Định thức XSTK 2021 dễ hiểu nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.26 MB, 20 trang )
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài : ĐỊNH THỨC
I. Định nghĩa và ví dụ
--------------------------------------------------------------------Cho A aij nn là ma trận vuông cấp n.
Định thức của A là một số ký hiệu bởi det ( A) aij nn A
Và được định nghĩa như sau:
Nếu n=1 thì
A a11 A a11
Nếu n>1 thì
a11 a12
... ...
a1n
11
1 2
A
(
1)
a
M
(
1)
a12 M12
11 11
...
(1)1 n a
A =[-5] Khi đó
Định thức ma trận cấp 2
A 5
a11
A
a21
Khi đó
a12
a22
A (1)11 a11M 11 (1)1 2 a12 M 12
=a11 .a22 –a12 .a21
a
A 11
a21
a12
a22
Xóa dịng 1, cột 1 M11= a
11
a11
3
Định thức cấp 3
a11 a12 a13
A a21 a22 a23 A (1)11 a11M11 (1)1 2 a12 M12 (1)13 a13M
a31 a32 a33
a22 a23
a21 a23
a21 a22
= a11 a32 a33 a12 a31 a33 a13 a31 a32
= a11 .(a22 a33 –a23 .a32 )
-a12 (a21 a33 –a23 a31 )+a13 (a21 a32 –a22 a31 )
Vậy ta có định thức ma trận vuông cấp 3
như sau:
4
Phép trừ 2 ma trận
5
Ví dụ
Tính
3
1
3
5
2
2
4
4
9
Giải
Viết them 2 cột 1, 2 vào bên phải định thức và dung quy tắc
Sarrus ở trên ta có
3 1 3 3 1
5
2
25
2
4 4 9 4 4
= 3.2.9+(-1).2.4+3.5.(-4)-4.2.3-(-4).2.3-9.5.(-1)=?
Ví dụ
2 3 5
3 7 1
Tính định thức det (A), với A
2 4 3
4 0 1
Nghĩa là tính
2
3
5
0
3
7
1
4
2 4
3
2
4
1 5
0
0
4
2
5
A (1)11 a11M11 (1)1 2 a12 M12 (1)13 a13M13 (1)1 4 a14 M14
= 2M11 (3) M12 5M13 0M14
7
M 11 4
1
4
3
2
0
1 5
3
1
4
M 12 2
3
2
4
1 5
3
7
4
M 12 2 4 2
4
0
5
8
2) Tính chất của định thức
a) Có thể tính định thức bằng cách khai triển theo bất kỳ
hàng hoặc cột tùy ý nào đó
*
A ai1 ai 2
i 1
ain (1) ai1M i1 (1)
i2
ai 2 M i 2
*
a1 j
A
* a2 j *
1 j
(1)
a1 j M1 j (1)
2 j
a2 j M 2 j
(1)
n j
a
Ví dụ
3 1 3
A 5 2 2
4 0 0
Tính định thức det (A), với
Giải.
Khai triển theo hàng thứ 3
3 1 3
A5
2
2 4 (1)
4
0
0
3 1 3
31
5
2
2 4 (1)
4
0
0
31
1 3
2
2
32
Ví dụ
2 3 3
3 0 1
Tính định thức det (A), với A
2 0 3
4 0 1
2
4
2
5
Giải
Khai triển theo cột thứ hai
3
3
2
0
1
4
0
3
2
0
1 5
(1)1 2 (3) M12 (1) 2 2 0 M 22 (1) 23 0 M 32 (1) 4 2 0 M
3
1
4
A 3 2
3
2
4
1 5
87
VD Nếu
1
1 1
x
y
1
4 9
a)12 b)-12
z 3
thì
x 2
y
z
1
1
1
0 4 0
0
1
c) 4
5
4
...
4 9
d)8
13
1
2
Vd Cho hai ma trận A = 3
4
và B =
a
b
5
4
6
8
8
12
c
7
4
17
a
b
c
1
2 5
4
7
1 6 2a 8 2b 4 2c
12
17
4 8
Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
a ) A 2 B b) A B c) A 2 B d ) A B
VD Cho A là ma trận vng cấp 3 có det(A) = 7. Định thức của ma trận 2A là:
A. 14
B. 6
C. 56
D. -56
14
b)Sử dụng biến đổi sơ cấp đối với hàng để tính định thức
h h
i
i
i).Nếu A
B
thì
hi hi h j
B thì
ii).NếuA
hi h j
iii). Nếu A B
Từ i) ta có : Nếu A vng cấp n thì
| B | | A |
| B || A |
thì| B | | A |
c. A c n A
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Từ ii) ta có Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Ma trận có một hàng (cột) bằng khơng, thì det (A) = 0
det(AB) = det(A) det(B)
det (AT) = det (A)
Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).
1
2
Vd Cho hai ma trận A = 3
4
và B =
a
b
5
4
6
8
8
12
c
7
4
17
a
b
c
1
2 5
4
7
1 6 2a 8 2b 4 2c
12
17
4 8
Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
a ) A 2 B b) A B c) A 2 B d ) A B
VD Cho A là ma trận vng cấp 3 có det(A) = 7. Định thức của ma trận 2A là:
A. 14
B. 6
C. 56
D. -56
17
Ví dụ
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, tính định thức
1
2
A
3
2
1
3 5 0
2 6 2
1 3 1
1 2
II. Tính chất của định thức
Giải
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 h2 h2 2h1
2 3 5 0 h3 h3 3h1
| A |
3 2 6 2
h4 h4 2h1
2 1 3 1
1
| A|
1 2
1
| A | 1 0
4 0 15
2 1
0
1
1
2
0 1 0
1
0
7 1
3
1
2
1 (1)11 1 0
1
3
2
1
1
1
Khai triển theo cột đầu tiên
1
1
1 2
1 (1)
1
1
4 15
19
7 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
det (AT) = det (A)
det(AB) = det(A) det(B)
Ma trận có một hàng (cột) bằng khơng, thì det (A) = 0
Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0
Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).
