bai tap he hai phuong trinh bac nhat hai an nang cao

Bài tập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nâng cao
Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng
a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2

Trong đó a1 x  b1 y  c1 và a2 x  b2 y  c2 là các phương trình bậc nhất hai ẩn.
Mỗi nghiệm chung của hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm
của hệ.
 Giải hệ hai phương trình là ta đi tìm tất cả các nghiệm chung của hai phương
trình bậc nhất hai ẩn có trong hệ.
Nếu hai phương trình trong hệ khơng có nghiệm chung thì ta nói hệ vơ
nghiệm.
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập
nghiệm.
2. Minh họa hình học
Mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một đường thẳng trong
mặt phẳng tọa độ. Do đó, trên cùng một mặt phẳng tọa độ, mỗi nghiệm của hệ
hai phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm chung của hai
đường thẳng d1  : a1 x  b1 y  c1 và d 2  : ax2  by2  c2 .
Khi đó, nếu:
 d1  cắt d 2  thì hệ có một nghiệm duy nhất và tập nghiệm của hệ được biểu
diễn bởi giao điểm của d1  và d 2  .
 d1  // d 2  thì hệ vơ nghiệm và tập nghiệm là tập rỗng.
 d1  trùng với d 2  thì hệ có vơ số nghiệm và tập nghiệm được biểu diễn bởi
d1  .

3. Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
3.1. Phương pháp thế
a1 x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2

Để giải hệ phương trình 

bằng phương pháp thế, ta làm như

sau:
Giả sử rằng a1  0
Bước 1: Rút một ẩn x từ một phương trình a1 x  b1 y  c1 , ta được x 
Bước 2: Thay x 

c1  b1 y
a1

c1  b1 y
.
a1

vào phương trình a2 x  b2 y  c2 , ta được một phươn

 c1  b1 y 
  b2 y  c2 .
 a1 

trình một ẩn a2 .

Bước 3: Giải phương trình một ẩn trên, tìm được giá trị của y .

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

1
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


Bước 4: Thay giá trị tìm được của ẩn y vào biểu thức x 

c1  b1 y
, ta tìm được giá
a1

trị tương ứng của x .
Cặp giá trị tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ đã cho.

! Chú ý:
 Nếu a  0 , thì phải có điều kiện b  0 . Khi đó rút y từ phương trình
a1 x  b1 y  c1 .
 Khi các hệ số a1 , b1 , a2 , b2 là những số nguyên, ta thường rút ẩn mà hệ số của
nó có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất.
3.2. Phương pháp cộng đại số
a1 x  b1 y  c1
bằng phương pháp cộng đại số, ta làm
a2 x  b2 y  c2

Để giải hệ phương trình 

như sau:
Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp sao cho các hệ số

của một ẩn nào đó trong hệ phương trình là những số bằng nhau (hoặc đối
nhau).
Bước 2: Trừ (hoặc cộng) vế với vế hai phương trình để được một phương trình
một ẩn. Thay thế một trong hai phương trình của hệ bởi phương trình một ẩn ta
được một hệ mới.
Bước 3: Giải phương trình một ẩn ta tìm được giá trị của ẩn đó. Thay giá trị vừa
tìm được của ẩn đó vào phương trình cịn lại của hệ ta tìm được giá trị tương ứng
của ẩn kia. Cặp giá trị tương ứng vừa tìm được của hai ẩn là một nghiệm của hệ
phương trình đã cho.
4. Một số hệ phương trình nâng cao
4.1. Hệ đối xứng loại 1
 Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối
xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trị của x, y cho nhau thì
phương trình đó khơng đổi.
 Tính chất: Nếu  x0 ; y0  là một nghiệm của hệ thì  y0 ; x0  cũng là nghiệm của
hệ.
S  x  y
 P  x. y

 Cách giải: Đặt 

điều kiện S 2  4 P , quy hệ phương trình về 2 ẩn

S, P .

4.2. Hệ đối xứng loại 2
 Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối
xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trị của x, y cho nhau thì
phương trình này trở thành phương trình kia
 Tính chất: Nếu  x0 ; y0  là một nghiệm của hệ thì  y0 ; x0  cũng là nghiệm của

hệ.

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

2
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


 Cách giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình
x  y  0
.


f
x
,
y

0


có dạng  x  y  f  x, y   0  

4.3. Hệ đẳng cấp
 Định nghĩa: Hệ đẳng cấp là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp hoặc
các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình
đẳng cấp.
+ Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:
2
2

2
2
2
2
 ax  bxy  cy  d  ax  bxy  cy  dx  ey  ax  bxy  cy  d
,  2
,  3
,…
 2
2
2
2
2
3
ex  gxy  hy  k  gx  hxy  ky  lx  my  gx  hx y  kxy  ly  mx  ny

+ Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa
căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện.
 Cách giải: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạp ra
phương trình đẳng cấp bậc n : a1 x n  ak x n k .y k  ...  an y n  0 . Từ đó ta xét hai
trường hợp:
+ y  0 thay vào để tìm x .
+ y  0 ta đặt x  ty thì thu được phương trình a1t n  ak t n k  ...  an  0 .
Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y . (Cách làm
cũng tương tự với trường hợp y  tx )

B. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình:

1 1 3
x  y  4


1  1  2
 6 x 5 y 15

Lời giải:
Trước khi giải hệ phươn trình, ta phải đặt điều kiện cho các ẩn để hệ phương
trình có nghĩa. Điều kiện: x  0; y  0 .
1
1
 a và
 b (Khi đặt ẩn ta lưu ý đặt điều kiện nếu có).
x
y
3

a  b  4
Khi đó hệ phương trình trở thành 
. Sử dụng phương pháp thế hoặc
1 a  1 b  2
5
15
 6
1

a  2 (tm)
phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình, ta được 
.

1
b  (tm)

4

Đặt

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

3
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


1

a  2
Với 
b  1

4
( x; y )  (2;4)

ta có

1 1
 x  2
 x  2(tm)
. Vậy hệ phương trình có nghiệm
1 1  
 y  4(tm)

 
 y 4

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:

4 x  y   5 x  y 

c)  40
40
x  y  x  y  9


x
x
 y  y  12  1

b) 
 x  x 2
 y  12 y

 x  3 y  5  xy
 x  2  y  5  xy

a) 

Đáp số:  x; y   12;25

Đáp số:  x; y   9;1

Đáp số:  x; y   144;36 

 x  2  2 y  1  9
 x  y  1  1

 x  y  x  25
 x  y  y  30

d) 

e) 

x; y    3;3 Đáp số: x; y   16;7 
Đáp số:
hoặc  x; y    3;1
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình:
 x  y  2 xy  2
 3
3
x  y  8

Lời giải:
 x  y  2 xy  2

Ta biến đổi hệ phương trình thành 

2
2
( x  y )( x  xy  y )  8

 x  y  2 xy  2
S  x  y

. Đặt 
điều kiện S 2  4 P , hệ trở thành:
2
 P  x. y
( x  y ) ( x  y )  xy  8





S  2 P  2

2
S .( S  P )  8

Giải hệ trên rồi với ẩn S, P . Khi tìm được S, P , ta sẽ tính được nghiệm của hệ
phương trình là  x; y   0;2  hoặc  x; y   2;0  .
Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau





2( x  y )  3 3 x 2 y  3 xy 2
a, 
3 x  3 y  6
Đáp số:  x; y    2;3 hoặc

 x  y  xy  3

 x  1  y  1  4
Đáp số:  x; y   3;3

c,

e,



1 
 x  y 1    5

 xy 

 x 2  y 2 1  1   9
 x2  y2 









Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

 x 3  y 3  19

b, 

x; y   3;2

 x  y 8  xy   2
Đáp số:  x; y   8;64  hoặc

x; y   64;8

 x 2  y 2  2 xy  8 2

 x  y  4
Đáp số:  x; y   4;4 

d,

 x 3 y 1  y   x 2 y 2 2  y   xy 3  30  0
f,  2
 x y  x 1  y  y 2  y  11  0
Đáp số:  x; y   1;2  hoặc  x; y   2;1





4
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc

Đáp





5

2 

x; y   1; 3 

số:



 5  21 5  21 

;

2
2



hoặc hoặc  x; y   

5 
;1
2



x; y    3 


Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình:
 x 2  x  2 y
 2
 y  y  2 x

Lời giải:
Điều kiện x, y  0 . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta thu được:





x 2  x  y 2  y  2 y  x 



Vì



x y



x

 x  y x  y   1  2 x  y   0 .
y  x  y   1  2 x  y   0 nên phương trình đã cho tương đương với

x y.

Thế x  y vào một trong hai phương trình trên ta được nghiệm của hệ phương
 3 5 3 5 
.
;

2
2



trình là  x; y   0;0  hoặc  x; y   1;1 hoặc 
Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau




 
 




( x  1) y 2  6  y x 2  1
a, 
 y  1 x 2  6  x y 2  1
Đáp số:  x; y   2;2  hoặc

x; y   3;3
hoặc  x; y   2;3 hoặc  x; y   3;2 
Ví dụ 4:

 x 3  3 x  1  2 x  1  y
b,  3
 y  3 y  1  2 y  1  x
Đáp số:  x; y   0;0 

Giải hệ phương trình:
 x 3  8 x  y 3  2 y
 2
2
 x  3  3  y  1

Lời giải:
 x 3  y 3  8 x  2 y
2
2
 x  3 y  6

Ta biến đổi hệ phương trình thành 

Đểy ý rằng nếu nhân chéo 2 phương trình của hệ ta được phương trình đẳng cấp
bậc 3: 6  x 3  y 3   8 x  2 y   x 2  3 y 2  . Từ đó ta có lời giải sau:

Vì x  0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y  tx . Khi đó hệ trở thành:

3
 2
 x 3  8 x  t 3 x 3  2tx
1 t3 t  4
 x 1  t   2t  8



 3 1 t 3    t  4  1 3t 2 
 2
2
2 2
2
2
1  3t
3
 x  3  3 t x  1  x 1  3t   6

 1
t  3
2
 12t  t  1  0  
t   1

4

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

5
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


 x 2 1  3t 2   6
 x  3
1 
Với t   
.


3 y  x
 y  1
3


4 78
x  
1

13
Với t    
. Suy ra ta được các cặp nghiệm của hệ phương trình.
4
78
y  

13

Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau

5x2 y  4xy 2  3 y3  2  x  y   0
a, 
2
2
2
 xy  x  y   2   x  y 

Đáp số:  x ; y    1;1  ,  x; y    1; 1 ,
2 2 2
;
,
5 
 5

 x; y   
c,



 2 2
2
;

5
5 


 x; y    



2 2 x  y  2 x  6  y

 1 2x x  y
 
 2
 3 x 3 y 2 x  y

 17  3 13  3 17 
Đáp số:  x; y   
;

2
 4


e,

 x 2 y  1  2 xy  2 x  1
 3
 x  3x  3xy  6

Đáp số:

Ví dụ 5:



1

 x; y    3 9; 3



 1
9 

 x2  2 y  3  2 y  3  0

b, 
2
3
3
 2  2 y  x   3 y  x  1  6 x  x  1  2  0
 14 5 
x; y    
;


Đáp số:
9 18 


d,

1
 3
3
3 x  y 
x y


 x2  y2  1


 2 2 
2
2
;
;
 ,  

2 
 2 2   2
 2 5  5   2 5 5 
hoặc  x; y   
;
;
, 

5   5
5 
 5
 xy  x 2 y  2
f,  2
3
3
 2 xy   x  2 x  3  y  x  3
 1 4 
Đáp số:  x; y   1;1 ,  3 ; 3 
 3 9

Đáp số:

 x; y   

Cho hệ phương trình với tham số m

 m  1 x  y  m  1(1)

 x   m  1 y  2(2)
a, Giải hệ phương trình với m  3 .

b, Giải và biện luận hệ phương trình.
c, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm ngun.
d, Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn điều
kiện x  y nhỏ nhất.
Lời giải:
11

x

 4 x  y  4 
9

a, Với m  3 hệ trở thành 
.
x

2
y


2
7

y 

18
b, Rút y từ (1) được y   m  1 x   m  1 . Thay vào (2) được

Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

6
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


x   m 2  1 x   m 2  1  2  m 2 x  m 2  1(3)
m2  1
m 1
+ Nếu m  0 thì x 
. Khi đó y  2 . Hệ có một nghiệm duy nhất.
2
m
m
+ Nếu m  0 thì phương trình (3) trở thành 0 x  1 . Hệ đã cho vơ nghiệm.
c, Ta phải có m 2  1 m 2  1 m 2  m U 1   1 .

Với m  1 thì x  2, y  2 . Với m  1 thì x  2, y  2 .
Vậy các giá trị nguyên của m là 1 và -1.
d, Ta có x  y 

m2  m  2
1
2
 1  2 m  0 
2
m
m m
2

1
t 1 7

 1 7 7
 t , ta có: x  y  1  t  2t 2  2  t 2      2  t    
m
2 16  8

 4 8 8
7
1
Vậy min  x  y    t   hay m  4
8
4

Đặt

Áp dụng:
Bài 1: Tìm các giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình sau là các số dương:
 mx  y  3


x  y  2

Đáp số: 1  m 
Bài 2: Tìm các giá trị của m để hai hệ phương trình sau tương đương:

3
2

2 x  3 y  8
 mx  3 y  2
và 

3 x  y  1
x  y  3

Đáp số: m  4
Bài 3: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình sau vơ nghiệm, vơ số nghiệm:

 2  m  1 x   m  2  y  m  3

 m  1 x  my  3m  7
Đáp số: m  2 hệ vô nghiệm, m  1 hệ có vơ số nghiệm
Bài 4: Cho hệ phương trình với tham số m :

 m  1 x  y  3m  4

 x   m  1 y  m
a, Giải và biện luận hệ phương trình theo m .
b, Tìm các giá trị nguyên của m để nghiệm của hệ phương trình là các số

nguyên.
c, Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Đáp số: b, m  1; 2
c, m  0 hoặc m  2
Bài 5: Cho hệ phương trình với tham số m :
 mx  2 y  1

3 x   m  1 y  1
a, Giải hệ phương trình với m  3 .
b, Giải và biện luận hệ phương trình theo m .
Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

7
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc


c, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm là các số ngun.
Đáp số: a,  x; y   1; 1
c, m  3;3;1
Bài 6: Cho hệ phương trình với tham số m :

 x  my  m  1

 mx  y  3m  1
a, Giải và biện luận hệ phương trình theo m .

b, Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất, tìm các giá trị của m để tích xy
nhỏ nhất.
Đáp số: b, min xy  1  m  0
Tải thêm tài liệu tại:

/>
Bản quyền tài liệu thuộc về VnDoc

8
Tải tài liệu học tập, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí tại VnDoc