CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ potx

CHƯƠNG 2
HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ
2.1 Hàm số phức
2.2 Ánh xạ của hàm số phức
2.3 Ánh xạ tuyến tính
2.4 Hàm lũy thừa đặt biệt
2.4.1 Hàm lũy thừa z
n
2.4.2 Hàm lũy thừa z
1/n

Một hàm số f từ tập A đến tập B là qui luật
tương quan ngẫu nhiên từ mỗi phần tử trong
A đến một và chỉ một phần tử trong B.
2.1 Hàm số phức:
Một hàm số phức f là một hàm số có miền xác
định ( D(f) ) và miền giá trị ( R(f) ) là tập con
của tập số phức C

VD :
f(z) = -z
3
+ 2.z + z
a) z = i b) z = 2 – i c) z = 1+2i
Giải:
a) f(i) = -(i)
3
+ 2.(i) + i = 4i
b) f(2 - i) = -(2 - i)
3

+ 2.(2 - i) + 2 - i
= -(8 – 12i + 6i
2
- i3) + 4 – 2i + 2 – i
= 4 + 8i
c) f(1 + 2i) = -(1 + 2i)
3
+ 2.(1 + 2i) + 1 + 2i
= -(1 + 6i + 12i
2
+ 8i
3
) + 2 + 4i +1 +2i
= 14 + 8i

•
Phần thực và phần ảo của hàm số
phức
Ta có w = f(z) mà z = x + iy
đặt w = u + iv
Giả sử w = z
2
=> w = ( x + iy)
2
= x
2
- y
2
+ 2xyi
=> f(z) = u(x,y) + v(x,y)i

u(x,y) gọi là phần thực.
v(x,y) gọi là phần ảo.

•
VD:
f(z) = 6z – 5 + 9i
với z = x + iy
⇒
f(z) = 6.(x + iy) - 5 + 9i
= 6x – 5 + (6y + 9)i
=> u(x,y) = 6x – 5
v(x,y) = 6y + 9

•
Hàm số mũ số phức e
z
Hàm số e
z
được định nghĩa như sau :
e
z

= e
x
cosy + ie
x
siny
thì được gọi là hàm số mũ số phức và
u(x,y) = e
x

cosy - phần thực
v(x,y) = e
x
siny - phần ảo

Một số tính chất:
e
0
= 1
e e = e
= e
(e
z
)
n
= e
nz
với n = 0, ±1,± 2,…
2
1
z
z
e
e
1
z
2
z
21
zz

+
21
zz
−

VD:
a) z = 3 + i
=> x = 3, y =
e
3 + i
= e
3
cos ( ) + ie
3
sin ( )
= -e
3
+ ie
3
3
π
3
π
3
π
3
π
2
1
2

3
3
π

Toạ độ cực:
z = x + iy biểu diễn ở dạng Đề Các :
z = r(cosθ + isin θ) = re
iθ
Nếu w = f(z), ta thay z = r(cosθ + isin θ) lúc
này hàm số được viết dưới dạng toạ độ
cực như sau:
w = f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ)
u(r, θ) và v(r, θ) vẫn được gọi là phần thực
và phần ảo của w.


VD:
f(z) = r
2
.cos + i.3.sin(2.θ) với z = i
Ta có:
i = cos + i.sin
r = 1 , θ =
f(i) = cos + 3.sin .i
=
2
θ
4
π
π

⇒
2
π
π
2
π
2
2

2.2 Ánh xạ của hàm số phức:
Công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu hàm thực
trong đại số sơ cấp là đồ thị của hàm. Đồ thị của
hàm y = f(x) là tập tất cả các điểm (x,f(x)) trong
hệ toạ độ Đề Các 2 chiều.
Một định nghĩa tương tự cho hàm số phức. Tuy
nhiên nếu w= f(z) là hàm phức, cả z và w đều
nằm trên mặt phẳng phức, nó gồm tất cả các
điểm (z,f(z)) nằm trên không gian 4 chiều (2
chiều từ đầu z vào 2 chiều từ đầu ra của w).

Dĩ nhiên tập con của không gian 4 chiều không thể
dễ dàng minh hoạ.Vì vậy:
Chúng ta không thể vẽ đồ thị của hàm phức

Nếu w = f(z) là ánh xạ phức và nếu S là
tập các điểm trong mặt phẳng z, chúng ta
gọi tập các ảnh ảo S qua f là ảnh của S, kí
hiệu S’.

Nếu tập S có tính chất cộng thì S là miền xác
định, kí hiệu là D, D’.
Sự biểu diễn giống như hình 2.1 mang ý nghĩa
truyền thông tin về mối liên hệ tổng quát giữ
điểm tuỳ ý z và ảnh của nó w = f(z).
VD:Ảnh của nữa mặt phẳng dưới w = iz.
Tìm ảnh của nửa mặt phẳng Re ≥ 2 dưới ánh
xạ phức w = iz và biểu diễn hình học ánh xạ.


Giải: Đặt S là nửa mp chứa tất cả những
điểm phức z với Re 2.
Tất cả những điểm z trên
đường x = 2 có pt z = 2 + iy
trong vùng (-∞ < y < ∞).
Giá trị của f(z) = iz tại các
điểm trên đường thẳng là
w = f(2 + iy) = -y + 2i.
Vì tập các điểm w = -y +2i là
đường v = 2 trong mp w.


Ta kết luận đường x = 2 trong mp z được
ánh xạ lên đường v = 2 trong mp w bởi
ánh xạ w = iz.

Ở hình 2.2 a) tập S có thể được miêu tả bởi 2
bất đẳng thức đồng thời:
x ≥ 2 và -∞ < y < ∞ (1)
Để biểu diễn ảnh của S, chúng ta biểu diểu

ánh xạ w = iz trong phần thực và ảo u, v của
nó.Ta thay z = x +iy vào w = iz
w = i(x + iy) = -y + ix
u(x,y) = -y và v(x,y) = x (2)
Từ (1),(2) : v ≥ 2 và -∞ < u < ∞
Đó chính là tập S’ ảnh của S qua w = iz bao
gồm tất cả các điểm w = u + iv trong mp thõa
2 bất đẳng thức đồng thời:
v ≥ 2 và -∞ < u < ∞
⇒

VD 2: Ảnh của đường thẳng w = z
2
Tìm ảnh của đường thẳng đứng x = 1 dưới ánh
xạ phức w = z
2
và biểu diễn hình học ánh xạ.
Giải:
Đặt C là tập các điểm thuộc đường thẳng x = 1
hay tập các điểm z = 1 + iy với -∞ < y < ∞.
Như ở VD 1 phần thực và phần ảo của w = z
2
là
u(x,y) = x
2
– y
2
và v(x,y) = 2xy .
Vì z = 1 + iy ⇒ u(1,y) = 1 – y2 ,v(1,y) = 2y
⇒ S’ là tập các điểm thuộc w = u + iv thoã 2 pt

đồng thời:

⇒ u = 1 -



∞<<−∞=
−=
)(2
1
2
yyv
yu
4
2
v

y có thể lấy giá trị thực từ v
nên v nhận giá trị thực C’
(ảnh của C) là đường
parabol trong mp w với đỉnh
(1,0), cắt u tại (0,±2).Trên
hình đường x = 1 được ánh
xạ thành đường parabol
u = 1 - qua ánh xạ phức
w = z
2
4
2
v

Đường cong tham số trong mp phức:
•
Định nghĩa:
Nếu x(t) và y(t) là những hàm thực của
biến thực t ,khi đó tập C gồm tất cả các
điểm z(t) = x(t) + iy(t), a ≤ t ≤ b đgl
đường cong tham số hoặc đường cong
tham số phức.Hàm trị phức của biến
thực t, z(t) = x(t) + y(t) đgl hàm tham số
của C
•
Những đường cong tham số chính
trong mp phức :



Đường thẳng:
Hàm tham số của đường thẳng qua điểm z
0
và z
1
là:
z(t) = z
0
(1 – t) + z
1
t -∞ ≤ t ≤ ∞

Đoạn thẳng:

z(t) = z
0
(1 – t) + z
1
t 0 ≤ t ≤ 1

Tia:
z(t) = z
0
(1 – t) + z
1
t 0 ≤ t ≤ ∞

Đường tròn:
z(t) = z
0
+ r(cost + isint) 0 ≤ t ≤ 2π

Tính gần đúng:
z(t) = z
0
+ re
it
0 ≤ t ≤ 2π

Ảnh của đường cong tham số dưới ánh xạ
phức:
Nếu w = f(z) là ánh xạ phức và nếu C là
đường cong có tham số z(t), a ≤ t ≤ b thì
w = f(t) = f(z(t)) a ≤ t ≤ b

là hàm tham số hoá của ảnh C’ của C qua w = f(z)

VD: Ảnh của 1 đường cong tham số
Tìm ảnh của đọan thẳng đi từ 1 đến i dưới
ánh xạ phức w = iz.
Giải:
Đặt C là đọan thẳng đi từ 1 đến i và C’ là ảnh
của C theo f(z) = iz.
Ta có: z
0
= 1 ,z
1
= i
Theo công thức ⇒ z(t) = 1 – t +it 0 ≤ t ≤ 1
w(t) = f(z(t)) = i(1 – t +it) = -i(1 – t) – t,0 ≤ t ≤ 1
⇒ z
0
= -i, z
1
= -1 theo w(t)

Ảnh C’ là đọan thẳng đi từ -i đến -1

2.3 Ánh xạ tuyến tính:
Một hàm số thực có dạng f(x) = ax+b với
a,b là hằng số thực ,ta gọi là hàm số tuyến
tính.
Tương tự ta có một hàm số phức tuyến tính
là hàm số có dạng f(z) = az + b với a,b là
hằng số phức.

Một ánh xạ tuyến tính phức có thể được
tạo thành bằng tổ hợp 3 cách: phép dời
trục tọa độ, phép quay, tỷ số giãn.


Phép dời trục tọa độ:
Một hàm số phức tuyến tính:
T(z) = z + b b ≠ 0 (1)
được gọi là dời trục tọa độ.
Nếu z = x+iy và b = x
0
+ iy
0
, khi đó:
T(z) = (x + iy) + (x
0
+ iy
0
) = x + x
0
+ i(y + y
0
)
Như vậy, ảnh của điểm (x,y) theo T là điểm
(x + x
0
,y + y
0
),ta có hình 2.8