Đề tài một số ứng dụng của đại số tuyến tính vào các lĩnh vực khác

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trang
Chương:1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................................................1
1.1 Hệ phương trình tuyến tính.........................................................................................................9
1.1.1 Dạng của hệ phương trình tuyến tính................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.2 Giải hệ phương trình tuyến tính........................................... Error! Bookmark not defined.
1.1.3 Hệ phương trình thuần nhất ................................................. Error! Bookmark not defined.
1.1.4 Phương pháp Gauss .............................................................. Error! Bookmark not defined.
1.2 Đại số ma trận ..............................................................................................................................1
1.2.1 Các khái niệm ........................................................................................................................1
1.2.2 Các dạng đặc biệt của ma trận. ............................................................................................1
1.2.3 Các phép toán về ma trận .....................................................................................................2
Chương:2 ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
..............................................................................................................................................................12
2.1 Xây dựng các đường cong và bề mặt đi qua các điểm đã chỉ định...........................................12
2.1.1 Giới thiệu............................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.1.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.1.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2 Giải hệ phương trình vi phân ....................................................................................................16
2.2.1 Giới thiệu............................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
2.2.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
Chương:3 ỨNG DỤNG HỆ SỐ MA TRẬN TRONG CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ .........................21
3.1 Ứng dụng Di truyền học ............................................................................................................21
3.1.1 Giới thiệu .............................................................................................................................21
3.1.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2 Ứng dụng trong mật mã học ......................................................................................................25
3.2.1 Giới thiệu .............................................................................................................................25

3.2.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.


Ví dụ 3:........................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.2.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3 Ứng dụng trong hóa học ............................................................................................................31
3.3.1 Giới thiệu............................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.3.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.4 Ứng dụng trong mơ hình kinh tế Leonteif................................... Error! Bookmark not defined.
3.4.1 Giới thiệu .............................................................................................................................35
3.4.2 Ví dụ ....................................................................................................................................37
3.4.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.5 Ứng dụng trong chuỗi Markov..................................................................................................38
3.5.1 Giới thiệu............................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.5.2 Ví dụ ....................................................................................................................................42
3.5.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.6 Ứng dụng trong mạch điện ......................................................... Error! Bookmark not defined.
3.6.1 Giới thiệu .............................................................................................................................46
3.6.2 Ví dụ ...................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.6.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.
3.7 Ứng dụng trong phân luồng giao thơng ...................................................................................52
3.7.1 Giới thiệu .............................................................................................................................52
3.7.2 Ví dụ ....................................................................................................................................52
3.7.3 Bài tập.................................................................................... Error! Bookmark not defined.

KẾT LUẬN……………………………………………………………………………………………….63
TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………………………….64

LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn Ứng Dụng với Đề tài “Một số ứng dụng của
đại số tuyến tính vào các lĩnh vực khác” là kết quả của q trình cố gắng khơng
ngừng nghỉ của bản thân và được sự giúp đỡ tận tình, động viên khích lệ của thầy cô,
bạn bè và người thân. Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến những người đã
giúp đỡ em trong thời gian học tập vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Cần Thơ vì đã tạo điều kiện về cơ
sở vật chất với hệ thống thư viện hiện đại, tài liệu đa dạng đã tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong việc tìm kiếm thơng tin và tài liệu tham khảo.
Xin cảm ơn q Thầy Cơ của bộ mơn Tốn học, đặc biệt là Cơ Phạm Bích Như đã tận
tình giúp đỡ, định hướng cách tư duy và cách làm việc khoa học cho em những nhận xét
quý báu, chỉnh sửa những sai sót trong bản thảo luận văn của em . Trong thời gian làm
luận văn cùng cô em đã có thêm cho mình nhiều kiến thức bổ ích, tinh thần học tập hiệu
quả, nghiêm túc. Đó là những góp ý hết sức q báu khơng chỉ trong q trình thực hiện
luận văn này mà cịn là hành trang tiếp bước cho em trong quá trình học tập và lập
nghiệp sau này.
Những kiến thức em đã được học trong suốt những năm quan từ quý Thầy Cô trong Bộ
môn vơ cùng hữu ích và có tính ứng dụng cao. Chương trình đào tạo đảm bảo cung cấp
đủ kiến thức, gắn liền với nhu cầu thực tiễn của xã hội. Mặc dù, em đã có nhiều cố gắng
nhưng do bản thân chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài cũng như còn một số hạn chế về
mặt kiến thức cho nên nhưng trong luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu
sót. Rất mong nhận được sự góp ý từ phía q Thầy Cơ, các bạn để luận văn được hồn
thiện hơn.
Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè đã luôn bên cạnh, ủng hộ, động
viên.
Em xin chân thành cảm ơn!


Cần Thơ, tháng 12 năm 2022

Trần Đình Chiến


LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giai đoạn hiện nay toàn cầu hoá kinh tế trở thành xu thế nổi bật và tất yếu chi phối thời đại
là yếu tố quan trọng đối với sự phát triển kinh tế của các nước. Cùng với đó cuộc cách
mạng khoa học cơng nghệ mới lần thứ 3 diễn ra với nhịp độ ngày càng mạnh mẽ, mà cốt
lõi là dựa trên việc ứng dụng các phát minh khoa học công nghệ dựa trên nền tảng tốn học
phát triển các ngành cơng nghệ cao như công nghệ truyền thông và tin học, công nghệ vật
liệu mới, công nghệ sinh học… đã làm thay đổi mọi mặt đời sống kinh tế - chính trị và xã
hội nhân loại.
Tốn học là xương sống của mọi ngành, đóng vai trò quan trọng trong nền kinh tế quốc
dân.
Trong khi các phương pháp tính tốn truyền thống tốn nhiều thời nhưng hiệu quả lại giảm
sút thì hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận gần như đã trở thành lựa chọn số
một cho lĩnh vực toán học để phát triển các ngành nghề hiện nay. Số lượng các ngành nghề
sử dụng các cơng cụ ứng dụng tốn học ngày càng tăng, ngân sách cho toán học ngày càng
cao đủ để chứng tỏ sự tiện lợi cũng như lợi ích mà tốn học mang lại cho các ngành khơng
nhỏ.
Nhận thức được tầm quan trọng của hệ phương trình tuyến tính và đại số ma trận ảnh
hưởng đến hiệu quả các ngành nghề ra sao, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng hệ phương trình
tuyến tính và đại số ma trận trong các bài toán thực tế” là đề tài cho khóa luận của
mình.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Đại số ma trận
1.1.1 Các khái niệm

Ma trận A cấp m  n trên R là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột được biểu
diễn như sau:

Trong đó:
 ∈  : là phần tử thuộc dòng i và cột j của ma trận A.
m : số dòng của ma trận A.
n : số cột của ma trận A.
( 1  2 … 
 ) : dòng thứ i của ma trận A.

: cột thứ j của ma trận A.

Ký hiệu   là tập hợp các ma trận cấp m  n trên R .
Ví dụ. Xét ma trận B = (

1

2 4
) . Ma trận B là ma trận cấp 2  3.
3 5 1
1.1.2 Các dạng đặc biệt của ma trận.

1)Ma trận dòng
Ma trận dòng là ma trận có một dịng và n cột, ký hiệu là A = (1 2 … 
 )
2) Ma trận cột
1
Ma trận cột là ma trận có m dịng và một cột, ký hiệu là : A = (  2 )


Trang 1


3) Ma trận khơng:
Ma trận khơng là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu 0 = 0 
4) Ma trận vuông cấp n:
Ma trận vng cấp n là ma trận có số dịng và số cột bằng n, ký hiệu là

Tập hợp các ma trận vuông cấp n được ký hiệu: A ∈  (R).
Đường thẳng đi qua các phần tử 11 , 22 , 33
 ,…, được gọi là đường chéo chính
của trận A. Đường thẳng đi qua các phần tử 1 ,  2(−1),  3(−2) , … ,  1 được gọi là
ma
đường
chéo phụ của ma trận A.
5) Ma trận tam giác
Ma trận tam giác trên là ma trận vng có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính
đều bằng 0.
Ma trận tam giác dưới là ma trận vng có các phần tử nằm phía trên đường chéo chính
đều bằng 0.
6) Ma trận chéo
Ma trận chéo là ma trận vuông có các phần tử khơng nằm trên đường chéo chính bằng 0
7) Ma trận đơn vị cấp n
Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1.
Ký hiệu là I= .
8) Ma trận chuyển vị
Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các hàng của ma trận A
theo thứ tự thành cột, ký hiệu là  .
9) Ma trận đối xứng
Ma trận vuông A=() gọi là ma trận đối xứng nếu  =  , ∀,

j=1̅̅
1.1.3 Các phép toán về ma trận
, ̅̅, tức là A  
1) Hai ma trận bằng nhau.
Trang 2


Hai ma trận cùng cấp A ∈ (R) và B ∈ (R) gọi là bằng nhau nếu các phần tử
tương ứng của chúng bằng nhau, tức là: A = B ⇔ = (∀, ).
2) Phép nhân một số với ma trận.
Cho c≠0 và ma trận A=() ∈ (R). Khi đó : cA= ( )
3) Phép cộng hai ma trận.
Cho A=( ) và B=( ). Tổng của A và B là ma trận C=( ) được xác định
như sau:
 =  +  , (∀ = 1, ,  = 1,
)
Nhận xét. Phép cộng hai ma trận chỉ thực hiện được khi hai ma trận đó cùng cấp.
4) Phép nhân một dòng với một cột
Cho A ∈  1 (R) và B ∈  1(R)

Khi đó AB gọi là tích (vơ hướng) của một dòng với một cột:
AB=1 1 +2 
2 + ⋯ +
  
5) Phép nhân hai ma trận

Trang 3


1.2.4 Các tính chất của các phép tốn trên ma trận

Phép cộng hai ma trận có các tính chất sau:

Trang 4


1.2.5 Ma trận bậc thang

1.2.6 Hạng của ma trận

Trang 5


1.2.7 Ma trận nghịch đảo
1) Định nghĩa

2) Định lí

3) Tính chất

4) Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp

Trang 6


1.2 Định thức

Trang 7


Trang 8

1.3 Hệ phương trình tuyến tính
1.3.1 Định nghĩa
Dạng tổng qt của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau
Trang 9


1.3.2 Định lý
Đối với hệ phương trình tuyến tính (*) thì chỉ có một trong ba trường hợp nghiệm
xảy ra là: hoặc có nghiệm duy nhất hoặc vơ nghiệm hoặc vơ số nghiệm.
1.3.3 Hệ quả
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vơ số
nghiệm.
1.3.4 Định nghĩa
Cho hệ phương trình tuyến tính (*) Đặt:

Ta gọi A là ma trận hệ số, X là cột các ẩn và B cột các hệ số tự do của hệ (*)
Ký hiệu:

̅̅
= | =

Ma trận ̅được gọi là ma trận mở rộng của hệ (*) khi viết ̅= | gọi là sự ma trận
hoá hệ (*)

Trang 10


1.3.5 Định nghĩa

Hai hệ phương trình tuyến tính (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu
có cùng tập hợp nghiệm.
1.3.6 Định lý
Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên K có dạng ma trận hố lần lượt
̅̅
̅ đó, nếu thì hai hệ trên tương đương nhau.
là  = |  và ̅̅= (C|D), ̅̅ khi
∽ 

1.3.7 Thuật toán Gauss và Guss- Jordan để
giải hệ phương trình tuyến tính
1) Thuật tốn Gauss

̅̅
= | 

2) Thuật tóan Gauss – Jordan

Trang 11


a) Định nghĩa

b) Mệnh đề

c) Định lý: (Kronecker – Capelli)
Hệ phương trình tuyến tính AX = B có nghiệm nếu và chỉ nếu r(A) = r(̅̅)
d) Định lý
Nếu ̅̅= (A|B) là dạng ma trận hóa của hệ phương trình tuyến tính AX = B thì r(̅̅)
= r(A) hoặc r(̅̅

) = r(A) + 1. Hơn nữa,
(i)
Nếu r(̅̅
) = r(A) + 1 thì hệ vơ nghiệm
(ii)
Nếu r(̅̅
) = r(A) = n thì hệ có nghiệm duy nhất
(iii) Nếu r(̅̅
) = r(A) < n thì hệ có vơ số nghiệm với bậc tự do n – r(A)

Chương 2
ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀO CÁC LĨNH VỰC KHÁC
1.4 Xây dựng các đường cong và bề mặt đi qua các điểm đã chỉ định
Phương trình của một đường thẳng  +  +  = 0
2 + 2 > 0
Phương trình của của 1 đường tròn  ( 2 +  2) +  +  + 
 ≠0
2
=0
 + 2 + 2 >
Phương trình của trình mặt phẳng  +  +  +  = 0 0

Trang 12


Phương trình của Parabol  =  2 +  +

≠0



Bài Tốn 1
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm  = (
1 ,2 ) và  =
1 (
2 ,
 )
Giải
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng  +  +  = 0,  2 +  2
>0
Vì đường thẳng  +  +  = 0 đi qua hai điểm  =1 (2 ,  ) và 
1 =
2 ( ,  )
nên
tọa
độ của ,  thỏa mãn phương trình. Khi đó, ta nhận được hệ phương trình sau
xa
+yb +c =
0
{

 11a
a +
+ 22b
b +c
+c =
=
0
0
Vì ,  không được đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình trên phải vơ số nghiệm khi

và chỉ khi
  1
 1 2
 2 1| -y| 1 1
2
1
| 1  2 1| = 0 ⇔ 
| + 1 |  | = 0
1
11
2
|
1
1 2
⇔ ( −  ) − ( −  ) + (  −   )
= 0 (1)
Vậy (1)
đường
thẳng
2 chính
2 là phương
1
1
1 2cần tìm
1 2đi qua 2 điểm , .
Áp dụng:
Ví dụ 1: Viết phường trình đường thẳng đi qua 2 điểm  = (1,5)  à  =
(1,2)
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ,  là

(2 − 2 ) −1 ( 1−  )1+2 ( 
1 2−   ) = 0 ⇔ 3  − 3 = 0 ⇔
 − 1 =0
Ví dụ 2: Viết phường trình đường thẳng đi qua 2 điểm  = (2,4)  à  =
(1,4)
Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ,  là
(2 − 2 ) −1 ( 1−  )1+2 ( 
1 2−   ) = 0 ⇔ −
+4=0
Ví dụ 3: Viết phường trình đường thẳng đi qua 2 điểm  = (3,5) và  =
(2,4)
Giải:
Trang 13


Áp dụng cơng thức (1) ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm ,  là

Bài toán 2:

(2 − 2  ) 1 − 1 ( −
⇔ − +2 =0

1 
2

) 1+ 2(  −

  ) =0

Viết phương trình đường trịn đi qua ba điểm  = (1 , 2 ),  =1(2 ,  ),  1= 2(
,  ).
Giải
Giả sử phương trình đường trịn có dạng ( 2 +  2 ) + 

+  +  = 0 trong

đó  ≠ 0

1

2

Vì đường thẳng  ( 2 +  2 ) +  +  +  = 0 đi qua ba điểm  = ( , 
), = (1 , 2 ),  =1(2 ,  ) nên tọa độ của , ,  thỏa mãn phương trình. Khi đó,
ta nhận
được
hệ phương trình sau
( 2 +  2 ) +
+ + =
(1 2 + 2 2 ) 0+ 1  + 2  +
=
2
2 )
( 0
+ 1  + 2  +
1 + 
2
=
0

2
2
) + 1  + 2  +
2
{ (1 + 
=0
Vì , ,  khơng được đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình trên phải vơ số
nghiệm
khi và chỉ khi
2+ 2   1
2
1 2 1
12 +  2
+

2


| 2
1 | = 0 ()
2
2
1

1

 12 +  22

 2 1

1

Vậy (2) chính là phương đường trịn cần tìm đi qua 3 điểm , , .
Áp dụng:
Ví dụ 4: Tìm phương trình đường trịn đi qua ba điểm  = (1,1) ,  = (−2,1) ,
 =
(3,2).
Giải:
Áp dụng công thức (2) ta có phương trình đường trịn đi qua 3 điểm , ,  là
 1
1 1 1| =
−2 1 10
3 2 1

2 +2 

|

2
5
10

1 1 1
2 1 1
2
⇔ (2 +  ) |−2 1 1| −  | 5
| 5 −2 3 1| 2 =10
10 2 1
10

2
1 1
2
1 1| +  | 5
10 3 1

1 1
−2 1| −
3 2
Trang 14


⇔

2

2

−3  − 3 
− 3:21 = 0
Bài toán

−

3  + 30

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
 = ( , 2 ,3  ),  =1 (2 , 3 ,  ), 1 =
2 (
3 ,

 ,  ).
Giải 1
Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng  +  +  +  = 0 ,  2 +  2 +
2 > 0
Vì mặt phẳng  +  +  +  = 0 đi qua ba điểm 1 =2 (3 , 
,  ),
 = (1 , 2 ,3  ),  =
1 (
2 ,3  ,  ) nên tọa độ của , ,  thỏa mãn phương trình.
Khi đó,
ta hệ phương trình sau
nhận
được

+ + + =
 1  + 2  0 + 3  +
{= 0
 1  + 2  + 3  +
=0
+ 20,
 nghĩa
+ 3làhệ +
1  bằng
Vì , ,  khơng được đồngthời
phương trình  =  phải vô
=
0
số
nghiệm khi và chỉ khi () = 0
   1

 1  2  3 1| = 0
⇔ | 1  2  3 ()
1
1 2  1
3

Vậy (3) chính là phương mặt phẳng cần tìm đi qua đi qua ba điểm , , .
Áp dụng:
Ví dụ 4: Tìm phương trình mặt phẳng 
điểm

+  +  +  = 0 đi qua ba

 = (1,2,5),  = (−2,5,4),  = (4, −1,4).
Giải
Áp dụng công thức (3) ta có phương trình đường trịn đi qua 3 điểm , ,  là
 
 1
1 2
5 1| =
|−
2 5 4 10
4 −1 4 1
2
⇔  |
|−2
−
1

5 1

1 5 1
5 4 1| −  |−2
5 4| = 0 4
4 1
4 1

4

1

2 1
1 2 5
1| +  |−2 5 1| −
4
4
1 1
1 4

Trang 15


⇔ −6  −
18 = 0
Bài toán 4:

6 +

Viết phương trình Parabol đi qua 3 điểm  = (
1 , 2 ),  =1 (2 ,  ), 1 =2 (
,  ).

Giả sử phương trình Parabol có dạng  =  2 +  +  = 0 ⇔  2 +  −
+ =0
1 2
2
trong
đó

≠
0.
Vì
Parabol

+

−

+

=
0
đi
qua
3
điểm
= (
(1 , 
),

=
(

,

)
nên
tọa
độ
của
,

thỏa
mãn
phương
trình.
Khi
đó,
tanhận
2
1 2
,phương
 ),hệtrình
= sau
được
− + = 0
+ 1  − 2 + = 0
+ 1  − 2 + =
{   + 1 − 2 + =
0

Vì , ,  không được đồng 1thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình  =  phải vơ
số

nghiệm khi và chỉ khi () = 0
− 1
2 
2
1  1 − 2 1
⇔ |  2  − 1| = 0 ()
2

+

12 
12 
02

1

1

1

2

2

 1 − 2 1

Vậy (4) chính là phương Parabol cần tìm đi qua 3 điểm , , .
Áp dụng:
Ví dụ 5: Tìm phương trình Parabol đi qua ba điểm  = (2,5) ,  = (3, −1) ,  =
(−3,2).

Giải:
Áp dụng cơng thức (4) ta có phương trình Parabol đi qua 3 điểm , , 
là
 2  − 1
|94 2 −5 11| =
3
1 0
9 −3 −2 1
4 2 1
2 −5 1
4 −5 1
4
2

|
⇔
1 1| −  1 1| +  |9 31| −
3 −3 −2 |9
9 −3 |9
1 9
1
9 −2 1
2
⇔ 33  + 15 

+ 30  −

2 −5
1 | =
3

−3 0
−2

312 = 0

1.5 Giải hệ phương trình vi phân
Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất n hàm số là hệ có dạng
Trang 16


′
) 1
′ = ′ ( 
 + (⋯) +  
 ,(*)


= 1, … , ,
Trong đó  là những hàm số (xác định trên khoảng  ⊆ ℝ)

Phương pháp giải: Để giải hệ (*) người ta tìm giải thức của hệ, tức là một ma trận cấp

×
mãn điều kiện

mà mỗi cột thứ 

của nó là một nghiệm riêng của hệ (*) thỏa

khởi đầu

( 0 )
= 
trong đó  là vectơ trục đơn vị thứ 
(có tọa độ 
cịn lại bằng 0).

bằng 1, các toạ độ

Ký hiệu giải thức của (*) là (,  0 ). Ta thấy mỗi hệ phương trình vi phân dạng
(*) đều có một giải thức duy nhất và giải thức có những tính chất đặc biệt sau đây:
0

0

0

(i) Tại điểm 
= 
, giá trị của giải thức là ma trận đơn vị, tức là (
(ii)
,

,

)
= (,0
,  Với mọi
)  =


;
0 1
1 ta ln có0 (, 0 1
)( và ma
, trận nghịch
). Nói
(,
 0 , ))
khả
nghịch
đảoriêng
của nó
là (
(iii) Nghiệm riêng của hệ (*) thỏa mãn điều kiện khởi đầu ( 0 )
tính
theo cơng thức ()
Nếu như ma trận ()
một

=  được

= (,  0 )
xác định hệ phương trình vi phân thuần nhất (*) là

ma trận hằng (khơng phụ thuộc vào ), thì giải thức của hệ (*) có dạng sau
trong đó ma trận mũ 



(,  0 )

=  (, 0) (∗∗)
được cho bởi công thức


2
2
3
3 +
+  +  +
 =  + 1!
⋯ (∗∗∗)
2!
3!
Với công thức trên, nghiệm của hệ (*) thỏa mãn điều kiện khởi đầu ( 0 )
sẽ là

()
=  (, 0)


1

2

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với  (0)
= 1,  (0)
1′

[ 2] = [00 1] [ ]
0 2

=

=2

1

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗)
ta được
Trang 17


(, 0) 1
=   = [
Do đó nghiệm cần tìm là

1

 0 1] = [
0

]+ [
0 1 1! 0 0]
0
1

1
 1 ()]
]

[1] = [
1
+

[ ()= [
2
0 1 ]
2
2

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 1 (0)
= ,  (0)
= 
1′

[ 2] = [1 ] [ ]
0 1 2
1

2

1

Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗)
ta được
 1
(, 0) 1
0
]

+
[1

= =[
0 1
1! 0
Do đó nghiệm cần tìm là


] = [+ 1
1
0




+ 1]

()

[
 1 ()


]+=
()
[ ()]
]
[
+1

2
+ sin()

=[
]
+1
0

()
Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 1 (0)
+
2 cos()
1,  (0)
=′ 2,  (0)
1
1
0 1
3

[ 2]
2
0
= 3[1 1 0 1  3
0 1]
[
Giải
]
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗)
ta được
2 0

1
1 02


(, 0)
=0 1= [0
0 0
[1
1!
2!
1
0]
0 1
0 1]
0 0
1
+ [1
00 1]1
1
1 2
+ 1 2
0 1
 +1


2
2
1
1 2
1

 +
= 2+  2+ 1
2
2
2
1
1 2
1 2 + 
2 + 


[2
2
2 + 1]

3

=
=

Do đó nghiệm cần tìm là
Trang 18


 1 ()
[

 32 ()
()]


=

1
1

2+ 1
22
2
1
1
1
+
2+ 
2+ 1
2
2
2  2[2]
1
1
1 +=
 [3
+

2
[2  2
2
2  2+ 1]

1
3

22 + 2
+12
3+ 42 + 4 
++32]

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 1 (0)
2
(0)
= ,

(0)
 ′
0 −1 0  1
1
[ 2]
0 −3] 2
= [−1
2
1 [1  3
3
]
Giải
Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗)
ta được
1
 0  −1 0
(, 0)
=  0 −3]
0 0

1! 0]
= [0 1
0 0 1
2
1 +
+ [−1
1
1 2
3 2


−
2
2
−
3
2
1− 2
−
= −3  −

 22−
1
1 2
− 2
3 −
 2+

−
[1

2+ 2 
2
+1
+2
−3
Do đó nghiệm cần tìm là
+
+1
1
−
2 2
 1 ()
−
1− 2
[2 ()]
2
==
 3 ()−3  −
1
1

+
2

+
−
[2  2
2  2+ 1
+
2

1
1
1
1
1
− (())
− 32
2 cos()
2
2
4
=
3 2
3
− ( cos())
4−
2
+ cos(3 )
+ sin()
)
(3 ))

[

3 2
1
− ( cos())
2−
2
(())

− 3
1
3(sin(2
2 ))
4
−
((3 ))

, 
= 

2
 2 0 −1 0
[−1 0 −3]
2!
1
2
1

]
3
22


3
−
−
2  23 

− 2−

+
]
+ 1 3 []
3−
1
4
−2
−
+ ( 2 sin()) 3
+ ( 2 
3 ))
2

(2 )
+1
1
−3
(2 2 sin())2
−cos(2 )
2
(
))
1
1
1 sin(2+
+1 (())
−
2 ( 2 cos(3 ))
2
42

(
sin(3
))
cos(2 )
+ ( 2 sin())
−
+1
−
+ sin(2 )
+ (3 ))

((3 ))
cos(3
)
3
1
+2 ( 2 sin(2 )2

Ví dụ: Tính hệ phương trình vi phân với 1 (0)
= 2,  (0)
= 3,  (0)

3=

1 2 cos(3 )) 1
(
2
−2
sin()
−

1
+ cos()
34sin(2 )
+ ((3 ))
−
+ ()
sin(3
)
 2 sin(2 )
2
+ ( sin(3 )
+ sin(3 )

2

3

]
+ (2
+

= 41,  (0)
=4
Trang 19


1′
2
[ ]
3= [

4

1
0
0
1
1
0
1
0
0

Giải

1


0
0
0

1 1
1] 2
[ 3
1]  4

Áp dụng công thức (∗∗)(∗∗∗)
ta được
(, 0)
= 

2

1 0 0 0
1 0 0 1
1
2
 1 0 0 1  0 0 1
]
[
]
[
]
= [0 1
0 0 0 + 1! 0 1
+ 2! 1
+
0 0 1
1
0 0 1
0
0
0 1
1 0
3
02 1
1
01
0
0
0 0 1

3
1 +3  2
1
10 0 1 0
+


= 3+
+1 1

1 2
1 3 1 2
1 3 1 2


+ 3
2+
6 + 2
6 + 2
1 +
1 2
+
+
3
2
+1 0

0
[3
+


Do đó+nghiệm
cần tìm là
+1
 1 ()

1
 0
[
3! 1
0
0
1
0
1
0
3

3

0

1

]

0 1
1
1 3
2


3+ 
1 +3  2
+ 11
30
+1 3 1
+ 
+21+ 2
1 3
2

3+ 
+
+1

2

]

 ()
2

=
 ()
3
[ 4 ()]
1 3
2
3
1 +3  2

+
3
+
1
+
1 3 1
+
2+
1 +
1 2
3
2
[3 
+
+
+1

2

1 3 1

6 + 2
+

0

0

1

0

2

0

1 3 1 2

6 + 2
+
+1 0

1 3
2

3+ 
1 +3  2
+1
3
+1
1
+ 3
+21+ 2
1 3
2

3+ 
+
+1

1
2
[ ]
3
4

2

]

Trang 20