SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thực tiễn môn Toán lớp 12 theo định hướng phát triển năng lực học sinh_ 2019 2020

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH BÌNH
TRƯỜNG THPT KIM SƠN C

SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TIỄN MƠN TỐN LỚP 12
THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC HỌC SINH

Đồng tác giả
1. Nguyễn Trọng Khiêm

: Hiệu trưởng

2. Nguyễn Thị Hồng Ánh

: Giáo viên

3. Mai Thị Nhung

: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Kim Sơn C

Ninh Bình, tháng 5 năm 2020


MỤC LỤC
A. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG..................................................................1
I. Tên sáng kiến:.............................................................................................................1
II. Lĩnh vực áp dụng: Toán học.......................................................................................1
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN.............................................................................................1

I. Mục đích...................................................................................................................... 1
II. Giải pháp cũ thường làm............................................................................................3
1. Nội dung.................................................................................................................. 3
2. Ưu điểm, nhược điểm..............................................................................................6
III. Giải pháp mới...........................................................................................................7
1. Nội dung.................................................................................................................. 7
2. Ưu điểm, nhược điểm............................................................................................32
C. HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC.....................................33
I. Hiệu quả kinh tế........................................................................................................33
II. Hiệu quả xã hội........................................................................................................33
D. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG..................................................................34
I. Điều kiện áp dụng......................................................................................................34
II. Khả năng áp dụng.....................................................................................................34
PHỤ LỤC 1...................................................................................................................... 36
PHỤ LỤC 2...................................................................................................................... 42
PHỤ LỤC 3...................................................................................................................... 49



CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TỈNH
Chúng tơi ghi tên dưới đây:

TT

Họ và tên

1 Nguyễn Trọng Khiêm

Ngày tháng
năm sinh

Nơi

Chức vụ

cơng tác

Tỷ lệ (%)
Trình đóng góp
vào việc
độ
chun tạo ra
mơn sáng kiến

04/4/1978 Trường THPT Hiệu trưởng Thạc sĩ
Kim Sơn C

30%

2 Nguyễn Thị Hồng Ánh 01/01/1985 Trường THPT
Kim Sơn C

Giáo viên

Thạc sĩ

35%

3 Mai Thị Nhung

Giáo viên

Thạc sĩ

35%

14/4/1986 Trường THPT
Kim Sơn C

A. TÊN SÁNG KIẾN, LĨNH VỰC ÁP DỤNG
I. Tên sáng kiến
Chúng tôi là nhóm tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh
giải một số bài toán thực tiễn mơn Tốn lớp 12 theo định hướng phát triển năng lực
học sinh”.

II. Lĩnh vực áp dụng: Toán học.

B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
I. Mục đích
Thời gian gần đây, trên mạng xã hội và trên các diễn đàn Tốn học có rất nhiều bài
viết liên quan đến câu hỏi “Học Toán để làm gì”. Nhiều những bài viết nói rằng học sinh
học Tốn chỉ để thi, các kiến thức mơn Tốn trong chương trình q nặng, các em ơn
1

luyện vất vả, mất nhiều thời gian nhưng cuối cùng khi ra trường cũng không dùng tới.
Chúng tôi là những giáo viên dạy học mơn Tốn cũng rất băn khoăn về câu hỏi này. Hiện
nay, mỗi chủ đề dạy học được thực hiện theo 5 bước bao gồm:
Bước 1: Hoạt động khởi động.
Bước 2: Hoạt động hình thành kiến thức.
Bước 3: Hoạt động luyện tập.
Bước 4: Hoạt động vận dụng.
Bước 5: Hoạt động tìm tịi, mở rộng.
Trong đó, bước 2,3,4 là nội dung bài mới, giáo viên hướng dẫn để học sinh lĩnh hội các kiến thức
cơ bản của bài học. Bước 1 và bước 5 đa số là các bài tốn xuất phát từ thực tế có liên quan đến kiến
thức của bài học. Sau quá trình giảng dạy mơn Tốn theo chủ đề gồm 5 bước như trên, và tham khảo
một số bài viết của một số tác giả chúng tôi rút ra sơ đồ dạy học mỗi chủ đề mơn Tốn như sau:

Xuất phát từ các
bài tốn thực tế
cần giải quyết
(Bước 1).

Giáo viên dạy học
kiến thức cơ bản,
cần thiết của bài
mới (Bước 2, 3, 4).

Vận dụng kiến thức
đã học giải quyết
các bài toán trong
thực tế (Bước 5).

Nếu thực hiện dạy học được theo sơ đồ nêu trên, chúng ta có thể vừa giúp học sinh
có kiến thức cơ bản để đáp ứng các kì thi, vừa có thể linh hoạt và giải quyết tốt các bài

toán thực tế trong cuộc sống. Từ đó học sinh thấy được ý nghĩa, giá trị của việc học các
kiến thức cơ bản trong mỗi bài học, đồng thời thấy được vẻ đẹp của Tốn học. Các em sẽ
có động lực học tập và lĩnh hội các kiến thức trong chương trình học. Vấn đề ở đây là
trong quá trình dạy học trên lớp, giáo viên có tìm và lựa chọn được các bài toán thực tiễn
phù hợp với nội dung kiến thức của bài học hay không. Khi lựa chọn được rồi giáo viên
có thể hướng dẫn học sinh để các em hiểu được cần phải học bài mới để giải quyết các
bài tốn đó? Hay các em có biết vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề có
trong thực tiễn cuộc sống hay khơng?
Thực tế các tác giả khi viết sách đã cố gắng đưa vào chương trình sách giáo khoa,
sách bài tập các bài tốn thực tế, liên môn để giúp học sinh vận dụng kiến thức đã học và
giải quyết chúng. Tuy nhiên, số lượng các bài tốn rất ít, trong đó phần lớn là các bài tốn
dài, phức tạp, ít xuất hiện trong các bài thi, bài kiểm tra. Nếu có thì cũng là bài tốn khó ở
mức độ vận dụng cao, mỗi lần giáo viên hướng dẫn hoặc chữa thì mất nhiều thời gian,
kiến thức cần huy động rất nhiều, rất tổng hợp. Vì thế với đối tượng học sinh có lực học
Khá - Trung bình - Yếu giáo viên ít hoặc khơng đi sâu vào giải quyết các bài tốn thực
2


tiễn. Nên mỗi lần gặp các bài toán thực tiễn các em sẽ thấy bài tốn q nhiều thơng tin,
rất dài, rất rối, không thể hiểu đề, không biết hướng để giải quyết. Vì thế, đa phần các em
khơng thể làm được và khi gặp dạng này thì đều bỏ qua. Nhất là khi học xong nhiều chủ
đề dạy học thì học sinh cịn rối hơn nữa vì khơng biết bài toán này là nằm ở chương hay ở
chủ đề nào. Mấy năm gần đây, Bộ Giáo dục đưa vào trong đề thi THPT quốc gia một số
câu vận dụng cao là các bài toán thực tế, nhiều học sinh không đọc đề bài mà đánh lụi
theo kiểu ăn may. Khi đó, sự xuất hiện các bài tốn thực tiễn trong đề thi mất đi nhiều ý
nghĩa tích cực.
Xuất phát từ những khó khăn của học sinh khi giải quyết các bài tốn thực tiễn
trong q trình dạy học, chúng tơi đã cố gắng tìm tịi các bài tốn thực tế đơn giản nhất,
giúp học sinh từng bước làm quen, tiếp cận để giải quyết chúng. Từ đó dần hình thành
cho các em kĩ năng, phương pháp giải quyết những bài tốn có trong thực tế và phát triển

tư duy cho các em sau khi học xong mỗi chủ đề dạy học.

II. Giải pháp cũ thường làm
1. Nội dung
Trước đây khi dạy học trên lớp, chúng tôi thường chỉ tập trung rèn luyện cho học
sinh các bài tập toán học thuần túy, mang nặng tính lý thuyết. Các bài tốn học thuần túy
chiếm đến khoảng 90% số lượng bài tập trong chương trình. Thỉnh thoảng, giáo viên
cũng hướng dẫn học sinh giải một số bài toán thực tế. Tuy nhiên, khi hướng chúng tôi
thường đưa ra hệ thống gồm nhiều câu hỏi, nội dung rất chi tiết, gần như vạch sẵn đường
hướng, cách giải cho học sinh. Vì chúng tơi ln có tâm lí sợ học sinh có lực học cịn
yếu, khơng thể nghĩ ra cách để làm được bài. Nhưng sau khi làm xong, học sinh thấy rất
rối, vẫn không tự làm được các bài tập dạng tương tự. Phương pháp của chúng tơi cịn rất
chung chung, chưa hình thành được cho học sinh kĩ năng, định hướng cơ bản khi giải
quyết dạng toán này nên thực sự chưa phát huy được hiệu quả.
a. Nguồn bài tập
Trong chương trình dạy học mơn tốn bài tập được chia thành hai nội dung:
- Bài tập toán học thuần túy: Đa số là lượng bài tập mang nặng tính lý thuyết có trong
sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo hoặc trong các đề thi.
- Bài tập thực tiễn: Chiếm số lượng rất ít, chủ yếu là các bài tập hoặc các ví dụ trong sách
giáo khoa, sách bài tập và một số bài tập giáo viên tự biên soạn. Đó là các bài tốn mang
tính tổng qt, kiến thức rộng, liên môn. Muốn giải quyết chúng cần huy động lượng kiến

3


thức lớn, ở nhiều lớp hoặc nhiều môn học. Trong khi đó, thời lượng chương trình cịn hạn
chế nên q trình hướng dẫn học sinh chưa được bài bản, giáo viên khơng đầu tư được
nhiều thời gian. Vì thế học sinh rất khó khăn khi gặp dạng tốn này.
b. Hướng dẫn học sinh giải bài tập
- Bài tập toán học thuần túy: Đa số học sinh vận dụng lý thuyết, các cơng thức có sẵn để

áp dụng làm bài. Có một số bài tốn khó với những phép tốn phức tạp nhưng thiên về
biến đổi, tính tốn hay các thủ thuật toán xa dời thực tế.
- Bài tập thực tiễn: Giáo viên thường hướng dẫn học sinh thực hiện giải quyết bài toán
thực tế theo các bước chung chung như cách giải một số bài toán đố mà học sinh được
làm quen từ các lớp học dưới, gồm các bước như sau:
Bước 1: Đọc đề và phân tích đề.
Bước 2: Chuyển bài tốn về ngơn ngữ tốn học theo các chủ đề.
Bước 3: Giải bài toán vừa xây dựng.
Bước 4: Kiểm tra lại và kết luận.
Cũng có khi giáo viên hướng dẫn bằng một số các câu hỏi chi tiết nhưng lại quá
nhiều, rắc rối, chưa thực sự định hướng được cách giải bài tốn, khơng phát huy được tư
duy độc lập, sáng tạo của học sinh.
c. Ví dụ
- Trong chủ đề “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” ta có thể thấy lượng bài
tập trong SGK được thiết kế như sau:
+ Bài tập toán học thuần túy: 9 bài gồm: Bài 1/Tr24-SGK, Bài 2,3,4,5/Tr25-SGK, 4 ví
dụ minh họa cho các nội dung lý thuyết trong bài học.
+ Bài tập thực tiễn: Chỉ có 1 bài là VD3/Tr22-SGK: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh

a. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vng bằng nhau, rồi gập tấm nhôm lại thành một cái
hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vng bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn
nhất.

* Hướng dẫn giải
4


Bước 1: Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài và phân tích giả thiết, kết luận.
Bước 2: Chuyển bài tốn về ngơn ngữ tốn học. Học sinh trả lời câu hỏi sau theo sự dẫn
dắt của giáo viên.

-

Nêu công thức tính thể tích của khối hộp chữ nhật?
Xác định các kích thước của khối hộp thu được?
Nêu cơng thức thể tích của khối hộp chữ nhật thu được?
Để thể tích khối hộp đạt lớn nhất ta cần đưa bài toán thực tế trên về bài toán nào
các em đã học?

Bước 3: Giải bài toán vừa xây dựng.
Bước 4: Kiểm tra và kết luận cho bài toán.
* Lời giải
a
Gọi x là độ dài cạnh của hình vng bị cắt. Điều kiện 0  x  .
2


x 
2
Thể tích khối hộp V ( x )  x (a  2 x) ; V '( x)  (a  2 x)( a  6 x)  0  

 x 

a  a
  0; 
6  2
a  a
  0; .
2  2

Bảng biến thiên

x

a
6

0


V '( x)

0

a
2



2a 3
27

V ( x)

0

0

2a 3
a
max

V
(
x
)

khi
x

.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
27
6
 a
 0; 


2

a
2a 3
Cạnh của hình vng bị cắt x  thì thể tích lớn nhất của khối hộp bằng
.
6
27

Bài tập tương tự
Các bài này giáo viên biên soạn để học sinh vận dụng cách giải bài tập mẫu để rèn
luyện kĩ năng cho học sinh.
Bài tốn 1. Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 20(cm). Nếu ta cắt ở bốn góc bốn hình
vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh là x(cm) rồi gập tấm nhôm lại để được một

5


cái hộp khơng nắp. Tính cạnh của các hình vng bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là
lớn nhất.
Bài tốn 2. Cho một tấm nhơm hình chữ nhật có kích thước 80cm  50cm. Người ta cắt ở
bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh là x (cm),
rồi gập tấm nhơm lại thì được một cái thùng khơng nắp dạng hình hộp. Tính thể tích lớn
nhất của khối hộp đó.
Bài tốn 3. Cho một tấm nhơm hình chữ nhật có kích thước a cm  b cm  a  b  . Người
ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh là
x (cm), rồi gập tấm nhơm lại thì được một cái thùng khơng nắp dạng hình hộp. Tính cạnh

của các hình vng bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.
- Trong chủ đề “Khối đa diện - Khối trịn xoay” thì 100% là các bài tập lý thuyết có trong
SGK, khơng có bài tốn thực tiễn nào.
2. Ưu điểm, nhược điểm
2.1. Ưu điểm
- Lượng bài tập toán học thuần túy chiếm tỉ lệ nhiều giúp học sinh có thể dễ dàng áp dụng
lý thuyết đã học để giải bài tập và ghi nhớ công thức. Từ đó cũng rèn luyện kĩ năng làm
bài cho học sinh.
- Khi hướng dẫn học sinh giải các bài tốn thực tế, giáo viên hình thành cho học sinh các
bước giải bài toán, dẫn dắt học sinh trả lời các câu hỏi theo trình tự các bước giải để học
sinh tiếp cận nhanh nhất với lời giải. Từ đó, giáo viên hướng dẫn học sinh biết cách
chuyển bài toán từ ngơn ngữ thực tế sang ngơn ngữ tốn học của chủ đề đang học.
- Giáo viên đưa ra một số bài tập tương tự để học sinh có thể tự thực hiện theo các bài tập
mẫu để tiết kiệm thời gian trên lớp.
2.2. Nhược điểm
- Số lượng bài tập toán thuần túy tuy chiếm lỉ lệ nhiều (khoảng 90%) nhưng cũng chỉ
giúp cho học sinh rèn luyện kĩ năng giải bài tập thông thường, đơn giản.

- Số lượng bài tốn thực tiễn q ít, giáo viên khơng có thời gian đầu tư biên soạn và
hướng dẫn, học sinh không được rèn luyện thường xuyên nên khi học sinh gặp các bài
tốn dạng này sẽ cảm thấy rất khó khăn.
- Khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán thực tiễn số lượng câu hỏi quá nhiều và quá
chi tiết nên nhìn vào tổng thể học sinh sẽ thấy rắc rối, khơng kích thích được khả năng
suy nghĩ và tư duy của học sinh. Học sinh thực hiện một cách thụ động theo sự dẫn dắt
6


của giáo viên. Học sinh không biết hướng đi cụ thể của bài tốn, khơng biết đang dùng
những kiến thức cần thiết nào để giải quyết bài toán. Nên khi hoạt động độc lập sẽ dẫn
đến khó khăn hoặc sai lầm. Khi gặp các bài tập tương tự, khi giáo viên thay đổi các dữ
kiện bài toán, học sinh sẽ mất phương hướng, dẫn đến khơng tìm ra được cách làm.
- Số lượng bài tập giáo viên đưa ra ít, vì phụ thuộc vào thời gian có trên lớp. Nên các bài
tập giáo viên lựa chọn chưa đa dạng, không đủ để rèn luyện theo mức độ nhận thức của
các đối tượng học sinh.

III. Giải pháp mới
1. Nội dung
Mục đích của chúng tôi là dựa trên nền kiến thức đã có, ngồi các bài tập tốn
thuần túy, giáo viên soạn ra các bài tập thực tiễn theo mức độ từ dễ đến khó, hướng dẫn
học sinh bằng các câu hỏi ngắn gọn, mang tính định hướng, từ đó kích thích được tư duy
độc lập của học sinh, dần hình thành kĩ năng, phương pháp giải toán và phát triển tư duy
cho học sinh. Cụ thể như sau:
a. Nguồn bài tập
- Giáo viên soạn bài, phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập toán học thuần túy
để học sinh nắm thật chắc kiến thức cơ bản và cơ sở lý thuyết của mỗi chủ đề.
- Giáo viên dựa vào kiến thức mà học sinh được trang bị trong chủ đề, tìm tịi và đưa ra
hệ thống bài tập từ dễ đến khó, phù hợp với năng lực của từng đối tượng học sinh.
b. Hướng dẫn học sinh giải bài tập

Khi gặp các bài toán thực tế, giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện theo các
bước sau:
- Bước 1: Đọc đề và phân tích đề.
- Bước 2: Đặt câu hỏi: Mỗi bài toán giáo viên đều cố gắng đặt ra 3 câu hỏi định hướng.
Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài tốn là gì?
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hoặc cơng thức cần tính dựa vào giả thiết?
Câu hỏi 3: Giải bài toán vừa thiết lập?
- Bước 3: Dùng kiến thức chủ đề đã học giải quyết bài toán, đối chiếu lại các điều kiện và
đưa ra kết luận.
c. Ví dụ
Trong chương trình mơn Tốn lớp 12 có rất nhiều chủ đề dạy học. Mỗi chủ đề lại
có nhiều dạng tốn thực tế khác nhau. Nhưng do thời gian có hạn, nên chúng tơi chỉ tập

7


trung biên soạn và hướng dẫn học sinh giải bài tập ở ba chủ đề: Khối đa diện - Khối tròn
xoay, Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số, Hàm số mũ - Hàm số logarit.
CHỦ ĐỀ 1: KHỐI ĐA DIỆN - KHỐI TRÒN XOAY
1. Kiến thức cần nhớ
1. Thể tích khối lập phương có cạnh a

V  a3

2. Thể tích khối hộp chữ nhật có ba V  a.b.c
kích thước a, b, c
3. Thể tích khối chóp có:

B : Diện tích đáy; h : Chiều cao

1
V  B.h
3

4. Thể tích khối lăng trụ có:

V  B.h

B : Diện tích đáy; h : Chiều cao
5. Khối nón có:

S xq   rl ; Sd   r 2

r : Bán kính đáy

1
Stp  S xq  Sd ; V   r 2 h
3

l : Đường sinh
h : Chiều cao

l

6. Khối trụ có:

2

 r 2  h2 

S xq  2 rl ; Sd   r 2

r : Bán kính đáy

Stp  S xq  2Sd ; V   r 2 h

l : Đường sinh

 l  h

h : Chiều cao
7. Khối cầu có bán kính r

4
S  4 r 2 ; V   r 3
3

2. Bài tập

Bài toán 1. (Nhận biết) Kim tự tháp Kê-ốp ở
Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500
năm trước công nguyên. Kim tự tháp này là
một khối chóp tứ giác đều có chiều cao
147 m, cạnh đáy dài 230m. Hãy tính thể tích

8


của nó?
* Hướng dẫn giải:

Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài tốn là gì: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều.

Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
+ Giả thiết: Cho hình chóp tứ giác đều có chiều cao 147 m, cạnh đáy dài 230m.
+ Kết luận: Tính thể tích khối chóp đó.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Diện tích đáy là: B  2302  52900( m 2 ).
+ Chiều cao: h  147 m.
1
Vậy thể tích của khối kim tự tháp là: V  .52900.147  2592100m3 .
3

Bài tốn 2. (Thơng hiểu) Một bể cá hình lập
phương có cạnh bằng 50cm. Cần bao nhiêu lít
nước để đổ đầy ba phần tư chiếc bể cá đó?
B. 93,75l.
D. 83,333l.

A. 125l.
C. 166,667l.
* Hướng dẫn giải:

Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính số lít nước để đổ đầy ba phần tư chiếc bể cá

 Tính ba phần tư thể tích của hình lập phương.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
+ Giả thiết: Hình lập phương có cạnh bằng 50cm.
+ Kết luận: Tính

3

thể tích khối lập phương đó.
4

Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Theo bài ra, ta có 3 V  3 .503  93750 (cm3 )  93,75l  Chọn B.
4
4
9


Bài tốn 3. (Thơng hiểu) Một máng nước
có hình dạng một nửa hình trụ với các kích
thước như hình vẽ. Cần lượng nước bao
nhiêu để đổ đầy máng nước đó.
B. 750 cm3 .
D. 3000 cm3 .

A. 6000 cm3 .
C. 1500 cm3 .
* Hướng dẫn giải:

Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài tốn là gì: Tính lượng nước để đổ đầy máng nước  Tính
một phần hai thể tích khối trụ.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
+ Giả thiết: Hình trụ có chiều cao bằng 15cm và đường kính đáy bằng 20cm.
+ Kết luận: Tính

1
thể tích khối trụ đó.
2

Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Bán kính đáy r  10cm.
+ Lượng nước để đổ đầy máng nước:

1
1
1
V   r 2 h   .102.15  750 cm3  Chọn B.
2
2
2

Bài tốn 4. (Thơng hiểu) Một người bơm nước vào bể hình lập phương cạnh 18dm mỗi
ngày là 1000l nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày bơm nước thì bể đầy nước (biết trong quá
trình bơm nước không được tháo nước ra).
* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính số ngày cần bơm để bể đầy nước  Cần
tính thể tích khối lập phương.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
+ Giả thiết: Hình lập phương có cạnh bằng 18dm.
+ Kết luận: Tính thể tích khối lập phương.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Theo bài ra, ta có V  183  5832 dm3  5832 l.
+ Số ngày cần để bơm đầy bể là:

V
5832

 5,832.

1000 1000

Vậy cần 6 ngày để bơm đầy bể.
10


Bài tốn 5. (Thơng hiểu) Mơ hình thu nhỏ của một ngơi nhà ngói khơng làm trần với các
kích thước như hình vẽ. Hãy tính thể tích phần khơng gian bên trong ngơi nhà đó.
A. V  400cm3 .

B. V  320cm3 .

C. V  960cm3 .

D. V  500cm3 .

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài tốn là gì: Tính thể tích phần khơng gian bên trong ngơi
nhà  Cần tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác và thể tích khối lập phương.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
- Giả thiết: Có hai khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật ghép lại với nhau.
+ Khối lăng trụ đứng có chiều cao 5 cm, đáy là tam giác có chiều cao bằng 4cm và cạnh
đáy bằng 8 cm.
+ Khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là 8cm, 5cm, 6cm.
- Kết luận: Tính tổng thể tích V của hai khối đó.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài u cầu
1
+ Thể tích khối lăng trụ: V1  B.h  .4.8.5  80cm3 .
2

+ Thể tích khối hộp chữ nhật: V2  8.5.6  240cm3 .
Suy ra V  V1  V2  320cm3  Chọn B.
Bài tốn 6. (Thơng hiểu) Từ một tấm tơn hình chữ nhật kích thước 50 x100(cm) người ta
gị thành mặt xung quanh của một hình trụ có chiều cao 50 cm. Tính thể tích của khối trụ
đó.

11


12000 3
cm .

* Hướng dẫn giải:
A. V 

B. V 

125000 3
cm .


C. V 

15000 3
cm .


D. V 

48000 3

cm .


Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính thể tích của khối trụ.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
- Giả thiết: Cho hình trụ có chiều cao 50cm và chu vi đường tròn đáy là 100 cm.
- Kết luận: Tính thể tích khối trụ.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
+ Bán kính đáy: r 

100 50
 (cm).
2

2

125000
 50 
cm3   Chọn B.
+ Thể tích khối trụ: V   r h   .   .50 


 
2

Bài toán 7. (Vận dụng) Cho một cái bể đựng nước mưa hình hộp chữ nhật có ba kích
thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều rộng, chiều dài, chiều cao của lòng trong đựng nước
của bể. Hàng ngày nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là

5cm và bán kính đường trịn đáy là 4 cm. Trung bình một ngày được múc ra 170 gáo

nước để sử dụng (biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi sau bao nhiều ngày thì bể hết
nước biết rằng ban đầu bể đầy nước ?

A. 280 ngày.

B. 281 ngày.

C. 282 ngày.

D. 283 ngày.

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính số ngày để múc hết bể nước  Cần tính
thể tích khối hộp chữ nhật và thể tích khối trụ.
12


Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
- Giả thiết:
+ Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m.
+ Hình trụ có chiều cao là 5cm và bán kính đường trịn đáy là 4 cm.
- Kết luận: Tính thể tích khối hộp chữ nhật và thể tích khối trụ.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
3
+ Thể tích nước được đựng đầy trong bể là: V  2.3.2  12  m  .

+ Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: Vg   .42.5  80  cm3  
+ Thể tích nước múc ra trong một ngày là: Vm  170.Vg 



m3  .

12500

17
  m3  .
1250

V
12

 280,8616643.
17
+ Số ngày để múc hết bể nước là: Vm

1250
Vậy cần 281 ngày để múc hết bể nước  Chọn C.
Bài toán 8. (Vận dụng) Để làm cống thoát nước cho một con
đường người ta cần đúc 200 ống hình trụ bằng bê tơng có đường
kính trong lịng ống là 1m và chiều cao của mỗi ống bằng 2 m,
độ dày của thành ống là 8cm. Biết rằng 1m3 bê tơng thì cần đúng
10 bao xi-măng. Hỏi cần bao nhiêu bao xi-măng để đúc 200 ống
trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
A. 523bao.

B. 1025bao.

C. 2091bao.

D. 1086 bao.

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính số bao xi-măng để đúc 200 ống hình trụ.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
- Giả thiết:
+ Phần lịng ống là hình trụ có đường kính là 1m và chiều cao bằng 2 m có thể tích V .
1
+ Phần ống là hình trụ có độ dày thành ống

8cm

- Kết luận: Tính V  V2  V1 .
13

và chiều cao bằng 2 m có thể tích V .
2


Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
V  V2  V1   r2 2 h   r12 h   .2(0,582  0,52 ).

Suy ra số bao xi măng để đúc 200 ống hình trụ là:
V .10.200   .2(0,582  0,52 ).10.200  1085.7  Chọn D.

Bài toán 9. (Vận dụng) Một căn lều được dựng từ
bạt và 4 thanh tre có dạng là một hình chóp tứ giác
đều như hình vẽ. Biết nếu một người đi đều dọc theo
một cạnh của căn lều với vận tốc 0,5m / s thì phải
mất 6s. Hỏi thể tích của căn lều là bao nhiêu nếu góc
giữa mỗi thanh tre và mặt đất là 700 (kết quả làm tròn

đến hàng phần trăm).
* Hướng dẫn giải:

Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính thể tích của căn lều  Tính thể tích của
khối chóp tứ giác đều.
Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
+ Giả thiết: Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy AB  0,5.6  3m, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng 70o.
+ Kết luận: Tính thể tích khối chóp đó.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài u cầu
+ Diện tích đáy lều là: S ABCD  32  9m 2 .
·
+ Chiều cao của lều là: SH  AH .tan SAH


3 2
.tan 700  m  .
2

14


1
Vậy thể tích của căn lều là: V  S ABCD .SH  17, 48(m3 ).
3

Bài toán 10. (Vận dụng cao) Khi thả một viên bi
khơng thấm nước dạng hình cầu, bán kính bằng 3cm
vào một cái ly hình trụ đang chứa nước thì thấy chiều
cao của nước trong ly dâng thêm 1cm. Biết rằng chiều

cao của mực nước ban đầu trong ly bằng 7,5 cm. Tính
thể tích V của khối nước ban đầu có trong ly.

A. V  282,74cm3 .

B. V  848, 23cm3 .

C. V  636,17cm3 .

D. V  1272,35cm3 .

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài tốn là gì: Tính thể tích của khối nước ban đầu có trong ly
 Cần tính thể tích của khối trụ có chiều cao 7,5 cm.

Câu hỏi 2: Thiết lập bài tốn hình học
- Giả thiết:
+ Hình cầu có bán kính r  3 cm.
+ Hình trụ lúc đầu có chiều cao 7,5 cm, bán kính r và có thể tích V1.
+ Hình trụ sau khi thả viên bi có chiều cao tăng lên 1cm, bán kính r và có thể tích V2 .
- Kết luận: Tính V1.
Câu hỏi 3: Tính dữ kiện đề bài yêu cầu
4
4
+ Theo bài ra, ta có Vcau   r 3   .33  36 .
3
3

+ Ta có: V2  V1  Vcau  V2  V1  Vcau   r 2 (h2  h1 )  36  r  6.
Suy ra V1   r 2 h1   .62.7,5  848, 23cm 3  Chọn B.

CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa

 f ( x)  M , x  D
max f ( x)  M  
D
 x0  D : f ( x0 )  M
15


 f ( x )  m, x  D
min f ( x)  m  
D
 x0  D : f ( x0 )  m
Phương pháp chung để tìm

B1: Tìm TXĐ của hàm số

giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ

B2: Tính đạo hàm và lập BBT

nhất của hàm số

B3: Kết luận

2. Bài tập

Bài tốn 1. (Thơng hiểu) Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, các nhà thiết kế ln đặt
mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất. Bán kính đáy vỏ lon là bao
nhiêu khi ta muốn thể tích lon là 314cm3 ?
A. r  3 314 cm.


B. r  3 314 cm.
2

C. r  942 3 2 cm.

D. r  3 314 cm.
4

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính bán kính đáy vỏ lon. Vì ngun liệu làm vỏ
hộp ít nhất nên diện tích tồn phần hình trụ nhỏ nhất  Cần tìm GTLN - GTNN của hàm
số diện tích tồn phần theo biến là bán kính đáy của hình trụ.
Câu hỏi 2: Thiết lập cơng thức tính diện tích tồn phần S của hình trụ
+ Cơng thức: Stp  S xq  2S d  2 rl  2 r 2 , với r là bán kính đáy của hình trụ, l là
đường sinh của hình trụ.
+ Vì hàm diện tích Stp có hai biến nên phải biểu diễn cơng thức tính diện tích theo một
biến. Từ giả thiết thể tích khối hộp ta có: Vtru   r 2 h   r 2l  314  l 
Khi đó: S  Stp  2 rl  2 r 2  2 r

314
.
 r2

314

628
 2 r 2 
 2 r 2 .
2
r
r

+ Tìm điều kiện của biến r : r  0.
Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích tồn phần
+ Xét hàm số S 

628
 2 r 2 trên khoảng (0; ).
r

Ta có: S '(r )  4 r 

628
;
r2

S '(r )  0  4 r 

628
314
 0  2 r 3  314  r  3
.
2
r
2

16


Bảng biến thiên

r

0

3



S '(r )



314
2

0






S (r )

 314 
S 3

 2 

Quan sát bảng biến thiên ta thấy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại r =

3

314
.
2

Vậy để chi phí ngun liệu làm vỏ hộp là ít nhất thì bán kính đáy vỏ lon là r =

3

314
cm .
2

 Chọn B.
Bài tốn 2. (Thơng hiểu) Một nhóm học sinh dựng lều
khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi tấm bạt hình chữ
nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 6m (gấp theo
đường như trong hình vẽ) sau đó dùng hai cây gậy có
chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng
vào hai mép gấp. Hỏi khi dùng chiếc gậy có chiều dài
bằng bao nhiêu thì khơng gian trong lều là lớn nhất?
A.

5m.

B. 3 2 m.
2

C. 1,5m.

D. 1 m.

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính chiều dài chiếc gậy để không gian trong lều
là lớn nhất  Tìm GTLN - GTNN của hàm thể tích khối lăng trụ, biến là chiều cao của
tam giác đáy lăng trụ.
Câu hỏi 2: Thiết lập cơng thức tính thể tích khối lăng trụ
Gọi x là chiều dài chiếc gậy. Điều kiện 0  x  3.
+ Vì đáy là tam giác cân có cạnh bên bằng 3m nên diện tích đáy là S  x 9  x 2 .
+ Thể tích khối lăng trụ: V  B.h  12 x 9  x 2 .
Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích S
17


+ Xét hàm số V ( x)  12 x 9  x 2 trên khoảng  0;3 .
Ta có: V '( x) 

108  24 x 2
9 x

2

; V '( x )  0  x  3 2 .
2

Bảng biến thiên

x

3 2
2

0


V '( x)

0

3



54
V ( x)
 max V ( x)  54 khi x 
 0;3

0

0

3 2
 Chọn B.
2

Bài tốn 3. (Thơng hiểu) Một người bán gạo muốn đóng một thùng tơn đựng gạo có thể
tích khơng đổi bằng 8m3 , thùng tơn hình hộp chữ nhật có đáy là hình vng, khơng nắp.
Trên thị trường, giá tơn làm đáy thùng là 100000 / m 2 và giá tôn làm thành xung quanh
thùng là 50000 / m 2 . Hỏi người bán gạo đó cần đóng thùng đựng gạo với cạnh đáy bằng bao nhiêu
để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất ?

A. 3m.
* Hướng dẫn giải

B. 1,5m.

C. 2m.

D. 10m.

Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài toán là gì: Tính cạnh đáy của cái thùng đựng gạo để chi phí
mua ngun liệu là nhỏ nhất  Tìm GTLN - GTNN của hàm chi phí mua nguyên vật
liệu, biến là cạnh đáy hình hộp.
Câu hỏi 2: Thiết kế hàm chi phí để mua nguyên liệu.
+ Gọi a là cạnh đáy của hình hộp chữ nhật và b là chiều cao của hình hộp chữ nhật. Điều
kiện a  0, b  0. Đơn vị của a , b là m. Ta có
8
V  a 2b  8  ab  .
a

+ Chi phí làm đáy là: 100000a 2 .

+ Chi phí làm mặt xung quanh là: 50000.4ab.
+ Chi phí để làm thùng tơn là: 100000a 2  50000.4ab  100000a 2 

18

1600000
.
a


Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm chi phí
+ Xét hàm số y  100000a 2 
Ta có: y '( a)  200000a 

1600000
trên khoảng (0; ).
a

1600000
; y '( a)  0  a  2.
a2

Bảng biến thiên

a

0



y '(a )



2

0






y (a)

1200000

y (a)  1200000 tại a  2 .
Quan sát bảng biến thiên ta thấy: min
(0 ;   )
Vậy chi phí nhỏ nhất bằng 1200000 đồng khi cạnh đáy hình hộp bằng 2m  Chọn C.
Bài tốn 4. (Thơng hiểu) Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 20(cm). Nếu ta cắt ở bốn
góc bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh là x(cm) rồi gập tấm nhôm lại để
được một cái hộp không nắp. Tính cạnh của các hình vng bị cắt sao cho thể tích của
khối hộp là lớn nhất.

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính cạnh của các hình vng bị cắt sao cho thể
tích của khối hộp là lớn nhất  Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số thể tích theo biến là
cạnh của hình vng bị cắt.

Câu hỏi 2: Thiết lập cơng thức tính thể tích V của khối hộp
+ Cơng thức: V  B.h  (20  2 x) 2 x  4 x3  80 x 2  400 x, x là cạnh của hình vng được cắt.
+ Tìm điều kiện của biến x : 0  x  10.
Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm số thể tích V
+ Xét hàm số V ( x)  4 x3  80 x 2  400 x trên khoảng (0;10).
19


Ta có: V '( x)  12 x 2  160 x  400;
10

x

 (0;10)
V '( x)  0  
3

 x  10  (0;10).
Bảng biến thiên

x

10
3

0


V '( x )

0

10

16000
27

V ( x)

0

0

Quan sát bảng biến thiên ta thấy: max V ( x) 
(0; 10)

16000
10
khi x  .
27
3

Vậy thể tích khối hộp lớn nhất khi cạnh của hình vng bị cắt là x 

10
.
3

Bài tốn 5. (Thơng hiểu) Một cơng ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ
nhật có đáy là hình vng sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích

tồn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
A. 2 3 2dm.

B. 2dm.

C. 4dm.

D. 2 2dm.

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính độ dài cạnh đáy của mỗi hộp. Vì diện tích
tồn phần hình hộp chữ nhật nhỏ nhất  Cần tìm GTLN - GTNN của hàm số diện tích
theo biến là cạnh đáy của hình hộp.
Câu hỏi 2: Thiết lập cơng thức tính diện tích tồn phần S của khối hộp
+ Cơng thức: S  2 x 2  4 xh , x là cạnh đáy của hình hộp, h là chiều cao của hình hộp.
+ Vì hàm diện tích S có hai biến nên phải biểu diễn cơng thức tính diện tích theo một
biến. Từ giả thiết, thể tích khối hộp V  B.h  8  x 2 h  8  h 
Khi đó: S  2 x 2  4 xh  2 x 2  4 x

8
.
x2

8
32
 2x2  .
2
x
x

+ Tìm điều kiện của biến x : x  0.
Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm diện tích tồn phần.

20


+ Xét hàm số S ( x)  2 x 2 
Ta có: S '( x )  4 x 

32
trên khoảng (0; ).
x

32
; S '( x)  0  4 x3  32  x  2.
2
x

Bảng biến thiên

x

0



S '( x)



2

0






S ( x)

24

min S ( x)  24 khi x = 2.
Quan sát bảng biến thiên ta thấy: (0;
 )

Vậy để diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn
thiết kết là 2dm  Chọn B.
Bài tốn 6. (Thơng hiểu) Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga.
Quãng đường S đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t , hàm số đó là

S  6t 2  t 3 . Thời điểm t mà tại đó vận tốc v của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là
A. t  2  h  .

B. t  4  h  .

C. t  10  h  .

D. t  6  h  .

* Hướng dẫn giải:
Câu hỏi 1: u cầu của bài tốn là gì: Tính thời điểm t để vận tốc v đạt giá trị lớn nhất
 Tìm GTLN – GTNN của hàm vận tốc theo biến t.

Câu hỏi 2: Thiết lập cơng thức tính vận tốc v của chuyển động
+ Công thức: v(t )  S '(t )  12t  3t 2 .
+ Do t  0 và S  6t 2  t 3  0  0  t  6.
Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm vận tốc v
+ Xét hàm số v(t )  12t  3t 2 trên khoảng (0;6).
+ Ta có: v '(t)  6t  12;

v '(t)  0  t  2.

Bảng biến thiên:

t

v '(t )

0

6

2



0

21




12

v(t )

0

0

Vậy tại thời điểm t  2  h  thì vận tốc đạt giá trị lớn nhất  Chọn A.
Bài tốn 7. (Vận dụng) Ơng A dự định sử dụng hết 6,5m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có
dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng
đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 2, 26m 3 .
* Hướng dẫn giải:

B. 1,61m 3 .

C. 1,33m3 .

D. 1,50m 3 .

Câu hỏi 1: Yêu cầu của bài tốn là gì: Dung tích bể cá lớn nhất  Thể tích bể cá lớn
nhất  Tìm GTLN - GTNN của hàm thể tích biến là chiều rộng hoặc chiều cao của bể.
Câu hỏi 2: Thiết lập cơng thức tính thể tích bể cá

+ Diện tích tồn phần của bể cá: S  2 x 2  2 xh  4 xh  6,5  h 

6,5  2 x 2 6,5 x  2 x3
+ Thể tích bể cá: V  2. x .h  2 x .

.
6x
3
2

2

+ Do h  0, x  0 nên 6,5  2 x 2  0  0  x 

13
.
2

Câu hỏi 3: Lập bảng biến thiên và khảo sát hàm thể tích V

6,5 x  2 x3
+ Xét hàm số V ( x) 
trên khoảng
3
Ta có: V '  x  


13 
 0;
.

2



13
 2x2 ;
6

22

6,5  2 x 2
.
6x