Luận văn thạc sĩ HUS tính chất bóng của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN THỊ BÍCH THỤC

TÍNH CHẤT BĨNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2013

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN THỊ BÍCH THỤC

TÍNH CHẤT BĨNG
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số:

60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - 2013

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1 Tập hyperbolic của phương trình vi phân thường

1

1.1

Định nghĩa tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Tính bị chặn đều của các phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Tính liên tục của phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Nhị phân mũ của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Vài tính chất của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.3

Liên hệ nhị phân mũ và tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.4

Tính vững của nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5

Tính co giãn của tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

1.6

Tính vững của tập hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2 Các định lý về tính bóng của tập hyperbolic

46

2.1

Định lý về tính bóng rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.2

Định lý về tính bóng liên tục

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Tài liệu tham khảo

69

i

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời cảm ơn
Để hồn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời
gian vừa qua tơi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ q báu của gia đình, thầy cơ và
bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi người.
Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy đã rất
nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tơi trong q trình hồn thành luận văn. Tơi cũng xin
gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong Khoa, những người đã trực tiếp
truyền thụ kiến thức, giảng dạy tơi trong q trình học cao học.
Tơi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại học Trường
Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tơi hồn thiện các thủ tục

bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình tơi, những người ln động viên và ủng hộ tôi.

ii

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Lời nói đầu
Tính chất bóng có nguồn gốc từ việc giải số phương trình vi phân/sai phân. Tính
chất bóng có nghĩa là tồn tại một quỹ đạo gần một giả quỹ đạo cho trước. Tính bóng
được nghiên cứu bởi Anosov, Bowen, Sinai - những người đầu tiên nhận ra rằng nó
liên quan đến bài tốn ổn định tồn cục của hệ động lực.
Trước đây, Anosov, Bowen, Sinai đều dùng phương pháp hình học để nghiên cứu
tính bóng. Sau này, Palmer đã dùng cách tiếp cận giải tích cho tính bóng thơng qua
lý thuyết nhị phân mũ của phương trình vi phân.
Trong luận văn này, chúng tơi nghiên cứu tính bóng của hệ động lực trong lân
cận của tập hyperbolic từ cuốn sách "Shadowing in Dynamical Systems Theory and
Applications" của Ken Palmer năm 2000. Chúng tơi đơn giản hóa chứng minh của
Palmer.
Luân văn được cấu trúc như sau:
Chương 1 trình bày các kết quả về tập bất biến hyperbolic cho phương trình vi
phân thường. Chương này cũng nhắc lại khái niệm nhị phân mũ và chứng minh vài
tính chất cơ bản (tính vững, tính co giãn) dùng làm cơng cụ chứng minh các định lý
chính.
Chương 2 là kết quả chính của luận văn, gồm Định lý tính bóng rời rạc và Định lý
tính bóng liên tục. Cuối cùng là một số bình luận về các hướng nghiên cứu tiếp theo
và danh mục tài liệu tham khảo.
Do thời gian có hạn, luận văn có thể khơng tránh khỏi thiếu sót. Chúng tơi mong
nhận được ý kiến đóng góp để luận văn hồn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 2013

Trần Thị Bích Thục

iii

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chương 1
Tập hyperbolic của phương trình vi
phân thường
1.1

Định nghĩa tập hyperbolic

Cho U là một tập con mở của Rn và F : U → Rn là trường vectơ lớp C 1 . Khi đó
với mỗi cặp (τ, ξ) ∈ R × U thì bài tốn giá trị ban đầu
x˙ = F (x),

x(τ ) = ξ

(1.1)

có duy nhất một nghiệm xác định trên khoảng mở cực đại I(τ, ξ) ⊂ R. Ta đặt
O = {(t, τ, ξ) : τ ∈ R, ξ ∈ U, t ∈ I(τ, ξ)}
thì O là tập mở và nếu ta xác định Φ : O → Rn bởi
Φ(t, τ, ξ) = x(t),
trong đó x(t) là nghiệm của bài tốn giá trị ban đầu (1.1) thì Φ là hàm thuộc lớp C 1
(C r nếu F là C r ), do tính duy nhất nghiệm ta có tính chất

Φ(t, s, Φ(s, τ, ξ)) = Φ(t, τ, ξ)
và do F độc lập với thời gian, các tính chất
Φ(t, τ, ξ) = Φ(t − τ, 0, ξ),

I(τ, ξ) = τ + I(0, ξ)

đúng trong miền xác định tương ứng. Ký hiệu
φ(t, ξ) = φt (ξ) = Φ(t, 0, ξ)(= Φ(0, −t, ξ)).
Ta gọi φ là dịng của phương trình (1.1).
1

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Xét phương trình vi phân thường ơtơnơm sau
x˙ = F (x),

(1.2)

trong đó F : U → Rn là trường vectơ lớp C 1 , ký hiệu φ là dòng tương ứng. Ta có định
nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1. Một tập compact S ⊂ U được gọi là hyperbolic của phương trình
(1.2) nếu
(i) F(x) = 0 với mọi x ∈ S;
(ii) S là bất biến, tức là, φt (S) = S với mọi t;
(iii) có một phân tích liên tục
Rn = E 0 (x) ⊕ E s (x) ⊕ E u (x)

với mọi x ∈ S

(1.3)

với E 0 (x) = span{F (x)} và dim E s (x), dim E u (x) không đổi, sao cho với mọi t và với
mọi x thuộc S
Dφt (x)(E s (x)) = E s (φt (x)),

Dφt (x)(E u (x)) = E u (φt (x)),

và có các hằng số dương K, α có tính chất với mọi t ≥ 0 và x thuộc S thì
Dφt (x)ξ

≤ Ke−αt ξ

với ξ ∈ E s (x),

(1.4)

Dφ−t (x)ξ

≤ Ke−αt ξ

với ξ ∈ E u (x).

(1.5)

Gọi P 0 (x), P s (x) và P u (x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với tập hyperbolic
S. Phân tích liên tục trong định nghĩa trên hiểu theo nghĩa ánh xạ x → P 0 (x),
x → P s (x), x → P u (x) là liên tục. Điều kiện về tính liên tục của phân tích có thể được
suy ra từ các điều kiện khác (như vậy có thể bỏ qua gỉả thiết về tính liên tục của phân
tích).

Ví dụ 1.1. Hệ vi phân hai chiều
x = x(1 − x2 − y 2 ) − y
y = y(1 − x2 − y 2 ) + x
có thể biến đổi về dạng toạ độ cực (r, ϕ) như sau
r = 1r (xx + yy ) = r(1 − r2 )
ϕ = r12 (xy − yx ) = r12 (x2 + y 2 ) = 1.
Khi đó, đường trịn r = 1 hay S = {(x, y) : x2 +y 2 = 1} là quỹ đạo tuần hoàn hyperbolic
(xem [3], trang 144-145).
2

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.2

Tính bị chặn đều của các phép chiếu

Xét các phép chiếu P 0 (x), P s (x), P u (x) tương ứng trong khai triển (1.3). Trong
phần này ta chứng minh các phép chiếu là bị chặn đều.
Mệnh đề 1.1. Gọi P 0 (x), P s (x) và P u (x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với
tập hyperbolic S. Khi đó chúng bị chặn đều, tức là
sup{ P 0 (x) , P s (x) , P u (x) } ≤ M < +∞.
x∈S

Chứng minh. Xét các vectơ khác không v ∈ E 0 (x), ξ ∈ E s (x), η ∈ E u (x) và đặt
x0 (t) = Dφt (x)v,

xs (t) = Dφt (x)ξ,

xu (t) = Dφt (x)η

với x ∈ S. Chú ý rằng v = αF (x) với α là số thực nào đó và vì vậy
x0 (t) = αF (φt (x)).
Do đó với mọi t thì
M0−1 ∆ v
với

≤ x0 (t) ≤ M0 ∆−1 v

M0 = sup F (x) ,

∆ = inf F (x) .

x∈S

x∈S

(1.6)

Ta chọn số dương T sao cho
σ=

∆eαT
> 1.
M0 K

Khi đó
x0 (T ) xs (T )
+
v

ξ

=
≥
=

xs (T )
ξ
s
x (T )
ξ
xs (T )
ξ

ξ
x0 (T )
xs (T )
+
xs (T )
v
xs (T )
ξ
x0 (T )
xs (T )
−
xs (T )
v
xs (T )
ξ
x0 (T )

−1
xs (T )
v
∆eαT
−1
M0 K

≥ e−M1 T

= (σ − 1)e−M1 T

với
M1 = sup DF (x) .
x∈S

3

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Mặt khác,
x0 (T ) xs (T )
+
v
ξ

ξ
v
+
v

ξ
v
ξ
+
.
v
ξ

DφT (x)

=

≤ eM1 T
Do đó
ξ
v
+
v
ξ

≥ (σ − 1)e−2M1 T .

Từ bất đẳng thức
v
ξ
+
v
ξ

ξ

≤2

ξ+v ,

ta có
ξ (σ − 1)e−2M1 T ≤ 2 ξ + v
ξ ≤

2e2M1 T
σ−1

ξ+v

.

Từ đó ta suy ra
max { v , ξ }
nên

≤

v
2e2M1 T
≤
ξ+v
σ−1

và

2e2M1 T
ξ+v
σ−1
ξ
2e2M1 T
≤
.
ξ+v
σ−1

(1.7)

Tương tự xét
x0 (T ) xu (T )
+
v
η

=
≥
=

x0 (T )
v
0
x (T )
v
0
x (T )
v

≥ e−M1 T

v
x0 uT )
x0 (T )
+
x0 (T )
ξ
x0 (T )
v
xu (T )
x0 (T )
−
x0 (T )
ξ
x0 (T )
v
xu (T )
−1
x0 (T )
η
∆eαT
−1
M0 K

= (σ − 1)e−M1 T .

Mặt khác
x0 (T ) xu (T )

+
v
η

=

≤ eM1 T
và
η ≤

v
η
+
v
η
v
η
+
v
η

DφT (x)

2e2M1 T
η+v .
σ−1
4

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Từ đó suy ra
max{ v , η } ≤

2e2M1 T
η+v .
σ−1

Do tính bất biến, với mọi t ta có
max
nên

x0 (t) , xu (t)

≤

x0 (t)
2e2M1 T
≤
x0 (t) + xu (t)
σ−1

và

2e2M1 T 0
x (t) + xu (t)
σ−1
xu (t)
2e2M1 T
≤

.
x0 (t) + xu (t)
σ−1

(1.8)

Tiếp theo ta nhận thấy rằng với t ≥ 0 thì
ξ
xs (t)

x0 (t) + xu (t)
v+ξ

eαt x0 (t) + xu (t)
≥
K
v + η
αt
e
x0 (t) + xu (t)
≥
K M0 ∆−1 x0 (t) + Ke−αt xu (t)
eαt
1
=
0 (t)
x
K M0 ∆−1 0
+ Ke−αt 0
u

xu (t)
x (t)+xu (t)

x (t)+x (t)

≥

eαt
σ−1
−1
K (M0 ∆ + Ke−αt )2e2M1 T

do (1.8).

Ta chọn số dương T1 sao cho
σ1 =

eαT1
σ−1
> 1.
−1
K (M0 ∆ + Ke−αT1 )2e2M1 T

(1.9)

Sau đó, sử dụng
x0 (T1 ) + xu (T1 )
xs (T1 )
+

ξ
v+η
và theo trên, ta suy ra
2e2M1 T1
ξ ≤
v+η+ξ .
σ−1
Do P s (x)(v + η + ξ) = ξ, nên
P s (x) ≤

2e2M1 T1
,
σ−1

suy ra P s (x) bị chặn đều.
Ta lại nhận thấy với t ≥ 0 thì
xu (t)
η

v+ξ
0
x (t) + xs (t)

eαt
v+ξ
0
K x (t) + xs (t)
eαt
v+ξ
≥

−1
K M0 ∆ v + Ke−αt ξ
eαt
1
=
v
K M0 ∆−1
+ Ke−αt

≥

v+ξ

≥

ξ
v+ξ

eαt
σ−1
K (M0 ∆−1 + Ke−αt )2e2M1 T

do (1.7).

5

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Chọn T1 và σ1 > 1 như (1.9).

Sau đó, sử dụng
x0 (T1 ) + xs (T1 )
xu (T1 )
+
v+ξ
η
và theo trên, ta suy ra
η ≤

2e2M1 T1
v+η+ξ .
σ−1

Do P u (x)(v + η + ξ) = η, nên
P u (x) ≤

2e2M1 T1
,
σ−1

suy ra P u (x) bị chặn đều.
Lại có

1.3

P 0 (x) = I − P s (x) − P u (x) nên suy ra P 0 (x) cũng bị chặn đều.

Tính liên tục của phép chiếu

Mệnh đề 1.2. Gọi P 0 (x), P s (x) và P u (x), với x ∈ S, là các phép chiếu tương ứng với

tập hyperbolic S. Khi đó chúng liên tục theo x.
Chứng minh. Từ Mệnh đề 1.1 suy ra tồn tại các hằng số M 0 , M s và M u sao cho
M 0 = sup P 0 (x) ,

M s = sup P s (x)

x∈S

và M u = sup P u (x) .

x∈S

x∈S

Chọn hằng số M = max{M 0 , M s , M u } thì với mọi x ∈ S ta có
P 0 (x) ≤ M,

P s (x) ≤ M,

P u (x) ≤ M.

Từ (1.4) và (1.5) trong định nghĩa tập hyperbolic và hơn nữa ta có
Dφt (x)F (x) = F (φt (x)),
suy ra với x ∈ S
Dφt (x)P 0 (x) ≤ Dφt (x)|E 0 (x)

P 0 (x) .

Mặt khác, từ (1.6) ta có
Dφt (x)v ≤ M0 ∆−1 v

với v ∈ E 0 (x)

nên
Dφt (x)|E 0 (x) ≤ M0 ∆−1 .

6

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ta suy ra được
Dφt (x)P 0 (x) ≤ M0 ∆−1 M

với mọi t,

(1.10)

Dφt (x)P s (x) ≤ KM e−αt

với t ≥ 0

(1.11)

Dφt (x)P u (x) ≤ KM e−αt

với t ≥ 0,

(1.12)

và

trong đó M0 và ∆ như trong biểu thức (1.6). Chú ý từ tính bất biến của khai triển
(1.3) ta ln có tính bất biến sau
Dφt (x)P (x) = P (φt (x))Dφt (x)

(1.13)

với P (x) = P 0 (x), P s (x) hoặc P u (x).
Để chứng minh các phép chiếu liên tục, ta xét hai nghiệm x(t), y(t) của phương
trình (1.2) trong S sao cho có số dương δ và T để
DF (y(t)) − DF (x(t)) ≤ δ

(1.14)

với 0 ≤ t ≤ T . Chú ý rằng ma trận hàm số
U (t) = Dφt−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]
là một nghiệm của phương trình
U˙ = DF (x(t))U + B(t)U,
với
B(t) = DF (y(t)) − DF (x(t)).

(1.15)

Suy ra
U (T ) = P 0 (y(T ) + P u (y(T ))
và
U (0) = Dφ−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T )].
Do đó, theo cơng thức biến thiên hằng số, ta có
t

t

Dφt−s (x(s))B(s)U (s)ds.

U (t) = Dφ (x(0))U (0) +
0

Cho t = T , ta suy ra
U (T ) = P 0 (y(T )) + P u (y(T ))
= DφT (x(0))Dφ−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]
T

DφT −t (x(t))B(t)Dφt−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]dt.

+
0

7

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Nhân hai vế với P s (x(T )) rồi sử dụng tính bất biến (1.13), ta có
P s (x(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]
= P s (x(T ))DφT (x(0))Dφ−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]
T

DφT −t (x(t))B(t)Dφt−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]dt

s

+ P (x(T ))
0
s

= Dφ (x(0))P (x(0))Dφ−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]
T

T

DφT −t (x(t))P s (x(t))B(t)Dφt−T (y(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))]dt.

+
0

Do
P s (x(T ))[P 0 (y(T )) + P u (y(T ))] = P s (x(T ))[I − P s (y(T ))]
nên áp dụng các biểu thức (1.10), (1.11) và (1.12), ta được
≤ KM 2 e−αT [M0 ∆−1 + K]

P s (x(T ))[I − P s (y(T ))]

T

KM 2 e−α(T −t) δ[M0 ∆−1 + K]dt.

+
0

Nếu bất đẳng thức (1.14) xảy ra với 0 ≤ t ≤ T thì

P s (x(T ))[I − P s (y(T ))] ≤ KM 2 [M0 ∆−1 + K](e−αT + α−1 δ).

(1.16)

Nếu ta đặt
U (t) = Dφt (y(0))P s (y(0)),
cũng dùng công thức biến thiên hằng số, ta được
T

U (0) = Dφ−T (x(T ))U (T ) −

Dφ−t (x(t))B(t)U (t)dt,
0

với B(t) như trong biểu thức (1.15). Do đó
U (0) = P s (y(0)) = Dφ−T (x(T ))DφT (y(0))(P s (y(0))
T

Dφ−t (x(t))B(t)Dφt (y(0))P s (y(0))dt.

−
0

Tiếp tục áp dụng tính bất biến (1.13), ta có
[P 0 (x(0)) + P u (x(0))]P s (y(0))
= Dφ−T (x(T )[P 0 (x(T )) + P u (x(T ))]DφT (y(0))P s (y(0))
T

Dφ−t (x(t))[P 0 (x(t)) + P u (x(t))]B(t)Dφt (y(0))P s (y(0))dt

−
0

8

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


và do [P 0 (x(0)) + P u (x(0))]P s (y(0)) = [I − P s (x(0))]P s (y(0)) nên áp dụng các biểu
thức (1.10), (1.11) và (1.12), ta được
[I − P s (x(0))]P s (y(0))

≤ KM 2 e−αT [M0 ∆−1 + K]
T

KM 2 e−αt δ[M0 ∆−1 + K]dt.

+
0

Do đó, nếu bất đẳng thức (1.14) thỏa mãn với 0 ≤ t ≤ T thì
[I − P s (x(0))]P s (y(0)) ≤ KM 2 [M0 ∆−1 +K](e−αT + α−1 δ).

(1.17)

Từ (1.16) và (1.17) ta suy ra rằng nếu x(t) và y(t) là hai nghiệm trong S thỏa mãn
bất đẳng thức (1.14) với −T ≤ t ≤ T thì
P s (y(0)) − P s (x(0))

=

[I − P s (x(0))]P s (y(0)) − P s (x(0))[I − P s (y(0))]

≤

[I − P s (x(0))]P s (y(0)) + P s (x(0))[I − P s (y(0))]

≤ 2KM 2 [M0 ∆−1 + K](e−αT + α−1 δ),

(1.18)

ở đây ta áp dụng bất đẳng thức (1.16) với đoạn [−T, 0] và (1.17) với đoạn [0, T ].
Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tương tự cho P u . Ta xét hai nghiệm x(t)
và y(t) trong S thỏa mãn bất đẳng thức (1.14) với 0 ≤ t ≤ T . Trước hết ta xét
U (t) = Dφt (y(0))[P 0 (y(0)) + P s (y(0))],
khi đó
U (0) = P 0 (y(0)) + P s (y(0))
và
U (T ) = DφT (y(0))[P 0 (y(0)) + P s (y(0))].
Theo công thức biến thiên hằng số, ta có
T

U (0) = Dφ−T (x(T ))U (T ) −

Dφ−t (x(t))B(t)U (t)dt,
0

với B(t) như trong biểu thức (1.15). Nhân hai vế với P u (x(0)) rồi sử dụng tính bất
biến (1.13), ta có
P u (x(0))[P 0 (y(0)) + P s (y(0))] =

T

= P u (x(0))Dφ−T (x(T ))U (T ) − P u (x(0))

Dφ−t (x(t))B(t)U (t)dt
0

= Dφ

−T

u

T

0

(x(T ))P (x(T ))Dφ (y(0))[P (y(0)) + P s (y(0))]
T

Dφ−t (x(t))P u (x(t))B(t)Dφt (y(0))[P 0 (y(0)) + P s (y(0))]dt.

−
0

9

LUAN VAN CHAT LUONG download : add

Do P u (x(0))[P 0 (y(0)) + P s (y(0))] = P u (x(0))[I − P u (y(0))] nên áp dụng các biểu thức
(1.10), (1.11) và (1.12), ta được
≤ KM 2 e−αT [M0 ∆−1 +K]

P u (x(0))[I − P u (y(0))]

T

KM 2 e−αt δ[M0 ∆−1 + K]dt.

+
0

Nếu bất đẳng thức (1.14) xảy ra với 0 ≤ t ≤ T thì
P u (x(0))[I − P u (y(0))] ≤ KM 2 [M0 ∆−1 + K](e−αT +α−1 δ).

(1.19)

Tiếp theo đặt
U (t) = Dφt−T (y(T ))P u (y(T ))
khi đó
U (T ) = P u (y(T ))
và
U (0) = Dφ−T (y(T ))P u (y(T )).
Theo công thức biến thiên hằng số, ta được
T

DφT −t (x(t))B(t)U (t)dt.

U (T ) = DφT (x(0))U (0) +

0

Nhân hai vế với P 0 (x(T )) + P s (x(T )) rồi sử dụng tính bất biến (1.13), ta có
[P 0 (x(T )) + P s (x(T ))]P u (y(T ))
= [P 0 (x(T )) + P s (x(T ))]DφT (x(0))U (0)
T

DφT −t (x(t))B(t)U (t)dt

+ [P 0 (x(T )) + P s (x(T ))]
0

= Dφ (x(0))[P (x(0)) + P (x(0))]Dφ−T (y(T ))P u (y(T ))
T

0

s

T

DφT −t (x(t))[P 0 (x(t)) + P s (x(t))]B(t)Dφt−T (y(T ))P u (y(T ))dt.

+
0

Do [P 0 (x(T )) + P s (x(T ))]P u (y(T )) = [I − P u (x(T ))]P u (y(T )) nên áp dụng các biểu
thức (1.10), (1.11) và (1.12), ta được
[I − P u (x(T ))]P u (y(T ))
≤KM 2 e−αT [M0 ∆−1 + K]

T

KM 2 e−α(T −t) δ[M0 ∆−1 + K]dt

+

(1.20)

0

≤ KM 2 (M0 ∆−1 + K)(e−αT + α−1 δ).
10

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Cho x(t) và y(t) là hai nghiệm trong S thỏa mãn bất đẳng thức (1.14) với −T ≤
t ≤ T . Khi đó,áp dụng bất đẳng thức (1.19) với đoạn [0, T ] và (1.20) với đoạn [−T, 0],
ta có
P u (y(0)) − P s (x(0))

=

[I − P u (x(T ))]P u (y(0)) − P u (x(0))[I − P u (y(0))]

≤

[I − P u (x(0))]P u (y(0)) + P u (x(0))[I − P u (y(0))]

≤ 2KM 2 [M0 ∆−1 + K](e−αT + α−1 δ).

(1.21)

Để hồn thiện chứng minh tính liên tục của P s và P u , cho trước một hằng số dương
ε. Xét T > 0 thỏa mãn
4KM 2 (M0 ∆−1 + K)e−αT ≤ ε
và chọn δ > 0 sao cho
4KM 2 (M0 ∆−1 + K)α−1 δ ≤ ε.
Sau đó chọn δ1 > 0 sao cho
DF (φt (y)) − DF (φt (x)) ≤ δ
nếu x, y ∈ S, −T ≤ t ≤ T và x − y ≤ δ1 .
Khi đó nếu x, y ∈ S và x − y ≤ δ1 thì từ (1.18) và (1.21) với x(t) = φt (x) và
y(t) = φt (y) ta suy ra rằng
P s (y) − P s (x) ≤ ε,

P u (y) − P u (x) ≤ ε.

Do đó cả P s , P u đều liên tục trên S và do P 0 = I − P s − P u nên P 0 cũng liên tục trên
S.

1.4
1.4.1

Nhị phân mũ của phương trình vi phân
Định nghĩa

Xét phương trình vi phân tuyến tính
x˙ = A(t)x.

(1.22)

Khi đó hệ n nghiệm độc lập tuyến tính x1 (t), x2 (t), ..., xn (t) của phương trình (1.22)
được gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó. Ký hiệu X(t) = [x1 (t) x2 (t)... xn (t)] và gọi là ma
trận cơ bản của phương trình (1.22).

11

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Định nghĩa 1.2. Cho A(t) là ma trận cấp n × n liên tục trên đoạn J. Khi đó phương
trình vi phân tuyến tính (1.22) được gọi là có nhị phân mũ trên J nếu có các phép
chiếu P (t), t ∈ J và các hằng số dương K, α sao cho
X(t)X −1 (s)P (s) = P (t)X(t)X −1 (s)

với

t, s ∈ J,

(1.23)

X(t)X −1 (s)P (s) ≤ Ke−α(t−s)

với t, s ∈ J

và t ≥ s

(1.24)

X(t)X −1 (s)[I − P (s)] ≤ Ke−α(s−t)

với t, s ∈ J

và t ≤ s.

(1.25)

và

Chú ý rằng K được gọi là hằng số nhị phân và α được gọi là số mũ nhị phân.
Khi A(t) là ma trận hằng (A(t) = A với mọi t) thì tính nhị phân mũ của hệ tương
đương với điều kiện phổ của A không giao trục ảo
σ(A) ∩ iR = ∅.
Sau đây là ví dụ về hệ khơng otonom có nhị phân mũ.
Ví dụ 1.2.

2t
 x =
−1 x
2
(t + 1)2

y = y.
Trong truờng hợp này, P (t) là phép chiếu lên trục x; nghiệm trên E s = ImP cho bởi
1−t−

x(t) = e

1
t2 +1

x(0) và ta có ước lượng
x(t) ≤ e · e−t x(0) ,

t ≥ 0.

Tương tự
y(t) = et y(0) ,

1.4.2

t ≤ 0.

Vài tính chất của nhị phân mũ

Trong phần này ta sẽ chứng minh tính nhị phân mũ của phương trình liên hợp; đặc
trưng của khơng gian ảnh, không gian nhân của các phép chiếu; Định lý Peron và liên
hệ giữa nhị phân mũ của phương trình vi phân với phương trình sai phân.
Mệnh đề 1.3. Giả sử phương trình (1.22) có ma trận cơ bản X(t) và có nhị phân mũ
trên đoạn J với phép chiếu P (t), hằng số K và số mũ α. Khi đó
(i) phương trình liên hợp
x˙ = −A∗ (t)x
12

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


có nhị phân mũ trên J với phép chiếu I − P ∗ (t), hằng số K và số mũ α;
(ii) nếu J = R thì
R(P (t)) = {ξ : X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi τ → +∞}

= {ξ : sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞}
τ ≥t

và
N (P (t)) = {ξ : X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi τ → −∞}
= {ξ : sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞};
τ ≤t

(iii) nếu J = R và f (t) ∈ BC thì phương trình
x˙ = A(t)x + f (t)

(1.26)

có duy nhất một nghiệm bị chặn x(t). Hơn nữa
x(t) ≤ 2Kα−1 f

∞

với mọi t ∈ R;

(iv) nếu phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên R, thì phương trình sai phân
uk+1 = X(k + 1)X −1 (k)uk

(1.27)

có nhị phân mũ trên R. Điều ngược lại đúng khi A(t) bị chặn.
Chứng minh. (i) Từ biểu thức X(t)X −1 (s)P (s) = P (t)X(t)X −1 (s) với t, s ∈ J, ta suy
ra
X ∗−1 (s)X ∗ (t)P ∗ (t) = P ∗ (s)X ∗−1 (s)X ∗ (t)

với

−X ∗−1 (t)X ∗ (s)P ∗ (s) = −P ∗ (t)X ∗−1 (t)X ∗ (s)

với

t, s ∈ J
t, s ∈ J

X ∗−1 (t)X ∗ (s) − X ∗−1 (t)X ∗ (s)P ∗ (s) = X ∗−1 (t)X ∗ (s) − P ∗ (t)X ∗−1 (t)X ∗ (s)
X ∗−1 (t)X ∗ (s)[I − P ∗ (s)] = [I − P ∗ (t)]X ∗−1 (t)X ∗ (s).

(1.28)

Lấy liên hợp (1.24) và (1.25), ta được (từ đây ta dùng chuẩn Euclid trong Rn )
P ∗ (s)X ∗−1 (s)X ∗ (t) ≤ Ke−α(t−s) với t, s ∈ J và t ≥ s
và
[I − P ∗ (s)]X ∗−1 (s)X ∗ (t) ≤ Ke−α(s−t) với t, s ∈ J và t ≤ s.

13

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Suy ra
[I − P ∗ (t)]X ∗−1 (t)X ∗ (s) ≤ Ke−α(t−s) với t, s ∈ J và s ≤ t
P ∗ (t)X ∗−1 (t)X ∗ (s) ≤ Ke−α(s−t) với t, s ∈ J và s ≥ t.
Áp dụng tính bất biến (1.28), ta được
X ∗−1 (t)X ∗ (s)[I − P ∗ (s)] ≤ Ke−α(t−s) với t, s ∈ J và s ≤ t
và

X ∗−1 (t)X ∗ (s)P ∗ (s) ≤ Ke−α(s−t) với t, s ∈ J

và s ≥ t.

(ii) Rõ ràng ta có
R(P (t)) ⊂ {ξ : X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi τ → +∞}
⊂ {ξ : sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞}.
τ ≥t

Ngược lại, giả sử ξ thỏa mãn
sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞.
τ ≥t

Ta cần chứng minh ξ ∈ R(P (t)).
Thật vậy, với τ ≥ t, ta có
[I − P (t)]ξ

=

[I − P (t)]X(t)X −1 (τ )X(τ )X −1 (t)ξ

=

X(t)X −1 (τ )[I − P (τ )]X(τ )X −1 (t)ξ

≤

X(t)X −1 (τ )[I − P (τ )] X(τ )X −1 (t)ξ

(do tính bất biến)

≤ Ke−α(τ −t) X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi τ → +∞.
Từ đó [I − P (t)]ξ = 0 hay là ξ = P (t)ξ nên ξ ∈ R(P (t)).
Vậy
R(P (t)) = {ξ : X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi

τ → +∞}

= {ξ : sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞}.
τ ≥t

Tương tự với N (P (t)) ta có
ξ ∈ N (P (t))
P (t)ξ = 0
ξ = [I − P (t)]ξ
X(τ )X −1 (t)ξ

=

X(τ )X −1 (t)[I − P (t)]ξ .
14

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy
N (P (t)) ⊂ {ξ : X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi τ → −∞}
⊂ {ξ : sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞}.
τ ≤t

Ngược lại, giả sử ξ thỏa mãn
sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞.
τ ≤t

Ta cần chứng minh ξ ∈ N (P (t)).
Thật vậy, với τ ≤ t, ta có
P (t)ξ

=

P (t)X(t)X −1 (τ )X(τ )X −1 (t)ξ

=

X(t)X −1 (τ )P (τ )X(τ )X −1 (t)ξ

≤

X(t)X −1 (τ )P (τ ) X(τ )X −1 (t)ξ

(do tính bất biến)

≤ Ke−α(t−τ ) X(τ )X −1 (t)ξ → 0 khi τ → −∞.
Từ đó P (t)ξ = 0 hay ξ ∈ N (P (t)).
Vậy
N (P (t)) = {ξ : X(τ )X −1 (t)ξ → 0

khi

τ → −∞}

= {ξ : sup X(τ )X −1 (t)ξ < +∞}.
τ ≤t

(iii) Hiệu hai nghiệm bị chặn của phương trình (1.26) là một nghiệm bị chặn x(t) của
phương trình (1.22). Khi đó vì x(t) = X(t)X −1 (0)x(0) nên x(0) = X(0)X −1 (t)x(t)).
Do đó nếu t ≤ 0 thì
P (0)x(0)

=

P (0)X(0)X −1 (t)x(t)

=

X(0)X −1 (t)P (t)x(t)

≤

X(0)X −1 (t)P (t)

(do tính bất biến)

x(t)

≤ Ke−α(−t) x(t) = Keαt x(t) → 0 khi t → −∞.
Do đó P (0)x(0) = 0. Tương tự, với t ≥ 0 thì
[I − P (0)]x(0)

=

[I − P (0)]X(0)X −1 (t)x(t)

=

X(0)X −1 (t)[I − P (t)]x(t)

≤

X(0)X −1 (t)[I − P (t)] x(t)

(do tính bất biến)

≤ Ke−αt x(t) → 0 khi t → +∞.
15

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Vậy [I − P (0)]x(0) = 0 hay x(0) = P (0)x(0) = 0. Do đó x(t) ≡ 0 và là nghiệm bị chặn
duy nhất của phương trình (1.26).
Tiếp theo ta có
+∞

t

X(t)X −1 (s)[I − P (s)]f (s)ds

X(t)X −1 (s)P (s)f (s)ds −

x(t) =
−∞

t

xác định tốt và là một nghiệm của phương trình (1.26). Hơn nữa,
t

+∞

Ke−α(t−s) ds +

x(t) ≤
−∞

Ke−α(s−t) ds

f

∞

= 2Kα−1 f

∞.

t

(iv) Giả sử phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) thỏa mãn các biểu
thức (1.23), (1.24) và (1.25). Khi đó nếu ta đặt
Ak = X(k + 1)X −1 (k),

Pk = P (k)

thì từ (1.23) ta suy ra
X(k + 1)X −1 (k)P (k) = P (k + 1)X(k + 1)X −1 (k).
Suy ra
Ak Pk = Pk+1 Ak .

(1.29)

Từ (1.24) suy ra
X(k)X −1 (m)P (m) ≤ Ke−α(k−m) với k ≥ m
vì
X(k)X −1 (m) = X(k)X −1 (k − 1)X(k − 1). . .X(m + 1)X −1 (m)
= Ak−1 . . .Am = Φ(k, m)

với

k ≥ m.

Suy ra
Φ(k, m)Pm ≤ Ke−α(k−m)

với

k ≥ m.

(1.30)

Tương tự từ (1.25) ta suy ra

Φ(k, m)[I − Pm ] ≤ Ke−α(m−k)

với

k ≤ m.

(1.31)

Suy ra phương trình uk+1 = Ak uk hay uk+1 = X(k + 1)X −1 (k)uk có nhị phân mũ trên
(−∞, +∞).

16

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


Ngược lại giả sử phương trình (1.27) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) và A(t) bị
chặn, tức là ta có các biểu thức (1.29), (1.30), (1.31) và
A(t) ≤ M

∀ t.

Theo Bổ đề Gronwall ta suy ra rằng
X(t)X −1 (s) ≤ eM |t−s|

∀ t, s ∈ R,

ở đây không giảm tổng quát ta giả sử X(0) = I. Nếu ta đặt
P (s) = X(s)P0 X −1 (s)
thì ta có

X(t)X −1 (s)P (s) = X(t)X −1 (s)X(s)P0 X −1 (s)
= X(t)P0 X −1 (s)
= X(t)P0 X −1 (t)X(t)X −1 (s)
= P (t)X(t)X −1 (s)
tức là tính bất biến (1.23) được thỏa mãn. Giả sử t ≥ s, khi đó có các số nguyên m ≤ k
sao cho m ≤ s ≤ m + 1 và k ≤ t ≤ k + 1 và do đó
X(t)X −1 (s)P (s)

=

X(t)X −1 (k)X(k)X −1 (s)X(s)P0 X −1 (s)

=

X(t)X −1 (k)X(k)X −1 (s)X(s)X −1 (m)Pm X(m)X −1 (s)
(do Pm = X(m)P0 X −1 (m) nên X −1 (m)Pm X(m) = P0 )

=

X(t)X −1 (k)X(k)X −1 (m)Pm X(m)X −1 (s)

≤

X(t)X −1 (k) X(k)X −1 (m)Pm

X(m)X −1 (s)

≤ eM |t−k| K(e−α )k−m eM |s−m|
≤ eM K(e−α )k−m eM
(do |s − m| ≤ 1 và |t − k| ≤ 1)

≤ e2M K(e−α )t−s−1 = Ke2M +α e−α(t−s) .
Tương tự, khi t ≤ s ta chứng minh được
X(t)X −1 (s)[I − P (s)] ≤ Ke2M +α e−α(s−t) .
Vậy phương trình (1.22) có nhị phân mũ trên (−∞, +∞).
Do đó mệnh đề được chứng minh.
17

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


1.4.3

Liên hệ nhị phân mũ và tập hyperbolic

Để sử dụng trong phần tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tính nhị phân mũ có quan hệ gần gũi
với lý thuyết tập hyperbolic cho các dòng. Thật vậy, cho S là tập compact hyperbolic
của phương trình (1.2) như trong Định nghĩa 1.1. Với điểm x ∈ S cho trước, ta xét
phương trình biến phân
y˙ = DF (φt (x))y.
Chọn một ma trận trực giao n × n
T0 =


F (x) 
S0 .
F (x) 

Ta áp dụng phương pháp Gram-Schmidt cho Dφt (x)T0 để có một ma trận trực giao

F (φt (x)) 

S(t)
F (φt (x)) 
và một ma trận tam giác trên
Y (t) = S ∗ (t)Dφt (x)S0
với đường chéo dương sao cho

t

Dφ (x)T0 =



F (φt (x)) 
S(t) 


t
F (φ (x))

F (φt (x))
F (x)
0


∗∗∗ 
.

Y (t)

(1.32)

Chú ý rằng
∗

S (t)S(t) = I,

F (φt (x))F (φt (x))∗
S(t)S (t) = I −
F (φt (x)) 2
∗

và do đó
Y˙ (t) = A(t)Y (t),
trong đó
˙
A(t) = S ∗ (t)[DF (φt (x))S(t) − S(t)].
Ta đặt
Q(t) = S ∗ (t)P s (φt (x))S(t),

18

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


với P s (x) là phép chiếu lên E s (x) theo E 0 (x) ⊕ E u (x) như trong phần 2.2 và 2.3. Q(t)
là phép chiếu vì
Q(t)2 = S ∗ (t)P s (φt (x))S(t)S ∗ (t)P s (φt (x))S(t)
F (φt (x))F (φt (x))∗
= S ∗ (t)P s (φt (x)) I −
F (φt (x)) 2

∗
s
t
s
t
= S (t)P (φ (x))P (φ (x))S(t)

P s (φt (x))S(t)

= S ∗ (t)P s (φt (x))S(t) = Q(t),
ở đây ta sử dụng tính chất P s (x)F (x) = 0. Hơn nữa
Y (t)Y −1 (s)Q(s)
= S ∗ (t)Dφt (x)S0 S0∗ Dφ−s (φs (x))S(s)S ∗ (s)P s (φs (x))S(s)
F (x)F (x)∗
Dφ−s (φs (x))S(s)S ∗ (s)P s (φs (x))S(s)
= S ∗ (t)Dφt (x) I −
F (x) 2
F (φt (x))F (x)∗
= S ∗ (t) Dφt (x) −
Dφ−s (φs (x))S(s)S ∗ (s)P s (φs (x))S(s)
F (x) 2
vì Dφt (x)F (x) = F (φt (x))
= S ∗ (t)Dφt (x)Dφ−s (φs (x))S(s)S ∗ (s)P s (φs (x))S(s)
do tính trực giao
F (φs (x))F (φs (x))∗
∗
t−s
s
= S (t)Dφ (φ (x)) I −
P s (φs (x))S(s)

s
2
F (φ (x))
∗
t−s
s
s
s
= S (t)Dφ (φ (x))P (φ (x))S(s)
do tính trực giao
= S ∗ (t)P s (φt (x))Dφt−s (φs (x))S(s)

do tính bất biến của P s

= S ∗ (t)P s (φt (x))S(t)S ∗ (t)Dφt (x)S0 S0∗ Dφ−s (φs (x))S(s)
làm ngược lại với biến đổi trên
= Q(t)Y (t)Y −1 (s)
và ta có tính bất biến cần thiết. Hơn nữa, sử dụng một trong các biểu thức trên ta có
Y (t)Y −1 (s)Q(s)

=

S ∗ (t)Dφt−s (φs (x))P s (φs (x))S(s)

≤

Dφt−s (φs (x))P s (φs (x))

≤ KM e−α(t−s)
với t ≥ s, P s (·) ≤ M . Tương tự, nếu t ≤ s thì

Y (t)Y −1 (s)(I − Q(s)) ≤ KM e−α(s−t) ,
với P u (·) ≤ M . Do đó phương trình
˙
y˙ = A(t)y = S ∗ (t)[DF (φt (x))S(t) − S(t)]y,
19

LUAN VAN CHAT LUONG download : add


với ma trận cơ bản Y (t), có nhị phân mũ trên (−∞, +∞) với phép chiếu Q(t), hằng
số KM và số mũ α.
Một trường hợp nữa trong đó nhị phân mũ liên quan với lý thuyết tập hyperbolic
như sau. Tiếp tục xét S là một tập compact hyperbolic của phương trình (1.2) như
trong Định nghĩa 1.1 và P 0 (x), P s (x), P u (x) là các phép chiếu liên kết với khai triển
(1.3). Với x ∈ S, ta xét phương trình
y˙ = DF (φt (x))y.
Nếu y(t) là nghiệm của phương trình trên trong E u (φt (x)), thì với t ≤ s
y(t) ≤ Ke−α(s−t) y(s) .

(1.33)

Mặt khác, y(t) là nghiệm của phương trình trên trong E s (φt (x)) và α là một số thực
thì khi đó với t ≥ s
y(t) + αF (φt (x))

≤

y(t) + |α| F (φt (x))

≤ Ke−α(t−s) y(s) + |α|M0 ∆−1 F (φs (x))

≤ max{K, M0 ∆−1 } [ y(s) + |α| F (φs (x)) ] ,
trong đó
M0 = sup F (x)

và

x∈S

∆ = inf F (x) .
x∈S

Chú ý rằng
y(s) = P s (φs (x))[y(s) + αF (φs (x))]
và
αF (φs (x)) = P 0 (φs (x))[y(s) + αF (φs (x))].
Do đó
y(s) + |α| F (φs (x)) ≤ M y(s) + αF (φs (x)) ,
trong đó
M 0 = sup P 0 (x) , M s = sup P s (x) , M u = sup P u (x)
x∈S

x∈S

x∈S

và
M = max{M 0 , M s , M u }.
Do đó, nếu y(t) là nghiệm trong E s (φt (x)) và α là một số thực thì khi đó với t ≥ s
y(t) + αF (φt (x))
≤ max{K, M0 ∆−1 }M y(s) + αF (φs (x)) .

(1.34)

20

LUAN VAN CHAT LUONG download : add