Đề tài môn điều khiển tối ưu _ Biến đổi LaPlace pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Môn: Điều khiển tối ưu
Sinh viên thực hiện: GIÁP VĂN HIỆP 20091069
TRẦN NGỌC DUYỆT 20090497
Hà Nội - 2013
Điều khiển tối ưu
Table Laplace Transform Pais
STT f(t) F (s)
1 Unit impluse δ(t) 1
2 Unit step 1(t)
1
s
3 t
1
s
2
4
t
n−1
(n−1)!
(n = 1, 2, . . .)
1
s
n
5 t
n
(n = 1, 2, . . .)
n!

s
n+1
6 e
−at
1
s+a
7 te
−at
1
(s+a)
2
8
1
(n−1)!
t
n−1
e
−at
(n = 1, 2, . . .)
1
(s+a)
n
9 t
n
e
−at
(n = 1, 2, . . .)
n!
(s+a)
n+1

10 sin ωt
ω
s
2
+ω
2
11 cos ωt
s
s
2
+ω
2
12 sinh ωt
ω
s
2
−ω
2
13 coth ωt
s
s
2
−ω
2
14
1
a
(1 − e
−at
)

1
s(s+a)
15
1
b−a
(e
−at
− e
−bt
)
1
(s+a)(s+b)
16
1
b−a
(be
−bt
− ae
−at
)
s
(s+a)(s+b)
17
1
ab

1 +
1
a+b
(be

−at
− ae
−bt
)

1
s(s+a)(s+b)
18
1
a
2
(1 − e
−at
− ate
−at
)
1
s(s+a)
2
19
1
a
2
(at − 1 + e
−at
)
1
s
2
(s+a)

20 e
−at
sin ωt
ω
(s+a)
2
+ω
2
21 e
−at
cos ωt
s+a
(s+a)
2
+ω
2
22
ω
n
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin ω
n

1 − ξ

2
t
ω
2
n
s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
23
−
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t − φ


φ = arctan
√
1−ξ
2
ξ
s
s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
24
1 −
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ

2
t + φ

φ = arctan
√
1−ξ
2
ξ
ω
2
n
s(s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
)
25 1 − cos ωt
ω
2
s(s
2
+ω
2
)
26 ωt − sin ωt
ω
3

s
2
(s
2
+ω
2
)
27 sin ωt − ωt cos ωt
2ω
3
(s
2
+ω
2
)
2
28
1
2ω
t sin ωt
s
(s
2
+ω
2
)
2
2
Điều khiển tối ưu
STT f(x) F (s)

29 t cos ωt
s
2
−ω
2
(s
2
+ω
2
)
2
30
1
ω
2
2
−ω
2
1
(cos ω
1
t − cos ω
2
t) (ω
2
1
= ω
2
2
)

s
(s
2
+ω
2
1
)(s
2
+ω
2
2
)
31
1
2ω
(sin ωt + ωt cos ωt)
s
2
(s
2
+ω
2
)
2
Chứng minh các công thức ở bảng trên:
1.
L{δ(t)} = 1.
Chứng minh. Hàm Unit impluse δ(t):
δ(t) =


+∞ nếu x = 0
0 nếu x = 0
và thỏa mãn
+∞

−∞
δ(t)dt = 1. Khi đó
L{δ(t)} =
∞

0
−
δ(t)e
−st
dt =
0
+

0
−
δ(t)e
−st
dt =
0+

0
−
δ(t)dt = 1
2.
L{u(t)} =

1
s
.
Chứng minh. Ta có
f(t)=Unit step u(t)
u(t) =

1 nếu t ≥ 0
0 nếu t < 0
Vậy
L{u(t)} =
∞

0
f(t)e
−st
dt =
∞

0
e
−st
dt = −
1
s
∞

0
e
−st

d(−st)
= −
1
s

lim
t→∞
e
−st
− 1

=
1
s
, (s > 0)
3
Điều khiển tối ưu
3.
L{t} =
1
s
2
Chứng minh. Ta có
L{t} =
∞

0
f(t)e
−st
dt =

∞

0
te
−st
dt = −
1
s
∞

0
td(e
−st
)
−
1
s


lim
t→∞
(te
−st
) − 0

−
∞

0
e

−st
dt

(2)
= −
1
s

0 −
1
s

=
1
s
2
(do lim
t→∞
te
−st
= lim
t→∞
e
ln t
e
−st
= lim
t→∞
e
ln t−st

= 0, s > 0)
4.
L

t
n−1
(n − 1)!

=
1
s
n
, n = 1, 2, . . .
Chứng minh. Ta có
• Với n=1,2 thì đẳng thức trên đúng.
• Giả sử đẳng thức trên đúng với n = k, tức là
L

t
k−1
(k −1)!

=
1
s
k
(∗)
• Ta sẽ chứng minh đẳng thức trên đúng với n = k + 1, tức là
L


t
k
k!

=
1
s
k+1
Thật vậy, ta có
L

t
k
k!

=
∞

0
t
k
k!
e
−st
dt = −
1
s
∞

0

t
k
k!
d(e
−st
)
= −
1
s

t
k
k!
e
−st



∞
0
−
∞

0
t
k−1
(k−1)!
e
−st
dt


(∗)
= −
1
s

lim
t→∞
t
k
k!
e
−st
− 0

−
1
s
k

Ta có
lim
t→∞
t
k
k!
e
−st
=
1

k!
lim
t→∞
t
k
e
−st
=
1
k!
lim
t→∞
e
k ln|t|
e
−st
=
1
k!
lim
t→∞
e
k ln t−st
= 0
với s > 0
Từ đó
L

t
k

k!

= −
1
s

0 −
1
s
k

=
1
s
k+1
4
Điều khiển tối ưu
5.
L{t
n
} =
n!
s
n+1
n = 1, 2, . . .
Chứng minh. Ta có hàm Gama được định nghĩa như sau:
Γ(n) =
∞

0

e
−x
x
n−1
dx với n > 0
và công thức truy hồi
Γ(n) = (n − 1)!
Khi đó
L{t
n
} =
∞

0
t
n
e
−st
dt
Đặt u = st ⇒ t =
u
s
, dt =
du
s
, suy ra
L{t
n
} =
1

s
n+1
∞

0
e
−u
u
n
du =
Γ(n + 1)
s
n+1
=
n!
s
n+1
, s > 0
6.
L

e
−at

=
1
s + a
Chứng minh. Ta có
L{e
−at

} =
∞

0
e
−at
e
−st
dt =
∞

0
e
−(s+a)t
dt = −
1
s+a
∞

0
d(e
−(s+a)t
)
= −
1
s+a

lim
t→∞
e

−(s+a)t
− 1

=
1
s+a
, s > −a
7.
L

te
−at

=
1
(s + a)
2
5
Điều khiển tối ưu
Chứng minh. Ta có
L{te
−at
} =
∞

0
te
−at
e
st

dt =
∞

0
te
−(s+a)t
dt = −
1
s+a
∞

0
td

e
−(s+a)t

= −
1
s+a


lim
t→∞
te
−(s+a)t
− 0

−
∞


0
e
−(s+a)t
dt

(6)
=
−
1
s+a

0 −
1
s+a

=
1
(s+a)
2
(do lim
t→∞
te
−(s+a)t
= lim
t→∞
e
ln t−(s+a)t
= 0, s > −a)
8.

L

1
(n − 1)!
t
n−1
e
−at

=
1
(s + 1)
n
n = 1, 2, . . .
Chứng minh. Ta có
• n = 2 thì đẳng thức trên đúng.
• Giả sử đúng với n = k
L

1
(k −1)!
t
k−1
e
−at

=
1
(s + 1)
k

(∗∗)
• Ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1, tức là
L

1
k!
t
k
e
−at

=
1
(s + 1)
k+1
Thật vậy
L

1
k!
t
k
e
−at

=
∞

0
1

k!
t
k
e
−at
e
−st
dt =
1
k!
∞

0
t
k
e
−(s+a)t
dt
= −
1
k!
1
s+a
∞

0
t
k
d(e
−(s+a)t

)
= −
1
k!
1
s+a


lim
t→∞
t
k
e
−(s+a)t
− 0

−
∞

0
kt
k−1
e
−(s+a)t
dt

−
1
s+a


0 −
∞

0
t
k−1
(k−1)!
e
−(s+a)t
dt

(∗∗)
= −
1
(s+a)

0 −
1
(s+a)
k

=
1
(s+a)
k+1
(do lim
t→∞
t
k
e

−(s+a)t
= lim
t→∞
e
ln t−(s+a)t
= 0, s > −a)
6
Điều khiển tối ưu
9.
L

t
n
e
−at

=
n!
(s + a)
n+1
n = 1, 2, . . .
Chứng minh. Ta có
• n = 1, đúng.
• Giả sử đúng với n = k,
L

t
k
e
−at


=
k!
(s + a)
k+1
(∗ ∗ ∗)
• Ta sẽ chứng minh đúng với n = k + 1, tức là
L

t
k+1
e
−at

=
(k + 1)!
(s + a)
k+2
Thật vậy
L

t
k+1
e
−at

=
∞

0

t
k+1
e
−at
e
−st
dt = −
1
s+a
∞

0
t
k+1
d(e
−(s+a)t
)
= −
1
s+a

lim
t→∞

t
k+1
e
−(s+a)t
− 0


−
∞

0
(k + 1)t
k
e
−(s+a)t
dt

= −
1
s+a

0 − (k + 1)
∞

0
t
k
e
−st
e
−st
dt

(∗∗∗)
=
−
1

s+a

0 −
k!
(s+a)
k+1

=
(k+1)!
(s+a)
k+2
(do lim
t→∞
t
k+1
e
−(s+a)t
= lim
t→∞
e
(k+1) ln t−(s+a)t
= 0, s > −a)
10.
L{sin ωt} =
ω
s
2
+ ω
2
Chứng minh. Ta có

sin ωt =
e
iωt
− e
−iωt
2i
7
Điều khiển tối ưu
Từ đó
L{sin ωt} =
∞

0
e
iωt
−e
−iωt
2i
e
−st
dt =
1
2i

∞

0
e
−(s−iω)t
dt −

∞

0
e
−(s+iω)t
dt

(6)
=
1
2i

1
s−iω
−
1
s+iω

=
ω
s
2
+ω
2
s > 0
Cách khác: Ta có
L{sin ωt} =
∞

0

e
−st
sin ωtdt = I
I = −
1
s
∞

0
sin ωtd(e
−st
) = −
1
s

e
−st
sin ωt|
∞
0
− ω
∞

0
e
−st
cos ωtdt

= −
1

s

e
−st
sin ωt|
∞
0
−
ω
s
∞

0
cos ωtd(e
−st
)

= −
1
s

e
−st
sin ωt|
∞
0
−
ω
s


e
−st
cos ωt|
∞
0
+ ω
∞

0
sin ωtd(e
−st
)

= −
1
s

e
−st
sin ωt|
∞
0
−
ω
s

e
−st
cos ωt|
∞

0
+ ωI

⇒ I =
e
−st
s
2
+ω
2
(ω cos ωt − s sin ωt)|
∞
0
=
ω
s
2
+ω
2
, s > 0
11.
L{cos ωt} =
s
s
2
+ ω
2
Chứng minh. Ta có
cos ωt =
e

iωt
+ e
−iωt
2
Khi đó
L{cos ωt} =
∞

0
e
iωt
+e
−iωt
2
e
−st
dt =
1
2

∞

0
e
−(s−iω)t
dt +
∞

0
e

−(s+iω)t
dt

(6)
=
1
2i

1
s−iω
+
1
s+iω

=
s
s
2
+ω
2
, s > 0
Cách khác: Ta có
L{sin ωt} =
∞

0
e
−st
sin ωtdt = J
8

Điều khiển tối ưu
J = −
1
s
∞

0
cos ωtd(e
−st
) = −
1
s

e
−st
cos ωt|
∞
0
+ ω
∞

0
e
−st
sin ωtdt

= −
1
s


e
−st
cos ωt|
∞
0
−
ω
s
∞

0
sin ωtd(e
−st
)

= −
1
s

e
−st
cos ωt|
∞
0
−
ω
s

e
−st

sin ωt|
∞
0
− ω
∞

0
e
−st
cos ωtdt

= −
1
s

e
−st
cos ωt|
∞
0
−
ω
s

e
−st
sin ωt|
∞
0
− ωJ


⇒ J =
e
−st
s
2
+ω
2
(ω sin ωt − s cos ωt)|
∞
0
=
s
s
2
+ω
2
, s > 0
12.
L{sinh ωt} =
ω
s
2
− ω
2
Chứng minh. Ta có
L{sinh ωt} =
∞

0

e
ωt
−e
−ωt
2
e
−st
dt =
1
2

∞

0
e
−(s−ω)t
dt −
∞

0
e
−(s+ω)t
dt

(6)
=
1
2

1

s−ω
−
1
s+ω

=
ω
s
2
−ω
2
s > |ω|
13.
L{cosh ωt} =
s
s
2
− ω
2
Chứng minh. Ta có
L {cosh ωt} =
∞

0
e
ωt
+e
−ωt
2
e

−st
dt =
1
2

∞

0
e
−(s−ω)t
dt +
∞

0
e
−(s+ω)t
dt

(6)
=
1
2

1
s−ω
+
1
s+ω

=

s
s
2
−ω
2
s > |ω|
14.
L

1
a
(1 − e
−at
)

=
1
s(s + a)
9
Điều khiển tối ưu
Chứng minh. Ta có
L

1
a
(1 − e
−at
)

=

∞

0
1
a
(1 − e
−at
)e
−st
dt =
1
a

∞

0
e
−st
dt −
∞

0
e
−(s+a)t
dt

(2),(6)
=
1
a


1
s
−
1
s+a

=
1
s(s+a)
, s > max {0, −a}
15.
L

1
b − a
(e
−at
− e
−bt
)

=
1
(s + a)(s + b)
Chứng minh. Ta có
L

1
b−a

(e
−at
− e
−bt
)

=
∞

0
1
b−a
(e
−at
− e
−bt
)e
−st
dt
=
1
b−a

∞

0
e
−(s+a)t
dt −
∞


0
e
−(s+a)t
dt

(6)
=
1
b−a

1
s+a
−
1
s+b

=
1
(s+a)(s+b)
, s > max {−a, −b}
16.
L

1
b − a
(be
−bt
− ae
−at

)

=
s
(s + a)(s + b)
Chứng minh. Ta có
L

1
b−a
(be
−bt
− ae
−at
)

=
∞

0
1
b−a
(be
−bt
− ae
−at
)e
−st
dt
=

1
b−a

b
∞

0
e
−(s+b)t
dt − a
∞

0
e
−(s+a)t
dt

(6)
=
1
b−a

b
s+b
−
a
s+a

=
s

(s+a)(s+b)
, s > max {−a, −b}
17.
L

1
ab

1 +
1
b − a
(be
−at
− ae
−bt
)

=
1
s(s + a)(s + b)
10
Điều khiển tối ưu
Chứng minh. Ta có
L

1
ab

1 +
1

b−a
(be
−at
− ae
−bt
)

=
∞

0
1
ab

1 +
1
b−a
(be
−at
− ae
−bt
)

e
−st
dt
=
1
ab
∞


0
e
−st
dt +
1
ab(b−a)

b
∞

0
e
−(s+a)t
dt − a
∞

0
e
−(s+b)t
dt

=
1
ab
1
s
+
1
ab(b−a)


b
s+a
−
a
s+b

=
1
s(s+a)(s+b)
, s > max {0, −a, −b}
18.
L

1
a
2
(1 − e
−at
− ate
−at
)

=
1
s(s + a)
2
Chứng minh. Ta có
L


1
a
2
(1 − e
−at
− ate
−at
)

=
∞

0
1
a
2
(1 − e
−at
− ate
−at
)e
−st
dt
=
1
a
2
∞

0

e
−st
dt −
1
a
2
∞

0
e
−(s+a)t
dt −
1
a
∞

0
te
−(s+a)t
dt
(1),(6),(7)
=
1
a
2
1
s
−
1
a

2
1
s+a
−
1
a
1
(s+a)
2
=
1
s(s+a)
2
, s > max {0, −a}
19.
L

1
a
2
(at − 1 + e
−at
)

=
1
s
2
(s + a)
Chứng minh. Ta có

L

1
a
2
(at − 1 + e
−at
)

=
∞

0
1
a
2
(at − 1 + e
−at
)e
−st
dt
=
1
a
∞

0
te
−st
dt −

1
a
2
∞

0
e
−st
dt +
1
a
2
∞

0
e
−(s+a)t
dt
(2),(3),(6)
=
1
a
1
s
2
−
1
a
2
1

s
+
1
a
2
1
s+a
=
1
s
2
(s+a)
, s > max {0, −a}
11
Điều khiển tối ưu
20.
L

e
−at
cos ωt

=
ω
(s + a)
2
+ ω
2
Chứng minh. Ta có
L


e
−at
cos ωt

=
∞

0
e
−st
e
−at
cos ωtdt =
∞

0
e
−(s+a)t
cos ωtdt = I
I = −
1
s+a
∞

0
sin ωtd(e
−(s+a)t
)
= −

1
s+a

e
−(s+a)t
sin ωt


∞
0
− ω
∞

0
e
−(s+a)t
cos ωtdt

= −
1
s+a

e
−(s+a)t
sin ωt


∞
0
−

ω
s+a
∞

0
cos ωtd(e
−(s+a)t
)

= −
1
s+a

e
−(s+a)t
sin ωt


∞
0
−
ω
s+a

e
−(s+a)t
cos ωt


∞

0
+ ω
∞

0
sin ωtd(e
−(s+a)t
)

= −
1
s+a

e
−(s+a)t
sin ωt


∞
0
−
ω
s+a

e
−(s+a)t
cos ωt


∞

0
+ ωI

⇒ I =
e
−st
(s+a)
2
+ω
2
(ω cos ωt − (s + a) sin ωt)|
∞
0
=
ω
(s+a)
2
+ω
2
, s > max{0, −a}
21.
L

e
−at
sin ωt

=
s + a
(s + a)

2
+ ω
2
Chứng minh. Ta có
L

e
−at
cos ωt

=
∞

0
e
−st
e
−at
cos ωtdt =
∞

0
e
−(s+a)t
cos ωtdt = J
12
Điều khiển tối ưu
J = −
1
s+a

∞

0
cos ωtd(e
−(s+a)t
)
= −
1
s+a

e
−(s+a)t
cos ωt


∞
0
+ ω
∞

0
e
−(s+a)t
sin ωtdt

= −
1
s+a

e

−(s+a)t
cos ωt


∞
0
−
ω
s+a
∞

0
sin ωtd(e
−(s+a)t
)

= −
1
s+a

e
−(s+a)t
cos ωt


∞
0
−
ω
s+a


e
−(s+a)t
sin ωt


∞
0
− ω
∞

0
cos ωtd(e
−(s+a)t
)

= −
1
s+a

e
−(s+a)t
cos ωt


∞
0
−
ω
s+a


e
−(s+a)t
sin ωt


∞
0
− ωJ

⇒ J =
e
−(s+a)t
(s+a)
2
+ω
2
(ω sin ωt − (s + a) cos ωt)|
∞
0
=
s+a
(s+a)
2
+ω
2
, s > max{0, −a}
22.
L


ω
n

1 − ξ
2
e
−ξω
n
t
sin ω
n

1 − ξ
2
t

=
ω
2
n
s
2
+ 2ξω
n
s + ω
2
n
Chứng minh. Ta có
L


ω
n
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin ω
n

1 − ξ
2
t

=
∞

0
e
−st
ω
n
√
1−ξ
2
e
−ξω
n

t
sin ω
n

1 − ξ
2
tdt
=
ω
n
√
1−ξ
2
∞

0
e
−(s+ξω
n
)t
sin ω
n

1 − ξ
2
tdt
=
ω
n
√

1−ξ
2
I
Ta sẽ tính I.
I =
∞

0
e
−(s+ξω
n
)t
sin ω
n

1 − ξ
2
tdt =
∞

0
sin ω
n

1 − ξ
2
td

e
−(s+ξω

n
)t
−s−ξω
n

= sin ω
n

1 − ξ
2
t
e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω
n



∞
0
−
∞

0

e
−(s+ξω
n

)t
−s−ξω
n
ω
n

1 − ξ
2
cos ω
n

1 − ξ
2
tdt

= −
ω
n
√
1−ξ
2
−s−ξω
n

cos ω
n

1 − ξ
2
t

e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω
n



∞
0
+
∞

0
e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω
n
ω
n

1 − ξ
2
sinω
n

1 − ξ

2
tdt

13
Điều khiển tối ưu
= −
ω
n
√
1−ξ
2
−s−ξω
n

1 +
ω
n
√
1−ξ
2
−s−ξω
n
I

Từ đó
⇒ I = −
ω
n
√
1−ξ

2
−s−ξω
n
1 +

ω
n
√
1−ξ
2
−s−ξω
n

2
=
ω
n

1 − ξ
2
s
2
+ 2ξω
n
s + ω
2
n
Do đó
L


ω
n
√
1−ξ
2
e
ξω
n
t
sin ω
n

−ξ
2
tdt

=
ω
n
√
1−ξ
2
I
=
ω
2
n
s
2
+2ξω

n
s+ω
2
n
23.
L

−
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ


=
s
s
2

+2ξω
n
s+ω
2
n
với Φ = arctan
√
1−ξ
2
ξ
Chứng minh. Ta có
L

−
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ



= −
1
√
1−ξ
2
∞

0

e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ

e
−st
dt
= −
1
√

1−ξ
2
J
14
Điều khiển tối ưu
J =
∞

0

e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ

e
−st
dt
=
∞

0

sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ

d

e
−(s+ξω
n
)t
s+ξω
n

=
e
−(s+ξω
n
)t
s+ξω
n
sin

ω
n


1 − ξ
2
t − Φ




∞
0
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
∞

0
cos

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ

d


e
−(s+ξω
n
)t
s+ξω
n

= A +
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

e
−(s+ξω
n
)t
s+ξω
n
cos

ω
n

1 − ξ
2

t − Φ




∞
0
−
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
∞

0
e
−(s+ξω
n
)t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ


dt

= A +
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

B −
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
J

mặt khác
A =
e
−(s+ξω
n
)t
−s − ξω
n

sin

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ





∞
0
= 0 −

sin(−Φ)
−s − ξω
n

=
−sin(Φ)
s + ξω
n
Dựa vào hình trên ta thấy ngay Φ =

ACB Do đó
sin(Φ) =
AB

BC
=
√
1−ξ
2
ξ
ξ
1
=

1 − ξ
2
cos(Φ) =
AC
BC
= ξ
Khi đó
A = −

1 − ξ
2
s + ξω
n
Tương tự
B =
e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω

n
cos

ω
n

1 − ξ
2
t − Φ




∞
0
= 0 −

cos(−Φ)
−s−ξω
n

=
cos(Φ)
s+ξω
n
=
ξ
s+ξω
n
15

Điều khiển tối ưu
Do đó ta có
J =
−
√
1−ξ
2
s+ξω
n
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

ξ
s+ξω
n
−
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
J


⇒ J =
−s
√
1−ξ
2
s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
Vậy
L

−
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n


1 − ξ
2
t − Φ


= −
1
√
1−ξ
2
J = −
1
√
1−ξ
2
−s
√
1−ξ
2
s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
=
s
s
2

+2ξω
n
s+ω
2
n
24.
L

1 −
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ


=
ω
2

n
s(s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
)
với Φ = arctan
√
1−ξ
2
ξ
Chứng minh. Ta có
L

1 −
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n


1 − ξ
2
t + Φ


=
∞

0

1 −
1
√
1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ



e
−st
dt
=
∞

0
e
−st
dt −
1
√
1−ξ
2
∞

0
e
−(s+ξω
n
)t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ


dt
Theo (2) ta có
∞

0
e
−st
dt =
1
s
Ta cần phải tính
K =
∞

0
e
−(s+ξω
n
)t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ

dt
16

Điều khiển tối ưu
Ta có
K =
∞

0
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ

d

e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω
n

=
e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω

n
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ




∞
0
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
∞

0
cos

ω
n


1 − ξ
2
t + Φ

d

e
−(s+ξω
n
)t
−s−ξω
n

=
sin(Φ)
s+ξω
n
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

e
−(s+ξω
n

)t
−s−ξω
n
cos

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ




∞
0
−
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
∞

0
e
−(s+ξω

n
)t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ

dt

=
sin(Φ)
s+ξω
n
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

cos(Φ)
s+ξω
n
−

ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
K

Theo (23) ta có
sin(Φ) =

1 − ξ
2
cos(Φ) = ξ
Do đó
K =
sin(Φ)
s+ξω
n
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

cos(Φ)

s+ξω
n
−
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
K

=
√
1−ξ
2
s+ξω
n
+
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n

ξ
s+ξω
n

−
ω
n
√
1−ξ
2
s+ξω
n
K

⇒ K =
(s+2ξω
n
)
√
1−ξ
2
s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
Vậy
L

1 −
1
√

1−ξ
2
e
−ξω
n
t
sin

ω
n

1 − ξ
2
t + Φ


=
1
s
−
1
√
1−ξ
2
(s+2ξω
n
)
√
1−ξ
2

s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
=
ω
2
n
s(s
2
+2ξω
n
s+ω
2
n
)
25.
L{1 − cos ωt} =
ω
2
s(s
2
+ ω
2
)
17
Điều khiển tối ưu

Chứng minh. Ta có
L{1 − cos ωt} =
∞

0
(1 − cos ωt)e
−st
dt =
∞

0
e
−st
dt −
∞

0
e
−st
cos ωtdt
(2),(11)
=
1
s
−
s
s
2
+ω
2

=
ω
2
s(s
2
+ω
2
)
, s > 0
26.
L{ωt − sin ωt} =
ω
3
s
2
(s
2
+ ω
2
)
Chứng minh. Ta có
L{ωt − sin ωt} =
∞

0
(ωt − sin ωt)e
−st
dt = ω
∞


0
te
−st
dt −
∞

0
e
−st
sin ωtdt
(3),(10)
=
ω
s
2
−
ω
s
2
+ω
2
=
ω
3
s
2
(s
2
+ω
2

)
, s > 0
27.
L{sin ωt − ωt cos ωt} =
2ω
3
(s
2
+ ω
2
)
2
Chứng minh. Ta có
L{sin ωt − ωt cos ωt} =
∞

0
e
−st
(sin ωt − ωt cos ωt)dt
=
∞

0
e
−st
sin ωt − ω
∞

0

e
−st
t cos ωtdt
(10),(29)
=
ω
s
2
+ω
2
− ω
s
2
−ω
2
(s
2
+ω
2
)
2
, s > 0
28.
L

1
2ω
t sin ωt

=

s
(s
2
+ ω
2
)
2
18
Điều khiển tối ưu
Chứng minh. Ta có
L{t sin ωt} =
1
2ω
∞

0
e
−st
t sin ωtdt =
1
2ω
I
I =
∞

0
e
−st
t sin ωtdt = −
1

s
∞

0
t sin ωtd(e
−st
)
= −
1
s

e
−st
t sin ωt|
∞
0
−
∞

0
e
−st
(sin ωt + ωt cos ωt) dt

(10)
= −
1
s

e

−st
t sin ωt|
∞
0
−
ω
s
2
−ω
2
− ω
∞

0
e
−st
t cos ωtdt

= −
1
s

e
−st
t sin ωt|
∞
0
−
ω
s

2
−ω
2
+
ω
s
∞

0
t cos ωtd(e
−st
)

= −
1
s

e
−st
t sin ωt|
∞
0
−
ω
s
2
−ω
2
+
ω

s

e
−st
t cos ωt|
∞
0
−
∞

0
e
−st
(cos ωt − ωt sin ωt) dt

(11)
= −
1
s

e
−st
t sin ωt|
∞
0
−
ω
s
2
−ω

2
+
ω
s
e
−st
t cos ωt|
∞
0
−
ω
s
s
s
2
+ω
2
+
ω
2
s
I

⇒ I =
2ωs
(s
2
+ω
2
)

2
−
1
s
2
(e
−st
t sin ωt + e
−st
t cos ωt)|
∞
0
=
2ωs
(s
2
+ω
2
)
2
, s > 0
L{t sin ωt} =
1
2ω
2ωs
(s
2
+ ω
2
)

2
=
s
(s
2
+ ω
2
)
2
29.
L{t cos ωt} =
s
2
− ω
2
(s
2
+ ω
2
)
2
Chứng minh. Ta có
L{t cos ωt} =
∞

0
e
−st
t cos ωtdt = J
19

Điều khiển tối ưu
J =
∞

0
e
−st
t cos ωtdt = −
1
s
∞

0
t cos ωtd(e
−st
)
= −
1
s

e
−st
t cos ωt|
∞
0
−
∞

0
e

−st
(cos ωt − ωt sin ωt) dt

= −
1
s

e
−st
t cos ωt|
∞
0
−
∞

0
e
−st
cos ωt + ω
∞

0
e
−st
t sin ωtdt

(11)
=
−
1

s

e
−st
t cos ωt|
∞
0
−
s
s
2
+ω
2
−
ω
s
∞

0
t sin ωtd(e
−st
)

= −
1
s

e
−st
t cos ωt|

∞
0
−
s
s
2
+ω
2
−
ω
s

e
−st
t sin ωt|
∞
0
−
∞

0
e
−st
(sin ωt + ωt cos ωt) dt

= −
1
s

e

−st
t cos ωt|
∞
0
−
s
s
2
+ω
2
−
ω
s
e
−st
t sin ωt|
∞
0
+
ω
s
∞

0
e
−st
sin ωt +
ω
2
s

J

(10)
=
−
1
s

e
−st
t cos ωt|
∞
0
−
s
s
2
+ω
2
−
ω
s
e
−st
t sin ωt|
∞
0
+
ω
s

ω
s
2
+ω
2
+
ω
2
s
J

⇒ J =
s
2
−ω
2
(s
2
+ω
2
)
2
+
e
−st
t
s
2
+ω
2

(sin ωt − cos ωt)|
∞
0
=
s
2
−ω
2
(s
2
+ω
2
)
2
(do lim
t→0
e
−st
t
s
2
+ω
2
(sin ωt − cos ωt) = 0)
30.
L

1
ω
2

2
− ω
2
1
(cos ω
1
t − cos ω
2
t)

=
s
(s
2
+ ω
2
1
)(s
2
+ ω
2
2
)
Chứng minh. Ta có
L

1
ω
2
2

−ω
2
1
(cos ω
1
t − cos ω
2
t)

=
∞

0
1
ω
2
2
−ω
2
1
(cos ω
1
t − cos ω
2
t) e
−st
dt
=
1
ω

2
2
−ω
2
1
∞

0
e
−st
cos ω
1
tdt −
1
ω
2
2
−ω
2
1
∞

0
e
−st
cos ω
2
tdt
(11)
=

1
ω
2
2
−ω
2
1
s
s
2
+ω
2
1
−
1
ω
2
2
−ω
2
1
s
s
2
+ω
2
2
=
s
ω

2
2
−ω
2
1

1
s
2
+ω
2
1
−
1
s
2
+ω
2
2

=
s
(s
2
+ω
2
1
)(s
2
+ω

2
2
)
, s > 0
20
Điều khiển tối ưu
31.
L

1
2ω
(sin ωt) + ωt cos ωt

=
s
2
(s
2
+ ω
2
)
2
Chứng minh. Ta có
L

1
2ω
(sin ωt) + ωt cos ωt

=

∞

0
e
−st
2ω
(sin ωt) + ωt cos ωtdt
=
1
2ω

∞

0
e
−st
sin ωt + ω
∞

0
e
−st
t cos ωtdt

(10),(29)
=
1
2ω

ω

s
2
+ω
2
+ ω
s
2
−ω
2
(s
2
+ω
2
)
2

=
s
2
(s
2
+ω
2
)
2
, s > 0
21
Điều khiển tối ưu
Properties of Laplace Transforms
1 L[Af(t)] = AF (s)

2 L[f
1
(t) ± f
2
(t)] = F
1
(s) ± F
2
(s)
3 L
±

d
dt
f(t)

= sF (s) − f(0
±
)
4 L
±

d
2
dt
2
f(t)

= s
2

F (s) − sf(0
±
) −
˙
f(0
±
)
5
L
±

d
n
dt
n
f(t)

= s
n
F (s) −
n

k=1
s
n−k
(k−1)
f (0
±
)
với

(k−1)
f (t) =
d
k−1
dt
k−1
f(t)
6 L
±


f(t)dt

=
F (s)
s
+
1
s


f(t)dt

t=0
±
7 L
±


. . .


f(t)(dt)
n

=
F (s)
s
n
+
n

k=1
1
s
n−k+1


. . .

f(t)(dt)
k

t=0
±
8 L

t

0
f(τ)dτ


=
F (s)
s
9 lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF (s)
10 L[e
−at
f(t)] = F (s + a)
11 L[f(t − α)1(t − α)] = e
−αs
F (s), α ≥ 0
12 L[tf(t)] = −
dF (s)
ds
13 L

t
2
f(t)

=
d
2
ds
2
F (s)

14 L[t
n
f(t)] = (−1)
n
d
n
ds
n
F (s), n = 1, 2, . . .
15 L

1
t
f(t)

=
∞

s
F (s)ds, nếu lim
t→0
1
t
f(t), tồn tại
16 L

f(
t
a
)


= aF (as)
17 L

t

0
f
1
(t − τ)f
2
(τ)dτ

= F
1
(s)F
2
(s)
18 L[f(t)g(t)] =
1
2πj
c+j∞

c−j∞
F (p)G(s − p)dp
Chứng minh các tính chất
1.
L[Af(t)] = AF (s)
Chứng minh. Ta có
L[Af(t)] =

∞

0
Af(t)e
−st
dt = A
∞

0
f(s)e
−st
dt = AF(s)
22
Điều khiển tối ưu
2.
L[f
1
(t) ± f
2
(t)] = F
1
(s) ± F
2
(s)
Chứng minh. Ta có
L[f
1
(t) ± f
2
(t)] =

∞

0
(f
1
(t) ± f
2
(t))e
−st
dt
=
∞

0
f
1
(t)e
−st
dt ±
∞

0
f
2
(t)e
−st
dt = F
1
(s) ± F
2

(s)
3.
L
±

d
dt
f(t)

= sF (s) − f(0
±
)
Chứng minh. Ta có
L
±

d
dt
f(t)

=
∞

0
f

(t)e
−st
dt =
∞


0
e
−st
d (f(t))
= e
−st
f(t)|
∞
0
−
∞

0
f(t)(−s)e
−st
dt = −f(0
±
) + sF (s)
4.
L
±

d
2
dt
2
f(t)

= s

2
F (t) − sf(0
±
) −
˙
f(0
±
)
Chứng minh.
L
±

d
2
dt
2
f(t)

=
∞

0
f

(t)e
−st
dt =
∞

0

e
−st
d(f

(t))
= e
−st
f

(t)|
∞
0
−
∞

0
f

(t)(−s)e
−st
dt = −f

(0
±
) + s
∞

0
e
−st

d (f(t))
= −f

(0
±
) + s

e
−st
f(t)|
∞
0
−
∞

0
f(t)(−s)e
−st
dt

= −f

(0
±
) − sf(0
±
) + s
2
∞


0
f(t)e
−st
dt
= −f

(0
±
) − sf(0
±
) + s
2
F (s)
23
Điều khiển tối ưu
5.
L
±

d
n
dt
n
f(t)

= s
n
F (s) −
n


k=1
s
n−k
(k−1)
f (0
±
)
với
(k−1)
f =
d
k−1
dt
k−1
f(t)
Chứng minh. Ta có
• Với n=1,2 thì đẳng thức trên đúng.
• Giả sử đúng với n = m, tức là
L
±

d
m
dt
m
f(t)

= s
m
F (s) −

m

k=1
s
m−k
(k−1)
f (0
±
)
với
(k−1)
f =
d
k−1
dt
k−1
f(t)
• Ta sẽ chứng minh đúng với n = m + 1:
L

d
m+1
dt
m+1
f(t)

= s
m+1
F (s) −
m+1


k=1
s
m−k+1
(k−1)
f (0
±
)
với
(k−1)
f (t) =
d
k−1
dt
k−1
f(t)
Thật vậy
L
±

d
m+1
dt
m+1
f(t)

=
∞

0

f
(m+1)
(t)e
−st
dt =
∞

0
e
−st
d

f
(m)
(t)

= e
−st
f
(m)
(t)


∞
0
−
∞

0
f

(m)
(t)(−s)e
−st
dt
= −f
(m)
(0
±
) + s
∞

0
f
(m)
(t)e
−st
dt
= −f
(m)
(0
±
) + s

s
m
F (s) −
m

k=1
s

n−k
(k−1)
f (0
±
)

= s
m+1
F (s) −
m+1

k=1
s
m−k+1
(k−1)
f (0
±
)
6.
L
±


f(t)dt

=
F (s)
s
+
1

s


f(t)dt

t=0
±
24
Điều khiển tối ưu
Chứng minh. Ta có
L
±


f(t)dt

=
∞

0


f(t)dt

e
−st
dt =
∞

0



f(t)dt

d

e
−st
−s

=


f(t)dt

e
−st
−s



∞
0
−
∞

0
f(t)
e
−st

−s
dt
=
1
s

f(t)dt


t=0
±
+
1
s
∞

0
f(t)e
−st
=
1
s

f(t)dt


t=0
±
+
F (s)

s
7.
L
±


. . .

f(t)(dt)
n

=
F (s)
s
n
+
n

k=1
1
s
n−k+1


. . .

f(t)(dt)
k

t=0

±
Chứng minh. Ta có
• n = 1, đúng
• Giả sử đúng với n = m, tức là
L
±


. . .

f(t)(dt)
m

=
F (s)
s
m
+
m

k=1
1
s
m−k+1


. . .

f(t)(dt)
k


t=0
±
• Ta sẽ chỉ ra đúng với n = m + 1, tức là
L
±


. . .

f(t)(dt)
m+1

=
F (s)
s
m+1
+
m+1

k=1
1
s
m−k+2


. . .

f(t)(dt)
k


t=0
±
25