Đề tài một số ứng dụng của đại số tuyến tính vào các lĩnh vực khác

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang
Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................................................................... 1
1.1 Hệ phương trình tuyến tính ......................................................................................................... 9
1.1.1 Dạng của hệ phương trình tuyến tính ................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính ........................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.3 Hệ phương trình thuần nhất ................................................. Error! Bookmark not defined.
1.1.4 Phương pháp Gauss .............................................................. Error! Bookmark not defined.
1.2 Đại số ma trận .............................................................................................................................. 1
1.2.1 Các khái niệm ........................................................................................................................ 1
1.2.2 Các dạng đặc biệt của ma trận. ............................................................................................ 1
1.2.3 Các phép toán về ma trận ..................................................................................................... 2
Chương:2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
.............................................................................................................................................................. 12
2.1 Xây dựng các đường cong và bề mặt đi qua các điểm đã chỉ định ........................................... 12
2.1.1 Giới thiệu ............................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.1.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.1.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2 Giải hệ phương trình vi phân .................................................................................................... 16
2.2.1 Giới thiệu ............................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
Chương:3 ỨNG DỤNG HỆ SỐ MA TRẬN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ......................... 21
3.1 Ứng dụng Di truyền học ............................................................................................................ 21
3.1.1 Giới thiệu ............................................................................................................................. 21
3.1.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2 Ứng dụng trong mật mã học ...................................................................................................... 25
3.2.1 Giới thiệu ............................................................................................................................. 25

3.2.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.


Ví dụ 3: ........................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3 Ứng dụng trong hóa học ............................................................................................................ 31
3.3.1 Giới thiệu ............................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.4 Ứng dụng trong mơ hình kinh tế Leonteif................................... Error! Bookmark not defined.
3.4.1 Giới thiệu ............................................................................................................................. 35
3.4.2 Ví dụ .................................................................................................................................... 37
3.4.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.5 Ứng dụng trong chuỗi Markov .................................................................................................. 38
3.5.1 Giới thiệu ............................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.5.2 Ví dụ .................................................................................................................................... 42
3.5.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.6 Ứng dụng trong mạch điện ......................................................... Error! Bookmark not defined.
3.6.1 Giới thiệu ............................................................................................................................. 46
3.6.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.6.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.7 Ứng dụng trong phân luồng giao thông ................................................................................... 52
3.7.1 Giới thiệu ............................................................................................................................. 52
3.7.2 Ví dụ .................................................................................................................................... 52
3.7.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.

KẾT LUẬN……………………………………………………………………………………………….63
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….64

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn Ứng Dụng với Đề tài “Một số ứng dụng của
đại số tuyến tính vào các lĩnh vực khác” là kết quả của q trình cố gắng khơng
ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô,
bạn bè và người thân. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người đã
giúp đỡ em trong thời gian học tập vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Cần Thơ vì đã tạo điều kiện về cơ
sở vật chất với hệ thống thư viện hiện đại, tài liệu đa dạng đã tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong việc tìm kiếm thơng tin và tài liệu tham khảo.
Xin cảm ơn q Thầy Cơ của bộ mơn Tốn học, đặc biệt là Cơ Phạm Bích Như đã tận
tình giúp đỡ, định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học cho em những nhận xét
quý báu, chỉnh sửa những sai sót trong bản thảo luận văn của em . Trong thời gian làm
luận văn cùng cô em đã có thêm cho mình nhiều kiến thức bổ ích, tinh thần học tập hiệu
quả, nghiêm túc. Đó là những góp ý hết sức q báu khơng chỉ trong q trình thực hiện
luận văn này mà cịn là hành trang tiếp bước cho em trong quá trình học tập và lập
nghiệp sau này.
Những kiến thức em đã được học trong suốt những năm quan từ quý Thầy Cô trong Bộ
môn vơ cùng hữu ích và có tính ứng dụng cao. Chương trình đào tạo đảm bảo cung cấp
đủ kiến thức, gắn liền với nhu cầu thực tiễn của xã hội. Mặc dù, em đã có nhiều cố gắng
nhưng do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài cũng như còn một số hạn chế về
mặt kiến thức cho nên nhưng trong luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong nhận được sự góp ý từ phía q Thầy Cơ, các bạn để luận văn được hồn
thiện hơn.
Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ, động
viên.
Em xin chân thành cảm ơn!


Cần Thơ, tháng 12 năm 2022

Trần Đình Chiến


LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giai đoạn hiện nay toàn cầu hoá kinh tế trở thành xu thế nổi bật và tất yếu chi phối thời đại
là yếu tố quan trọng đối với sự phát triển kinh tế của các nước. Cùng với đó cuộc cách
mạng khoa học cơng nghệ mới lần thứ 3 diễn ra với nhịp độ ngày càng mạnh mẽ, mà cốt
lõi là dựa trên việc ứng dụng các phát minh khoa học công nghệ dựa trên nền tảng tốn học
phát triển các ngành cơng nghệ cao như công nghệ truyền thông và tin học, công nghệ vật
liệu mới, công nghệ sinh học… đã làm thay đổi mọi mặt đời sống kinh tế - chính trị và xã
hội nhân loại.
Tốn học là xương sống của mọi ngành, đóng vai trò quan trọng trong nền kinh tế quốc
dân.
Trong khi các phương pháp tính tốn truyền thống tốn nhiều thời nhưng hiệu quả lại giảm
sút thì hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận gần như đã trở thành lựa chọn số
một cho lĩnh vực toán học để phát triển các ngành nghề hiện nay. Số lượng các ngành nghề
sử dụng các cơng cụ ứng dụng tốn học ngày càng tăng, ngân sách cho toán học ngày càng
cao đủ để chứng tỏ sự tiện lợi cũng như lợi ích mà tốn học mang lại cho các ngành khơng
nhỏ.
Nhận thức được tầm quan trọng của hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận ảnh
hưởng đến hiệu quả các ngành nghề ra sao, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng hệ phương trình
tuyến tính và đại số ma trận trong các bài toán thực tế” là đề tài cho khóa luận của
mình.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đại số ma trận
1.1.1 Các khái niệm

Ma trận A cấp m  n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được biểu
diễn như sau:

Trong đó:
𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅 : là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A.
m : số dòng của ma trận A.
n : số cột của ma trận A.
(𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 … 𝑎𝑖𝑛 ) : dòng thứ i của ma trận A.

: cột thứ j của ma trận A.

Ký hiệu 𝑀𝑚𝑛  là tập hợp các ma trận cấp m  n trên R .
Ví dụ. Xét ma trận B = (

1
3

2
5

4
) . Ma trận B là ma trận cấp 2  3.
1
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận.

1)Ma trận dòng
Ma trận dịng là ma trận có một dịng và n cột, ký hiệu là A = (𝑎1 𝑎2 … 𝑎𝑛 )
2) Ma trận cột
𝑎1
Ma trận cột là ma trận có m dòng và một cột, ký hiệu là : A = ( 𝑎2 )

𝑎𝑚
Trang 1


3) Ma trận khơng:
Ma trận khơng là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 = 0𝑚𝑛
4) Ma trận vuông cấp n:
Ma trận vuông cấp n là ma trận có số dịng và số cột bằng n, ký hiệu là

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu: A ∈ 𝑀𝑛 (R).
Đường thẳng đi qua các phần tử 𝑎11 , 𝑎22 , 𝑎33 ,…, 𝑎𝑛𝑛 được gọi là đường chéo chính của
ma trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử 𝑎1𝑛 , 𝑎2(𝑛−1), 𝑎3(𝑛−2) , … , 𝑎𝑛1 được gọi là đường
chéo phụ của ma trận A.
5) Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vng có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
đều bằng 0.
Ma trận tam giác dưới là ma trận vng có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính
đều bằng 0.
6) Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vng có các phần tử khơng nằm trên đường chéo chính bằng 0
7) Ma trận đơn vị cấp n
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.
Ký hiệu là I=𝐼𝑛 .
8) Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A
theo thứ tự thành cột, ký hiệu là 𝐴𝑡 .
9) Ma trận đối xứng
̅̅̅̅̅
Ma trận vuông A=(𝑎𝑖𝑗 )𝑛 gọi là ma trận đối xứng nếu 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, j=1,
𝑛, tức là A  𝐴𝑡

1.1.3 Các phép toán về ma trận
1) Hai ma trận bằng nhau.
Trang 2


Hai ma trận cùng cấp A ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛(R) và B ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛(R) gọi là bằng nhau nếu các phần tử
tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: A = B ⇔ 𝑎𝑖𝑗 =𝑏𝑖𝑗 (∀𝑖, 𝑗).
2) Phép nhân một số với ma trận.
Cho c≠0 và ma trận A=(𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛(R). Khi đó : cA= (𝑐𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛
3) Phép cộng hai ma trận.
Cho A=(𝑎𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 và B=(𝑏𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛. Tổng của A và B là ma trận C=(𝑐𝑖𝑗 )𝑚𝑥𝑛 được xác định
như sau:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , (∀𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛)
Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.
4) Phép nhân một dòng với một cột
Cho A ∈ 𝑀1𝑥𝑛 (R) và B ∈ 𝑀𝑛𝑥1(R)

Khi đó AB gọi là tích (vơ hướng) của một dịng với một cột:
AB=𝑎1 𝑏1 +𝑎2 𝑏2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑏𝑛
5) Phép nhân hai ma trận

Trang 3


1.2.4 Các tính chất của các phép tốn trên ma trận
Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau:

Trang 4

1.2.5 Ma trận bậc thang

1.2.6 Hạng của ma trận

Trang 5


1.2.7 Ma trận nghịch đảo
1) Định nghĩa

2) Định lí

3) Tính chất

4) Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Trang 6


1.2 Định thức

Trang 7


Trang 8


1.3 Hệ phương trình tuyến tính
1.3.1 Định nghĩa
Dạng tổng qt của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau

Trang 9


1.3.2 Định lý
Đối với hệ phương trình tuyến tính (*) thì chỉ có một trong ba trường hợp nghiệm
xảy ra là: hoặc có nghiệm duy nhất hoặc vơ nghiệm hoặc vơ số nghiệm.
1.3.3 Hệ quả
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vơ số
nghiệm.
1.3.4 Định nghĩa
Cho hệ phương trình tuyến tính (*) Đặt:

Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn và B cột các hệ số tự do của hệ (*)
Ký hiệu:

𝐴̅ = 𝐴|𝐵=

Ma trận 𝐴̅ được gọi là ma trận mở rộng của hệ (*) khi viết 𝐴̅ = 𝐴|𝐵 gọi là sự ma trận
hoá hệ (*)

Trang 10


1.3.5 Định nghĩa
Hai hệ phương trình tuyến tính (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu
có cùng tập hợp nghiệm.
1.3.6 Định lý
Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hoá lần lượt
̅
là 𝐴 = 𝐴|𝐵 và 𝐶̅ = (C|D), 𝐴̅ ∽ 𝐶̅ khi đó, nếu thì hai hệ trên tương đương nhau.

1.3.7 Thuật toán Gauss và Guss- Jordan để
giải hệ phương trình tuyến tính
1) Thuật tốn Gauss

𝐴̅ = 𝐴|𝐵

2) Thuật tóan Gauss – Jordan

Trang 11


a) Định nghĩa

b) Mệnh đề

c) Định lý: (Kronecker – Capelli)
Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm nếu và chỉ nếu r(A) = r(𝐴̅)
d) Định lý
Nếu 𝐴̅ = (A|B) là dạng ma trận hóa của hệ phương trình tuyến tính AX = B thì r(𝐴̅)
= r(A) hoặc r(𝐴̅) = r(A) + 1. Hơn nữa,
(i)
Nếu r(𝐴̅) = r(A) + 1 thì hệ vơ nghiệm
(ii)
Nếu r(𝐴̅) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất
(iii) Nếu r(𝐴̅) = r(A) < n thì hệ có vơ số nghiệm với bậc tự do n – r(A)

Chương 2
ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO CÁC LĨNH VỰC KHÁC
1.4 Xây dựng các đường cong và bề mặt đi qua các điểm đã chỉ định
Phương trình của một đường thẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

𝑎2 + 𝑏 2 > 0
Phương trình của của 1 đường tròn 𝑎 (𝑥2 + 𝑦2) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0
𝑎≠0
2
Phương trình của trình mặt phẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
𝑎 + 𝑏2 + 𝑐 2 > 0
Trang 12


Phương trình của Parabol 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑎≠0

Bài Tốn 1
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ) và 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 )
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, 𝑎2 + 𝑏 2 > 0
Vì đường thẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 đi qua hai điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ) và 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ) nên tọa
độ của 𝐴, 𝐵 thỏa mãn phương trình. Khi đó, ta nhận được hệ phương trình sau
xa
{𝑎1 a
𝑏1 a

+yb
+𝑎2 b
+𝑏2 b

+c = 0
+c = 0
+c = 0

Vì 𝑎, 𝑏 không được đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình trên phải vơ số nghiệm khi
và chỉ khi
𝑥
|𝑎1
𝑏1

𝑦
𝑎2
𝑏2

1
𝑎
1| = 0 ⇔ 𝑥 | 2
𝑏2
1

1
𝑎
| -y| 1
1
𝑏1

𝑎1
1
| + 1 |𝑏
1
1

𝑎2

𝑏2 | = 0

⇔ (𝑎2 − 𝑏2 )𝑥 − (𝑎1 − 𝑏1 )𝑦 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 ) = 0 (1)
Vậy (1) chính là phương đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm 𝐴, 𝐵.
Áp dụng:
Ví dụ 1: Viết phường trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴 = (1,5) 𝑣à 𝐵 = (1,2)
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴, 𝐵 là
(𝑎2 − 𝑏2 )𝑥 − (𝑎1 − 𝑏1 )𝑦 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 ) = 0 ⇔ 3𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥 − 1 = 0
Ví dụ 2: Viết phường trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴 = (2,4) 𝑣à 𝐵 = (1,4)
Giải:
Áp dụng cơng thức (1) ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴, 𝐵 là
(𝑎2 − 𝑏2 )𝑥 − (𝑎1 − 𝑏1 )𝑦 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 ) = 0 ⇔ −𝑦 + 4 = 0
Ví dụ 3: Viết phường trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴 = (3,5) và 𝐵 = (2,4)
Giải:
Trang 13


Áp dụng cơng thức (1) ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm 𝐴, 𝐵 là
(𝑎2 − 𝑏2 )𝑥 − (𝑎1 − 𝑏1 )𝑦 + (𝑎1 𝑏2 − 𝑏1 𝑎2 ) = 0 ⇔ 𝑥 − 𝑦 + 2 = 0
Bài tốn 2:
Viết phương trình đường trịn đi qua ba điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ), 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ), 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 ).
Giải
Giả sử phương trình đường trịn có dạng 𝑎(𝑥2 + 𝑦2 ) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0 trong đó 𝑎 ≠ 0
Vì đường thẳng 𝑎 (𝑥2 + 𝑦2) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0 đi qua ba điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ),
𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ), 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 ) nên tọa độ của 𝐴, 𝐵, 𝐶 thỏa mãn phương trình. Khi đó, ta nhận
được hệ phương trình sau
(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑎
(𝑎1 2 + 𝑎2 2 )𝑎
(𝑏1 2 + 𝑏2 2 )𝑎

2
2
{ (𝑐1 + 𝑐2 )𝑎

+𝑥𝑏
+𝑎1 𝑏
+𝑏1 𝑏
+𝑐1 𝑏

+𝑦𝑐
+𝑎2 𝑐

+𝑑 = 0
+𝑑 = 0

+𝑏2 𝑐
+𝑐2 𝑐

+𝑑 = 0
+𝑑 = 0

Vì 𝑎, 𝑏, 𝑐 khơng được đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình trên phải vơ số nghiệm
khi và chỉ khi
𝑥2 + 𝑦2
2
2
||𝑎1 2 + 𝑎22
𝑏1 + 𝑏2
𝑐1 2 + 𝑐2 2

𝑥
𝑎1
𝑏1
𝑐1

𝑦
𝑎2
𝑏2
𝑐2

1
1

| = 0 (𝟐)
1|
1

Vậy (2) chính là phương đường trịn cần tìm đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Áp dụng:
Ví dụ 4: Tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm 𝐴 = (1,1) , 𝐵 = (−2,1) , 𝐶 =
(3,2).
Giải:
Áp dụng công thức (2) ta có phương trình đường trịn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 là
𝑥2 + 𝑦2 𝑥
1
| 2
5
−2
10
3

1
⇔ (𝑥 2 + 𝑦 2 ) |−2
3

1
1
2

1
2
1| − 𝑥 | 5
1
10

1
1
2

𝑦
1
1
2

1
1| = 0
1
1

1
2

1| + 𝑦 | 5
1
10

1
−2
3

1
2
1| − | 5
1
10

1
−2
3

1
1| = 0
2
Trang 14


⇔ −3𝑥 2 − 3𝑥 − 3𝑦 2 + 30𝑦 − 21 = 0
Bài tốn 3:
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ), 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ).
Giải
Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 > 0

Vì mặt phẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 đi qua ba điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ),
𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ) nên tọa độ của 𝐴, 𝐵, 𝐶 thỏa mãn phương trình. Khi đó, ta
nhận được hệ phương trình sau
𝑥𝑎
𝑎 𝑎
{ 1
𝑏1 𝑎
𝑐1 𝑎

+𝑦𝑏
+𝑎2 𝑏
+𝑏2 𝑏
+𝑐2 𝑏

+𝑧𝑐
+𝑎3 𝑐
+𝑏3 𝑐
+𝑐3 𝑐

+𝑑 = 0
+𝑑 = 0
+𝑑 = 0
+𝑑 = 0

Vì 𝑎, 𝑏, 𝑐 không được đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình 𝐴𝑋 = 𝜃 phải vơ số
nghiệm khi và chỉ khi 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0
𝑥
𝑎1
⇔|
𝑏1

𝑐1

𝑦
𝑎2
𝑏2
𝑐2

𝑧
𝑎3
𝑏3
𝑐3

1
1
| = 0 (𝟑)
1
1

Vậy (3) chính là phương mặt phẳng cần tìm đi qua đi qua ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Áp dụng:
Ví dụ 4: Tìm phương trình mặt phẳng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 đi qua ba điểm
𝐴 = (1,2,5), 𝐵 = (−2,5,4), 𝐶 = (4, −1,4).
Giải
Áp dụng công thức (3) ta có phương trình đường trịn đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 là
𝑥
1
|
−2
4

𝑦
2
5
−1

2
⇔ 𝑥| 5
−1

𝑧
5
4
4
5
4
4

1
1| = 0
1
1
1
1
|
−
𝑦
|
1
−2
1

4

5
4
4

1
1
|
+
𝑧
|
1
−2
4
1

2
5
1

1
1
|
−
|
1
−2
1
4

2
5
1

5
4| = 0
4
Trang 15


⇔ −6𝑥 − 6𝑦 + 18 = 0
Bài toán 4:
Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ), 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ), 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 ).
Giả sử phương trình Parabol có dạng 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ⇔ 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 0
trong đó 𝑎 ≠ 0. Vì Parabol 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 0 đi qua 3 điểm 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ), 𝐵 =

(𝑏1 , 𝑏2 ), 𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 ) nên tọa độ của 𝐴, 𝐵 thỏa mãn phương trình. Khi đó, ta nhận được hệ
phương trình sau
𝑥 2𝑎
𝑎1 2 𝑎
𝑏1 2 𝑎
{ 𝑐1 2 𝑎

+𝑥𝑏
+𝑎1 𝑏
+𝑏1 𝑏
+𝑐1 𝑏

−𝑦

−𝑎2
−𝑏2
−𝑐2

+𝑑 = 0
+𝑑 = 0
+𝑑 = 0
+𝑑 = 0

Vì 𝑎, 𝑏, 𝑐 khơng được đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình 𝐴𝑋 = 𝜃 phải vô số
nghiệm khi và chỉ khi 𝑑𝑒𝑡(𝐴) = 0
𝑥2
𝑎1 2
|
⇔| 2
𝑏1
𝑐1 2

𝑥
𝑎1
𝑏1
𝑐1

−𝑦
−𝑎2
−𝑏2
−𝑐2

1
1

| = 0 (𝟒)
1|
1

Vậy (4) chính là phương Parabol cần tìm đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶.
Áp dụng:
Ví dụ 5: Tìm phương trình Parabol đi qua ba điểm 𝐴 = (2,5) , 𝐵 = (3, −1) , 𝐶 = (−3,2).
Giải:
Áp dụng công thức (4) ta có phương trình Parabol đi qua 3 điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 là
𝑥2 𝑥
|4 2
9 3
9 −3
2
⇔ 𝑥2 | 3
−3

−5
1
−2

1
1| − 𝑥
1

4
|9
9

−5

1
−2

−𝑦 1
−5 1| = 0
1 1
−2 1

4
1
|
+
𝑦
|
1
9
9
1

2
3
−3

1
4
|
−
|
1
9

1
9

2
3
−3

−5
1 |=0
−2

⇔ 33𝑥 2 + 15𝑥 + 30𝑦 − 312 = 0
1.5 Giải hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất n hàm số là hệ có dạng
Trang 16


𝑦𝑖′ = 𝑎𝑖′ (𝑥 )𝑦1 + ⋯ + 𝑎𝑛′ (𝑥 )𝑦𝑛 ,

𝑖 = 1, … , 𝑛, (*)

Trong đó 𝑎𝑗𝑖 là những hàm số (xác định trên khoảng 𝐼 ⊆ ℝ)
Phương pháp giải: Để giải hệ (*) người ta tìm giải thức của hệ, tức là một ma trận cấp
𝑛 × 𝑛 mà mỗi cột thứ 𝑖 của nó là một nghiệm riêng của hệ (*) thỏa mãn điều kiện
khởi đầu
𝑌(𝑥0 ) = 𝑒𝑖
trong đó 𝑒𝑖 là vectơ trục đơn vị thứ 𝑖 (có tọa độ 𝑖 bằng 1, các toạ độ còn lại bằng 0).
Ký hiệu giải thức của (*) là 𝛷(𝑥, 𝑥0 ). Ta thấy mỗi hệ phương trình vi phân dạng
(*) đều có một giải thức duy nhất và giải thức có những tính chất đặc biệt sau đây:
(i) Tại điểm 𝑥 = 𝑥0 , giá trị của giải thức là ma trận đơn vị, tức là 𝛷 (𝑥0 , 𝑥0 ) = 𝐼 ;

(ii) Với mọi 𝑥 , 𝑥0 , 𝑥1 ta ln có 𝛷(𝑥, 𝑥1 ) = 𝛷(𝑥, 𝑥0 )𝛷(𝑥0 , 𝑥1 ). Nói riêng 𝛷 (𝑥, 𝑥0 ) khả
nghịch và ma trận nghịch đảo của nó là 𝛷(𝑥0 , 𝑥)
(iii) Nghiệm riêng của hệ (*) thỏa mãn điều kiện khởi đầu 𝑌(𝑥0 ) = 𝑏 được tính
theo cơng thức 𝑌(𝑥) = 𝛷(𝑥, 𝑥0 )𝑏
Nếu như ma trận 𝐴(𝑋) xác định hệ phương trình vi phân thuần nhất (*) là một
ma trận hằng (không phụ thuộc vào 𝑥), thì giải thức của hệ (*) có dạng sau
𝛷(𝑥, 𝑥0 ) = 𝑒 𝐴(𝑥,𝑥0) (∗∗)
trong đó ma trận mũ 𝑒 𝐴𝑡 được cho bởi công thức
𝑒

𝐴𝑡

𝑡
𝑡2 2 𝑡3 3
= 𝐼 + + 𝐴 + 𝐴 + 𝐴 + ⋯ (∗∗∗)
1!
2!
3!

Với công thức trên, nghiệm của hệ (*) thỏa mãn điều kiện khởi đầu 𝑌(𝑥0 ) = 𝑏 sẽ là
𝑌(𝑥) = 𝑒 𝐴(𝑥,𝑥0) 𝑏
Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 𝑦1 (0) = 1, 𝑦2 (0) = 2
𝑦1 ′
0
[𝑦 ] = [
2
0

1 𝑦1
][ ]

0 𝑦2

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗) ta được
Trang 17


𝛷(𝑥, 0) = 𝑒 𝐴𝑥 = [

𝑥 0
0
]+ [
1
1! 0

1
0

1
1
]=[
0
0

𝑥
]
1

Do đó nghiệm cần tìm là
[

𝑦1 (𝑥)
1
]=[
𝑦2 (𝑥)
0

𝑥 1
1+𝑥
][ ] = [
]
1 2
2

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 𝑦1 (0) = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦2 (0) = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑦1 ′
1
[𝑦 ] = [
2
0

1 𝑦1
][ ]
1 𝑦2

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗) ta được
𝛷(𝑥, 0) = 𝑒 𝐴𝑥 = [

1

0

𝑥 1
0
]+ [
1
1! 0

𝑥+1
1
]=[
1
0

𝑥
]
𝑥+1

Do đó nghiệm cần tìm là
𝑦 (𝑥)
𝑥+1
[ 1 ]=[
𝑦2 (𝑥)
0

𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥 ) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) + sin(𝑥)
𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
][
]=[

]
𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥 ) + cos(𝑥)

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 𝑦1 (0) = 1, 𝑦2 (0) = 2, 𝑦3 (0) = 3
𝑦1 ′
0
𝑦
[ 2 ] = [1
𝑦3
1

1
0
0

0 𝑦1
1] [𝑦2 ]
1 𝑦3

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗) ta được
𝛷(𝑥, 0) = 𝑒 𝐴𝑥
1 2
𝑥 +1
2
1
= 𝑥2 + 𝑥
2
1 2

[2 𝑥 + 𝑥

1
= [0
0

0
1
0

𝑥
1 2
𝑥 +1
2
1 2
𝑥
2

0
𝑥 0
]
+
[1
0
1!
1
1

1
0

0

0
𝑥2 0
]
+
[1
1
2!
1
1

1
0
0

0 2
1]
1

1 2
𝑥
2

1 2
𝑥 +𝑥
2

1 2
𝑥 + 𝑥 + 1]

2

Do đó nghiệm cần tìm là
Trang 18


1
+1
2𝑥 2
𝑦1 (𝑥)
1
[𝑦2 (𝑥)] =
+𝑥
2
2𝑥
𝑦3 (𝑥)
1
[2𝑥 2 + 𝑥

1
2𝑥 2
1
2𝑥 2 + 2𝑥 + 1
1
+ 𝑥 [2] = [3𝑥 2 + 4𝑥 + 2]
2
2𝑥
3
3𝑥 2 + 4𝑥 + 3
1

+ 𝑥 + 1]
2𝑥 2

𝑥
1
+1
2𝑥 2
1
2𝑥 2

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 𝑦1 (0) = 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦2 (0) = 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦3 (0) = 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑦1 ′
0
𝑦
[ 2 ] = [−1
𝑦3
2

−1
0
1

0 𝑦1
−3] [𝑦2 ]
1 𝑦3

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗) ta được
𝛷(𝑥, 0) = 𝑒 𝐴𝑥

1
= [0
0

1 2
𝑥
2

0
1
0

0
𝑥 0
0] + [−1
1!
1
2

−𝑥 2
1
− 𝑥2 + 𝑥 + 1
2

0
𝑥2 0
[−1
−3] +
2!
1

2

−1
0
1

0 2
−3]
1

3 2
𝑥
2

−𝑥 − 1

= −3𝑥 2 − 𝑥 − 1
1 2
[2 𝑥 + 2𝑥 + 2

−1
0
1

3
− 𝑥 2 − 3𝑥 − 3
2
−𝑥 2 + 𝑥 + 1 ]

Do đó nghiệm cần tìm là

1
2𝑥 2

𝑦1 (𝑥 )
[𝑦2 (𝑥 )] == −3𝑥 2 − 𝑥 − 1
𝑦3 (𝑥 )
1
[ 2𝑥 2 + 2𝑥 + 2

=

−𝑥 − 1
−𝑥
−

2

1
+𝑥+1
2𝑥 2

3
2𝑥 2

𝑠𝑖𝑛𝑥
3
− 2 − 3𝑥 − 3 [𝑐𝑜𝑠𝑥 ]
2𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥
2

−𝑥 + 𝑥 + 1 ]

1
3
1
1
1
3
1
− (𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)) − cos(𝑥) − (𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) − cos(3𝑥) + (𝑥 2 sin(𝑥)) + (𝑥 2 sin(2𝑥) + (𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥3𝑥))
2
2
2
2
4
2
4
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 1
3
1
3
1
1
3
3
1
1
− (𝑥 2 cos(𝑥)) − (𝑥 2 cos(3𝑥)) − (𝑥 2 sin(𝑥)) − (𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥)) − sin(𝑥) − (𝑥 2 sin(2𝑥)) − 3(sin(2𝑥)) − 3 sin(2𝑥) − (𝑥 2 sin(3𝑥)) − (𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥)) − sin(3𝑥)
2
2

2
2
2
2
2
2
2
cos(2𝑥) + 1
3
3
3
1
1
1
1
1
− (𝑥 2 cos(𝑥)) + (𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥)) + cos(𝑥) − (𝑥 2 cos(3𝑥)) + (𝑥𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) + cos(3𝑥) + (𝑥 2 sin(𝑥)) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥) + sin(𝑥) − 𝑥 2 sin(2𝑥) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + sin(2𝑥) + (𝑥 2 sin(3𝑥) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥)) + 𝑥𝑠𝑖𝑛(3𝑥)) + sin(3𝑥)
4
2
2
4
2
2
4
4
[
cos(2𝑥) + 1
]

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 𝑦1 (0) = 1, 𝑦2 (0) = 2, 𝑦3 (0) = 3, 𝑦4 (0) = 4

Trang 19


𝑦1 ′
1
𝑦2
[ ] = [1
𝑦3
0
𝑦4
1

0
0
1
0

1 𝑦1
1] [𝑦2 ]
0 𝑦3
1 𝑦4

0
0
1
0

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗) ta được
𝛷(𝑥, 0) = 𝑒 𝐴𝑥

1
= [0
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
1
𝑥
0] + [1
0
1! 0
1
1

1 3
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3
1 3
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3

=
1 3 1 2
𝑥 + 𝑥
2
2
1 3
2
[3 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 1

0
0
1
0

0
0
1
0

1
1
2
𝑥
1] +
[1
0
2! 0
1
1
0

1

1 3 1 2
𝑥 + 𝑥 +𝑥
6
2
0

0
0
1
0

1 2
1
3
𝑥
1] + [1
0
3! 0
1
1

0
0
1
0

0
0

1
0

0
0
1
0

1 3
1]
0
1

1 3
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3
1 3
0
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3
1 3 1 2
1 3 1 2
𝑥 + 𝑥 +𝑥+1
𝑥 + 𝑥
6
2
2
2
1 3
0

𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1]
3
0

Do đó nghiệm cần tìm là
𝑦1 (𝑥 )
𝑦2 (𝑥 )
=
𝑦3 (𝑥 )
[𝑦4 (𝑥 )]
1 3
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3
1 3
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3
1 3 1 2
𝑥 + 𝑥
2
2
1 3
2
[3 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 1

0
1
1 3 1 2
𝑥 + 𝑥 +𝑥
6
2

0

1 3
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
3
1 3
1
0
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
2
3
[ ]
1 3 1 2
1 3 1 2
3
𝑥 + 𝑥 +𝑥+1
𝑥 + 𝑥
4
6
2
2
2
1 3
0
𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1]
3
0

Trang 20