Kỹ thuật nhân liên hợp - Nguyễn Đức Tuấn

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây
tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp
mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức
mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi…
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng
dụng trong giải toán sau: .
Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:

Vì Nhân vào hai vế của phương trình ta được:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình xét , chia cả hai vế của
phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm và (loại)
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Ví dụ 2: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Phương trình tương đương với:

Vì
Nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
Nếu hoặc (loại)
Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện và .
Phương trình tương đương với:

Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
+Nếu
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
(vì )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình , viết lại phương trình dạng:

Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu
được:
+Nếu hoặc .
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có hai nghiệm và
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:

Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số
bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới
dạng các ví dụ minh họa cho từng dạng
Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện:
Phương trình tương đương với:

Vì . Ta có:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương
trình cho ta được:
Dễ thấy .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Lời giải: Điều kiện:

Vì . Ta có:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương
trình cho ta được:
.
Dễ thấy .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ ) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy và là các nghiệm của phương trình. Xét . Chia
cả hai vế của phương trình cho ta được:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Dễ thấy .
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nghiệm (^_^)
Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung !) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:
Nếu và
Xét . Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
và (loại!).
Vậy phương trình có ba nghiệm , và .
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nhân tử chung (^_^)
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:
.

Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẽ các bạn cũng đã nhận thấy được
phần nào về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình
chứa căn thức.
Không dừng lại ở đó, mình xin trình bày những vấn đề tiếp theo xung quanh phương
pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn
trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.
Để tăng tính thuyết phục và hơn hết là làm nổi bật cái hay, cái đẹp của phương pháp
này. Mình xin phép được lấy các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi và các kì thi

olympic để làm ví dụ minh họa. Qua đó chúng ta cũng thấy được tính ứng dụng rộng
rãi và hiệu quả của nó.
Ví dụ 9: Giải phương trình
( Đề chính thức Olympic 30 - 4 năm 2006)
Lời giải:
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:

Vì . Suy ra:
Nếu và
Nếu . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp để tìm ra nhân tử
chung là . Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này.
Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên.
Xét phương trình:


Vì . Suy ra:
Bây giờ ta chỉ cần xác định sao cho:
. Suy ra:
và
Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày.
Ví dụ 10: Giải phương trình

( Đề đề nghị, Olympic 30 - 4 năm 2007)
Lời giải:
Điều kiện:

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết dưới dạng:

Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được . Vậy:
Vì . Suy ra:
Nếu
và
Nếu . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là: và .
Ví dụ 11: Giải phương trình

( Thi HSGQG, năm 1995, bảng A)
Lời giải:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Điều kiện:

Vì . Suy ra:
Vì . Suy ra:
Nếu .
Nếu . Suy ra:

Suy ra: hay ( vì )
Dễ thấy vế trái của phương trình liên tục và luôn đồng biến trên , vế phải
của phương trình liên tục và luôn nghịch biến trên . Lại có là
nghiệm vậy cũng là nghiệm duy nhất của phương trình . Nghiệm này loại vì
.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

Ví dụ 12: Giải phương trình

( Toán học và tuổi trẻ 365/2007)
Lời giải:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Điều kiện:
Vì không là nghiệm của phương trình ta viết phương trình dưới dạng:

Vì . Suy ra:
Nếu và
Nếu . Suy ra:
( Phương trình này vô nghiệm)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là và .
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc
Giải các phương trình sau:

( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)

( Đề đề nghị Olympic 30-4)

( Đề đề nghị Olympic 30 - 4)

( Toán học và tuổi trẻ)

( Thi HSGQG, năm 1995, bảng B)

Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!
Học sinh chuyên Toán khoá 2006 – 2009 trường THPT thành phố Cao Lãnh