BÀI GIẢNG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG 1: MA TRẬN
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại họ c Bách Khoa T P HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 1 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng
hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:
A =








a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
a
m1
. . . a
mj
. . . a
mn








Người ta thường ký hiệu A = (a
ij
)
1im;1jn
.
Các số a
ij
(i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của
ma trận A.
Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là M
m×n
(K ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận

Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng
hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:
A =








a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
a
i1
. . . a
ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
. . . a
mj
. . . a

mn








Người ta thường ký hiệu A = (a
ij
)
1im;1jn
.
Các số a
ij
(i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của
ma trận A.
Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là M
m×n
(K ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Định nghĩa ma trận
Định nghĩa
Một ma trận A cỡ m × n trên trường K (thực hoặc phức) là một bảng
hình chữ nhật gồm m hàng và n cột có dạng sau:
A =









a
11
. . . a
1j
. . . a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
i1
. . . a

ij
. . . a
in
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
. . . a
mj
. . . a
mn









Người ta thường ký hiệu A = (a
ij
)
1im;1jn
.
Các số a
ij
(i = 1 m; j = 1 n) gọi là các phần tử hàng thứ i , cột thứ j của
ma trận A.
Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là M
m×n
(K ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 2 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận cột, ma trận hàng
Định nghĩa





a
1
a
2
.
.
.

a
n





được gọi là ma trận cột.

a
1
a
2
. . . a
n

được gọi là
ma trận hàng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận cột, ma trận hàng
Định nghĩa





a
1
a

2
.
.
.
a
n





được gọi là ma trận cột.

a
1
a
2
. . . a
n

được gọi là
ma trận hàng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận cột, ma trận hàng
Định nghĩa






a
1
a
2
.
.
.
a
n





được gọi là ma trận cột.

a
1
a
2
. . . a
n

được gọi là
ma trận hàng.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 3 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Mối quan hệ giữa ma trận và ma trận hàng, cột
Định nghĩa

Gọi A
i∗
=

a
i1
a
i2
. . . a
in

là hàng thứ i của ma trận A, 1  i  m,
và gọi A
∗j
=





a
1j
a
2j
.
.
.
a
mj






là cột thứ j của ma trận A, 1  j  n thì
A =

A
∗1
A
∗2
. . . A
∗n

=





A
1∗
A
2∗
.
.
.
A
m∗






TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 4 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ví dụ
Ma trận A =

1 −4 5
0 3 −2

2×3
gồm có:
2 ma trận hàng

1 −4 5

,

0 3 −2

và 3 ma trận cột

1
0

,

−4

3

,

5
−2

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 5 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận không
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là
a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận không
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là

a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận
Ma trận không
Định nghĩa
Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0, có nghĩa là
a
ij
= 0, ∀i, j.
Ví dụ
A =


0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0



là ma trận không cỡ 3 × 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 6 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa
Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập hợp các ma trận vuông
cỡ n × n được ký hiệu là M
n
(K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n.
Ví dụ
A =


1 2 3
0 −3 −2
5 4 −5


là ma trận vuông cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 7 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa ma trận vuông
Định nghĩa
Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông. Tập hợp các ma trận vuông
cỡ n × n được ký hiệu là M
n
(K ) và gọi chung là tập ma trận vuông cấp n.
Ví dụ
A =



1 2 3
0 −3 −2
5 4 −5


là ma trận vuông cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 7 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đơn vị
Định nghĩa
Ma trận I =





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
0 0 . . . 1





, có nghĩa là
(a
ii
= 1, i = 1, n;a
ij
= 0, ∀i = j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và
được ký hiệu là I hay I
n
Ví dụ
I =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


là ma trận đơn vị cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 8 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đơn vị
Định nghĩa
Ma trận I =






1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1





, có nghĩa là
(a
ii
= 1, i = 1, n;a
ij

= 0, ∀i = j) được gọi là ma trận đơn vị cấp n và
được ký hiệu là I hay I
n
Ví dụ
I =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


là ma trận đơn vị cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 8 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận chéo
Định nghĩa
Ma trận D =





α
1
0 . . . 0
0 α
2
. . . 0
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . α
n





, có nghĩa là
(a
ij
= 0, ∀i = j; i, j = 1, n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký
hiệu là D = dig

α
1
α
2
. . . α
n


.
Ví dụ
A =


1 0 0
0 −3 0
0 0 2


là ma trận chéo cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 9 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận chéo
Định nghĩa
Ma trận D =





α
1
0 . . . 0
0 α
2
. . . 0
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . α
n





, có nghĩa là
(a
ij
= 0, ∀i = j; i, j = 1, n) được gọi là ma trận chéo cấp n và được ký
hiệu là D = dig

α
1
α
2
. . . α
n


.
Ví dụ
A =


1 0 0
0 −3 0
0 0 2


là ma trận chéo cấp 3.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 9 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)
m×n
được gọi là ma trận đối của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5

là ma trận đối của ma trận A =

−1 −2 −3
0 −4 5


.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)
m×n
được gọi là ma trận đối của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5

là ma trận đối của ma trận A =

−1 −2 −3
0 −4 5

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43
Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông
Ma trận đối
Định nghĩa
Ma trận −A = (−a
ij
)

m×n
được gọi là ma trận đối của A.
Ví dụ
B =

1 2 3
0 4 −5

là ma trận đối của ma trận A =

−1 −2 −3
0 −4 5

.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 10 / 43
Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau
Ma trận bằng nhau
Định nghĩa
Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các
phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau
A = (a
ij
)
m×n
= B = (b
ij
)
m×n
⇔ a
ij

= b
ij
, ∀i, j.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 11 / 43
Các phép toán trên ma trận Ma trận bằng nhau
Ma trận bằng nhau
Định nghĩa
Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu như chúng cùng cỡ và các
phần tử ở những vị trí tương ứng bằng nhau
A = (a
ij
)
m×n
= B = (b
ij
)
m×n
⇔ a
ij
= b
ij
, ∀i, j.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 11 / 43
Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số
Nhân ma trận với một số
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
m×n

∈ M
m×n
(K ), α ∈ K. Khi đó αA = (α.a
ij
) ∈ M
m×n
(K )
là tích của số α với ma trận A.
Tính chất
1
1.A = A, (−1).A = −A
2
0.A = 0, 0 ∈ K
3
α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không.
4
α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .
Ví dụ
Nếu A =

1 2 3
5 4 −5

thì 3A =

3 6 9
15 12 −15

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43
Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Nhân ma trận với một số
Định nghĩa
Cho A = (a
ij
)
m×n
∈ M
m×n
(K ), α ∈ K. Khi đó αA = (α.a
ij
) ∈ M
m×n
(K )
là tích của số α với ma trận A.
Tính chất
1
1.A = A, (−1).A = −A
2
0.A = 0, 0 ∈ K
3
α.0 = 0, ∀α ∈ K, 0 là ma trận không.
4
α(βA) = (αβ)A, ∀α, β ∈ K .
Ví dụ
Nếu A =

1 2 3
5 4 −5

thì 3A =


3 6 9
15 12 −15

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHƯƠNG 1: MA TRẬN TP. HCM — 2011. 12 / 43