Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số nguyễn tất thu – trường THPT lê hồng phong

Đề tài

Một số phương pháp xác định công
thức tổng quát của dãy số

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỤC LỤC
MỤC LỤC ..................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................ 2
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT..................................... 3
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23
III. XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH................................. 28
IV. ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ .... 32
BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP ......................................................................... 32
BÀI TậP ÁP DụNG ..................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 47

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-1-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

LỜI MỞ ĐẦU
Trong chương trình tốn học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần

quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên qua đến dãy số và đặc biệt là bài tốn xác định cơng thức số hạng tổng
qt của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài tốn khi đã xác định được cơng thức tổng
qt của dãy số thì nội dung của bài tốn gần như được giải quyết. Do đó xác định cơng
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong các bài toán dãy số.
Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ”
nhằm chia sẻ với các bạn một số kinh nghiệm giải bài tốn tìm CTTQ của dãy số mà bản
thân đúc rút được trong qua trình học tập.
Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :
I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số
có dạng cơng thức truy hồi đặc biệt.
II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số
III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số
IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy
nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn giản đến
phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển tư duy cho
các em học sinh.
Trong q trình viết chun đề, chúng tơi nhận được sự động viên, giúp đỡ nhiệt
thành của BGH và q thầy cơ tổ Tốn Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tơi
xin được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc.
Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên đề sẽ có những thiếu sót. Rất
mong quý Thầy – Cô và các bạn đồng nghiệp thông cảm và góp ý để chuyên đề được tốt
hơn.
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-2-

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ
DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.
Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng dãy
số có cơng thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa trên các
kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết ta
nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC .
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi là cấp số cộng nếu có một số thực d sao cho với mọi số
nguyên n ³ 2 ta có: un = un -1 + d .
d : gọi là công sai của CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi là số hạng tổng quát của cấp số

Định lí 1: Cho CSC (un ) . Ta có : un = u1 + (n - 1)d

(1).

Định lí 2: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSC (un ) có cơng sai d. Ta có:
n
[2u + (n - 1)d ]
(2).
2 1
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un "n ẻ Ơ * gi l cp s nhõn cơng
bội q
Sn =

n -1
Định lí 3: Cho CSN (un ) có cơng bội q. Ta có: un = u1q
(3).

Định lí 4: Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của CSN (un ) có cơng bội q . Ta có:
Sn = u1

1 - qn
1 -q

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

(4).

-3-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt
Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi
u1 = 1, un = un -1 - 2

"n ³ 2 .

Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSC có cơng sai d = -2 . Áp dụng kết quả (1) ta có:
un = 1 - 2(n - 1) = -2n + 3 .

Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) được xác định bởi

u1 = 3, un = 2un -1

"n ³ 2 .

Giải:
Ta thấy dãy (un ) là một CSN có cơng bội q = 2 . Ta có: un = 3.2n -1 .
Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy (un ) được xác định bởi:
u1 = -2, un = 3un -1 - 1

"n ³ 2 .

Giải:
Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (un ) khơng phải là CSC hay CSN!
Ta thấy dãy (un ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng số -1 ở VT. Ta tìm cách làm
mất -1 đi và chuyển dãy số về CSN. Để thực hiện ý đồ này ta đặt un = k .vn + l ; k, l là
các hằng số và k ¹ 0 ( ta sẽ chọn k, l sau).
2l - 1
Khi đó, ta có: k .vn + l = 3k .vn -1 + 3l - 1 Û vn = 3vn +
.
k
ìk = 1
2l - 1
1
ï
Ta chọn k, l :
= 0 Û l = và k bất kì nờn ta chn ớ
1.
k
2
l

=
ù
ợ
2
ỡvn = 3vn -1
ù
ị (vn ) : í
5 . Dễ thấy dãy (vn ) là CSN với cụng bi q = 3
v
=
ù 1
ợ
2
5
1
5.3n -1 1
ị vn = v1 .q n -1 = - .3n -1 . Suy ra: un = vn + = +
2
2
2
2
Ta thấy k bất kì, do đó khi đặt ta chọn k = 1 .
Tương tự cách làm này ta có được kết quả tổng quát sau:

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-4-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x 0 , un = aun -1 + b "n ³ 2 ( a,b ¹ 0 là các hằng số) có
CTTQ là:
ìu1 + (n - 1)b
khi a = 1
ï
.
un = í
a n -1 - 1
n -1
+b
khi a ¹ 1
ïu1 .a
ỵ
a -1
Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ của dãy (un ) được xác định bởi
u1 = 2; un +1 = 2un + 3n + 2 .

Giải: Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì hệ số tự do ở đây khơng
phải là hằng số mà là một hàm bậc nhất biến n . Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước
cách giải ở trên làm mất 3n + 2 ở VP, ta đặt : un = k .vn + t.n + l ; k , t, l là các hằng số
k ¹ 0 . Khi đó ta có:
t+3
l -t +2
.
kvn + 1 + t(n + 1) + l = 2kvn + 2tn + 2l + 3n + 2 Û vn +1 = 2vn +
.n +
k
k
ìt + 3

ìt = -3
=0
ïï
ï
Ta chọn k , t, l sao cho: í k
Û íl = -1 , ta chọn k = 1 .
ïl - t + 2 = 0
ùk ạ 0
ùợ k
ợ
ỡùv = 6
ị (vn ) : ớ 1
Þ vn = 6.2n -1 = 3.2n . Vậy un = vn - 3n - 1 = 3.2n - 3n - 1 .
v = 2vn -1
ỵï n
Ta thấy trong cách giải trên không phụ thuộc vào k , nên khi đặt ta có thể chọn k = 1 .
ìïu = 2
Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : í 1
. Tìm CTTQ của dãy (un ) .
ïỵun = un -1 + 2n + 1

Giải: Với bài toán này nếu ta thực hiện cách làm như trên sẽ không dẫn đến kết quả, vì
2
1-t
sau khi đặt ta có : vn +1 = vn + .n +
dẫn đến ta không thể làm mất n được.
k
k
Ta sẽ đi tìm lời giải khác cho bài tốn trên. Ta viết cơng thức truy hồi của dãy đã cho
dưới dạng sau un - un -1 = 2n + 1 . Từ đây ta có:

un = (un - un -1 ) + (un -1 - un - 2 ) + ... + (u2 - u1 ) + u1
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-5-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

(

)

= 2n + 1 + 2(n - 1) + 1 + ... + 2.2 + 1 + 2 = 2 n + n - 1 + ... + 2 + 1 + n - 1

n(n + 1)
+ n - 1 = n 2 + 2n - 1 .
2
Từ kết quả chúng ta tìm được, ta thấy được nguyên nhân mà cách làm ban đầu không
cho ta kết quả là CTTQ của dãy số là một đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban
đầu thì ta thấy là trong CTTQ của dãy là một đa thức bậc nhất. Từ phân tích này ta có
thể giải bài toán trên theo cách khác như sau:
=2

Đặt un = vn + an 2 + bn + c . Khi đó, ta có:
vn + an 2 + bn + c = vn -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + c + 2n + 1

Û vn = vn -1 + 2(1 - a )n + a - b + 1 .
ìï1 - a = 0
ìïa = 1
Ta chọn í

, c bất kì nên ta chọn c = 0 .
ớ
a
b
+
1
=
0
b
=
2
ùợ
ợù
ỡùv = -1
Khi ú: (vn ) : ớ 1
ị vn = vn -1 = vn - 2 = ... = v1 = -1
v
=
v
n -1
ỵï n

Vậy un = vn + n 2 + 2n = n 2 + 2n - 1 .
Vì c bất kì nên ta chỉ cần đặt un = vn + an 2 + bn = vn + n(an + b)
Dạng 2: Từ ví dụ 4 và cách giải thứ hai của ví dụ 5 ta rút ra được cách tìm CTTQ của
ìïu = x 0
dãy (un ) được xác định bởi: í 1
, trong đó f (n ) là một đa thức bậc k
u
=

a
.
u
+
f
(
n
)
n -1
ỵï n
theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau:
* Nếu a = 1 , ta đặt un = vn + n.g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n bậc k , thay vào
công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn g(n ) : ng(n ) - (n - 1)g(n - 1) = f (n ) ta có được

( )

( )

dãy vn là CSN với cơng bội q = 1 từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn suy ra ta có
CTTQ của dãy (un ) .
* Nếu a ¹ 1 , ta đặt un = vn + h(n ) với h(n ) là một đa thức theo n bậc k . Thay vào
công thức truy hồi của dãy rồi ta chọn h(n ) : h(n ) - ah(n - 1) = f (n ) ta có được dãy

(vn ) là CSN với cơng bội q = a

( )

từ đó ta tìm được CTTQ của dãy vn . Suy ra ta có

CTTQ của dãy (un ) .

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-6-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ìïu1 = 1
Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : í
.Tìm CTTQ của dãy (un ) .
n
u
=
3
u
+
2
;
n
=
2,
3,...
ïỵ n
n -1

Giải:
Với cách giải tương tự như các ví dụ trên ta đặt: un = vn + a.2n .
Ta có: vn + a.2n = 3(vn -1 + a.2n -1 ) + 2n Û vn = 3vn -1 + 2n (a + 2)
Ta chọn a = -2 Þ vn = 3vn -1 = v1.3n -1 = 5.3n -1
Vậy un = 5.3n -1 - 2n + 1 .

Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un -1 + b.a n , ta đặt
un = x n + y.a n . Khi đó , ta có: x n + y.a n = a.xn -1 + ay.a n -1 + b.a n
ba
Þ xn = a.x n -1 + éëy(a - a ) + ba ùû a n -1 . Do đó, nếu a ¹ a , ta chọn y =
a -a

ba 2 n -1
ba
Þ un = (u1 )a
+
.a n
Þ xn = a.xn -1 Þ x n = x1.a
a -a
a -a
Trường hợp a = a Þ un - a.un -1 = b.a n
n -1

Þ un = (un - a.un -1 ) + a(un -1 - un - 2 ) + ... + a n - 2 (u2 - au1 ) + u1.a n -1
Þ un = b(n - 1)a n + u1a n -1 . Vậy ta có kết quả sau.
ìïu1 = p
Dạng 3: Cho dãy (un ) : í
. Khi đó ta có:
n
u
=
a
.
u
+
b

.
a
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
· Nếu a = a Þ un = éëab(n - 1) + u1 ùû a n -1 .

ba 2 n -1
ba
)a
+
.a n .
a -a
a -a
Chú ý : Trong trường hợp a = a ta có thể tìm CTTQ của dãy (un ) như sau:

· Nu a ạ a ị un = (u1 -

t un = x n + y.n.a n . Khi đó ta có: x n + y.n.a n = a.x n -1 + ay(n - 1).a n -1 + b.a n

Þ xn = a.xn -1 + (-y + b).a n nên ta chọn y = b
Þ xn = x1.a n -1 Þ un = (u1 - ab)a n -1 + bn.a n = éëab(n - 1) + u1 ùû a n -1 .

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-7-

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ìïu1 = -2
Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í
.
n
n
u
=
5
u
+
2.3
6.7
+
12
;
n
=
2,
3,...
ïỵ n
n -1

Giải: Đặt un = vn + a.3n + b.7n + c . Khi đó , ta có:

vn + a.3n + b.7n + c = 5(vn -1 + a.3n -1 + b.7n -1 + c) + 2.3n - 6.7n + 12
Û vn = 5vn -1 + 3n -1(2a + 6) - 7n -1(2b + 42) + 4c + 12 .
ì2a + 6 = 0

ìa = -3
ï
ï
Ta chọn a, b, c : í2b + 42 = 0 Û íb = -21 .
ï4c + 12 = 0
ïc = -3
ợ
ợ

Khi ú: vn = 5vn -1 ị vn = v1.5n -1 = 157.5n -1
Vậy un = vn - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 = 157.5n -1 - 3n +1 - 3.7n + 1 - 3 .
Qua ví dụ trên ta có kết quả sau:
ìïu1 = p
Dạng 4: Để tìm CTTQ của dãy số (un ) : í
,
n
n
ïỵun = a.un -1 + b.a + c.b + d ; "n ³ 2
( trong đó a,b, c ¹ 0; a , b ¹ 1; a .b ¹ a ) ta làm như sau:

· Nếu a = 1 Þ un - un -1 = b.a n + c.b n + d
Þ un = u1 +
= u1 +

n -2

å (un -i - un -i -1 )

i =0
n -2

å (b.a

i =0

n -i

+ c.b

n -i

n -2

+ d ) = u1 + b å a
i =0

n -i

n -2

+ c å b n - i + d .(n - 1)
i =0

ỉ 1 - an
ư
ỉ1 - bn
ử
ị un = u1 + b.a . ỗ
- 1 ữ + c.b . ỗ
- 1 ữ + d .(n - 1) .

ỗ 1-a
ữ
ỗ 1- b
ữ
ố
ứ
ố
ứ
à Nu a ạ 1 , ta đặt un = vn + x .a n + y.b n + z

Ta có: vn = a.vn -1 + (ax - xa + ab)a n -1 + (by - y b + b c)b n -1 + z (a - 1) + d
Ta chọn : x =

ab
bc
d
.
;y =
;z =
a -a
b -b
1-a

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-8-


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Khi đó: vn = a.vn -1 Þ vn = v1 .a

n -1

ổ
a 2b
b 2c
d ử n -1
= ỗ u1 ữa
ỗ
ữ
a
a
b
b
1
a
ố
ứ

ổ
a 2b
b 2c
d ử n -1
b
c
d
un = ỗ u1 +
an +
bn +

ữa
.
ỗ
ữ
a
a
b
b
1
a
a
a
b
b
1
a
ố
ứ

Chỳ ý : Nu a = a hoc b = a thì khi đặt un theo vn thì ta nhân thêm n vào trước a n
hoặc b n .
ìïu1 = 1
Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í
.
n
u
=
2
u
+

3
n
;
"
n
³
2
ïỵ n
n -1

( )

Giải: Để tìm CTTQ của dãy un ta sử dụng hai kết quả 2 và kết quả 3
Đặt un = vn + a.3n + bn + c .

(

)

Ta có: vn + a.3n + bn + c = 2 vn -1 + a.3n -1 + b(n - 1) + c + 3n - n
Û vn = 2vn -1 + (-a + 1)3n -1 + (b - 1)n - 2b + c .

Ta chọn a = b = 1;c = 2 . Khi đó: vn = 2vn -1 Þ vn = v1.2n -1 = -5.2n -1
Vậy un = -5.2n -1 + 3n + n + 2 .
ìïu1 = p
Dạng 5: Nếu dãy số (un ) : í
, trong đó f (n ) là đa
n
u
=

a
.
u
+
b
.
a
+
f
(
n
);
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
thức theo n bậc k ta tìm CTTQ của dãy như sau:

* Nếu a ¹ 1 ta đặt un = vn + x .a n + g(n ) , với g(n ) là đa thức theo n bậc k . Ta sẽ
chọn sao cho dãy (vn ) là một CSN, khi đó ta sẽ tìm được CTTQ của dãy (vn ) từ đó ta
có CTTQ dãy (un ) .
* Nếu a = 1 thì ta tìm được un theo cách làm đã ở kết quả 2 và 3.

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

-9-

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Ví dụ 1.9: Xác định CTTQ của dãy (un ) : u0 = -1, u1 = 3, un +1 = 5un - 6un -1 "n ³ 1.
Giải:
Ta viết công thức truy hồi của dãy lại như sau: un +1 - 2un = 3(un - 2un -1 ) (1)
ìïv = 5
Đặt vn +1 = un +1 - 2un , ta có: í 1
Þ vn = 5.3n -1 Þ un - 2un -1 = 5.3n -1 .
ïỵvn +1 = 3vn

Sử dụng kết quả 2, ta có: un = 5.3n - 6.2n .
Trong lời giải trên ta đã phân tích 5 = 2 + 3 và 6 = 2.3 để viết lại cơng thức truy hồi
như (1), từ đó ta đưa vào được dãy phụ (vn ) là một CSN. Các hệ số xuất hiện trong công
thức truy hồi là 5;6 nên ta dễ dàng tìm được mối liên hệ, trong trường hợp tổng qt ta
có ln phân tích được các hệ số như vậy hay khơng ? Nếu được thì phân tích như thế
nào ?. Ta xét ví dụ sau:
ìïu = 1; u1 = 2
Ví dụ 1.10: Cho dãy số un được xác định bởi : í 0
.
u
=
4
u
+
u
"
n
³
1
ïỵ n + 1

n
n -1
Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) .

( )

Giải:
ìïx + y = 4
Gọi x , y là hai số thỏa mãn: í
Û x , y là nghiệm PT: X 2 - 4X - 1 = 0
xy
=
1
ïỵ
Û X = 2 ± 5 , ta chọn x = 2 + 5; y = 2 - 5 .
Ta có: un +1 = (x + y )un - xyun -1 Û un +1 - x .un = y(un - xun -1 ) .

Đặt vn = un - x .un -1 Þ v1 = 2 - x và vn +1 = y.vn Þ vn = v1.y n -1 = (2 - x )y n -1
Þ un - x .un -1 = (2 - x )y n -1 . Áp dụng kết quả 3, ta có:
un =

y -2 n 2-x n 1é
x +
y = (2 + 5)n + (2 - 5)n ù .
û
y -x
y -x
2ë

Ví dụ 1.11: Cho a,b, c là các số thực khác khơng và dãy (un ) được xác định bởi

ìïu 0 = p; u1 = q
. Hãy xác định CTTQ của dãy (un ) ?
í
ïỵun +1 = a.un + b.un -1

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 10 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Giải:
Ta viết lại công thức truy hồi của dãy đã cho như sau: un +1 - x .un = y(un - x .un -1 ) .
ìïx + y = a
Ta xác định x , y sao cho: í
Þ x, y là nghiệm PT: X 2 - aX - b = 0 (1).
ïỵxy = -b
Giả sử tồn tại tại x , y , tức là phương trình (1) có nghiệm.
ìïv = q - x .p
Đặt vn = un - x .un -1 . Ta có: í 1
Þ vn = (q - xp)y n -1
v
=
yv
ùợ n +1
n
ị un - x .un -1 = (q - px )y n -1 .
· Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, hay x ¹ y . Áp dụng kết quả 2, ta có:
yp - q n q - xp n

un =
x +
y .
y -x
y -x
a
· Ta xét trường hợp cịn lại: (1) có nghiệm kép Þ x = y = .
2
n -1

ỉa ư
a
pa a
Þ un - un -1 = (q - )( )n -1 . p dng kt qu 2: un = ỗ ữ
2
2 2
è2ø
Vậy ta có kết quả tổng quát sau:

é pa
ap ù
+ (q - )n ú .
ê
2 û
ë 2

Dạng 6: Cho a,b, c là các số thực khác không; a 2 - 4b ³ 0 và dãy (un ) được xác định
ìïu = p; u1 = q
bởi: í 0
. Khi đó:

u
=
a
.
u
+
b
.
u
ïỵ n +1
n
n -1
y.u0 - u1 n u1 - x .u0 n
x +
y , trong đó x , y là nghiệm của
· Nếu a 2 - 4b > 0 thì un =
y -x
y -x

phương trình : X 2 - aX - b = 0 (1).
n -1

ỉa ư
é pa
ap ù
· Nếu a - 4b = 0 thỡ un = ỗ ữ
+ (q - )n ú .
ê
2 û
è2ø

ë2
Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng của dãy.
Chú ý : Để xác định CTTQ của dãy (un ) nói trên ta có thể trình bày như sau
Xét phương trình đặc trưng (1)
2

· Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt X1, X 2 thì un = x .X1n + y.X 2n , dựa vào u 0 , u1 ta tìm
được x , y .
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 11 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

· Nếu (1) có nghiệm kép X1 = X 2 = a thì un = (pn + q ).a n , dựa vào u 0 , u1 ta tìm
được p, q .
ìïu0 = -1; u1 = 3
Ví dụ 1.12: Cho dãy (un ) : í
2
ïỵun - 5un -1 + 6un - 2 = 2n + 2n + 1;
CTTQ của dãy (un ) .

"n ³ 2

. Xác định

Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong cơng thức truy hồi của dãy, bằng cách:
Đặt un = xn + an 2 + bn + c . Thay vào công thức truy hồi của dãy và rút gọn ta được
x n - 5x n -1 + 6xn -1 + 2an 2 - (14a + 2b)n + 19a - b + 2c = 2n 2 + 2n + 1

ì2a = 2
ìa = 1
ï
ï
Ta chọn a,b, c : í14a + 2b = -2 Û íb = -8 . Khi đó:
ï19a - b + 2c = 1
ïc = -13
ỵ
ỵ
ìïx = 12; x1 = 23
. Áp dụng kết quả 3, ta có:
(xn ) : í 0
ïỵx n - 5x n -1 + 6xn - 2 = 0
x n = 13.2n - 3n Þ un = 13.2n - 3n + n 2 - 8n - 13 .
ìïu = p; u2 = q
Ví dụ 1.13: Tìm CTTQ của dãy số: (un ) : í 1
,(
ïỵa.un +1 + b.un + c.un -1 = f (n ) ; "n ³ 2

trong đó f (n ) là đa thức theo n và b 2 - 4ac ³ 0 ).
Giải:
Đặt un = x n + g(n ) với g(n ) là một đa thức theo n . Thay vào công thức truy hỗi của
dãy ta được: a.x n + b.x n -1 + c.x n - 2 + a.g(n ) + b.g(n - 1) + cg(n - 2) = f (n )
Ta chọn g(n ) : a.g(n ) + bg(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) (*).
Khi đó: a.x n + bx n -1 + c.x n - 2 = 0 . Áp dụng kết quả 2, ta có được CTTQ của dãy (x n ) ,
từ đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) .
Vấn đề cịn lại là giải phương trình (*).
Giả sử g(n ) = ak n k + ak -1n k -1 + ... + a1n + a 0 là đa thức bậc k . Khi đó hệ số của x k và

x k -1 trong VP là: ak .(a + b + c)x k và éë -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 ùû x k -1 .Do đó :
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 12 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

* Nếu PT: aX 2 + bX + c = 0 (1) có nghiệm hai nghiệm phân biệt khác 1 thì
a + b + c ¹ 0 nên VT(*) là một đa thức bậc k .
* Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x = 1 Þ a + b + c = 0
và -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 = -(b + 2c).k .ak ¹ 0 nên VT là một đa thức bậc
k - 1.
* Nếu PT (1) có nghiệm kép x = 1 Þ a + b + c = 0 và
éë -(b + 2c)k .ak + (a + b + c)ak -1 ùû x k -1 nên VT(*) là một đa thức bậc k - 2 .

Vậy để chọn g(n ) ta cần chú ý như sau:
v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n ) là một đa thức cùng bậc với f (n )
v Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng 1 thì ta chọn g(n ) là
đa thức lớn hơn bậc của f (n ) một bậc.
v Nếu (1) có nghiệm kép x = 1 thì ta chọn g(n ) là đa thức có bậc lớn hơn bậc của
f (n ) hai bậc.
ìïu = p; u2 = q
Dạng 7: Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1
,
a
.
u
+
b

.
u
+
c
.
u
=
f
(
n
)
;
"
n
³
2
ïỵ n + 1
n
n -1

( trong đó f (n ) là đa thức theo n bậc k và b 2 - 4ac ³ 0 ) ta làm như sau:
· Xác định đa thức g(n ) : a.g(n ) + bg(n - 1) + cg(n - 2) = f (n ) , trong đó g(n ) là: đa
thức theo n bậc k nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ; đa thức bậc k + 1 nếu
(1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 1 ; đa thức bậc k + 2 nếu (1)
có nghiệm kép x = 1
· Khi xác định được g(n ) ta đặt un = x n + g(n ) , ta có dãy (xn ) được xác định bởi:
ìïx 0 = p - g(0); x1 = u1 - g(1)
. Áp dụng kết quả 3 ta xác định được CTTQ của (xn ) , từ
í
ïỵa.x n + 1 + bx n + c = 0 "n ³ 1

đó ta tìm được CTTQ của dãy (un ) .

ìïu0 = -1; u1 = 3
Ví dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í
.
n
u
5
u
+
6
u
=
5.2
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
n -2

Giải: Đặt un = x n + y.2n . Khi thay vào công thức truy hồi ta không làm mất 5.2n ở VT
Ta sẽ đi tìm cách giải khác cho bài tốn này
Ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: (un - 2un -1 ) - 3(un -1 - 2un - 2 ) = 5.2n
Đặt x n = un - 2un -1 Þ xn - 3x n -1 = 5.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có:
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 13 -

Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

x n = 25.3n -1 - 10.2n Þ un - 2un -1 = 25.3n -1 - 10.2n

Sử dụng chú ý ở kết quả 3, ta đặt un = vn + a.3n + bn.2n
Ta được: vn = 2vn -1 + (25 - a )3n -1 - (b + 10)2n . Ta chọn a = 25,b = -10
Þ vn = v0 .2n = -26.2n Þ un = 25.3n - (5n + 13).2n + 1 .

Lưu ý : Dựa vào CTTQ đã xác định ở trên, ta có thể giải bài toán trên theo cách khác
như sau:
Đặt un = xn + yn.2n , ta có: x n - 5x n -1 + 6x n - 2 - y.2n -1 = 5.2n , ta chọn y = -10
ìïx = -1; x1 = 23
. Áp dụng kết quả 4, ta có:
Þ (x n ) : í 0
ïỵxn - 5x n -1 + 6x n - 2 = 0 "n ³ 2

x n = -26.2n + 25.3n Þ un = 25.3n - (5n + 13).2n + 1 .

ìïu0 = 1; u1 = 3
Ví dụ 1.15: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í
n.
u
4
u
+
4
u
=
3.2

ïỵ n
n -1
n -2
Giải:

Với dãy số này nếu ta đặt un = x n + y.2n thì khi thay vào cơng thức truy hồi của dãy
ta không xác định được y ! Nên ta sẽ tìm cách giải khác cho bài tốn này.
Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau: (un - 2un -1 ) - 2(un -1 - 2un - 2 ) = 3.2n
Đặt x n = un - 2un -1 , ta có: x n - 2x n -1 = 3.2n . Áp dụng kết quả 2, ta có:
Þ xn = (6n - 5).2n -1 Þ un - 2un -1 = (6n - 5).2n -1
Þ un = (un - 2un -1 ) + 2(un -1 - 2un - 2 ) + ... + 2n -1(u1 - 2u0 ) + 2n .u0
n
é n
ù
= 2n -1 å (6i - 5) + 2n = 2n -1 ê6å i - 5n + 2 ú
i =1
ëê i =1
ûú
é (n + 1)n
ù
= ê6
- 5n + 2 ú 2n -1 = (3n 2 - 2n + 2)2n -1 .
2
ë
û
Lưu ý : Từ CTTQ của dãy (un ) ta có thể giải bài tốn trên theo cách khác như sau

Đặt un = x n + yn 2 .2n . Ta có: x n - 4x n -1 + 4xn - 2 + 2y.2n = 3.2n . Ta chọn y =

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

3
2

- 14 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ìïx = 1; x1 = 0
. Áp dụng kết quả 4, ta được
Þ (x n ) : í 0
x
4
x
+
4
x
=
0
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
n -2

x n = (2 - 2n )2n -1 Þ un = (2 - 2n ).2n -1 + 3n 2 .2n -1 = (3n 2 - 2n + 2)2n -1 .
Từ ba ví dụ trên ta rút ra được nhận xét sau:

ìïu 0 ; u1
Dạng 8: Cho dãy số (un ) xác định bởi: í
. Để xác
n
u
+
b
.
u
+
c
.
u
=
d
.
a
;
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
n -2
định CTTQ của dãy (un ) ta làm như sau:
· Nếu phương trình : X 2 + bX + c = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt khác a thì ta đặt

un = x n +

da

.a n , ta có: a.x n + 1 + bxn + c.x n -1 = 0 .

aa 2 + ba + c
Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un .

da 2
· Nếu x = a là nghiệm đơn của (1) thì ta đặt: un = x n n.a n , ta có:
b + 2c
a.x n + 1 + bxn + c.x n -1 = 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un .

da 2
.n 2 .a n , ta có:
· Nếu x = a là nghiệm kép của (1) thì ta đặt: un = x n +
ba + 4c
a.x n +1 + bxn + c.x n -1 = 0 .Từ đây sử dụng kết quả 4, ta tìm được x n Þ un .

Với cách xây dựng tương tự ta cũng có được các kết quả sau
ìïu = x, u2 = y, u3 = z
Dạng 9: Cho dãy (un ) : í 1
.Để xác định CTTQ
ïỵaun + 2 + bun + 1 + cun + dun -1 = 0 "n ³ 2

của dãy ta xét phương trình: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) ( (1)gọi là phương trình đặt
trưng của dãy).
· Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt x1, x 2 , x 3 Þ un = a x1n + b x 2n + g x 3n . Dựa vào

u 0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g .

· Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép: x1 = x 2 ạ x 3 ị un = (a + b n )x1n + g .x 3n

Dựa vào u0 , u1, u2 ta tìm được a , b , g .

· Nếu (1) có nghiệm bội 3 x1 = x 2 = x 3 Þ un = (a + b n + g n 2 )x1n . Dựa vào u 0 , u1, u2
ta tìm được a , b , g .
Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 15 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ìïu = 0, u2 = 1, u3 = 3,
Ví dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í 1
ïỵun = 7un -1 - 11.un - 2 + 5.un - 3 , "n ³ 4

Giải : Xét phương trình đặc trưng : x 3 - 7x 2 + 11x - 5 = 0
Phương trình có 3 nghiệm thực: x1 = x 2 = 1, x 3 = 5
Vậy an = a + b n + g 5n
Cho n = 1, n = 2, n = 3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được

a =Vậy an = -

1
3
1
, b = , g =
16
4

16

1 3
1
+ ( n - 1) + .5n -1 .
16 4
16

ìïu = 2; un = 2un -1 + vn -1
Ví dụ 1.17: Tìm CTTQ của dãy số (un ),(vn ) : í 0
"n ³ 1 .
v
=
1;
v
=
u
+
2
v
ïỵ 0
n
n -1
n -1
Giải:
Ta có: un = 2un -1 + un - 2 + 2vn - 2 = 2un -1 + un - 2 + 2(un -1 - 2un - 2 )

Þ un = 4un -1 - 3un - 2 và u1 = 5

Áp dụng kết quả 4, ta có: un =

Tương tự ta có kết quả sau:

1 + 3n +1
-1 + 3n +1
Þ vn = un +1 - 2un =
.
2
2

ìïx
= pxn + qyn x1 = a
Dạng 10: Cho dãy (xn ),(yn ) : í n + 1
. Để xác định CTTQ của hai
y
=
ry
+
sx
y
=
b
ïỵ n +1
n
n
1
dãy (xn ),(yn ) ta làm như sau:

Ta biến đổi được: x n + 1 - (p + s )x n + (ps - qr )x n -1 = 0 theo kết quả 4 ta xác định được
x n , từ đây thay vào hệ đã cho ta có được yn .
Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 16 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ì
q - lr
yn )
ïïxn + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n l
s
p
Ta đưa vào các tham số phụ l , l ' Þ í
q + l 'r
ïx
+ l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n +
y )
n +1
p + l 's n
ợù
ỡ
q - lr
ùùl =
ls - p ị ïìx n + 1 - lyn + 1 = (p - ls )(x n - lyn )
Ta chọn l , l ' sao cho í
í
q
+

l
'
r
ïỵx n + 1 + l ' yn + 1 = (p + l ' s )(x n + l ' yn )
ïl ' =
ïỵ
l 's + p
ìïx
- lyn +1 = (p - ls )n (x1 - ly1 )
n +1
giải hệ này ta tìm được ( xn ) , ( yn ) .
í
n
x
+
l
'
y
=
(
p
+
l
'
s
)
(
x
+
l

'
y
)
ïỵ n +1
n +1
1
1

ìu1 = 1
ï
Ví dụ 1.18: Tìm CTTQ của dãy (un ) : í
.
2un -1
"n ³ 2
ïun = 3u
+4
ỵ
n -1

Giải: Ta có

3u
+4 3
1
1
1
= n -1
= +2
. Đặt x n =
, ta có:

un
2un -1
2
un -1
un

ìx1 = 1
5.2n -1 - 3
2
ï
Þ un =
í
3 . Áp dụng kết quả 1, ta được: x n =
2
5.2n -1 - 3
ïx n = 2x n -1 +
ỵ
2
ìu1 = 2
ï
Ví dụ 1.19: Tìm CTTQ của dãy số (un ) : í
.
-9un -1 - 24
u
=
"
n
³
2
ï n

5un -1 + 13
ỵ
Giải: Bài tốn này khơng cịn đơn giải như bài tốn trên vì ở trên tử số cịn hệ số tự do,
do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy ta đưa vào dãy phụ bằng
cách đặt un = x n + a . Thay vào cơng thức truy hồi, ta có:

xn + a =

-9x n -1 - 9a - 24
5x n -1 + 5a + 13

Þ xn =

(-9 - 5a )xn -1 - 5a 2 - 22a - 24
5x n -1 + 5a + 13

Ta chọn a : 5a 2 + 22a + 24 = 0 Þ a = -2 Þ x1 = 4

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 17 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Þ xn =

1
3
1

11.3n -1 - 10
4
Þ
=5+
Þ
=
Þ xn =
+3
xn
x n -1
xn
4
11.3n -1 - 10

x n -1
5xn -1

Þ un = x n - 2 =

-22.3n -1 + 24
n -1

11.3

- 10

.

Dạng 11: Cho dãy (xn): u1 = a ; un =

pun -1 + q
run -1 + s

"n ³ 2 . Để tìm CTTQ của dãy (xn)

ta làm như sau:
Đặt un = xn + t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:
xn =

px n -1 + pt + q
run -1 + rt + s

-t =

(p - rt )x n -1 - rt 2 + (p - s )t + q
rx n -1 + rt + s

(1).

Ta chọn t : rt 2 + (s - p)t - q = 0 . Khi đó ta chuyển (1) về dạng:
Áp dụng kết quả 1, ta tìm được

1
1
=a
+b
xn
x n -1

1

, từ đó suy ra x n Þ un .
xn

ïìu = 2
Ví dụ 1.21: Xác định CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) : í 1
và
v
=
1
ïỵ 1
ìïu = u 2 + 2v 2
n
n -1
n -1 "n ³ 2 .
í
ïỵvn = 2un -1vn -1

Giải:
2
ì
ìïu = u 2 + 2v 2
ïun + 2vn = (un -1 + 2vn -1 )
n
n -1
n -1
Ta cú: ớ
ịớ
2
2
v

=
2
2
u
v
ùợ
ùợun - 2vn = (un -1 - 2vn -1 )
n
n -1 n -1
n -1
ì
2n - 1
= (2 + 2)2
ïun + 2vn = (u1 + 2v1 )
Þí
n -1
n -1
ïun - 2vn = (u1 - 2v1 )2
= (2 - 2)2
ỵ
ì
1é
2n -1
2n - 1 ù
u
=
(2
+
2)
+

(2
2)
ïï n
úû
2 êë
.
Þí
n -1
n -1 ù
1 é
2
2
ïvn =
- (2 - 2)
êë(2 + 2)
úû
ïỵ
2 2

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 18 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số
2

ìïu = u 2 + 2v 2
un un2 -1 + 2vn2 -1
n

n
1
n
1
Nhn xột: T ớ
ị
=
v
=
2
u
v
v
2un -1vn -1
ùợ n
n -1 n -1
n

un

Do vậy nếu ta đặt x n =

vn

æ un -1 ử
ỗỗ
ữữ + 2
v
= ố n -1 ứ
ổu

ử
2 ỗ n -1 ữ
ỗv
ữ
ố n -1 ứ

ỡx1 = 2
ù
ta c dóy số (xn ) : í
x n2 -1 + 2 . Ta có bài tốn sau:
ïx n =
2x n -1
ỵ

ìx1 = 2
ï
Ví dụ 1.22: Xác định CTTQ của dãy số (xn ) : í
.
x n2 -1 + 2
x
=
"
n
³
2
ï n
2x n -1
ỵ

Giải:

ìïu1 = 2 ìïu = u 2 + 2v 2
n -1
n -1 "n ³ 2 .
Xét hai dãy (un ),(vn ) : í
và í n
v
=
1
ïỵ 1
ïỵvn = 2un -1vn -1

Ta chứng minh x n =
· n = 2 Þ x2 =
· Giả sử x n -1 =

u2
v2

un
vn

(*).

= 2 Þ n = 2 (*) đúng.

un - 1
vn -1

Þ xn =

xn2 -1 + 2
2x n -1

=

un2 -1 + 2vn2 -1
2un -1vn -1
n -1

Theo kết quả bài tốn trên, ta có: x n = 2

(2 + 2)2

2n - 1

(2 + 2)

=

un
vn

Þ (*) được chứng minh
n -1

+ (2 - 2)2

2n - 1

.

- (2 - 2)

Dạng 12:
1) Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm CTTQ của hai dãy số (un ),(vn ) được xác định
ìïu = u 2 + a.v 2 ; u = a
n -1
n -1
1
bởi: í n
(trong đó a là số thực dương) như sau:
v
=
2
v
u
;
v
=
b
ïỵ n
n -1 n -1
1

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 19 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

ì(u + au
ìïu = u 2 + a.v 2
= (un -1 + aun -1 )2
ï n
n
n -1
n -1
n -1
Ta có: í
Þí
(u - aun -1 = (un -1 - aun -1 )2
ïỵ a .vn = 2 a .vn -1un -1
ỵï n
n -1 ù
ì
1é
2n - 1
+ (a - b a )2 ú
ïïun = ê(a + b a )
2ë
û .
Þí
1 é
2n - 1
2n - 1 ù
ïvn =
(
a
+

b
a
)
(
a
b
a
)
ê
úû
ïỵ
2 a ë

ìx1 = a
ï
2) Áp dụng kết quả trên ta tìm được CTTQ của dãy (xn ) : í
x n2 -1 + a .
ïx n =
2x n -1
ỵ
ìïu = u 2 + a.v 2 ; u = a
n -1
n -1
1
Xét hai dãy (un ),(vn ) : í n
; v1 = 1
ïỵvn = 2vn -1un -1

Khi đó: x n =

un
vn

n -1

= a

(a + a )2

2n - 1

(a + a )

n -1

+ (a - a )2

2n - 1

.

+ (a - a )

ìïu1 = 1
Ví dụ 1.23: Cho dãy (un ) : í
. Tìm un ?
2
u
=
5

u
+
24
u
8
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
n -1

Giải:
Ta có: u2 = 9; u3 = 89; u4 = 881 . Giả sử: un = xun -1 + yun - 2
ỡù9x + y = 89
ịớ

89
x
+
9
y
=
881
ợù

ỡùx = 10
. Ta chứng minh: un = 10un -1 - un - 2 "n ³ 3
í

y
=
1
ỵï

Từ cơng thức truy hồi của dãy ta có: (un - 5un -1 )2 = 24un2 -1 - 8
Û un2 - 10un un -1 + un2 -1 + 8 = 0 (1) thay n bởi n - 1 , ta được:

un2 - 2 - 10un - 2un -1 + un2 -1 - 8 = 0 (2) .
Từ (1),(2) Þ un - 2 , un là hai nghiệm của phương trình : t 2 - 10un -1t + un2 -1 - 8 = 0
Áp dụng định lí Viet, ta có: un + un - 2 = 10un -1 .
Vậy un =

6 -2
2 6

(

5-2 6

)

n -1

+

6 +2
2 6

(

5+2 6

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

)

n -1

.
- 20 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Dạng 13:
ìu1 = 1
ï
1) Dãy (un ) : í
là dãy ngun Û a = 24 .
2
u
=
5
u
+
au
8
"
n

³
2
ïỵ n
n -1
n -1

Thật vậy: u2 = 5 + a - 8 = 5 + t ( t = a - 8 Ỵ ¥ ) Þ u3 = 5 + (t 2 + 8)(t + 5)2 - 8
ị u3 ẻ Â f (t ) = (t 2 + 8)(t + 5)2 - 8 = m 2 (m ẻ Â) .

M (t 2 + 5t + 4)2 < f (t ) < (t 2 + 5t + 14)2 kết hợp với f (t ) là số chẵn ta suy ra

{

}

m = t 2 + 5t + x với x Ỵ 6, 8,10,12 . Thử trực tiếp ta thấy t = 4 Þ a = 24 .

ìïu1 = a
, với a 2 - b = 1 ta xác định
2) Với dãy số (un ) : í
2
ïỵun = aun -1 + bun -1 + c "n ³ 2
CTTQ như sau:

Từ dãy truy hồi Þ (un - aun -1 )2 = bun2 -1 + c Û un2 - 2aun un -1 + un2 -1 - c = 0
Thay n bởi n - 1 , ta có: un2 - 2 - 2aun -1un - 2 + un2 -1 - c = 0 Þ un + un - 2 = 2aun -1 .
ìu1 = a
ïï
un - 1
3) Với dãy (un ) : í

un =
ï
a + cun2 -1 + b
ïỵ
xác định CTTQ như sau:

Ta viết lại cơng thức truy hồi dưới dạng:

"n ³ 2

,trong đó a > 0;a > 1 ; a 2 - b = 1 ta

1
a
b
1
=
+ c+
. Đặt x n =
un un -1
un
un2 -1

Ta có un = aun -1 + bx n2 -1 + c đây là dãy mà ta đã xét ở trên.

ìu1 = u2 = 1
ï
Ví dụ 1.24: Cho dãy (un ) : í
. Tìm un ?
un2 -1 + 2

u
=
"
n
³
2
ï n
un - 2
ỵ

Giải:

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 21 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Ta có: u 3 = 3; u4 = 11; u5 = 41 . Ta giả sử un = xun -1 + yun -2 + z .Từ u3 = 3; u4 = 11;
ìx + y + z = 3
ï
u5 = 41 ta có hệ phương trình: í3x + y + z = 11 Û
ï11x + 3y + z = 41
ỵ
ìïu = u2 = 1
Ta chứng minh (un ) : í 1
u = 4un -1 - un - 2 "n 3
ợù n
à Vi n = 3 ị u3 = 4u2 - u1 = 3 Þ n = 3 đúng

ìx = 4
ï
íy = -1 Þ un = 4un -1 - un - 2
ïz = 0
ỵ

· Giả sử uk = 4uk -1 - uk - 2 . Ta có:

uk + 1 =

=

uk2 + 2
uk -1

( 4uk -1 - uk -2 )
=

2

uk -1

+2

=

16uk2 -1 - 8uk -1uk - 2 + uk -1uk - 3
uk -1

16uk2 -1 - 8uk -1uk - 2 + uk2 - 2 + 2
uk -1

= 16uk -1 - 8uk -2 + uk - 3

= 4(4uk -1 - uk - 2 ) - (4uk - 2 - uk - 3 ) = 4uk - uk -1

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm Þ un =

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

3 +1
2 3

(

2- 3

)

n -1

+

3 -1
2 3

(

2+ 3

)

n -1

- 22 -

.


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ
Nhiều dãy số đại số có cơng thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thế
lượng giác. Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến những cơng
thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác. Ta xét các ví dụ sau
ì
1
ïu1 =
Ví dụ 2.1: Cho dãy (un ) : í
. Xác định CTTQ của dãy (un ) .
2
2
ïun = 2un -1 - 1 "n ³ 2
ỵ
Giải:
Từ cơng thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm số cơsin
1
p
p

2p
Ta có: u1 = = cos Þ u2 = 2 cos2 - 1 = cos
2
3
3
3
2p
4p
8p
....
Þ u3 = 2 cos2
- 1 = cos
Þ u4 = cos
3
3
3
2n -1 p
Ta chứng minh un = cos
. Thật vậy
3

22 -1 p
2p
(đúng)
· Với n = 2 Þ u2 = cos
= cos
3
3
n -1
2n - 2 p

p
2n -1 p
2
2 2
· Giả sử un -1 = cos
Þ un = 2un -1 - 1 = 2 cos
- 1 = cos
3
3
3
n -1
2 p
Vậy un = cos
"n ³ 1 .
3
Nhận xét:
Với dãy số trên ta có thể sử dụng phương pháp thế lượng giác được khi u1 £ 1 . Vậy

trong trường hợp u1 > 1 thì ta sẽ giải quyết như thế nào ? Khi đó để tìm CTTQ của dãy
1
1
(a + ) ( trong đó a ¹ 0 và cùng dấu với u1 ).
2
a
1
1
1
1
1
1

Khi đó u2 = (a 2 + 2 + ) - 1 = (a 2 + ) Þ u3 = (a 4 + ) ....
2
2
2
a2
a2
a4

số (un ) ta đặt u1 =

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 23 -


Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

1 2n -1
1
(a
+ n -1 ) "n ³ 1 . Trong đó a là nghiệm (cùng dấu
2
a2
với u1 ) của phương trình : a 2 - 2u1a + 1 = 0 . Vì phương trình này có hai nghiệm có
tích bằng 1 nên ta có thể viết CTTQ của dãy như sau
é
2n - 1
2n - 1 ù
1 êỉ
ư

ỉ
ư
2
2
ú.
un = ỗ u1 - u1 - 1 ữ
+ ỗ u1 + u1 - 1 ÷
ê
ú
2 è
ø
è
ø
ë
û

Ta chứng minh được un =

ì
3
ïu1 =
Ví dụ 2.2: Xác định CTTQ của dãy số (un ) : í
.
2
3
ïu = 4u
- 3un -1 "n ³ 2
n -1
ợ n
Gii:

3
p
p
p
32 p
3p
Ta cú: u1 =
.....
= cos ị u2 = 4 cos
- 3 cos = cos 3 Þ u3 = cos
2
6
6
6
6
6
3n -1 p
Bằng quy nạp ta chứng minh được: un = cos
.
6
Nhận xét:
ìïu1 = p
, ta làm như sau
1) Để tìm CTTQ của dãy (un ) : í
3
u
=
4
u

3
u
"
n
³
2
ïỵ n
n -1
n -1
à Nu | p |Ê 1 ị $a ẻ éë0; p ùû : cos a = p .

Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được : un = cos 3n -1a .

· Nếu | p |> 1 , ta t u1 =

1ổ
1ử
a
+
ỗ
ữ ( a cựng du vi u1 )
2ố
aứ

1 ổ 3n -1
1 ử
+ n -1 ữ .
ỗa
ữ
2 ỗố

a3
ứ
ộ
3n - 1
3n - 1 ự
1 ờổ
ử
ổ
ử
2
2
ỳ.
Hay un = ỗ u1 - u1 - 1 ữ
+ ỗ u1 + u1 - 1 ÷
ê
ú
2 è
ø
è
ø
ë
û
2) Từ trường hợp thứ hai của bài tốn trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số

Bằng quy nạp ta chứng minh được un =

Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong

- 24 -