SKKN Phát triển năng lực giải quyết vấn đề Toán học cho học sinh thông qua bài toán ghép bảng biến thiên của hàm số

S¸NG KIÕN KINH NGHIƯM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA BÀI TỐN
GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Lĩnh vực: 04-Toán - Tin


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU 3

S¸NG KIÕN KINH NGHIƯM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG QUA BÀI
TỐN GHÉP BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Lĩnh vực: TOÁN - TIN
Người thực hiện: TĂNG DUY HÙNG
Tổ bộ mơn: TỐN  TIN
Năm thực hiện: 2021
Số điện thoại: 0979007470
Email:

Nghệ An, tháng 4 năm 2022.


MỤC LỤC
I. ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................. 2
1. Lý do chọn đề tài........................................................................................... 2
2. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................ 3

3. Tính mới của đề tài ....................................................................................... 3
4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài ......................................................... 3
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 3
6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu........................................................... 4
II.

NỘI DUNG .................................................................................................. 5

1. Cơ sở lý luận ................................................................................................ 5
1.1. Cơ sở khoa học ....................................................................................... 5
1.2. Cơ sở thực tiễn ........................................................................................ 6
2. Thực trạng ................................................................................................... 8
3. Phương hướng và giải pháp...................................................................... 10
3.1. Nguyên tắc lập bảng biến thiên của hàm hợp nhờ ghép bảng biến thiên 10
3.2. Áp dụng vào việc giải các bài toán về hàm số ....................................... 11
4. Đánh giá và kết quả triển khai áp dụng đề tài......................................... 70
4.1. Tổ chức thực nghiệm ............................................................................ 70
4.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm................................................. 71
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ........................................................................ 72
1. Kết luận ...................................................................................................... 72
2. Đề xuất và kiến nghị ................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 74

−1−


I.
1.

ĐẶT VẤN ĐỀ

Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đối với giáo dục phổ thơng đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể chất,

năng lực cơng dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho
học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, truyền thống,
đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến
thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt
đời.
Trong q trình dạy học tốn ở bậc phổ thơng, việc bồi dưỡng kiến thức và
phát triển tư duy cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên. Thực tế
cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học vẫn còn nặng về khâu truyền thụ kiến thức, các
kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tịi phát hiện, chưa chú trọng nhiều
về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được năng lực tư duy và sáng
tạo cho học sinh. Thơng thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trực tiếp các
bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài tốn đó. Học sinh chỉ có khả
năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâu chuỗi chúng lại với
nhau thành một hệ thống kiến thức lớn. Chính vì vậy việc bồi dưỡng, phát triển tư
duy tương tự hóa, khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông. Việc
làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận,
phát hiện vấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lơgic và hệ thống cao.
Mục tiêu của Chương trình giáo dục phổ thơng mới 2018 nói chung và mơn
Tốn nói riêng là phát triển phẩm chất và năng lực cho học sinh, trong đó năng lực
giải quyết vấn đề đóng vai trị rất quan trọng.
Trong chương trình Giải tích 12 THPT hiện hành, chủ đề về hàm số là một
trong những chủ đề trọng tâm, đa dạng, chiếm một thời lượng rất nhiều trong chương
trình và trong các đề thi hiện nay. Đặc biệt các bài tốn về tính đơn điệu, cực trị,
tương giao của hàm ẩn gây khơng ít khó khăn cho người học; các bài toán loại này
xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 và kỳ thi THPT quốc
gia ở mức độ vận dụng của đề thi. Để học tốt chủ đề này người học ngồi việc nắm
vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần có thêm nhiều kỹ năng giải, cần phải có năng

lực giải quyết vấn đề. Từ đó bản thân tơi tự đặt câu hỏi, liệu có cách nào giúp các
em tiếp cận các bài toán trên bằng phương pháp nào thật đơn giản và hiệu quả. Chính
vì các vấn đề trên, tôi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Phát triển năng lực giải
−2−


quyết vấn đề Tốn học cho học sinh thơng qua bài tốn ghép bảng biến thiên của
hàm số”.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Theo chủ trương của Bộ giáo dục & đào tạo, kì thi THPT quốc gia mơn tốn
đã và đang sử dụng hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn trong việc
kiểm tra đánh giá đối với bộ mơn tốn. Khi thi trắc nghiệm, địi hỏi học sinh phải có
sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình tự tư duy logic hơn,
nhanh hơn để đáp ứng thời gian hồn thành một câu trắc nghiệm trung bình khoảng
1,8 phút.
Trong chương trình tốn THPT, tính đơn điệu, cực trị của hàm số và sự tương
giao của đồ thị hàm số được hoàn thiện trong SGK lớp 12 chương I, thơng qua bài
tốn đạo hàm. Nội dung này chiếm rất nhiều trong đề thi THPT quốc gia. Đặc biệt
tính đơn điệu, cực trị và bài toán tương giao của hàm ẩn là một trong những câu khó
của đề thi. Việc tạo cho các em năng lực giải quyết vấn đề với một kỹ năng giải
nhanh các bài toán vận dụng, vận dụng cao về tính đơn điệu, cực trị và bài toán tương
giao liên quan hàm ẩn là một điều rất cần thiết. Bằng việc sử dụng kỹ năng ghép
bảng biến thiên sẽ giúp cho các em đơn giản hóa vấn đề này.
3. Tính mới của đề tài
- Đề tài đưa ra được nguyên tắc ghép bảng biến thiên của hàm số và vận dụng nó
vào các bài tốn về tính đơn điệu, cực trị của hàm số và sự tương giao của đồ thị
hàm số.
- Đề tài xây dựng được hệ thống các bài tập, đồng thời đưa ra được một số bài toán
mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác giả tự xây dựng nhằm rèn luyện tư duy
cho học sinh khi giải quyết các bài toán bằng phương pháp ghép bảng biến thiên.

4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài
Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thơng và
các thầy cơ dạy Tốn THPT tham khảo. Đề tài hoàn toàn phù hợp với các đối tượng
học sinh: học sinh khá, HSG, học sinh ôn thi Đại học.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.1. Đối tượng nghiên cứu:
- Các bài tập về hàm ẩn và phương pháp thiết kế bài tập để phát triển năng lực giải
quyết vấn đề cho học sinh.
- Học sinh khối 12-THPT.
1.2. Phạm vi nghiên cứu:
−3−


- Bám sát nội dung chương trình Tốn THPT.
- Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG và Đại học.
6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu
1.3. Phương pháp nghiên cứu
- Bước 1: Điều tra nghiên cứu phương pháp dạy học theo hướng thiết kế bài tập.
- Bước 2:Thiết kế câu hỏi khảo sát và thang điểm đánh giá.
- Bước 3:Tiến hành thực nghiệm.
- Bước 4: Thu thập thông tin và xử lý số liệu.
1.4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng từng lớp các bài toán sử dụng ghép bảng biến thiên của hàm số.
- Đưa ra một số nhận xét, phân tích về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng
dạng.
- Định hướng khai thác, mở rộng hoặc tạo ra bài toán mới.

−4−

II.

NỘI DUNG

1.

Cơ sở lý luận

1.1. Cơ sở khoa học
1.1.1. Sự biến thiên của hàm số
a) Khái niệm đơn điệu của hàm số
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f  x  xác định
trên K. Ta nói
Hàm số y  f  x  đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1, x2  K mà x1  x2 thì

f  x1   f  x2  .
Hàm số y  f  x  nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1, x2  K mà x1  x2 thì
f  x1   f  x2  .

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
b) Định lý
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K.
 Nếu f   x   0 x  K thì hàm số đồng biến trên K.
 Nếu f   x   0 x  K thì hàm số đồng biến trên K.
c) Quy tắc lập bảng biến thiên của hàm số
Để lập bảng biến thiên của hàm số, ta thực hiện các quy tắc sau:
Bước 1. Tìm tập xác định. Tính f   x  .
Bước 2. Tìm các điểm tại đó f   x  bằng 0 hoặc không xác định.
Bước 3. Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
1.1.2. Hàm hợp

Giả sử u  g  x  là một hàm số xác định trên khoảng  a; b  và lấy giá trị trên
khoảng  c; d  . Hàm số y  f  u  là hàm số của u, xác định trên  c; d  và lấy giá trị

trên  . Khi đó ta lập hàm số xác định trên  a; b  và lấy giá trị trên  theo quy tắc:

x  f  g  x  .

Mơ tả bằng hình vẽ như sau:

−5−


Khi đó ta gọi hàm số y  f  g  x   là hàm hợp của hàm y  f  u  với hàm

u  g  x .

1.1.3. Sự biến thiên của hàm hợp
Cho hàm số y  f  g  x   với x   a; b  . Hàm số này là hàm hợp của hàm

y  f  u  với hàm u  g  x  . Giả sử u  g  x  lấy giá trị trên khoảng  c; d  . Khi đó

 Nếu u  g  x  đồng biến trên

 a; b 

y  f  g  x   đồng biến trên  a; b  .

và y  f  u  đồng biến trên

 c; d 

thì

 Nếu u  g  x  đồng biến trên  a; b  và y  f  u  nghịch biến trên  c; d  thì
y  f  g  x   nghịch biến trên  a; b  .

 Nếu u  g  x  nghịch biến trên  a; b  và y  f  u  đồng biến trên  c; d  thì
y  f  g  x   nghịch biến trên  a; b  .

 Nếu u  g  x  nghịch biến trên  a; b  và y  f  u  nghịch biến trên  c; d  thì
y  f  g  x   đồng biến trên  a; b  .

Việc chứng minh các kết quả này hoàn toàn dựa vào định nghĩa. Chẳng hạn,
ta chứng minh kết quả thứ nhất như sau:
Giả sử u  g  x  đồng biến trên  a; b  và y  f  u  đồng biến trên  c; d  .
Với mọi x1, x2   a; b  và x1  x2 .

Do u  g  x  đồng biến trên  a; b  và lấy giá trị trên  c; d   g  x1   g  x2  và

g  x1  , g  x2    c; d 

Lại do y  f  u  đồng biến trên  c; d   f  g  x1    f  g  x2   .
Từ đó suy ra y  f  g  x   đồng biến trên  a; b  .
1.2. Cơ sở thực tiễn
Bài toán hàm số là một bài toán quan trọng trong chương trình hiện nay, đặc
biệt là chương trình tốn lớp 12. Các chủ đề liên quan đến bài toán hàm số như tính
đơn điệu, cực trị, tương giao là những chủ đề cơ bản và chiếm khá nhiều trong thi
tốt nghiệp cũng như các kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường. Và trong số đó,
bài tốn tính đơn điệu, cực trị, tương giao của hàm hợp là một nội dung mang tính
vậng dụng và vậng dụng cao. Chẳng hạn:

Câu 48- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019. Cho hàm số f  x  , bảng biến thiên của
hàm số f   x  như sau:

−6−






Số điểm cực trị của hàm số y  f x 2  2 x là
B. 9 .
C. 5 .
D. 7 .
A. 3 .
Câu 41- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị là
đường cong như hình dưới.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  f  x    1 là
B. 7 .
C. 3 .
D. 6 .
A. 9 .
Câu 50- Đề minh họa lần 1 năm 2020. Cho hàm số f  x  . Hàm số f   x  có đồ thị
như hình sau:

Hàm số y  f 1  2 x   x 2  x nghịch biến trên khoảng nào?

 3
A.  1;  .

 2

 1
B.  0;  .
 2

C.  2; 1 .

D.  2;3 .

−7−


Câu 2a- Đề HSG tỉnh Nghệ An 2021-2022. Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị
như hình sau:





2

Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x)   f x  8  x  .


Câu 16- Đề HSG tỉnh Thái Bình 2021-2022. Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên
 , hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.





Hàm số y  f 4  2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1;0)
2.

B. (1;3) .

C. (0;  ) .

D. (0;1) .

Thực trạng
Các kiến thức, các bài tốn về hàm số như tính đơn điệu, cực trị, tương giao

được trình bày trong chương trình lớp 12. Tuy nhiên các bài toán về hàm hợp dường
như chưa được đề cập trong SGK cũng như Sách bài tập. Nhìn chung khi học vấn
đề này, đại đa số học sinh thường gặp khó khăn và một số sai lầm trong giải tốn.
Một số học sinh cịn chưa xác định đượng hướng làm, còn e dè khi gặp các bài tốn
này. Học sinh có cảm giác rất “cao siêu”, “xa lạ”, trừu tượng so với các bài toán đơn
điệu, cực trị, tương giao thông thường. Khi giải các bài tốn tính đơn điệu, cực trị,
tương giao liên quan tới hàm hợp thì kĩ năng tìm điều kiện cho biến mới khi đổi biến,
kĩ năng giải phương trình lên quan tới biến mới, kĩ năng vận dụng mối liên hệ giữa
biến mới và biến cũ, giữa biến mới với đồ thị, bảng biến thiên đã cho còn hạn chế.
−8−


Do đó học sinh gặp khó khăn trong việc lập bảng biến thiên hay vẽ đồ thị của hàm
số đặc biệt là các hàm số cho ở dạng hàm hợp, khó khăn trong việc quan sát bảng
biến thiên, đồ thị để tìm ra kiến thức cần sử dụng.

Bản thân trong giáo viên chúng ta trong quá trình giảng dạy, dường như mới
chỉ dừng lại ở một số đơn vị lớp chọn, có học sinh khá giỏi. Các bài tốn này ít được
giáo viên áp dụng cho học sinh đại trà. Qua khảo sát thực tế học sinh khối 12 tại
trường THPT Diễn Châu 3 năm học 2021-2022 cho thấy: hầu hết các em cịn gặp
nhiều khó khăn khi giải quyết các bài tốn thuộc chủ đề tính đơn điệu, cực trị, tương
giao của hàm hợp. Để kiếm chứng vấn đề này, bản thân đã làm phiếu khảo sát với
nội dung như sau:
Câu hỏi 1. Khi gặp bài tốn tìm khoảng đơn điệu, tìm số cực trị, điểm cực trị, tìm
số nghiệm phương trình liên quan đến hàm hợp y  f  ax  b  , bạn đã thành thạo
cách giải chưa?
A. Hoàn toàn thành thạo
B. Biết làm một số bài
C. Biết cách làm nhưng khi giải bài toán thì vẫn gặp khó khăn
D. Khơng biết cách giải
Câu hỏi 2. Khi gặp bài tốn tìm khoảng đơn điệu, tìm số cực trị, điểm cực trị, tìm
số nghiệm phương trình liên quan đến hàm hợp y  f  u  , với u là biểu thức bậc 2,
bậc 3, căn thức, lượng giác, …, bạn đã thành thạo cách giải chưa?
A. Hoàn toàn thành thạo
B. Biết làm một số bài
C. Biết cách làm nhưng khi giải bài tốn thì vẫn gặp khó khăn
D. Khơng biết cách giải
Sau khi khảo sát 528 học sinh của khối 12 như sau:
Biết cách giải
Câu hỏi

Hồn tồn

Biết làm một

nhưng khi

Khơng biết

thành thạo

số bài

giải vẫn khó
khăn

cách giải

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

lượng

%

lượng

%

lượng

%

lượng

%

Câu hỏi 1

96

18,2

186

35,2

125

23,7

121

22,9

Câu hỏi 2

82

15,5

120

22,7

191

36,2

135

25,6
−9−


Tiếp tục kiểm chứng, bản thân triển khai xây dựng 1 bài kiểm tra với 10 câu
đều là về hàm hợp: 3 câu hỏi về tính đơn điệu, 3 câu hỏi về cực trị, 3 câu hỏi về
tương giao và 1 câu hỏi về GTLN, GTNN:
Khảo sát khi chưa áp dụng sáng kiến của năm học 2020-2021 cho các đơn vị
lớp 12A3, 12A6, 12D2:
Điểm 9-10
Sĩ số

Lớp

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm <5

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

lượng

%

lượng

%

lượng

%

lượng

%

12A3

43

1

2,3

10

23,3

22

51,2

10

23,2

12A6

36

3

8,3

12

33,3

15

41,7

6

16,7

12D2

44

0

0

4

9,1

19

43,2

21

47,7

Năm học 2021-2022, để tiếp tục kiểm chứng trước khi triển khai sáng kiến,
tôi khảo sát 3 đơn vị lớp: 12A2, 12A4 và 12A6 của năm học 2021-2022. Kết quả
như sau:
Điểm 9-10
Lớp

Sĩ số

Số
lượng

3.
3.1.

Tỉ
lệ
%

Điểm 7-8
Số

lượng

Tỉ
lệ
%

Điểm 5-6

Điểm <5

Số

Tỉ lệ

Số

Tỉ lệ

lượng

%

lượng

%

12A2

43

2

4,7

18

41,9

19

44,2

4

9,2

12A4

42

0

0

12

28,6

14

33,3

16

38,1

12A6

41

0

0

12

29,3

18

43,9

11

26,8

Phương hướng và giải pháp
Nguyên tắc lập bảng biến thiên của hàm hợp nhờ ghép bảng biến thiên
Để lập bảng biến thiên hàm số y  f  g  x   ta có thể thực hiện theo hướng

đi tính đạo hàm của hàm hợp, rồi thực hiện các quy trình lập bảng biến thiên như
các hàm số thơng thường. Tuy nhiên trong thực tế dạy học, bản thân nhận thấy học
sinh khá khó khăn trong q trình xét dấu hoặc do nhiều yếu tố khác. Để khắc phục
khó khăn này, chúng ta có thể lập bảng biến thiên của hàm hợp y  f  g  x   bằng
việc ghép 2 bảng biến thiên của hai hàm số y  f  x  và y  g  x  . Việc thực hiện
ghép bảng được thực hiện như sau:
Bước 1. Lập bảng biến thiên của hai hàm số y  f  x  và y  g  x  .

Bước 2. Lập bảng biến thiên của hàm số y  f  g  x   bằng cách ghép 2 bảng trên

như sau : Từ bảng của g  x  : Nhìn từ trái qua phải, tương ứng với từng khoảng của
−10−


x, ta xem giá trị của g  x  biến thiên từ đâu đến đâu. Giả sử khi x   a; b  thì g  x 

biến thiên từ c đến d. Sau đó nhìn vào bảng biến thiên của f  x  khi x biến thiên từ

c đến d, ta kiểm tra sự biến thiên của f  x  . Kết quả sự biến thiên đó chính là sự
biến thiên của y  f  g  x   trên  a; b  .

Với một số bài tốn như tìm số cực trị, tìm số nghiệm phương trình thì dường
như sau khi thực hiện Bước 2 thì ta hồn tồn trả lời được. Tuy nhiên với một số bài
tốn khác cần tìm đủ các cận của x như các bài tốn tính đơn điệu, tìm điểm cực trị,
tìm GTLN, GTNN. Khi đó ta cần giải thêm các phương trình g  x   m với m là các
mốc giá trị của x trong bảng biến thiên của f  x  khi x biến thiên từ c đến d.
3.2.

Áp dụng vào việc giải các bài toán về hàm số
Trước hết, ta nghiên cứu các bài toán chỉ quan tâm đến chiều biến thiên của

hàm hợp, mà chưa cần đến các giá trị của biến x. Chẳng hạn như các bài toán tìm
số cực trị, tìm số nghiệm của phương trình (tương giao).
Bài 1. (Câu 48- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019) Cho hàm số f  x  , bảng biến
thiên của hàm số f   x  như sau:





Số điểm cực trị của hàm số y  f x 2  2 x là
B. 9 .

A. 3 .
Phân tích:



C. 5 .

D. 7 .



Hàm số y  f x 2  2 x là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  x 2  2 x . Từ đó ta
cần lập bảng biến thiên của hàm số u  x 2  2 x . Kết hợp bảng biến thiên của hàm
số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f x 2  2 x





Lời giải:
Xét hàm số u  x 2  2 x , ta có u  2 x  2; u  0  x  1
Bảng biến thiên của hàm số u  x 2  2 x là

−11−


x
u



−

1
0


+





u

1
Ta thực hiện ghép bảng biến thiên như sau:

Nhìn vào bảng biến thiên của u  x 2  2 x :
+ Khi x biến thiên từ  đến 1 thì u biến thiên từ  đến 1. Nhìn vào bảng
biến thiên của y  f  x  : Khi x biến thiên từ  đến 1 thì f  x  biến thiên như
sau: Giảm từ  đến 1 rồi tăng lên 2, rồi giảm xuống 3 .
+ Khi x biến thiên từ 1 đến  thì u biến thiên từ 1 đến  . Nhìn vào bảng
biến thiên của y  f  x  : Khi x biến thiên từ 1 đến  thì f  x  biến thiên như
sau: Tăng từ 3 đến 2 rồi giảm xuống 1, rồi lại tăng lên đến  .
Từ đó ta lập bảng biến thiên của y  f x 2  2 x là:



x



1









2

y  f x  2x





2

2

1

1

3
Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số có 5 điểm cực trị.
Bài 2. (Câu 46-Đề minh họa lần 1 năm 2020) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có





đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số g  x   f x3  3 x 2 là

A. 5 .

B. 3 .

C. 7 .

D. 11.

Phân tích:

−12−






Hàm số g  x   f x 3  3x 2 là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  x 3  3x 2 . Từ
đó ta cần lập bảng biến thiên của hai hàm số u  x 3  3x 2 . Kết hợp bảng biến thiên
của hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số





g  x   f x3  3 x 2 .
Lời giải:

 x  2
Xét hàm số u  x3  3x 2 ta có u '  3x 2  6 x  0  
.
x  0
Bảng biến thiên của hàm số u là

x
u

2



+

0

0
−



0

+

4



u

0
Gọi a, b, c là các điểm cực trị của hàm số y  f  x  khi đó a  0  b  4  c . Và ta
cũng có f  a   f  c   0 ; f  b   0 .

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y  f  x  :

x
f  x




a

0

b
f b

0

c

4
0




f c

f a
Ta thực hiện ghép bảng như sau:

+ Khi x biến thiên từ  đến 2 thì u biến thiên từ  đến 4. Nhìn vào bảng biến
thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ  đến 4 thì f  x  biến thiên như sau: Giảm
từ  đến f  a  , rồi tăng lên f  b  , sau đó giảm đến f  4   0 .

+ Khi x biến thiên từ 2 đến 0 thì u biến thiên từ 4 đến 0. Nhìn vào bảng biến thiên

của y  f  x  , khi x biến thiên từ 4 đến 0 thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ

f  4   0 đến f  b  , sau đó giảm đến f  0   0 .

+ Khi x biến thiên từ 0 đến  thì u biến thiên từ 0 đến  . Nhìn vào bảng biến
thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 0 đến  thì f  x  biến thiên như sau: Tăng

từ f  0   0 đến f  b  , sau đó giảm đến f  c  , rồi lại tăng đến  .





Từ đó ta có bảng biến thiên của g  x   f x3  3x 2 là
−13−


x
g x 




f  b

2

f b

0

f a



0




f b

0

f c



Suy ra g  x   f x3  3x 2 có 7 điểm cực trị.
Bài 3.

(Câu 46-Đề minh hoạ lần 2 năm 2020). Cho hàm số f  x  có bảng biến

thiên như sau

 5 
Số nghiệm thuộc đoạn  0;  của phương trình f  sin x   1 là
 2 
B. 4 .

A. 7 .

C. 5 .

D. 6 .

Phân tích:
Hàm số y  f  sin x  là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  sin x . Từ đó ta cần

 5 
lập bảng biến thiên của hàm số u  sin x trên  0;  . Kết hợp bảng biến thiên của
 2 
hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số

y  f  sin x  .

Lời giải:

 5 
Hàm số u  sin x , có bảng biến thiên trên  0;  là
 2 

3
5
x
0
2
2
2
1

1
u

0

1

−14−



thì u biến thiên từ 0 đến 1. Nhìn vào bảng biến thiên
2
của y  f  x  , khi x biến thiên từ 0 đến 1 thì f  x  tăng từ 0 đến 2.

+ Khi x biến thiên từ 0 đến


3
đến
thì u biến thiên từ 1 đến 1 . Nhìn vào bảng biến
2
2
thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì f  x  giảm từ 2 xuống 0, rồi
+ Khi x biến thiên từ

lại tăng lên 2.

3
5

đến
thì u biến thiên từ 1 đến 1. Nhìn vào bảng biến
2
2
thiên của y  f  x  , khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì f  x  giảm từ 2 xuống 0, rồi
+ Khi x biến thiên từ

lại tăng lên 2.

 5 
Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f  sin x  trên  0;  là:
 2 

3
x
0
2
2
2
2

5
2
2

u
0

0

0

 5 
Từ đó ta thấy phương trình f  sin x   1 có 5 nghiệm trên  0;  .
 2 
Bài 4. (Câu 41- Mã đề 102-Đề thi THPT 2019) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có
đồ thị là đường cong như hình dưới.

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f  f  x    1 là
A. 9 .

B. 7 .

C. 3 .

D. 6 .

Phân tích:

−15−


Hàm số y  f  f  x   là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  f  x  . Từ đó ta cần
lập bảng biến thiên của hàm số u  f  x  . Kết hợp bảng biến thiên của hàm số này

với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f  f  x   .
Lời giải:
Bảng biến thiên của hàm số u  f  x  là

x

1
3

1






u

1

Ta thực hiện ghép bảng biến thiên như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên của u:
+ Khi x biến thiên từ  đến 1 thì u biến thiên từ  đến 1. Nhìn vào đồ thị
của y  f  x  khi x biến thiên từ  đến 1 ta thấy f  x  biến thiên như sau: Tăng
từ  đến 3, rồi giảm xuống 1 .
+ Khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì u biến thiên từ 1 đến 3 . Nhìn vào đồ thị của
y  f  x  khi x biến thiên từ 1 đến 3 ta thấy f  x  biến thiên như sau: Tăng từ 1
đến 3, rồi giảm xuống f  3 . (Lưu ý f  3  1 )

+ Khi x biến thiên từ 1 đến  thì u biến thiên từ 3 đến  . Nhìn vào đồ thị của
y  f  x  khi x biến thiên từ 3 đến  ta thấy f  x  biến thiên như sau: Tăng từ

f  3 đến 3, rồi giảm xuống 1, rồi tăng lên  .

Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f  f  x   như sau:

x

1

1



3

3




3

u

1


f  3

1

Vẽ đường thẳng y  1 ta suy ra phương trình f  f  x    1 có 7 nghiệm.
Bài 5.

(Câu 2a- Đề HSG tỉnh Nghệ An 2021-2022) Cho hàm số bậc ba y  f  x 

có đồ thị như hình sau:

−16−


Tìm số điểm cực trị của hàm số g ( x)   f






2

x  8 x  .


Phân tích:





2

Hàm số g ( x)   f x  8  x  là hàm hợp của hàm y  f 2  u  với



u  x  8  x . Từ đó ta cần đi lập bảng biến thiên của hai hàm số y  f 2  x  và

u  x  8 x .
Lời giải: Xét u  x  8  x , 0  x  8 .

u 

1
2 x

x
u



1
. u  0  x  4 . Bảng biến thiên của u là
2 8 x
0

4
+

8

0



4

u
2 2

2 2

2

Xét hàm số y   f  x   :

 f  x  0
 x  a; x  b
y  2 f   x  f  x  ; y  0  

 f  x   0
 x  c; x  2 2; x  4
Trong đó x  a , x  b là hai điểm cực trị của hàm số y  f  x  (0  a  2 2  b  4)

và y  f  x  cắt Ox tại 3 điểm có hồnh độ x  c, x  2 2, x  4  0  c  a  .
2

Ta có bảng biến thiên y   f  x   như sau:

c
a
x
y

0
+

0


2 2
0

+

0

 f  b  

y



4

b



f 2 2 



2


2



0

 f  4  

+

0

2

−17−


Thực hiện ghép bảng biến thiên của hàm số y   f  x  
u  x  8  x như sau:

2

với hàm số

+ Khi x biến thiên từ 0 đến 4 thì u biến thiên từ 2 2 đến 4. Khi x biến thiên từ 2 2



2



2
2
đến 4 thì y   f  x   biến thiên như sau: Tăng từ  f 2 2  đến  f  b   , rồi


2

giảm đến  f  4   .
+ Khi x biến thiên từ 4 đến 8 thì u biến thiên từ 4 đến 2 2 . Khi x biến thiên từ 4 đến
2

2

2

2 2 thì y   f  x   biến thiên như sau: Tăng từ  f  4   đến  f  b   , rồi giảm





2

đến  f 2 2  .


Ta được bảng biến thiên của hàm số y   f


0

x





2

x  8  x  như sau:

8

4

y
Từ đó suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài 6. (Sưu tầm) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ





Số nghiệm thực của phương trình f 2 x3  6 x  2  2 là
A. 15.

B. 14.

C. 12.

D. 13.

Phân tích:
Hàm số f 2 x 3  6 x  2 là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  2 x 3  6 x  2 . Từ





đó ta cần lập bảng biến thiên của hàm số u  2 x 3  6 x  2 . Kết hợp bảng biến thiên
của hàm số này với hàm số y  f  x  ta sẽ suy ra bảng biến thiên của hàm số





y  f 2 x 3  6 x  2 . Sau đó sử dụng lấy đối xứng qua trục hồnh các phần phía





dưới ta sẽ thu được bảng biến thiên hàm số y  f 2 x3  6 x  2 .
−18−


Lời giải:

Xét u  2 x3  6 x  2  u  6 x 2  6 . u   0  x  1

Bảng biến thiên của u là

x
u

1
0
6


+

1
−

0


+



u

2


Ta thực hiện ghép bảng như sau:

+ Khi x biến thiên từ  đến 1 thì u biến thiên từ  đến 6. Nhìn vào đồ thị của

y  f  x  , khi x biến thiên từ  đến 6 thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ 
7
13
đến 2, rồi giảm đến 0, rồi tăng đến
và rồi giảm đến  .
2
4
+ Khi x biến thiên từ 1 đến 1 thì u biến thiên từ 6 đến 2 . Nhìn vào đồ thị của
13
y  f  x  , khi x biến thiên từ 6 đến 2 thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ 
4
7
đến , rồi giảm đến 0 và rồi tăng đến 2.
2
+ Khi x biến thiên từ 1 đến  thì u biến thiên từ 2 đến  . Nhìn vào đồ thị của
y  f  x  , khi x biến thiên từ 2 đến  thì f  x  biến thiên như sau: Giảm từ 2
7
13
và rồi lại tăng đến  .
đến 0, rồi tăng đến , rồi giảm đến 
2
4
Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f 2 x 3  6 x  2 :



x



y

7
2

1



1

7
2

2

7
2




2
0

0

0

13

13

4
4
Thực hiện lấy đối xứng các phần phía dưới trục hồnh qua trục hoành ta được bảng








biến thiên hàm số y  f 2 x3  6 x  2 như sau:

−19−


x

y



1

7
2



1

7
2

13
4

2
0



7
2


13
4

2
0

0

0

0



0



0

0

Vẽ đường thẳng y  2 ta suy ra phương trình f 2 x3  6 x  2  2 có 14 nghiệm.
Bài 7.

(Sưu tầm) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị như hình vẽ sau. Có bao

nhiêu giá trị ngun của tham số m thuộc đoạn

g  x   f 1  x   m có 5 điểm cực trị?

A. 14.

B. 15.

C. 16.

20;20

để hàm số

D. 17.

Phân tích:
Hàm số y  f 1  x   m là hàm hợp của hàm số y  f  u   m với u  1  x . Từ

đó ta cần lập bảng biến thiên của hai hàm số u  1  x và y  f  x   m . Từ đó ta sẽ

suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f 1  x   m . Sau đó lấy đối xứng qua trục

hồnh các phần phía dưới ta sẽ thu được bảng biến thiên hàm số
g  x   f 1  x   m .
Lời giải:

u  1  x  1  x 2  u  

x
x

2

, x  0

Bảng biến thiên của u:
−20−


x
u

0



+



||

−

1

u


Bảng biến thiên hàm số y  f  x   m là:

x

0



2



2  m

f x  m



6  m



Thực hiện ghép bảng như sau:
+ Khi x biến thiên từ  đến 0 thì u biến thiên từ  đến 1. Nhìn vào bảng biến
thiên của y  f  x   m , khi x biến thiên từ  đến 1 thì f  x   m biến thiên như
sau: Tăng từ  đến 2  m , rồi giảm đến f 1  m  4  m .

+ Khi x biến thiên từ 0 đến  thì u biến thiên từ 1 đến  . Nhìn vào bảng biến
thiên của y  f  x   m , khi x biến thiên từ 1 đến  thì f  x   m biến thiên như
sau: Tăng từ f 1  m  4  m đến 2  m , rồi giảm đến  .

Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y  f 1  x   m như sau:

x

0



f 1  x   m

2  m



2  m


4  m

Hàm số g  x   f 1  x   m có 5 cực trị  4  m  0  m  4 . Vậy có 17 giá trị

m thỏa yêu cầu bài toán.
Tiếp theo, ta nghiên cứu một số bài toán cần tới các giá trị, các khoảng của
biến x. Như đã trình bày ở Mục 3.1, ta cần giải thêm các phương trình u  m để
tìm ra các cận của biến x. Ta xem xét các bài toán sau đây:
Bài 8.

(Câu 16- Đề HSG tỉnh Thái Bình 2021-2022) Cho hàm số y  f ( x ) xác
định trên  , hàm số y  f ( x) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

−21−






Hàm số y  f 4  2 x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
B. (1;3) .

A. ( 1;0)

C. (0;  ) .

D. (0;1) .

Phân tích:
Hàm số y  f 4  2 x là hàm hợp của hàm số y  f  u  với u  4  2 x . Do đó ta





cần lập bảng biến thiên của hai hàm số u  4  2 x và y  f  x  . Thực hiện ghép bảng





ta được bảng biến thiên của hàm số y  f 4  2 x . Tuy nhiên, do bài toán hỏi
khoảng đơn điệu nên ta cần các mốc giá trị của x. Như đã nói ở Mục 3.1, ta cần giải
phương trình u  m , với m là các mốc trong bảng biến thiên của hàm số y  f  x  .
Lời giải:
Từ đồ thị ta suy ra bảng biến thiên của y  f  x  là

x

f  x 

3
0



+




f  3

f  x
Xét u  4  2 x  u  2 x ln 2  0 x . Bảng biến thiên của u là

x
u
u



4

Ta có u  3  x  0







−22−


Thực hiện ghép bảng như sau: Khi x biến thiên từ  đến  thì u biến thiên từ 4

đến  . Khi x biến thiên từ 4 đến  thì f  x  biến thiên như sau: Tăng từ f  4 
đến f  3 , sau đó lại giảm.





Từ đó ta có bảng biến thiên của y  f 4  2 x như sau:

x



0
f  3



f  x
Từ đó ta suy ra hàm số đồng biến trên  1;0  .
(Câu 50- Đề minh họa lần 1 năm 2020) Cho hàm số f  x  . Hàm số f   x 

Bài 9.

có đồ thị như hình sau:

Hàm số y  f 1  2 x   x 2  x nghịch biến trên khoảng nào?

 3
A.  1;  .

 2

 1
B.  0;  .
 2

Phân tích:
Biến đổi y  f 1  2 x   x 2  x  f 1  2 x  

C.  2; 1 .

D.  2;3 .

1
1
 2 x  12 
4
4

1
1
Do đó hàm số y  f 1  2 x   x 2  x là hàm hợp của hàm số y  f  u   u2 
4
4
với u  1  2 x . Từ đó ta cần lập bảng biến thiên của hai hàm số u  1  2 x và
1
1
y  f  x   x 2  . Kết hợp hai bảng biến thiên của hàm số này ta sẽ suy ra bảng
4
4

biến thiên của hàm số y  f 1  2 x   x 2  x .
Ngồi ra, do bài tốn hỏi khoảng đơn điệu nên ta cần các mốc giá trị của x. Do đó ta
cần giải phương trình u  m như đã nói ở Mục 3.1.
Lời giải:
−23−