Bài giảng Toán cao cấp 2: Phần Giải tích - Nguyễn Phương

Tốn cao cấp 2 - Phần Giải tích
Bài 1. Hàm một biến số
Nguyễn Phương

Bộ mơn Tốn kinh tế
Đại học Ngân hàng TPHCM
Email:
Ngày 30 tháng 11 năm 2022

1


NỘI DUNG
1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

2

3

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

3

HÀM SỐ LIÊN TỤC

29

4

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ

35

5

ĐẠO HÀM CẤP CAO

49

6

VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

50

7

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Tìm giới hạn của hàm có dang vơ định
Cơng thức Taylor - Maclaurin
Sự biến thiên của hàm số
Cực trị của hàm số

57
57
62
72
73

8

ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Giá trị biên tế (Marginal quantity)
Độ co dãn (Elasticity)
Tối ưu trong kinh tế

80
80
84
87

9

2


C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Định nghĩa 1.1. Một ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu
f : X → Y ) là một phép tương ứng liên kết với mỗi phần tử x ∈ X với một
phần tử duy nhất y ∈ Y , phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu
y = f (x).
f: X
x

→
→

Y
y = f (x)

f
x

1

X được gọi là tập hợp nguồn.

2

Y được gọi là tập hợp đích.
y được gọi là ảnh của x qua f .

3

f (x)

3


C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

4


C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

Với mỗi y ∈ Y , tập con của X gồm các phần tử có ảnh qua ánh xạ f
bằng y, được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của phần tử y qua f , ký hiệu là
f −1 (y)

f −1 (y) = {x ∈ X|f (x) = y}
Với mỗi tập con A ⊂ X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của
x ∈ A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f (A)
f (A) = {f (x)|x ∈ A}
Với mỗi tập con B ⊂ Y , tập con của X gồm các phần tử x có ảnh
f (x) ∈ B được gọi là ảnh ngược (tạo ảnh) của tập B ký hiệu là f −1 (B)
f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B}

5


C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ

6


C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Định nghĩa 1.2. Cho D ⊆ R. Ánh xạ
f : D −→ R
x −→ y = f (x)
được gọi là hàm số 1 biến.

- Miền xác định: ?
- Miền giá trị: ?
7


C ÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ
Ví dụ 1.1. Cho hàm số f (x) = x3 + x2 . Tìm f (1), f (−1), f (a), f (a − 1).
Ví dụ 1.2. - Hàm cung: QS = f (P ) = cP + d

- Hàm cầu: QD = f (P ) = aP + b

8


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2.1. Xét hàm số f (x) = x2 − x + 2 và cho giá trị của x gần 2.

9


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 2.1. Cho f : D −→ R xác định bởi y = f (x), khi x có giá trị gần a
thì ta viết
lim f (x) = L,
x→a

và ta đọc là "giới hạn của f (x) bằng L khi x tiến về a" nếu có thể làm cho các
giá trị của f (x) gần tùy ý với L (gần với L như chúng ta muốn) bằng cách
hạn chế x đủ gần với a (ở hai phía của a) nhưng khơng bằng a.
Nếu khơng có số L như vậy, ta nói rằng giới hạn của f (x) khi x tiến về a là
không tồn tại.
10


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Định nghĩa 2.2. Cho y = f (x) và L, a là hai số thực. L là giới hạn của hàm

y = f (x) khi x tiến về a, ký hiệu
lim f (x) = L,

x→a

nếu với mọi ϵ > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho
|x − a| < δ =⇒ |f (x) − L| ≤ ϵ.

11


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

y

|f (x) − L| < ϵ

y = f (x)
L+ϵ
L
L−ϵ

(
a−δ

a

)
a+δ

0 < |x − a| < δ

12

x


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.3. Ta viết
lim f (x) = L,

x→a−

và ta đọc là "giới hạn trái của f (x) bằng L khi x tiến về từ bên trái a" nếu có
thể làm cho các giá trị của f (x) gần tùy ý với L bằng cách hạn chế x đủ gần
với a và x nhỏ hơn a.

13


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Định nghĩa 2.4. Ta viết
lim f (x) = L,

x→a+

và ta đọc là "giới hạn phải của f (x) bằng L khi x tiến về từ bên phải a" nếu
có thể làm cho các giá trị của f (x) gần tùy ý với L bằng cách hạn chế x đủ
gần với a và x lớn hơn a.

14


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
y
y = f (x)

L

=⇒ lim− f (x) = L
x→a

L−ϵ
(
a−δ

x

)
a

y
y = f (x)
L+ϵ
L

=⇒ lim+ f (x) = L
x→a

(

a

)
a+δ
15

x


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Định lý 2.1.
lim f (x) = L ⇐⇒ lim− f (x) = lim+ f (x) = L.

x→a

x→a

x→a

16


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2.2. Chứng minh rằng
lim |x| = 0.

x→0

17


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng
lim

x→0

khơng tồn tại.

18

|x|
x


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2.4. Cho

√

f (x) =

x−4
8 − 2x

Tính lim f (x).

x→4

19

khi x > 4,
khi x < 4.


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ký hiệu:
lim f (x) = +∞.

x→a

20


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ký hiệu:
lim f (x) = −∞.

x→a

21


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Tính chất 2.1. Nếu lim f (x) và lim g(x) tồn tại thì

x→a

1

lim [f (x) ± g(x)] = lim f (x) ± lim g(x)

x→a
2

x→a

x→a

lim [f (x)g(x)] = lim f (x). lim g(x)

x→a
4

lim

x→a
5

x→a
lim f (x)

f (x)
g(x)

=

lim g(x)

với lim g(x) ̸= 0
x→a

n

n

lim [f (x)] = lim f (x)
lim

x→a
7

x→a

x→a

x→a

x→a
6

x→a

lim [cf (x)] = c lim f (x) với c là hằng số

x→a

3

x→a

x→a

n

f (x) =

n

với n là số nguyên dương

lim f (x) với n là số nguyên dương

x→a

lim c = c với c là hằng số

x→a
8

lim x = a

x→a
9

lim xn = an với n là số nguyên dương
√

√
lim n x= n a với n là số nguyên dương

x→a
10

x→a

22


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2.5. Áp dụng các tính chất của giới hạn
lim (2x2 − 3x + 4) = lim (2x2 ) − lim 3x + lim 4

x→5

x→5

x→5

x→5

= 2 lim x2 − 3 lim x + lim 4
x→5

x→5

x→5

= 2(52 ) − 3(5) + 4 = 39

x3 + 2x2 − 1
=
lim
x→−2
5 − 3x
=

lim (x3 + 2x2 − 1)

x→−2

lim (5 − 3x)

x→−2
lim x3 +
x→−2

2 lim x2 − lim 1
x→−2

x→−2
3

=

x→−2

lim 5 − 3 lim x
x→−2

2

(−2) + 2(−2) − 1
1
=−
5 − 3(−2)
11

23


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Định lý 2.2. Nếu f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) với mọi x và lim f (x) = lim h(x) = L
x→a

thì
lim g(x) = L.

x→a

24

x→a


GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Ví dụ 2.6. Chứng minh rằng
lim x2 sin

x→0

25

1
= 0.
x