Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 5 - Nguyễn Phương

BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng thị trường

CỦA MỘT LOẠI HÀNG HÓA
Hàm cung: QS = −a + bP
Hàm cầu: QD = c − dP
QS , QD và P tương ứng là lượng cung, lượng cầu, giá hàng
hóa.
Mơ hình cân bằng thị trường:


 QS = −a + bP
 QS = −a + bP
Q = c − dP
Q = c − dP
⇔
 D
 D
QS = QD
−a + bP = c − dP
¯ = a+c
Giá cân bằng: P
b+d
¯S = Q
¯ D = cd − ad
Lượng cân bằng:Q
b+d
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
118 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

CỦA

Mơ hình cân bằng thị trường

n LOẠI HÀNG HÓA CÓ LIÊN QUAN
Hàm cung hàng hóa i : QSi = aio + ai1 P1 + ai2 P2 + · · · + ain Pn
Hàm cầu hàng hóa i : QDi = bio + bi1 P1 + bi2 P2 + · · · + bin Pn
QSi , QDi và Pi là tương ứng là lượng cung, lượng cầu, giá
hàng hóa i.

Mơ hình cân bằng thị trường:

 QSi = aio + ai1 P1 + ai2 P2 + · · · + ain Pn
Q = bio + bi1 P1 + bi2 P2 + · · · + bin Pn
 Di
QSi = QDi ∀i = 1, 2, . . . , n
Giải hệ trên ta tìm được giá cân bằng của n hàng hóa, từ đó
tìm được lượng cung và cầu cân bằng.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
119 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng thị trường

Ví dụ 5.1.
Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng với hàm cung và hàm cầu
như sau:
label=)

Hàng hóa 1: Qs1 = −2 + 3P1 , Qd1 = 10 − 2P1 + P2 ,

lbbel=)

Hàng hóa 2: Qs2 = −1 + 2P2 , Qd2 = 15 + P1 − P2 .

Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường hai hàng hóa
Lời giải: Hệ phương trình xác định giá cân bằng
−2 + 3P1 = 10 − 2P1 + P2
⇔
−1 + 2P2 = 15 + P1 − P2

5P1 − P2 = 12
⇔
−P1 + 3P2 = 16

P1 = 26/7

P2 = 46/7

Giá cân bằng của hai mặt hàng: P1 = 26/7; P2 = 46/7
Lượng hàng cân bằng:
Q1 = −2 + 3P1 = 64/7; Q2 = −1 + 2P2 = 85/7
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
120 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng thị trường

Ví dụ 5.2.
Giả sử thị trường gồm 2 mặt hàng với hàm cung và hàm cầu
như sau:
Hàng hóa 1: Qs1 = −10 + 2P1 , Qd1 = 100 − 5P1 + 3P2 − P3 ,
Hàng hóa 2: Qs2 = −20 + 5P2 , Qd2 = 120 + 2P1 − 8P2 + 2P3 ,
Hàng hóa 3: Qs3 = 13P3 , Qd3 = 300 − 10P1 − 5P2 − P3 .
Xác định giá và lượng cân bằng của thị trường ba hàng hóa

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022

121 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Y là tổng thu nhập quốc dân (Income)
E là tổng chi tiêu kế hoạch (Planned Ependiture) của nền
kinh tế
Trạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương
trình:
Y =E
Trong nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch E gồm:s
➤ C : Tiêu dùng (Consumption) của các hộ gia đình;
➤ G : Chi tiêu của chính phủ (Government);
➤ I : Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất (Investment).
Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:
Y =C+G+I

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
122 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ

KHƠNG CĨ THUẾ THU NHẬP
Giả định
Đầu tư theo kế hoạch và chính sách tài khóa của chính
phủ là cố định, tức là I = I0 và G = G0 .
Tiêu dùng của các hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập
dưới dạng hàm bậc nhất (gọi là hàm tiêu dùng):
C = aY + b

(0 < a < 1, b > 0)

➤ Hệ số a biểu diễn lượng tiêu dùng gia tăng khi người ta có
thêm $1 thu nhập, được gọi là xu hướng tiêu dùng cận
biên (marginal propensity to consume),
➤ b là mức tiêu dùng tối thiểu, tức là mức tiêu dùng khi
khơng có thu nhập.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
123 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ

KHƠNG CĨ THUẾ THU NHẬP

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ:
Y = C + I0 + G0
⇔
C = aY + b

Y − C = I0 + G0
−aY + C = b

Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân
bằng.
Ví dụ 5.3.
Giả sử C = 200 + 0, 75Y ; I0 = 300; G0 = 400 (tính bằng triệu
USD), tính mức thu nhập cân bằng và mức thu nhập cân bằng.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
124 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ

CĨ THUẾ THU NHẬP
Trong trường hợp có thuế thu nhập thì hàm tiêu dùng sẽ thay
đổi thành

C = aYd + b
trong đó Yd là thu nhập sau thuế, hay còn gọi là thu nhập khả
dụng (disponsable income):
Yd = Y − T

với T là thuế thu nhập

Gọi tỷ lệ thuế thu nhập là t (biểu diễn ở dạng thập phân), ta
có:
Yd = Y − tY = (1 − t)Y
C = a(1 − t)Y + b

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
125 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mơ

CĨ THUẾ THU NHẬP

Mơ hình cân bằng kinh tế vĩ mô:
Y = C + I0 + G0
C = a(1 − t)Y + b
Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân

bằng.
Ví dụ 5.4.
Giả sử C = 200 + 0, 75Yd ; I0 = 300; G0 = 400 (tính bằng triệu
USD) và nhà nước thu thuế thu nhập ở mức 20%, tính mức
thu nhập cân bằng và mức thu nhập cân bằng.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
126 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

➤ IS: Investment – Saving (Đầu tư – Tiết kiệm)
➤ LM: Liquidity preference - Money supply (Nhu cầu thanh
toán – Cung tiền)
➤ IS-LM dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh
tế trong cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
127 / 141

BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

PHƯƠNG TRÌNH IS - ĐƯỜNG IS
Để xét ảnh hưởng giữa thị trường hàng hóa và tiền tệ ta giả
định tổng đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r theo quy luật: lãi
suất càng cao thì đầu tư càng giảm. Hàm số biểu diễn mối
quan hệ đó được gọi là hàm đầu tư.
Hàm đầu tư tuyến tính có dạng:
I = c − dr
Phương trình biểu diễn điều kiện cân bằng trong thị trường
hàng hóa:
Y = (aY + B) + (c − dr) + G0
⇔ dr = b + c + G0 − (1 − a)Y
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

(3)
(4)

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
128 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

PHƯƠNG TRÌNH IS - ĐƯỜNG IS

➤ Phương trình (2) biểu diễn quan hệ giữa lãi suất và thu
nhập khi thị trường hàng hóa cân bằng, được gọi là
phương trình IS.
➤ Thu nhập Y càng tăng thì lãi suất r càng giảm.
➤ Nếu biểu diễn quan hệ (2) trên mặt phẳng với trục hoành
là thu nhập và trục tung là lãi suất thì ta được một đường
thẳng dốc xuống, đường thẳng đó được gọi là đường IS.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
129 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

PHƯƠNG TRÌNH LM -ĐƯỜNG LM
Trong thị trường tiền tệ, người ta cho rằng: lượng cầu tiền mặt
L có quan hệ cùng chiều với thu nhập và quan hệ ngược chiều
với lãi suất.
Nếu biểu diễn bằng hàm tuyến tính thì hàm cầu tiền có dạng:
L = αY − βr

Giả sử lượng cung tiền, ký hiệu là M, được cố định ở mức M0 .
Phương trình biểu diễn điều kiện cân bằng trong thị trường
tiền tệ:

Nguyễn Phương (BUH)

M0 = αY − βr

(5)

⇔ βr = αY − M0

(6)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
130 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

PHƯƠNG TRÌNH LM - ĐƯỜNG LM

➤ Phương trình (2) biểu diễn quan hệ giữa lãi suất và thu
nhập khi thị trường tiền tệ cân bằng, được gọi là phương
trình LM.

➤ Thu nhập Y càng tăng thì lãi suất r càng tăng.
➤ Nếu biểu diễn quan hệ (2) trên mặt phẳng với trục hoành
là thu nhập và trục tung là lãi suất thì ta được một đường
thẳng dốc lên, đường thẳng đó được gọi là đường LM.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
131 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

MƠ HÌNH IS−LM

Kết hợp phương trình IS và phương trình LM ta được mơ hình
IS−LM.
dr = b + c + G0 − (1 − a)Y
βr = αY − M0
Giải hệ phương trình ta được mức thu nhập và lãi suất đảm
bảo cân bằng trong cả thị trường hàng hóa và thị trường tiền
tệ.
Điểm cân bằng (Y , r) là giao điểm của đường IS và đường LM.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
132 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình IS−LM

Ví dụ 5.5.
Cho G0 = 250; M0 = 4500; I = 34 − 15r; C = 10 + 0, 3Y ; L =
22Y − 200r.
label=) Lập phương trình IS.
lbbel=) Lập phương trình LM.
lcbel=) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường
hàng hóa và tiền tệ.
Lời giải: Phương trình IS: Y = C + I + G0
⇔ Y = (10 + 0, 3Y ) + (34 − 15r) + 250 ⇔ 15r = 294 − 0, 7Y
Phương trình LM: L = M0 ⇔ 22Y − 200r = 4500
⇔ 200r = 22Y − 4500
Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ
phương trình:
15r = 294 − 0, 7Y
⇔ Y = 268, 72
200r = 22Y − 4500
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

;

r = 7, 06.

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
133 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

Được Wasily Liontief đưa ra năm 1927
Mơ hình I/O hay mơ hình cân đối liên ngành.
Xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành
sản xuất trong tổng thể nền kinh tế.
Mỗi một ngành trong n ngành công nghiệp của một nền
kinh tế phải đảm bảo một mức sản xuất hàng hóa đầu ra
bằng bao nhiêu để vừa vặn đủ thỏa mãn tổng cầu về loại
hàng hóa đó, tức là thỏa mãn chính các ngành cơng
nghiệp đó và nhu cầu chung của xã hội.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
134 / 141

BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

CÁC GIẢ THIẾT

1

Mỗi một ngành công nghiệp j chỉ sản xuất một loại hàng
hóa j hoặc nhiều loại hàng hóa với tỷ lệ cố định.

2

Mỗi ngành cơng nghiệp sử dụng một tỷ lệ đầu vào cố định
để sản xuất hàng hóa đầu ra.

3

Việc sản xuất mỗi loại hàng hóa có tính chất hiệu suất
khơng đổi (constant return to scale), tức là nếu mở rộng
đầu vào k lần thì đầu ra sẽ tăng k lần.

Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
135 / 141

BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

TỔNG CẦU, CẦU TRUNG GIAN VÀ CẦU CUỐI CÙNG
Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:
1

Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản
phẩm đó cho q trình sản xuất.

2

Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng các sản phẩm để
tiêu dùng hoặc xuất khẩu.

Giả sử một nền kinh tế gồm n ngành.
➤ xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i hay mức sản xuất
hàng hóa ngành i;
➤ xij là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành j cần sử dụng
cho việc sản xuất (cầu trung gian);
➤ bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất
khẩu (cầu cuối cùng);
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
136 / 141

BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

BẢNG I−O DẠNG GIÁ TRỊ
Tổng cầu
x1
x2
..
.

x11
x21

Cầu trung gian
x12 . . . x1j . . .
x22 . . . x2j . . .

x1n
x2n

Cầu cuối cùng
b1
b2

xi
..
.

xi1

xi2

...

xij

...

xin

bi

xn

xn1

xn2

...

xnj

...

xnn

bn

xi = xi1 + xi2 + · · · + xin + bi
xik
xk
aik là tỉ phần chi phí của ngành k trả cho việc mua hàng hóa
của ngành i tính trên 1 đơn vi giá trị hàng hóa của ngành k
(chi phí đầu vào sản xuất).
aik = 0, 2 nghĩa là để sản xuất ra $ 1 giá trị hàng hóa của mình,
ngành
k phải mua $ 0,2 hàng
hóa của ngành
i. Ngày 24 tháng 10 năm 2022
Nguyễn Phương (BUH)
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
137 / 141
xi = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xi + bi

với aik =


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

MƠ HÌNH I−O HAY PHƯƠNG TRÌNH SẢN XUẤT




⇔ 



x1



 x2
..

.



xn


x1
x2
..
.

= a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn + b1
= a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn + b2

= an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn + bn



a11 a12 . . . a1n
x1

  a21 a22 . . . a2n   x2 
 


 =  ..
..
..   ..  +
.
.
  .
.
.
.  . 

xn

an1 an2

. . . ann

xn







b1
b2

..
.

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH






bn

Dạng ma
(I − A)X= B 
 trận: X = AX + B ⇔ 

a11 a12 . . . a1n
x1
b1
 a21 a22 . . . a2n 
 x2 
 b2





với A =  .
..
..  , X =  ..  , B =  ..

..
 ..



 .
.
.
.
.
an1 an2 . . . ann
xn
bn
Nguyễn Phương (BUH)









Ngày 24 tháng 10 năm 2022
138 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

A là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật
X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)
B là ma trận cầu cuối cùng
T = (I − A) được gọi là ma trận Leontief hay ma trận công
nghệ
Định lý 5.1.
Giả sử A là ma trận hệ số đầu vào của một nền kinh tế và B là
cầu cuối cùng. Nếu các phần tử của A và B không âm và tổng
các phần tử trên mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thì (I − A)−1 tồn tại
và ma trận tổng cầu được xác định như sau:
X = (I − A)−1 B
C = (I − A)−1 được gọi là ma trận hệ số chi phí tồn bộ
Ý nghĩa của cij : để sản xuất một đơn vị giá trị nhu cầu
cuối cùng của ngành j thì ngành i cần phải sản xuất một
lượng sản phẩm có giá trị là cij .
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
139 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

Ví dụ 5.6.
Xét mơ hình kinh tế có các thành phần với các quan hệ trao

đổi sản phẩm giữa chúng và cầu hàng hóa cho trong bảng (đơn
vị: 100 triệu USD)
Ngành cung ứng
sp (output)
Nông nghiệp
Công nghiệp

Ngành sử dụng sp (input)
Nông nghiệp Công nghiệp
25
12
14
6

Cầu cuối cùng
13
10

Lời giải:
Tổng cầu đối với sp của ngành nông nghiệp: x1 = 25 + 12 + 13 =
50
Tổng cầu đối với sp của ngành công nghiệp: x2 = 14+6+10 = 30
x
Ma trận hệ số kĩ thuật: aij = xijj
A=
Nguyễn Phương (BUH)

25
50
14

50

12
30
6
30

=

0, 5 0, 4
0, 25 0, 2

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
140 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

Mơ hình input−output Leontief

Ví dụ 5.7.
Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành
2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật:


0, 2 0, 3 0, 2
A =  0, 4 0, 1 0, 2 
0, 1 0, 3 0, 2

label=)

Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A.

lbbel=)

Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các
ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định
mức tổng cầu đối với mỗi ngành

Lời giải:
a. Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ
thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1
cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2.
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
141 / 141


BÀI 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ

b.



0, 8
I − A =  −0, 4

−0, 1

1

⇒ (I − A)−1 =
0, 384

Mơ hình input−output Leontief


−0, 3 −0, 2
0, 9 −0, 2 
−0, 3 0, 8

0, 66 0, 30 0, 24
0, 34 0, 62 0, 24 
0, 21 0, 27 0, 60

Ma trận tổng cầu:


 
0, 66 0, 30 0, 24
10
24, 84
1
 0, 34 0, 62 0, 24   5  =  20, 68
X = (I − A)−1 B =
0, 384
0, 21 0, 27 0, 60

6
18, 36
Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối
với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành
3 là 18,36 (triệu USD)
Nguyễn Phương (BUH)

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Ngày 24 tháng 10 năm 2022
142 / 141