CHƯƠNG 2 HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ pdf

CHƯƠNG 2
HÀM SỐ PHỨC VÀ ÁNH XẠ
2.1 Hàm số phức
2.2 Ánh xạ của hàm số phức
2.3 Ánh xạ tuyến tính
2.4 Hàm lũy thừa đặt biệt
2.4.1 Hàm lũy thừa z
n
2.4.2 Hàm lũy thừa z
1/n

Μ τ η◊µ σ φ τ τ π Α ν τ π Β λ◊ θυι λυ τ τ νγ θυαν νγ υ νηιν τ µ ι ộ ố ừ ậ đế ậ ậ ươ ẫ ừ ỗ
πη ν τ τρονγ Α ν µ τ ϖ◊ χη µ τ πη ν τ τρονγ Β.ầ ử đế ộ ỉ ộ ầ ử
2.1 Η◊µ σ πη χ:ố ứ
Μ τ η◊µ σ πη χ φ λ◊ µ τ η◊µ σ χ⌠ µι ν ξ〈χ νη ( ∆(φ) ) ϖ◊ µι ν γι〈 τρ ộ ố ứ ộ ố ề đị ề ị
( Ρ(φ) ) λ◊ τ π χον χ α τ π σ πη χ Χậ ủ ậ ố ứ

ς∆ :
φ(ζ) = −ζ3 + 2.ζ + ζ
α)
ζ = ι β) ζ = 2 ι– χ) ζ = 1+2ι
Γι ιả :
α)
φ(ι) = −(ι)3 + 2.(ι) + ι = 4ι
β)
φ(2 − ι) = −(2 − ι)3 + 2.(2 − ι) + 2 − ι
= −(8 12ι + 6ι– 2 − ι3) + 4 2ι + 2 ι– –
= 4 + 8ι
χ) φ(1 + 2ι) = −(1 + 2ι)3 + 2.(1 + 2ι) + 1 + 2ι
= −(1 + 6ι + 12ι2 + 8ι3) + 2 + 4ι +1 +2ι

= 14 + 8ι

•
Πη ν τη χ ϖ◊ πη ν ο χ α η◊µ σ πη χầ ự ầ ả ủ ố ứ
Τα χ⌠ ω = φ(ζ) µ◊ ζ = ξ + ιψ
τ ω = υ + ιϖđặ
Γι σ ω = ζ2
=> ω = ( ξ + ιψ)2 = ξ2 − ψ2 + 2ξψι
=> φ(ζ) = υ(ξ,ψ) + ϖ(ξ,ψ)ι
υ(ξ,ψ) γ ι λ◊ πη ν τη χ.ọ ầ ự
ϖ(ξ,ψ) γ ι λ◊ πη ν  ο.

•
ς∆:
φ(ζ) = 6ζ 5 + 9ι–
ϖ ι ζ = ξ + ιψớ
⇒
φ(ζ) = 6.(ξ + ιψ) − 5 + 9ι
= 6ξ 5 + (6ψ + 9)ι–
=> υ(ξ,ψ) = 6ξ 5–
ϖ(ξ,ψ) = 6ψ + 9

•
Η◊µ σ µ σ πη χ εố ũ ố ứ ζ
Η◊µ σ εζ χ νη νγη α νη σαυ :đượ đị ĩ ư
εζ

= εξχοσψ + ιεξσινψ
τη    χ γ ι λ◊ η◊µ σ µ σ πη χ ϖ◊
υ(ξ,ψ) = εξχοσψ − πη ν τη χ

ϖ(ξ,ψ) = εξσινψ − πη ν  ο

Μ τ σ τνη χη τ:ộ ố ấ
ε0 = 1
ε ε = ε
= ε
(εζ )ν = ενζ ϖ ι ν = 0,
±
1,
±
2,…
2
1
z
z
e
e
1
z
2
z
21
zz +
21
zz −

ς∆:
α) ζ = 3 + ι
=> ξ = 3, ψ =
ε3 + ι = ε3χοσ (

)
+ ιε3 σιν (
)
= −ε3 + ιε3
3
π
3
π
3
π
3
π
2
1
2
3
3
π

Το χ χ:ạ độ ự
ζ = ξ + ιψ βι υ δι ν δ νγ Χ〈χ : ể ễ ở ạ Đề
ζ = ρ(χοσθ + ισιν θ) = ρειθ
Ν υ ω = φ(ζ), τα τηαψ ế ζ = ρ(χοσθ + ισιν θ) λχ ν◊ψ η◊µ σ χ ϖι τ δ ι ố đượ ế ướ
δ νγ το   χ χ νη σαυ:
ω = φ(ζ) = υ(ρ, θ) + ιϖ(ρ, θ)
υ(ρ, θ) ϖ◊ ϖ(ρ, θ) ϖ ν χ γ ι λ◊ πη ν τη χ ϖ◊ πη ν ο χ α ω.ẫ đượ ọ ầ ự ầ ả ủ


ς∆:
φ(ζ) = ρ2.χοσ + ι.3.σιν(2.θ) ϖ ι ζ = ι

Τα χ⌠:
ι = χοσ + ι.σιν
r = 1 ,
θ =
f(i) = cos + 3.sin .i
=
2
θ
4
π
π
⇒
2
π
π
2
π
2
2

2.2 ℑνη ξ χ α η◊µ σ πη χ:ạ ủ ố ứ
Χνγ χ η υ χη τρονγ ϖι χ νγηιν χ υ η◊µ τη χ τρονγ ι σ σ χ π ụ ữ ệ ứ ự đạ ố ơ ấ
λ◊ τη χ α η◊µ. τη χ α η◊µ ψ = φ(ξ) λ◊ τ π τ τ χ χ〈χ ι µ đồ ị ủ Đồ ị ủ ậ ấ ả đ ể
(ξ,φ(ξ)) τρονγ η το     Χ〈χ 2 χηι υ.
Μ τ νη νγη α τ νγ τ χηο η◊µ σ πη χ. Τυψ νηιν ν υ ω= φ(ζ) λ◊ η◊µ ộ đị ĩ ươ ự ố ứ ế
πη χ, χ ζ ϖ◊ ω υ ν µ τρν µ τ πη νγ πη χ, ν⌠ γ µ τ τ χ χ〈χ ι µ ứ ả đề ằ ặ ẳ ứ ồ ấ ả đ ể
(ζ,φ(ζ)) ν µ τρν κηνγ γιαν 4 χηι υ (2 χηι υ τ υ ζ ϖ◊ο 2 χηι υ τ ằ ề ề ừ đầ ề ừ
  υ ρα χ α ω).

∆ νηιν τ π χον χ α κηνγ γιαν 4 χηι υ κηνγ τη δ δ◊νγ µινη ηο .ς

ϖ ψ:
Χηνγ τα κηνγ τη ϖ τη χ α η◊µ πη χể ẽ đồ ị ủ ứ

Ν υ ω = φ(ζ) λ◊ 〈νη ξ πη χ ϖ◊ ν υ Σ λ◊ τ π χ〈χ  ι µ τρονγ µ τ πη νγ ζ,
χηνγ τα γ ι τ π χ〈χ νη ο Σ θυα φ λ◊ νη χ α Σ, κ ηι υ Σ .’ọ ậ ả ả ả ủ ệ


Ν υ τ π Σ χ⌠ τνη χη τ χ νγ τη Σ λ◊ µι ν ξ〈χ   νη, κ ηι υ λ◊ ∆, ∆ .’
Σ βι υ δι ν γι νγ νη ηνη 2.1 µανγ  νγη α τρυψ ν τηνγ τιν ϖ µ ι
λιν η τ νγ θυ〈τ γι ι µ τυ  ζ ϖ◊ νη χ α ν⌠ ω = φ(ζ).ệ ổ ữ đ ể ỳ ả ủ
ς∆: νη χ α ν α µ τ πη νγ δ ι ω = ιζ.Ả ủ ữ ặ ẳ ướ
Τµ νη χ α ν α µ τ πη νγ Ρε ả ủ ử ặ ẳ ≥ 2 δ  ι 〈νη ξ πη χ ω = ιζ ϖ◊ βι υ
δι ν ηνη η χ 〈νη ξ .


Γι ι:   τ Σ λ◊ ν α µπ χη α τ τ χ νη νγ  ι µ πη χ ζ ϖ ι Ρε 2.
Τ τ χ νη νγ  ι µ ζ τρν
νγ ξ = 2 χ⌠ πτ ζ = 2 + ιψđườ
τρονγ ϖνγ (−∞ < ψ < ∞).
Γι〈 τρ χ α φ(ζ) = ιζ τ ι χ〈χ
 ι µ τρν    νγ τη νγ λ◊ ω = φ(2 + ιψ) =
−ψ + 2ι.
ς τ π χ〈χ  ι µ ω = −ψ +2ι λ◊
   νγ ϖ = 2 τρονγ µπ ω.


Τα κ τ λυ ν    νγ ξ = 2 τρονγ µπ ζ    χ 〈νη ξ λν    νγ ϖ = 2 τρονγ µπ
ω β ι 〈νη ξ ω = ιζ.

ηνη 2.2 α) τ π Σ χ⌠ τη χ µιυ τ β ι 2 β τ νγ τη χ νγ Ở ậ ể đượ ả ở ấ đẳ ứ đồ

τη ι:
ξ ≥ 2 ϖ◊ −∞ < ψ < ∞ (1)
  βι υ δι ν  νη χ α Σ, χηνγ τα βι υ δι υ 〈νη ξ ω = ιζ τρονγ πη ν
τη χ ϖ◊  ο υ, ϖ χ α ν⌠.Τα τηαψ ζ = ξ +ιψ ϖ◊ο ω = ιζ
ω = ι(ξ + ιψ) = −ψ + ιξ
υ(ξ,ψ) = −ψ ϖ◊ ϖ(ξ,ψ) = ξ (2)
Τ (1),(2) : ϖ ≥ 2 ϖ◊ −∞ < υ < ∞
 ⌠ χηνη λ◊ τ π Σ  νη χ α Σ θυα ω = ιζ βαο γ µ τ τ χ χ〈χ  ι µ ω = ’
υ + ιϖ τρονγ µπ τη⌡α 2 β τ   νγ τη χ   νγ τη ι:
ϖ ≥ 2 ϖ◊ −∞ < υ < ∞
⇒

ς∆ 2:  νη χ α    νγ τη νγ ω = ζ2
Τµ  νη χ α    νγ τη νγ   νγ ξ = 1 δ  ι 〈νη ξ πη χ ω = ζ2 ϖ◊ βι υ
δι ν ηνη η χ 〈νη ξ .
Γι ι:
  τ Χ λ◊ τ π χ〈χ  ι µ τηυ χ    νγ τη νγ ξ = 1 ηαψ τ π χ〈χ  ι µ ζ = 1
+ ιψ ϖ ι −∞ < ψ < ∞.
Νη  ς∆ 1 πη ν τη χ ϖ◊ πη ν  ο χ α ω = ζ2 λ◊ υ(ξ,ψ) = ξ2 ψ– 2 ϖ◊
ϖ(ξ,ψ) = 2ξψ .
ς ζ = 1 + ιψ ⇒ υ(1,ψ) = 1 ψ2 ,ϖ(1,ψ) = 2ψ–
⇒ Σ λ◊ τ π χ〈χ  ι µ τηυ χ ω = υ + ιϖ τηο 2 πτ   νγ τη ι: ’

⇒ υ = 1 −



∞<<−∞=
−=
)(2

1
2
yyv
yu
4
2
v

ψ χ⌠ τη λ ψ γι〈 τρ τη χ τ ϖ
νν ϖ νη ν γι〈 τρ τη χ Χ ’
( νη χ α Χ) λ◊    νγ παραβολ
τρονγ µπ ω ϖ ι νη ớ đỉ
(1,0), χ τ υ τ ι (0,ắ ạ ±2).Τρν
ηνη    νγ ξ = 1    χ 〈νη
ξ τη◊νη    νγ παραβολ
υ = 1 − θυα 〈νη ξ πη χ
ω = ζ2
4
2
v

νγ χονγ τηαµ σ τρονγ µπ πη χ:Đườ ố ứ
•
νη νγη α:Đị ĩ
Ν υ ξ(τ) ϖ◊ ψ(τ) λ◊ νη νγ η◊µ τη χ χ α βι ν τη χ τ ,κηι ⌠ τ π Χ ế ữ ự ủ ế ự đ ậ
γ µ τ τ χ χ〈χ ι µ ζ(τ) = ξ(τ) + ιψ(τ), α ồ ấ ả đ ể ≤ τ ≤ β  γλ    νγ χονγ
τηαµ σ ηο χ νγ χονγ τηαµ σ πη χ.Η◊µ τρ πη χ χ α βι ν ố ặ đườ ố ứ ị ứ ủ ế
τη χ τ, ζ(τ) = ξ(τ) + ψ(τ)  γλ η◊µ τηαµ σ χ α Χ
•
Νη νγ    νγ χονγ τηαµ σ χηνη τρονγ µπ πη χ :


Đường thẳng:
Η◊µ τηαµ σ χ α νγ τη νγ θυα ι µ ζố ủ đườ ẳ đ ể
0
ϖ◊ ζ
1
λ◊:
ζ(τ) = ζ
0
(1 τ) + ζ–
1
τ −∞ ≤ τ ≤ ∞

Đoạn thẳng:
ζ(τ) = ζ
0
(1 τ) + ζ–
1
τ 0 ≤ τ ≤ 1

Tia:
ζ(τ) = ζ
0
(1 τ) + ζ–
1
τ 0 ≤ τ ≤ ∞

Đường tròn:

ζ(τ) = ζ
0
+ ρ(χοστ + ισιντ) 0 ≤ τ ≤ 2π

Tính gần đúng:
ζ(τ) = ζ
0
+ ρειτ 0 ≤ τ ≤ 2π

νη χ α νγ χονγ τηαµ σ δ ι 〈νη ξ πη χ:Ả ủ đườ ố ướ ạ ứ
Ν υ ω = φ(ζ) λ◊ 〈νη ξ πη χ ϖ◊ ν υ Χ λ◊    νγ χονγ χ⌠ τηαµ σ ζ(τ), α ≤ τ
≤ β τη
ω = φ(τ) = φ(ζ(τ)) α ≤ τ ≤ β
λ◊ η◊µ τηαµ σ ηο〈 χ α νη Χ χ α Χ θυα ω = φ(ζ)’ố ủ ả ủ

ς∆:  νη χ α 1    νγ χονγ τηαµ σ
Τµ νη χ α αν τη νγ ι τ 1 ν ι δ ι 〈νη ξ πη χ ω = ιζ.ả ủ đọ ẳ đ ừ đế ướ ạ ứ
Γι ι:
  τ Χ λ◊   αν τη νγ  ι τ 1   ν ι ϖ◊ Χ λ◊  νη χ α Χ τηεο φ(ζ) = ιζ.’
Τα χ⌠: ζ
0
= 1 ,ζ
1
= ι
Τηεο χνγ τη χ ⇒ ζ(τ) = 1 τ +ιτ 0– ≤ τ ≤ 1
ω(τ) = φ(ζ(τ)) = ι(1 τ +ιτ) = −ι(1 τ) τ,0 – – – ≤ τ ≤ 1
⇒ ζ
0
= −ι, ζ
1

= −1 τηεο ω(τ)

 νη Χ λ◊   αν τη νγ  ι τ −ι   ν −1’

2.3 ℑνη ξ τυψ ν τνη:
Μ τ ộ η◊µ σ τη χ χ⌠ δ νγ φ(ξ) = αξ+β ϖ ι α,β λ◊ η νγ σ τη χ ,τα γ ι λ◊ ớ ằ ố ự ọ
η◊µ σ τυψ ν τνη.
Τ νγ τ τα χ⌠ µ τ η◊µ σ πη χ τυψ ν τνη λ◊ ươ ự ộ ố ứ ế η◊µ σ χ⌠ δ νγ φ(ζ) = αζ
+ β ϖ ι α,β λ◊ η νγ σ πη χ.
Μ τ 〈νη ξ τυψ ν τνη πη χ χ⌠ τη χ τ ο τη◊νη β νγ τ η π 3 χ〈χη: ộ ạ ế ứ ể đượ ạ ằ ổ ợ
πηπ δ ι τρ χ τ α , πηπ θυαψ, τ σ γιν.ờ ụ ọ độ ỷ ố


Πηπ δ ι τρ χ τ α   :
Μ τ η◊µ σ πη χ τυψ ν τνη:
Τ(ζ) = ζ + β β ≠ 0 (1)
   χ γ ι λ◊ δ ι τρ χ τ α   .
Ν υ ζ = ξ+ιψ ϖ◊ β = ξ
0
+ ιψ
0
, κηι  ⌠:
Τ(ζ) = (ξ + ιψ) + (ξ
0
+ ιψ
0
) = ξ + ξ
0
+ ι(ψ + ψ
0

)
Νη ϖ ψ,  νη χ α  ι µ (ξ,ψ) τηεο Τ λ◊  ι µ
(ξ + ξ
0
,ψ + ψ
0
),τα χ⌠ ηνη 2.8