành nhân tử.
2. Chú ý: Nếu các hạng tử của đa thức có nhân tử chung thì ta nên đặt nhân tử
chung ra ngoài dấu ngoặc để đa thức trong ngoặc đơn giản hơn rồi mới tiếp tục phân tích đến kết quả
cuối cùng.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x3 - 2x2 + x;

b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;

c) 2xy - x2 - y2 + 16;

d) a4 + a3 + a3b + a2b

e) a3 + 3a2 + 4a + 12;

f) a3 + 4a2 + 4a + 3;

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);

b) (x + y)3 - x3 - y3;

c) (x - y + 4)2 - (2x + 3y - 1)2;

d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.

e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);

f) x5 - 5x3 + 4x;

g) x3 - 11x2 + 30x;

h) 4x4 - 21x2y2 + y4;

i) x3 + 4x2 - 7x - 10;

k) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;

Bài 3: Tìm x, biết.
a) 5x(x - 1) = x - 1;

b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;

1
c) x - 4 x = 0;

d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0

3

Bài 4: Tính nhanh giá trị biểu thức
1
1
a) x2 + 2 x + 16 khi x = 49,75;

b) x2 - y2 - 2y - 1 khi x = 93 và y = 6.

Bài 10: CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC
1. Đơn thức chia hết cho đơn thức: Với A và B là hai đơn thức, B ≠ 0. Ta nói A chia hết cho B
nếu tìm được một đơn thức Q sao cho A = B . Q
11


Kí hiệu: Q = A : B =
2. Qui tắc:
Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta làm như sau:
- Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B.
- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.
- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Làm phép tính chia
a) 10015 : 10012;
16

b) (-79)33 : (- 79)32;

14

21

1 1
  : 
c)  2   2  ;

18

 3  3
   :  
d)  5   5  .

Bài 2: Chia các đơn thức
a) -21xy5z3 : 7xy2z3;

1
3
b) ( 2 a3b4c5) : 2 a2bc5;

c) x2yz : xyz;

d) x3y4 : x3y;

e) 18x2y2z : 6xyz;

f) 5a3b : (-2a2b);

g) 27x4y2z : 9x4y;

h) 9x2y3 : (-3xy2);

3
1
i) ( 4 m2n4) : 2 m2n2;

j) 5x4y3z2 : 3xyz2;

Bài 3: Thực hiện phép chia
1
b) (x - 3x y +5xy ) : ( 3 x);

4
6
2
3
a) (xy - 3 x y + 5 x3y2) : 2xy;
2

3

2

2

3
6
9
3
c) ( 4 a3b6c2 + 5 a4b3c - 10 a5b2c3) : 5 a3bc;

d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
Bài 4: Với giá trị nào của n thì thực hiện được các phép chia đơn thức sau? Với điều kiện tìm
được hãy thực hiện phép chia đó
a)x2n : xn + 3;

b) 3xny2 : 4x2y;

c) 6x3y5 : 5xny2;

d) xnyn+2 : 3x3y4.

Bài 11: CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC
1. Qui tắc:
12


Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho
đơn thức B), ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.
2. Chú ý:
Trường hợp đa thức A có thể phân tích thành nhân tử, thường ta phân tích trước
để rút gọn cho nhanh.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;

b) (163 - 642) : 83;

Bài 2. Làm tính chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;

b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);

1
1
2 3
3 2
2
c) (x y - x y - x y ) : 3 x2y2;

d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);

3 3

2
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + 3 a4);

f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.

Bài 12: CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP
Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một
biến, B ≠ 0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:
A = B . Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1
- Nếu R = 0, ta được phép chia hết.
- Nếu R ≠ 0, ta được phép chia có dư.
* Phương pháp chung:
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia thì được
hạng tử cao nhất của thương.
- Nhân hạng tử cao nhất của thương với đa thức chia rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa
tìm được, ta được dư thứ nhất.
- Chia hạng tử cao nhất của đa thức dư thứ nhất cho hạng tử cao nhất của đa thức chia ta

được hạng tử thứ hai của thương.
- Nhân hạng tử thứ hai của thương với đa thức chia rồi lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa tìm
được, ta được dư thứ hai.
- Lặp lại quá trình trên cho đến khi:
+ Nếu dư cuối cùng bằng 0 thì phép chia có dư bằng 0 và được gọi là phép chia hết.

13


+ Nếu dư cuối cùng khác 0 và bậc của đa thức dư thấp hơn bậc của đa thức chia thì
phép chia đó được gọi là phép chia có dư.
* Ký hiệu:
A(x) là đa thức bị chia;
B(x) là đa thức chia;
Q(x) là đa thức thương;
R(x) là đa thức dư;
Ta luôn có: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- Nếu R(x) = 0 thì A(x) = B(x) . Q(x) gọi là phép chia hết.
- Nếu R(x) 0 thì A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của B(x)) gọi là phép
chia có dư.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Làm tính chia:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);

b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);

c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3);
Bài 2. Sắp sếp các đa thức sau theo luỹ giảm dần thừa của biến:
a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);

c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
Bài 3. Thực hiện phép chia ở bài 2
Bài 4. Tính nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
1
4
1
3
2
d) (64a - 27 b ) : (16a + 3 ab + 9 b2).
3

Luyện tập thêm:
14


Một số phương pháp khác để tìm đa thức thương và đa thức dư
I. Phương pháp đặt phép chia:
Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2.
Giải
Thực hiện phép chia
x3
x3 +

+

b

x2 + x - 2

+

b

x-1

x +

2

+ ax
x2 -

2x

-x2 + (a +2)x
-x2 -

(a + 3)x + (b -2)
Để chia hết, đa thức dư phải đồng nhất băng 0, nên :
a  3  0
a  3



b  2  0
b  2
vậy với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x + 2.
II. Phương pháp hệ số bất định.
- Nếu hai đa thức f(x) và g(x) bằng nhau với mọi giá trị của biến số x thì người ta goi là hai đa thức
hằng đẳng hoặc hai đa thức đồng nhất. Kí hiệu f(x) g(x).
- Hai đa thức (đã viết dưới dạng thu gọn) được gọi là đồng nhất (hằng đẳng) khi và chỉ khi các hệ
số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó là bằng nhau.
*) Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2.
Giải
Đa thức bị chia có bậc là ba, đa thức chia có bậc hai, nên thương là một nhị thức bậc nhất,
hạng tử bậc nhất là x3 : x2 = x.
Gọi thương của phép chia là x + c, ta có
x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai đa thức trên đồng nhất nên :

15


c  1  0
c  1


 c  2  a   a  3
2c  b
b  2



Vậy với a = -3, b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2, , thương là x - 1.
III. Phương pháp xét giá trị riêng
*) Ví dụ:
Xác định các số hữu tỷ a và b để đa thức x3 + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x + 2.
Giải
Gọi thương của phép chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 là Q(x), ta có:
x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
Vì đẳng thức đúng với mọi x, nên lần lượt cho x = 1, x = -2 ta được :
1  a  b  0
 a  b  1
 a  3



8  2a  b  0 2a  b  8 b  2
Với a = -3; b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x2 + x - 2 và thương là x - 1.
IV. Phương pháp vận dụng vào định lý Bơdu
a) Định lý: Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a bằng giá trị của đa thức f(x)
tại x = a.(Nghĩa là r = f(a)).
b) Chú ý: Đa thức f(x) chia hết cho x - a khi và chỉ khi f(a) = 0
Các bài tập áp dụng cho các phương pháp trên.
Bài 1. Xác định a và b để đa thức x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức.
HD: sử dụng phương pháp hệ số bất định, ta có đáp số:
x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2
x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bài 2. Xác định a và b để đa thức x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hết cho đa thức x2 - x - 2.
HD: sử dụng phương pháp giá trị riêng, ta được kết quả a = 2; b = - 4.
Bài 3. Xác định các hệ số a và b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 + x + 1;

b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6, chia cho x - 1 dư 21.
HD: ta có kết quả
a) a = 1; b = 1;
b) a = 3; b = -1.
16


Bài 4. Tìm các giá trị nguyên của x để:
a) Giá trị của biểu thức x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hết cho giá trị của biểu thức x + 1;
b) Giá trị của biểu thức 2x2 + x - 7 chia hết cho giá trị của biểu thức x - 2.
HD
a) Thực hiện phép chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 dư là -3
Suy ra -3 M(x + 1)  x {0; -2; 2; -4}.
b) x  {3; 1; 5; -1}.
Bài 5. Cho đa thức A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuộc Q). Xác định a sao cho A(x) chia hết cho
x + 1.
HD
*) Cách 1. (Đặt phép chia đa thức).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho đa thức (x + 1) được thương là
a2x2 + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) và đa thức dư là -a2 + a + 6
- Để đa thức A(x) chia hết cho đa thức x + 1 thì đa thức dư phải bằng 0, tức là
-a2 + a + 6 = 0, giải phương trình ta được a = -2; a = 3.
*) Cách 2. (Dùng phương pháp hệ số bất định).
+) Tìm hạng tử bậc cao nhất a2x3 : x = a2x2, hạng tử bậc thấp nhất -2a : 1 = -2a
+) Biểu diễn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau đó dùng phương pháp đồng nhất để tìm ra
a = -2; a = 3 và kết luận.
*) Cách 3. (Dùng phương pháp xét giá trị riêng).
Bài 6. Xác định hằng số a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hết cho 2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia hết cho x - 3 d 4;

c) ax5 + 5x4 - 9 chia hết cho x - 1.
Bài 7. Xác định các hằng số a và b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10;
c) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức (x - 1)2;
d) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b.
Bài 8. Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x - 3 thì dư - 5.

17


ÔN TẬP CHƯƠNG I
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)  4x-3  3x+2  -  6x+1  2x-5  +1

b) (3x+4) 2 +(4x-1) 2 +(2x+5)(2x-5)

c) (2x+1)(4x 2 -2x+1)+(2-3x)(4+6x+9x 2 )

d) (2x+5)(3x-1)-6x(x-3)-21x

e) (x-y+z) 2 +(y-z) 2 +2(x-y+z)(y-z)

f)  5x – 1 .  x + 3  –  x – 2  .  5x – 4      

g)  x + 1  x 2  – x + 1 –  3 + x



9 – 3x + x 2   

h)  2x + 3  4x 2  – 6x + 9  – 2  4x 3  - 1

Bài 2:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 9x 3 y 2 -15x 2 y 3

b) 25x 2 -49y 2

c) x 2 y-xy 2 -7x+7y

d) x 2 -2xy+y 2 -9z 2

e) x 2 +9x+20

f) x 4 -5x 2 +4

g) x 4 +4

h) x(x+1)(x+2)(x+3)+1

Bài 3:Tìm x biết

a) (x+3) 2 (x-2) 2 =2x
3

2

b) 7x(x-2)=(x-2)

c) 8x -12x +6x-1=0

d) 4x 2 -9-x(2x-3)=0

e) x 3 +5x 2 +9x=-45

f) x 3 -6x 2 -x+30=0

g) x 2 +16=10x

h)  x – 1 3 + 3x.  x – 4  + 1 = 0        

i) x 2  – 25 = 6x – 9 

j) 4x 2  – 1 – x.  2x + 1 = 0             

18


Bài 4:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a ) A  x 2 -8 x  17

b) B  x 2 - 4 x  7

c) C  3 x 2  6 x -1

d ) D  x 2  y 2 - 4( x  y )  16
3

f ) F  x2  x 1
2

e) E  4 x 2  y 2 - 4 x - 2 y  3
Bài 5:Tìm GTLN của các biểu thức sau

Bài 6: Thực hiện phép tính
1
a ) (-3x 2 y 3  4 x 3 y 4 - x 4 y 5 ) : (- x 2 y 3 )
2
4
2
2
c)  x  8 x  16  : ( x  4)

d ) ( x 3  1) : ( x 2 - x  1)

e) (6 x 3 -19 x 2  23 x -12) : (2 x - 3)

f ) ( x 2   x – 3).( x 2  – x  3)                               

g ) (6 x3  – 7 x 2  – x  2) :  2 x  1

h) ( x 3  – 3 x 2   3 xy 2  – y 3 ) : ( x 2  – 2 xy  y 2 )

3
2
b)  2  x - y  - 7  y - x  -  y - x   : ( x - y )



CHƯƠNG II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Bài 1: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
1. Định nghĩa
A
Phân thức đại số ( phân thức ) là một biếu thức có dạng B , trong đó A, B là những

đa thức B ≠ 0, A là tử thức, B là mẫu thức.
Đặc biệt: Mỗi đa thức cúng được coi như một phân thức với mấu thức bằng 1.
2. Hai phân thức bằng nhau
A
Với hai phân thức B và gọi là bằng nhau nếu: AD = BC
A
Ta viết: B = nếu AD = BC

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau:

19


x2  x  2

x 2 y 3 7 x3 y 4

5
35 xy ;
a)

b)

x  x  2

3  x x2  6x  9

9  x2 ;
c) 3  x

2



x
x2

;

x3  4 x  x 2  2 x

5
d) 10  5 x
;
3x  x  5

3x
2

5 y 20 xy

8x ;

e) 7

f)

x  2  x  2   x  1

x

1
x2  1
g)
;

x 2  x  2 x 2  3x  2

x

1
x 1 ;
h)

2  x  5



;

Bài 2. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau.

A

6 x 2  3x

2
a) 2 x  1 4 x  1 ;

4 x2  3x  7 4 x  7

A
2x  3 ;
b)

4x2  7 x  3
A
 2
2
x 1
x  2x  1 ;
c)

x2  2 x
x2  2x

2
A .
d) 2 x  3x  2

Bài 3. Ba phân thức sau có bằng nhau khơng?

x2  x  2 x  2 x2  4
;

;
x2 1 x  1 x2  x  2 .
Bài 4. Tìm tập xác định của các phân thức sau:
3
a) 5 x  2 ;

x2  3
2
b) x  6 x  9 ;

x
c) x  3x ;

2x 1
d) x  3x  2 .

2

2

Bài 5. Tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0.

x2  x
b) 2 x  1 ;

3x  1
2
a) x  5 ;

x 2  3x  2

x2  1 ;
c)

x2  2 x
2
d) x  4 x  4 ;

Bài 2: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

20


1. Tính chất
- Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức khơng thì
được một phân thức bằng phân thức đã cho:
A A.M

B B.M ( M là một đa thức khác đa thức 0)

- Nếu chia cả tử và mẫu của một đa thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một
phân thức bằng phân thức đã cho.
A A: N

B B : N ( N là một nhân tử chung)

2. Qui tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phên thức thì được một phân thức bằng
phân thức đã cho
A A

B B

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào chỗ trống
trong các đẳng thức sau:

x  x2 x

2
a) 5 x  5 ... ;

c)

...
3x 2  3xy

x  y 3 y  x 2

x 2  8 3x 3  24 x

...
b) 2 x  1
;
 x 2  2 xy  y 2
...
 2 2
x y
y x ;
d)

;

5x  5 y 5x 2  5 y 2

...
2 y  2x .
f)

x3  x 2
...

2
e) x  1 x  1 ;

Bài 2. Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A cho
trước.
4x  3
, A= 12x 2 +9x
2
a) x  5

;

b)

8x2  8x  2
, A  1 2x
 4 x  2   15 x  1

;

Bài 3. Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến đổi mỗi cặp phân
thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức:
3x
7x  2
x

5
a)
và ; 5  x ;

4x
3x
x

1
x
b)
và ;  1 ;

21


2
x4
2
c) x  8 x  16 và ; 2 x  8 ;

d)

2x

 x  1  x  3

và ;

x3
 x  1  x  2 

Bài 4. Các phân thức sau có bằng nhau khơng?

x3 y3
x2
3
a) xy và ; y ;

x2
x2
2
2
2
b) x  y và ; x  y ;

1 x
x 1
c) ( x  1)(3  x) và ; ( x  1)( x  3) ;

3( x  1)
3( x  1)
2
2
d) (1  x ) và ; ( x  1) ;

Bài 5. áp dụng quy tắc đổi dấu để viết các phương trình bằng các phân thức sau:

 xy 2
a) 2 x  x ;

1  x2
b) x  1 ;

y 2  x2
c) x  y ;

2 x  1
d)  x  2 .

Bài 6. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng mẫu thức:
x
2
a) x và ; x  1 ;

x
y
2
y
b)
và ; x ;

2x  y
x
3

3
c) x  y và ; x  y ;

x 1
1 x
5 4
4 5
d) x y và ; x y .

Bài 7. Viết các phân thức sau dưới dạng những phân thức có cùng tử thức:
1
x2
a) x và ; x  3 ;

x
y
y
b)
và ; x ;

x2  y2
x y
2
c) 2 x  xy và ; x ;

x3 y 2
x2 y3
d) x  y và ; x  y ;

Bài 3: RÚT GỌN PHÂN THỨC

1. Qui tắc
Muốn rút gọn một phân thức đại số ta phải:
- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung giống nhau

22

;


2. Chú ý
Có khi cần đổi dấu tử hoặc mẫu thức để xuất hiện nhân tử chung.
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Rút gọn các phân thức sau:

14 xy 5 (2 x  3 y )
2
2
a) 21x y (2 x  3 y ) ;

8 xy (3 x  1)3
3
b) 12 x (1  3x) ;

20 x 2  45
2
c) (2 x  3) ;

5 x 2  10 xy
3

d) 2(2 y  x ) ;

80 x 3  125 x
e) 3( x  3)  ( x  3)(8  4 x) ;

9  ( x  5) 2
2
f) x  4 x  4 ;

32 x  8 x 2  2 x3
x 3  64
g)
;

5 x3  5 x
4
h) x  1 ;

x2  5x  6
2
i) x  4 x  4 .

10 xy 2 ( x  y )
3
j) 15 xy ( x  y ) ;

x 2  xy  x  y
2
k) x  xy  x  y ;

3 x 2  12 x  12
x4  8x ;
l)

7 x 2  14 x  7
2
n) 3x  3x ;

2a 2  2ab
m) ac  ad  bc  bd ;

x 2  xy
2
2
o) y  x ;

2  2a
3
p) a  1 ;

x2  6x  9
2
q) x  8 x  15 ;

x 4  2 x3
4
3
v) 2 x  x ;

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:

x 2 y  2 xy 2  y 3 xy  y 2

2
2
2
x

xy

y
2x  y ;
a)

x 2  3xy  2 y 2
1

3
2
2
3
x y .
b) x  2 x y  xy  2 y

Bài 3. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức:

45 x(3  x)
3
a) 15 x ( x  3) ;

y2  x2
3
2
3
b) x  3 x 2 y  3xy  y .

Bài 4. Tính giá trị của các biểu thức sau:

ax 4  a 4 x
1
2
2
a

ax

x
a)
với a = 3, x = 3 ;

x3  x 2  6 x
3
b) x  4 x với x = 98

x 3  3x
1

3
5
c) 3 x  x với x = 2 ;

x 4  2 x3
1

2
3
d) 2 x  x với x = 2 ;

23


10ab  5a 2
1
1
2
e) 16b  8ab với a = 6 , b = 7 ;

a7  1
15
8
f) a  a với a = 0,1;

2x  4 y
2
2
g) 0, 2 x  0,8 y với x + 2y = 5;

x2  9 y 2
h) 1,5 x  4,5 y với 3x - 9y = 1.

a b
Bài 5. Cho 3a + 3b = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = a  b .
2

2

Bài 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x.

2ax  2 x  3 y  3ay
b) 4ax  6 x  6 y  6ay ;

x2  y2
a) ( x  y )(ay  ax ) ;

Bài 4: QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC
1. Tìm mẫu thức chung
- Phân tích mẫu thức của các phân thức đã cho thành nhân tử.
- Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:
+ Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các
phân thức đã học. (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dương thì nhân tử
bằng số của mẫu thức chung là BCNN của chúng)
+ Với mỗi cơ số của luỹ thừa có mặt trong các mẫu thức ta chọn luỹ thừa với só mũ cao nhất
2. Quy đồng mẫu thức
Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.
- Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1. Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

25
14
,
2
5
a) 14 x y 21xy ;

11
3
,
4
3
b) 102 x y 34 xy ;

3x  1 y  2
, 2 3
4
12
xy
9x y ;
c)

1
x  1 x 1
,
,
3 2
2 4
3
d) 6 x y 9 x y 4 xy ;

3  2x 5
2
,
,
4
2 2
5
e) 10 x y 8 x y 3xy ;

4x  4
x 3
,
;
f) 2 x( x  3) 3 x( x  1)

24


2x
x2
,
3
2
g) ( x  2) 2 x( x  2) ;

5
3
,
h) 3x  12 x (2 x  4)( x  3) .

3

Bài 2. Quy đông mẫu thức các phân thức sau.
7 x  1 5  3x
, 2
2
2
a) x  6 x x  9 ;

x 1
x2
,
2
x

x
2

4
x  2x2 ;
b)

4 x 2  3x  5
2x
6
,
,
x3  1
x2  x  1 x 1 ;
c)

7
4
x y
,
, 2
2
d) 5 x x  2 y 8 y  2 x ;

5x2
4x
3
, 2
,
3
2
e) x  6 x  12 x  8 x  4 x  4 2 x  4 ;

x
x 1
x 1
, 2
, 2
f) x  1 x  x x  x  1 ;

ax
ax
, 2
2
2

g) 6 x  ax  2a 3 x  4ax  4a ;

ad
ad
, 2
h) a  ab  ad  bd a  ab  ad  bd ;

1
3
2
,
, 2
3
j) x  1 2 x  2 x  x  1 ;

x
x2  y 2
, 2
,x y
2
x

y
x

2
xy

y
k)

;

3

2

2

Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:
a x b x ba
, 2 2,
3
2
a) axb a xb axb ;

2x 1
x  2a
, 2
2
2
x

4
ax

4
a
x
 2ax ;
b)

ax
ax
, 2
2
2
c) 6 x  ax  2a 3x  4ax  4a ;

ab
ac
, 2
2
d) a  bc  ac  ab a  bc  ac  b ;

x
x2
x 1
, 2
, 2
e) x  27 x  6 x  9 x  3 x  9 ;

x2
x
2x  1
,
,
2
2
f) x  3x  2 2 x  5 x  3 2 x  7 x  6 .

2

2

3

2

Bài 4. Rút gọn rồi quy đồng mẫu thức các phân thức sau.

x2  5x  6 2 x 2  7 x  5
, 2
2
x

4
x  4x  3 ;
a)

x3  2 x 2  x  2
x3  5x  4
,
3
2
3
2
b) x  x  4 x  4 x  2 x  3x  4 ;

x3  2 x 2  5 x  26 x 3  4 x 2  10 x  12
, 3 2

3
2
c) x  5 x  17 x  13 x  x  2 x  16 ;
x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx
x 3  y 3  z 3  3xyz
,
x 2  y 2  z 2  2 yz
( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 .
d)
x
x2
, 2
Bài 5. Cho biểu thức B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 và hai phân thức 2 x  7 x  15 x  3x  10
2

25