Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 4 - Nguyễn Phương

BÀI 4. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Định nghĩa

NHẮC LẠI
Định nghĩa 4.1.
Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.
Ví dụ 4.1.
Trong khơng gian Oxy.
y
u
v

x

−u

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
80 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Định nghĩa

Tính chất 4.1.
Cho x = (x1 , x2 ) và y = (y1 , y2 ) là hai véc tơ trong R2 và k là số

thực. Ta có
1

kx = (kx1 , kx2 );

2

x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 );

3

x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 );

4

Độ dài của véc tơ : |x| =

x12 + x22 .

Tính chất 4.2.
Cho x = (x1 , x2 , x3 ) và y = (y1 , y2 , y3 ) là hai véc tơ trong R3 và k
là số thực. Ta có
1

kx = (kx1 , kx2 , kx3 );

2

x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 );

3

x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 );

4

Độ dài của véc tơ : |x| =
Nguyễn Phương (BUH)

x12 + x22 + x32 .

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
81 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Định nghĩa

Định nghĩa 4.2.
Khơng gian véc tơ V là tập V khác rỗng và được trang bị hai
phép toán
1

x + y ∈ V với mọi x, y ∈ V ;

2

αx ∈ V với mọi x ∈ V và α ∈ R;

Tiên đề
1

x + y = y + x;

2

(x + y) + z = x + (y + z);

3

Tồn tại véc tơ không, ký hiệu 0 sao cho x + 0 = x;

4

Mọi x thuộc V , tồn tại véc tơ −x sao cho x + (−x) = 0;

5

Với mọi α, β ∈ K và mọi véc tơ x ∈ V : (α + β)x = αx + βx;

6

Với mọi α ∈ K và mọi véc tơ x ∈; V : (x + y)α = αx + αy;

7

(αβ)x = α(βx)

8

1.x = x.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
82 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa 4.3.
Cho S = {a1 , a2 , . . . , am } là tập hợp các véc tơ trong không gian
véc tơ V . Véc tơ b ∈ V được gọi tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
trong S nếu tồn tại các số thực x1 , x2 , . . . , xm sao cho
b = x1 a 1 + x2 a 2 + . . . + xm a m
Nói cách khác, véc tơ b được biểu diễn bởi các véc tơ trong S.
Ví dụ 4.2.
Hãy biễu diễn véc tơ x = (2, 3, 5) ∈ R3 qua các véc tơ trong
S = {v1 = (−2, −3, 4), v2 = (2, 3, 2)} ⊂ R3 .
Lời giải:
➤ Cho c1 , c2 ∈ R. Ta xét biểu thức sau:
x = c1 v1 + c2 v2
⇐⇒ (2, 3, 5) = c1 (−2, −3, 4) + c2 (2, 3, 2)
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
83 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Tổ hợp tuyến tính

➤ Ta có hpt sau:


−2c
+
2c
=
2


1
2

c1 = 1
2
−3c1 + 3c2 = 3 ⇐⇒




c2 = 3 .
4c1 + 2c2 = 5
2

Vậy ta có x =

1
3
v1 + v2 .
2
2

z
v = (2, 3, 5)

v1 = (−2, −3, 4)
v2 = (2, 3, 2)
y

x
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
84 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Tổ hợp tuyến tính

LIÊN HỆ GIỮA TỔ HỢP TUYẾN TÍNH VÀ HPT

Giả sử aj = (a1j , a2j , . . . , anj ), b = (b1 , b2 , . . . , bn )





b1
a1j
 b2 

 a2j 





Ta kí hiệu: Aj =  .  , B =  .  và X = 
 .. 

 .. 

x1
x2
..
.







bn
xm
anj
Khi đó, b là một tổ hợp tuyến tính của hệ S
⇔ x1 a1 + x2 a2 + · · · + xm am = b có nghiệm
⇔ x1 A1 + x2 A2 + · · · + xm Am = B có nghiệm
⇔ AX = B có nghiệm, với A = A1 A2 · · · Am

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
85 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Tổ hợp tuyến tính

Ví dụ 4.3.
Trong R3 cho u = (1, −1, 2), v = (1, 1, −1), w = (−1, −3, 4). Cho
biết x = (1, −3, 5) có phải là một tổ hợp tuyến tính của {u, v, w}
khơng? Nếu có, chỉ ra một cách biểu diễn của x theo u, v, w.

Lời giải: Giả sử x = au + bv + cw với a, b, c ∈ R.
⇔ (1, −3, 5) = (a, −a, 2a) + (b, b, −b) + (−c, −3c, 4c)
⇔ (1,
 −3, 5) = (a + b − c, −a + b − 3c, 2a − b + 4c)
a+b−c =1

−a + b − 3c = −3
⇔

2a − b + 4c = 5



1 1 −1
1
1 −1
1
1
d2 → d2 + d1



−−−−−−−−−−→
0 2 −4 −2
(A |B ) = −1 1 −3 −3
d3 → d3 − 2d1
0 −3 6
2 −1 4
3
5

d2 → 21 d2
−−−−−−
−→
Hpt ⇔

1 1 −1
0 1 −2

1
−1

a+b−c =1
. Chọn c = 0 ta được b = −1, a = 2.
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
b − 2c = −1

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

86 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 4.4.
Hệ S = {a1 , a2 , . . . , am } là hệ phụ thuộc tuyến tính
⇔ Tồn tại một vectơ aj ∈ S là tổ hợp tuyến tính của các

vectơ cịn lại.
⇔ Tồn tại bộ số x1 , x2 , . . . , xm với ít nhất một xj ̸= 0 sao cho
x1 a 1 + x2 a 2 + · · · + xm a m = 0
⇔ AX = 0 có nghiệm khơng tầm thường với A được định
nghĩa ở trên.
Ngược lại S là hệ độc lập tuyến tính.
y

y

v2

y
v2

v1

v1

v1
x

v , v đltt

1 Phương
2
Nguyễn
(BUH)

x

vĐẠI
ptttTÍNH
1, v
2TUYẾN
SỐ

x

v2

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
2
87 / 1411

v , v pttt


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4.4.
Cho S = {(1, 0, 0, 1), (0, 2, 1, 0), (1, −1, 1, 1)} ⊂ R4 . CMR S độc
lập tuyến tính.
Lời giải: Cách 1. Lấy c1 , c2 , c3 ∈ R. Xét hệ thức sau:
c1 (1, 0, 0, 1) + c2 (0, 2, 1, 0) + c3 (1, −1, 1, 1) = (0, 0, 0, 0)


c1

+ c3 = 0




2c2 − c3 = 0
⇐⇒
⇐⇒ c1 = c2 = c3 = 0.

c2 + c3 = 0



c
+ c3 = 0
1
=⇒ S độc lập tuyến tính.
Cách 2. Ta xét
 


1
0 0 1
1 0 0 1
2 1 0 ∼ 0 2 1 0 
A= 0
1 −1 1 1
0 0 3 0
Do r(A) = 3 = n =⇒ S độc lập tuyến tính.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
88 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Nhận xét: Trong trường hợp S gồm n vectơ n−chiều. Khi đó
1

S độc lập tuyến tính ⇐⇒ AX = 0 có nghiệm duy nhất
X =0
⇐⇒ det(A) ̸= 0 hoặc r(A) = n.

2

S phụ thuộc tuyến tính ⇐⇒ Ax = 0 có vơ số nghiệm hay
⇐⇒ det(A) = 0 hoặc r(A) < n.
A = A1

A2

...

An

trong đó A1 , . . . , An là các chuyển vị của a1 , . . . , an .

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
89 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4.5.
Cho S = {(1, −2, 3), (5, 6, −1), (3, 2, 1)} ⊂ R3 . CMR S phụ thuộc
tuyến tính.
Lời giải: Cách 1. Lấy c1 , c2 , c3 ∈ R. Xét hệ thức sau:
c1 (1, −2, 3) + c2 (5, 6, −1) + c3 (3, 2, 1) = (0, 0, 0)


 c1 + 5c2 + 3c3 = 0
1 5 3 0
⇐⇒ −2c1 + 6c2 + 2c3 = 0 ⇐⇒
0 2 1 0


3c1 − c2 + c3 = 0
Do r(A) = r(A|0) = 2 < n = 3 =⇒ hpt vô số nghiệm. Vậy S phụ
thuộc tuyến tính.

Cách 2. Ta có
det(A) =

1
5 3
−2
6 2
3 −1 1

=⇒ S phụ thuộc tuyến tính.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

=0

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
90 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4.6.
Cho S = {(1, −2, 3), (m, 2, −1), (1, m, 1)} ⊂ R3 . Tìm m để S độc
lập tuyến tính.
Lời giải: ➤ Ta có
det(A) =

1 m 1
−2
2 m
3 −1 1

= 3m 2 + 3m − 2

➤ Theo ycbt, thì
det(A) ̸= 0 ⇐⇒ 3m 2 + 3m − 2 ̸= 0
√
√
−3 − 33
−3 + 33
⇐⇒ m ̸=
∧ m ̸=
6
6

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
91 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ 4.7.
Cho S = {(1, 2, 1), (m + 1, −m, −1), (2, 0, 2)} ⊂ R3 . Tìm m để S
phụ thuộc tuyến tính.
Lời giải: ➤ Ta có
det(A) =

1 m +1 2
2
−m 0
1
−1 2

= −4m − 8

➤ Theo ycbt, thì
det(A) = 0 ⇐⇒ −4m − 8 = 0
⇐⇒ m = −2

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
92 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định lý 4.1.
Trong khơng gian véc tơ V ta có các khẳng định sau:
1 Nếu S chứa véc tơ 0 thì S phụ thuộc tuyến tính.
2 Nếu bỏ đi 1 véctơ trong S độc lập tuyến tính thì S độc lập
tuyến tính.
3 Nếu thêm véc tơ vào S phụ thuộc tuyến tính thì S phụ
thuộc tuyến tính.
4 Nếu S chứa hai hoặc nhiều hơn véc tơ các véc tơ tỷ lệ
nhau thì S phụ thuộc tuyến tính.
5 Nếu tồn tại 1 véc tơ trong S sao cho nó là tổ hợp tuyến tính
của các véc tơ cịn lại trong S thì S phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ 4.8.
1 S = {u = (0; 0; 0), u = (1; 0; 1), u = (0; 1; 2)} phụ thuộc
1
2
3
tuyến tính, do chứa véc tơ 0
2 S = {u = (1, 3, 1), u = (−1, 2, 1), u = (2, 6, 2)} phụ thuộc
1
2
3
tuyến tính, do chứa 2 véc tơ tỉ lệ nhau.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
93 / 141

BÀI 4. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Hạng của hệ vectơ

Định nghĩa 4.5.
Hạng của S = {a1 , a2 , . . . , am }, kí hiệu là rank(S), là số vectơ
độc lập tuyến tính tối đa của hệ.
Mọi hệ con của S có nhiều hơn rank(S) vectơ đều là hệ
phụ thuộc tuyến tính.
Hệ có tồn vectơ khơng được quy ước có hạng bằng 0.
Ví dụ 4.9.
Tìm hạng của hệ vectơ:
H = {a1 = (1, −3, 2), a2 = (1, −4, 0), a3 = (−1, 2, −4)}
Lời giải:
Ta có: a2 = 2a1 + a3 nên a1 , a2 , a3 phụ thuộc tuyến tính.
Mặt khác a1 , a3 độc lập tuyến tính.
Vậy rank(H) = 2.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
94 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Hạng của hệ vectơ

Tính chất 4.3.

i) Mọi vectơ của hệ H đều là một tổ hợp tuyến tính của một
hệ độc lập tuyến tính có rank(H) > 0 vectơ.
ii) Hạng của hệ vectơ không đổi nếu ta thêm vào hệ một
vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ.
iii) Hạng của hệ vectơ không đổi nếu ta bớt đi một vectơ là tổ
hợp tuyến tính của các vectơ cịn lại của hệ.
iv) Trong Rn , cho hai hệ vectơ H = {a1 , a2 , . . . , am },
F = {b1 , b2 , . . . , bk }. Nếu mọi vectơ aj đều là tổ hợp tuyến
tính của hệ F thì rank(H) ≤ rank(K).

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
95 / 141


BÀI 4. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Định lý 4.2.



Cho A = 


a11
a21
..

.

a12
a22
..
.

...
...
..
.

a1n
a2n
..
.

Hạng của hệ vectơ




. Khi đó, hạng của A bằng


am1 am2 . . . amn
hạng của hệ vectơ dòng của A, cũng bằng hạng của hệ vectơ
cột của A.
Vì vậy, khi ta cần tìm hạng của một hệ vec tơ ta tìm hạng của
ma trận các dịng/cột được lập từ những vectơ này.

Ví dụ 4.10.
Trong R4 cho H = {u = (1, −2, 1, 0), v = (2, 3, 2, −1), w = (3, 1, 3, −1)
Tìm rank(H).

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
96 / 141


BÀI 4. KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Hạng của hệ vectơ




1 −2 1 0
1 −2 1 0
A =  2 3 2 −1  −→  0 7 0 −1 
0 7 0 −1
3 1 3 −1


1 −2 1 0
−→  0 7 0 −1  = B
0 0 0 0



Vậy rank(H) = rank(A) = rank(B) = 2.
Định lý 4.3.
Hạng của hệ bằng số vectơ của hệ ⇔ Hệ độc lập tuyến
tính.
Hạng của hệ nhỏ hơn số vectơ của hệ ⇔ Hệ phụ thuộc
tuyến tính.
Hệ quả 4.1.
Trong Rn ,
Hệ chứa nhiều hơn n vectơ thì phụ thuộc tuyến tính.
24 tháng 10 năm 2022
Hệ chứa n vectơ độc lập tuyến tính ⇔ det(A)Ngày
̸= 0.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

97 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Định nghĩa 4.6.
Cho V là một không gian vectơ và S là tập con khác rỗng của
V . S được gọi là một không gian vectơ con của V nếu S cũng là
một không gian vectơ.
Định lý 4.4.

Cho V là một không gian véc tơ và S là tập con khác rỗng của
V . Nếu S thoả mãn các điều kiện
1 x + y ∈ S với mọi x, y ∈ S;
2 αx ∈ S với mọi x ∈ S và α ∈ R,
thì ta nói S là khơng gian véc tơ con của V .
1

Nếu S là một không gian con của Rn thì 0 ∈ S.

2

Do đó, nếu 0 ∈
/ S thì S khơng phải là kg con của Rn .

Ví dụ 4.11.
Cho biết tập nào sau đây là một không gian con của R2 .
1 R = {x ∈ R2 : x = (a, 2 + 3a), a ∈ R}
2 S = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R}
Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

98 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Ví dụ 4.12.
Tập S = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 x1 + 2x2 = 0} là không gian véc tơ
con của R2 . Thật vậy,
1 Vì 0 = (0, 0, 0) ∈ S nên S ̸= ∅.
2 Nếu x = (2a, −a) ∈ S thì
αx = α(2a, −a) = (2αa, −αa) ∈ S.
3

Nếu x = (2a, −a) ∈ S và x = (2b, −b) ∈ S thì
x + y = (2a + 2b, −a − b) ∈ S.

Ví dụ 4.13.
Tập S = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 x1 + x2 x3 = 0} không là không
gian véc tơ con của R3 . Thật vậy, chọn tuỳ ý x = (1, 1, −1) ∈ S
và y = (2, 2, −1) ∈ S, ta được
x + y = (1, 1, −1) + (2, 2, −1) = (3, 3, −2) ∈
/ S.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
99 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Ví dụ 4.14.

Trong khơng gian R3 , cho W = {x = (x1 ; x2 ; x3 ) : x1 + x2 + x3 = 0}.
Chứng minh rằng W là không gian con của R3 .
Ví dụ 4.15.
Trong khơng gian R3 , cho V là tập nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính
2x1 + x2 − 3x3 = 0
x1 − 2x2 + x3 = 5
Chứng minh rằng V không là không gian con của R3 .

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
100 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Định nghĩa 4.7.
Hệ S = {a1 , a2 , . . . , am } là cơ sở của không gian V ⊂ Rn nếu:
i) Hệ S độc lập tuyến tính;
ii) Mọi vectơ của V đều là tổ hợp tuyến tính của S.
Ví dụ 4.16.
Trong không gian R3 , cho các tập
S = {s1 = (1, 1, 1), s2 = (0, 0, 1), s3 = (1, 1, 0)}
M = {v1 = (1; 0; 2), v2 = (2; 1; −2), v3 = (4; 2; 3)}
Tập S và M có là một cơ sở của R3 hay không?

Lưu ý:
1 Số vectơ trong một cơ sở của kg S ⊂ Rn không vượt quá n.
2 Số vectơ trong các cơ sở của kg S luôn bằng nhau.
Định nghĩa 4.8.
Số vectơ trong một cơ sở của không gian S được gọi là số chiều
của S, kí hiệu là dim(S).
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
101 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Tính chất 4.4.
i) Nếu dim(S) = k thì mọi hệ có k vectơ độc lập tuyến tính
của S đều là cơ sở của S.
ii) Trong Rn , mọi hệ có n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ
sở của Rn .
Hệ En = {e1 , e2 , . . . , en } với
e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)
được gọi là cơ sở chính tắc của Rn .
iii) Mọi vectơ của S đều là một tổ hợp tuyến tính duy nhất
qua các vectơ trong mỗi cơ sở của S.
Ví dụ 4.17.
L = {x ∈ R2 : x = (a, 3a), a ∈ R} là không gian con của R2 . Tìm

một cơ sở của L và xác định dim(L).
Ví dụ 4.18.
Cho biết L = x ∈ R2 : x = (a + b, 2a − b), a, b ∈ R . Tìm một cơ
sở của L và xác định dim(L).
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
102 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Định nghĩa 4.9.
Cho S = {a1 , a2 , . . . , am } ⊂ V . Bao tuyến tính của S, ký hiệu
Span(S), được định nghĩa như sau:
Span(S) = {v = α1 a1 + α2 a2 + · · · + αm am ; αi ∈ R}

Ví dụ 4.19.
Trong R3 , cho hệ S = {u1 = (1; 0; −1), u2 = (0; 1; −1)}. Hãy xác
định Span(S).
Lời giải: Lấy v ∈ Span(S), với v = (x; y; z), ta có:
v = αu1 +βu2 = α(1; 0; −1)+β(0; 1; −1) = (α; β; −α−β) (α, β ∈ R)
Vậy Span(S) = {(α; β; −α − β) (α, β ∈ R)} ⊂ R3

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
103 / 141


BÀI 4. KHƠNG GIAN VÉCTƠ

Khơng gian con

Ví dụ 4.20.
Cho S = (2, −1, 0), (1, 3, −2), (1, 1, 4) ⊂ R3 . Chứng tỏ rằng x =
(−4, 4, 6) ∈ R3 thuộc Span(S).
Lời giải: ➤ Cho c1 , c2 , c3 ∈ R. Ta xét biểu thức sau:
x = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3
⇐⇒ (−4, 4, −6) = c1 (2, −1, 0) + c2 (1, 3, −2) + c3 (1, 1, 4)




 2c1 + c2 + c3 = −4
c1 = −2
⇐⇒ −c1 + 3c2 + c3 = 4 ⇐⇒ c2 = 1




c3 = −1
− 2c2 + 4c3 = −6
=⇒ x là tổ hợp tuyến tính của S hay x ∈ Span(S).

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
104 / 141