Lý thuyết toán 12

TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

PHẦN 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Bài tốn 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số:
Cho hàm số y = f ( x )
+) f ' ( x )  0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.
+) f ' ( x )  0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.
Quy tắc:
+) Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm.
+) Lập bảng xét dấu f ' ( x ) .
+)Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Bài tốn 2: Tìm m để hàm số y = f ( x, m ) đơn điệu trên khoảng (a,b)
+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a, b ) thì f / ( x )  0x  ( a, b ) .
+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a, b ) thì f / ( x )  0x  ( a, b )

ax + b
. Có TXĐ là tập D. Điều kiện như sau:
cx + d
+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y '  0x  D
+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y '  0x  D

1) Riêng hàm số: y =

 y '  0 x  ( a, b )

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( a; b ) thì 
d
x  −
c


 y '  0 x  ( a, b )

+) Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( a;b ) thì 
d
x  −
c

3
2
2) Tìm m để hàm số bậc 3 y = ax + bx + cx + d đơn điệu trên R
+) Tính y ' = 3ax 2 + 2bx + c là tam thức bậc 2 có biệt thức  .
a  0
a  0
+) Để hàm số đồng biến trên R  
+) Để hàm số nghịch biến trên R  
  0
  0
BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 1: tìm điểm cực đại – cực tiểu của hàm số
Dấu hiệu 1:
1) Nếu f ' ( x0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định
tại x 0 và nó đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực đại của hàm số.
2) Nếu f ' ( x0 ) = 0 hoặc f ' ( x ) không xác định
tại x 0 và nó đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0
thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số.
*) Quy tắc 1:
+) Tính y '
+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số. (tại đó y ' = 0 hoặc y ' không xác định)
+) Lập bảng xét dấu y ' . dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Trang 1


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
Dấu hiệu 2:

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp 2 tại x 0 .

 f ' ( x0 ) = 0
+) 
 x 0 là điểm cực đại
 f " ( x0 )  0
*) Quy tắc 2:
+) Tính f ' ( x ) , f " ( x ) .

 f ' ( x0 ) = 0
+) 
 x 0 là điểm cực tiểu
 f " ( x0 )  0

+) Giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm.
+) Thay nghiệm vừa tìm vào f " ( x ) và kiểm tra. từ đó suy kết luận.
Bài tốn 2: Cực trị của hàm bậc 3
Cho hàm số: y = ax 3 + bx 2 + cx + d có đạo hàm y ' = 3ax 2 + 2bx + c
1. Để hàm số có cực đại, cực tiểu  y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt    0
2. Để hàm số có khơng cực đại, cực tiểu  y ' = 0 hoặc vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép    0
3. Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu.
+) Cách 1: Tìm tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu A, B. Viết phương trình đường thẳng qua A, B.
+) Cách 2: Lấy y chia y’ ta được: y = ( mx + n ) y '+ ( Ax + B) . Phần dư trong phép chia này là y = Ax + B
chính là phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu.

Bài toán 3: Cực trị của hàm số bậc 4 trùng phương
Cho hàm số: y = ax 4 + bx 2 + c có đạo hàm y ' = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b )
1. Hàm số có đúng 1 cực trị khi ab  0 .
a  0
+) Nếu 
hàm số có 1 cực tiểu và khơng có cực đại.
b  0
a  0
+) nếu 
hàm số có 1 cực đại và khơng có cực tiểu.
b  0
2. hàm số có 3 cực trị khi ab  0 (a và b trái dấu).
a  0
+) nếu 
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu.
b  0
a  0
+) Nếu 
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu.
b  0

BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên D.

M  f ( x ) x  D
+) M là GTLN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: M = max f ( x )
D
x 0  D : f ( x 0 ) = M
m  f ( x ) x  D

+) m là GTNN của hàm số trên D nếu: 
. Kí hiệu: m = min f ( x )
D
x 0  D : f ( x 0 ) = m
+) Nhận xét: Nếu M, m là GTLN và GTNN của hàm số trên D thì pt f ( x ) − m = 0 & f ( x ) − M = 0 có
nghiệm trên D.
2. Quy tắc tìm GTLN – GTNN của hàm số:
*) Quy tắc chung: (Thường dùng cho D là một khoảng)
- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên D.
- Lập BBT cho hàm số trên D.
- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.
Trang 2


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
*) Quy tắc riêng: (Dùng cho  a; b  ) . Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên  a; b  .
- Tính f ' ( x ) , giải phương trình f ' ( x ) = 0 tìm nghiệm trên  a, b  .
- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 , x 2  a, b .

- Tính 4 giá trị f ( a ) ,f ( b ) ,f ( x1 ) ,f ( x 2 ) . So sánh chúng và kết luận.
3. Chú ý:
1. GTLN,GTNN của hàm số là một số hữu hạn.
2. Hàm số liên tục trên đoạn  a, b  thì ln đạt GTLN, NN trên đoạn này.
3. Nếu hàm sồ f ( x ) đồng biến trên  a, b  thì max f ( x ) = f ( b ) , min f ( x ) = f ( a )
4. Nếu hàm sồ f ( x ) nghịch biến trên  a, b  thì max f ( x ) = f ( a ) , min f ( x ) = f ( b )
5. Cho phương trình f ( x ) = m với y = f ( x ) là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi

min f ( x )  m  max f ( x )
D

D

BÀI 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
+) Đường thẳng x = a là TCĐ của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:
lim y = + hoặc lim+ y = − hoặc lim− y = + hoặc lim− y = −

x →a +

x →a

x →a

x →a

+) Đường thẳng y = b là TCN của đồ thị hàm số y = f ( x ) nếu có một trong các điều kiện sau:

lim y = b hoặc lim y = b

x →+

x →−

2. Dấu hiệu:
+) Hàm phân thức mà nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử có tiệm cận đứng.
+) Hàm phân thức mà bậc của tử  bậc của mẫu có TCN.
+) Hàm y = a x , ( 0  a  1) có TCN y = 0
+) Hàm số y = log a x, ( 0  a  1) có TCĐ x = 0
3. Cách tìm:
+) TCĐ: Tìm nghiệm của mẫu khơng là nghiệm của tử.

+) TCN: Tính 2 giới hạn: lim y hoặc lim y
x →+

4. Chú ý:
+) Với đồ thị hàm phân thức dạng y =

x →−

ax + b
cx + d

( c  0; ad − bc  0 )

ln có tiệm cận ngang là y =

a
và
c

d
tiệm cận đứng x = − .
c

+) Nếu x → +  x  0  x 2 = x = x
+) Nếu x → −  x  0  x 2 = x = − x

Trang 3


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

BÀI 5. BẢNG BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Định hình hàm số bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d
a0
y
y ' = 0 có hai
nghiệm phân
biệt hay
 y/  0
O

y ' = 0 có hai
nghiệm kép
hay  y/ = 0

a0
y

x

O

x

y

y

O

x

O

y ' = 0 vô
nghiệm hay
 y/  0

y

x

y

O
x

O

x

2. Định hình hàm số bậc 4( Trùng phương) : y = ax 4 + bx 2 + c
x = 0
+) Đạo hàm: y ' = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) , y ' = 0  
2
 2ax + b = 0
a0
y
y ' = 0 có 3
nghiệm phân biệt
hay ab  0

a0
y

O

O

y ' = 0 có đúng 1
nghiệm hay
ab  0

3. Định hình hàm số y =
+) Đạo hàm: y =

y

y

O

ad − bc

( cx + d )

x

x

O

x

ax + b
Tập xác định: D =
cx + d

x

 d
\ − 
 c

2

Trang 4


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
a
d
và TCN: y =
c
c
 d a
+) Đồ thị có tâm đối xứng: I  − ; 
 c c
ad − bc  0

+) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = −

ad − bc  0

y

O

y

O

1

x

x

BÀI 6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1: TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
Phương pháp: Cho 2 hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’).
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và (C’): f ( x ) = g ( x )
+) Giải phương trình tìm x từ đó suy ra y và tọa độ giao điểm.
+) Số nghiệm của (*) là số giao điểm của (C) và (C’).
BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM BẬC 3
Phương pháp 1: Bảng biến thiên (PP đồ thị)
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng F ( x, m ) = 0 (phương trình ẩn x tham số m)
+) Cơ lập m đưa phương trình về dạng m = f ( x )
+) Lập BBT cho hàm số y = f ( x ) .
+) Dựa và giả thiết và BBT từ đó suy ra m.
*) Dấu hiệu: Sử dụng PP bảng biến thiên khi m độc lập với x.
Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc 2.

+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm F ( x, m ) = 0
+) Nhẩm nghiệm: (Khử tham số). Giả sử x = x 0 là 1 nghiệm của phương trình.
x = x0
+) Phân tích: F ( x, m ) = 0  ( x − x 0 ) .g ( x ) = 0  
(là g ( x ) = 0 là phương trình bậc 2
g ( x ) = 0
ẩn x tham số m ).
+) Dựa vào yêu cầu bài toán đi xử lý phương trình bậc 2 g ( x ) = 0 .

Phương pháp 3: Cực trị
*) Nhận dạng: Khi bài tốn khơng cơ lập được m và cũng khơng nhẩm được nghiệm.
*) Quy tắc:
+) Lập phương trình hồnh độ giao điểm F ( x, m ) = 0 (1). Xét hàm số y = F ( x, m )

Trang 5


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
+) Để (1) có đúng 1 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại đúng 1 điểm.
(2TH)
- Hoặc hàm số ln đơn điệu trên R  hàm
số khơng có cực trị  y ' = 0 hoặc vô nghiệm
hoặc có nghiệm kép   y'  0

y

y

f(x) = x3

3∙x

O

q( x ) = x 3 + x + 1

O

- Hoặc hàm số có CĐ, CT và ycd .yct  0
(hình vẽ)
+) Để (1) có đúng 3 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân

3
x

x

y

y

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và
ycd .yct  0
O
f(x) = x

3

x

O

3∙x + 1

x

f(x) = x3 + 3∙x + 1

+) Để (1) có đúng 2 nghiệm thì đồ thị
y = F ( x, m ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân

y

y

biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu và
ycd .yct = 0
O
g( x ) = x

3

3∙x + 2

O

x

x

f(x) = x3 + 3∙x + 2

Bài tốn: Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành 1 cấp số cộng:
1. Định lí vi ét:

b
c
*) Cho bậc 2: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1 , x 2 thì ta có: x1 + x 2 = − , x1x 2 =
a
a
3
2
*) Cho bậc 3: Cho phương trình ax + bx + cx + d = 0 có 3 nghiệm x1 , x 2 , x 3 thì ta có:
b
c
d
x1 + x 2 + x 3 = − , x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 = , x 1 x 2 x 3 = −
a
a
a
2.Tính chất của cấp số cộng: Cho 3 số a, b, c theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng thì: a + c = 2b
3. Phương pháp giải toán:
b
+) Điều kiện cần: x0 = −
là 1 nghiệm của phương trình. Từ đó thay vào phương trình để tìm m.
3a
+) Điều kiện đủ: Thay m tìm được vào phương trình và kiểm tra.
BÀI TỐN 3: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC

ax + b
Phương pháp : Cho hàm số y =
( C ) và đường thẳng d : y = px + q . Phương trình hồnh độ giao điểm
cx + d
ax + b
= px + q  F ( x, m ) = 0 (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).
của (C) và (d):
cx + d
*) Các câu hỏi thường gặp:
d
1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  (1) có 2 nghiệm phân biệt khác − .
c
2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C)  (1) có 2 nghiệm phân
biệt x1 , x 2 và thỏa mãn : −

d
 x1  x 2 .
c

Trang 6


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C)  (1) có 2 nghiệm phân
d
biệt x1 , x 2 và thỏa mãn x1  x 2  − .
c
4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C)  (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x 2
d
 x2 .

c
*) Chú ý: Công thức khoảng cách:

và thỏa mãn x1  −

+) A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) : AB =

( xB − x A )

2

(

+ yB − yA

)

2

Ax0 + By0 + C
 M ( x0 ; y0 )
+) 
 d ( M , ) =
A2 + B 2
 : Ax0 + By0 + C = 0
BÀI TOÁN 4: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax 4 + bx 2 + c = 0 (1)
1. Nhẩm nghiệm:
- Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x 0 là một nghiệm của phương trình.
 x =  x0

- Khi đó ta phân tích: f ( x, m ) = ( x 2 − x02 ) g ( x ) = 0  
g ( x) = 0
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc 2 : g ( x ) = 0

2. Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
- Đặt t = x 2 , ( t  0 ) . Phương trình: at 2 + bt + c = 0 (2).

t  0 = t2
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn:  1
 t1 = t 2 = 0
t  0  t2
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn:  1
 0  t1 = t 2
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn: 0 = t1  t 2
- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t1 , t 2 thỏa mãn: 0  t1  t 2

3. Bài toán: tìm m để ( C ) : y = ax 4 + bx 2 + c cắt trục Ox tại 4 điểm pbiệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng
- Đặt t = x 2 , ( t  0 ) . Phương trình: at 2 + bt + c = 0 (2).
- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t1 , t 2 ( t1  t 2 ) thỏa mãn t 2 = 9t1 .
- Kết hợp t 2 = 9t1 vơi định lý vi – ét tìm được m.

100
ac
9
BÀI 7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài toán 1: Tiếp tuyến tại điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số:
* Giải nhanh : b 2 =

Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm M ( x 0 ; y0 )  ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M.
- Tính đạo hàm y / . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến là y(/x0 )

- Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = y(/x0 ) ( x − x0 ) + y0
Bài tốn 2: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
- Gọi (  ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

Trang 7


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
- Giả sử M ( x 0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó x 0 thỏa mãn: y(/x0 ) = k (*) .
- Giải (*) tìm x 0 . Suy ra y0 = f ( x 0 ) .
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k ( x − x 0 ) + y0
Bài toán 3: Tiếp tuyến đi qua điểm
Cho hàm số ( C ) : y = f ( x ) và điểm A ( a; b ) . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A.
- Gọi (  ) là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó (  ) : y = k ( x − a ) + b (*)

f ( x ) = k ( x − a ) + b (1)
- Để (  ) là tiếp tuyến của (C)  
có nghiệm.
( 2)
f ' ( x ) = k
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình
tiếp tuyến cần tìm.
* Chú ý:
1. Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm M ( x 0 ; y0 ) thuộc (C) là: k = y(/x0 )
2. Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b
+) (  ) / / ( d )  k = a

+) (  ) ⊥ ( d )  k .a = −1  k = −

1

a

k − a
+) ( , Ox ) =   k =  tan 
1 + k .a
3. Tiếp tuyến tại các điểm cực trị của đồ thị (C) có phương song song hoặc trùng với trục hoành.
4. Cho hàm số bậc 3: y = ax3 + bx 2 + cx + d , ( a  0 )
+) Khi a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
+) Khi a  0 : Tiếp tuyến tại tâm đối xứng của (C) có hệ số góc lớn nhất.
+) ( , d ) =   tan  =

Trang 8


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

PHẦN 2 : MŨ VÀ LÔGARIT
BÀI 1. LŨY THỪA
1. Định nghĩa luỹ thừa
Số mũ 
 = n N*
 =0

Cơ số a

Luỹ thừa a 
a n = a.a......a (n thừa số a)
a0 = 1
1
a−n = n

a

aR
a0

 = −n ( n  N * )

a0

m
(m  Z , n  N * )
a0
n
 = lim rn (rn  Q, n  N * )
a0
2. Tính chất của luỹ thừa
• Với mọi a > 0, b > 0 ta có:

m
n

=

a = n a m ( n a = b  bn = a)
a = lim a rn



a
a

a
 −
 
 .

 
a .a = a
;
=a
; (a ) = a ; (ab) = a .b ;   = 
a
b
b




•
0  a 1 : a  a    
a 1 : a  a     ;
• Với 0  a  b ta có:
a m  bm  m  0 ;
a m  bm  m  0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun thì cơ số a phải dương.
3. Định nghĩa và tính chất của căn thức
• Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a .
• Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có:
p

a na
n
m n
n
n
ab = n a . n b ;
= n (b  0) ;
a = m. n a
a p = ( n a ) (a  0) ;
b
b
p q
Nếu = thì n a p = m a q (a  0) ; Đặc biệt n a = mn a m
n m
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì n a  n b .
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì n a  n b .
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a .
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
BÀI 2. HÀM SỐ LŨY THỪA
1) Hàm số luỹ thừa y = x ( là hằng số)




 +

Số mũ 

Hàm số y = x

Tập xác định D

 = n (n nguyên dương)

y=x

n

D=R

 = n (n nguyên âm hoặc n = 0)

y=x

n

D = R \ {0}



y=x

 là số thực không nguyên

D = (0; +)

1
n

Chú ý: Hàm số y = x không đồng nhất với hàm số y = n x (n  N*) .
2) Đạo hàm
( u ) =  u −1.u
( x ) =  x −1 ( x  0) ;
•
u

Chú ý: .  ( n u ) =
n n u n −1
Trang 9


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
BÀI 3. LƠGARIT
1. Định nghĩa
• Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: log a b =   a  = b
a  0, a  1
Chú ý: log a b có nghĩa khi 
b  0
• Logarit thập phân:
lg b = log b = log10 b
n

• Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
2. Tính chất
• log a 1 = 0 ;

 1
ln b = log e b (với e = lim 1 +   2, 718281 )
 n

log a a = 1 ;

log a ab = b ;

a loga b = b (b  0)

• Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó:
+ Nếu a > 1 thì log a b  log a c  b  c
+ Nếu 0 < a < 1 thì log a b  log a c  b  c
Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:
b
• log a (bc) = log a b + log a c • log a   = log a b − log a c • log a b =  log a b
c
4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có:
log a c
• logb c =
hay log a b.log b c = log a c
log a b
1
1
• log a b =
• log a c = log a c (  0)
log b a

BÀI 4. HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT
x
1) Hàm số mũ y = a (a > 0, a  1).
• Tập xác định:
D = R.

• Tập giá trị:
T = (0; +).
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục hồnh làm tiệm cận ngang.
• Đồ thị:
3. Các qui tắc tính logarit

y

1

a 1

y = ax

y

y = ax
1

x

x

0  a 1

2) Hàm số logarit y = log a x (a > 0, a  1)
• Tập xác định:
D = (0; +).
• Tập giá trị:

T = R.
• Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
• Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
• Đồ thị:

Trang 10


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

y
y

y = log a x

y = log a x

1

O

x

1

x

O

0  a 1

a 1

3) Giới hạn đặc biệt
•

ln(1 + x)
=1
x →0
x

x

 1
lim(1 + x) x = lim 1 +  = e
x →0
x → 
x
1

ex −1
=1
x →0
x

• lim

• lim

4) Đạo hàm

•

•

( a x ) = a x ln a ;

( au ) = au ln a.u

( e x ) = e x ;

( eu ) = eu .u

( log a x ) =

( log a u ) =

1
;
x ln a

( ln u ) = u

( ln x ) = 1 (x > 0);

u

x
BÀI 5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Phương trình mũ cơ bản:

u
u ln a

Với a  0, a  1 :

b  0
ax = b  
 x = log a b

2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a  0, a  1 :
a f ( x ) = a g ( x )  f ( x) = g ( x)
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M = a N  (a − 1)( M − N ) = 0

a f ( x ) = b g ( x )  f ( x) = ( log a b ) .g ( x)

b) Logarit hố:
c) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1:
• Dạng 2:

t = a f ( x ) , t  0
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P(a f ( x ) ) = 0  
P
(
t
)

=
0

2 f ( x)
f ( x)
a
+  (ab)
+  b2 f ( x) = 0

Chia 2 vế cho b

2 f ( x)

a
, rồi đặt ẩn phụ t =  
b

f ( x)

• Dạng 3: a f ( x ) + b f ( x ) = m , với ab = 1 . Đặt t = a f ( x )  b f ( x ) =

1
t

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f ( x ) = g ( x ) (1)
• Đốn nhận x0 là một nghiệm của (1).
• Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x0 là nghiệm duy nhất:
• Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u) = f (v)  u = v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A = 0
A = 0
• Phương trình tích A.B = 0  
• Phương trình A 2 + B2 = 0  
B = 0
B = 0
f) Phương pháp đối lập
Trang 11


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
Xét phương trình:

f ( x ) = g ( x ) (1)

 f ( x)  M
Nếu ta chứng minh được: 
 g ( x)  M
BÀI 6. PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản:

thì

Với a  0, a  1 :

 f ( x) = M
(1)  
 g ( x) = M

log a x = b  x = a b

2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
Với a  0, a  1 :

 f ( x) = g ( x)
log a f ( x) = log a g ( x)  
 f ( x)  0 (hay g ( x)  0)

b) Mũ hoá
Với a  0, a  1 :
log a f ( x) = b  a loga f ( x ) = ab
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý: • Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghĩa.
a logb c = c logb a
• Với a, b, c > 0 và a, b, c  1:
BÀI 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
• Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.
 a  1

 f ( x)  g ( x)
f ( x)
g ( x)
a
a


 0  a  1

  f ( x)  g ( x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
a M  a N  (a − 1)( M − N )  0
BÀI 8. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
• Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
 a  1

 f ( x)  g ( x)  0
log a f ( x)  log a g ( x)  
 0  a  1

 0  f ( x)  g ( x)
• Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TẾ
1/ Bài toán lãi suất
a) Gửi vào ngân hàng số tiền là a đồng, với lãi suất hàng tháng là r% trong n tháng. Tính cả vốn lẫn lãi T
sau n tháng?
Gọi A là tiền vốn lẫn lãi sau n tháng ta có:
Tháng 1 (n = 1): A = a + ar = a (1 + r )
Trang 12

TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
Tháng 2 (n = 2): A = a (1 + r ) + a (1 + r ) r = a (1 + r )

2

…………………
n –1
n –1
n
Tháng n (n = n): A = a (1 + r ) + a (1 + r ) .r = a (1 + r )
Vậy T = a (1 + r )

n

(*)

Trong đó: a tiền vốn ban đầu, r lãi suất (%) hàng tháng, n số tháng, A tiền vốn lẫn lãi sau n tháng.

PHẦN 3 : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
BÀI 1. ÁP DỤNG BẲNG NGUYÊN HÀM VÀ PHÂN TÍCH
1. Khái niệm ngun hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
F '( x) = f ( x) , x  K
• Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

 f ( x)dx = F ( x) + C

, C  R.

• Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất
•  f '( x)dx = f ( x) + C

 f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx
•  kf ( x)dx = k  f ( x)dx (k  0)
•

3. BẢNG NGUYÊN HÀM

Trang 13


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
Ngun hàm của hàm số sơ cấp:
1/  kdx = kx + C

Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
1 ( ax + b )
1/  ( ax + b ) dx = .
+C
a
n +1
1
1
2/ 
dx = .ln ax + b + C
ax + b
a
1

3 /  e ax +b dx = .eax +b + C
a
1 k ax +b
4 /  k ax +b dx = .
+C
a ln k
1
5 /  cos ( ax + b ) dx = .sin ( ax + b ) + C
a
1
6 /  sin ( ax + b ) dx = − .cos ( ax + b ) + C
a
1
7/
dx =  (1 + tan 2 (ax + b))dx
2
cos (ax + b)
1
= tan(ax + b) + C
a
1
8/  2
dx =  (1 + cot 2 (ax + b))dx
sin (ax + b)
1
= − cot(ax + b) + C
a
n +1

n

x n +1
2 /  x dx =
+C
n +1
1
3 /  dx = ln x + C
x
1
1
4/  2 dx = − + C
x
x
1
5/ 
dx = 2 x + C
x
2 3
6/  xdx =
x +C
3
n

7 /  e x dx = e x + C
ax
+C
ln a
9 /  cos xdx = sin x + C

8 /  a x dx =

10 /  sin xdx = − cos x + C
1
dx =  (1 + tan 2 x ) dx = tan x + C
2
cos x
1
12 /  2 dx =  (1 + cot 2 x ) dx = − cot x + C
sin x
dx
1
x−a
=
ln
+ C, a  0
13/  2
2
x −a
2a x + a
11/ 

14/  tan xdx = − ln cos x + C
15/  cot xdx = ln sin x + C
BÀI 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN VÀ VI PHÂN
Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

 f u ( x ) .u ' ( x ) .dx = F u ( x ) + C

BÀI 3. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

 udv = u.v −  vdu (*)
+ Phương pháp này chủ yếu dùng cho các biểu thức dạng  f (x).g(x)dx trong các trường hợp sau:
+Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần : Công thức

Chú ý: Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
b

 f( x).e dx
x

a

b

b

b

b

a

a

a

a

 f ( x).cos xdx

 f ( x).sin xdx

 f ( x).l n xdx

 f(x ).k

x

b

dx

 f (x ).logk xdx

a

u

f(x)

f(x)

f(x)

lnx

f(x)

dv

e x dx

cosxdx

sin xdx

f ( x ) dx

k x dx

logk x

f ( x ) dx

BÀI 4. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
• F(x) là ngun hàm của hàm số y = f ( x ) . Cơng thức tính tích phân:

Trang 14


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
b

I =  f ( x)dx = F ( x ) = F (b) − F (a )
b

a

a

• Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

I =  f ( x)dx =  f (t )dx =  f (u )dx = F (b) − F (a )
• Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang
b

cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: S =  f (x)dx
a

2. Tính chất của tích phân
b

0

•

b

a

a

0
b

b

a

a

b

b

 f (x)  g(x)dx =  f (x)dx   g(x)dx

• Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì  f (x)dx  0

a
b

c

a

b

a

a

c

•  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx

a

b

b

•  kf (x)dx = k  f (x)dx (k: const)

•  f (x)dx = −  f (x)dx

•  f (x)dx = 0

b

b

a

a

• Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì  f (x)dx   g(x)dx

a

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
• Bước 1: Đặt t = u ( x)  dt = u ' ( x)dx
t = u (b)
x=b
• Bước 2: Đổi cận :
 1
x=a
t2 = u (a )
•

b

b

t1

a

a

t2

Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo t I =  f ( x)dx =  g u ( x) .u '( x)dx =  g (t )dt

b) Phương pháp tích phân từng phần:
/
• Bước 1: Viết f ( x ) dx dưới dạng u ( x)v ( x)dx

•

u = u ( x )
Bước 2: Đặt : 
/

•

b
b
b b
Bước 3: Tính I =  f ( x ) dx =  udv = ( uv ) −  vdu
a a
a
a

/

du = u ( x ) dx


dv = v ( x ) dx 
v = v ( x )

BÀI 5. ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH
b

1) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi: (C) y = f(x), Trục hoành (Ox), x = a, x = b là: S =  f (x)dx
a

b

2) Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x), y = g(x) , x = a, x = b là:

S =  f (x) − g(x)dx
a

Chú ý: • Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

b

b

a

a

 f (x)dx =  f (x)dx

• Trong các cơng thức tính diện tích ở trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới dấu tích
phân. Ta có thể làm như sau:
Bước 1: Giải phương trình: f(x) = 0 hoặc f(x) – g(x) = 0 trên đoạn [a; b]. Giả sử tìm
được 2 nghiệm c, d (c < d).
Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn:
Trang 15


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
b

c

d

b

c

d

b

a

c

d

a

c

d

 f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx +  f (x)dx =  f (x)dx +  f (x)dx +  f (x)dx
a

(vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu)
BÀI 6. ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH
• Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các điểm các điểm a

và b. S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh
độ x (a  x  b). Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].
b

Thể tích của B là:

V =  S ( x)dx
a

• Thể tích của khối trịn xoay: Thể tích của khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)
b

sinh ra khi quay quanh trục Ox: V =   f 2 ( x)dx
a

Chú ý: Thể tích của khối trịn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung
d

quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d là:

V =   g 2 ( y )dy
c

PHẦN 4 : SỐ PHỨC
1. Khái niệm số phức
• Tập hợp số phức ký hiệu là:
• Số phức (dạng đại số) : z = a + bi
(a, b  R , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i2 = –1)
• z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo
 phần thực của z bằng 0 (a = 0)
Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
a = a '
(a, b, a ', b '  R )
• Hai số phức bằng nhau: a + bi = a’ + b’i  
b = b '
2. Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, b  R) được biểu diễn bởi điểm
M(a; b) hay bởi u = (a; b) trong mp(Oxy) (mp phức)
3. Cộng và trừ số phức:
• ( a + bi ) + ( a’ + b’i ) = ( a + a’) + ( b + b’) i
• ( a + bi ) − ( a’ + b’i ) = ( a − a’) + ( b − b’) i
• Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi
• u biểu diễn z, u ' biểu diễn z' thì u + u ' biểu diễn z + z’ và u − u ' biểu diễn z – z’.
4. Nhân hai số phức :
• ( a + bi )( a '+ b ' i ) = ( aa’ – bb’) + ( ab’ + ba’) i
• k (a + bi ) = ka + kbi (k  R )
5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a − bi
z  z
z.z = a 2 + b 2
• z = z ; z  z ' = z  z ' ; z.z ' = z.z ';  1  = 1 ;
 z2  z2
• z là số thực  z = z ;

z là số ảo  z = − z

6. Môđun của số phức : z = a + bi
• z = a 2 + b2 = zz = OM
z =0z=0
• z  0, z  C ,

Trang 16


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
• z.z ' = z . z '
7. Chia hai số phức:
1
• z −1 = 2 z (z  0)
z
8. Căn bậc hai của số phức:

•

z
z
=
z' z'
•

• z − z'  z  z'  z + z'

z'
z '.z z '.z
= z 'z −1 = 2 =
z
z.z
z

•

z'
= w  z ' = wz
z

x 2 − y2 = a
• z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi  z = w  
 2xy = b
• w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0
• w  0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau
• Hai căn bậc hai của a > 0 là  a
• Hai căn bậc hai của a < 0 là  −a.i
9. Phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A  0 ).
 = B2 − 4AC
−B  
•   0 : (*) có hai nghiệm phân biệt z1,2 =
, (  là 1 căn bậc hai của )
2A
B
•  = 0 : (*) có 1 nghiệm kép: z1 = z 2 = −
2A
Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*).
2

Trang 17


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

PHẦN 1 : ĐA DIỆN, NÓN, TRỤ, CẦU
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB
AC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos  =
(KỀ chia HUYỀN)
BC
BC
AC
AB
3. tan  =
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot  =
(KỀ chia ĐỐI)
AB
AC
B
1. sin  =

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago) => AB 2 = BC 2 − AC 2
3. AC2 = CH.BC

4. AH2 = BH.CH

5. AB.AC = BC.AH

A


H

C

2. AB2 = BH.BC
1
1
1
6.
=
+
2
2
AH
AB AC 2

III. ĐỊNH LÍ CƠSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 – 2accosB 3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC
a
b
c
A
IV. ĐỊNH LÍ SIN
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
V. ĐỊNH LÍ TALET
MN // BC
N
M
AM AN MN

AM AN
a)
;
b)
=
=
=
AB AC BC
MB NC
VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG
B
C
1. Tam giác thường:
1
a) S = ah b) S = p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rơng) c) S = pr (r: bk đ.trịn nội tiếp)
2
a 3
a2 3
2. Tam giác đều cạnh a:
a) Đường cao: h =
;
b) S =
2
4
c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
1
3. Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là 2 cạnh góc vng)
2
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vng cân (nửa hình vng):

1
a) S = a2 (2 cạnh góc vng bằng nhau)
b) Cạnh huyền bằng a 2
2
A
5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vng có một góc bằng 30o hoặc 60o
BC. 3
BC 2 3
b) BC = 2AB
c) AC =
d) S =
60 o
30 o
B
C
2
8
1
6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2
b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
1
8. Hình thoi: S = d1.d 2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2
A
1
S = (a + b ).h
9. Hình thang:

(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
N
M
10. Hình vng: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2
11. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
G
12. Đường tròn: a) C = 2  R
b) S =  R2 (R: bán kính đường trịn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC
B
P
1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

C

Trang 18


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm
2. Đường cao: Giao điểm của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tgiác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đ trịn nội tiếp tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau. Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay
trùng với trọng tâm của tam giác đáy). Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân đường
cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3. Đường thẳng d vng góc với mp (  ):
() ⊥ ()
d ⊥ a; d ⊥ b


a) a  b
b) ()  () = a  d ⊥ (  )
d ⊥ ()
d
a ⊥ d  ()
a, b  


A
c) Đt d vng góc với mp (  ) thì d vng góc với mọi đt nằm trong mp (  )
4. Góc  giữa đt d và mp (  ): d cắt (  ) tại O và A  d
O

AH ⊥ ()
d'
Nếu 
thì góc giữa d và (  ) là  hay AOH = 
H

 H  ( )
5. Góc giữa 2 mp (  ) và mp (  ):

()  () = AB
F


Nếu FM ⊥ AB; EM ⊥ AB thì góc giữa (  ) và (  ) là  hay EMF = 
EM  (), FM  ()

E
6. Khoảng cách từ điểm A đến mp(  ):
B

Nếu AH ⊥ (  ) thì d(A, (  )) = AH (với H  (  ))
M
IX. DIỆN TÍCH HÌNH VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN:

A
V = h.Sđáy
1. Thể tích khối lăng trụ:

4. Diện tích xq của hình nón trịn xoay:

1
h.Sđáy
3
VS.ABC SA SB SC
=
.
.
VS.ABC SA SB SC
S xq =  rl

5. Thể tích của khối nón trịn xoay:

V =

6. Diện tích xq của hình trụ trịn xoay:

S xq

7. Thể tích của khối trụ tròn xoay:

V = h.Sđáy = h. r 2 ( h: chiều cao khối trụ)

2. Thể tích khối chóp:
3. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

8. Diện tích của mặt cầu:
9. Thể tích của khối cầu:

V =

1
1
h.Sđáy = h. r 2 (diện tích đáy là đường trịn)
3
3
= 2 rl (r: bk đường tròn; l: đường sinh)

S xq = 4 R 2 (R: bk mặt cầu )
4
V =  R 3 (R: bán kính mặt cầu)
3

Trang 19

TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
I.

KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
1. Định nghĩa
Khối đa diện đều là một khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:
+ Các mặt là những đa giác đều p cạnh.
+ Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng q cạnh.
Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại  p, q .
2. Định lí

 

 

 

 

 

Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại 3; 3 , loại 4; 3 , loại 3; 4 , loại 5; 3 , loại 3;5 . Tùy
theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương;
khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều; khối hai mươi mặt đều.
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều

Số

đỉnh

Số
cạnh

Số
mặt

Loại

Số
MPĐX

Tứ diện đều

4

6

4

3; 3

6

Khối lập phương

8

12

6

4; 3

9

Bát diện đều

6

12

8

3; 4

9

Mười hai mặt đều

20

30

12

5; 3

15

Hai mươi mặt đều

12

30

20

3;5

15

 

Chú ý: Giả sử khối đa diện đều loại n, p có Đ đỉnh, C cạnh và M mặt.
Khi đó: p Đ = 2C = nM .

Trang 20


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

PHẦN 2 : HÌNH KHƠNG GIAN OXYZ
I. TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ
1. AB = ( xB − x A , yB − y A , z B − z A )

2. AB = AB =

( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A )

2

2

2

3. a  b = ( a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 )

z

4. k.a = ( ka1 , ka2 , ka3 )
5. a = a12 + a22 + a32

k ( 0;0;1)

 a1 = b1

6. a = b  a2 = b2
a = b
 3 3

j ( 0;1;0 )

7. a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3

y

O

8. a / / b  a = k .b  a  b = 0 

a1 a2 a3
=
=
b1 b2 b3

x

i (1;0;0 )

9. a ⊥ b  a.b = 0  a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3 = 0
10. cos(a,b) =

a.b
a.b

=

a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
a + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
2
1

a
11. Tích cóhướ
ng : a  b =  a, b  =  2
 b2

(

a3 a3
,
b3 b3

)
 ( a  b ) .c  0

a1 a1
,
b1 b1

a2 

b2 

12. a, b, c đồng phẳng  a  b .c = 0
13. a, b, c không đồng phẳng

y −kyB
z −kzB 
 x −kxB
14. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1: M  A
, A
, A

1− k
1− k 
 1− k
 x + x y + yB z A + z B 
15. M là trung điểm AB: M  A B , A

,

2
2 
 2
 x + x + x y + yB + yC z A + zB + zC
16. G là trọng tâm tam giác ABC: G  A B C , A
,
3
3
3



,


17. Véctơ đơn vị : i = (1, 0, 0); j = (0,1, 0); k = (0, 0,1)
18. M ( x, 0, 0)  Ox; N (0, y, 0)  Oy; K (0, 0, z )  Oz
19. M ( x, y, 0)  Oxy; N (0, y, z )  Oyz; K ( x, 0, z )  Oxz
1
1 2
a1 + a22 + a32
20. SABC = AB  AC =
2
2
1
AB  AC . AD
21. VABCD =
6

(

)

22. VABCD. A/ B/ C / D/ = ( AB  AD). AA/
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mp() : n ≠ 0 là véctơ pháp tuyến của   n ⊥ ()
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp() : a , b là cặp vtcp của mp()  gía của các véc tơ a , b cùng // ()
Trang 21


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
  
 

3. Quan hệ giữa vtpt n và cặp vtcp a , b : n = [ a , b ]

4. Pt mp() qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt n = (A;B;C)
A ( x – xo ) + B ( y – yo ) + C ( z – zo ) = 0

(): Ax + By + Cz + D = 0 ta có n = (A; B; C)
x y z
5. Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :
+ + =1
a b c
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6. Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : Giả sử 1  2 = d trong đó:
(1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ; ( 2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Phương trình mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
m ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + n ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
Để lập phương trình mặt phẳng  ta cần xác định một điểm thuộc  và một VTPT của nó.

( )

(

( )

( )

)

(

)

Dạng 1:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 có VTPT n = A; B;C :

( ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0

( )

(

)

Dạng 2:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 có cặp VTCP a ,b :

( )

Khi đó một VTPT của  là n = a , b  .

( )

(

)

Dạng 3:  đi qua điểm M x 0 ; y 0 ; z 0 và song song với mặt phẳng (  ) : Ax + By + Cz + D = 0

( ) : A (x − x ) + B (y − y ) + C (z − z ) = 0
0

( )

0

0

Dạng 4:  đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B,C

( )
Dạng 5: ( ) đi qua một điểm M và một đường thẳng (d ) không chứa M :
– Trên (d ) lấy điểm A và VTCP u .
– Một VTPT của ( ) là: n = AM , u 
Dạng 6: ( ) đi qua một điểm M , vng góc với đường thẳng (d ) :
VTCP u của đường thẳng (d ) là một VTPT của ( ) .

Dạng 7: ( ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d , d :

Khi đó ta có thể xác định một VTPT của  là: n = AB, AC 

1

2

– Xác định các VTCP a ,b của các đường thẳng d1, d2 . .

( )

– Một VTPT của  là: n = a , b  .

( )

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M   .

( )

Dạng 8:  chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 ( d1, d2 chéo nhau ) :
– Xác định các VTCP a ,b của các đường thẳng d1, d2 .

( )

– Một VTPT của  là: n = a , b  .
Trang 22


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12

( )

– Lấy một điểm M thuộc d1  M   .

( )

Dạng 9:  đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 :
– Xác định các VTCP a ,b của các đường thẳng d1, d2 .

( )

– Một VTPT của  là: n = a , b  .

( )

( )
( )
– Xác định VTCP u của ( d ) và VTPT n của (  ) .
– Một VTPT của ( ) là: n = u, n  .
– Lấy một điểm M thuộc d  M  ( ) .
Dạng 11: ( ) đi qua điểm M và vng góc với hai mặt phẳng cắt nhau  (  ) , (  ) :
– Xác định các VTPT n , n của (  ) và (  ) .
– Một VTPT của ( ) là: n = u , n  .
Dạng 12: ( ) đi qua đường thẳng ( d ) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k
Dạng 10:  đi qua một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng  :












(

cho trước:

)

– Giả sử () có phương trình: Ax + By + Cz+D = 0 A2 + B 2 + C 2  0 .

()

( )

( ) (2 )).
– Từ điều kiện khoảng cách d (M ,( )) = k , ta được phương trình ( 3 ) .
– Giải hệ phương trình (1) , (2 ) , ( 3 ) (bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn cịn lại).
Dạng 13: ( ) là tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại điểm H :
– Giả sử mặt cẩu ( S ) có tâm I và bán kính R.
– Một VTPT của ( ) là: n = IH
– Lấy 2 điểm A, B  d  A, B  

( ta được hai phương trình 1 ,

III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

 x = x0 + a1t

1. Phương trình ttham số của đường thẳng :  y = y0 + a2t (t  R)
z = z + a t
0
3

Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và a = (a1; a2 ; a3 ) là vtcp của đường thẳng.
x − x0 y − y0 z − z0
2. Phương trình chính tắc của đuờng thẳng :
=
=
a1
a2
a3
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và a = (a1; a2 ; a3 ) là vtcp của đường thẳng.

 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng: 
(với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2)
 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
trong đó n1 = ( A1; B1; C1 ) , n2 = ( A2 ; B2 ; C2 ) là hai VTPT và VTCP u = [n1 , n2 ] .
y = 0
x = 0
x = 0
†Chú ý: a. Đường thẳng Ox: 
; Oy: 
; Oz: 

z = 0
z = 0
y = 0
b. Đường thẳng (AB): Có VTCP u AB = AB

Trang 23


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
c. 12  u1 = u2
d. 1⊥2  u1 = n2
CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.
Dạng 1: d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) :

 x = xo + a1t

(d ) :  y = yo + a2t
z = z + a t
o
3


( t  R)

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B : Một VTCP của d là AB .
Dạng 3: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / / nên VTCP
của  cũng là VTCP của d .
Dạng 4: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và vng góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d ⊥ P nên VTPT

( )

( )

( )

của P cũng là VTCP của d .

( ) (Q) :

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng P ,

• Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP.

(P )
– Tìm toạ độ một điểm A  d : bằng cách giải hệ phương trình 
(với việc chọn giá trị
(
Q
)


cho một ẩn)
– Tìm một VTCP của d : a =  nP , nQ 

• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Dạng 6: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và vng góc với hai đường thẳng d1, d2 :
Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên một VTCP của d là: a =  ad1 , ad2 
Dạng 7: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) , vng góc và cắt đường thẳng  .

• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vng góc của M 0 trên đường thẳng  .
H  

M 0H ⊥ u 
Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M 0, H .

• Cách 2: Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A và vng góc với d ; (Q ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d.

( ) ( )

Khi đó d =   P  Q

Dạng 8: d đi qua điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z 0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2 :

• Cách 1: Gọi M1  d1, M 2  d2 . Từ điều kiện M , M1, M 2 thẳng hàng ta tìm được M1, M 2 . Từ đó
suy ra phương trình đường thẳng d .
• Cách 2: Gọi P = (M 0, d1 ) , Q = (M 0, d2 ) . Khi đó d = P  Q . Do đó, một VTCP của d có

( )

( )

thể chọn là a = nP , nQ  .
Dạng 9: d nằm trong mặt phẳng

( )

( )

(P )

( ) ( )

và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 : Tìm các giao điểm

A = d1  P , B = d2  P . Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Trang 24


TĨM TẮT LÝ THUYẾT TỐN 12
Dạng 10: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 :
Viết phương trình mặt phẳng

( ) ( )

(P )

( )

chứa  và d1, mặt phẳng Q chứa  và d2 .

Khi đó

d = P  Q .

Dạng 11: d là đường vng góc chung của hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:

MN ⊥ d1
• Cách 1: Gọi M1  d1, M 2  d2 . Từ điều kiện 

, ta tìm được M , N . Khi đó, d là đường
MN ⊥ d2
thẳng MN.
• Cách 2:
– Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d2 nên một VTCP của d có thể là: a = ad , ad  .
 1 2
– Lập phương trình mặt phẳng P chứa d và d1, bằng cách:

( )

+ Lấy một điểm A trên d1.

( )

+ Một VTPT của P có thể là: nP = a , ad  .

1 
– Tương tự lập phương trình mặt phẳng Q chứa d và d2 .

( )

( ) ( )

Khi đó d = P  Q .

( )

Dạng 12: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng P :

• Lập phương trình mặt phẳng (Q ) chứa  và vng góc với mặt phẳng ( P ) bằng cách:

– Lấy M   .
– Vì Q chứa  và vng góc với P nên nQ = a  , nP  .

( )

( )

( ) ( )

Khi đó d = P  Q .
Dạng 13: d đi qua điểm M, vng góc với d1 và cắt d2 :

• Cách 1: Gọi N là giao điểm của d và d2 . Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm được N. Khi đó, d là
đường thẳng MN.
• Cách 2:
– Viết phương trình mặt phẳng P qua M và vng góc với d1.

( )
– Viết phương trình mặt phẳng (Q ) chứa M
Khi đó d = ( P )  (Q ) .

và d2 .

IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Mặt cầu (S), tâm I(a;b;c), bán kính R
Dạng 1: ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c) 2 = R 2 (S)
Dạng 2: x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0

( )

với a 2 + b 2 + c 2 − d  0

thì S có tâm I ( −a; −b; −c ) và bán kính R = a 2 + b2 + c 2 − d

( )

Để viết phương trình mặt cầu S , ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

( )

1: S có tâm I ( a; b; c ) và bán kính R :

(S): ( x − a)2 + ( y − b) 2 + ( z − c) 2 = R 2

Trang 25