chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

1

fb: />tai lieu, luan van1 of 98.

TRẮC NGHIỆM
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
Bản demo soạn bằng Latex
Tiến Nhanh biên soạn và sưu tầm

1. Tập xác định của hàm số lượng giác
Chú ý 1.
•y=

f (x)
có nghĩa khi và chỉ khi g(x) = 0.
g(x)

•y=

f (x) có nghĩa khi và chỉ khi f (x)

•y=

0.

f (x)
có nghĩa khi và chỉ khi g(x) > 0.
g(x)

√
Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số y = cos x

A D = [0; 2π].

B D = [0; +∞).

C D = R.

D D = R\ {0}.

................................................................................................
Lời giải: Điều kiện x ≥ 0. Vậy tập xác định D = [0; +∞).
Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = 2 cot x + sin 3x
π
+ kπ . B D = R\ {kπ}.
A D = R\
C D = R.
D D = R\ {k2π}.
2
................................................................................................
Lời giải: Điều kiện sin x = 0⇔ x = kπ. Vậy tập xác định D = R\ {kπ} , k ∈ Z.
Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số y = 4 tan x
π
A D = R\
+ kπ . B D = R\ {kπ}.
D D = R\ {k2π}.
C D = R.
2
................................................................................................
Lời giải: : Điều kiện cos x = 0⇔ x = π2 + kπ. Vậy tập xác định D = R\ π2 + kπ , k ∈ Z.
Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số y =
±π

+ k2π .
6
π
C D = R\
+ k2π .
6
A D = R\

document, khoa luan1 of 98.

cos x
√
2 cos x − 3
π
.
2
π
5π
D D = R\
+ k2π;
+ k2π .
6
6
B D = R\ k


2

fb: />tai lieu, luan van2 of 98.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...............................
π
√

x = + k2π
√
3
π
6
Lời giải: Điều kiện 2 cos x − 3 = 0⇔ cos x =
⇔ cos x = cos ⇔
(k ∈ Z).
2
6  x = − π + k2π
6
π
π
Vậy tập xác định D = R\
+ k2π; − + k2π , k ∈ Z.
6
6
Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số y =

2018
cos x − cos 3x

π
.
4

π
π
π
C D = R\
+ k2π; kπ .
D D = R\
+k
.
3
2
2
................................................................................................
Lời giải:
y
x = kπ
x = 3x + k2π
π (k ∈ Z).
Điều kiện cos x = cos 3x ⇔
⇔
x = −3x + k2π
x=k
4
x
Ta biểu diễn các điều kiện lên đường tròn lượng giác rồi hợp điều kiện ta
π
.
được: D = R\ k
4
A D = R\ {kπ}.

B D = R\ k

Câu 6. Tìm tập xác định của hàm số y = 2018cot2017 2x
π
π
π
π
.
C D = R.
D D = R\
+k
.
A D = R\
+ kπ . B D = R\ k
2
2
4
2
................................................................................................
cos2017 2x
Lời giải: Ta có y = 2018cot2017 2x = 2018 2017
sin
2x
kπ
.
Điều kiện: sin2017 2x = 0 ⇔ sin 2x = 0⇔ sin 2x = 0⇔ 2x = kπ⇔ x =
2
kπ
Vậy D = R\
, (k ∈ Z).

2
Câu 7. Tìm tập xác định của hàm số y = 3 tan x + 2 cot x + x.
π
π
π
π
A D = R\
+ kπ . B D = R\ k
.
D D = R\
+k
.
C D = R\π.
2
2
4
2
................................................................................................
y
Lời giải:
sin x
cos x
y = 3 tan x + 2 cot x + x ⇔ y = 3
+2
+ x.
cos x
sin x
Tập xác định của hàm số là:
x
π

cos x = 0
x = + kπ
⇔
2
sin x = 0
x = kπ
Ta biểu diễn các điều kiện lên đường tròn lượng giác rồi hợp điều kiện ta được:
π
D = R\ k
.
2

document, khoa luan2 of 98.


3

fb: />tai lieu, luan van3 of 98.

Câu 8. Tìm tập xác định của hàm số y =

1
.
sin x − cos2 x
2

π
.
2
π

π
D D = R\
+k
.
C D = R.
4
2
................................................................................................
Lời giải: Tập xác định của hàm số là:
π
π
π
sin2 x − cos2 x = 0 ⇔ − cos 2x = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ 2x = + kπ ⇔ x = + k , (k ∈ Z).
2
4
2
A D = R\

π
+ kπ .
2

B D = R\ k

Câu 9. Tìm tập xác định của hàm số y = tan2

x π
−
.
2 4

3π
3π
+ k2π .
B D = R\
+ kπ .
2
2
π
π
+ k2π .
D D = R\
+ k2π .
C D = R\
2
4
................................................................................................
x π
π
3π
x π
Lời giải: Tập xác định của hàm số là: cos2
−
+ k2π, (k ∈ Z).
= 0 ⇔ − = + kπ ⇔ x =
2 4
2 4
2
2
A D = R\

Câu 10. Tìm tập xác định của hàm số y =

2017 tan 2x
.
sin2 x − cos2 x

π
.
2
π
π
+k
C D = R.
D D = R\
.
4
2
................................................................................................
cos 2x = 0
cos2 x − sin2 x = 0
Lời giải: Tập xác định của hàm số là
⇔
sin2 x − cos2 x = 0
sin2 x − cos2 x = 0
√
π
π
2
⇔ x = +k .

⇔ 2 sin2 x − 1 = 0 ⇔ sin x = ±
2
4
2
A D = R\

π
+ kπ .
2

Câu 11. Tìm tập xác định của hàm số y =

B D = R\ k

tan x
sin x − 1

π
π
.
+ k2π .
B D = R\ k
2
2
π
π
π
C D = R\
D D = R\
.

+ kπ .
+k
2
4
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.......................................................
 x = π + kπ
π
cos x = 0
2
Lời giải: Tập xác định:
⇔
⇔ x = + kπ.
π
sin x − 1 = 0
 x = + k2π
2
2
A D = R\

Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số y =
π
+ kπ .
4
π
π
C D = R\
+ kπ; + kπ .
4

2
A D = R\ −

document, khoa luan3 of 98.

sin x
.
sin x + cos x
π
.
4
π
D D = R\
+ k2π .
4
B D = R\ k


4

fb: />tai lieu, luan van4 of 98.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
........................................................
π
π
π
Lời giải: Tập xác định: sin x + cos x = 0 ⇔ 2 sin x +
= 0 ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ.
4

4
4
Câu 13. Tìm tập xác định của hàm số y =

sin x
.
cos x − sin x

π
π
+ k2π .
B D = R\ k
.
4
4
π
π
π
C D = R\
+ kπ; + kπ .
D D = R\
+ kπ .
4
2
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
........................................................
π
π
π

π
Lời giải: Tập xác định: cos x − sin x = 0 ⇔ 2 cos x +
= 0 ⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ.
4
4
2
4
A D = R\ −

Câu 14. Tìm tập xác định của hàm số y =

√
1 − cos 4x.

A D = R\ {kπ}.

B D = R.
π
π
π
C D = R\
+ kπ; + kπ .
D D = R\
+ k2π .
4
2
2
................................................................................................
Lời giải: Tập xác định: 1 − cos 4x ≥ 0 ⇔ 1 ≥ cos 4x, ∀x ∈ R.

1
Câu 15. Tìm tập xác định của hàm số y = √
2 − cos 6x
A D = R\ {kπ}.

B D = R.
π
π
π
C D = R\
+ kπ; + kπ .
D D = R\
+ kπ .
4
2
4
................................................................................................
Lời giải: Tập xác định 2 − cos 6x > 0 mà | cos 6x| ≤ 1 Vậy D = R

Câu 16. Tìm tập xác định của hàm số y =

2 + sin x
1 − cos x

π
π
+ kπ . D D = R\ k
.
2
2

................................................................................................
Lời giải: Ta có: 2 + sin x > 0 và 1 − cos x ≥ 0
Suy ra: TXĐ 1 − cos x = 0 ⇔ x = k2π
A D = R\ {kπ}.

B D = R\ {k2π}.

C D = R\

Câu 17. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?
√
A y = sin x.
B y = tan 2x.
C y = cos 2x.

D y = cot x2 + 1 .

................................................................................................
Lời giải: y = cos 2x luôn xác định với ∀x ∈ R
Câu 18. Hàm số nào sau đây có tập xác định là R?
A y = 2 cos
document, khoa luan4 of 98.

√
x.

B y=

tan 2x
.

sin2 x + 1

1
x

C y = cos .

D y=

sin 2x + 3
.
cos 4x + 5


5

fb: />tai lieu, luan van5 of 98.

................................................................................................
Lời giải: √Ta có:
y = 2 cos x có TXĐ D = [0; +∞)
tan 2x
π kπ
y= 2
. có TXĐ cos 2x = 0 ⇔ x = +
4
2
sin x + 1
1
y = cos có TXĐ R = 0

x
sin 2x + 3
sin 2x + 3
y=
có | sin 2x| ≤ 1; | cos 4x| ≤ 1 nên
> 0 vậy có TXĐ D = R
cos 4x + 5
cos 4x + 5
Câu 19. Hàm số nào sau đây có tập xác định khác với tập xác định các hàm số còn lại?
sin x + cos x
A y = tan x.
B y=
.
cos x
1
tan 2017x + 2018
C y=
.
D y=
.
cos x
1 − sin2 x
................................................................................................
tan 2017x + 2018
Lời giải: Tất cả các hàm số đều có TXĐ cos x = 0 trừ hàm số y =
cần cos x. cos 2017x = 0
cos x

Câu 20. Để tìm tập xác định của hàm số y = tan x + cot x, một học sinh giải theo các bước sau:
sin x = 0

Bước 1: Điều kiện để hàm số có nghĩa là
.
cos x = 0

x = π + kπ
2
Bước 2: ⇔
; (k; m ∈ Z).
x = mπ
π
Bước 3: Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = R\
+ kπ; mπ , (k; m ∈ Z).
2
Câu giải của bạn đó đã đúng chưa? Và nếu sai, thì sai bắt đầu từ bước nào?
A Câu giải đúng.

B Sai từ bước 1.

C Sai từ bước 2.

D Sai từ bước 3.

................................................................................................
Lời giải: Các bước thực hiện đúng.

document, khoa luan5 of 98.


6

fb: />tai lieu, luan van6 of 98.

2. GTLN và GTNN Của Hàm Số Lượng Giác
Chú ý 2.
• −1 ≤ sin x ≤ 1; 0 ≤ sin2 x ≤ 1.
• −1 ≤ cos x ≤ 1; 0 ≤ cos2 x ≤ 1.
• |tan x + cot x| 2.
• Hàm số dạng y = a sin2 x + b sin x + c (tương tự cos, tan ...) tìm max min theo hàm bậc 2 (lập bảng
biến thiên).
• Dùng phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm x ∈√R khi và chỉ khi a2√+ b2 c2 .
• Với hàm số y = a sin x + b cos x ta có kết quả: ymax = a2 + b2 , ymin = − a2 + b2
a1 sin x + b1 cos x + c1
ta tìm tập xác định. Đưa về phương trình dạng:
• Hàm số có dạng: y =
a2 sin x + b2 cos x + c2
a sin x + b cos x = c.
Câu 21. Tìm tập giá trị T của hàm số y = sin 2x
A T = [−2; 2].

B T = [−1; 1].

C T = R.

D T = (−1; 1).

................................................................................................
Lời giải: Hàm số y = sin 2x xác định trên R và có tập giá trị [−1; 1] .
Câu 22. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 1 − 2 sin 2x
A T = [−1; 3].

B T = [−3; 4].

C T = R.

D T = [−3; 3].

................................................................................................
Lời giải: Ta có: −1 ≤ sin 2x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2 sin 2x ≤ 2 ⇒ −1 ≤ 1 − 2 sin 2x ≤ 3. Vậy tập giá trị của hàm số
là :T = [−1; 3]
Câu 23. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 4cos2 2x + 3
A T = [3; 7].

B T = [0; 7].

C T = R.

D T = [0; 3].

................................................................................................
Lời giải: Ta có: 0 ≤ cos2 2x ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 4cos2 2x + 3 ≤ 7. Vậy tập giá trị của hàm số là :T = [3; 7]
Câu 24. Tìm tập giá trị T của hàm số y =
A T = [4; 9].

B T = [−1; 3].

5sin2 x + 4
C T = R.

D T = [2; 3].

................................................................................................
Lời giải: Ta có: 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇒ 4 ≤ 5sin2 x + 4 ≤ 9 ⇒ 2 ≤ 5sin2 x + 4 ≤ 3 Vậy tập giá trị của hàm số
là :T = [2; 3]
Câu 25. Tìm tập giá trị T của hàm số y = 1 + 2 |sin 2x|
A T = [1; 3].

B T = [−1; 3].

C T = R.

D T = [−3; 3].

................................................................................................
Lời giải: Ta có 0 ≤ |sin 2x| ≤ 1 ⇒ 1 ≤ y ≤ 3. Vậy T = [1; 3].
document, khoa luan6 of 98.


7

fb: />tai lieu, luan van7 of 98.

Câu 26. Trên R, hàm số nào sau đây có tập giá trị là R?
√
C y = cos 2x.
A y = sin x.
B y = tan 2x.

D y = x + sin x.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√

........................................................................
Lời giải: Hàm số y = sin x không xác định trên R.
Hàm số y = tan 2x không xác định trên R.
Hàm số y = cos 2x xác định trên R và có tập giá trị [−1; 1] .
Hàm số y = x + sin x xác định trên R và có tập giá trị R.
Câu 27. Xét bốn mệnh đề sau:
(1): Trên R, hàm số y = cos x có tập giá trị là [−1; 1].
π
(2): Trên 0; , hàm số y = cos x có tập giá trị là [0; 1].
2
√
3π
2
, hàm số y = cos x có tập giá trị là 0;
.
(3): Trên 0;
4
2
π
(4): Trên 0;
, hàm số y = cos x có tập giá trị là (0; 1] .
2
Tìm số phát biểu đúng.
A 1.

B 2.

C 3.

D 4.

................................................................................................
Lời giải:
(1): Trên R, hàm số y = cos x có tập giá trị là [−1; 1] (đúng).
π
(2): Trên 0; , hàm số y = cos x có tập giá trị là [0; 1] (đúng).
2
√
3π
2
, hàm số y = cos x có tập giá trị là 0;
(sai).
(3): Trên 0;
4
2
π
(4): Trên 0;
, hàm số y = cos x có tập giá trị là (0; 1] (đúng).
2
Câu 28. Tập giá trị của hàm số y =
A T = [−2; 1].
C T = (−∞, −2] ∪ [1, +∞).

sin x + 2 cos x + 1
là:
sin x + cos x + 2
B T = [−1; 1].
D T = R\ {1}.

................................................................................................

Lời giải: Ta có sin x + cos x + 2 > 0 ∀x ∈ R. Tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị của y để phương
trình (y − 1). sin x + (y − 2). cos x = (1 − 2y) có nghiệm
⇔ (y − 1)2 + (y − 2)2 ≥ (1 − 2y)2 ⇔ y ∈ [−2; 1]
Câu 29. Tập giá trị của hàm số y = cos x + sin x là:
√ √
A − 2; 2 .
B [−2; 2].
C R.

D [−1; 1].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
................................................................
π
Lời giải: Ta có y = cos x + sin x = 2 sin(x + ).
4
√
Suy ra |y| ≤ 2.
√ √
Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là − 2; 2 .
document, khoa luan7 of 98.


8

fb: />tai lieu, luan van8 of 98.

Câu 30. Tập giá trị của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x là:
A T = [−3; 3].

B T = [−4; 4].

C T = (4; ∞].

D T = [−5; 5].

................................................................................................
Lời giải: Ta có y = 3 sin x + 4 cos x = 5 sin(x + α). Do đó y ∈ [−5; 5]
Câu 31. Tập giá trị của hàm số y = tan x + cot x là:
A T = R.

B T = [−2; 2].

√ √
C T = − 2, 2 .

D T = (−∞; −2] ∪ [2; +∞).

................................................................................................
2
1
=
.
Lời giải: Ta có y = tan x + cot x =
sin x cos x sin 2x
Vì −1 ≤ sin 2x ≤ 1 nên y ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞)
1
1
là
+

2
sin x cos2 x
1
A T = [0; 1].
B T = 0; .
C T = (−∞; 1].
D T = [4, +∞).
2
................................................................................................
1
1
1
4
+ 2 =
Lời giải: Ta có y =
= 2
2
2
2
cos x sin x cos x. sin x sin 2x
Vì 0 ≤ sin2 2x ≤ 1 nên y ∈ [4; +∞)
Câu 32. Tập giá trị của hàm số y =

Câu 33. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x +
A 3.

B −1.

π
4

bằng bao nhiêu?

C 0.

D −3.

................................................................................................
π
π
Lời giải: Vì −1 ≤ sin x +
≤ 1 ⇔ −3 ≤ 3 sin x +
≤ 3.
4
4
sin x + cos x − 1
là:
sin x − cos x + 3
1
1
1
1
A M = −1, m = 1.
B M = −1, m = .
D M = −1, m = − .
C M=− ,m= .
7
7
7
7

................................................................................................
Lời giải: Vì sin x − cos x + 3 > 0 ∀x ∈ R nên tập giá trị của hàm số là tập hợp các giá trị của y để phương
trình (1 − y) sin x + (y + 1) cos x = (1 + 3y) có nghiệm
Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình A. sin x + B. cos x = C có nghiệm
1
1
suy ra được −1 ≤ y ≤ . Vậy M = −1 và m =
7
7
Câu 34. Gọi M; m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

Câu 35. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x − cos x là:
√
√
√
A 1 và −1.
B 1 và 2.
C − 2 và 2.

document, khoa luan8 of 98.

√

D − 2 và 1.


9

fb: />tai lieu, luan van9 of 98.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
.....................................................................
π
Lời giải: y = sin x − cos x = 2 sin x −
4√
√
√
Ta có −1 ≤ sin u ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ 2 sin u ≤ 2
π π
Câu 36. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 3 trên đoaạn − ;
là:
6 3
7
9
A 5.
B 3.
C .
D .
2
2
................................................................................................
Lời giải: y = 2sin2 x + 3, ta có sin2 x ≥ 0, ∀ ∈ R⇔ 2sin2 x + 3 ≥ 3, ∀x ∈ R
π π
Do đó GTNN của hàm số y = 3 khi x = 0 ∈ − ; .
6 3
Câu 37. Hàm số y =

sin x + 1
đạt giá trị nhỏ nhất tại?
sin x + cos x + 2

π
.
B x = 0.
2
π
π
C x = + k2π, (k ∈ Z).
D x = − + k2π, (k ∈ Z).
2
2
................................................................................................
sinx + 1
Lời giải: y =
⇔ (sin x + cos x + 2) y = sinx + 1⇔ (y − 1) sin x + y cos x = 1 − 2y
sin x + cos x + 2
Phương trình dạng a cos x + b sin x = c. Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2
Do đó ta có y2 + (y − 1)2 ≥ (1 − 2y)2 ⇔ 2y2 − 2y + 1 ≥ 4y2 − 4y + 1⇔ 2y2 − 2y ≤ 0⇔ 0 ≤ y ≤ 1
π
GTNN của y = 0⇔ sin x + 1 = 0⇔ sin x = −1⇒ x = − + k2π, (k ∈ Z)
2
A x=

Câu 38. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2 + cos x
là:
sin x + cos x − 2

1

1
1
.
B − và 2.
C − và −3.
D Một kết quả khác.
2
2
3
................................................................................................
2 + cos x
⇔ (sin x + cos x − 2) y = 2 + cos x ⇔ y sin x + (y − 1) cos x = 2 + 2y
Lời giải: y =
sin x + cos x − 2
Phương trình dạng a cos x + b sin x = c. Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2
Do đó ta có y2 + (y − 1)2 ≥ (2 + 2y)2 ⇔ 2y2 − 2y + 12 ≥ 4y2 + 8y + 4 ⇔ 2y2 + 10y + 3 ≤ 0
√
√
1
1
⇔ −5 − 19 ≤ y ≤ −5 + 19
2
2
A 2 và

Câu 39. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
A 2.

B −1.

√
π π
3 sin x + cos x trên đoaạn − ;
là:
3 6
√
C
3.
D 1.

.............√
...................................................................................
π
Lời giải: y = 3 sin x + cos x = 2 sin x x +
6
π
π
π
π
π
π
π π
Ta có: − ≤ x ≤ ⇔ ≤ x + ≤ , do đó y = 2 sin x x +
đồng biến trên − ;
3
6
6
6
3
6

6 3
π π
= 2.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 sin x
+
3 6
document, khoa luan9 of 98.


10

fb: />tai lieu, luan van10 of 98.

Câu 40. Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin2 x + 2 cos x + 2 là:

5
.
3
................................................................................................
Lời giải: y = sin2 x + 2 cos x + 2 = −cos2 x + 2 cos x + 3 = − (cos x − 1)2 + 4.
Ta có −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ cos x − 1 ≤ 0 ⇒ 4 ≥ (cos x − 1)2 ≥ 0 ⇒ −4 ≤ − (cos x − 1)2 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ y ≤ 4
A 2.

B 0.

Câu 41. Hàm số y = cos x +

π
3

C 4.

đạt giá trị lớn nhất trên đoạn 0;

D

2π
3

2π
π
.
D x= .
3
2
................................................................................................
π
π
2π
π
Lời giải: Ta có x + ∈
; π , do đó GTNL là y = 1 khi x + = π ⇔ x =
3
3
3
3
B x = 90◦ .

A x = 0.

C x=

Câu 42. Tập giá trị của hàm số y = tan 3x + cot 3x là:
A [−2; 2].

B [−1; 1].

C [−π; π].

D R.

................................................................................................
Lời giải:

Câu 43. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

1
là:
cos x + 1

1
1
.
B 1.
C √ .
D Khơng xác định.
2
2
................................................................................................
1

1
1
Lời giải: Có 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2, ∀x ∈ R ⇒
≥ . GTNN y = .
1 + cos x 2
2
√
Câu 44. Giá trị lớn nhất của hàm số y = cos x + 2 − cos2 x là:
√
1
A max y = 1.
B max y = .
C max y = 2.
D max y = 2.
3
................................................................................................
Lời giải: Đặt t = cos x. Điều kiện |t| ≤ 1.
√
Bài tốn trở thành tính giá trị lớn nhất của hàm ⇔ f (t) = t + 2 − t 2 trên đoạn [−1; 1]
Khi đó max y = max f (t) = 2
A

R

[−1;1]

Câu 45. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2
là:

1 + tan2 x

3
.
2
................................................................................................
2
Lời giải: Có tan2 x + 1 ≥ 2 ⇒ 0 <
≤ 2. GTNN y không tồn tại.
tan2 x + 1
A Không xác định.

B 2.

Câu 46. Hàm số y = sin2 x + 2 có:
document, khoa luan10 of 98.

C 1.

D


11

fb: />tai lieu, luan van11 of 98.

A GTLN là 2.

B GTLN là 3.

C GTNN là 1.

D GTNN là 0.

................................................................................................
Lời giải: Có 0 ≤ sin2 x ≤ 1, ∀x ∈ R ⇒ 2 ≤ sin2 x + 2 ≤ 3. GTNN y = 2, GTLN y = 3.
π π
Câu 47. Hàm số y = |sin x| xét trên − ;
2 2
A Khơng có GTLN.
B GTNN là -1.

C GTLN là 1.

D GTNN là 1.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
................................................
π
π
Lời giải: Vì − ≤ x ≤ ⇒ −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin x ≤ 1. GTNN y = 0, GTLN y = 1.
2
2
Câu 48. GTNN của hàm số y = |cos x| xét trên đoạn [−π; π] là:
A −π.

B −1.

C 0.

D Khơng có.

...............................................√
.................................................
Lời giải: Vì −π ≤ x ≤ π ⇒ −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos x ≤ 1. GTNN y = 0.
π π
Câu 49. GTNN của hàm số y = |tan x| xét trên − ;
là:
2 2
√
π
.
A
B 0.
C Không xác định.
D
3.
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
.................................................
π π
Lời giải: Vì x ∈ − ;
⇒ tan x ∈ (−∞; +∞) ⇒ tan x ∈ [0; +∞). GTNN y = 0.
2 2
Câu 50. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x trên R. Tính
giá trị M + m
3
A 0.
B .
C 6.

D 2.
2
................................................................................................
Lời giải: Hàm số y = sin x + cos x xác định trên R.
√
√ √
π
Ta có: y = sin x + cos x = 2 sin x +
. Do đó tập giá trị của hàm số − 2; 2 .
√
√ 4
GTLN M = 2 và GTNN m = − 2. Suy ra: M + m = 0.
Câu 51. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |sin x + cos x| trên R. Tính
giá trị M + m
√
A 0.
B
2.
D 2.
C 6.
................................................................................................
Lời giải: Hàm số y = |sin x + cos x| xác định trên R.
√
√
π
Ta có: y = |sin x + cos x| = 2 sin x +
. Do đó tập giá trị của hàm số 0; 2 .
4
√
√

GTLN M = 2 và GTNN m = 0. Suy ra: M + m = 2.
Câu 52. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
Tính giá trị M + m
document, khoa luan11 of 98.

√
3 sin x + cos x trên R.


12

fb: />tai lieu, luan van12 of 98.

A 0.

B

√
2.

C 6.

D 2.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
............................................................
√
1
π
3

Lời giải: Ta có: 3 sin x + cos x = 2
sin x + cos x = 2 sin x +
2
2
6
π
π
Do 0 ≤ sin x +
≤ 1 nên 0 ≤ 2 sin x +
≤ 2 hay 0 ≤ y ≤ 2.
6
6
π
π
π
= 0 ⇔ x + = kπ ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z
y = 0 ⇔ sin x +
6
6
6
π
π
π
π
y = 2 ⇔ sin x +
= ±1 ⇔ x + = + kπ ⇔ x = + kπ, k ∈ Z
6
6
2
3

Vậy : M = 2 và m = 0, suy ra: M + m = 2
Câu 53. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin 2x + 1 trên R. Tính giá
trị M.m
A −3.

B −15.

C 6.

D −1.

................................................................................................
Lời giải: Ta có: −1 ≤ sin 2x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2 sin 2x ≤ 2 ⇒ −1 ≤ y = 2 sin 2x + 1 ≤ 3
π
π
y = 3 ⇔ sin 2x = 1 ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z
2
4
π
π
y = −1 ⇔ sin 2x = −1 ⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z
2
4
Vậy : M = 3 và m = −1, suy ra: M.m = −3
π
Câu 54. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos x + 3 trên 0; . Tính
3
giá trị M.m
A −3.

B −5.

C 6.

D 20.

................................................................................................
π
1
Lời giải: Với x ∈ 0;
thì ≤ cos x ≤ 1, do đó 4 ≤ y ≤ 5. Vậy M.m = 20.
3
2
Câu 55. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos4 x − sin4 x trên R. Tính
giá trị M + n
3
A 0.
B .
D 2.
C 6.
2
................................................................................................
Lời giải: Ta có: y = cos4 x − sin4 x = (cos2 x + sin2 x)(cos2 x − sin2 x) = cos 2x.
Do −1 ≤ cos 2x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ y ≤ 1
y = 1 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z
π
y = −1 ⇔ cos 2x = −1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z
2
Vậy : M = 1 và m = −1, suy ra: M + m = 0
Câu 56. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = sin8 x + cos8 x là:

1
1
1
A .
B .
C .
8
4
2
document, khoa luan12 of 98.

D Các kết quả đêu sai.


13

fb: />tai lieu, luan van13 of 98.

................................................................................................
1
Lời giải: Ta có sin8 x + cos8 x = sin4 2x − sin2 2x + 1.
8
Đặt t = sin 2x. Điều kiện |t| ≤ 1.
1
Bài tốn trở thành tính giá trị nhỏ nhất của f (t) = t 4 − t 2 + 1 trên [−1; 1]
8
1
Khi đó min y = min f (t) =
R
8

[−1;1]

3. Tính chẵn lẻ Của Hàm Số Lượng Giác
Chú ý 3.
Để xác định tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác ta thực hiện theo sau.
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó:
• Nếu D là tập đối xứng (Tức ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D), ta thực hiện tiếp bước 2.
• Nếu D không là tập đối xứng (Tức ∃x ∈ D mà −x ∈
/ D), ta kết luận hàm số không chẵn khơng lẻ.
Bước 2: Xác định f (−x) khi đó:
• Nếu f (−x) = f (x) kết luận là hàm số chẵn.
• Nếu f (−x) = − f (x) kết luận là hàm số lẻ.
• Ngồi ra kết luận là hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Câu 57. Hàm số y = 1 − sin2 x là:
A Hàm số lẻ.
C Hàm số chẵn.

B Hàm số khơng tuần hồn.
D Hàm số khơng chẵn không lẻ.

................................................................................................
Lời giải: Xét hàm số f (x) = 1 − sin2 x
Ta có tập xác định D = R
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
f (−x) = 1 − sin2 (−x) = 1 − sin2 x = f (x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Câu 58. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
x
D y = x + sin x.
.

cos x
................................................................................................
Lời giải: Xét hàm số y = |sin x|
Ta có tập xác định D = R
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
f (−x) = |sin(−x)| = |sin x| = f (x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
A y = |sin x|.

B y = x2 sin x.

C y=

Câu 59. Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A y = | tan x|.

document, khoa luan13 of 98.

B y = cot 3x.

C y=

sin x + 1
.
cos x

D y = sin x + cos x.


14

fb: />tai lieu, luan van14 of 98.

................................................................................................
kπ
Lời giải: Hàm số y = cot 3x có tập xác định D = R\
, k ∈ Z.
3
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Ta có f (−x) = − f (x).
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
1
Câu 60. Hàm số y = − cos x + 1. Chọn khẳng định đúng?
2
B Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
A Hàm số đã cho là hàm số lẻ.
C Hàm số khơng có tính chẵn lẻ.
D Hàm số có tập xác định D = R∗ .
................................................................................................
1
Lời giải: Hàm số y = − cos x + 1 có tập xác định D = R.
2
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
1
Ta có f (−x) = − cos(−x) + 1 = f (x).
2
Vậy hàm số đã cho hàm số chẵn.
Câu 61. Cho hai hàm số f (x) = sin x − cos x, g(x) = cot x. Chọn khẳng định đúng?
A f (x) là hàm số lẻ, g(x) là hàm số chẵn.
B f (x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

C f (x) khơng có tính chẵn lẻ, g(x) là hàm số lẻ. D f (x), g(x) đều là hàm số lẻ.

................................................................................................
Lời giải: Hàm số f (x) có tập xác định D = R.
∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Ta có f (−x) = sin(−x) − cos(−x) = − sin x − cos x = ± f (x).
Vậy hàm số f (x) khơng có tính chẵn lẻ.
Hàm số g(x) là hàm số lẻ.
Câu 62. Xét trên TXĐ thì
A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
C Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

B Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.
D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.

................................................................................................
Lời giải:

document, khoa luan14 of 98.


15

fb: />tai lieu, luan van15 of 98.

4. Tính Tuần Hồn Của Hàm Số Lượng Giác
Chú ý 4.
2π
.
|a|

π
• Hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) với a = 0 tuần hồn với chu kì:
..
|a|
a
• Hàm số f (x), g(x) tuần hồn trên tập D có các chu kì lần lượt a và b với ∈ Q. Khi đó F(x) =
b
f (x) + g(x), G(x) = f (x)g(x) cũng tuần hồn trên D.
• Hàm số F(x) = m. f (x) + n.g(x) tuần hoàn với chu kì T là BCNN của a, b.
• Hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) với a = 0 tuần hồn với chu kì:

Câu 63. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?
A y = cos2 x.

B y = xcos2 x.

C y = x2 − cos2 x.

D y = x2 .

................................................................................................
Lời giải: Hàm số y = cos2 x tuần hồn hồn với chu kì T = π
Câu 64. Chu kì của hàm số f (x) = − sin2 x là:
A T = π.

B T = 2π.

C T = π 2.

D T = 4π.

................................................................................................
2π
1
= π.
Lời giải: Ta có −sin2 x = − (1 − cos 2x) có chu kì T =
2
2
Hay T = π là số dương bé nhất sao cho − sin2 (x + π) = −sin2 x nên chu kì của hàm số f (x) = − sin2 x là π.

Câu 65. Hàm số y = 2cos2 2x là hàm số tuần hồn với chu kì
π
3π
A 2π.
B π.
C
D
.
.
2
2
................................................................................................
2π
π
Lời giải: Có y = 1 + cos 4x. Suy ra hàm số tuần hồn với chu kì T =
= .
4
2
Câu 66. Chu kì của hàm số y = sin 2x + cos 3x là:
π

.
D T = 2π.
6
................................................................................................
Lời giải: Do hàm số y = sin 2x tuần hồn với chu kì π
2π
Hàm số y = cos 3x tuần hoàn với chu kì
3
Suy ra hàm số y = sin 2x + cos 3x tuần hồn với chu kì 2π.
A T = π.

B T = 3π.

C T=

Câu 67. Chu kì của hàm số y = sin x + cos x là:
A T = 6π.

document, khoa luan15 of 98.

B T = 2π.

C T = 4π.

D T = 0.


16

fb: />tai lieu, luan van16 of 98.

................................................................................................
Lời giải: Vì sin x là hàm số tuần hồn với chu kì T1 = 2π, cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T2 = 2π
Nên chu kì T của hàm số y = sin x + cos x là BCNN của T1 và T2 là T = 2π.
x
x
Câu 68. Chu kì của hàm số f (x) = cot x + cot + cot là:
2
3
A T = π.
B T = 2π.
C T = 3π.

D T = 6π.

................................................................................................
x
x
Lời giải: Các hàm số cot x, cot , cot tuần hồn với chu kì π, 2π, 3π. Suy ra hàm số f (x) = cot x +
2
3
x
x
cot + cot tuần hồn với chu kì 3π.
2
3
Câu 69. Hàm số y = cos2 3x là hàm số tuần hồn với chu kì
π
3π
C

A 3π.
B π.
.
D
.
3
2
................................................................................................
π
1 + cos 6x
. Suy ra hàm số tuần hồn với chu kì T = .
Lời giải: Có y =
2
3
Câu 70. Hàm số y = 2sin2 x + 3cos2 3x là hàm số tuần hồn với chu kì
π
.
3
................................................................................................
π
Lời giải: BSCNN của π và
3
A π.

B 2π.

C 3π.

D

x
là hàm số tuần hồn với chu kì
2
π
π
π
.
.
A
B 2π.
C
D 3 .
2
4
2
................................................................................................
Lời giải:
π
Hàm tan 2x có chu kì T1 =
2
x
Hàm cot có chu kì T2 = 2π
2
Vậy T = 2π.
Câu 71. Hàm số y = tan 2x + cot

Câu 72. Hàm số y = cos 3x. cos x là hàm số tuần hồn với chu kì
π
π
π

A
.
B
.
C
.
D π.
3
4
2
................................................................................................
1
Lời giải: y = cos 3x. cos x = (cos 4x + cos 2x)
2

document, khoa luan16 of 98.


17

fb: />tai lieu, luan van17 of 98.

5. Phương Trình Lượng Giác Cơ Bản.
Chú ý 5.
u, v là các biểu thức của x, x là số đo của góc lượng giác:
u = v + 2kπ
• sin u = sin v ⇔
x = π − v + k2π
• cos u = cos v ⇔ u = ±v + k2π.
π

• tan u = tan v ⇔ u = v + kπ (u, v = + lπ).
2
• cot u = cot v ⇔ u = v + kπ (u, v = lπ).
• Muốn tìm số điểm (vị trí) biểu diễn của x lên đường trịn lượng giác thì ta đưa về dạng x = α + k

2π
.
n

Kết luận số điểm là n.
Với k, l ∈ Z.
1
Câu 73. Trên (0; π) phương trình sin 2x = − có bao nhiêu nghiệm?
2
B 3.
C 2.
A 0.

D Vơ số nghiệm.

................................................................................................
Lời giải: Ta có:
π
x = − + kπ
1

12
sin 2x = − ⇔ 
. Ta có x ∈ (0; π) nên ta lần lượt có:
7π

2
+ kπ
x=
12
π
1
13
11π
0 < − + kπ < π ⇔
với k ∈ Z ⇒ k = 1 ⇒ x =
12
12
12
12
7π
−7
5
7π
0<
+ kπ < π ⇔
với k ∈ Z ⇒ k = 0 ⇒ x =
.
12
12
12
12
Vậy phương trình có 2 nghiệm trên (0; π).
√

3
π
với 0 < x < :
Câu 74. Phương trình cot x =
3
2
π
π
π
A Có nghiệm là .
B Khơng có nghiệm. C Có nghiệm là − . D Có nghiệm là ,
3
3
9
................................................................................................
π
Lời giải: Trên (0; ) thì cot x > 0. Vậy phương trình khơng có nghiệm.
2
π
1
Câu 75. Trên (− ; 0) tổng các nghiệm phương trình cot 3x + √ = 0 là:
2
3
3π
4π
4π
A − .
B − .
C
.

9
9
9

document, khoa luan17 of 98.

D −

5π
9


fb: />
18

tai lieu, luan van18 of 98.

................................................................................................
1
π
π kπ
Lời giải: Ta có cot 3x + √ = 0 ⇔ cot 3x = cot(− ) ⇔ x = − +
3
9
3
3
π
Với x ∈ (− ; 0) ta được:
2
π kπ

7
3 k∈Z k = 0
π
π
4π
< 0 ⇔ − < k < −−→
− <− +
Suy ra x1 = − ; x2 = −
2
9
3
6
4
9
9
k = −1
5π
Vậy x1 + x2 = −
9
Câu 76. Nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0 là:
kπ
kπ
kπ
A
, (k ∈ Z).
B kπ, (k ∈ Z).
, (k ∈ Z).
D
, (k ∈ Z).
C

2
8
4
................................................................................................
1
1
kπ
Lời giải: sin x. cos x. cos 2x = 0 ⇔ sin 2x. cos 2x = 0 ⇔ . sin 4x = 0 ⇔ x =
.
2
4
4
√
cot x − 3
Câu 77. Nghiệm của phương trình
= 0 là:
1
sin x −
2
π
7π
π
7π
+ k2π, (k ∈ Z).
+ kπ, (k ∈ Z).
+ kπ, (k ∈ Z).
+ k2π, (k ∈ Z).
A
B
C

D
6
6
6
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
π
x = + k2π
1
π

6
Lời giải: Điều kiện sin x = ⇔ sin x = sin( ) ⇔ 
5π
2
6
+ k2π
x=
y
6
√
√
√
cot x − 3
π
= 0 ⇔ cot x − 3 = 0 ⇔ cot x = 3 ⇔ x = + kπ.
1
6
sin x −
x

2
π
Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm x = + k2π
6
7π
Vậy nghiệm của phương trình là|x =
+ k2π.
6

Câu 78. Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2x + m = m sin 2x vô nghiệm?
1
1
1
A m = 1.
B m> .
C m≤ .
D m= .
2
2
2
................................................................................................
Lời giải: sin 2x + m = m sin 2x ⇔ (m − 1) sin 2x = m.
Với m = 1 thì pt trên vơ nghiệm.
m
Với m = 1: sin 2x =
.
m−1
1
m
Pt vô nghiệm khi:

>1⇔m>
m−1
2
Câu 79. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2cos2 x = 1:
√
√
2
2
A sin x = −
.
B sin x =
.
C tan x = 1.
D tan2 x = 1.
2
2
document, khoa luan18 of 98.


19

fb: />tai lieu, luan van19 of 98.

................................................................................................
1
Lời giải: 2cos2 x = 1 ⇔ 2 =
⇔ 2 = tan2 x + 1 ⇔ tan2 x = 1. (cos x = 0 khơng phải là nghiệm của
cos2 x
phương trình).
Câu 80. Giải phương trình sin2 2x + cos2 3x = 1 .

2π
,k∈Z.
5
π
C x = π + kπ , k ∈ Z
D x = kπ ∨ x = k , k ∈ Z .
5
................................................................................................
Lời giải:

x = kπ
1 − cos 4x 1 + cos 6x
2
2

+
= 1 ⇔ cos 6x = cos 4x ⇔ 6x = ±4x + k2π ⇔
sin 2x + cos 3x = 1 ⇔
kπ
2
2
x=
5
A x = k2π , k ∈ Z .

B x=k

π
5π
π

Câu 81. Trên (0; ) tổng các nghiệm phương trình cos(3x − ) = sin(x + ) là:
2
6
3
5π
π
π
5π
.
.
.
A
B
C
D −
12
4
6
6
................................................................................................
π
π
Lời giải: Ta có sin(x + ) = cos( − x) (dùng cung phụ.)
3
6 
π kπ
π
π
x = 4 + 2
Suy ra cos(3x + ) = cos( − x) ⇔ 

π
6
6
x = + kπ
3
π
π
π
Trên (0; ) ta được x1 = ; x2 =
2
4
3
π
Vậy x1 + x2 =
12
Câu 82. Phương trình cos2 x − 3 cos x + 2 = 0 có nghiệm là.
A k2π, arccos 2 + k2π (k ∈ Z).

B kπ, arccos 2 + k2π (k ∈ Z).

kπ
(k ∈ Z).
D k2π (k ∈ Z).
2
................................................................................................
cos x = 1
Lời giải: 2cos2 x − 3 cos x + 2 = 0 ⇔
⇒ x = k2π với k ∈ Z
cos x = 2(V n)
C

Câu 83. Trong các nghiệm sau, nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2cos2 x+5 cos x+3 = 0 là
π
π
A
.
B π.
C
.
D 3π .
2
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cos x = −1
2

Lời giải: 2cos x + 5 cos x + 3 = 0 ⇔
3 ⇒ x = π + k2π với k ∈ Z ⇒ k = 0
cos x = −
2
Câu 84. Phương trình 4sin4 x + 12cos2 x − 7 = 0 có nghiệm là
document, khoa luan19 of 98.


20

fb: />tai lieu, luan van20 of 98.

π
π

π
π
π
+ k2π .
B x = +k .
D x = − + kπ .
C x = + kπ .
4
4
2
4
4
................................................................................................
Lời giải: 4sin4 x + 12cos2 x − 7 = 0 ⇔ 4sin4 x + 12(1 − sin2 x) − 7 = 0
A x=±

Câu 85. Phương trình cos(sin x) = 1 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (−2π; 2π)?
A 2.

B 3.

C 4.

D 1.

................................................................................................
Lời giải: cos(sin x) = 1 ⇔ sin x = k2π (*).
Điều kiện để (*) có nghiệm là −1 ≤ k2π ≤ 1 ⇒ k = 0.
Do đó (*) ⇔ sin x = 0 ⇔ x = lπ. Vì x ∈ (−2π; 2π) nên l ∈ {−1; 0; 1}.
Câu 86. Phương trình cos x. cos 2x = cos 3x có nghiệm là:

kπ
π
A kπ.
B
D
.
C π + 2kπ.
+ kπ.
2
2
................................................................................................
1
Lời giải: cos x. cos 2x = cos 3x ⇔ (cos 3x + cos x) = cos 3x ⇔ cos 3x = cos x ⇔ 3x = ±x + k2π
2

x = kπ
kπ
⇔
.
kπ ⇔ x =
2
x=
2
Chú ý 6.
Phương trình dạng a sin x + b cos x = c.
• Nếu a2 + b2 < c2 thì phương trình vơ nghiệm.
• Nếu a2 + b2 c2√
thì phương trình có nghiệm, ta tiếp tục giải:
Chia cả hai vế cho a2 + b2 .
a

b
Đặt cos α = √
, sin α = √
.
a2 + b2
a2 + b2
c
Đưa về dạng: cos(x − α) = √
2
a + b2
√
Câu 87. Nghiệm của phương trình sin 2x − 3 cos 2x = 0 là
π
π
π
A x = +k , k ∈ Z .
B x = + kπ, k ∈ Z .
3
2
6
π
π
π
C x = + kπ , k ∈ Z .
D x = +k , k ∈ Z .
3
6
2
................................................................................................
Lời giải:

Câu 88. Phương trình nào sau đây vơ nghiệm:
A 2 sin x − cos x = −3.
C

√
3 sin 2x − cos 2x = 2.

document, khoa luan20 of 98.

√
3
B sin x =
.
2
D 3 sin x − 4 cos x = 5.


21

fb: />tai lieu, luan van21 of 98.

................................................................................................
Lời giải: Điều kiến để phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm: a2 + b2 c2
Câu 89. Với giá trị nào của m thì phương trình sin x + cos x = m có nghiệm:
√
√
√
A − 2 ≤ m ≤ 2.
B m ≥ 2.
D m ≤ 2.

C −1 ≤ m ≤ 1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√. . . . . . . . . .√
............................
2
2
2
2
Lời giải: Điều kiện có nghiệm: 1 + 1
m ⇔ m ≤ 2 hay − 2 ≤ m ≤ 2.
Câu 90. Với giá trị nào của m thì phương trình m sin x − 3 cos x = 5 vô nghiệm?
A m ≥ 4.

B −4 < m < 4.

C m≥

√
34.

D

m ≤ −4
.
m≥4

................................................................................................
Lời giải: Điều kiện có nghiệm m2 + (−3)2 < 52 ⇔ m2 < 42 hay −4 < m < 4.
√
Câu 91. Phương trình: 3. sin 3x + cos 3x = −1 tương đương với phương trình nào sau đây:
π

1
π
π
A sin 3x −
=− .
B sin 3x +
=− .
6
2
6
6
π
1
π
1
C sin 3x +
=− .
D sin 3x +
= .
6
2
6
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
.............................................................
√
1
1
π
3

1
Lời giải: 3. sin 3x + cos 3x = −1 ⇔
. sin 3x + . cos 3x = ⇔ sin 3x +
= .
2
2
2
6
2
Câu 92. Tìm m để phương trình 5 cos x − m sin x = m + 1 có nghiệm
A m ≤ −13 .

B m ≤ 12 .

C m ≤ 24 .

D m ≥ 24 .

................................................................................................
Lời giải: Điều kiện có nghiệm: 52 + m2 (m + 1)2 ⇔ m ≤ 12.
√
Câu 93. Cho phương trình m sin x − 1 − 3m cos x = m − 2 . Tìm m để phương trình có nghiệm.
1
1
A
≤m≤3.
B m≤ .
3
3
D m≥3.

C Khơng có giá trị nào của m .
................................................................................................
√
1
Lời giải: Điều kiện để 1 − 3m có nghĩa khi và chỉ khi m ≤ .(1)
3
√
Điều kiện để phương trình có nghiệm : m2 + (− 1 − 3m)2 (m − 2)2 ⇔ m 3.(2)
Từ (1),(2) suy ra khơng có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm.

Chú ý 7.
Phương trình dạng a.sin2 x + b. sin x. cos x + c.cos2 x = d, (a, b, c = 0). (1)
• Cách 1: Sử dụng cho bài tốn giải pt, tìm điều kiện của m để pt có nghiệm thuộc tập D:
document, khoa luan21 of 98.


22

fb: />tai lieu, luan van22 of 98.

π
+ kπ thì pt (1) có dạng a = d.
2
π
+ Nếu a = d thì pt (1) nhận x = + kπ làm nghiệm.
2
π
+ Nếu a = d thì pt (1) khơng nhận x = + kπ làm nghiệm.
2
Với cos x = 0 ta chia cả hai vế pt cho cos2 x ta được:

Với cos x = 0 ⇔ x =

a.tan2 x + b tan x + c = d(1 + tan2 x)
Đặt t = tan x rồi giải pt bậc 2 theo t.
• Cách 2: Sử dụng cho bài tốn tìm m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm,.. thì dùng cơng thức
1 + cos 2x
1
1 − cos 2x
, cos2 x =
và sin x. cos x = sin 2x ta được:
sin2 x =
2
2
2
(c − a) cos 2x + b sin 2x = d − c − a
Câu 94. Phương trình sin2 x − 4 sin x cos x + 3cos2 x = 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương
trình nào sau đây?

tan x = 1
A cos x = 0.
B cot x = 1.
C tan x = 3.
D 
1
cot x =
3
................................................................................................
Lời giải:
Xét cos x = 0 không là nghiệm của phương trình.
Xét cos x = 0 ta chia cả hai vế cho cos2 x được :


tan x = 1
tan x = 1
2

tan x − 4 tan x + 3 = 0 ⇔ (tan x − 1).(tan x − 3) = 0 ⇔
⇔
1
tan x = 3
cot x =
3
Câu 95. Phương trình sin2 x − 4. sin x. cos x + 4.cos2 x = 5 có bao nhiêu họ nghiệm?
A Ba họ nghiệm.

B Một họ nghiệm.

C Hai họ nghiệm.

D Bốn họ nghiệm.

................................................................................................
Lời giải:
Xét cos x = 0 khơng là nghiệm của phương trình.
Xét cos x = 0 ta chia cả hai vế cho cos2 x được :
1
tan2 x − 4 tan x + 4 = 5(1 + tan2 x) ⇔ 4tan2 x + 4 tan x + 1 = 0 ⇔ (2 tan x + 1)2 = 0 ⇔ tan x = −
2
Câu 96. Với giá trị nào của m thì phương trình msin2 x + sin 2x − 2cos2 x = 1 − m có nghiệm?
√
√

7 − 33
7 + 33
A ∀m ∈ R.
B
≤m≤
.
2
2
D m ≤ 1.
C m 1.

document, khoa luan22 of 98.


fb: />
23

tai lieu, luan van23 of 98.

................................................................................................
Lời giải:
1 − cos 2x
msin2 x + sin 2x − 2cos2 x = 1 − m ⇔ m
+ sin 2x − (1 + cos 2x) = 1 − m
2
⇔ m − m cos 2x + 2 sin 2x − 2 − 2 cos 2x = 2 − 2m ⇔ −(m + 2) cos 2x + 2 sin 2x = 4 − 3m.
Để phương trình có nghiệm ⇔ [−(m + 2)]2 + 22 (4 − 3m)2
⇔ 8m2 √
− 28m + 8 ≤ 0 √
7 − 33

7 + 33
⇔
≤m≤
2
2
Chú ý 8.
Phương trình dạng a. (sin x + cos x) + b. sin x cos x + c = 0.
√
t2 − 1
• Đặt t = sin x + cos x, điều kiện |t| ≤ 2 ⇒ sin x cos x =
.
2
Khi đó phương trình có dạng:
t2 − 1
+ c = 0 ⇔ bt 2 + 2at + 2c − b = 0 (*)
at + b
2
√
• Giải (*) theo t chọn t0 thỏa |t| ≤ 2.
√
π
sin x + cos x = t0 ⇔ 2 sin x +
= to (đã biết cách giải).
4
Tương tự cho phương trình a. (sin x − cos x) + b. sin x cos x + c = 0 .
Câu 97. Số điểm biểu diễn vị trí các nghiệm cuả phương trình 6 (sin x − cos x) trên đường tròn lượng giác
là:
A 1.
B 3.
C 2.

D 4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .√
..........................................................
Lời giải: Đặt t = (sin x − cos x) với |t| ≤ 2.
y
Khi đó phương trình có dạng:
1 − t2
6t −
+ 6 = 0 ⇔ t 2 − 12t − 13 = 0
2

x
π
x = − + k2π
π
1
2
⇒ t = −1 ⇔ sin x − cos x = −1 ⇔ sin x −
= −√ ⇔ 
4
2
x = k2π
Ta xác định số điểm biểu diễn vị trí bằng đường trịn lượng giác như bên.

Câu 98. Cho phương trình 3 (sin x + cos x) + 2 sin 2x + 3 = 0. Đặt t = (sin x + cos x) ta được phương trình
nào dưới đây:
A t 2 + 3t + 2 = 0.
B 2t 3 + 3t + 1 = 0.
D t 2 + 3t + 2 = 0.
C 2t 3 + 3t − 1 = 0.

................................................................................................
Lời giải: 3 (sin x + cos x) + 2sin2x + 3 = 0 ⇔ 3 (sin x + cos x) + 4 sin x cos x + 3 = 0.
Đặt t = (sin x + cos x)
ta được: 3t + 2 t 2 − 1 + 3 = 0 ⇔ 2t 3 + 3t + 1 = 0
Câu 99. Tìm số nghiệm của phương trình
document, khoa luan23 of 98.

√
x − x2 . sin 2017x = 0.


24

fb: />tai lieu, luan van24 of 98.

A 645 nghiệm

B 644 nghiệm

C 643 nghiệm

D 642 nghiệm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..........
x=0
2

x−x = 0
x=1

Lời giải: Tập xác định của phương trình là x − x2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [0; 1] . PT ⇔
⇔

sin2017x = 0
kπ
x=
2017
2017
Kết hợp với tập xác định, ta có 0 ≤ k ≤
⇔ k ∈ {0; 1; 2; ...; 642}. Vậy phương trình có 644 nghiệm.
π

document, khoa luan24 of 98.