Chương 1: Mô hình toán kinh tế doc

Chương 1: Mô hình toán kinh tế
1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế
2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế
3. Phân tích mô hình toán kinh tế
4. Áp dụng đối với một số mô hình kinh tế phổ
biến
(Tài liệu tham khảo: Mô hình toán kinh tế;
ĐHKTQD Hà nội-Nguyễn Quang Dong)
B2
1
1. Khái niệm về mô hình toán kinh tế
Mô hình của một đối tượng là sự phản ánh
khách quan về đối tượng đó, bằng ngôn ngữ nói,
viết, hình vẽ, hoặc ngôn ngữ chuyên ngành.
Mô hình của các đối tượng trong lĩnh vực kinh
tế, gọi là mô hình kinh tế.
Mô hình toán kinh tế, là mô hình kinh tế, được
trình bày bằng ngôn ngữ toán học.
2
TD1: Nghiên cứu quá trình hình thành giá của loại
hàng hóa A trên thị trường.
Mô hình bằng lời:
Xét thị trường hàng hóa A, nơi có người bán,
người mua gặp nhau.
Với mức giá p, lượng hàng người bán muốn bán
gọi là lượng hàng cung S, lượng hàng người mua
muốn mua gọi là lượng hàng cầu D.
Khi cung lớn hơn cầu thì giá sẽ có xu hướng giảm,
Khi cầu lớn hơn cung thì giá sẽ có xu hướng tăng.
Quá trình tiếp diễn như vậy, cho đến khi cung
băng cầu, sẽ hình thành mức giá , gọi là mức giá

cân bằng.
p
3
Mô hình bằng hình bằng hình vẽ
Trong hệ trục tọa độ vuông góc p0q, ta vẽ đường
cầu D, đường cung S, điểm hai đường cong gặp
nhau là điểm cân bằng
Q D S
q
0
o p
p
4
Mô hình toán kinh tế:
Với mỗi mức giá p, khối lương hàng cung là
S=S(p); khối lượng hàng cầu D=D(p).
Do người bán sẵn sàng bán giá cao hơn nên
S’(p)>0, do người mua muốn mua giá thấp hơn
nên D’(p)<0
Tình huống cân bằng thị trường sẽ có khi S=D
Ta có mô hình toán kinh tế cân bằng thị trường
loại hàng hóa A (MHIA):
S=S(p) S’(p)>0
D=D(p) D’(p)<0
D(p)=S(p)
5
Khi muốn đề cập đến thu nhập M, và mức thuế T
vào quá trình hình thành giá ta có mô hình toán
kinh tế (MHIB):
S=S(p,M,T) S’

p
= dS/dp >0
D=(p,M,T) D’
p
= dD/dp<0
S(p,M,T)=D(p,M,T)
6
2. Cấu trúc mô hình toán kinh tế
2.1. Các biến số, tham số trong mô hình
2.2. Mối liên hệ giữa các biến số trong mô hình
7
2.1. Các biến số của mô hình
Mỗi yếu tố kinh tế được lượng hóa bằng một đại
lượng x,y,z gọi là một biến số.
Biến nội sinh (biến được giải thích). Là các biến
thể hiện các hiện tượng kinh tế, mà giá trị của
chúng phụ thuộc vào các biến khác trong mô
hình.
Biến ngoại sinh (biến giải thích). Là các biến độc
lập với các biến khác, và giá trị của chúng được
xem là tồn tại ngoài mô hình.
8
Thí dụ:
Một doanh nghiệp muốn sản xuất một khối lượng
hàng hóa loại A là Q, thì cần có n yếu tố đầu vào
x
1
,x
2
, ,x

n
. Các yếu tố kinh tế này liên hệ với nhau
bởi quan hệ hàm Q = f(x
1
,x
2
, ,x
n
,α,β). Khi đó ta có
mô hình hàm sản xuất của doanh nghiệp:
Q = f(x
1
,x
2
, ,x
n
,α,β)
x
i
 o i
Trong mô hình này Q là biến nội sinh, x
i
là biến
ngoại sinh α, β là các tham số
Trong mô hình MHIB của loại hàng hóa A, nếu S
= αp
β
T
γ
Khi đó các biến S,D,p là các biến nội sinh;

T,M là biến ngoại sinh; α, β, γ là các tham số.
9
2.2. Mối liên hệ giữa các biến
Để mô tả các mối quan hệ kinh tế, các quy luật
kinh tế trong các mô hình toán kinh tế người ta
thường dùng các phương trình hoặc bất
phương trình.
Phương trình định nghĩa thể hiện quan hệ định
nghĩa giữa các biến.
Phương trình hành vi mô tả quan hệ giữa các
biến do tác động của các quy luật kinh tế, hoặc
do giả thiết.
Phương trình điều kiện mô tả quan hệ giữa các
biến trong tình huống có điều kiện.
10
Thí dụ:
PT định nghĩa:  = TR-TC (lợi nhuận=doanh thu-
chi phí); NX=EX-IM (Xuất khẩu ròng=xuất khẩu-
nhập khẩu)
PT hành vi: Trong mô hình MHIA: S = S(p);
D=D(p); S=D
Phương trình điều kiên: Trong mô hình hàm sản
xuất bất phương trình x
i
0 là bất phương trình
điều kiện.
11
3. Phân tích mô hình toán kinh tế
3.1. Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh theo
biến ngoại sinh

3.2. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
3.3. Hệ số thay đổi (bổ sung, chuyển đổi)
12
3.1. Đo lường sự thay đổi của biến nội sinh
theo biến ngoại sinh
a) Sự thay đổi tuyệt đối
Xét quan hệ kinh tế y = f(x
1
,x
2
, x
n
) tại x=(x
1
,x
2
, ,x
n
).
Cho x
i
thay đổi một lượng nhỏ x
i
, khi đó y thay
đổi một lượng tương ứng là:
y = f(x
1
,x
2
, ,x

i
+x
i
, ,x
n
) - f(x
1
,x
2
, ,x
n
).
Lượng thay đổi trung bình của y theo x
i
là:
Nếu f khả vi theo biến x
i
ta gọi xu hướng thay
đổi của biến nội sinh y theo biến ngoại sinh x
i
tại
x, là biên tế của y theo x
i
, kí hiệu My(x
i
)
i
x
i
y

x

 

)x(
x
f
)x(My
i
i
i




13
Nếu tất cả các biến ngoại sinh x
i
đều thay đổi một
lượng nhỏ x
i
thì độ thay đổi của y là:
Nếu x
i
là biến nội sinh phụ thộc vào một biến khác,
thì ta sử dụng công thức tính vi phân của hàm hợp.
TD: Chi phí C(Q) phụ thuộc vào sản lượng Q và có
mô hình chi phí sản xuât của doanh nghiệp là:
C(Q) = Q
3

-61.25Q
2
+1528.5Q+2000
Chi phí biên tế của theo Q (chi phí cận biên), kí hiệu
MC(Q) = 3Q
2
-122,5Q+1528.5
n
i
i 1
i
f
y dy dx
x


  


14
b) Sự thay đổi tương đối
Ta gọi hệ số co giãn của biến y theo biến x
i
tại
điểm x là:
Hệ số này cho biết tại x khi x
i
thay đổi 1% thì y
thay đổi %.
Nếu >0 thì x

i
và y biến thiên cùng chiều
Nếu <0 thì x
i
và y biến thiên ngược chiều
Nếu muốn đo lường sự thay đổi tương đối của y
khi tất cả các biến ngoại sinh đều thay đổi cùng
một tỷ lệ ta dùng hệ số co dãn chung.
i
y
i
x
i
x
y
x y

  

i
y
x

y
xi

i
n
y y
x x

i 1
  

15
y
xi

Nếu gọi Mf
i
= là hàm cận biên của y theo x
i
;
Af
i
=y/x
i
là hàm trung bình của y theo x
i
. khi đó ta
có: 
y
xi
= Mf
i
/Af
i
Nếu y=u(x)v(x)  
y
x
=

u
x
+ 
v
x
y=u/v  
y
x
=
u
x
-
v
x
TD: Khi mô hình sản xuất có dạng Q = aK
α
L
β
, với
α>0 β>0, Q là mức sản lượng, K là vốn, L là khối
lượng lao động.
 = β; = α; 
q
= α+β
q
L

16
3.2. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng)
Khi trong mô hình có biến ngoại sinh là biến thời

gian t, giả sử y = f(x
1
,x
2
, ,x
n
,t), khi đó ta dùng hệ số
tăng trưởng để đo sự thay đổi của biến nội sinh theo
thời gian t.
Hệ số tăng trưởng của y là , thường r
y

được theo theo tỷ lệ %
TD: Theo công thức tính lã gộp liên tục tại thời điểm
ta có: v
t
=v
0
e
rt
có hệ số tăng trưởng r
v
=r
Nếu lãi suất tính theo từng kỳ thì v
t
=v
0
(1+r)
t
có hệ số

tăng trưởng r
v
=ln(1+r)r
y
y/ t
r
y
 

17
Cho: u = g(t); v = h(t)
Nếu y = uv  r
y
= r
u
+ r
v
Nếu y = u/v  r
y
= r
u
– r
v
Nếu y = u + v  r
y
=
Nếu y = u - v  r
y
=
Cho: y = f[x

1
(t),x
2
(t), ,x
n
(t)]  r
y
=
u v
u v
r r
u v u v

 
u v
u v
r r
u v u v

 
i i
n
y
x x
i 1
r



18

3.3. Hệ số bổ sung, chuyển đổi
Cho y = f(x
1
,x
2
, ,x
n
), nếu cho 2 biến ngoại sinh
x
i
, x
j
thay đổi và cố định các biến khác sao cho y
không đổi. Từ biểu thức vi phân của hàm y


Hệ số này cho biết khi gia giảm x
j
một đơn vị, thì
phải gia giảm x
i
bao nhiêu đơn vị để y không thay
đổi.
n
i
i 1
i
y
dy dx
x






i j
i j
y y
0 dx dx
x x
 
 
 
j
i
j i
f / x
dx
dx f / x
 
 
 
19
Nếu dx
i
/dx
j
<0 thì ta nói x
i
có thể thay thế được

cho x
j
với tỷ lệ |dx
i
/dx
j
|, tỷ lệ này cho biết khi gia
giảm x
j
một đơn vị, thì x
i
sẽ gia giảm bao nhiêu
đơn vị để y không thay đổi, và gọi hệ số thay thế
cận biên của x
i
cho x
j
.
Nếu dx
i
/dx
j
>0 thì ta nói x
i
x
j
có thể bổ sung được
cho nhau với tỷ lệ dx
i
/dx

j
, và gọi là hệ số bổ sung
cận biên của x
i
cho x
j
Nếu dx
i
/dx
j
=0 thì ta nói x
i
, x
j
không thay thế được
cho nhau hoặc không bổ sung được cho nhau.
20
4. Áp dụng phân tích một số mô hình
4.1. Mô hình tối ưu
4.2. Mô hình cân bằng thị trường
4.3. Mô hình kinh tế động
21
4.1. Mô hình tối ưu
4.1.1. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kỹ
thuật
4.1.2. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về kinh tế
4.1.3. Mô hình tối đa hóa lợi nhuận của
doanh nghiệp
4.1.4. Mô hình thỏa dụng
22

4.1.1. Mô hình hàm sản xuất tối ưu về công
nghệ
Giả sử với công nghệ hiên có, doanh nghiệp có thể
sử dụng n yếu tố đầu vào ở mức x
1
,x
2
, ,x
n
, và thu
được Q đơn vị sản phẩm đầu ra.
Ta có quan hệ hàm Q=f(x
1
,x
2
, ,x
n
), và gọi là hàm
sản xuất của doanh nghiệp.
TD1: Với số liệu Việt Nam năm 1986-1995, người ta
ước lượng được hàm sản xuất:
Q = 75114K
0.175
L
0.904
e
0.0124t
Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, t là biến
thời gian
23

TD2: Với số liệu nước Áo năm 1951-1955 trong
nông nghiệp người ta ước lượng được hàm sản
xuất là:
Q = 2.439X
0.0635
K
0.6172
L
0.3193
Q là giá trị sản xuất, K là vốn, L là lao động, X là
nguồn tài nguyên được khai thác
TD3: Hàm sản xuất dạng Cobb-Douglas là:
Q = aK
α
L
β
a,α,β là các tham số, Q là sản lượng, K là vốn, L là
lao động
24
Phân tích tác động của các yếu tố sản xuất tới sản
lượng Q, trong mô hình Q=f(x
1
,x
2
, x
n
)
a) Xét quá trình sản xuất ngắn hạn.
Trong tình huống doanh nghiệp chỉ có thể thay
đổi một yếu tố i, còn các yếu tố khác không thay

đổi, thì việc sử dụng yếu tố thứ i ở mức có lợi nhất
nếu năng suất trung bình đạt cực đại, ta có mô
hình: z = f(x)/x
i
Max
Điều kiện cần để có cực đại, khi x là nghiệm của
phương trình: f(x)/x
i
= f/x
i
(1)
Trong nhiều trường hợp điều kiện này cũng là điều
kiện đủ.
25