chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác có lời giải chi tiết

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lượng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2   cos2   1
với mọi 
k
với mọi  �
2

* tan .cot   1
2
* 1 tan  
2
* 1 cot  

1
cos2 
1

với mọi  �k2

với mọi  �k
sin2 
2. Hệ thức các cung đặc biệt

a.Hai cung đối nhau:  và 
cos()  cos
tan()   tan 

b. Hai cung phụ nhau:  và  
2

cos(  )  sin 
2

tan(  )  cot 
2
c. Hai cung bù nhau:  và   
sin(  )  sin 
tan(  )   tan 
d) Hai cung hơn kém nhau  :  và   
sin(  )   sin 

sin()   sin 
cot( )   cot 


sin(   )  cos
2

cot(  )  tan 
2
cos(   )   cos
cot(  )   cot 
cos(   )   cos

5


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

tan(  )  tan 
3. Các công thức lượng giác
a. Công thức cộng
cos(a �b)  cosa.cosbm sina.sin b

cot(  )  cot 
sin(a �b)  sina.cosb �cosa.sinb

tana �tanb
1m tana.tanb
b) Công thức nhân
sin2a  2sinacosa
tan(a �b) 

cos2a  cos2 a  sin2 a  1 2sin2 a  2cos2 a  1
sin3a  3sina  4sin3 a
cos3a  4cos3 a  3cosa
c. Công thức hạ bậc
1 cos2a
1 cos2a
sin2 a 
cos2 a 
2

2
1 cos2a
tan2 a 
1 cos2a
d. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cosa.cosb  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
1
sina.sin b  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
1
sina.cosb  [sin(a  b)  sin(a  b)] .
2
e. Cơng thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
cosa  cosb  2cos
.cos
2
2
a b
a b
cosa  cosb  2sin
.sin
2
2
a b
a b
a b

a b
sina  sin b  2sin
.cos
sina- sin b  2cos
.sin
2
2
2
2
sin(a  b)
sin(a  b)
tana  tanb 
tana  tan b 
.
cosacosb
cosacosb
II. Tính tuần hồn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y  f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số
tuần hoàn nếu có số T �0 sao cho với mọi x �D ta có
x �T �D và f(x  T)  f(x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm
số đó được gọi là hàm số tuần hồn với chu kì T .
III. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số y  sinx
6


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

�Tập xác định: D  R

�Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1�sinx �1 x �R


�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (  k2;  k2) , nghịch biến
2
2

3
trên mỗi khoảng (  k2;  k2) .
2
2
�Hàm số y  sinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O
làm tâm đối xứng.
�Hàm số y  sinx là hàm số tuần hồn với chu kì T  2 .
�Đồ thị hàm số y  sinx .

2. Hàm số y  cosx
�Tập xác định: D  R
�Tập giác trị: [  1;1] , tức là 1�cosx �1 x �R
�Hàm số y  cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2;   k2) , đồng
biến trên mỗi khoảng (  k2;k2) .
�Hàm số y  cosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy
làm trục đối xứng.
�Hàm số y  cosx là hàm số tuần hồn với chu kì T  2 .
�Đồ thị hàm số y  cosx .
Đồ thị hàm số y  cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  sinx
u
r

theo véc tơ v  ( ;0) .

2

3. Hàm số y  tanx

7


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�
�
�Tập xác định : D  �\ �  k , k ���
�2
�Tập giá trị: �
�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hồn với chu kì T  
�

�
�Hàm đồng biến trên mỗi khoảng �
  k;  k �
2
�2
�
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x 


 k, k �� làm một đường tiệm
2

cận.
�Đồ thị

4. Hàm số y  cotx
�Tập xác định : D  �\  k, k ��
�Tập giá trị: �
�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hồn với chu kì T  
�Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng  k;   k 
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x  k , k �� làm một đường tiệm
cận.
�Đồ thị

8


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm
số
Phương pháp .
�Hàm số y  f(x) có nghĩa ۳ f(x) 0 và f(x) tồn tại
1
có nghĩa ۹ f(x) 0 và f(x) tồn tại.
f(x)
� sinu(x) �
�0 u(x) k , k �
�Hàm số y 

� cosu(x) �۹
0 �
u(x)


k , k �.
2

� 1�sinx, cosx �1.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:

1. y  tan(x  )
6
2
y  cot2(  3x)
3
Lời giải.

 
) 0�x۹
k
x
1. Điều kiện: cos(x ��
6
6 2
�2
�
TXĐ: D  �\ �  k , k ���.

�3
2
2
��
3x) 0
�۹
3
3
�2

�
TXĐ: D  �\ �  k , k ���.
9
3
�
2. Điều kiện: sin(

3x k

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
tan2x

 cot(3x  )
1. y 
sinx  1
6
tan5x
y
sin4x  cos3x
Lời giải.

x

2.

2
3

2
9

k

k


3

2.

9


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�

�
sinx �1

x �  k2
�
�
�
2
��
1. Điều kiện: �

sin(3x

)
�
0
�
�x �   k
6
�
18 3
�
�
 n
�
  k2,  
;k,n ���
Vậy TXĐ: D  �\ �
18 3
�2
�
�
2. Ta có: sin4x  cos3x  sin4x  sin �  3x �

�2
�
�x  � �7x  �
 2cos�  �
sin �  �
�2 4 � �2 4 �
�
�
cos5x �0
�
�
� �x  �
cos� �۹
Điều kiện: �
�0
� �2 4 �
� �7x  �
sin �  ��0
�
� �2 4 �

� 

x�  k
�
10
5
�
� 
x

k2
�
� 2
 k2
�
x � 
�
14
7
�

� k 
 2m �
,  n2 , 
Vậy TXĐ: D  �\ � 
�.
14
7
�10 5 2
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1 sin2x
1 cos3x
1. y 
2. y 
cos3x  1
1 sin4x

2
3. y  tan(2x  )

4. y  1 cot x
4
1 sin3x
Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1
tan2x
1. y 
2. y 
sin2x  cos3x
3sin2x  cos2x
cotx


3. y 
4. y  tan(x  ).cot(x  )
2sinx  1
4
3
Bài 3 Tìm tập xác định của hàm số sau:
2. y  tan3x.cot5x

1. y  tan(2x  )
3

4. y  tan3x  cot(x  )
3
2  sinx
3. y 
2
tan4x

tan x
6. y 
cos4x  sin3x
sin3x
5. y 
sin8x  sin5x
10


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm
số
Phương pháp .
Cho hàm số y  f(x) tuần hồn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta
u
r
u
r
tịnh tiến theo các véc tơ k.v (với v  (T;0), k �� ) ta được toàn bộ đồ
thị của hàm số.
* Số nghiệm của phương trình f(x)  k , (với k là hằng số) chính bằng
số giao điểm của hai đồ thị y  f(x) và y  k .
* Nghiệm của bất phương trình f(x) �0 là miền x mà đồ thị hàm số
y  f(x) nằm trên trục Ox.
Chú ý:
�Hàm số f(x)  asinux  bcosvx  c ( với u,v �� ) là hàm số tuần hồn
2

với chu kì T 
( (u,v) là ước chung lớn nhất).
(u,v)
�Hàm số f(x)  a.tanux  b.cotvx  c (với u,v �� ) là hàm tuần hồn với

chu kì T 
.
(u,v)
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số :
3x
x
f(x)  cos .cos
2
2
Lời giải.
1
Ta có f(x)   cosx  cos2x � hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở
2
T0  2 .
Ví dụ 2. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm
số sau.
1. f(x)  cosx  cos





3.x

2. f(x)  sinx2

Lời giải.
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hồn � có số thực dương T thỏa
f(x  T)  f(x) � cos(x  T)  cos 3(x  T)  cosx  cos 3x
�
cosT  1
�
Cho x  0 � cosT  cos 3T  2 � �
cos 3T  1
�

11


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�
T  2n
m
�
m
��
� 3
vơ lí, do m,n �� �
là số hữu tỉ.
n
n

� 3T  2m
Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
� T  0:f(x  T)  f(x) � sin(x  T)2  sinx2 x ��
Cho x  0 � sinT 2  0 � T 2  k � T  k
� f(x  k )  f(x) x ��.

 k2   sin(k2)  0 .
k   sin  3k  2k 2  �sin(2k

Cho x  2k ta có: f( 2k )  sin
f(x  k )  sin



k2 

2

2

2)

� f(x  k ) �0 .
Vậy hàm số đã cho khơng phải là hàm số tuần hồn.
Ví dụ 3. Cho a,b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số
c
f(x)  asincx  bcosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi
là số hữu
d

tỉ.
Lời giải.
* Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn � T  0: f(x  T)  f(x) x
�
asincT  bcosdT  b
�
cosdT  1
��
Cho x  0,x   T � �
asincT  bcosdT  b �
sincT  0
�
�
dT  2n
c m
��
� 
�� .
cT

m

d
2n
�
c
c k
2k 2l

* Giả sử �� � k,l ��:  . Đặt T 

c
d
d
d l
Ta có: f(x  T)  f(x) x �� � f(x) là hàm số tuần hồn với chu kì
2k 2l
T

.
c
d
Ví dụ 4. Cho hàm số y  f(x) và y  g(x) là hai hàm số tuần hoàn với
T
chu kỳ lần lượt là T1,T2 . Chứng minh rằng nếu 1 là số hữu tỉ thì các
T2
f(x)
�
g(x);
f(x).g(x)
hàm số
là những hàm số tuần hồn.
Lời giải.
T
Vì 1 là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n;n �0 sao cho
T2

12


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

T1
T2



m
� nT1  mT2  T
n

Khi đó f(x  T)  f(x  nT1)  f(x) và g(x  T)  g(x  mT2)  g(x)
Suy ra f(x  T) �g(x  T)  f(x) �g(x) và f(x  T).g(x  T)  f(x).g(x) ,
f(x  T) f(x)

. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
g(x  T) g(x)
Nhận xét:
1. Hàm số f(x)  asinux  bcosvx  c ( với u,v �� ) là hàm số tuần hồn
2
với chu kì T 
( (u,v) là ước chung lớn nhất).
(u,v)
2. Hàm số f(x)  a.tanux  b.cotvx  c (với u,v �� ) là hàm tuần hồn

.
(u,v)
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn
với chu kì cơ sở T0 .
với chu kì T 


.
2
Bài 2 Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số
sau.
1. y  sin2x  sinx
2. y  tanx.tan3x
3.
y  sin3x  2cos2x
Bài 3 Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau
1. y  sin2x  sinx
2. y  tan x.tan3x
y

sin3x

2cos2x
3.
4. y  sin x
1. f(x)  sinx ,

T0  2

2. f(x)  tan2x,

T0 

Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số

Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  2sinx
Lời giải.
Hàm số y  2sinx
�TXĐ: D  �
�Hàm số y  2sinx là hàm số lẻ
�Hàm số y  2sinx là hàm tuần hồn với chu kì T  2 .

13


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�

�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �
k2;  k2 �. Nghịch biến trên
2
�
�
�
�
mỗi khoảng �  k2;   k2 �.
2
�
�
�
�

�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k;0), �  k2;2�.
�2
�

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  tan2x
Lời giải.
Hàm số y  tan2x
�

�
�TXĐ: D  �\ �  k ,k ���
4
2
�
�Hàm số y  tan2x là hàm số lẻ
�Hàm số y  tan2x là hàm tuần hồn với chu kì T 
� 
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �
k;  k �.
� 4
�


�Các đường tiệm cận: x   k .
4
2
k
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;0) .
2

14


.
2


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y  1 2cos2 x
Lời giải.
Hàm số y  1 2cos2 x
Ta có: y  2  cos2x
�TXĐ: D  �
�Hàm số y  2  cos2x là hàm số chẵn
�Hàm số y  2  cos2x là hàm tuần hoàn với chu kì T   .
�
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �  k;   k �, nghịch biến trên
�2
�
� 
�
k;  k �.
mỗi khoảng �
� 2
�
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (

k
;1),    k;3 .
2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

15


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  sin2x
Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y  2 cosx

Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  4sinxcosx  1
2.
y  4  3sin2 2x
Lời giải.
1 Ta có y  2sin2x  1 .
Do 1�sin2x �1� 2 �2sin2x �2 � 1�2sin2x  1 �3
� 1�y �3 .


* y  1 � sin2x  1 � 2x    k2 � x    k .
2

4

* y  3 � sin2x  1 � x   k .
4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
2
2. Ta có: 0 �sin
 �
x �1 1 4 3sin2 x 4
* y  1� sin2 x  1 � cosx  0 � x 


 k .
2

* y  4 � sin2 x  0 � x  k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  6cos2 x  cos2 2x
2.
y  (4sinx  3cosx)2  4(4sinx  3cosx)  1
Lời giải.
1. Ta có: y  6cos2 x  (2cos2 x  1)2  4cos4 x  2cos2 x  1
2
0;1�
Đặt t  cos2 x � t ��
�
�. Khi đó y  4t  2t  1  f(t)
t
0

1

f(t)

7
1

Vậy min y  1 đạt được khi cosx  0 � x 
16


 k
2


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

maxy  1 đạt được khi cos2 x  1 � x  k
2. Đặt t  4sinx  3cosx � 5 �t �5 x ��
Khi đó: y  t2  4t  1  (t  2)2  3
5;5
��
���
7 
t ��
2 3 0 (t 2)2
Vì t ��
Do đó 3 �y �46
Vậy min y  3; maxy  46 .

49

Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ
nhận giá trị dương : y  (3sinx  4cosx)2  6sinx  8cosx  2m  1
Lời giải.
Đặt t  3sinx  4cosx � 5 �t �5
Ta có: y  t2  2t  2m  1  (t  1)2  2m  2
Do 
5�t �
5 �
0 �
(t
 1)2

36

y 2m 2 min y 2m 2
Hàm số chỉ nhận giá trị dương � y  0 x �� � min y  0
� 2m  2  0 � m  1.
Vậy m  1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y  2sin2 x  4sinxcosx  (3  2m)cos2 x  2
xác định với mọi x
Lời giải.
Hàm số xác định với mọi x
� 2sin2 x  4sinxcosx  (3  2m)cos2 x  2 �0 x ��
� cosx  0 � (1) đúng

(1)

� cosx �0 khi đó ta có: (1) � 2tan2 x  4tanx  (3  2m)  2(1 tan2 x) �0

� 4tan2 x  4tanx �1 2m x ��
�(2tanx
����
1)2 2 2m

x �

2 2m 0

m

1

Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x,y thỏa mãn sin2 x  sin2 y  sin(x  y) () .
Chứng minh rằng: x  y 


2

Lời giải.
� �
0; �
Ta có hàm số y  sinx,y  cosx đồng biến trên khoảng �
� 2�


� �
0; �.
Và x,y,  x,  y ��
2

2
� 2�

17


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�
�
�
� 
sinx  sin �  y � cosy
�
x


y
 �
�
�
�2
�
�Giả sử x  y  � � 2
��
2 � 
�

�

y x �
sin y  sin �  x � cosx
� 2
�
�2
�
�
Suy ra: sin2 x  sin2 y  sinx.sinx  sin y.sin y
 sinxcosy  sinycosx  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()
�
�
�
� 
sinx  sin �  y � cosy
x  y �
�
 �
�
�2
�
�Giả sử x  y  � � 2
��
2 � 
�
�
y x �
sin y  sin �  x � cosx
�
� 2

2
�
�
�
Suy ra: sin2 x  sin2 y  sinx.sinx  sin y.sin y
 sinxcosy  sinycosx  sin(x  y)
Mâu thuẫn với ()

� () đúng.
2

Vậy () � x  y  .
2
Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau :
�Nếu x  y 

1. y  3sinx  4cosx  5

2. y 

sin x  2cosx  1
sinx  cosx  2

Lời giải.
1. Xét phương trình : y  3sinx  4cosx  5
� 3sinx  4cosx  5  y  0 � phương trình có nghiệm
2
�3�
�
42 (5 y)

�2 �
y2 10y 0 0 y 10
Vậy miny  0 ; maxy  10 .
2. Do sinx  cosx  2  0 x �� � hàm số xác định với x ��
sin x  2cosx  1
Xét phương trình : y 
sinx  cosx  2
� (1 y)sinx  (2  y)cosx  1 2y  0

Phương trình có nghiệm � (1 y)2  (2  y)2 �(1 2y)2
� y2  y  2 �0 � 2 �y �1
Vậy min y  2; maxy  1 .
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  2sinx  3
2. y  1 2cos2 x  1
18


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

�
�
2x  �
3. y  1 3sin �
4�
�

4. y  3  2cos2 3x
6. y 

4

5. y  1 2  sin2x
1 2sin2 x
Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
2. y  3sinx  4cosx  1
1. y  2sin2 x  cos2 2x

4. y  2sin2 x  3sin2x  4cos2 x

3. y  3sinx  4cosx  1
5. y  sin2 x  3sin2x  3cos2 x
6. y  2sin3x  1

7. y  3  4cos2 2x
9. y  4sin6x  3cos6x

8. y  1 2 4  cos3x
10. y 

3

11. y 

1 2  sin2 x

3sin2x  cos2x
sin2x  4cos2 x  1

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau: asinx  bcosx  a2  b2 sin(x  )
0;2 �
Trong đó  ��
�
�và a,b khơng đồng thời bằng 0.
Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.

2. y  3  2sin2 2x  4
1. y  2cos(3x  )  3
3
4. y  tan2 x  4tanx  1
3. y  sinx  2  sin2 x
5. y  tan2 x  cot2 x  3(tanx  cotx)  1
Bài 5 Tìm m để hàm số y  5sin4x  6cos4x  2m  1 xác định với mọi
x.
Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y  2  3sin3x
2. y  1 4sin2 2x
3. y  1 3  2sinx
5. y  4sin3x  3cos3x  1
sin2x  2cos2x  3
2sin2x  cos2x  4
9. y  3cosx  sinx  2
7. y 

10. y 

sin2 2x  3sin4x

4. y  3  2 2  sin2 4x

6. y  3cosx  sinx  4
8. y 
11.

2sin2 3x  4sin3xcos3x  1
sin6x  4cos6x  10

y  3(3sinx  4cosx)2  4(3sinx  4cosx)  1
2cos2 2x  sin4x  2
Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x��
1. (3sinx  4cosx)2  6sinx  8cosx �2m  1
2.

3sin2x  cos2x
sin2x  4cos2 x  1

�m  1

19


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

4sin2x  cos2x  17
�2 .
3cos2x  sin2x  m  1
� �
0; �thỏa cos2x  cos2y  2sin(x  y)  2 . Tìm giá trị
Bài 8 Cho x,y ��

� 2�

3.

nhỏ nhất của P 

sin4 x cos4 y

.
y
x

Bài 9 Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

ksinx  1
lớn hơn 1.
cosx  2

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng tốn 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sinx  m (1)
* Nếu: m  1 � Phương trình vô nghiệm
�  �
 ; �
sin   m
* Nếu: m �1�  ��
� 2 2�
�
x    k2

( k�� ).
� (1) � sinx  sin  � �
x





k2

�
�

 � �
�
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn � 2
2 thì ta viết   arcsin m .
�
sin   m
�
*Các trường hợp đặc biệt:

1. sinx  1 � x   k2
2

2 sinx  1 � x    k2
2
3. sinx  0 � x  k
2. Phương trình: cosx  m (2)
* Nếu: m  1� phương trình vơ nghiệm

* Nếu: m �1�  �[0; ]:cos  m
�
x    k2

� (2) � cosx  cos � �
( k �Z ).
x    k2
�
�
0�
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn �
thì ta viết   arccosm .
cos  m
�
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cosx  1 � x  k2
2. cosx  1 � x    k2
20


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

3. cosx  0 � x 


 k
2

3. Phương trình : tanx  m (3)
�  �

 ; �: tan   m
Với m �  ��
� 2 2�

� (3) � tanx  tan  � x    k .
�

 
�
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn � 2
2 thì ta viết   arctanm .
�
tan   m
�
* Các trường hợp đặc biệt:

1. tanx  1 � x   k
4

2. tanx  1 � x    k
4
3. tanx  0 � x  k
4. Phương trình: cotx  m (4)
 
Với m �  �( ; ) : cot   m
2 2
� (4) � cotx  cot  � x    k .
�

 

�
Chú ý : * Nếu  thỏa mãn � 2
2 thì ta viết   arccotm .
�
cot   m
�
* Các trường hợp đặc biệt:

1. cotx  1 � x   k
4

2. cotx  1 � x    k
4

3. cotx  0 � x   k
2
Ghi chú:
�
u  v  k2
(k ��)
* sinu  sinv � �
*
u    v  k2
�
cosu  cosv � u  �v  k2

(k ��)

�
u  v  k

�
* tanu  tanv � �

u,v �  n
�
�
2

(k,n ��)

21


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�
u  v  k
(k,n ��)
* cotu  cotv � �
u,v �n
�
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: asinx  bcosx  c (1) ; với a,b,c�� và
a2  b2 �0 .
Cách giải: Chia hai vế cho

cos 

a

2

2

a b

;sin  

a2  b2 và đặt

b
2

a  b2

� (1) � sinx.cos  cosx.sin  

.

c
2

2

a b

� sin(x  ) 

c
2

a  b2

(2).

Chú ý:
� (1) có nghiệm � (2) có nghiệm � a2  b2 �c2 .
�
�
1
3

� sinx � 3cosx  2� sinx 
cosx� 2sin(x  )
2
2
3
�
�
�3
�
1

� 3sinx �cosx  2 � sinx � cosx� 2sin(x � )
2
6
�2
�
�1
�

1

� sinx �cosx  2 � sinx � cosx� 2sin(x � ) .
4
2
�2
�
Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
2

�
sinu(x) �
�
sinu(x) �
�
�
�
�
cosu(x)�
cosu(x)�
�
Là phương trình có dạng : a �
b
 c 0
�
�
tanu(x)�
tanu(x)�
�
�

�
�
cotu(x) �
cotu(x) �
�
�
�
sinu(x) �
�
�
cosu(x)�
Cách giải: Đặt t  �
ta có phương trình : at2  bt  c  0
�
tanu(x)�
�
�
cotu(x) �
�
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
�
sinu(x) �
1;1�
�
Khi đặt t  �
�, ta co điều kiện: t ��
�
cosu(x)�
�
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp

Là phương trình có dạng f(sinx,cosx)  0 trong đó luỹ thừa của sinx và
cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x �0 (k là số mũ cao
nhất) ta được phương trình ẩn là tanx .
22


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và
cosx
Là phương trình có dạng: a(sinx  cosx)  bsinxcosx  c  0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
�t2  1
 sinxcosx
�
� � �
t  sinx  cosx  2sin �
x  �� � 2
� 4� �
t ��
 2; 2�
�
� �
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
a(sinx  cosx)  bsinxcosx  c  0 (3’)
Để giải phương trình này ta cũng đặt
�
t ��

 2; 2�
�
� � �
� �
t  sinx  cosx  2sin �
x  �� �
1 t2
� 4� �
sinxcosx 
�
2
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ
bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sinx  cos2x  0
3. 2sin(2x  350)  3

2. cos2 x  sin2x  0
4. sin(2x  1)  cos(3x  1)  0

Lời giải.

1. Phương trình � cos2x  sinx  cos(  x)
2
� 
2

�

2x   x  k2
x  k
�
�
3 , k ��.
2
��
�� 6


�
�
2x    x  k2
x    k2
�
�
�
2
�
2
2
2. Phương trình cos x  2sinxcosx  0
�
cosx  0
�
cosx  0
�
� cosx(cosx  2sinx)  0 � �

�
1
2sinx  cosx �
tanx 
�
�
2

23


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

� 
x   k
�
�� 2
,k ��.
1
�
x  arctan  k
�
�
2
3
 sin600
2
� 950
x

 k.1800
0
0
0
�
�
2x  35  60  k360
2
.
��
��
0
0
0
0
0
�
�
2x  35  180  60  k360
155
�
x
 k.1800
�
�
2
�
�
4. Phương trình � cos(3x  1)  sin(2x  1)  cos�  2x  1�
�2

�
3. Phương trình � sin(2x  350) 

� 
�

3x  1   2x  1 k2
x   2  k2
�
�
2
��
�� 2
.


2
�
�
x   k
3x  1    2x  1 k2
�
�
�
2
10
5
�
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. cosx  2sin2x  0

2.
5
sin3 xsin3x  cos3 xcos3x  
2
3. sin2 2x  cos2 2x  cos3x
4. sin2x.cos3x  sin5x.cos6x
5. sinx  sin2x  sin3x  cosx  cos2x  cos3x
6. sin2 3x  cos2 4x  sin2 5x  cos2 6x
7. cos2 3xcos2x  cos2 x  0
Lời giải.
1. Phương trình � cosx  4sinxcosx  0 � cosx(1 4sinx)  0
� 
�
cosx  0 �
x   k
2
��
�
1 �
�
1
1
sinx 
�
x  arcsin  k2,x    arcsin  k2
�
4 �
�
4
4

3sinx  sin3x
cos3x  3cosx
;cos3 x 
2. Ta có sin3 x 
4
4
Nên phương trình đã cho tương đương với
5
sin3x 3sinx  sin3x  cos3x cos3x  3cosx  
2
5
� 3 sin3xsinx  cos3xcosx  1  
2
3
1


� 3cos4x   � cos4x  � x  �  k , k ��.
2
2
12
2
24


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

3. Phương trình � sin2 2x  cos2 2x  cos3x
� cos4x   cos3x  cos   3x
� 

2
�
4x    3x  k2
x  k
�
��
�
7
� 7
4x    3x  k2
�
x



k2

�
1
1
�
sin5x  sinx�
� �
�
sin11x  sinx�
�
4. Phương trình � �
2
2




� sin5x  sin11x � x  k hoặc x 
k
16
8
6
5. Phương trình � (sinx  sin3x)  sin2x  (cosx  cos3x)  cos2x
� 2sin2xcosx  sin2x  2cos2xcosx  cos2x
�
2
�
1
x  �  k2
�
cosx  
3
.
� (2cosx  1)(sin2x  cos2x)  0 � �
��
2
�


�
sin2x  cos2x
x k
�
�
2

� 8
6. Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có:
1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x



Phương trình �
2
2
2
2
� cos6x  cos8x  cos10x  cos12x
� 
x   k
�
�
cosx  0
.
� 2cos7xcosx  2cos11xcosx � �
�� 2
cos11x  cos7x


�
�
x k ; x k
�
2
9
�

�
(1

cos6x)cos2x

1

cos2x

0
7. Phương trình
� cos6x.cos2x  1  0 � cos8x  cos4x  2  0

� 2cos2 4x  cos4x  3  0 � cos4x  1 � x  k .
2
Nhận xét:
* Ở cos6x.cos2x  1  0 ta có thể sử dụng cơng thức nhân ba, thay
cos6x  4cos3 2x  3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối
với hàm số lượng giác cos2x .
* Ta cũng có thể sử dụng các cơng thức nhân ngay từ đầu, chuyển
phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t  cos2 x
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử
dụng cơng thức hạ bậc và cơng thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 3sinx  4cosx  0
2. sin2x  3cos2x  1

25

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

3. 2sin3x  5cos3x  5

4. 3cosx  3sinx  1

5. sin7x  cos2x  3(sin2x  cos7x)

6. sin3x  3cos3x  2sin2x

7. sinx  cosxsin2x  3cos3x  2(cos4x  sin3 x)
Lời giải.
1. Phương trình � 3sinx  4cosx � tanx  

� 4�
4
� x  arctan � � k .
3
� 3�


 1

2. Phương trình � 2sin(2x  )  1 � sin(2x  )   sin
3
3 2
6
�  
�


2x    k2
x    k
�
�
3 6
12
��
��
, k �� .
 5

�
�
2x  
 k2
x   k
�
�
3 6
� 4
�
3. Ta có 22 

 5

2

 9  52 � phương trình vơ nghiệm.

4. Phương trình � 3cosx  sinx 
� x


1
� cos(x  ) 
6 2 3
3

1


1
�arccos
 k2 , k ��.
6
2 3

5. Phương trình � sin7x  3cos7x  3sin2x  cos2x
� 

�


7x   x   k2
x   k
�
�



3
36
3 , k ��.
� cos(7x  )  cos(x  ) � � 6
��




6
3
�
�
7x   x   k2
x
k
�
�
3
4
� 6
� 16
� 
3x   2x  k2
�

3
6. Phương trình � sin(3x  )  sin2x � �

3

�
3x     2x  k2
�
� 3
� 
x   k2
�
�� 3
, k ��.
4
2
�
x
k
�
5
� 15
3
1
3
1
7. Phương trình � sinx  sin3x  3cos3x  2cos4x  sinx  sin3x
2
2
2
2
�

x    k2
�


6
.
� sin3x  3cos3x  2cos4x � cos(3x  )  cos4x � �

2
3
�
x
k
�
� 42
7
26


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. cos( sinx)  cos(3 sinx)

2.

�

�
tan �  sinx  1 � 1
4
�
�

Lời giải.
�
sinx  k
�
3 sinx   sinx  k2
��
1. Phương trình � �
n
�
3 sinx   sinx  n2
sinx 
�
�
2
�Xét phương trình sinx  k . Do k �� và 1�sinx �1 nên ta có các
giá trị của k : 1,0,1

Từ đó ta có các nghiệm: x  m ,x   m, m ��
2
n
�Xét phương trình sinx  . Ta có các giá trị của n là:
2
n  �2,n  �1,n  0


Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x   l,x  l ,x  �  l, l ��
2
6
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:



x  m ,x   m ,x  �  m m ��.
2
6


2. Phương trình �  sinx  1   k
4
4
� sinx  1  1 4k � sinx  4k � sinx  0 � x  m , m�� .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
1.





3  1 sinx 





3  1 cosx  2 2sin2x

2. 3sin2 x  5cos2 x  2cos2x  4sin2x
3. 5sinx  2  3 1 sinx tan2 x

4.

�x  � 2
x
sin2 �  �
tan x  cos2  0
2
�2 4 �
Lời giải.
1. Phương trình � 3sinx  cosx  3cosx  sinx  2 2sin2x


7
� sin(x  )  cos(x  )  2sin2x � sin(x  )  sin2x
6
6
12

27


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

� 7
�
7
2x  x 
 k2
x
 k2
�

�
12
.
��
� � 12
7
5
2
�
�
x
k
2x    x 
 k2
�
�
�
12
3
� 36
2. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x  5cos2 x  2(cos2 x  sin2 x)  8sinxcosx
� 5sin2 x  8sinxcosx  3cos2 x  0
� 5tan2 x  8tanx  3  0 � tanx  1 hoặc tanx 

3
5


3

 k hoặc x  arctan  k
4
5

0  x
k
3. Điều kiện : cosx �۹
2
� x

Phương trình � 5sinx  2  3(1 sinx)
� 5sinx  2  3(1 sinx)

sin2 x
cos2 x

sin2 x
1 sin2 x

sin2 x
� (5sinx  2)(1 sinx)  3sin2 x
1 sinx
� 
x   k2
�
1

.
2
�

sinx


sin
�
� 6
� 2sin x  3sinx  2  0
5
2
6
�
x
 k2
�
� 6

0  x
k .
4. Điều kiện : cosx �۹
2
� 5sinx  2  3

�
 �sin2 x
1 cos(x  )�
 (1 cosx)  0
Phương trình � �
2 �cos2 x
�
� (1 sinx)

�

sin2 x
1 sin2 x

 (1 cosx)  0

sin2 x
 (1 cosx)  0
1 sinx

� (1 cos2 x)  (1 cosx)(1 sinx)  0
�
x  k2
�
cosx  1 �
� (1 cosx)(cosx  sinx)  0 � �
�
.

tanx  1 �
x   k
�
� 4

28


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. sin3 x  cos3 x  sinx  cosx
3. sin2 x  3tanx  cosx  4sinx  cosx

2. 2cos3 x  sin3x

Lời giải.
1. Phương trình � sin3 x  cos3 x  (sinx  cosx)(sin2 x  cos2 x)
� 2cos3 x  sinxcos2 x  cosx.sin2 x  0





� cosx sin2 x  sinxcosx  2cos2 x  0
� cosx  0 � x 


 k (Do sin2 x  sinxcosx  2cos2 x  0 x �� )
2

2. Phương trình � 2cos3 x  3sinx  4sin3 x
� 4sin3 x  2cos3 x  3sinx(sin2 x  cos2 x)  0
� sin3 x  3sinxcos2 x  2cos3 x  0
� tan3 x  3tanx  2  0 (do cosx  0 không là nghiệm của hệ)
� (tanx  1)(tan2 x  tanx  2)  0
� 
�
tanx  1
x   k

��
�� 4
�
tanx


2
�
x  arctan(2)  k
�
3. Điều kiện: cosx �0
Phương trình � tan2 x  3tanx(1 tan2 x)  4tanx  1
� 3tan3 x  tan2 x  tanx  1  0
� (tanx  1)(3tan2 x  2tanx  1)  0

 k .
4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
1. sin2 x  5sinxcosx  6cos2 x  0
� tanx  1 � x  

3. 3sin2 x  5cos2 x  2cos2x  4sin2x

2. sin2 x  3sinx.cosx  1
4. sin3 x  cos3 x  sinx  cosx

Lời giải.
1. Nhận thấy cosx  0 không là nghiệm của phương trình nên chia
hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:
�


1 �
x    k
tan x  5tanx  6  0 � �
�
.
4
�
tanx  6
�
x  arctan6  k
�
2

t tan x �
tanx 

2. Phương trình � sin2 x  3sinx.cosx  (sin2 x  cos2 x)

29