Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 chuyên đề giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (248.58 KB, 51 trang )
GIÁO ÁN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 CHUYÊN ĐỀ:
CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC
A.
1. Định nghĩa:
A( x; y; z)
- Cho biểu thức
A( x; y; z)
LÝ THUYẾT
Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của
nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau:
+ Với mọi
x; y; z
mà
+ Tồn tại một bộ số
A ( x; y; z)
( x; y; z)
A( x; y; z)
- Cho biểu thức
A( x; y; z)
xác định mà
sao cho
A( x; y; z) = M
Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của
nếu thỏa
mãn hai điều kiện sau:
+ Với mọi
x; y; z
mà
+ Tồn tại một bộ số
A( x; y; z) ≤ M
A( x; y; z)
( x; y; z)
xác định mà
sao cho
B.
A( x; y; z) ≥ N
A( x; y; z) = N
LUYỆN TẬP
Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN
Phương pháp:
-
Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
( a ± b) ,( a + b + c)
2
-
Sử dụng các hằng đẳng thức
Bài 1: Tìm GTNN của:
HD:
2
.
A = x ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 7 )
(
)(
)
A = x( x − 7) ( x − 3) ( x − 4) = x2 − 7x x2 − 7x + 12
, Đặt
x2 − 7x + 6 = t
, khi đó:
1
A = ( t − 6) ( t + 6) = t − 36 ≥ −36
2
, Dấu “ = ” khi
Vậy Min A = - 36 khi x=1 hoặc x=6
B = ( x − 1) ( x − 3) ( x 2 − 4 x + 5 )
a:
Bài 2: Tìm GTNN củ
HD:
(
)(
)
B = x2 − 4x + 5 x2 − 4x + 5
B = ( t − 1) ( t + 1) = t − 1≥ −1
, Đặt
x2 − 4x + 4 = 0
2
Bài 3: Tìm min của:
HD:
, Dấu “ = “ khi
x = 1
t2 = 0 <=> x2 − 7x + 6 = 0 <=>
x = 6
. Khi đó:
t2 = 0 <=> x2 − 4x + 4 = 0 <=> t = 2
A = x ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) + 8
(
)(
)
A = x( x + 6) ( x + 2) ( x + 4) + 8 = x2 + 6x x2 + 6x + 8 + 8
A = ( t − 4) ( t + 4) + 8 = t − 16 + 8 = t − 8 ≥ −8
2
, Đặt
x2 + 6x + 4 = t
. Khi đó:
2
, Dấu “ = “ Khi đó:
x = −3+ 5
t2 = 0 <=> x2 + 6x + 4 = 0 <=>
x = −3− 5
Bài 4: Tìm GTNN của:
HD:
B = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
(
)(
)
B = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x + 4 x2 + 5x + 6
B = ( t − 1) ( t + 1) = t2 − 1≥ −1
, Đặt
x2 + 5x + 5 = t
t2 = 0 <=> x2 + 5x + 5 = 0 <=> x =
, Dấu “ = “ khi
, Khi đó:
−5 ± 5
2
A = ( x + x − 6) ( x2 + x + 2)
2
Bài 5: Tìm GTNN của:
HD:
Đặt
x2 + x − 2 = t
. Khi đó:
Dấu “ = “ xảy ra khi:
Bài 6: Tìm GTNN của :
HD:
A = ( t − 4) ( t + 4) = t2 − 16 ≥ −16
x = 1
t = 0 <=> x2 + x − 2 = 0 <=>
x = −2
C = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )
(
)(
)
C = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = x2 + 5x − 6 x2 + 5x + 6
, Đặt
x2 + 5x = t
. Khi đó:
2
C = ( t − 6) ( t + 6) = t − 36 ≥ −36
x = 0
t = 0 <=> x2 + 5x = 0 <=>
x = −5
2
Bài 7: Tìm GTNN của:
HD:
, Dấu “ = “ khi
D = ( 2 x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( 2 x + 1)
(
)(
)
D = ( 2x − 1) ( x + 3) ( x + 2) ( 2x + 1) = 2x2 + 5x − 3 2x2 + 5x + 2
, Đặt
2x2 + 5x = t
, Khi đó:
2
1 25 −25
D = ( t − 3) ( t + 2) = t2 − t − 6 = t − ÷ −
≥
4
4
2
t=
, Dấu “ = “ khi:
1
1
−5± 29
<=> 2x2 + 5x = <=> x =
2
2
4
Bài 8: Tìm min của:
HD:
C = ( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 ) + 2011
C = ( x + 1) ( x + 4) ( x + 2) ( x + 3) + 2011 = ( x2 + 5x + 4) ( x2 + 5x + 6) + 2011
, Đặt
x + 5x + 5 = t
2
Khi đó:
C = ( t − 1) ( t + 1) + 2011<=> x2 + 5x + 5 = 0 <=> x =
Bài 9: Tìm max của:
HD:
−5± 5
2
E = 5 + ( 1 − x ) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 6 )
(
)(
)
E = 5− ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x + 3) = − x2 + 5x − 6 x2 + 5x + 6 + 5
Khi đó:
(
)
E = − ( t − 6) ( t + 6) + 5 = − t − 36 + 5 = −t + 41≤ 41
Dấu “ = “ Khi
2
.
2
x = 0
t2 = 0 <=> x2 + 5x = 0 <=>
x = −5
Bài 10: Tìm GTNN của:
HD:
M = ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 6 )
(
)(
)
M = ( x − 1) ( x + 6) ( x + 2) ( x = 3) = x2 + 5x − 6 x2 + 5x + 6
Khi đó:
, đặt
x2 + 5x = t
M = ( t − 6) ( t + 6) = t2 − 36 ≥ −36
, Đặt
x2 + 5x = t
.
, Dấu “ = ” khi
x = 0
t = 0 <=> x2 + 5x = 0 <=>
x = −5
3
Bài 11: Tìm min của:
HD:
(
)
D = ( x + 1) x 2 − 4 ( x + 5 ) + 2014
(
)(
)
D = ( x + 1) ( x + 2) ( x − 2) ( x + 5) + 2014 = x2 + 3x − 10 x2 + 3x + 2 + 2014
, Đặt
x + 3x − 4 = t
2
Khi đó:
D = ( t − 6) ( t + 6) + 2014 = t2 + 1978
, Dấu “= “ xảy ra khi:
x = 1
t2 = 0 <=> x2 + 3x − 4 = 0 <=>
x = −4
Bài 12: Tìm GTNN của:
HD:
C = x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 9
C = ( x 4 − 2.3x 2 .x + 9 x 2 ) + ( x 2 − 6 x + 9 ) = ( x 2 − 3x ) + ( x − 3) ≥ 0
2
Bài 13: Tìm GTNN của:
HD:
2
C = x 4 − 4 x 3 + 9 x 2 − 20 x + 22
C = ( x 4 − 4 x3 + 4 x 2 ) + 5 ( x 2 − 4 x + 4 ) + 2
Bài 14: Tìm GTNN của:
HD:
B = x4 − x2 + 2x + 7
B = ( x 4 − 2 x 2 + 1) + ( x 2 + 2 x + 1) + 5
D = ( x + 8) + ( x + 6 )
4
Bài 15: Tìm GTNN của:
HD:
x + 7 = y => D = ( y + 1) + ( y − 1) = 2 y 4 + 12 y 2 + 2 ≥ 2
4
Đặt:
Bài 16: Tìm GTNN của :
HD:
Đặt:
4
4
A = 9 x2 − 6 x − 4 3x − 1 + 6
3 x − 1 = t => t 2 = 9 x 2 − 6 x + 1 => E = t 2 − 4t + 5
A = ( 2 x + 1) − ( 3 x − 2 ) + x − 11
2
Bài 17: Tìm GTLN của:
HD:
2
2
17 569 569
A = 4x + 4x + 1− 9x + 12x − 4 + x − 11= −5x + 17x − 14 = −5 x + ÷ +
≤
10
20
20
2
2
2
A = ( x + 2) + ( x − 2)
4
Bài 18: Tìm min của:
4
4
HD:
(
) (
)
2
(
2
)
A = x2 + 2x + 4 + x2 − 2x + 4 = x4 + 4x2 + 16 + 2 2x3 + 8x + 4x2 + x4 + 4x2 + 16
(
)
(
)
2
+2 4x2 − 2x3 − 8x = 2x4 + 24x2 + 32 = 2 x2 + 6 − 40 ≥ −40
Bài 19: Tìm min của:
HD:
(
A = x 2 + 4 y 2 − 4 x + 32 y + 2018
) (
)
A = x2 − 4x + 4 + 4y2 + 32y + 64 + 1950 = ( x − 2) + 4( y + 4) + 1950 ≥ 1950
Bài 20: Tìm min của:
HD:
2
2
A = 3x 2 + y 2 + 4 x − y
2
2
2
1
2
1 19 −19
A = 3x + 4x + y − y = 3 x2 + 2.x. ÷+ y2 − 2.y. ÷ = 3 x + ÷ + y − ÷ − ≥
3
2
3
2 12 12
(
2
) (
Bài 21: Tìm min của:
HD:
(
)
2
B = 5 x 2 + y 2 + 2 xy − 12 x − 18
) (
)
B = 4x2 − 12x + x2 + 2xy + y2 − 18 = ( 2x − 3) + ( x + y) − 27 ≥ −27
Bài 22: Tìm max của:
HD:
2
2
B = −3 x 2 − 16 y 2 − 8 xy + 5 x + 2
2
5 41
− B = x + 8xy + 16y + 2x − 5x − 2 = ( x + 4y) + 2 x − ÷ −
4
8
2
2
2
2
2
5 41 41
=> B = − ( x + 4y) − 2 x − ÷ +
≤
4
8 8
2
Bài 23: Tìm min của:
HD:
A = 3 x 2 + 4 y 2 + 4 xy + 2 x − 4 y + 26
2
2
A = 4y2 + ( 4xy − 4y) + 3x2 + 2x + 26 = 4y2 + 2.2y.( x − 1) + ( x − 1) + 3x2 + 2x + 26 − ( x − 1)
(
)
A = ( 2y + x − 1) + 2x2 + 4x + 25 = ( x + 2y − 1) + 2 x2 + 2x + 1 + 23 ≥ 23
2
Bài 24: Tìm max của:
HD:
2
A = − x 2 − y 2 + xy + 2 x + 2 y
(
)
− A = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − ( xy + 2x) + y2 − 2y = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y
2
y2 + 4y + 4
y + 2 y2 + 4y + 4 2
y + 2 3y2
A = x2 − 2x.
+
+
y
−
2
y
−
=
x
−
+
− 3y − 1÷
÷
÷
2
4
4
2 4
5
2
2x − y − 1 3 2
4
A=
+ y − 4y + 4 − − 4÷
÷
2
3
4
A = ( x − 3) + ( x − 1)
2
Bài 25: Tìm min của:
HD:
2
A = x2 − 6x + 9+ x2 − 2x + 1= 2x2 − 8x + 10 = 2( x − 2) + 2 ≥ 2
2
B = 2 ( x + 1) + 3 ( x + 2 ) − 4 ( x + 3 )
2
Bài 26: Tìm min của:
HD:
(
2
) (
)
(
2
)
B = 2 x2 + 2x + 1 + 3 x2 + 4x + 4 − 4 x2 + 6x + 9 = x2 − 8x − 22 = ( x − 4) − 38 ≥ −38
F = 2 − 3 ( x + 1) − 3 ( x − 5 )
4
Bài 27: Tìm max của:
HD:
x − 2 = t => F = 2 − 3( t + 3) − 3( t − 3)
4
Đặt
(
)
(
2
)
2
4
4
(
2
)
− F = 3 t2 + 6t + 9 + 3 t2 − 6t + 9 − 2 = 6t4 + 324t2 + 484 = 6 t4 + 54t2 + 484
(
)
2
F = −6 t2 + 27 + 3890 ≤ 3890
G = ( x + 3) + ( x − 7 )
4
Bài 28: Tìm min của:
HD:
(
) (
)
x − 2 = t => G = ( t + 5) + ( t − 5) = t2 + 10t + 25 + t2 − 10t + 25
4
Đặt
4
4
2
(
)
(
)
2
2
G = 2t4 + 300t2 + 1250 = 2 t4 + 2.75t2 + 5625 − 104 = 2 t2 + 75 − 104 ≥ −104
Bài 29: Tìm min của:
HD:
I = x 4 − 6 x 3 + 11x 2 + 12 x + 20
(
)
I = x4 − 6x3 + 11x2 − 12x + 20 = x2 x2 − 6x + 9 + 2x2 − 12x + 20
(
)
I = x2 ( x − 3) + 2 x2 − 6x + 9 + 2 = x2 ( x − 3) + 2( x − 3) + 2 ≥ 2
2
Bài 30: Tìm max của :
HD:
2
2
N = − x2 − 4 y2 + 6 x − 8 y + 3
(
) (
)
− N = x2 + 4y2 − 6x + 8y − 3 = x2 − 6x + 9 + 4y2 + 8y + 4 − 16
− N = ( x − 3) + 4( y + 1) − 16 => N = − ( x − 3) − 4( y + 1) + 16 ≤ 16
2
2
2
2
6
Bài 31: Tìm max của:
HD:
P = −3x 2 − 5 y 2 + 2 x + 7 y − 23
(
) (
)
− P = 3x2 + 5y2 − 2x − 7y + 23 = 3x2 − 2x + 5y2 − 7y + 23
2
2
1
7 1213
− P = 3 x − ÷ + 5 y − ÷ +
3
10
60
=>
2
R = −7 x − 4 y − 8 xy + 18 x + 9
2
Bài 32: Tìm max của:
HD:
2
1
7 1213 −1213
P = −3 x − ÷ − 5 y − ÷ −
≤
3
10
60
60
2
(
)
− R = 7x2 + 4y2 + 8xy − 18x − 9 = 4y2 + 8xy + 4x2 + 3x2 − 18x − 9 = 2( x + y) + 3( x − 3) − 36
2
2
R = −2( x + y) − 3( x − 3) + 36 ≤ 36
2
Bài 33: Tìm max của:
HD:
2
A = 5 − 2 x 2 − 4 y 2 + 4 xy − 8 x − 12 y
− A = 2x2 + 4y2 − 4xy + 8x + 12y − 5 = 2x2 − 4x( y − 2) + 4y2 + 12y − 5
2
2
= 2 x2 − 2x( y − 2) + ( y − 2) + 4y2 + 12y − 5− 2( y − 2)
Bài 34: Tìm max của:
HD:
B = 2 − 5 x 2 − y 2 − 4 xy + 2 x
− B = 5x2 + y2 + 4xy − 2x − 2 = y2 + 2.y.2x + 4x2 + x2 − 2x + 1− 3 = ( y + 2x) + ( x − 1) − 3 ≥ −3
2
2
B = − ( 2x + y) − ( x − 1) + 3 ≥ 3
2
Bài 35: Tìm min của:
HD:
2
C = a 2 + ab + b 2 − 3 x − 3b + 1989
( b − 3)
b − 3 ( b − 3)
C = a + a( b − 3) + b − 3b + 1989 = a + 2.a.
+
+ b2 − 3b + 1989 −
2
4
4
2
2
2
2
2
4C = 4a2 + 4ab + 4b2 − 12a − 12b + 7956
2
2
= 4a2 + 4a( b − 3) + ( b − 3) + 4b2 − 12b + 7956 − ( b − 3) = ( 2a + b − 3) 2 + 3b2 − 6b + 7947
Bài 36: Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x:
2
( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ≥ m
HD:
(
)(
)
VT = ( x + 1) ( x + 3) ( x + 2) = x2 + 4x + 3 x2 + 4x + 4
2
, Đặt
x2 + 4x = t
, Khi đó:
7
2
7 49
49 7 1 −1
VT = ( t + 3) ( t + 4) = t + 7t + 12 = t + 2.t. +
+ 12 −
= t+
− ≥
2 4
4 2 ÷
4 4
2
Bài 37: Tìm GTNN của:
HD:
2
A = x2 − 2xy + 2y2 − 4y + 5
A = x2 − 2xy + y2 + y2 − 4y + 4 + 1 = ( x − y) + ( y − 2) + 1
2
Ta có:
Do:
( x − y)
2
≥ 0,( y − 2) ≥ 0
2
Bài 38: Tìm min của:
HD:
(
2
A = ( x − y) + ( y − 2) + 1≥ 1
2
, Nên
2
B = 2 x 2 + y 2 + 2 xy − 8 x + 2028
) (
)
B = x2 + 2xy + y2 + x2 − 8x + 16 + 2012
Bài 39: Tìm GTNN của biểu thức:
HD:
A = a 4 − 2a 3 − 4 a + 5
A = a 2 ( a 2 + 2 ) − 2a ( a 2 + 2 ) + ( a 2 + 2 ) + 3
=
(a
2
dấu bằng khi a=1
A = x − 2 xy + 2 y + 2 x − 10 y + 17
2
Bài 40: Tìm GTNN của biểu thức :
HD:
+ 2 ) ( a 2 − 2a + 1) + 3 ≥ 3
2
A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 − ( y − 1)
2
2
(
2
)
A = x − y + 1 + 2y2 − 10y + 17− y2 + 2y − 1
Bài 41: Tìm Min của:
HD:
x≥
1
=> P = 5x2 − 6x
6
x<
1
=> P = 5x2 + 6x − 2
6
TH1:
TH2:
P = 5x2 − 6 x −1 −1
8
Dạng 2: NHĨM ĐƯA VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG
Phương pháp:
( a ± b) ,( a + b + c)
2
-
2
Sử dụng biến dổi đưa về hằng đẳng thức
Chú ý khi biến đổi thành nhiều ngoặc vì khi đó điều kiện dấu “ = ” xảy ra
bị ràng buộc nhiều.
Bài 1: Tìm GTNN của:
HD:
A = x 2 − 2 xy + 2 y 2 + 2 x − 10 y + 17
2
2
2
2
A = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y + 17 = x − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 2y − 10y + 17− ( y − 1)
(
)
= ( x − y + 1) + y2 − 8y + 16
2
Bài 2: Tìm min của:
HD:
B = x 2 − xy + y 2 − 2 x − 2 y
y + 2 y2 + 4y + 4 2
y2
B = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y = x2 − 2.x.
+
+
y
−
2
y
−
− y− 1
2
4
4
4B = ( x − y − 2) + 4y2 − 8y − y2 − 4y − 4
2
Bài 3: Tìm min của:
HD:
C = x 2 + xy + y 2 − 3 x − 3 y
y − 3 y2 − 6y + 9 2
y2 − 6y + 9
C = x2 + x( y − 3) + y2 − 3y = x2 + 2.x.
+
+
y
−
3
y
−
2
4
4
4C = ( x + y − 3) + 4y2 − 12y − y2 + 6y − 9
2
Bài 4: Tìm min của:
HD:
D = x 2 − 2 xy + 6 y 2 − 12 x + 2 y + 45
(
)
D = x2 − 2x( y + 6) + 6y2 + 2y + 45 = x2 − 2x.( y + 6) + ( y + 6) + 6y2 + 2y + 45− y2 + 12y + 36
2
= ( x − y − 6) + 5y2 − 10y + 9
2
Bài 5: Tìm min của:
HD:
E = x 2 − xy + 3 y 2 − 2 x − 10 y + 20
E = x2 − x( y − 2) + 3y2 − 10y + 20 = x2 − 2x.
y − 2 y2 − 4y + 4
y2 − 4y + 4
+
+ 3y2 − 10y + 20 −
2
4
4
9
(
) (
)
(
)
4E = ( x − y + 2) + 12y2 − 40y + 80 − y2 − 4y + 4 = ( x − y + 2) + 11y2 − 36y + 76
2
2
F = − x 2 + 2 xy − 4 y 2 + 2 x + 10 y − 3
Bài 6: Tìm max của:
HD:
− F = x2 − 2xy + 4y2 − 2x − 10y + 3 = x2 − 2x( y + 1) + 4y2 − 10y + 3
− F = x2 − 2x( y + 1) + ( y + 1) + 4y2 − 10y + 3− ( y + 1)
2
2
G = ( x − ay ) + 6 ( x − ay ) + x 2 + 16 y 2 − 8ay + 2 x − 8 y + 10
2
Bài 7: Tìm min của:
HD:
(
)
2
G = ( x − ay) + 6( x − ay) + 9 + x2 + 2x + 1 + 16y2 − 8ay − 8y
G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + 16y2 − 8y( a + 1) + ( a + 1) − ( a + 1)
2
2
2
G = ( x − ay + 3) + ( x + 1) + ( 4y − a − 1) − ( a + 1) ≥ − ( a + 1)
2
2
2
2
2
2
H = − x 2 + xy − y 2 − 2 x + 4 y + 11
Bài 8: Tìm max của:
HD:
− H = x2 − xy + y2 + 2x − 4y − 11 = x2 − x( y − 2) + y2 − 4y − 11
( y − 2)
y − 2 y2 − 4y + 4 2
− H = x − 2x.
+
+ y − 4y − 11−
2
4
4
2
2
(
)
=> −4H = ( x − y + 2) + 4y2 − 16y − 44 − y2 − 4y + 4
2
Bài 9: Tìm min của:
HD:
I = x 2 + 4 xy + 5 y 2 − 6 y + 11
(
)
I = x2 + 4xy + 4y2 + y2 − 6y + 11
Bài 10: Tìm min của:
HD:
K = x 2 + y 2 − xy + 3x + 3 y + 20
2
2
4K = 4x2 + 4y2 − 4xy + 12x + 12y + 80 = 4x2 − 4x( y − 3) + ( y − 3) + 4y2 + 12y + 80 − ( y − 3)
4K = ( 2x − y + 3) + 3y2 + 18y + 71
2
Bài 11: Tìm min của:
HD:
(
M = x 2 − 2 xy + 2 y 2 − 2 y + 1
) (
)
M = x2 − 2xy + y2 + y2 − 2y + 1
10
Bài 12: Tìm min của:
HD:
N = x 2 − 2 xy + 2 y 2 − x
( 2y + 1)
2y + 1 ( 2y + 1)
N = x − x( 2y + 1) + 2y = x − 2x.
+
+ 2y2 −
2
4
4
2
2
2
2
2
(
)
4N = ( x − 2y − 1) + 8y2 − 4y2 + 4y + 1
2
Bài 13: Tìm min của:
HD:
A = x 2 − 2 xy + 3 y 2 − 2 x + 1997
(
)
A = x2 − 2x( y + 1) + 3y2 + 1997 = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 3y2 + 1997− y2 + 2y + 1
2
Bài 14: Tìm min của:
HD:
Q = x 2 + 2 y 2 − 2 xy + 2 x − 10 y
(
)
Q = x2 − 2x( y − 1) + 2y2 − 10y = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 2y2 − 10y − y2 − 2y + 1
2
Bài 15: Tìm min của:
HD:
R = x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 2 y
R = x2 + 2y2 + 2xy − 2y = x2 + 2xy + y2 + y2 − 2y + 1− 1 = ( x + y) + ( y − 1) − 1≥ −1
2
Bài 16: Tìm min của:
HD:
2
A = 4 x 2 + 5 y 2 − 4 xy − 16 y + 32
(
) (
)
A = 4x2 + 5y2 − 4xy − 16y + 32 = 4x2 − 4xy + y2 + 4y2 − 16y + 32
Bài 17: Tìm min của:
HD:
(
B = x 2 + 5 y 2 + 5 z 2 − 4 xy − 4 yz − 4 z + 12
) (
) (
)
B = x2 − 4xy + 4y2 + y2 − 4yz + 4z2 + z2 − 4z + 4 + 8
= ( x − 2y) + ( y − 2z) + ( z − 2) + 8 ≥ 8
2
Bài 18: Tìm min của:
HD:
(
2
2
C = 5 x 2 − 12 xy + 9 y 2 − 4 x + 4
) (
)
C = 4x2 − 2.2x.3y + 9y2 + x2 − 4x + 4 = ( 2x − 3y) + ( x − 2) ≥ 0
Bài 19: Tìm max của:
HD:
2
2
D = − x 2 − y 2 + xy + 2 x + 2 y
11
− D = x2 + y2 − xy − 2x − 2y = x2 − x( y + 2) + y2 − 2y
y + 2 ( y + 2)
y2 + 4y + 4
2
− D = x − 2x.
+
+ y − 2y −
2
4
4
2
2
Bài 20: Tìm min của:
HD:
E = x 2 + 5 y 2 − 4 xy + 2 y − 3
E = x2 − 4xy + 4y2 + y2 + 2y + 1− 4 = ( x − 2y) + ( y + 1) − 4 ≥ −4
2
Bài 21: Tìm GTNN của
HD:
Ta có:
2
A = a2 + ab + b2 − 3a − 3b + 3
(
)
4P = a2 − 2ab + b2 + 3 a2 + b2 + 4 + 2ab − 4a − 4b = ( a − b) + 3( a + b − 2) ≥ 0
Bài 22: Tìm min của:
HD :
2
2
G = x 2 + xy + y 2 − 3 ( x + y ) + 3
4G = 4x2 + 4xy + 4y2 − 12x − 12y + 12
(
) (
)
4G = 4x2 + 4x( y − 3) + ( y − 3) + 4y2 − 12y + 12 − y2 − 6y + 9
2
4G = ( 2x + y − 3) + 3y2 − 6y + 3 = ( 2x + y − 3) + 3( y − 1) ≥ 0
2
2
Bài 23: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn:
HD :
2
x 2 + 4 y 2 + z 2 − 2 x + 8 y − 6 z + 15 = 0
( x − 2x + 1) + ( 4y + 8y + 4) + ( z − 6z + 9) + 1≥ 1
2
2
Bài 24: Tìm min của:
HD :
2
A = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 3
A = x2 − 2xy + y2 + x2 − 2x + 1+ 2 = ( x − y) + ( x − 1) + 2 ≥ 2
2
Bài 25: Tìm min của:
HD :
2
B = x 2 − 2 xy + 2 y 2 + 2 x − 10 y + 17
(
)
B = x2 − 2x( y − 1) + ( y − 1) + 2y2 − 10y + 17− y2 − 2y + 1
2
(
)
= ( x − y + 1) + y2 − 8y + 16
2
Bài 26: Tìm min của:
HD :
D = 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 − 8 x − 22 y
2D = 4x2 + 4xy + 10y2 − 16x − 44y = 4x2 + 4x( y − 4) + 10y2 − 44y
12
2D = 4x2 + 2.2x( y − 4) + ( y − 4) + 10y2 − 44y − y2 + 8y − 16
2
13
E = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2004
Bài 27: Tìm min của:
HD :
2E = 4x2 + 18y2 − 12xy − 12x − 24y + 4008
(
)
2E = 4x2 − 12x( y + 1) + 9( y + 1) + 18y2 − 24y + 4008− 9 y2 + 2y + 1
2
2E = ( 2x − y − 1) + 9y2 − 42y + 3999
2
F = x 2 − 2 xy + 6 y 2 − 12 x + 12 y + 45
Bài 28: Tìm min của:
HD :
(
)
F = x2 − 2x( y + 6) + ( y + 6) + 6y2 + 12y + 45− y2 + 12y + 36 = ( x − y − 6) + 5y2 + 9 ≥ 9
2
Bài 29: Tìm GTNN của biểu thức :
HD:
2
a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 3
P = a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 3 => 4 P = ( a − b ) + 3 ( a + b − 2 ) ≥ 0
2
2
A = x 2 + 6 y 2 + 14 z 2 − 8 yz + 6 zx − 4 xy
Bài 30: Tìm min của:
HD:
A = x2 − 2x( 2y + 3z) + 6y2 − 14z2
(
A = x2 − 2x( 2y + 3z) + ( 2y + 3z) + 6y2 − 14z2 − 4y2 + 12yz + 9z2
2
)
A = ( x − 2y − 3z) + 2y2 − 12yz − 23z2
2
B = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 − 2 xy + 2 xz − 2 x − 2 y − 8 z + 2000
Bài 31: Tìm min của:
HD:
B = x2 − 2x( y − z + 1) + 2y2 + 3z2 − 2y − 8z + 2000
(
)
= x2 − 2x( y − z + 1) + ( y − z + 1) + 2y2 + 3z2 − 2y − 2z + 2000 − y2 + z2 + 1− 2yz − 2z + 2y
2
(
)
= ( x − y + z − 1) + y2 + 2z2 − 4y + 2yz + 1999
2
(
)
2
2
= ( x − y + z − 1) + y2 − 2y( z + 2) + ( z + 2) + 2z2 − z2 + 4z + 4 + 1999
(
)
= ( x − y + z − 1) + ( y − z − 2) + z2 − 4z + 1995
2
2
14
Dạng 3: PHÂN THỨC
Phương pháp:
-
Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất
nghịch đảo:
a ≥ b =>
-
1 1
≤
a b
Nếu
Chia tử cho mẫu nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu rồi đặt ẩn phụ.
Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi
thêm bớt.
A=
Bài 1: Tìm min của:
HD:
Ta có:
=>
2
6 x − 5 − 9x2
(
)
−9x2 + 6x − 5 = − 9x2 − 6x + 1+ 4 = − ( 3x − 1) − 4 ≤ −4
2
2 −1
−1
≥
=
=> A ≥
2
−4 2
2
6x − 5− 9x
B=
Bài 2: Tìm min của:
HD :
x=
, Dấu “ = ” khi
1
x − 4x + 9
=> B =
x2 − 4x + 9 = ( x − 2) + 5 ≥ 5
x=2
C=
Bài 3: Tìm max của:
HD :
1
3
2
2
Ta có :
2
1
1
1
=
≤
2
x − 4x + 9 ( x − 2) + 5 5
2
, Dấu “ = “ khi
−3
x − 5x + 1
2
2
5 21 −21
−3
12 4
x − 5x + 1 = x − ÷ − ≥
=> C = 2
≤
=
2
4
4
x − 5x + 1 21 7
2
Ta có :
x=
, Dấu “ = “ khi
5
2
D=
Bài 4: Tìm min hoặc max của:
HD :
Ta có :
(
6
−x + 2x − 3
2
)
2
− x2 + 2x − 3 = − x2 − 2x + 3 = − ( x − 1) − 2 ≤ −2 =>
6
6
≥
= −3
− x + 2x − 3 −2
2
15
2
x +8
K=
2
Bài 5: Tìm min hoặc max của:
HD :
x2 + 8 ≥ 8 =>
Ta có :
2
2 1
≤ =
x +8 8 4
2
M=
Bài 6: Tìm min hoặc max của:
HD :
4
x + x +1
2
2
1 3 3
4
16
x + x + 1 = x + ÷ + ≥ => 2
≤
2 4 4
x + x+1 3
2
Ta có :
x2 − 4 x + 1
G=
x2
Bài 7: Tìm min hoặc max của:
HD :
G = 1−
4 1
+
x x2
, Đặt
2
1
= t => G = t2 − 4t + 1 = ( t − 2) − 3 ≥ −3
x
E=
Bài 8: Tìm min hoặc max của:
HD :
Đặt
E=
3x 2 − 8 x + 6
x2 − 2x + 1
x − 1 = t => x = t + 1=> x2 = t2 + 2t + 1
(
)
3 t2 + 2t + 1 − 8( t + 1) + 6
t2
Đặt :
3t2 − 2t + 1
2 1
=
= 3− + 2
2
t t
t
F=
4x2 − 6x + 1
Bài 9: Tìm min hoặc max của:
HD :
Đặt
F=
( 2 x + 1)
2
t−1
t2 − 2t + 1
2
2x + 1 = t => x =
=> x =
2
4
, Khi đó :
t − 2t + 1− 3( t − 1) + 1 t − 5t + 5
5 5
=
= 1− + 2
2
2
t t
t
t
2
,
2
1
= a => E = a2 − 2a + 3 = ( a − 1) + 2 ≥ 2
t
2
H=
Bài 10: Tìm min hoặc max của:
HD :
, Đặt
1
= a => F = 1− 5a + 5a2
t
x
( x + 10 )
2
16
t − 10 1 10
= − 2
t t
t2
x + 10 = t => x = t − 10 => H =
Đặt
I=
Bài 11: Tìm min hoặc max của:
HD :
x
( x + 2016 )
x + 2016 = t => x = t − 2016 => I =
Đặt
D=
Bài 12: Tìm min hoặc max của:
HD :
D = 1−
Ta có :
2 2000
+ 2
x
x
, Đặt
Bài 13: Tìm min hoặc max của:
HD :
Ta có :
=> E = a2 −
t − 2016 1 2016
= − 2
t
t2
t
, Đặt
1
= a => I = a − 2016a2
t
x − 2 x + 2000
x2
2
x 2 − 2 x + 2015
2015 x 2
x2 − 2x + 2015
2 2015
= 1− + 2
2
x
x
x
, Đặt
1
= a => 2015E = 1− 2a + 2015a2
x
2
1
.a +
2015
2015
F=
Bài 14: Tìm min hoặc max của:
HD :
x + 2000 = t => F =
Đặt
2
1
= a => D = 1− 2a + 2000a2
x
E=
2015E =
, Đặt
1
= a => H = −10a2 + a
t
x
( x + 2000 )
t − 2000 1 2000
= − 2
t
t2
t
2
, Đặt
1
= a => F = a − 2000a2
t
17
B=
Bài 15: Tìm min hoặc max của:
HD :
B=
x2 − x + 1
x2 + 2 x + 1
(
)
x2 − x + 1
( x + 1)
=> B =
2
,Đặt
x + 1 = t => x = t − 1 => x2 − 2t + 1
t − 3t + 3
3 3
= 1− + 2
2
t t
t
2
, Đặt
A=
Bài 16: Tìm min hoặc max của:
HD :
4 4
+
x x2
A = 2+
, Đặt
1
= a => B = 3a2 − 3a + 1
t
2x2 + 4x + 4
x2
1
= a => A = 4a2 + 4a + 2
x
B=
Bài 17: Tìm min hoặc max của:
HD :
B = 1−
2 2012
+ 2
x
x
, Đặt
x 2 − 2 x + 2012
x2
1
= a => B = 2012a2 − 2a + 1
x
K=
3 − 4x
x2 + 1
Bài 18 : Tìm cả min và max của:
HD :
Nháp để nhẩm GTLN và GTNN nếu có :
a=
3− 4x
= ax2 + a = 3− 4x => a.x2 + 4x + a − 3 = 0
2
x +1
, Xét
3− 4x
x + 4x + 4
K = 2
+ 1÷ − 1 =
− 1 ≥ −1
x2 + 1
x +1
a = −1
∆ = 16 − 4a2 + 12a = 0 =>
a = 4
2
Khi đó ta có :
Mặt khác :
3− 4x
−4x2 − 4x − 1
K = 2
− 4÷+ 4 =
+ 4≤ 4
x2 + 1
x +1
M=
Bài 19: Tìm min hoặc max của:
HD :
a=
Nháp :
27 − 12 x
x2 + 9
, Dấu = khi
x = −2
x=
, Dấu = khí
−1
2
27− 12x
=> a.x2 + 9a = 27− 12x => a.x2 + 12x + 9a − 27 = 0
2
x +9
18
Có
a = 4
∆ ' = 36 − a( 9a − 27) = 0 =>
a = −1
− ( 2x − 3)
27− 12x
−4x2 − 12x − 9
M= 2
− 4÷+ 4 =
+ 4=
+ 4≤ 4
2
x +9
x2 + 9
x +9
2
Khi đó ta có :
( x − 6) − 1≥ −1
27− 12x
x2 − 12x + 36
M = 2
+ 1÷− 1 =
− 1= 2
2
x +9
x +9
x +9
2
Mặt khác :
19
N=
Bài 20: Tìm min hoặc max của:
HD :
N=
Có
3x2 + 9+ 4x − 1
4x − 1
= 3+ 2
2
x +3
x +3
3x 2 + 4 x + 8
x2 + 3
4x − 1
=> a.x2 − 4x + 3a + 1 = 0
2
x +3
a=
, Nháp :
∆ ' = 4 − a( 3a + 1) = 0 => a = 1; a =
−4
3
(
Khi đó ta có :
)
− x2 − 4x + 4
4x − 1
N= 2
− 1÷+ 1+ 3 =
+ 4≤ 4
x2 + 3
x +3
4x − 1 4 4
4x2 + 12x + 9 5 ( 2x + 3)
5 5
N= 2
+ ÷− + 3 =
+ =
+ ≥
2
2
3 3 x +3 3 3
3 x +3
x + 3 3 3
2
(
Mặt khác :
P=
Bài 21: Tìm min hoặc max của:
HD :
a=
Nháp :
Có
)
(
)
8x + 3
4 x2 + 1
8x + 3
=> 4a.x2 + a = 8x + 3 => 4a.x2 − 8x + a − 3 = 0
4x2 + 1
∆ ' = 16 − 4a( a − 3) => a = 4; a = −1
− ( 4x − 1)
8x + 3
−16x2 + 8x − 1
P= 2
− 4÷+ 4 =
+ 4=
+ 4≤ 4
2
4x + 1
4x2 + 1
4x + 1
2
Khi đó :
4( x + 1)
8x + 3
4x2 + 8x + 4
P= 2
+ 1÷− 1 =
− 1=
− 1 ≥ −1
2
4x + 1
4x2 + 1
4x + 1
2
Mặt khác :
C=
(
x +1
2
Bài 22: Tìm min hoặc max của:
HD :
C = 2+
2x
x +1
a=
2
, Nháp :
)
2 x2 + x +1
2x
=> a.x2 + a − 2x = 0
x +1
2
, có
∆ = 4 − 4a2 = 0 => a = ±1
2x
x + 2x + 1
C= 2
+ 1÷− 1+ 2 =
+ 1≥ 1
x2 + 1
x +1
2
Khi đó :
− ( x − 1)
2x
− x2 + 2x − 1
C= 2
− 1÷+ 1+ 2 =
+ 3=
+ 3≤ 3
2
x +1
x2 + 1
x +1
2
Mặt khác :
20
N=
Bài 23: Tìm min hoặc max của:
HD :
N = 1+
x
x +1
a=
2
, Nháp :
x2 + x + 1
x2 + 1
x
= a.x2 − x + a = 0
x +1
∆ = 1− 4a2 = 0 => a = ±
2
, có :
1
2
x
1
1 x + 2x + 1 1 1
N= 2
+ ÷+ 1− =
+ ≥
2 2 x2 + 1
2 2
x + 1 2
2
Khi đó ta có :
(
)
x
1
1 − x2 + 2x − 1 3 − ( x − 1)
3 3
N= 2
− ÷+ 1+ =
+
=
+
≤
2
2 2 x2 + 1 2 2
2 x2 + 1
x + 1 2
2
Mặt khác :
(
)
(
)
21
D=
Bài 24: Tìm min hoặc max của:
HD :
2x + 1
=> a.x2 − 2x + 2a − 1 = 0
x2 + 2
a=
Nháp :
2x + 1
x2 + 2
, có
∆ ' = 1− a( 2a − 1) = 0 => a = 1; a =
−1
2
− ( x − 1)
2x + 1
− x2 + 2x − 1
D= 2
− 1÷+ 1 =
+ 1=
+ 1≤ 1
2
x +2
x2 + 2
x +1
2
Khi đó :
Mặt khác :
2x + 1 1 1 x2 + 4x + 4 1 −1
D= 2
+ ÷− =
− ≥
2
2 2
x + 2 2 2 2 x + 2
(
E=
Bài 25: Tìm min hoặc max của:
HD :
E=
2 1
+
x x2
, Đặt
)
2x + 1
x2
1
= a => E = a2 + 2a
x
F=
Bài 26: Tìm min hoặc max của:
HD :
a=
Nháp :
2x −1
x2 + 2
2x − 1
=> a.x2 − 2x + 2a + 1 = 0
2
x +2
,
có
1
∆ ' = 1− a( 2a + 1) = 1− 2a2 − a => a = ; a = −1
2
2x − 1 1 1 − x2 + 4x − 4 1 − ( x − 2)
1 1
F = 2
− ÷+ =
+ =
+ ≤
2
2
2 2 x +2 2 2
2 x +2
x + 2 2 2
2
Khi đó :
(
)
(
)
( x + 1) − 1≥ −1
2x − 1
x2 + 2x + 1
F = 2
+ 1÷− 1 =
− 1= 2
2
x +2
x +2
x +2
2
Mặt khác :
G=
Bài 27: Tìm min hoặc max của:
HD :
a=
Nháp :
6x − 8
x2 + 1
6x − 8
=> a.x2 − 6x + a + 8 = 0
2
x +1
, có :
∆ ' = 9 − a( a + 8) = − a − 8a + 9 = 0 => a = 1; a = −9
2
22
− ( x − 3)
6x − 8
− x2 + 6x − 9
G= 2
− 1÷+ 1=
+
1
=
+ 1≤ 1
x2 + 1
x2 + 1
x +1
2
Khi đó :
( 3x + 1) − 9 ≥ −9
6x − 8
9x2 + 6x + 1
G= 2
+ 9÷− 9 =
−
9
=
x2 + 1
x2 + 1
x +1
2
Mặt khác :
Q=
Bài 28: Tìm min hoặc max của:
HD :
Q = 3+
Ta có :
2
x − 2x + 5
3 x 2 − 6 x + 17
x2 − 2 x + 5
x2 − 2x + 5 = ( x − 1) + 4 ≥ 4 =>
2
2
, mà
2
2 1
≤ =
x − 2x + 5 4 2
2
23
R=
Bài 29: Tìm min hoặc max của:
HD :
R=
Ta có :
2 x 2 − 16 x + 41
x 2 − 8 x + 22
2x2 − 16x + 44 − 3
3
= 2− 2
2
x − 8x + 22
x − 8x + 22
x2 − 8x + 22 = ( x − 4) + 6 ≥ 6 =>
3
2
Mà
A=
Bài 30: Tìm min hoặc max của:
HD :
Hạ phép chia ta được :
( x − 4)
2
+6
,
≤
3 1
−3
−1
= =>
≥
2
6 2
( x − 4) + 6 2
x 6 + 27
x 4 − 3x 3 + 6 x 2 − 9 x + 9
A = x2 + 3x + 3
B=
Bài 31: Tìm min hoặc max của:
HD :
x 6 + 512
x2 + 8
(
)
2
B = x4 − 8x2 + 64 = x2 − 4 + 48 ≥ 48
Hạ phép chia ta được :
G=
Bài 32: Tìm min hoặc max của:
HD :
4 x 4 + 16 x3 + 56 x 2 + 80 x + 356
x2 + 2x + 5
(
)
G = 4 x2 + 2x + 5 +
Hạ
phép
x2 + 2x + 5 = t => G = 4t +
chia
ta
được:
256
x + 2x + 5
2
,
Đặt
256
t
Sau đó sử dụng co si là ra.
H=
Bài 33: Tìm min của:
HD :
x2 − 1
x2 + 1
x2 + 1− 2
2
H=
= 1− 2
2
x +1
x +1
I=
Bài 34: Tìm min hoặc max của:
HD :
3x2 + 2 ≥ 2 =>
Ta có :
−8
3x 2 + 2
8
8
≤ =4
3x + 2 2
2
24
P=
x2
x 2 − 2 x + 2010
P = 1+
2x − 2010
x − 2x + 2010
Bài 35: Tìm min hoặc max của:
HD :
Hạ phép chia ta được :
a=
Nháp :
2
,
2x − 2010
=> a.x2 − 2a.x + 2010a − 2x + 2010 = 0
x − 2x + 2010
2
∆ ' = ( a + 1) − a( 2010a + 2010) = 0 => a = −1; a =
2
Có
Làm tương tự như các bài trên .
1
2009
25
