Luận văn thạc sĩ HUS một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức luận án ths toán học 60 46 01 13

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------------

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - 2013

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

------------

PHẠM THỊ LAN ANH

MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải

HÀ NỘI - 2013

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Mục lục

Lời nói đầu ............................................................................................................... .
Chương 1: Mở đầu .................................................................................................. 1
1.1.

Định nghĩa: ........................................................................................................ 1

1.2.

Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức: ........................................................... 1

Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy ............................................................................ 2
2.1.

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản. ............................................................. 2

2.1.1.

Bất đẳng thức Cauchy: ............................................................................... 2

2.1.2.

Bất đẳng thức Cauchy cơ bản:.................................................................... 2

2.1.3.

Các bài toán minh họa. ............................................................................... 2

2.1.4.

Một số bài tập tương tự. ............................................................................. 7

2.2.

Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy .................................... 8

2.2.1.

Bất đẳng thức Cauchy: .............................................................................. 8

2.2.2.

Các bài toán minh họa ................................................................................ 8

2.2.3.

Một số bài toán tương tự ........................................................................ 16

2.3.

Phương pháp thêm bớt hằng số. ...................................................................... 17

2.3.1.

Phương pháp:............................................................................................ 17

2.3.2.

Các bài toán minh họa: ............................................................................. 17

2.3.3.

Một số bài toán tương tự .......................................................................... 23

2.4.

Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.................................................... 24

2.4.1.

Phương pháp:............................................................................................ 24

2.4.2.

Các bài toán minh họa: ............................................................................. 24

2.4.3.

Một số bài toán tương tự .......................................................................... 38

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

2.5.

Phương pháp nhóm các số hạng...................................................................... 40

2.5.1.

Phương pháp thứ 1. .................................................................................. 40

2.5.1.1.

Nội dung phương pháp: ........................................................................ 40

2.5.1.2.

Các ví dụ minh họa: .............................................................................. 40

2.5.2.

Phương pháp thứ 2 ................................................................................... 44

2.5.2.1.

Nội dung phương pháp ......................................................................... 44

2.5.2.2.

Các ví dụ minh họa. .............................................................................. 44

2.5.3.
2.6.

Một số bài tốn tương tự .......................................................................... 50

Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu ............................................. 50

2.6.1.

Phương pháp:............................................................................................ 50

2.6.2.

Các bài toán minh họa: ............................................................................. 50

2.6.3.

Các bài tập tương tự: ................................................................................ 52

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số ......................................................... 53
3.1.

Nội dung phương pháp. ................................................................................... 53

3.2.

Các bài toán minh họa. .................................................................................... 53

3.3.

Các bài tập tương tự. ....................................................................................... 55

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa ............................................................... 56
4.1.

Nội dung phương pháp. ................................................................................... 56

4.2.

Các ví dụ minh họa. ........................................................................................ 56

4.3.

Bài tập tương tự: ............................................................................................ 62

Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số ......................................... 63
5.1.

Nội dung phương pháp: .................................................................................. 63

5.2.

Các bài toán minh họa: ................................................................................... 63

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

5.3.

Các bài tập tương tự. ...................................................................................... 69

Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học............................................................ 70
6.1.

Nội dung phương pháp. .................................................................................. 70

6.2.

Các bài tốn minh họa. ................................................................................... 70

6.3.

Các bài tập tương tự. ...................................................................................... 74

Kết luận ................................................................................................................. 75
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 76

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Lời nói đầu
Bất đẳng thức là một chuyên đề khá thú vị trong chương trình tốn học phổ
thơng và cũng có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học.
Trong các đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng những
năm gần đây thì bài tốn bất đẳng thức thường xuất hiện như một dạng đề quen
thuộc và thường được hiểu như là một bài toán để lấy điểm tối đa vì việc giải quyết
trọn vẹn bài tốn này khơng phải là đơn giản với phần lớn học sinh.
Lý thuyết về bất đẳng thức được trình bày ở rất nhiều cuốn sách khác nhau và
từ đó các phương pháp chứng minh bất đẳng thức cũng được đề cập để giải quyết
các bài tốn bất đẳng thức đó. Trong phạm vi luận văn này, chúng tơi chỉ trình bày và
tổng hợp một vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải quyết
các bài tốn của chương trình phổ thơng, phục vụ q trình dạy và học mơn tốn.
Trong luận văn này ngồi phần lời nói đầu và kết luận thì bố cục được trình bày
như sau:
-

Chương 1: Mở đầu. Ở chương này đưa ra các khái niệm cơ bản về bất

đẳng thức cũng như các tính chất của bất đẳng thức.
-

Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy. Chương này trình bày một số phương

pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, trong đó đưa ra
các phương pháp như:
 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy.
 Phương pháp thêm bớt hằng số.
 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến.

 Phương pháp nhóm các số hạng.
 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu.
-

Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số. Chương này trình bày

cách từ miền giá trị của biến số để tìm ra miền giá trị của hàm số, từ đó xác định
được điểm cực trị của hàm số trong miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

-

Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa. Chương này trình bày phương

pháp sử dụng các hệ thức lượng giác hoặc biến đổi bất đẳng thức trở thành các hệ
thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức.
-

Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số. Chương này

trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ đó qua đạo hàm
ta thấy được chiều biến thiên trong một khoảng xác định để chứng minh bất
đẳng thức ban đầu.
-

Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học. Chương này trình bày

phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành các biểu thức chứa các yếu tố hình
học, từ các bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh được bất đẳng
thức ban đầu.
Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Phan Huy Khải, thầy
đã hướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi hồn thành luận văn này, xin chân thành
cảm ơn Thầy.
Tơi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô giáo khoa Toán – Tin và các cán bộ
giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN cùng các bạn bè lớp cao học
tốn khóa 2011-2013, những người đã dạy dỗ, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt
q trình học tập tại trường.
Sau cùng tơi xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân đã tạo điều kiện tốt nhất
cho tơi hồn thành chương trình thạc sĩ này.
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013

Phạm Thị Lan Anh

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chƣơng 1: Mở đầu
1.1.

Định nghĩa:
Cho A, B là các biểu thức. Khi đó, bất đẳng thức là:
A > B ⟺ A − B > 0.

1.2.

A < B ⟺ A − B < 0.
Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.2.1.
Tính chất bắc cầu:
Nếu a > 𝑏 𝑣à 𝑏 > 𝑐 𝑡𝑕ì 𝑎 > 𝑐.
1.2.2.

Nếu a > 𝑏 𝑣à 𝑏 > 𝑐 𝑡𝑕ì:

ma > 𝑚𝑏 𝑘𝑕𝑖 𝑚 > 0.
ma < 𝑚𝑏 𝑘𝑕𝑖 𝑚 < 0.
1.2.3.

Nếu a > 𝑏; 𝑐 > 𝑑 𝑡𝑕ì 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑.

1.2.4.

Nếu a > 𝑏; 𝑐 < 𝑑 𝑡𝑕ì 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑑.

1.2.5.

Nếu a > 𝑏 > 0; 𝑐 > 𝑑 > 0 𝑡𝑕ì 𝑎𝑐 > 𝑏𝑑.

1.2.6.

Nếu a > 𝑏 > 0; 𝑐 > 𝑑 > 0 𝑡𝑕ì

1.2.7.

Nếu a > 𝑏 > 0 𝑡𝑕ì 𝑎 > 𝑏 ⟺ a > b2 .

1.2.8.

Nếu a > 𝑏 ⟺ a3 > b3 .

1.2.9.

Các bất đẳng thức liên quan đến hệ số mũ và logarit:

a
d
2

b

> .
c

Nếu a > 1 𝑡𝑕ì x1 > x2 ⟺ ax 1 > ax 2 .
Nếu 0 < 𝑎 < 1 𝑡𝑕ì x1 > x2 ⟺ ax 1 < ax 2 .
Nếu a > 1 𝑡𝑕ì 𝑐 > 𝑑 > 0 ⟺ log a c > log a d.
Nếu 0 < 𝑎 < 1 𝑡𝑕ì 𝑐 > 𝑑 > 0 ⟺ log a c < log a d.
1.2.10.

Các bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối:

Cho α > 0. 𝑘𝑕𝑖 đó:
A>𝛼
A >𝛼⟺

.
A < −𝛼
A < 𝛼 ⟺ −𝛼 < 𝐴 < 𝛼.

1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chƣơng 2: Bất đẳng thức Cauchy
2.1. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
2.1.1.
Bất đẳng thức Cauchy.
Cho n số không âm: x1 ; x2 ; … ; xn . Khi đó:
x1 + x2 + ⋯ + xn ≥ n n x1 x2 … xn .
Dấu "= " xảy ra khi x1 = x2 = ⋯ = xn .
2.1.2.
Bất đẳng thức Cauchy cơ bản.
Ta gọi hai bất đẳng thức thông dụng sau là bất đẳng thức Cauchy cơ bản:
1 1
+ a+b
+
≥ 4; ∀a > 0; b > 0.
a b
1 1 1
+ a+b+c . + +
≥ 9 ; ∀a > 0; b > 0, c > 0.
a b c

Chú ý : Dạng tương đương của 2 bất đẳng thức trên là:
1 1
4
+ ≥
. ∀a > 0; b > 0.
a b a+b
1 1 1
9
+ + ≥
. ∀a > 0; b > 0, c > 0.
a b c a+b+c
Dạng bất đẳng thức Cauchy cơ bản tổng quát
1
1
1
(a1 + a2 + ⋯ + an )
+ + ⋯+
≥ n2 . ∀ai > 0; i = 1, n.
a1 a 2
an
1
1
1
n2
⇔
+ + ⋯+
>
. ∀ai ≥ 0; i = 1, n.
a1 a 2
an

a1 + a 2 + ⋯ + a n
Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an .
2.1.3.
Các bài toán minh họa.
Bài toán 1.
1 1 1
Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện + + = 4.
x y z
Chứng minh rằng:

1
1
1
+
+
≤ 1.
2x + y + z x + 2y + z 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧

Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho 4 số x; x; y; z ta được:

2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1
1

1 1 1 1 1
1 2 1 1
=
≤ 2
+ + +
= 2
+ + .
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + 𝑥 + +𝑦 + 𝑧 4 𝑥 𝑥 𝑦 𝑧
4 𝑥 𝑦 𝑧
Dấu “ = “ xảy ra khi x = x = y = z ⟺ x = y = z.
Tương tự ta được:
1
1
1 1 2 1
=
≤
+ + .
x + 2y + z x + x + +y + z 16 x y z
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.
1
1
1 1 1 2
=
≤
+ + .
x + y + 2z x + x + +y + z 16 x y z
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z.
Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
1
1

1
1 4 4 4
+
+
≤
+ + .
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 16 x y z
Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = y = z.
1 1 1
1
1
1
Mà + + = 4 nên
+
+
≤1.
x y z
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
3
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z = .
4
Bài toán 2.
Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a
b
c
3
+
+
≥ .

b+c c+a a+b 2
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
1
1
1
1
c+a + b+c + a+b
+
+
≥ .
c+a b+c a+b
9
1
1
1
1
⟺2 a+b+c
+
+
≥ .
c+a b+c a+b
9
a
b
c
1
⟺2 1+
+1+
+1+

≥ .
b+c
c+a
a+b
9
a
b
c
3
⟺
+
+
≥ .
b+c c+a a+b 2
Dấu “ = “ xảy ra khi b + c = c + a = a + b ⟺ a = b = c.

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 3:
Cho x > 0; y > 0; z > 0 và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Chứng minh rằng:
x
y
z
3

+
+
≤ .
x+1 y+1 z+1 4
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản cho các số x+1; y+1; z+1 ta được:
1
1
1
9
9
9
+
+
≥
=
= .
x+1 y+1 z+1 x+1+y+1+z+1 x+y+z+3 4
1
1
1
9
⟺−
−
−
≤− .
x+1 y+1 z+1
4
1
1

1
9
⟺1−
+1−
+1−
≤3− .
x+1
y+1
z+1
4
x
y
z
3
⟺
+
+
≤ .
x+1 y+1 z+1 4
1
Dấu “ = “ xảy ra khi x + 1 = y + 1 = z + 1 ⟺ x = y = z = .
3
Bài toán 4.
Cho x > 0; y > 0; x + y < 1 .
x2
y2
1
5
Chứng minh rằng:
+

+
+x+y≥ .
1−x 1−y x+y
2
Lời giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
1
1
1
5
−x − 1 +
−y−1+
+
+x+y≥ .
1−x
1−y x+y
2
1
1
1
9
⟺
+
+
≥ .
1−x 1−y x+y 2
1
1
1
⟺ 1−x + 1−y + x+y

+
+
≥9.
1−x 1−y x+y
bất đẳng thức luôn đúng .
1
Dấu “ = “ xảy ra khi 1 − x = 1 − y = x + y ⟺ x = y = .
3

4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 5.
Cho 3 số dương a, b, c và abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng:
1
1
1
3
+
+
< .
a + 2b + 3c 2a + 3b + c 3a + b + 2c 16
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:
1
1

1 1
1
=
≤
+
a + 2b + 3c
a+c +2 b+c
4 a+c 2 b+c
1 1 1 1
1 1 1 1
≤
+
+ .
+
.
4 4 a c
2 4 b c
1
1 1 1
3
⟺
≤
+
+
.
a + 2b + 3c 16 a 2b 2c
a+c=2 b+c
Dấu “ = “ xảy ra khi
⟺a=b=c=0.
a=c

b=c
mâu thuẫn giả thiết a, b, c dương.
1
1 1 1
3
⟹ Dấu “ = “ không xảy ra do đó ta có
<
+
+
.
a + 2b + 3c 16 a 2b 2c
Tương tự ta có:
1
1 1 1
3
<
+ +
.
b + 2c + 3a 16 b 2c 2a
1
1 1 1
3
<
+ +
.
c + 2a + 3a 16 c 2a 2b
Cộng 2 vế các bất phương trình trên ta có
1
1
1

1
1 3 1 1 1
+
+
<
1+ +
+ + .
a + 2b + 3c 2a + 3b + c 3a + b + 2c 16
2 2 a b c
1 1 1
Do abc = ab + bc + ca ⟺ + + = 1.
a b c
1
1
1
3
⟹
+
+
< .
a + 2b + 3c 2a + 3b + c 3a + b + 2c 16

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

𝐁à𝐢 𝐭𝐨á𝐧 𝟔.

Cho ∆ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
1
1
+
+
≥
+
B +
A
C.
cosA cosB cosC sin
sin
sin
2

2

2

Lời giải:
π
⟹ cos A, cosB, cosC > 0.
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta được:
1
1

4
4
2
2
+
>
=
=
≥
.
cosA cosB cosA + cosB 2 cos A+B cos A−B sin C cos A−B sin C
Vì ∆ABC nhọn → 0 < A, B, C <

2

2

2

2

2

A−B
Dấu “ = “ xảy ra khi cos
= 1 ⟺ A = B.
2
Tương tự ta có:
1
1

2
B−C
+
≥
. Dấu “ = “ xảy ra khi cos
= 1 ⟺ B = C.
A
cosB cosC sin
2
2

1
1
2
C−A
+
≥
= 1 ⟺ C = A.
B . Dấu “ = “ xảy ra khi cos
cosC cosA sin
2
2

Cộng 2 vế của 3 bất đẳng thức trên ta có:
1
1
1
2
2
2

2
+
+
≥
+
B +
A
C.
cosA cosB cosC
sin
sin
sin
2

2

2

1
1
1
1
1
1
⟺
+
+
≥
+
+

.
cosA cosB cosC sin A sin B sin C
2

2

2

Dấu “ = “ xảy ra khi A = B = C hay ∆ABC đều.
𝐁à𝐢 𝐭𝐨á𝐧 𝟕.
Chứng minh rằng: Trong mọi ∆ABC ta có:
C
A
B
ab sin + bc sin + ca sin ≥ 2S 3. Với S là diện tích ∆ABC.
2
2
2
Lời giải:
C
A
B
Xét vế trái = ab sin + bc sin + ca sin .
2
2
2

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

=
=

S
cos

C
2

+

2S
C
2S
A
2S
B
sin +
sin +
sin .
sinC
2 sinA
2 sinB
2

S

cos

A
2

+

S
cos

B

1

=S

cos

2

Trong ∆ABC ta ln có 0 <

C

+

2

1
cos

A

+

2

1
cos

B

.

2

A B C π
, , < .
2 2 2 2

A
B
C
⟹ cos , cos , cos > 0.
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cơ bản ta có:
1
1

1
9
+
+
≥
B
A
C
A
B
C.
cos
cos
cos
cos
+
cos
+
cos
2
2

2

2

2

2

A
B
C 3 3
+ cos + cos ≤
.
2
2
2
2
1
1
1
9
Do đó
+
+
≥
= 2 3. Vậy vế trái ≥ 2 3.
B
A
C
3 3
cos
cos
cos
2
Mà mọi ∆ABC thì cos

2

Dấu “ = “ xảy ra khi cos

2

2

A
B
C
3
= cos = cos =
⇔ A = B = C.
2
2
2
2

Hay ∆ABC đều.
2.1.4.

Một số bài tập tƣơng tự.

Bài 1: Cho x > 0, y > 0 và x + y =

5
4 1
. Chứng minh rằng: +
≥ 5.
4
x 4y

Bài 2: Giả sử x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện:
x 2 + y 2 + z 2 = 3xyz.
x
y
z
3
Chứng minh rằng:
+
+
≥ .
x+1 y+1 z+1 2
Bài 3: Cho các số thực dương x, y, z sao cho xyz = 1.
1
1
1
3
Chứng minh rằng:
+
+
≥ .
xy + x yz + y zx + z 2
Bài 4: Cho 3 số dương x, y, z Chứng minh rằng:
x
y
z
3
P=
+
+

≤ .
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z 4

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài 5: Chứng minh rằng: trong mọi ∆ABC ta có ∶ ab + bc + ca ≥ 4 3S .
với S là diện tích ∆ABC .
2.2. Phƣơng pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy
2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho n số không âm a1 , a2 , … , an khi đó:
(a1 + a2 + ⋯ + an ) n
≥ a1 a 2 … a n .
n
Dấu “ = “ xảy ra khi a1 = a2 = ⋯ = an .
2.2.2. Các bài toán minh họa
Bài toán 1.
Cho 3 số dương x, y, z và xyz=1. Chứng minh rằng:
P=

1 + x3 + y3
1 + y3 + z3
1 + z3 + x3
+
+
≥3 3 .

xy
yz
zx
Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số 1, x 3 , y 3 ta được:
3

3 1. x 3 . y 3

1 + x3 + y3
≥
xy

xy

=

3
.
xy

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = x 3 = y 3 ⟺ x = y = 1 .
Tương tự ta có

1 + y3 + z3
≥
yz

3

.
yz

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = y 3 = z 3 ⟺ y = z = 1.
1 + z3 + x3
≥
zx

3
zx

.

Dấu “ = “ xảy ra khi 1 = z 3 = x 3 ⟺ z = x = 1.
Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có ∶
P≥

3
3
3
3
+
+
≥ 3 .3
xy
yz
zx

1 1 1
. . =3 3 .

xy yz zx

⟹ P≥3 3 .
8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

x=y=z=1
1
=
xy

Dấu “ = “ xảy ra khi

1
=
yz

1 ⟺ x = y = z = 1.
zx

Bài toán 2.
Chứng minh rằng: ∀x ∈ ℝ ta có:
12
5

x

15
+
4

x

20
+
3

x

≥ 3x + 4x + 5x .
Lời giải:

x

x

12
15
20 x
∀x ∈ ℝ
> 0;
> 0;
> 0.
5
4
3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
12
5

x

15
+
4

12
Dấu “ = “ xảy ra khi
5
Tương tự ta có:

x

x

≥2

12
5

x

15
4

x

= 2.3x .

x

15
=
4

⟹ x = 0.

15 x
20 x
15
+
≥ 2.5x . Dấu “ = “ xảy ra khi
4
3
4
x
x
20
12
20
+
≥ 2.4x . Dấu “ = “ xảy ra khi
3
5
3
Cộng 2 vế các bất đẳng thức ta có:

x

x

20
=
3
12
=
5

x

⟹ x = 0.
x

⟹ x = 0.

12 x
15 x
20 x
+
+
≥ 3 x + 4x + 5x .
5
4
3
Dấu “=” xảy ra khi x=0.
Bài toán 3.

1
1
1
+
+
= 2.
1+x 1+y 1+z

Cho 3 số không âm x, y, z và
1
Chứng minh rằng ∶ xyz ≤ .
8

Lời giải:
Từ giả thiết ta có

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1
1
1
y
z
=2−
−

=
+
≥2
1+x
1+y 1+z 1+y 1+z
Dấu “ = “ xảy ra ⟺
Tương tự ta có
1
≥ 2
1+z

yz
.
y+1 z+1

y
z
=
⟺ y = z.
1+y 1+z

1
≥ 2
1+y

zx
. Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x = z.
x+1 z+1

xy

x + 1 y + 1 . Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x = y.

Các vế đều không âm, nhân các vế với nhau ta có ∶
1
≥8
1+x 1+y 1+z
=

x+1

2

x2 y2 z2
y+1 2 z+1

2

8xyz
.
x+1 y+1 z+1

1
. Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x = y = z.
8
Bài toán 4.

⟺ xy ≤

Cho 3 số dương x, y, z và xy xy + xz xz + yz yz = 1.
x6

y6
z6
1
Chứng minh rằng: 3
+ 3
+ 3
≥
.
3
3
3
x +y
y +z
z +x
2
Lời giải:
Đặt X = x 3 , Y = y 3 , Z = z 3 => X, Y, Z > 0 .
Khi đó bài toán đã cho trở thành:
Cho X, Y, Z là 3 số dương thỏa mãn

XY + YZ + ZX = 1 .

X2
Y2
Z2
1
CMR: S =
+
+
≥ .

X+Y Y+Z Z+X 2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
X2
X+Y
X2 X + Y
+
≥2
.
= X.
X+Y
4
X+Y 4

10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

X2
X+Y
Dấu “ = “ xảy ra khi
=
⇔ X = Y ⇔ x = y.
X+Y
4
Tương tự ta có
Y2
Y+Z

+
≥ Y. Dấu “ = “ xảy ra khi Y = Z ⇔ y = z.
Y+Z
4
Z2
Z+X
+
≥ Z. Dấu “ = “ xảy ra khi Z = X ⇔ z = x .
Z+X
4
X+Y+Z
Cộng các vế ta có S +
≥ X + Y + Z.
2
X+Y+Z
⟹S≥
.
2
Dấu “ = “ xảy ra khi X = Y = Z .
Ta thấy X + Y + Z ≥

XY + YZ + ZX = 1.
1
1
Dấu “ = “ xảy ra khi X = Y = Z = ⟺ x = y = z = 3 .
3
3

1
1

. Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z = 3 ..
2
3
Bài toán 5.

Vậy S ≥

Cho 3 số dương x, y, z và x 2 + y 2 + z 2 = 1.
Chứng minh rằng:

y2

x
y
z
3 3
+ 2
+ 2
≥
.
2
2
2
+x
z +x
x +y
2
Lời giải:

Ta có: x, y, z > 0 và x 2 + y 2 + x 2 = 1

nên ta đưa bài toán về chứng minh rằng
x
y
z
3 3
+
+
≥
2
2
2
1−x
1−y
1−z
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3

2 = 2x 2 + 1 − x 2 + 1 − x 2 ≥ 3 2x 2 1 − x 2 1 − x 2
⟺ 8 ≥ 27. 2x 2 1 − x 2 1 − x 2
2
⟹ x 1 − x2 ≤
.
3 3

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

x
3 3 2
3
≥
x . Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x =
.
2
1−x
2
3
Tương tự ta có:
⟺

y
3 3 2
3
≥
y
.
Dấu
“
=
“
xảy
ra
⟺
y
=

.
1 − y2
2
3
z
3 3 2
3
≥
z
.
Dấu
“
=
“
xảy
ra
⟺
z
=
.
1 − z2
2
3
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có:
x
y
z
3 3 2
3 3
2

2
+
+
≥
x
+
y
+
z
=
.
1 − x2 1 − y2 1 − z2
2
2
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z =

3
.
3

Bài toán 6.
Cho x > 0, y > 0 và x + y ≥ 4.
Chứng minh rằng:

Ta thấy:

3x 2 + 4 2 + y 3 9
+
≥ .
4x

y2
2
Lời giải:

3x 2 + 4 2 + y 3 x 1
1 y y
x+y
+
=
+
+
2
+
+
+
.
4x
y2
4 x
y2 8 8
2

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
x 1
x 1
+ ≥2
. = 1.
4 x
4 x
3 1 y y

1 y y
3
+
+
≥
3
.
.
=
.
y2 8 8
y2 8 8 4

x

Dấu “ = “ xảy ra ⟺

4
1
y2

Theo giả thiết

=
=

1
x
y

⟺

x=2
.
y=2

8

x+y
≥ 2.
2

12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

3x 2 + 4 2 + y 3
3
9
Do đó
+
≥
1
+
+
2
=

.
4x
y2
4
2
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = 2.
Bài toán 7.
Cho 3 số dương x, y, z và xyz = 1. Chứng minh rằng:
x3
y3
z3
3
S=
+
+
≥ .
1+y 1+z
1+z 1+x
1+x 1+y
4
Lời giải:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
x3
1+y 1+z
x3
1+y 1+z 3
+
+
≥3

.
.
= x.
1+y 1+z
8
8
1+y 1+z
8
8
4

y=z
x3
1+y 1+z
Dấu “ = “ xảy ra khi
=
=
⟺ 1 + y = 2x
1+y 1+z
8
8
Tương tự ta có ∶
y3
3
≥ y.
1+z 1+x
4
Dấu “ = “ xảy ra khi

y3

1+z 1+x
x=z
=
=
⟺ 1 + z = 2y
1+z 1+x
8
8

z3
3
≥ z.
1+x 1+y
4
Dấu “ = “ xảy ra khi

z3
1+x 1+y
x=y
=
=
⟺
.
1 + x = 2z
1+x 1+y
8
8

Cộng từng vế các bất đẳng thức ta được:
3 x+y+z 3

S+ +
≥ x+y+z .
4
4
4
3
x + y + z 3 3 xyz 3 3 3 3
⟺S≥
− ≥
− = − = .
2
4
2
4 2 4 4
x=y=z
1 + x = 2z
Dấu “ = “ xảy ra ⟺ 1 + y = 2x
1 + z = 2y
⟺ x = y = z = 1.

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Bài toán 8.
Cho x > 𝑦 > 0. Chứng minh rằng: x +

4
x−y y+1

≥ 3.

Lời giải:
x>𝑦>0 ⟹

x−y>0
y+1>0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
y+1 y+1
4
x−y +
+
+
2
2
x−y y+1
≥4

4

x−y .

2

y+1 y+1
4

.
.
2
2
x−y y+1

4
≥ 4.
x−y y+1 2
4
⟹x+
≥ 3.
x−y y+1 2
y+1
4
Dấu “ = “ xảy ra ⟺ x − y =
=
2
x−y y+1

2

⟹x+1+

2

⟺

x=2
.

y=1

Bài toán 9.
Cho x > 1, y > 1, z > 1, x + y + z = xyz.
y−2 z−2 x−2
Chứng minh rằng ∶
+ 2 + 2 ≥ 3 − 2.
x2
y
z
Lời giải:
Từ giả thiết ta có

1
1
1
+ + = 1.
xy yz zx

Ta có:
y−2 z−2 x−2 y−2+x z−2+y x−2+z
1 1 1
+
+
=
+
+
−
+ +
x2

y2
z2
x2
y2
z2
x y z
y−1+x−1 z−1+y−1 x−1+z−1
1 1 1
=
+
+
−
+ +
x2
y2
z2
x y z

14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

= x−1 .

1
1
1

1
1
1
+ 2 + y−1 . 2 + 2 + z−1 . 2 + 2
2
x
z
y
x
z
y
1 1 1
−
+ + .
x y z

Do x − 1 > 0, y − 1 > 0, z − 1 > 0 .
Nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x−1 .

1
1
1 1
2 x−1
+
≥
x
−
1
.

2
.
=
.
x2 z2
x2 z2
xz

Dấu “ = “ xảy ra ⟺

1 1
= ⟺x=z.
x z

Tương tự ta có:
1
1
2 y−1
y−1 . 2+ 2 ≥
. Dấu “ = “ xảy ra khi y = x.
y
x
yx
1
1
2 z−1
z−1 . 2+ 2 ≥
. Dấu “ = “ xảy ra khi z = y.
z
y

zy
Do đó cộng các vế bất đẳng thức ta có ∶
y−2 z−2 x−2 2 x−1
2 y−1
2 z−1
1 1 1
+
+
≥
+
+
−
+ +
x2
y2
z2
xz
yx
zy
x y z
y−2 z−2 x−2 1 1 1
⟺
+ 2 + 2 ≥ + + − 2.
x2
y
z
x y z
1 1 1 2
1
1

1
+ +
≥3
+ +
=3
x y z
xy yz zx
1 1 1
⟹ + + ≥ 3.
x y z

Ta có

1 1 1
3
Dấu “ = “ xảy ra khi = = =
.
x y z
3
y−2 z−2 x−2
Vậy
+ 2 + 2 ≥ 3 − 2.
x2
y
z
Dấu “ = “ xảy ra khi x = y = z = 3 ⟺ x = y = z = 3.
x + y + z = xyz
Bài toán 10.
Chứng minh rằng trong mọi ΔABC ta ln có:

15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

A
B
C
1 + cos A cos B cos C ≥ 9 sin sin sin .
2
2
2
Lời giải:
Với mọi ΔABC ta ln có 0 < A, B, C < 𝜋 ⟹ 0 <

A B C π
, , <
2 2 2 2

A
B
C
⟹ 0 < cos , cos , cos < 1.
2
2
2
A
B

C
Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức cần chứng minh với 8. cos cos cos ta được:
2
2
2
A
B
C
8. cos cos cos 1 + cos A cos B cos C
2
2
2
A
B
C
A
B
C
≥ 8. cos cos cos . 9 sin sin sin .
2
2
2
2
2
2
Mà trong mọi ΔABC ta luôn dễ dàng chứng minh được các hệ thức lượng sau:
A
B
C
sin A + sin B + sin C = 4 cos cos cos .

2
2
2
2
2
2
sin A + sin B + sin C = 2 1 + cos A cos B cos C .
Thay vào bất đẳng thức ta có:
sin A + sin B + sin C

sin2 A + sin2 B + sin2 C ≥ 9 sin A sin B sin C.

Trong ΔABC ta luôn có: sin A, sin B, sin C > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3

sin A + sin B + sin C ≥ 3 sin A sin B sin C.
3

sin2 A + sin2 B + sin2 C ≥ 3 sin2 A sin2 B sin2 C.
Nhân 2 vế ta được điều cần chứng minh.
Dấu “ = “ xảy ra khi sin A = sin B = sin C ⟺ A = B = C hay ΔABC đều.
2.2.3. 𝐌ộ𝐭 𝐬ố 𝐛à𝐢 𝐭𝐨á𝐧 𝐭ươ𝐧𝐠 𝐭ự:
Bài 1: Cho 3 số dương x, y, z và xyz = 1.
2
2
2
Chứng minh rằng 3
+ 3
+ 3

≥ 3.
x y+z
y z+x
z x+y
Bài 2: Cho 3 số dương x, y, z và xyz = 1.
1
1
1
3
Chứng minh rằng + + +
≥ 4.
xy yz xz x + y + z
Bài 3: Cho 2 số dương x, y và xy = 1.

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Chứng minh rằng x 2 + 3x + 3y + y 2 +

x2

9
≥ 11.
+ y2 + 1

Bài 4: Cho 3 số dương a, b, c và abc = 1.

1
1
1
1
Chứng minh rằng 2
+
+
≤
.
a + 2b 2 + 3 b 2 + 2c 2 + 3 c 2 + 2a2 + 3 2
Bài 5:Chứng minh rằng trong mọi ΔABC ta có:
1
1
1
1
+
+
≥
.
sin2 A sin2 B sin2 C 2 sin A sin B sin C
2

2

2

2.3. Phƣơng pháp thêm bớt hằng số.
2.3.1. Phương pháp:
Nhiều bài ta nhìn ra ngay bất đẳng thức Cauchy mà phải thêm bớt hằng số để xuất
hiện bất đẳng thức Cauchy.

2.3.2. Các bài tốn minh họa:
Bài tốn 1.
Cho 3 số khơng âm a, b, c. Chứng minh rằng:
2
3
3
3
ab + bc + ca − 1 ≤ a + b + c .
3
Lời giải:
1
3
3
Ta có ab = ab. 1 ≤ a + b + 1 . Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = 1.
3
1
3
Tương tự bc ≤ b + c + 1 . Dấu “ = “ xảy ra khi b = c = 1.
3
1
3
ca ≤ c + a + 1 . Dấu “ = “ xảy ra khi c = a = 1.
3
Cộng các vế ta có:
1
3
3
3
ab + bc + ca ≤ a + b + 1 + b + c + 1 + c + a + 1
3

2
= a + b + c + 1.
3
2
3
3
3
⟺ ab + bc + ca − 1 ≤ a + b + c ,
3
Dấu “ = “ xảy ra khi a = b = c = 1.
Bài toán 2.

17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Cho x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 1. Chứng minh rằng:
xy

z − 1 + yz

x − 2 + zx
xyz

y−3

≤

1
1
1
1+
+
.
2
3
2

Lời giải:
Ta có: VT =
=

xy

z − 1 + yz
z−1
+
z

x − 2 + zx
xyz

x−2
+
x

y−3

y−3
.
y

z−1
z − 1 .1 z − 1 + 1 1
=
≤
= .
z
z
2z
2
Dấu “ = “ xảy ra khi z − 1 = 1 ⟺ z = 2.
Mà

Tương tự

x−2
x−2+2
1
≤
=
.
x
2x 2
2 2

Dấu “ = “ xảy ra khi x − 2 = 2 ⟺ x = 4.

y−3
y−3+3
1
≤
=
.
y
y 3
2 3
Dấu “ = “ xảy ra khi y − 3 = 3 ⟺ y = 6.
Cộng các vế ta có ∶
z−1
+
z

x−2
+
x

y−3
1
1
1
≥ +
+
= VP.
y
2 2 2 2 3

Dấu “ = “ xảy ra khi x = 4, y = 6, z = 2.

Bài toán 3.
Cho 3 số dương x, y, z và x + y + z = 1.
4
Chứng minh rằng: x + xy + 3 xyz ≤ .
3
Lời giải:
Ta biến đổi vế trái: VT = x + xy +

3

x. 4y 3 x. 4y. 16z
xyz = x +
+
.
2
4

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add