SKKN- Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz THPT NGUYỄN HỮU CẢNH

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

MỤC LỤC
Trang
Mục lục
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài
Bản đồ tư duy
B. PHẦN NỘI DUNG:
I/Các kiến thức cơ bản:
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳngr
thường gặp:

1
2
2
2
3
4
4
4

Viết PT mp đi qua A và có VTPT n .
Viết pt mp (P) đi qua Avà // mp (Q).
Viết pt mp(P) đi qua Avà vng góc với đường thẳng (d).
Viết pt mp (P) đi qua A và vng góc với 2 mp(Q) , mp(R).
Viết pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng .
Viết pt mp (P) đi qua A,B và vng góc mp (Q).

Viết pt mp (P) đi qua A ;vng góc mp(Q) và song song với dt (d).
Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.
Viết pt mp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.
Viết pt mp (P) là trung trực của AB.
Viết pt mp (P) chứa (d) và đi qua A.
Viết pt mp (P) chứa (d) và song song dt (d’).
Viết pt mp(P) chứa (d) và vuông (Q).
Viết pt mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h.
Viết pt mp (P) chứa (d) và d(A,(P))=h.
Viết pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc α ≠ 900.
Viết pt mp (P) chứa (d) và hợp với ( ∆ )một góc α ≠ 900.
Cho A và (d), viết pt mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất.
Viết pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Viết pt mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường trịn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước..
Dạng 21: Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Dạng 22: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến làđường
trịn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trước).
Dạng 23: Viết pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường
trịn (C)có bán kính nhỏ nhất.

4
4
5
5
5
6
6
6
7

8
8
8
9
9
9
10
11
12
12

C.KẾT QUẢ VẬN DỤNG ĐỀ TÀI
D.KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

15
16
16

Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dạng 4:
Dạng 5:
Dạng 6:
Dạng 7:
Dạng 8:
Dạng 9:
Dạng 10:
Dạng 11:

Dạng 12:
Dạng 13:
Dạng 14:
Dạng 15:
Dạng 16:
Dạng 17:
Dạng 18:
Dạng 19:
Dạng 20:

13
13
14
15

1.Đề tài: Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian
Oxyz cho học sinh khối 12
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 1 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

2.Người thực hiện: NGUYỄN BÁ TƯỜNG
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
Khi học đến chương phương pháp tọa độ trong khơng gian học sinh thường gặp

khó khăn khi gặp bài tốn viết phương trình mặt phẳng và dạng phương trình mặt
phẳng có nhiều dạng. Để giúp học sinh có thể giải tốt các bài tập về viết phương
trình mặt phẳng thường gặp trong chương trình lớp 12 nên tôi chọn đề tài “Rèn
luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz”
II. Ý nghĩa của việc thực hiện đề tài:
Do đặc điểm lớp 12 là năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông,
Đại học và Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức trong học tập và trang bị
những kiến thức cần thiết cho các kỳ thi vào cuối năm học. Nhằm giúp các em giải
tốt các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz chương
trình học lớp 12.
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm tôi thấy học sinh thường lúng túng
trước một bài tốn viết phương trình mặt phẳng, khơng định được hướng giải
quyết, vì thế tơi đã hệ thống một số dạng bài tập cơ bản yêu cầu học sinh phải nắm
vững và từ đó có thể viết được phương trình mặt phẳng trong chương trình.
TrườngTHPT Lưu Văn Liệt có học sinh điểm tuyển đầu vào khá cao so với các
trường trong tỉnh nhưng chất lượng lại không đều, số lượng học sinh yếu hằng năm
còn chiềm tỉ lệ trên dưới 5%. Với đề tài “Rèn luyện kỹ năng viết phương trình
mặt phẳng trong khơng gian Oxyz” sẽ giúp học sinh khơng bị lúng túng trước
một bài tốn viết phương trình mặt phẳng trong chương trình.

BẢN ĐỒ TƯ DUY VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶ PHẲNG TRONG
KHƠNG GIAN OXYZ
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 2 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

B. PHẦN NỘI DUNG
I/Các kiến thức cơ bản:
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 3 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

Trước tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
+ Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phương (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT):
r r
r
r r r
mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương a; b và vectơ pháp tuyến n thì n =[ a; b ]
+ Phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một vectơ
r
pháp tuyến n = ( A; B; C ) phương trinh mặt phẳng (P ) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0
+ Phương trình mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 +B2 +C2 ≠ 0)
Để viết phương trình của mặt ta sử dụng một trong hai cách sau:
r
+ Biết một điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vả một vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) ta sử dụng
công thức: (α) : A( x − x0 ) + B(y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0
+ Phương trình mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 +B2 +C2 ≠ 0) dựa vào giả
thiết của bài toán chúng ta xác định các hệ số A; B; C; D.
II/ Các dạng viết phương trình mặt phẳng thường gặp:
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z0 ) và một

r
vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C )
+Cách 1: (P) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0

+ Cách 2: (P): Ax + By + Cz + D = 0 ; M 0 ∈ (P) ⇒ D trả lời phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (−2;3;1) và vng góc với đường thẳng đi qua hai điểm A(3;1; −2) : B(4; −3;1)
Giải:
r uu
ur
- VTPT n = AB = (1; −4;3)
- Cách 1: (P): 1( x + 2) − 4( y − 3) + 3(z − 1) = 0 ⇔ (P ) : x − 4 y + 3z + 11 = 0
- Cách 2: (P): x − 4 y + 3z + D = 0 ; M 0 (−2;3;1) ∈ ( P ) ⇒ D = 11
⇒ (P): x − 4 y + 3z + 11 = 0
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z0 ) và song

song với mặt phẳng (Q) : Ax + By + Cz + D = 0 .
uu
ur
r
+Cách 1: (P)//(Q) ⇒ VTPT n( P ) = VTPT n(Q ) = ( A; B; C )
(P) : A(x − x 0 ) + B(y − y 0 ) + C(z − z 0 ) = 0

+ Cách 2: (P) // (Q) ⇒ (P) : Ax + By + Cz + D ' = 0(D ' ≠ D) ; M 0 ∈ (α) ⇒ D '
⇒ phương trình mp (P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (−2;3;1) và song song với mặt phẳng (Q): 4 x − 2 y + 3z − 5 = 0
Giải:
uu
ur

r
(P) // (Q) ⇒ VTPT n( P ) = VTPT n(Q ) = (4; −2;3)
+ Cách 1:
(P) : 4(x + 2) − 2(y − 3) + 3(z − 1) = 0
⇔ (P) : 4x − 2y + 3z + 11 = 0
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 4 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

+ Cách 2: (P ) // (Q) ⇒ (P ) : 4x-2y + 3z + D = 0(D ≠ −5)
M 0 (−2;3;1) ∈ ( P ) ⇒ D = 11 ⇒ (P ) : 4x-2y + 3z + 11 = 0
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vng

góc với đường thẳng(d)ur
uu
uu
ur
+ (P) ⊥ (d ) ⇒ VTPT n( P ) = VTCPu( d )
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
x +1 y − 3 z + 4
M 0 (−2;3;1) và vng góc với đường thẳng (d):
=
=
−2

1
3
Giải:
uu
ur
uu
ur
(P) ⊥ (d ) ⇒ VTPT n( P ) = VTCPu( d ) = (−2;1;3)
( P ) : −2( x + 2) + ( y − 3) + 3(z − 1) = 0
⇔ (P ) : −2z + y + 3z − 10 = 0
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vng

góc với hai mặt phẳng (P)&(Q)

uu
ur
uu
ur
uu
ur u u u u
ur ur
(P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (Q) 

uu
ur
u u  ⇒ VTPTn (P) =  n(Q) , n(R) 
ur
+



(P) ⊥ (R) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (R) 


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M 0 (−2;3;1) và vng góc với hai mặt phẳng (Q): x-3y+2z-1=0; (R): 2x+y-z-1=0
Giải:
uu
ur
uu
ur
uu
ur
uu uu
ur ur
(P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (Q) = (1; −3;2) 

⇒ VTPTn(P) =  n(Q) , n(R)  = (1;5;7)
uu
ur
uu
ur



(P) ⊥ (Q) ⇒ VTPTn (P) ⊥ VTPTn (R) = (2;1; −1) 


(P) : (x + 2) + 5(y − 3) + 7(z − 1) = 0
⇔ (P) : z + 5y + 7z − 20 = 0

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( x A ; y A ; z A );
B( x B ; y B ; zB ); C ( xC ; yC ; zC ) không thẳng hàng:
uu
ur
uu
ur
uu uu
ur ur
 AB

ur
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  AB, AC 


 AC


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
A(2; 0; −1); B(1; −2;3); C (0;1;2)

Giải:

uu
ur
uu
ur
uu uu
ur ur

 AB = (−1; −2; 4)

⇒ VTPT n( P ) =  AB, AC  = (−10; −5; −5)
ur
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u


 AC = (−2;1;3)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 5 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

(P ) : −10( x − 2) − 5( y − 0) − 5(z + 1) = 0
⇔ (P) : 2 x + y + z − 3 = 0
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A( x A ; y A ; z A ); B( x B ; y B ; z B ) và ⊥ (Q)
uu
ur
 AB
uu
ur u u u u
ur ur
 ur
(α)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  AB, n(Q ) 
+ Cặp VTCP mặt phẳng



 n(Q )


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 2 điểm
A(2; 0; −1); B(1; −2;3) và vng góc với mặt phẳng (Q): x − y + z + 1 = 0
Giải:
uu
ur
 AB = (−1; −2; 4)
uu
ur u u u u
ur ur
 ur
⇒ VTPT n( P ) =  AB, n(Q )  = (2;5;3)
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u


n(Q ) = (1; −1;1)


(P ) : 2( x − 2) + 5( y − 0) + 3(z + 1) = 0
⇔ (P ) : 2 x + 5y + 3z − 1 = 0

Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A( x A ; y A ; z A ) ; ⊥ (Q) và // với đt (d)
uu
ur
n

uu
ur
uu uu
ur ur
 (Q )
u u ⇒ VTPT n( P ) =  n(Q ) , u( d ) 
ur
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d )


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp(P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(1; −2;3) vng góc với mặt phẳng (Q): x + 2 y − z + 5 = 0 và song song với đường
thẳng (d):
Giải:

x +1 y − 3 z + 4
=
=
−2
1
3

uu
ur
n = (1;2; −1)
uu

ur u u u u
ur ur
 (Q )
⇒ VTPT n( P ) =  n(Q ) , u( d )  = (7;1;5)
uu
ur
Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d ) = (−2;1;3)

( P ) : 7( x − 1) + ( y + 2) + 5(z − 3) = 0

⇔ ( P ) : 7 x + y + 5z − 20 = 0
Dạng 8: Viết ptmp (P) chứa hai đường thẳng(d)và (d’) cắt nhau.

uu
ur
u
uu
ur u u u u
ur u r
 (d )
u u ⇒ VTPT n( P ) =  u( d ) , u( d ') 
ur
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d ')


+ Lấy điểm M0∈ (d) hoặc M0 ∈ (d’)
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 6 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P)chứa hai đường

x = 1 − t

x − 1 y + 1 z − 12
=
=
thẳng cắt nhau (d):
và (d’):  y = 2 + 2t
1
−1
−3
z = 3

Giải:

u ur
uu

uu
ur
d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) ; d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u( d ') = (−1;2; 0)
uuu
u ur
uu uu
ur ur
MM ' = (0;3; −9); u( d ) , u( d ')  = (6;3;1)


(d ) & (d ') cắt nhau
uu uu uuu
ur ur u ur
u , u  .MM ' = 0
 ( d ) (d ') 
uu
ur
u
uu
ur
uu uu
ur ur
 (d )
 u , u  = (6;3;1)
ur
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  ( d ) ( d ') 
u( d ')



( P ) : 6( x − 1) + 3( y − 2) + (z − 3) = 0
⇔ ( P ) : 6 x + 3y + z − 15 = 0

Dạng 9: Viết ptmp (P)chứa hai đường thẳng(d)và (d’) song song nhau.

+ M1 ∈ (d) , VTCP

r
r
; , M 2 ∈ (d ') VTCP u d’.
ud

u u ur
uuu
M M
uu
ur
u u ur u u
u u u ur
 1 2
M M ,u 
ur
u u ⇒ VTPT n( P ) =
ur
+ Cặp VTCP mặt phẳng (α)  u u
 1 2 (d ) 
ë
u( d ) (hoac u( d ') )


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường

x = 1 + t

x − 1 y + 1 z − 12
=
=
thẳng song song với nhau (d):
và (d’):  y = 2 − t
1
−1
−3
z = 3 − 3t

Giải:

u ur
uu
d ∋ M (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3)
uu
ur
d ' ∋ M '(1;2;3)VTCP u( d ') = (1; −1; −3)
uuu
u ur
uuu uu
u ur ur
r
 MM ', u  = (−18; −9; −3) ≠ 0
MM ' = (0;3; −9);

(d ) 


⇒ (d ) P(d ')

Cặp VTCP mặt phẳng (P)

u u ur
uuu
 M M = (0;3; −9)
uu
ur
u u ur u u
u u u ur
 1 2
ur
⇒ VTPT n( P ) =  M1M 2 , u( d )  = (−18; −9; −3)
u u


u( d ) = (1; −1; −3)


( P ) : −18( x − 1) − 9( y − 2) − 3( z − 3) = 0
⇔ ( P ) : 6 x + 3y + z − 15 = 0

Dạng 10: Viếtu
u r u u là trung trực của AB.
u ptmp (P)
ur

VTPT n( P ) = AB
+
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 7 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

+ Tìm tọa độ trung điểm M0 của đoạn AB
Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của
đoạn AB biết A(1;1; −1); B(5;2;1).
Giải:

uu uu
ur ur
3
VTPT n( P ) = AB = (4;1;2) Trung điểm M0 của đoạn AB: M 0 (3; ; 0)
2
3
27
(P) : 4(x − 3) + (y − ) + 2(z − 0) = 0 ⇔ (P) : 4x + y + 2z −
=0
2
2

Dạng 11: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A

+ (d) ∋ M 0 , VTCP

r
ud

u uu
uu
r
M A
uu
ur u uu u u
u u ur
r
u u
u0 ⇒ VTPT n( P ) =  M 0 A, u( d ) 
r
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P) 


u( d )

Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường
x − 1 y + 1 z − 12
thẳng (d):
=
=
và đi qua điểm A(1;1; −1)
1

−1
−3
Giải:
u ur
uu
u uu
uu
r
d ∋ M 0 (1; −1;12)VTCP u( d ) = (1; −1; −3) ; M 0 A = (0;2; −13)

Cặp VTCP mặt phẳng (P)

u uu
uu
r
 M A = (0;2; −13)
uu
ur
u uu u u
u u ur
r
 0
ur
⇒ VTPT n( P ) =  M 0 A, u( d )  = (−19; −13; −2)
u u


u( d ) = (1; −1; −3)


( P ) : −19( x − 1) − 13( y − 1) − 2(z + 1) = 0
⇔ ( P ) :19 x + 13y + 2z − 30 = 0

Dạng 12: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( ∆ )

+ Tìm điểm M0∈ (d)

uu
ur
u
uu
ur u u u u
ur ur
 (d )
u , u 
ur
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) =  ( d ) ( ∆ ) 
u( ∆ )


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)

Ví dụ:

Trong khơng gian oxyz cho hai đường thẳng (d):

x y z
= = ; (∆ )
1 1 2

x + 1 y z −1
= =
Viết phương trình mp (P) chứa (d) và song song với (∆)
−2
1
1
Giải:

uu
ur
u = (1;1;2)
uu
ur
uu uu
ur ur
 (d )
⇒ VTPT n( P ) = u( d ) , u( ∆ )  = (−1; −5;3)
ur
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u


u( ∆ ) = (−2;1;1)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 8 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

uu
ur
(d) ∋ M 0 = (0; 0; 0) Mặt phẳng (P) đi qua M0 và có VTPT n( P ) = (−1; −5;3)

⇒ (P) : −1(x − 0) − 5(y − 0) + 3(z − 0) = 0 ⇔ (P) : x + y − 3z = 0
Dạng 13: Viết Pt mp(P) chứa (d) và ⊥ (Q)

+ Tìm điểm M0∈ (d)

uu
ur
u
uu
ur
uu uu
ur ur
 (d )
u , n 
ur
+ Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u ⇒ VTPT n( P ) = ( d ) (Q )


n(Q )


Áp dụng một trong hai cách trên viết phương trình mp (P)
Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho đường thẳng (d):

x −1 y z + 2
= =
và mặt
2
1
−3

phẳng (Q) : 2x + y + z − 1 = 0 . Viết phương trình mp (P) chứa (d) và vng góc với
mp (Q)
Giải:
uu
ur
(d) ∋ M(1; 0; −2) VTCP u (d) = (2;1; −3)
uu
ur
u = (2;1; −3)
uu
ur u u u u
ur ur
 (d )
u , n  = (4; −8; 0)
⇒ VTPT n( P ) = ( d ) (Q )
ur
Cặp VTCP mặt phẳng (P)  u u


n(Q ) = (2;1;1)


(P) : 4(x − 1) − 8(y − 0) + 0(z + 2) = 0

⇔ (P) : 2x − 4y − 2 = 0
Dạng 14: Viết PT mp (P) // với (Q): Ax + By +Cz + D=0 và d(A;(P))=h

A(x A ; y A ; zA ) cho trước
+ Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D’=0 (trong đó D’ ≠ D)
+ Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D’ . Kết luận pt mặt phẳng (P)
Ví dụ: Trong khơng gian oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và điểm
A(3; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) //mp (Q) và d(A;(P))=2
Giải:
Vì (P) // (Q) nên pt mp (P): x - 2y + 2z + D = 0 ( D ≠ - 3)
d(A;(P))=2 ⇔

3+ D
3

 D = −9(n)
= 2 ⇔ 3+D = 6 ⇔ 
 D = 3(n)

Vậy (P1 ) : x − 2y + 2z − 9 = 0;(P2 ) : x − 2y + 2z + 3 = 0
Dạng 15: Viết PT mp (P) chứa (d) và d(A,( P))=h; A( x A ; y A ; z A )

r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
r
+ (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d

uu uu
ur
ur

+ Vì (d) nằm trong (P) ⇒ n (P) ⊥ u(d)

r
⇔
u

d.

r
n ( P ) = 0 (1)

+ PT mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 9 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

+ d(A,( P)) = h (2)
+ Giải (1); (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ, ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d):

x −1 y z + 2
= =
và điểm
2

1
−3

A(3;1;1). Viết pt mp (P) chứa (d) và d (A,( P))= 2 3 .
Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
uu
ur
(d) ∋ M 0 (1; 0; −2) VTCP u (d) = (2;1; −3)
uu uu
ur
ur
Vì d ⊂ (P)d. ⇒ n (P) ⊥ u(d) ⇔ 2A + B − 3C = 0 ⇒ B = 3C − 2A 1

( )

()

(P): A(x − 1) + B(y − 0) + C(z + 2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz − A + 2C = 0
d(A,( P))= 2 3
⇔

2A + B + 3C
2

2

A +B +C

2

= 2 3 ⇔ 2A + B + 3C = 2 3 A 2 + B2 + C2 (2)

(1)Λ(2) ⇒ 6 C = 2 3 5A 2 − 12AC + 10C2


A = C
2
2
⇔ 5A − 12AC + 7C = 0 ⇔ 
A = 7 C

5

*A = C choïn A=C=1 ⇒ B=1 ⇒ (P):x+y+z+1=0
7
*A = C choïn C=5;A=7 ⇒ B = 1 ⇒ (P):x+y+z+3=0
5
Dạng 16: Viết Pt mp (P) chứa r và hợp với mp (Q) một góc α ≠ 900
(d)

+ Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0

r

+ (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r r
+ Vì d ⊂ (P) ⇒ u d . n ( P ) = 0 (1)
+ cos ((P),(Q))= cos α (2)

+ Giải (1) ; (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết
được pt mp(P).
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (Q): x + 2y +z -3 = 0 và
x +1 y − 2 z + 3
=
=
. Viết phương trình mp (P) chứa (d) và hợp với
1
−1
−1
3
mp (Q) một góc α thỏa cos α = .
6

đường thẳng (d):

Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
uu
ur
(d) ∋ M 0 (−1;2; −3),VTCP u(d) = (1; −1; −1)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 10 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

r
Vì d ⊂ (P) ⇒ u d.
cos

r
n ( P ) = 0 ⇔ A − B − C = 0 ⇒ A = B + C (1)
uu uu
ur u r
3
,n (Q) ) =
⇔
(P)
6

α
( ( P ) , ( Q ) ) = cos  ⇔ cos(n

A + 2B + C
6 A 2 + B2 + C2

=

3
6

⇔ 6 A + 2B + C = 3 A 2 + B2 + C2 (2)
 B = −C
(1)Λ(2) ⇒ 2 4C − 3B = 3 A + B + C ⇔ 8B + 11B + 3C = 0 ⇔ 



 B = −3 C

8

2

2

2

2

2

*B = −C choïn B=1;C=-1 ⇒ A=0 ⇒ (P):(y-2)-(z+3)=0 ⇔ (P):y-z-5=0
−3
C choïn B=3;C=-8 ⇒ A=-5 ⇒ (P):-5(x+1)+3(y-2)-8(z+3)=0
8
⇔ -5x+3y-8z-35=0
Dạng 17: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đth( ∆ )một góc α ≠ 900
r
α ) là n ( P ) = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
+ Gọi VTPT của mp (
*B =

r

+ (d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d

r r
+ Vì d ⊂ (P) ⇒ u d. n ( P ) = 0 (1)
+ sin ((P),( ∆ )) = sin α (2)
+Giải (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được
pt mp(P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (d) và (∆) lần lượt có

x−2
z+5
= y −3=
. Viết phương trình
2
−1
mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (∆) một góc 300

phương trình: (d): x =

y−2
= z và
−1

(∆) :

Giải:
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
uu
ur
uu
ur

∋ M1 (0;2; 0) và VTCP u(d) = (1; −1;1) ; (∆) ∋ M 2 (2;3; −5) và VTCP u = (2;1; −1)
d)
(∆)

r r
Vì d ⊂ (P) ⇒ u d. n ( P ) = 0 ⇔ A − B + C = 0 ⇒ B = A + C (1)
uu uu
ur ur
sin ((P),( ∆)) = sin30 0   cos(n (p); u ( ∆ ) ) = sin 30 0 ⇔
⇔

2A + B − C
6 A 2 + B2 + C2

=

1
2

⇔ 2 2A + B − C =   6 A 2 + B2 + C2  (2)   
A = C
(1)Λ(2) ⇒ 2 3A = 6 A + (A + C) + C ⇔ 2A − AC − C = 0 ⇔ 


 A = −1 C

2

2

2

2

2

2

*A = C choïn A=C=1 ⇒ B=2 ⇒ (P):(x-0)+2(y-2)+(z-0)=0 ⇔ (P):x + 2y + z − 4 = 0
*A =

−1
C choïn C=-2;A=1 ⇒ B=-1 ⇒ (P):(x-0)-(y-2)-2(z-0)=0(P):x − y − 2z + 2 = 0
2
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 11 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

Dạng 18: Cho A (xA; yA; zA) và (d), viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là

lớn nhất
+ Gọi H là hình chiếu ⊥ của A lên (d)
+ Ta có: d (A,(P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc và đường xiên). Do
đó d(A(P)) max ⇔ AK = AH ⇔ K ≡ H u u
ur

+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
 x = −1 − 2t

Ví dụ: Trong không gian oxyz cho đường thẳng (d):  y = t
z = 1+ t

và điểm A(1;2;3).Viết phương trình mp (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn
nhất. hoctoancapba.com
Giải:
Gọi H là hình chiếu ⊥ của A lên (d)
Ta có: d (A, (P)) = AK ≤ AH (tính chất đường vng góc và đường xiên).
Do đó d(A, (P)) max ⇔ AK ur AH ⇔ K ≡ H
u=
u
Mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
uu
ur
H ∈ (d) ⇒ H(−1 − 2t; t;1 + t) ⇒ AH = (−2 − 2t; t − 2; t − 2)
uu uu
ur
ur
Vì H=hc(d) (A) ⇒ AH ⊥ u (d) = ( −2;1;1) ⇔ 6t = 0 ⇔ t = 0
uu uu
ur ur
⇒ H(−1; 0;1) ⇒ VTPT n (p) = AH = (2;2;2)

⇒ (P) : 2(x + 1) + 2(y − 0) + 2(z − 1) = 0 ⇔ (P) : x + y + z = 0
Dạng 19: Viết Pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu

(S)

+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D' = 0 (D’ ≠ D)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P))= R ⇒ tìm được D'
+ Từ đó ta có pt (P) cần tìm
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng: (Q): x - 2y + 2z - 3 = 0 và mặt
cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x - 4y - 2z 19 = 0. Viết pt mp (P) // với (Q): Ax + By + Cz
+ D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Giải:
(S): (x + 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 25 ⇒ I(−1;2;1) BK R=5
Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x - 2y + 2z + D = 0 (D ≠ -3)
D−3
 (P)tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ d I, ( P ) = R ⇔
= 5 ⇔ D − 3 = 15
3
 D = 18 ⇒ P1 : x − 2y + 2z − 12 = 0
⇔
 D = −12 ⇒ P2 : x − 2y + 2z + 18 = 0


(

)

( )
( )

2 Dạng 20: Viết PT mp(P) // (Q): Ax + By + Cz + D=0 và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 12 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz

hoctoancapba.com

+Adct : Chu vi đường trịn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r.
+ d(I,(P)) = R 2 − r 2 (1)
+ Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 ( D' ≠ D)
+ Suy ra d (I,(P)) (2) ⇒ ( 1) Λ ( 2 )  ⇒ D' ⇒ pt (P).


Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz. Cho mặt phẳng (Q): x + y - 2z + 4 = 0 và mặt
cầu
(S): x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 . Viết pt mp(P) // (Q và cắt mặt cầu (S) theo
giao tuyến là đường trịn(C) có bán kính r = 2
Giải:
(S): (x-1)2+(y+2)2+(z+1)2=9 ⇒ Tâm I (1;-2;-1), bán kính R = 3
Vì (P) // (Q) ⇒ (P): x+y-2z+D = 0 (D ≠ 4)

(

d I, ( P )

)

 D = −1 + 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − 1 + 30 = 0
= R − r   1 + D = 30 ⇔ 

⇔
 D = −1 − 30 ⇒ ( P ) : x + y − 2z − 1 − 30 = 0

2

2

Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S) ((d)khơng cắt mặt

cầu)
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
r
+ (d) ∋ M0(x0; y0; z0), VTCP u d
r
n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
+ Gọi VTPT của mp (P) là
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0)u uB(y-y0) + C(z-z0) = 0
u u ur
ur +
+ (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) .n (P) = 0 (1)
+ Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R (2)
+ Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ pt mp (P). hoctoancapba.com+Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2+y2+z2 - 2x + 4y - 6z + 5 = 0
x −1 y z + 2
và ( d ) :
. Viết pt mp (P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
= =
−1 1
4
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z ur 2 = 9 ⇒ tâm I (1;-2;3), bán kính R = 3

3)
u-u
(d) ∋ M 0 (1; 0; −2),VTCP u (d) = ( −1;1;4)
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0

⇒ mp(P) đi qua điểm M0:

(P): A(x -1) + ur u–r0) + C(z +2) = 0 ⇔ Ax + By + Cz -A +2C = 0
uB(y u
u u
⊂ (P) ⇒ u(d) .n(P) = 0 ⇔ − A + B + 4C = 0 ⇒ A = B + 4C (1)
(d)
(P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R ⇔ 5C − 2B = 3 A 2 + B2 + C2 (2)

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 13 -


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

(1)Λ(2) ⇒ 5C − 2B = 3 2B2 + 8BC + 17C2 ⇔ 14B2 + 92BC + 128C2 = 0


 B = −2C
⇔
 B = −32 C


7

*B = −2C choïn B=-2; C=1 ⇒ A=2 ⇒ (P):2x-2y+z=0

*B =

−32
C choïn B=32;C=-7 ⇒ A=4 ⇔ (P): 4x+32y-7z-18=0
7

Dạng 22: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường

trịn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi) cho trước.
+ Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) hoctoancapba.com
+ Adct : Chu vi đường tròn C = 2π r và diện tích S = π r 2 tính r.
r
+(d) ∋ M0(x0;y0;z0), VTCP u d
r
+ Gọi VTPT của mp (P) là n (P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0,
=>pt mp (P) đi qua M0: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
ur r
u
+ Vì d ⊂ (P) ⇒ ud . n ( P )=0 (1)
+ Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
+Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C ⇒ pt mp (P).
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S):
x−3 y z−4
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và ( d ) :
. Viết pt mp (P) chứa

=
=
3
−1
1
(d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường trịn (C) có bán kính r = 6 .
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z u 2 = 9 ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
u +1)
ur
(d) ∋ M 0 (3; 0;4),VTCP u(d) = (3; −1;1)
r
Gọi VTPT của mp (P) là n ( P ) = (A; B; C) với đk là A2 + B2 + C2 ≠ 0
=>pt mp (P) đi qua M0
(P): A(x - 3) +ur u u0) + C(z - 4) = 0 ⇔ Ax + By + Cz –3A – 4C = 0
u B(yur
u (d) ⊂ (P) ⇒ u(d) .n (P) = 0 ⇔ 3A – B + C = 0 ⇒ B = 3A + C (1)
Vì (P) cắt (S) theo đường trịn bán kính r nên d(I,(P)= r
⇔ 2A + 2B + 5C = 6 A 2 + B2 + C2 (2)
(1)Λ(2) ⇒ 8A + 7C = 6 10A 2 + 6AC + 2C2 ⇔ 4A 2 + 76AC + 37C2 = 0




−1
 A = 2 C choïn A=1; C=-2 ⇒ B=1 ⇒ (P):x+y-2z+5=0
⇔
 B = −37 Cchoïn A=37;C=-2 ⇒ B=109 ⇔ (P): 37x+109y-2z-103=0

2



Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 14 -


hoctoancapba.com

Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

Dạng 23: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường

tròn (C) có bán kính nhỏ nhất ((d) cắt mặt cầu) .
+Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
+ Bán kính r = R 2 − d 2 (I,(P))
+Để r min ⇒ d(I,(P)) max
+ Gọi H là hình chiếu ⊥ của I lên (d) ; K là hình chiếu ⊥ của I lên (P)
+Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
+Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AK ur AH ⇔ K ≡ H
=
u
+ Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT ⇒ pt mp(P).
Ví
dụ:
Trong
khơng
gian
Oxyz,
cho

mặt
cầu
(S):
x −1 y +1 z
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y + 2 z − 3 = 0 và ( d ) :
=
= . Viết pt mp (P) chứa (d)
2
−1 1
và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r nhỏ nhất
Giải:
(S): (x - 1)2 + (y + 2)2 + (z +1)2 = 9 ⇒ tâm I(1;-2;-1), bán kính R = 3
uu
ur
u ur
uu
u ur u u
u u ur
IM , u  = (2;2; −2)
(d) ∋ M 0 (1; −1;0),VTCP u (d) = (2; −1;1); IM 0 = (0;1;1);
 0 (d) 
u ur u u
u u ur
 IM , u 
 0 (d) 
d(I,(d)) =
= 2 < R ⇒ (d) cắt mặt cầu
uu
ur
u(d)

Bán kính r = R 2 − d 2 (I,(P)) = 9 − d 2 (I, (P)) hoctoancapba.com
Để r min ⇒ d(I,(P)) max
Gọi H là hình chiếu ⊥ của I lên (d) ; K là hình chiếu ⊥ của I lên (P)
Ta có: d(I,(P))= IK ≤ IH ( tính chất đường vng góc và đường xiên)
Do đó: d(I,(P)) max ⇔ AKu= AH ⇔ K ≡ H
u
r
Mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT
Gọi (Q) làrmặt phẳng đi qua điểm I và vng góc vơi (d)
⇒ VTPT n ( Q ) =(2;-1;1)
⇒ (Q) 2x –y +z – 3=0; H là hình chiếu ⊥ của I lên (d); tọa độ điểm H lả
x = 1
 x −1 y +1 z
=
=


⇔  y = −1 ⇒ H(1; −1;0)
−1 1
nghiệm của hệ phương trình:  2
2x – y + z – 3 = 0
z = 0


r
ur
u
⇒ VTPT n ( P ) = IH =(0;1;1)

(P): (y + 1) + (z – 0) = 0 ⇔ y + z + 1 = 0

C. KẾT QUẢ KIỂM TRA SAU KHI THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:
Lớp

Điểm TB
Sĩ số (5 đến 6,4)

12A10 35

SL
2

%
13,2
Người thực hiện:

Điểm khá
(6,5 đến 7,9)

Điểm giỏi
Đạt yêu cầu
(từ 8 trở lên)

SL
4

SL
29

%

10,5

%
76,3

Nguyễn Bá Tường - Trang 15 -

SL
35

%
100,0


Rèn luyện kỹ năng viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz

hoctoancapba.com

D. KẾT LUẬN:
Các bài tập về Viết phương trình mặt phẳng trong khơng gian Oxyz, thường
học sinh khơng biết bắt đầu từ giả thiết như thế nào?, nhưng khi giảng dạy xong đề
tài học sinh sẽ thấy rằng việc tìm lời giải các bài tốn viết phương trình mặt
phẳng, có thể giải được rất nhiều bài tốn về viết phương trình mặt phẳng. Đồng
thời đứng trước bài tốn khó cho dù ở dạng viết phương trình mặt phẳng học sinh
cũng có hướng suy nghĩ và tập tính tốn, các em sẽ có tự tin hơn khi giải các bài
tốn về viết phương trình mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng là một chủ đề
khơng khó, để giúp học sinh phát triển tư duy sáng tạo đề tài còn có thể tiếp tục
phát triển sang việc tìm lời giải các bài tốn viết phương trình mặt phẳng nhờ
những dạng toán cơ bản trên. hoctoancapba.com
E.TÀI LIỆU THAM KHẢO:

1. Sách giáo khoa lớp 12 THPT
hoctoancapba.com
2. Phương pháp giải tốn hình học giải tích trong khơng gian Trần Đức Hun.
3. Hướng dẫn giải tốn hình học giải tích Nhóm giáo viên trung học phổ thông

Người thực hiện:

Nguyễn Bá Tường - Trang 16 -