SKKN toan Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc.doc

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R
( ?@ *#.##$.%

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S ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông
cñabÊt ®¼ng thøc ))<$#77<#.
##% & T! UC
A'"E *7#T/C
 (  *+.LV).
W
B giải quyết vấn đề
phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu
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$$+%>#C ?@ 4
%+7F %
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@ C+DE#)@!J77<#.
##% &!9/% &+
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+7%>#% &
Phần II: các phơng pháp nghiên cứu
P.##
Y.## <
Y.##+
Phần III: nội dung của đề tài
i : Các kiến thức cần lu ý
1, Định nghĩa bất đẳng thức
ZA.%-+[%
Z@.%-+\%
ZA.4%Q%-+[%
Z@.4%Q%-+\%
2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức :

-]M\%[^\%[
I<_*7`(A`(`(%`(CE`(
abccdR]bR
e
%-fM\%%\^\\
-bM\%[^\Z\%Z
H+)M\%[^\0\%0
Z\%[^\\%0
!-gM\%\!^\Z\%Z!
\%[!^\0\%0!
K-dM\%\c^\\%!
\%[c^\[%!
h-RM\%\ci\!\c^\\%!
-WM\%\c^\

\%

\%[^\

\%

@j1
-eM\%i%\c^\
3, Mét sè bÊt ®¼ng thøc th«ng dôngM
= &27M
B@f7<!.%M 
ab
ba
≥
+

2

k &L)CM^%
%= &=#LM
B@7<i%iLiCMlLZ%Cm
f

≤
l
f
Z%
f
mlL
f
ZC
f
m
k &L)C[^\
y
b
x
a
=

= &?C+ <M

baba +≥+
k &L)CM%
≥
c

II : Mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng
thøc
n
1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa
0XEM`(o\=La+o0=p
o0=\c1
0qTMo
f


c@oi!rr^rrL)Co^c1
0B-!9M
Bài 1.1 :
B@7<MLCsQML
f
ZC
f
Zs
f
Zb

flLZCZsm
Giải :
La+MH^L
f
ZC
f
Zs
f
Zb0flLZCZsm

^L
f
ZC
f
Zs
f
Zb0fL0fC0fs
^lL
f
0fLZ]mZlC
f
0fCZ]mZls
f
0fsZ]m
^lL0]m
f
ZlC0]m
f
Zls0]m
f
klL0]m
f


c@L
lC0]m
f


c@C

ls0]m
f


c@s
^\H

c@LCs
HCL
f
ZC
f
Zs
f
Zb

flLZCZsm@LCs1
k%QL)C[^\L^C^s^]1
Bài 1.2M
2%!K7<M
2QM
f
Z%
f
Z
f
Z!
f
ZK
f

l%ZZ!ZKm
Giải :
ta+MH^
f
Z%
f
Z
f
Z!
f
ZK
f
0l%ZZ!ZKm
^l
b
a

2
m
f
Zl
c
a

2
m
f
Zl

d
a

2
m
f
Zl
e
a

2
m
f
kl
b
a

2
m
f


c@%
kl
c
a

2
m
f

c@
kl
d
a

2
m
f


c@!
kl
e
a

2
m
f

c@K
^\H

c@%!K
krr^rrL)C[^\%^^!^K^
2
a
]c
Bài 1.3 :2% &M

2
22
22






+

+ baba
Giải :
ta+MH^
2
22
22






+

+ baba
^
4
)2()(2

2222
bababa +++
^
0)(
4
1
)222(
4
1
22222
=+ baabbaba
1B@%1
krr^rrL)C^%1
2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng .
0XEM=E O% &D. .@%
& $4% & P * $1
0:7<% &G!5M
loZ=m
f
^o
f
Zfo=Z=
f
lo0=m
f
^o
f
0fo=Z=
f
loZ=Z2m

f
^o
f
Z=
f
Z2
f
Zfo=Zfo2Zf=2
loZ=m
b
^o
b
Zbo
f
=Zbo=
f
Z=
b
lo0=m
b
^o
b
0bo
f
=Zbo=
f
0=
b
1
B-!9M

Bài 2. 1M2%7<!.O%Q]12QM

3
4
1
1
1
1

+
+
+ ba
Giải:
k5#a#%E O. .i
blZ]Z%Z]m

glZ]ml%Z]m
n

gl%ZZ%Z]mlZ%^]m
n

g%Ze]

g%lZ%m
f


g%
= &< $1IC #)1

Bài 2. 2M2%7<!.)PMZ%Z^g
2QMlZ%ml%ZmlZm


b
%
b

b

]]
Gi¶i:
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f

≥
g%lZ%Zm
f
^
[ ]
cbacba )(4)(
2
+≥++
^\]R
≥
glZ%m^\]RlZ%m
≥
glZ%m
f


≥
]R%
^\Z%
≥
%
.M%Z
≥
%
Z
≥
%
^\lZ%ml%ZmlZm
≥

b
%
b

b

Bµi 2.3M2% &M

3
33
22







+
≥
+ baba
i \ci%\c
Gi¶i :
k5#a#%E O. .MB@\ci%\c^\Z%\c

3
33
22






+
≥
+ baba








+
≥+−







+
2
).(
2
22
ba
baba
ba
1
2
2






+ ba

f
0%Z%
f

≥


2
2






+ ba
g
f
0g%Zg%
f

≥

f
Zf%Z%
f

b
f
0R%Zb%
f

≥
bl
f
0f%Z%

f
m
≥
c
= &<5 $i7CM
3
33
22






+
≥
+ baba
Bµi 2.4:
2f7<%)PZ%^]12:v
b
Z%
b
Z%
≥

2
1
Gi¶i :
M
b

Z%
b
Z%
≥

2
1
[^\
b
Z%
b
Z%0
2
1

≥
c
[^\lZ%ml
f
0%Z%
f
mZ%0
2
1

≥
c
[^\
f
Z%

f
0
2
1
≥
c1BZ%^]
[^\f
f
Zf%
f
0]
≥
c
[^\f
f
Zfl]0m
f
0]
≥
cl%^0]m
[^\g
f
0gZ]
≥
c
[^\lf0]m
f

≥
c

= &<5 $1B>C
b
Z%
b
Z%
≥

2
1
]f
krr^rrL)C^%^
2
1
Bµi 2.5 :2% &M
3
33
22






+
≥
+ baba

 M\c%\c1
Gi¶i :
B@\c%\c^\Z%\c

M
3
33
22






+
≥
+ baba
[^\
( )
2
22
22
.
2






+







+
≥+−






+ baba
baba
ba
[^\
2
22
2






+
≥+−
ba
baba
[^\g
f

0g%Zg%
f

≥

f
Zf%Z%
f

[^\bl
f
0f%Z%
f
m
≥
c
[^\bl0%m
f

≥
c1= &C $
^\
3
33
22







+
≥
+ baba
krr^rrL)C^%1
Bµi 2.6MB@\c%\c12% &M

a
b
a
−

≥

a
b
b −
Gi¶i :
k5#a#%E O. .M

a
b
a
−

≥

a
b
b −

l
)() baabbbaa +−+
≥
c

[ ]
0)()()(
33
≥+−+ baabba

0)())(( ≥+−+−+ baabbababa

0)2)(( ≥+−+ bababa

0))(( ≥−+ baba
= &< $i7CM
a
b
a
−

≥

a
b
b −

]b
3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc .
0 XE M k5 % & K M 27

=#L% &!?C+ < (%E O

:7<+)u% &ML
f
ZC
f


fLC
B@%\c
2+
a
b
b
a
2-!9M
Bài 3.1Mw)78%7<!.QM

2>
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
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Giải
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ba
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2
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+
+
+
+
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c
ac
b
cb
a
Bài 3.2:
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L
f
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f
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22
11 xyyx +
2QMbLZgC

d

Giải :
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f
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22
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f
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





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>>
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43
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1
22
yx
yx
yx






=
=
5
4
5
3
y
x
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2
5

2
3
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%
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Gi¶i
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( )
( )
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
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^\
( )
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2
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^\

6≤+++++ accbba
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22
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c
c
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
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2
111 =+
++
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cba
cba
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B>CM
5,3111 <+++++ cba
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9
111
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cba
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M
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111
)
111
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)
111
(
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^
111 ++++++++
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c
a
c
c
b
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b
c
a
b
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a
a
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c
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b
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9
111
++
cba
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3
1
Bài 3.5
2LC\c12QM
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+
411


Giải
á#!9% &27M
xyyx 2+


yx

11
+



xy
2
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yx
11
+
m

g
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yx
11
+



yx +
4
4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :
0XEMk5- P * (>!9)
%>#1
2-!9M
Bài 4.1 :2f7<LC)P +MLZC^f1
2QML
g

ZC
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Giải
K-%,DMlL
f
0C
f
m

cL
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g


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g
ZC
g


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krr^rrL)CL^C^]1
Bài 4.2:
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2c[%![]12QM
l]0ml]0%ml]0ml]0!m\]00%00!1
Giải :
Ml]0ml]0%m^]00%Z%
k%\c%\c^\l]0ml]0%m\]00%1
k[]]0\c^\l]0ml]0%ml]0m\l]00%ml]0m
l]0ml]0%ml]0m\]00%0ZZ%1
k%!\c]0!\ciZ%\ci!Z%!Z!\c
^\l]0ml]0%ml]0m\]00%0
^\l]0ml]0%ml]0ml]0!m\l]00%0ml]0!m
^\l]0ml]0%ml]0ml]0!m\]00%00!Z!Z%!Z!
^\l]0ml]0%ml]0ml]0!m\]00%00!1

Bài 4.3 :2c[%[]12QM
f
b
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b
Zf
b
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f
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f
Z
f

Giải :
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b
[
f
[[]i%
b
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f
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l]0
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f
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f

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b
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b
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b
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f
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b
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b
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f
i
b
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b
[]Z
f
1
^\f
b
Zf%

b
Zf
b
[bZ
f
%Z%
f
Z
f

5.phơng pháp 5 : Dùng bất đẳng thức tổng quát chứa luỹ thừa các số tự
nhiên
Bài 5.1: 2\%\c2:vM

1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

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m m n n
a b a b
a b a b

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2 2
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m m n n
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a b a b
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+ +


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2 2 2 2
1
m n m n
m m n n m m n n
b b b b
a b a b a b a b
> >
+ + + +

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m n
m n
m m n n
m m n n
m m n n
b b
b b
b b
a b a b
a b a b
b b b b
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+ +
+ +
1 1
1 1
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m n
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b b
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1 1
m n
m n
a a
b b
+ > +

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m n
m n
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b b b b
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b
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m m n n
m m n n
a b a b
a b a b

>
+ +
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1996 1996
1996 1996
a b
a b

+
\
1995 1995
1995 1995
a b
a b

+
6. phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác
% !%"/

[%Zl]m
%[Zlfm
[Z%lbm
ub% &O%"/7C *b% &
+"
[%Zl]m
a b c <
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%[Zlfm
b c a <
ldm
[Z%lbm
c a b <
lRm
Bài 6.1M
2o=2f#^Z%Zl% !"/
m12QM

2

111


+

+
cpbpap
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111
(
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#!9E)%>#l3.5) *i
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+


+

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+

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bcpap
411
≥
−
+
−
^\
)
111
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111
(2
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++≥
−
+
−
+
−
^\ #)1
krr^rrL)CM#0^#0%^#0^%^1

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Bµi 6.2M
2% !%"/2:vM
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Gi¶i:
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
2 2 2
0 ( )b c a a b c a− < ⇒ < − − ≤

2 2 2
0 ( )c a b b c a b− < ⇒ < − − ≤

2 2 2
0 ( )a b c c a b c− < ⇒ < − − ≤
u 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b a b c− − − − − − ≤

⇔
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2 2 2
a b c≤
⇔
lZ%0m
f
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f

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f
2 2 2
a b c≤
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lZ%0ml%Z0mlZ0%m
≤
%
B%%"/
Z%0\c
%Z0\c
Z0%\c%\c
B>C% &!J *
7. Ph¬ng ph¸p 7 : Chøng minh ph¶n chøng .
0XEMw)78#)% &  $PC
)78%!& 77 >!9E P%E)E
/ % (7C T1
`T(@)E4' *
u 7C &D $1
:7<% &M
Zk5+  )
ZY/ ?p7C @)E1
]n
ZY/ ?p7C@ x $1
ZY/ ?p7C xx*1
ZY/ ?p7CE>1
2-!9M
Bµi 7. 1 :
2c[%![]12Qi-% &77M
fl]0%m\]

b%l]0m\f
el]0!m\]
bf!l]0m\b
Gi¶i:
w)78*")%< &  $1yVui
Mf1b1e1bfl]0%m%l]0ml]0!m!l]0m\f1b
 ^\
[ ][ ][ ][ ]
256
1
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
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aa
aa
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4
1
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
4
1
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≤

4
1
!l]0!m
≤

4
1
yVu% &iM

[ ][ ][ ][ ]
256
1
)1()1()1()1( >−−−− ddccbbaa
lfm
ul]mlfm7CT1
`T A-g% & D%
71
Bµi 7.2 :
lY/ ?p7C *m
2Qb7<!.%)P)%% &
7M
2
1
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2
1
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c
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2
1
<+
a
c
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
2
1
<+
b
a
i
2
1
<+
c
b
i

2
1
<+
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c
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
6
111
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a
c
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1
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1
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1
( ≥+
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1
()
1
()
1
( ≥+++++
c
c
b

b
a
a
`CVJ@l]m
B>Cp"b7<!.%)P)b% &
1^\ #
Bµi 7.3 :
2Q7<!.%)P)b% &
7M
 gl]0%m\]ig%l]0m\]igl]0m\]1
Híng dÉn :.%fM
Bµi 7.4M
lY/ ?p7C@  $m
 2
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b
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^\
b
Z%
b
Zb%lZ%m\e
^\fZb%lZ%m\elBM

b
Z%
b
^fm
^\%lZ%m\f
^\%lZ%m\
b
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b
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b
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b
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2)E7<!.% *M
%\
f
0%Z%
f
^\c\l0%m
f
BT
B>CMZ%
≤
f
8. Ph¬ng ph¸p 8 : §æi biÕn sè
f]
0XEM+#.## O%E7<Q % P
!" .)..!"'% P%E)111
2-!9M

Bµi 8. 1M
2QMyE%\cM

2
3
≥
+
+
+
+
+ ab
c
ac
b
cb
a
Gi¶i:
`4M%Z^LZ^CZ%^s
^\Z%Z^
2
zyx ++
^\^
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xzy −+
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yxz −+
^
2
zyx −+

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B^
ab
c
ac
b
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+
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zyx
y
yxz
x
xzy
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−+
+
−+
+
−+
^
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3
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3
111
2
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y
y
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x
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x
x
y
Bµi 8.2M
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2222
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22
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yx
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22
yx
yx
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−
^\%^
2222
2222
)1()1(
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yx
yxyx
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−−
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22
)(
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1
)(
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1
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^
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x
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f
^
2
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2
1
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



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y
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4
1
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1
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Bµi 8.3M
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≤
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ff

9
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1
2
1
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+
+
+
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GiảiM
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f


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2QM

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111
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zyx
*MlLZCZsml
9)
111
++
zyx
K% &27
:MLZCZs

]7C
9
111
++
zyx
1
9.Phơng pháp 9: Dùng phép quy nạp toán học .
0XEM`(% & $@\]%Q#0
.##C"#EM
ZX(% & $@^]l^
c
m
Zw)78% & $@^\]l\
c
m
Z2% & $@^Z]
ZXE>% & $@\]l\
c
m
0B-!9M
Bài 9.1 :
2Q@7<C!.

b
f

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Giải :
ZB@^bMf

^f
b
^eifZ]^f1bZ]^Wie\W1B>C &
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Z]
\flfZ]m^lfZbmZlf0]m\fZblBMf0]\cm
B>Cl{{m $@

b1
ZXE>Mf

\fZ]@7<C!.

b1
Bài 9.2M1
2QM

2
1
1
4
3
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6
5
111
n
n
2
12


13
1
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l{ml7<C!.m
GiảiM

ZB@^]MB^BY^
2
1
1B>Cl{m $@^]1
Zw)78l{m $@^

]M
2
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5
111
k
k
2
12


13
1
+
k
Dl{m $@^Z]M

2
1

1
4
3
1
6
5
111
k
k
2
12
1

+
+
)1(2
12
k
k

13
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k
1
)1(2
12
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+
k

k
! |DM
13
1
+
k
)1(2
12
+
+
k
k



1)1(3
1
++k
!5#a#%E O. .M
lfZ]m
f
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lbZ]mglZ]m
f

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b
Zfe
f

Z]nZg

]f
b
Zfe
f
ZfcZg


c1^\l{{m $@

]1
B>Cl{m!$@7<C!.1
10.Phơng pháp 10 : Chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng
Bài 10.1M2:vOCE/@
.gD%- G"E#
G
C1
B
A
C
0
A1
B1
Giải:
w% !% GCEv%- G
"E#

o=2#)Z%Z\gv
fg

B
∆
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o=2EwVo=2VcQF
%wo=wo2w=21w)78Vc
Qwo=coZc=^fvwoZw=\fvwo^
2
3
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^
2
3
w=^
2
3
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2
3
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2
3
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⇒
Z%\bv
:c22

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22
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\c2
⇒
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k Z%Z\bvZv^gv1
B>CZ%Z\gv
Bµi 10. 2M: GE#L$@"/ |
o" (=2jE#CE@ G,"o=o2
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3
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2
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B
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:=^:xy2^yx
u :y^:=Zy2o:y:y[o:Zoy

yf:y[o:ZoyZ=:Z2y^o=Zo2
⇒
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2
AB AC+
yo:y;"C:y\o:
:y\oy
⇒
f:y\o:Zoy
B:y^=2Z2y
yb:y\o:ZoyZ=:Z2y! b:y\o=Zo2
⇒
:y\
3
AB AC+
B>C
3
AB AC+
<
:=Zy2[
2
AB AC+
fd
11 . Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng
thức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào
đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp . Trong
phạm vi nhỏ của đề tài này không hệ thống ra những phơng pháp đó .
iii : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị .
0XEMyEhlLm

hlLm?A1
yEhlLm

:hlLm?@:1
G C # !9 % & !9 M 27
=#L% &!?C+ <1
X(G*#L)C! & (?1
?/%(!" C78!9#.
##%E O. . O%E7<7<% &111
?/%(!?C+ <>!9
% &!?C+ <
2$TM
BABA ++

t)C!rr^rro=

c

0A
krr^rrL)Co^c
Bài 1 :?A/%(M=^
b
Z%
b
Z%i2%E%
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Giải
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f
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f
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f
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Bài 2M?A/%(M
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f
ZLmlL
f
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=^0L
f
0C
f
ZLCZfLZfC
Giải
o^lL
f
ZLmlL
f
ZL0gm1`4M^L
f
ZL0f
^\o^l0fmlZfm^
f
0g

0g

k%QL)CM^cL
f
ZL0f^c
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^\o^0gL^0fiL^]i
%.

Bµi 3 : ?A/%(1
2^
1232 −+− xx

%k^
63
22
−++++ xxxx

}^
4321 −+−+−+− xxxx
Gi¶i :
¸#!9=`M
BABA +≥+
krr^rrL)Co=
≥
c1
^\2^
2221322132 =−=−+−≥−+− xxxx
krr^rrL)ClfL0bml]0fLm
≥
c

2
3
2
1
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
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2
3
2
1
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≤
L
≤
f
}^gMf
≤
L
≤
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Bµi 4 :2[%[[!M
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bx −
Z
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Z

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≤
L
≤

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1
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y+1
1
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Gi¶iM

x+1
1

≥
l]0
y+1
1
mZl]0
z+1

1
m^
y
y
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Z
z
z
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
≥
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)1)(1( zy
yz
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.M
y+1
1

≥
f
)1)(1( zx
zx
++

z+1
1

≥
f

)1)(1( yx
xy
++
u 7CMY^LCs
≤

8
1
:LY^
8
1
L^C^s^
2
1
fW
Bµi 6 : 2b7<!.%)PMZ%Z^]1?A
/%(M~^
222
)
1
()
1
()
1
(
c
c
b
b
a

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Gi¶i:
M~^l
f
Z%
f
Z
f
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222
111
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++
mZR
B>!9% &=#LM
l1]Z%1]Z1fm
f

≤
bl
f
Z%
f
Z
f
m
^\
f
Z%

f
Z
f

≥

3
1
.M
2
)
111
(
cba
++

≤
b
)
111
(
222
cba
++
:4M
=++
cba
111
l
cba

111
++
m1]^l
cba
111
++
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^bZl
a
b
b
a
+
mZl
b
c
c
b
+
mZl
c
a
a
c
+
m
≥
bZfZfZf^n
^\
cba

111
++

≥
n
^\
2
)
111
(
cba
++

≥
e]
^\
)
111
(
222
cba
++

≥
fW
~
≥

3
1

ZfWZR^bb
Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c =
3
1
Vậy MinF = bb
3
1
M^%^^
3
1
.
Bài 7 : Cho G =
xyz
zxyyzxxyz 321 −+−+−
Tìm giá trị lớn nhất của G :
Giải : Tập xác định : x
≥
]iC
≥
fis
≥
b
M G =
x
x 1−
+
y
y 2−
+
z

z 3−
Theo BĐT Côsi ta có :
2
11
1
+−
≤−
x
x
=>
x
x 1−

2
1
≤
fe
.M
22
1
2


y
y
i
32
13

z
z
^\w


32
1
22
1
2
1
++
B>C:Lw^
32
1
22
1
2
1
++
" *L^fiC^fis^R
Bài 8?A/H^
1x
x
@L\]1
%1?@/X^
2
1. xx

HDM#!9% &27.%dM

2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình .
0XEMyG-/% &#.##
% &%E OElBBYm/#.7
7C> (|+/#.1
yEB^BY"47<? /l)P
t`m
^\#.+1
yEB\BY4B[BY"?/1
^\#.+1
02-!9M
Bài 1Mw)#.M
]b
1x
Zn
1+x
^]RL
GiảiM
`+ML

]l{m
2]M#!9% &27M]b
1x
Zn
1+x
^]b1f1
1
2
1
x
Zb1f1

1
2
3
+x


]blL0]Z
4
1
mZblLZ]Z
4
9
m^]RL
krr^rrL)C






=+
=
2
3
1
2
1
1
x
x

L^
4
5
)Pl{m
fn
Y.l]m+!rr^rrFlfmL)C
B>Cl]m+L^
4
5
1

Bài 2M?@/q^
32 x
Z
x25
%1w)#.M
32 x
Z
x25
0L
f
ZgL0R^cl{m
Giải :
1,Ml
32 x
Z
x25
m
f

flfL0bZd0fLm^g

32 x
Z
x25


f
^\:Lq^fL^f1
%1t`M
2
5
2
3
x

l{m
32 x
Z
x25
^L
f
0gLZR
BY^lL0fm
f
Zf

f!rr^rrL)CL^f1
^\@L^fl)Pt`mB^BY^f1

^\#.l{m+L^f1
Bài 3 :w)#.M

x6
Z
2+x
^L
f
0RLZ]b
Giải : t`M0f

L

R1
BY^lL0bm
f
Zg

g1krr^rrL)CL^b1
B
f
^l
x6
1]Z
2+x
1]m
f


lR0LZLZfml]Z]m^]R

^\B

g!rr^rrL)C
x6
^
2+x
L^f1
^\?/L (B^BY^\Y.+
Bài 4Mw)#.M

16123
2
+ xx
Z
134
2
+ yy
^d
HD M
16123
2
+ xx

fi
134
2
+ yy

b^\B

d1
krr^rrL)CM



=
=
02
02
y
x




=
=
2
2
y
x

^\#.+ML^fiC^f1

3 - Dùng bất đẳng thức để giải hệ phơng trình :
bc