Bài giảng toán cao cấp 2 bài 1 3

Bài 1.3
Chuỗi có số hạng
với dấu bất kì


NỘI DUNG
1.3.1

Hội tụ
tuyệt đối.
Bán hội
tụ

1.3.2

1.3.3

Chuỗi
đan dấu

Vài tính
chất của
chuỗi số
hội tụ
tuyệt đối


1.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ
Định lí 1.4:



Cho chuỗi số (bất kỳ)  u n . Nếu  u n hội tụ
n 1
n 1



thì chuỗi

u

n

hội tụ

n 1

Ví dụ
 Xét sự hội tụ của chuỗi số sau


sin n

2
n
n 1


1.3.1 Hội tụ tuyệt đối. Bán hội tụ
Định nghĩa




a) Chuỗi 

un

n 1


u n hội tụ
hội tụ tuyệt đối nếu 
n 1


b) Chuỗi  u n bán hội tụ nếu  u n hội tụ mà
n 1
n 1



u
n 1

n

phân kì


Chú thích





n 1

n 1

a) Điều kiện  un hội tụ là điều kiện đủ để  un hội tụ chứ
không là điều kiện cần.
b) Nếu dùng quy tắc D’Alembert hay quy tắc Cauchy mà


xác định được chuỗi  un phân kì thì có thể khẳng định
n 1



được rằng chuỗi  un phân kì
n 1


1.3.2 CHUỖI ĐAN DẤU
Định nghĩa:

Chuỗi số có dạng:

n1

(1)
n1

hoặc có dạng

n1

un  u1 u2  u3 u4 ... (1) un ...


n
n
(

1
)
u


u

u

u

u

...

(


1
)
u n ...

n
1
2
3
4
n1

với un  0, n  1,  được gọi là chuỗi đan dấu.
Ví dụ:


n 1
(

1
)

n
n1


n 1
(

1

)
sin

n2

là các chuỗi đan dấu


n


Định lí 1.5 (định lí Leibniz)
un  0 và 0 < un+1  un thì chuỗi
Nếu lim
n




đan dấu  (  1)

n 1

un

n 1

hoặc

n

(

1
)
 un

hội tụ và có tổng

n1

s ≤ u1

Ví dụ
Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu


n 1
a)  (1)
n
n1



n
b)  (1)
3n  1
n 1
n

Ví dụ
Xét sự hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ
của chuỗi số
1
a )  (1)
n
n 1
n

n 
n
b)  (1) 

n 1
 2n  1 
n

(3)
c)  2
n 1 n


n


1.3.3 Vài tính chất của chuỗi số hội tụ tuyệt đối


Tính chất 1: Nếu chuỗi số  un hội tụ tuyệt đối và có tổng S
n 1

thì chuỗi số suy từ nó bằng cách thay đổi thứ tự các số hạng
và bằng cách nhóm tùy ý một số số hạng lại cũng hội tụ
tuyệt đối và có tổng S




n 1

n 1

Định nghĩa: Nếu hai chuỗi số  un ,  vn hội tụ, người ta


n

n 1

n 1

gọi tích của chúng là  wn , trong đó wn   uk vn  k




n 1

n 1

Tính chất 2: Nếu hai chuỗi số  un ,  vn hội tụ tuyệt đối và
có tổng S và S’ thì tích của chúng cũng hội tụ tuyệt đối và
có tổng SS’


Chương 1
Bài tập
CHUỖI SỐ


Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số


1 2

2 
n 1 n  3 

n



1

n 1 ln(1  n)

4
4
(
n


3

n
 1)

n 1



1 3

2 
n 1 n  2 

n



1
sin

n
n 1



n2

1

n 3 n


Xét sự hội tụ, phân kì của các chuỗi số
7 3n

n 3 ( 2 n  5)!




n

2

sin

n 1

1
 ln(n!)
n 2




1  cos 

n
n 1 

n

 n 
  3n  1 
n 1 






2

(n!) 2
 (2n )!
n 1


2 n 1



3  n  1
 3n  n 
n 1



 ntg 2 n 1

n 1


n2


Xét sự hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ của
các chuỗi số sau
n2



 (1)
n 1




n 1

n 1

2
n!

(1) n
2n  1



n

( 1)
 n ln n
n 2



2n  1
 (1) n 2  1
n 1
n


Bài tập:
Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số có số
hạng tổng quát sau:

2  cos n
un 
(   0)

n
1


1
n
 e  1
un 


n 


2

n  n
1
u n  ln 2
tg 2 (n  2)
n n
n


Các chuỗi số có số hạng tổng quát
sau có hội tụ không? Tính tổng của
chúng khi chúng hội tụ.
1
sin
n(n  1)
un 
1
1
cos cos
n
n 1

un  (1)

n 1

2n  1
n(n  1)


3-D Pie Chart

Text2
Text3
Text1
Text4
Text6

Text5


Diagram

ThemeGallery is a Design Digital
Content & Contents mall developed by
Guild Design Inc.

Your text
in here

Your text
in here

ThemeGallery is a Design Digital
Content & Contents mall developed by

Guild Design Inc.


Diagram
ThemeGallery is a Design Digital Content & Contents
mall developed by Guild Design Inc.

Title

Title

ThemeGallery is a
Design Digital Content &
Contents mall developed
by Guild Design Inc.

Title

Title

Title

Title


Diagram
Text in here

Text in here

Text in here
Text in here


www.themegallery.com