Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (304.79 KB, 20 trang )
tai lieu, luan van1 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU .............................................................................
PHẦN II: NỘI DUNG .......................................................................
Chương I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT .......................................................
CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VIẾT PT MẶT PHẲNG,
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ THỎA MÃN
YẾU TỐ CỰC TRỊ ……….................................................................
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG
GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ...............................
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG
GIAN OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ...............................
Chương III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM ...............
I. Tiến hành thử nghiệm .....................................................................
II. Kết luận chung về thử nghiệm ......................................................
III. Bài học kinh nghiệm ....................................................................
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................
document, khoa luan1 of 98.
1/20
Trang 2
Trang 4
Trang 4
Trang 7
Trang 7
Trang 12
Trang 16
Trang 16
Trang 17
Trang 18
Trang 19
tai lieu, luan van2 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I . Lý do chọn đề tài
Qua thực tiễn, nhiều học sinh lớp 12 Trường THPT còn lúng túng khi giải
bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ. Nhiều em giải bài tốn
nào thì biết bài tốn đó, chưa có kĩ năng vận dụng, phát huy kiến thức đã học và
trong nhiều trường hợp chưa biết cách phát biểu bài toán dưới dạng khác, giải
bài toán bằng nhiều cách… Vì vậy khi làm bài tập trắc nghiệm khách quan mất
nhiều thời gian do đó kết quả kiểm tra và thi không cao.
Để giúp học sinh lớp 12 khắc sâu các kiến thức về phương pháp tọa độ
nói chung và có kỹ năng giải nhanh một số bài tốn Hình học giải tích trong
khơng gian có yếu tố cực trị nói riêng, trong năm học 2017 – 2018 tơi đã viết
sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng tìm điểm trong không gian Oxyz thỏa
mãn điều kiện cực trị cho học sinh lớp 12 THPT”. Để tiếp tục phát triển chuyên
đề này, năm học 2018 – 2019 tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ năng
viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong không gian Oxyz thỏa mãn
điều kiện cực trị học cho học sinh lớp 12 THPT”.
II. Mục đích; đối tượng; phạm vi nhiên cứu và thời gian thực hiện đề tài.
1) Mục đích nghiên cứu:
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh lớp 12 THPT thơng qua các bài
tốn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong khơng gian Oxyz có yếu
tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm.
2) Đối tượng nghiên cứu:
Trên cơ sở lí luận của năng lực giải tốn, áp dụng vào dạy học giải các bài
tốn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong khơng gian Oxyz có yếu
tố cực trị cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông. Từ đó phân loại và phát triển
hệ thống bài tập về Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong khơng gian
Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12, đặc biệt là học sinh khá, giỏi.
3) Phạm vi nghiên cứu:
Quá trình tổ chức dạy học Rèn luyện kỹ năng Viết phương trình mặt
phẳng, đường thẳng trong khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị cho học sinh lớp 12
THPT bằng bài tập tổng quát sau đó là thực hiện ví dụ dạng câu hỏi trắc nghiệm.
4) Thời gian thực hiện:
Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện trong năm học 2018 – 2019. Đề tài
đã được đăng kí với tổ và đã được tổ duyệt, thông qua kế hoạch thực hiện đề tài.
Trong quá trình thực hiện đề tài đã được tổ dự giờ và khẳng định đề tài có chất
lượng, đã được đồng nghiệp áp dụng trong giảng dạy.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nhiệm vụ nghiên cứu của SKKN bao gồm:
+ Đưa ra cơ sở lý thuyết về Hình học giải tích trong khơng gian Oxyz.
document, khoa luan2 of 98.
2/20
tai lieu, luan van3 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
+ Đưa ra một số bài tốn về viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong
khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị.
+ Rèn luyện kĩ năng giải tốn cho học sinh thơng qua các bài tập tự luyện.
IV. Dự kiến cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm:
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, SKKN gồm
3 chương
Chương I. Cơ sở lí thuyết
Chương II. Một số bài tốn Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng
trong khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị.
Chương III. Kết quả và Bài học kinh nghiệm
======================
document, khoa luan3 of 98.
3/20
tai lieu, luan van4 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. Tọa độ của vectơ, tọa độ của điểm và tính chất
1) Định nghĩa và tính chất:
Véc tơ u ( x; y; z ) u xi y j zk
Điểm M ( x; y; z ) OM xi y j zk
Vectơ 0 (0;0;0)
Điểm A x A ; y A ; z A ; B xB ; y B ; zB ; C xC ; yC ; zC thì:
AB xB x A ; y B y A ; zB z A và AB AB
Tọa độ trung điểm I của AB: xI
2
2
xB xA yB yA zB z A
2
x A xB
y yB
z z
; yI A
; zI A B
2
2
2
Tọa độ trọng tâm G của tâm giác ABC:
x A xB xC
y yB yC
z z z
; yG A
; zG A B C
3
3
3
2) Các phép toán: Cho u x; y; z ; v x' ; y ' ; z ' thì:
xG
x x'
u v x x' ; y y ' ; z z ' ; ku kx; ky; kz ; u v y y '
'
z z
x kx '
x y z
u cùng phương với v u kv y ky ' ' ' ' x ' . y ' . z ' 0
x y z
'
z kz
3) Tích vơ hướng và tích có hướng của hai vectơ: Trong không gian Oxyz cho
u x; y; z ; v x' ; y ' ; z '
3.1. Tích vơ hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Cho hai vectơ u , v khác vectơ 0 . Tích vơ hướng của hai
vectơ u , v là một số: u.v u . v .cos u, v . Nếu u 0 hoặc v 0 thì qui ước u.v 0 .
Biểu thức tọa độ: u. v x.x' y. y ' z.z ' ; u v u.v 0 x.x' y. y ' z.z ' 0
Độ dài vectơ: u x2 y 2 z 2
Góc giữa hai vectơ u , v khác vectơ 0 :
u.v
cos u, v
u .v
x.x ' y. y ' z.z '
x 2 y 2 z 2 . x '2 y '2 z '2
u v x.x’+ y.y’ + z.z’ = 0
document, khoa luan4 of 98.
4/20
tai lieu, luan van5 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
3.2. Tích có hướng của hai véc tơ
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ và được tính như
y
z z x x y
; ' ' ; ' ' yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y
'
'
y z z x x y
Tính chất: u , v u; u , v v
sau: u , v
II. Phương trình mặt phẳng
1) Véc tơ pháp tuyến.
- Vectơ n 0 có giá vng góc với mặt phẳng () được gọi là VTPT của mặt
phẳng ().
- Nếu u, v là hai vectơ khơng cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt
phẳng () thì u , v n là một VTPT của mặt phẳng ().
- Nếu ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng thì AB, AC n là một VTPT của mặt
phẳng (ABC).
- Mặt phẳng () đi qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một VTPT n A; B; C có
phương trình: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 () .
Chú ý: Trong khơng gian Oxyz, phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 với điều
kiện A2 + B2 + C2 > 0 là phương trình một mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến
là: n = (A; B; C).
2) Các cách viết phương trình mặt phẳng.
Cách 1: Mặt phẳng () qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến n =
(A, B, C) có phương trình là:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Ax + By + Cz + D = 0.
Cách 2: Mặt phẳng () qua điểm Mo(x0; y0; z0) và có hai vectơ khơng cùng
phương u1 ,u2 có giá song song hoặc chứa trong () thì () có vectơ pháp tuyến
là n [u1 ; u2 ] .
Cách 3: Từ phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0),
thường dùng khi trong giả thiết có khoảng cách, góc...
Cách 4: Mặt phẳng () đi qua ba điểm A(a; 0; 0); B(0; b; 0), C(0; 0; c) với abc
0 thì () có phương trình:
x y z
1
a b c
III. Phương trình đường thẳng
1) Véc tơ chỉ phương.
- Vectơ u 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được gọi là VTCP
của đường thẳng .
- Đường thẳng đi qua điểm M o(x0; y0; z0) và có VTCP u a; b; c , khi đó
document, khoa luan5 of 98.
5/20
tai lieu, luan van6 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
x x0 at
+) Phương trình tham số của là: y y0 bt ;(t R) , t gọi là tham số.
z z ct
0
x x0 y y0 z z0
(abc 0) .
a
b
c
+) Phương trình chính tắc của là:
2) Các cách viết phương trình đường thẳng.
Cách 1: Đường thẳng d qua Mo(x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương u = (a; b; c):
x x0 at
- Có phương trình tham số là: y y 0 bt (t là tham số)
z z ct
0
- Nếu abc 0 thì d có phương trình chính tắc là:
x x 0 y y 0 z z0
a
b
c
Cách 2: Từ giả thiết tìm hai điểm phân biệt A, B mà đường thẳng d đi qua.
Cách 3: Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng. Nếu đường thẳng d thuộc hai
mặt phẳng phân biệt (), () có vectơ pháp tuyến là n1 ,n 2 và có phương trình lần
lượt là: Ax + By + Cz + D = 0; A’x + B’y + C’z + D’ = 0 thì d gồm các điểm
Ax By Cz D 0
M(x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình:
. Đường thẳng d có
A' x B' y C ' z D ' 0
một vectơ chỉ phương là: u [n1 , n 2 ] .
IV. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Cho điểm M0(x0; y0; z0) và
mp(): Ax + By + Cz + D = 0 thì: d M 0 ;
Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
V. Góc trong khơng gian
VI.1. Góc giữa hai đường thẳng: Nếu đường thẳng có VTCP u (a; b; c) và
đường thẳng ' có VTCP u ' ( a ' ; b' ; c ' ) thì:
u.u '
aa ' bb ' cc '
'
cos ,
; 00 , ' 900
2
2
2
'2
'2
'2
'
a b c . a b c
u.u
VI.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Đường thẳng có VTCP
u (a; b; c ) và mặt phẳng () có VTPT n ( A; B; C ) thì:
u.n
sin , cos u, n
u.n
Aa Bb Cc
2
2
2
2
2
A B C . a b c
2
; 00 , 900
VI.3. Góc giữa hai mặt phẳng: Nếu mặt phẳng () có VTPT n ( A; B; C ) và
mặt phẳng () có VTPT n' A' ; B ' ; C ' thì:
'
n
.n
cos , cos n, n '
n . n'
document, khoa luan6 of 98.
AA' BB ' CC '
2
2
2
'2
'2
A B C . A B C
6/20
'2
; 0 0 , 90 0
tai lieu, luan van7 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
VI. Một số bất đẳng thức cơ bản
Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ trong khơng gian, ta
cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình đề cực trị xảy ra. Khi đó ta cần khai
thác được các đại lượng không đổi (Đoạn thẳng, khoảng cách từ điểm đến
đường thẳng, mặt phẳng,…) để áp dụng các bất đẳng thức hình học cơ bản sao
cho phù hợp với bài toán.
document, khoa luan7 of 98.
7/20
tai lieu, luan van8 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
CHƯƠNG II. MỘT SỐ BÀI TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT
PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN OXYZ THỎA MÃN
YẾU TỐ CỰC TRỊ
I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ
M
Bài Tốn 1: Viết phương trình mặt phẳng
() đi qua điểm A cho trước và cách M cho
trước một khoảng lớn nhất.
H
A
α
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi MA, theo các bước:
Bước 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên ().
Bước 2: Ta có d(M, ()) = MH MA (không đổi). Vậy d(M, ()) lớn nhất là
MA khi H A hay () là mặt phẳng qua A và vng góc với MA.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua A và vng góc với MA.
Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz. Phương trình mặt phẳng (): ax + by + cz + 5
= 0 đi qua điểm A(1; 0; -2) và cách điểm M(2; 1; 1) một khoảng lớn nhất. Khi
đó a + b + c nhỏ nhất bằng?
A. -7
B. -3
C. 2
D. 5
Bài giải:
+) Ta có MA ( 1; 1; 3)
+) Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên ().
+) Ta có d(M, ()) = MH MA = 11 . Vậy d(M, ()) lớn nhất là 11 khi H
A hay () là mặt phẳng qua A và vuông góc với MA.
+) Mặt phẳng () qua A(1; 0; -2), có một véctơ pháp tuyến n (1;1;3) có phương
trình là: x + y + 3z + 5 = 0
Chọn đáp án D.
Bài Tốn 2: Viết phương trình mặt
M
phẳng () chứa đường thẳng d và
cách M cho trước một khoảng lớn
nhất.
H
d
α
N
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo
các bước:
document, khoa luan8 of 98.
8/20
tai lieu, luan van9 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
Bước 1: Gọi N là hình chiếu vng góc của M trên d, H là hình chiếu vng góc
của M trên ().
Bước 2: Ta có d(M, ()) = MH MN (khơng đổi). Vậy d(M, ()) lớn nhất là
MN khi H N hay () là mặt phẳng qua N và vng góc với MN.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua N và vng góc với MN.
Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm M(2; 5; 3) và đường thẳng d:
x 1 y z 2 . Gọi () là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ M đến ()
2
1
2
lớn nhất. Khi đó () đi qua điểm nào?
A. A(1; 1; 0)
B. B(1; 1; 1)
C. C(-1; 1; 0)
D. D(0; 1; 1)
Bài giải:
+) Gọi N(2a + 1; a; 2a + 2) thuộc d MN (2 a 1; a 5;2a 1) . N là hình chiếu
vng góc của M trên d khi MN ud (2;1;2) 2(2a – 1) + a – 5 + 2(2a – 1) =
0 a = 1 N(3; 1; 4).
+) Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (). Ta có d(M, ()) = MH MN
= 3 2 . Vậy d(M, ()) lớn nhất là 3 2 khi H N hay () là mặt phẳng qua N và
vng góc với MN.
+) Mặt phẳng () qua N(3; 1; 4), có một véctơ pháp tuyến n (1; 4;1) có
phương trình là: x – 4y + z – 3 = 0
Chọn đáp án A.
Bài Tốn 3: Viết phương trình mặt phẳng ()
N
d
đi qua M, song với d và cách d một khoảng lớn
nhất.
H
M
α
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi khoảng cách từ M đến d, theo
các bước:
Bước 1: Tìm N là hình chiếu vng góc của M trên d, gọi H là hình chiếu vng
góc của N trên (). Ta có d(d, ()) = d(N, ()) = NH MN (không đổi).
Bước 2: Vậy d(d, ()) lớn nhất là MN khi H M hay () là mặt phẳng qua M
và vng góc với MN.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng () qua M và vng góc với MN.
Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; -1; 4) và đường
thẳng :
x 1 y 2 z
. Biết mặt phẳng (P) có phương trình x + ay + bz + c =
1
1
3
0 là mặt phẳng đi qua M và cách một khoảng lớn nhất. Tính T = a + b + c?
A. T = 6
B. T = 3
C. T = -8
D. T = -5
Bài giải:
document, khoa luan9 of 98.
9/20
tai lieu, luan van10 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
+) Gọi N(a + 1; -a - 2; 3a) thuộc d MN (a; a 1;3a 4) . N là hình chiếu
vng góc của M trên d khi MN u d (1; 1;3) a + a + 1 + 3(3a – 4) = 0 a
= 1 N(2; -3; 3).
+) Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (). Ta có d(d, ()) = d(N, ()) =
NH MN = 6 . Vậy d(d, ()) lớn nhất là 6 khi H M hay () là mặt phẳng
qua M và vng góc với MN.
+) Mặt phẳng () qua N(2; -3; 3), có một véctơ pháp tuyến n (1; 2; 1) có
phương trình là: x – 2y – z – 5 = 0
Chọn đáp án C.
Bài Tốn 4: Viết phương trình mặt phẳng (Q)
B
chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (P)
một góc nhỏ nhất.
d
H
A
M
P
Hướng dẫn:
Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Gọi = (Q)(P), A = d(P), lấy điểm B trên d khác A.
Bước 2: Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên (P), M là hình chiếu vng
góc của H trên .
BH BH
(khơng đổi). Vậy góc giữa (Q) và (P) là
HM HA
ˆ
ˆ
góc BMH
nhỏ nhất khi tan BMH
nhỏ nhất khi M A hay (Q) là mặt phẳng có
một VTPT là n u ; ud nP ; ud ; ud .
nP .nQ
Cách 2: Dùng cơng thức góc giữa hai mặt phẳng: cos(( P ),(Q))
nP . nQ
ˆ
Bước 3: Ta có: tan BMH
Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz. Cho đường thẳng d: x 1 y 2 z . Gọi (Q)
1
1
2
là mặt phẳng chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.
Khi đó mặt phẳng (Q) đi qua điểm nào?
A. (1; -1; 1)
B. (1; 1; -1)
C. (-1; 1; -1)
D. (-1; -1; 0)
Bài giải:
+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -2; 0), B(0; -1; 2).
+) Giả sử mặt phẳng (Q) chứa d có một VTPT là: n ( A; B; C ) , với A2 + B2 + C2
> 0. Vì mặt phẳng (Q) qua A(1; -2; 0) nên (Q): Ax + By + Cz – A + 2B = 0, mặt
khác qua B(0; -1; 2) nên A = B + 2C n ( B 2C ; B; C ) .
+) Gọi là góc giữa (Q) và (Oxy), khi đó:
document, khoa luan10 of 98.
10/20
tai lieu, luan van11 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
n.k
C
cos
n.k
2 B 2 4 BC 5C 2
1
1
2
B
B
2 4 5
C
C
2
2t 4t 5
.
Khi đó nhỏ nhất cos lớn nhất f(t) = 2t2 + 4t + 5 nhỏ nhất t = -1 B
= -C, ta chọn B = -1, C = 1 A = 1. Vậy (Q): x – y + z – 3 = 0
Chọn đáp án A.
Bài Tốn 5: Viết phương trình mặt phẳng
B
d'
(P) chứa đường thẳng d và tạo với đường
thẳng d’ (d’ không song song với d) một
góc lớn nhất.
H
A
d
P
M
Hướng dẫn:
Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Lấy điểm A cố định trên d, kẻ đường thẳng qua A song song với d’,
lấy điểm B cố định trên khác A.
Bước 2: Gọi H, M lần lượt là hình chiếu vng góc của B trên (P), d.
ˆ
ˆ : sin BAH
Bước 3: Ta góc giữa d’ và (P) là góc BAH
BH BM
(khơng đổi).
AB AB
ˆ lớn nhất khi sin BAH
ˆ lớn nhất khi H M hay
Vậy góc giữa d’ và (P) là góc BAH
(P) là mặt phẳng qua M vng góc với BM.
Cách 2: Dùng cơng thức góc giữa hai mặt phẳng.
ud ' .nP
sin(d ',( P )) cos(ud ' , nP )
ud ' . nP
Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz. Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 7 = 0 chứa
đường thẳng d: x 1 y 1 z 2 và tạo với đường thẳng d’: x 1 y z 1 một
2
1
2
1
2
1
góc lớn nhất. Tính a + b + c?
A. 0
B. -2
C. -4
D. -3
Bài giải:
Bài giải:
+) Lấy hai điểm trên d là: A(1; -1; 2), B(3; 0; 4).
+) Giả sử mặt phẳng (P) chứa d có một VTPT là: n ( A; B; C ) , với A2 + B2 + C2 >
0. Vì mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 2) nên (P): Ax + By + Cz – A + B - 2C = 0,
mặt khác qua B(3; 0; 4) nên B = -2A - 2C n (A; 2 A 2C ; C ) .
+) Gọi là góc giữa (P) và d’, khi đó:
document, khoa luan11 of 98.
11/20
tai lieu, luan van12 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
n.u '
3 A 3C
3 A 3C
sin
n .u'
5 A2 8 AC 5C 2
5( A C )2 2( A C ).C 2C 2
3
C
C
52
2
AC
AC
2
1
2
2t 2t 5
.
Khi đó lớn nhất sin lớn nhất f(t) = 2t2 - 2t + 5 nhỏ nhất t = 1/2 A
= C, ta chọn A = 1, C = 1 B = -4. Vậy (Q): x – 4y + z – 7 = 0
Chọn đáp án B.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 1) và đường thẳng d:
x 1 y z 2 . Phương trình mặt phẳng (): ax + by + cz + d = 0 chứa d sao cho
2
1
1
khoảng cách từ M đến () lớn nhất. Với a, b, c, d là số nguyên dương, khi đó a +
b + c nhỏ nhất bằng?
A. 7
B. 3
C. 4
D. 8
Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; -2; 1) và đường thẳng d:
x y 1 z . Phương trình mặt phẳng (): ax + by + cz – 53 = 0 đi qua A, song
2
2
1
song với d và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất. Khi đó a + b + c nhỏ nhất
bằng?
A. -2
B. 2
C. -4
D. 5
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x – y + z – 1 = 0. Phương
trình mặt phẳng (P): x + by + cz = 0 đi qua gốc tọa độ O, vng góc với (Q) và
cách điểm M(1/2; 0; 2) một khoảng lớn nhất. Khi đó b + c bằng?
A. Đáp án khác
B. 1
C. -4
D. -5
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -2; 0), đường
thẳng :
x 1 y z 2
. Biết mặt phẳng (P) có phương trình ax + by + cz + d =
1 3
1
0 đi qua A, song song với và khoảng cách từ tới mặt phẳng (P) lớn nhất.
Biết a, b là các số nguyên dương có ước chung lớn nhất bằng 1. Hỏi tổng a + b +
c + d bằng bao nhiêu?
A. 0
B. 3
C. -1
D. 1
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1), B(0; 4;
0) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y – 2z + 2019 = 0. Mặt phẳng (Q): ax
+ by + cz – 4 = 0 đi qua hai điểm A, B và tạo với mặt phẳng (P) một góc nhỏ
nhất. Tính a + b + c?
A. -2
B. 1.
C. 2
D. 0
Câu 6: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (Q): 12x + by + cz = 0 đi qua gốc
tọa độ O, song song với đường thẳng d: x 1 y z 2 và tạo với mặt phẳng (P):
2
1
x + 2y – z + 1 = 0 một góc nhỏ nhất. Tính b + c?
A. 10
B. -12
C. -14
document, khoa luan12 of 98.
12/20
3
D. -13
tai lieu, luan van13 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
Câu 7: Trong khơng gian Oxyz. Mặt phẳng (P): ax + by + cz – 23 = 0 đi qua hai
điểm A(1; 2; -1), B(2; 1; 3) và tạo với trục Ox một góc lớn nhất. Tính a + 4b +
c?
A. 9
B. -16
C. -9
D. 17
Câu 8: Trong không gian Oxyz. Mặt phẳng (P): 2x + by + cz = 0 đi qua gốc tọa
độ O, vng góc với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 1 = 0 và tạo với trục Oy một
góc lớn nhất. Tính b + c?
A. 6
B. -6
C. -7
D. 7
II. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
OXYZ THỎA MÃN YẾU TỐ CỰC TRỊ
Bài Toán 6: Viết phương trình đường thẳng
B
d chứa trong (P), đi qua A và cách B cho
trước một khoảng lớn nhất.
d
H
A
P
K
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước.
Bước 1: Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên d, H là hình chiếu vng góc
của B trên (P).
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK BA (khơng đổi). Vậy d(B, d) lớn nhất là BA khi
K A hay d là đường thẳng đi qua A và có một VTCP u nP ; AB .
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A và có một VTCP u nP ; AB .
Ví dụ 6: Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; -1), nằm trong mặt phẳng (P): 2x –
y – z = 0 và cách điểm B(0; 2; 1) một khoảng lớn nhất. Biết đường thẳng d đi
qua điểm E(2; b; c). Tính b + c?
A. -2
B. 4
C. 2
D. 3
Bài giải:
+) Ta có: AB (1;1; 2)
+) Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên d, H là hình chiếu vng góc của B
trên (P).
+) Ta có d(B, d) = BK BA = 6 . Vậy d(B, d) lớn nhất là 6 khi K A hay d
là đường thẳng đi qua A và có một VTCP u nP ; AB (1; 3;1) Phương
x 1 t
trình tham số của d là: y 1 3t E(2; 4; -2)
z 1 t
Chọn đáp án C.
document, khoa luan13 of 98.
13/20
tai lieu, luan van14 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
Bài Tốn 7: Viết phương trình đường
thẳng d chứa trong (P), đi qua A và
cách B cho trước một khoảng nhỏ nhất.
B
d
H
A
K
P
Hướng dẫn: Khai thác đại lượng không đổi, theo các bước:
Bước 1: Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên d, H là hình chiếu vng góc
của B trên (P).
Bước 2: Ta có d(B, d) = BK BH (khơng đổi). Vậy d(B, d) nhỏ nhất là BH khi
K H hay d là đường thẳng AH.
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A, H.
Ví dụ 7: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + z = 0 và điểm
M(1; -3; 1). Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O, nằmtrong mặt phẳng (P) và
khoảng cách từ M đến đường thẳng đó nhỏ nhất. Gọi u = (1; a; b) là một véc tơ
chỉ phương của đường thẳng (d). Tính a + b?
A. -3
B. 3
C. 2
D. -2
Bài giải:
+) Gọi là đường thẳng qua M và vng góc với (P) có hương trình tham
x 1 2t
số là: y 3 t . Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (P) H(-1; -2; 0).
z 1 t
+) Gọi K là hình chiếu vng góc của M trên d. Ta có d(M, d) = MK MH
(không đổi). Vậy d(M, d) nhỏ nhất là MH khi K H hay d là đường thẳng OH.
x t
d qua O, H có phương trình tham số là: y 2t E(2; 4; -2)
z 0
Chọn đáp án C.
Bài Toán 8: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua A, nằm trong mặt phẳng
(P) và tạo với đường thẳng d’ cho trước
một góc nhỏ nhất.
M
d
H
A
P
Hướng dẫn: Cách 1: Khai thác đại lượng không đổi.
document, khoa luan14 of 98.
14/20
I
d'
tai lieu, luan van15 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
Bước 1: Gọi đường thẳng qua A song song với d’, lấy điểm M cố định trên
khác A.
Bước 2: Gọi H, I lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên (P), d. Ta góc
ˆ
ˆ : sin MAI
giữa d và d’ là góc MAI
MI MH
(khơng đổi). Vậy góc giữa d và d’
MA MA
ˆ nhỏ nhất khi I H hay d là đường thẳng qua A, H.
nhỏ nhất khi sin MAI
Bước 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua A, H.
Cách 2: Dùng cơng thức góc giữa hai mặt phẳng:
ud .ud '
cos( d , d ') cos(ud , ud ' )
ud . ud '
Ví dụ 8: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O, nằm trong mặt phẳng (P): 2x + y –
z = 0 và tạo với đường thẳng d’:
x y 1 z 1
một góc nhỏ nhất. Biết đường
2
1
2
thẳng (d) đi qua điểm E(a; b; 13). Tính a + b?
A. -2
B. -5
C. 3
D. 4
Bài giải:
+) Gọi đường thẳng qua O song song với d’ có hương trình tham số là:
x 2t
y t . Lấy điểm M (2; -1; 2) trên .
z 2t
+) Gọi ’ là đường thẳng qua M và vng góc với (P) ’ có hương trình
x 2 2t
tham số là: y 1 t . Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (P) H(5/3; z 2 t
7/6; 13/6).
+) Gọi I lần lượt là hình chiếu vng góc của M trên d. Ta góc giữa d và d’ là
góc MOI : sin MOI
MI MH
(khơng đổi). Vậy góc giữa d và d’ nhỏ nhất khi
MO MO
sin MOI nhỏ nhất khi I H hay d là đường thẳng qua O, H.
x 10t
d qua O, H có phương trình tham số là: y 7t E(10; -7; 13)
z 13t
Chọn đáp án C.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3). Đường thẳng (d) đi qua A, song song
với mặt
phẳng (P) và khoảng cách từ B đến đường thẳng đó lớn nhất. Gọi u = (-2; a; b) là
một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d). Tính a + b?
A. 5
B. 6
C. 11
D. 13
document, khoa luan15 of 98.
15/20
tai lieu, luan van16 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
x
1
y 1 z
và hai điểm M 1; 1;0 , B 2; 1;3 . Viết
2
1
phương trình đường thẳng d đi qua điểm M , vng góc với đường thẳng và
Câu 2: Cho đường thẳng :
cách N một khoảng lớn nhất.
x 1
3
x 1
C.
3
A.
y 1 z
2
1
y 1 z
2
1
x 1
3
x 1
D.
3
B.
y 1 z
2
1
y 1 z
2
1
Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3). Đường thẳng (d) đi qua A, song song với mặt
phẳng (P) và khoảng cách từ B đến đường thẳng đó nhỏ nhất. Khi đó đường
thẳng (d) đi qua điểm nào?
A. (0; 1; 0)
B. (23; 11; -1)
C. (-29; -11; 2)
D. (1; 3; -2)
Câu 4: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + z – 3 = 0, điểm A(0; 2; 1) và đường thẳng
:
x 1 y z
. Đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d
1
2 1
và d’ lớn nhất. Biết d đi qua điểm E(1; b; c). Tính b + c?
A. -3
B. 2
C. 1
D. -1
Câu 5: Cho hai điểm A(0; -1; -1), B(-1; -3; 1). Giả sử C, D là hai điểm di động
thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – 2z – 1 = 0 sao cho CD = 4 và A, C, D thẳng hàng.
Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của BCD. Khi đó S1 + S2
bằng:
A.
34
3
B.
17
3
C.
11
3
D.
37
3
Câu 6: Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ O, vng góc với đường thẳng d’:
x 1 y 1 z 1
và tạo với mặt phẳng (P): x – y + 2z – 1 = 0 một góc lớn nhất.
2
2
1
Biết đường thẳng (d) đi qua điểm E(a; b; 16). Tính a + b?
A. 10
B. 14
C. 3
x 1 t
Câu 7: Cho hai đường thẳng chéo nhau: d1: y 0
d 2:
z 5 t
D. Đáp án khác
x 0
2
y 4 2t . Gọi (S): x
z 5 3t
+ y2 + z2 - 4x - 6y + d = 0 là mặt cầu đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng d1
và d2 và có bán kính nhỏ nhất. Khi đó d bằng?
A. 4
B. -4
C. 3
D. -3
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Viết phương trình mặt phẳng (P)
đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt cấc trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C
khác với gốc tọa độ O sao cho biểu thức T
1
1
1
có giá trị nhỏ nhất.
2
2
OA OB OC2
B. P : 6x 3y 2z 6 0
A. P : x 2y 3z 14 0
C. P : 6x 3y 2z 18 0
D. P : 3x 2y 3z 10 0
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) và mặt
phẳng
(P): 2x + 2y – z + 9 = 0. Đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương
u 3; 4; 4 cắt (P) tại B. Điểm M thay đổi trong (P) sao cho M ln nhìn đoạn
document, khoa luan16 of 98.
16/20
tai lieu, luan van17 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
AB dưới một góc 900 và độ dài MB lớn nhất. Đường thẳng MB đi qua điểm nào
trong các điểm sau?
A. J 3; 2; 7
B. H 2; 1;3
C. K 3;0;15
D. I 1; 2;3
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3; -4; 0) và mặt cầu
(S) có phương trình ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 25 . Viết phương trình tham số của
đường thẳng d đi qua M nằm trong mặt phẳng Oxy và cắt (S) theo một dây cung
dài nhất.
x 3 t
A. y 4 t
z 0
x 3 t
B. y 4 t
z 0
x 3 t
C. y 4 t
z 0
x 3 2t
D. y 4 t
z 0
CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
I. Tiến hành thử nghiệm
- Tiến hành dạy 3 tiết tự chọn: 27, 28, 29.
- Để tiến hành thực nghiệm đạt kết quả tôi đã chọn 1 lớp thực nghiệm và một
lớp đối chứng, tôi căn cứ vào các tiêu chí sau:
Học lực hiện tại của học sinh hai lớp
Điều kiện cơ sở vật chất là như nhau
Sĩ số của hai lớp
Trình độ giảng dạy của giáo viên
Cụ thể khi tiến hành thử nghiệm tôi đã chọn lớp 12A1 có sĩ số 42 dạy thực
nghiệm và lớp 12A2 có sĩ số là 41 khơng thực nghiệm làm lớp đối chứng. Việc
lựa chọn hai lớp trên là hoàn toàn phù hợp với tiêu chí đặt ra, hai giáo viên đã có
kinh nghiệm giảng dạy.
Để đánh giá, nhận xét kết quả một cách khách quan. Trong quá trình thử
nghiệm, đối chứng tơi đã mời đồng chí tổ trưởng, các đồng chí giáo viên trong
tổ Tốn - Tin cùng các đồng chí bộ mơn khác quan tâm đến dự giờ nhằm mục
đích đánh giá, nhận xét và so sánh các giờ dạy.
- Trong đợt thử nghiệm, tôi đã tiến hành thu thập kết quả của học sinh hai lớp
thử nghiệm và đối chứng trước khi tiến hành giảng dạy thử nghiệm.
- Sau khi dạy thử nghiệm kết thúc, chúng tôi ra đề kiểm tra chung để kiểm tra
kết quả học tập của các em học sinh trong hai lớp nhằm mục đích: Xác định
trình độ tiếp nhận kiến thức của các em sau khi được thử nghiệm, so sánh kết
quả của hai lớp đối chứng và thử nghiệm.
Bảng 1: Kết quả của bài kiểm tra trước thử nghiệm của hai lớp thực
nghiệm (TN) và đối chứng (ĐC)
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kết quả
số
số
số
số
Lớp
%
%
%
%
lượng
lượng
lượng
lượng
document, khoa luan17 of 98.
17/20
tai lieu, luan van18 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
12A1(TN)
15
36%
14
33%
11
26%
2
5%
12A2(ĐC)
6
15%
25
61%
5
12%
5
12%
Bảng 2: Kết quả của bài kiểm tra sau thử nghiệm của học sinh ở hai lớp thực
nghiệm (TN) và đối chứng (ĐC)
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kết quả
số
số
số
số
Lớp
%
%
%
%
lượng
lượng
lượng
lượng
12A1(TN)
20
48%
18
43%
4
9%
0
0%
12A2(ĐC)
7
17%
26
63%
4
10%
4
10%
II. Kết luận chung về thử nghiệm
1. Hiệu quả của thử nghiệm
Căn cứ vào kết quả kiểm tra trước và sau thử nghiệm của cả hai lớp chúng
tơi có các nhận xét sau:
Sau thử nghiệm kết quả của cả hai lớp thử nghiệm và đối chứng đều có sự
thay đổi. Bài làm của lớp thử nghiệm phần trăm giỏi tăng lên 13%, tỉ lệ học sinh
yếu đã giảm đi 7% khơng cịn học sinh yếu nữa, số lượng học sinh trung bình và
khá là khơng thay đổi.
Kết quả của lớp đối chứng sau thử nghiệm thì tỉ lệ học sinh giỏi tăng lên 1
em chiếm 2% tỉ lệ học sinh khá tăng lên 2% còn số lượng học sinh trung bình,
yếu thì giảm 2%.
Qua kết quả này cho thấy nội dung bài học là không dễ nên học sinh của
lớp đối chứng đã có tỉ lệ học sinh giỏi thấp hơn. Cịn ở lớp thử nghiệm khơng
cịn điểm yếu nghĩa là toàn bộ học sinh đã hiểu bài tốt. Tỉ lệ học sinh giỏi tăng
chứng tỏ dạy học theo hướng tăng cường rèn luyện năng lực giải toán đã phát
huy được năng lực tư duy sáng tạo, khả năng linh hoạt của học sinh. Học sinh
phát huy hết khả năng tiềm ẩn của mình, học sinh học tập tự tin hơn, mạnh dạn
hơn, khơng khí lớp học sơi nổi hơn.
Tóm lại việc dạy học Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng,
đường thẳng trong khơng gian Oxyz thảo mãn điều kiện cực trị hình học cho học
sinh lớp 12 THPT bằng câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh là hồn tồn có khả
năng góp phần nâng cao chất lượng dạy học, giúp học sinh hoc tập một cách chủ
động, tích cực, tự chiếm lĩnh tri thức, tự xây dựng tri thức cho bản thân, phát
huy được năng lực tạo được niềm tin, sự hứng thú trong quá trình học toán.
2. Hạn chế của thử nghiệm.
- Do thời gian tiến hành thử nghiệm không dài nên không thể khẳng định
được hiệu quả một cách chính xác hồn tồn.
- Việc thử nghiệm khơng được thí điểm với quy mơ lớn, chỉ thực hiện trên
một lớp nên các tỉ lệ trên không thể khẳng định là chính xác. Do vậy khơng thể
document, khoa luan18 of 98.
18/20
tai lieu, luan van19 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
lấy đó làm số liệu để khẳng định tính hiệu quả của việc dạy học Rèn luyện kỹ
năng giải toán cho học sinh lớp 12 thơng qua các bài tốn Hình học giải tích
trong khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.
3. Khả năng vận dụng dạy học Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh lớp
12 thơng qua các bài tốn viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng trong
khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh
Từ việc dạy thử, phân tích các số liệu thử nghiệm, đánh giá kết quả của
thử nghiệm, bước đầu có thể khẳng định việc dạy học Rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh lớp 12 thơng qua các bài tốn viết phương trình mặt phẳng,
đường thẳng trong khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị bằng câu hỏi trắc nghiệm
cho học sinh là góp phần nâng cao chất lượng dạy học.
III. Bài học kinh nghiệm
Qua quá trình thực hiện đề tài, SKKN đã thu được kết quả sau:
- Tìm hiểu một số quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học, kiểm tra đánh
giá và phương pháp ra đề thi trắc nghiệm khách quan.
- SKKN đã xây dựng được các dạng toán tổng quát và bài tập trắc nghiệm trong
dạy học trong khơng gian Oxyz có yếu tố cực trị.
Trong q trình hồn thành sáng kiến kinh nghiệm, tơi đã nhận được sự
giúp đỡ nhiệt tình của các thầy giáo, cơ giáo trong nhóm Tốn. Do thời gian cịn
hạn chế nên chắc chắn sáng kiến kinh nghiệm này còn nhiều thiếu sót. Rất mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và của bạn đọc để sáng kiến kinh
nghiệm được hồn thiện hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KH
mình viết, không sao chép nội dung
CẤP CƠ SỞ
của người khác.
Nguyễn Bình Long
document, khoa luan19 of 98.
19/20
tai lieu, luan van20 of 98.
Nguyễn Bình Long – Trường THPT Lưu Hồng – Huyện Ứng Hịa
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Gia Đức (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2007), Giáo
trình phương pháp dạy học các nội dung mơn tốn, NXB ĐHSP
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc AnhTrần Đức Huyên (2008), Hình học 12, Nxb Giáo dục.
3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc AnhTrần Đức Huyên (2008), Hình học 12-Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.
4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ, Nxb Giáo dục Việt Nam
5. Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)-Khu Quốc Anh-Trần Đức Huyên (2008), Bài
tập hình học 12, Nxb Giáo dục.
6. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học Sư
phạm.
7. Đào Tam, Phương pháp dạy học hình học ở trường trung học phổ thông,
NXB ĐHSP.
8. Các đề thi Minh họa, thử nghiệm, tham khảo, chính thức mơn Tốn từ năm
2017 đến 2019.
9. Các đề thi, đề thi thử, tài liệu được khai thác trên một số trang Website như:
hocmai.vn, moon.vn, k2pi.net.vn, dethi.violet.vn,...
document, khoa luan20 of 98.
20/20
