de thi thu thpt quoc gia 2021 mon toan truong chuyen le quy don

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÀ RỊA VŨNG TÀU
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN

Câu 1.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN
NĂM HỌC 2020 – 2021
MƠN THI: TỐN
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
và hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x )
Câu 2.
Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.
Câu 6.

A. 3 .
B. 4 .
C. 2 .
D. 1 .
Biết trong mặt phẳng Oxy , số phức z có điểm biểu diễn là M (1; − 2 ) . Tìm z .
A. z = −2 − i .
B. z = 1 − 2i .
C. z = 1 + 2i .

D. z = −2 + i .
Cho hình nón có chiều cao bằng 1 và độ dài đường sinh bằng 2 . Tính bán kính đáy của hình nón
này
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 2 .
2x − 2
Đồ thị hàm số y =
có tiệm cận ngang là
x +1
A. x = −1 .
B. y = −2 .
C. x = 1 .
D. y = 2 .
Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3.
A. 18 .
B. 4 .
C. 12 .
D. 6 .
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . Điểm nào dưới dây thuộc ( P ) ?
A. A (1;1;1) .

Câu 7.

B. B ( 0;1; 2 ) .

C. C (1;1;0 ) .

D. D ( 0;1;1) .

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 27 = 0 qua hai điểm A ( 3; 2;1) và
B ( −3;5; 2 ) và vng góc với mặt phẳng ( Q ) : 3x + y + z + 4 = 0 . Tính tổng S = a + b + c .

Câu 8.

Câu 9.

A. S = −2 .
B. S = −4 .
C. S = −12 .
Tìm tập nghiệm của bất phương trình: log 2 ( 2 − x )  1 .

D. S = 2 .

A.  0; + ) .

D.  0; 2 ) .

B.  0; 2 .

C. ( −; 2 ) .

Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −1; 2;3) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( Oxz ) là

A. 1 .
B. 2 .
C. 10 .
D. 3 .
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA AB 2 và SA vng góc với đáy.

1
AB. Tính thể tích khối đa diện ABCDST .
Gọi T là điểm thỏa mãn ST
2


A. 3 .

B. 2 2 .

C.

8

2 2
.
3

Câu 11. Số đỉnh của một hình bát diện đều là
A. 6 .
B. 7 .

C. 8 .
x y 1
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
1
2
sin .

z

. Gọi
2

2 2
1
2
.
B. .
C.
.
3
2
3
Câu 13. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 + x 2 − 2 với trục hồnh.

B. 0 .

10
.
3

D. 12 .

A.

A. 4 .

D.

C. 1 .

là góc giữa d và Oxy . Tính

D.

1
.
3

D. 2 .

Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)( x − 2 ) x  . Tìm số điểm cực đại của hàm
số đã cho.
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Câu 15. Một khối hộp chữ nhật có hai kích thước là 2 và 3 . Biết thể tích của khối hộp đó bằng 12 . Khối
hộp đó có bao nhiêu mặt là hình vng?
A. 0 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 2 .
1

dx
bằng cách đặt t = e x , ta được
x
1+ e
0

Câu 16. Tính tích phân I = 
1

e

tdt
.
1
+
t
0

dt
.
t
1
+
t
(
)
1

A. I = 

B. I = 

e

dt

.
1
+
t
1

C. I = 

1

dt
.
1
+
t
0

D. I = 

Câu 17. Tìm cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 4 và y = x 2
1

A.

1

1

4
2

 ( x − x ) dx .

B.

−1

2
4
 ( x − x ) dx .
0

C.

2
4
 ( x − x ) dx .

1

D.

−1

(x

4

− x 2 ) dx .

0

Câu 18. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng l . Tìm cơng thức tính thể tích
khối trụ đó.
1
A.  r 2l .
B.  r 2l .
C.  rl .
D. 2 r 2l .
3
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y = 0 . Tính bán kính của ( S ) .
A. 2 2 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước là 1, 2 và x nội tiếp mặt cầu bán kính 3. Tìm x .
A. x = 31 .
B. x = 29 .
C. x = 1 .
D. x = 2 .
Câu 21. Cho khối cầu có bán kính bằng 3. Tính thể tích khối cầu đó.
A. 36 .
B. 108 .
C. 12 .
D. 18 .
4

Câu 25. Tính tích phân I =  xdx .
1

13

14
.
B.
.
3
3
Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên

A.

C. 4 .

D.

và có bảng biến thiên như hình bên.

11
.
3


Tìm số nghiệm của phương trình f ( x ) = 3 .
A. 2 .
B. 1 .
C. 4 .
Câu 27. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
A. 20 .
B. 100 .
C. 90 .
Câu 22. Đường cong trong hình vẽ bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây?

A. y = x 3 − x 2 .

B. y = x3 − x .

C. y = x3 − x 2 + 1 .

D. 3 .
D. 45 .

D. y = x3 − x + 1 .

Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh AB a. Gọi O là tâm của hình vng ABCD .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A O và BC .

2a 5
a 2
a 5
a
.
B.
.
C. .
D.
.
5
5
2
2
Câu 24. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm trên

và thỏa mãn f  ( x ) + g ( x ) = x ;
A.

g  ( x ) + f ( x ) = − x , với x 

. Biết f ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 . Tính f (1) .

2
A. − 2 .
e

1
B. e + − 2 .
e

e2 + 2
C.
.
2e

e2 − 2
D.
.
2e

A. 7 .

B. 6 .

C. 5 .

D. −1 .

Câu 28. Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − x3 − x trên đoạn  0; 2 .


Câu 29. Cho hàm bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d với a  0 . Biết hàm số y = f ( − x ) có đồ thị như hình
sau.

Hỏi trong các số a, b, c, d có bao nhiêu số dương?
A. 4 .

B. 1 .

C. 3 .
D. 2 .
Câu 30. Biết phương trình z − 8 = 0 có ba nghiệm phức, trong đó có một nghiệm có phần ảo âm là z0 .
3

Tính z0 + i 3 .
C. 3 .
D. 2 .
x −1 y + 2 z − 3
Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
. Biết M là điểm thuộc d và có
=
=
1
3
−2

hồnh độ bằng 2 . Tìm tung độ của M .
A. −4 .
B. −6 .
C. 2 .
D. −2 .
Câu 32. Cho x là số thực dương bất kì. Chọn khẳng định đúng
B. 2 3 .

A. 1 .

( )
C. log (10 x ) = 10 + 2log x .

B. log (10 x 2 ) = 1 + 2log x .

A. log 10 x2 = 1 + log x .

(

)

D. log 10 x 2 = 2 + log x .

2

Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a và AD = 2a . Biết SA vng góc với
mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a 15 . Tính góc giữa SC và ( ABCD ) .
A. 90 .

B. 60 .

C. 45 .

D. 30 .

Câu 34. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x + 1 là
2

A. 6x .
B. 3x 3 + x .
C. x 3 + 1 .
Câu 35. Tìm nghiệm của phương trình 2 x −1.3x = 18 bằng
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .

D. x3 + x .
D. 1 .

Câu 36. Cho số phức z thoả i ( z − i ) = 3i + 5 . Tính mơđun của z
A. 3 .

B. 10 .

C. 13 .

D. 5 .

Câu 37. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − 1 + 2i = z2 + 1 − 2i = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = 2 z1 − iz2 .
A. 8 .

B. 7 .

Câu 38. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

C. 5 .

D. 6 .

. Biết hàm số y = f ( 3x − 1) có bảng biến thiên như hình bên.


Tìm số nghiệm của phương trình f ( x3 − 3x ) = 1 .
A. 7 .

C. 6 .

B. 8 .

Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. 3 .

và có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 0; 2 ) .
B. ( −1;0 ) .

C. ( 2; 4 ) .

D. (1;3) .

Câu 40. Tìm phần ảo của số phức z = i ( 2 − i )
A. −1 .

B. 2 .

C. 1 .

D. −2 .


 
4
2
Câu 41. Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 0 và f  ( x ) = tan x + tan x x   0;  . Tính I =  f ( x ) dx
 2
0
4

A.

1
.
12

B.

1 − ln 2
.
6

C.

1
.
6

D.

1 − ln 2
.
3

Câu 42. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ( 0; + ) ?
A. y = log 1 x .

B. y = log x .

C. y = log 2 x .

D. ln x .

2

Câu 43. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x + 4 ) + log 2 ( x − 2 )  4 .
A. ( −4; 4 ) .

B. ( −6; 2 ) .

C. ( 2; 4 ) .

D. ( −6; 4 ) .

Câu 44. Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  1, b  1 và ab  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = log 2 a 2 + log 2b 2 + log 4 2 .
ab

19
5
.
D. .
8
2
1
Câu 45. Tìm số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = ( m 2 − 1) x3 + mx 2 + 3x + 1 có cực đại
3
A. 2 .
B. 0 .
C. 1 .
D. 3 .
Câu 46. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 2 − i . Tìm phần ảo của số phức z = 2 z1 + z2

A.

9
.
4

A. −3 .

B. 3 .

C.

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .


Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 0;1; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi d là
đường thẳng đi qua M và vng góc với ( P ) . Biết A ( a; b;0 )  d . Tính a + b .
A. 1 .
B. 4 .
Câu 48. Cho x, y, 2,3 là cấp số cộng. Tính y − x .
A.

3
.
2

B.

1
.
2

C. 2 .

D. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Câu 49. Cho F ( x ) là nột nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên
số nào dưới đây?

( )

A. f x 2 .

( )

B. 2 x. f x 2 .

( )

. Hỏi F x 2 là một nguyên hàm của hàm

C. 2 x. f ( x ) .

Câu 50. Tính tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .
------------- Hết -------------

( )

D. x. f x 2 .

x− x−2
.
x2 − 9
D. 4 .


BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B B A D C A C D B D
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
B B C D A A B B D C

Câu 1.

11
A
36
D

12
B
37

A

13
D
38
C

14
C
39
A

15
D
40
B

16
B
41
B

17
C
42
A

18
A
43

C

19
B
44
D

20
A
45
A

21
A
46
D

22
B
47
B

23
D
48
C

24
D
49

B

25
C
50
A

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên
và hàm số y = f  ( x ) có đồ thị như hình bên

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f ( x )
B. 4 .

A. 3 .

C. 2 .
Lời giải

D. 1 .

Chọn B
Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) ta có đồ thị hàm số y = f  ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Do
đó, phương trình f  ( x ) = 0 có 4 nghiệm phân biệt. Qua các nghiệm này f  ( x ) đều đổi dấu nên số
cực trị của hàm số y = f ( x ) là 4 cực trị.
Câu 2.

Biết trong mặt phẳng Oxy , số phức z có điểm biểu diễn là M (1; − 2 ) . Tìm z .
A. z = −2 − i .

Câu 3.

Câu 4.

B. z = 1 − 2i .

C. z = 1 + 2i .
Lời giải

D. z = −2 + i .

Chọn B
Số phức z có điểm biểu diễn là M (1; − 2 ) nên số phức z = 1 − 2i .
Cho hình nón có chiều cao bằng 1 và độ dài đường sinh bằng 2 . Tính bán kính đáy của hình nón
này
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
Ta có: r = l 2 − h2 = 22 − 12 = 3 .
2x − 2
Đồ thị hàm số y =
có tiệm cận ngang là
x +1
A. x = −1 .
B. y = −2 .
C. x = 1 .

D. y = 2 .

Lời giải
Chọn D
2x − 2
2x − 2
= 2 và lim y = lim
= 2 nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là
x →− x + 1
x →+
x →+ x + 1

Ta có: lim y = lim
x →−

y = 2.

Câu 5.

Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng 3.


A. 18 .

D. 6 .

C. 12 .
Lời giải

B. 4 .

Chọn C
Ta có: V = Bh = 22.3 = 12 .
Câu 6.

Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − 2 y + 2 z − 1 = 0 . Điểm nào dưới dây thuộc ( P ) ?
A. A (1;1;1) .

B. B ( 0;1; 2 ) .

C. C (1;1;0 ) .

D. D ( 0;1;1) .

Lời giải
Chọn A
Ta thay lần lượt toạ đô các điểm vào phương trình mặt phẳng ( P ) nếu tọa độ điểm nào thỏa mãn
phương trình thì điểm đó thuộc mặt phẳng.
Ta có: 1 − 2.1 + 2.1 − 1 = 0  A  ( P ) .
Câu 7.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − 27 = 0 qua hai điểm A ( 3; 2;1) và
B ( −3;5; 2 ) và vng góc với mặt phẳng ( Q ) : 3x + y + z + 4 = 0 . Tính tổng S = a + b + c .

A. S = −2 .

B. S = −4 .

C. S = −12 .
Lời giải

D. S = 2 .

Chọn C
Ta có u( P) = ( a; b; c ) , u(Q) = ( 3;1;1) .
Mặt phẳng ( P ) qua hai điểm A ( 3; 2;1) và B ( −3;5; 2 ) và vng góc với mặt phẳng ( Q )
3a + 2b + c = 27
a = 6


−3a + 5b + 2c = 27  b = 27 .


3a + b + c = 0
c = −45
Vậy S = a + b + c = −12 .

Câu 8.

Tìm tập nghiệm của bất phương trình: log 2 ( 2 − x )  1 .
A.  0; + ) .

B.  0; 2 .

C. ( −; 2 ) .

D.  0; 2 ) .

Lời giải
Chọn D

Tập xác định D = ( −; 2 ) .
log 2 ( 2 − x )  1  2 − x  2  x  0 .

Vậy S = 0; 2 ) .
Câu 9.

Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −1; 2;3) . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( Oxz ) là
A. 1 .

B. 2 .

C. 10 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B
Mặt phẳng ( Oxz ) : y = 0 .
d ( A, ( Oxz ) ) = y A = 2 .

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, SA AB 2 và SA vng góc với đáy.
1
AB. Tính thể tích khối đa diện ABCDST .
Gọi T là điểm thỏa mãn ST
2
A. 3 .

B. 2 2 .

C.

8

2 2
.
3

D.

10
.
3


Lời giải
Chọn D

1
AB 2
AB nên ST
1.
2
2
2
BC AB
BC
STBA và VABCDST
Ta có
BC SA

Vì ST

VS . ABCD

VC .BTS .

1
1
8
SA.S ABCD
.2.22
(đvtt)
3
3
3
1
1
1
1
CB.S BTS
CB. ST .d B, ST
CB.ST .SA
• VC .BTS
3
3
2
6
8 2 10
Vậy VABCDST
(đvtt).

3 3
3
Câu 11. Số đỉnh của một hình bát diện đều là
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
Lời giải
Chọn A

•

VS . ABCD

1
.2.1.2
6

2
(đvtt).
3

D. 12 .

Số đỉnh của một hình bát diện đều là 6.
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :

y 1
2

x

1

z
. Gọi
2

là góc giữa d và Oxy . Tính

sin .
A.

1
.
2

B.

2
.
3

C.
Lời giải

2 2
.
3

D.

1
.
3


Chọn B
Mặt phẳng Oxy có VTPT n
Đường thẳng d có VTCP u
Vậy sin

sin d , Oxy

k

0;0;1 .

1; 2; 2 .

0.1 0.2 1.2

cos n, u
0

2

0

2

2

2

1. 1

2

2

2

2

2
.
3

Câu 13. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x + x − 2 với trục hoành.
4

B. 0 .

A. 4 .

2

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn D
 x2 = 1
Phương trình hồnh độ giao điểm: x 4 + x 2 − 2 = 0   2
 x = 1 .
 x = −2
Số nghiệm của phương trình hồnh độ bằng số giao điểm của đồ thị và trục hoành nên số giao điểm
là 2 .
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − 1)( x − 2 ) x  . Tìm số điểm cực đại của hàm

số đã cho.
A. 3 .

B. 2 .

D. 0 .

C. 1 .
Lời giải

Chọn C

x = 0
Ta có: f  ( x ) = 0  x ( x − 1)( x − 2 ) = 0   x = 1 .
 x = 2
Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu hàm số có 1 cực đại.
Câu 15. Một khối hộp chữ nhật có hai kích thước là 2 và 3 . Biết thể tích của khối hộp đó bằng 12 . Khối
hộp đó có bao nhiêu mặt là hình vng?

A. 0 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Gọi a là kích thước cịn lại của khối hộp ( a  0 ). Theo đề bài ta có: 2.3.a = 12  a = 2 . Vậy hình
hộp chữ nhật có 2 mặt là hình vng.
1

dx
bằng cách đặt t = e x , ta được
x
1
+
e
0

Câu 16. Tính tích phân I = 
1

e

tdt
A. I = 
.
1+ t
0

dt

B. I = 
.
t 1+ t )
1 (

e

dt
C. I = 
.
1+ t
1

Lời giải
Chọn B
Đặt t = e x , ta có dt = e x dx .
Khi x = 0 thì t = 1, khi x = 1 thì t = e .
1

e

dx
dt
.
=
x
1+ e
t 1+ t )
0
1 (

Vậy I = 

1

dt
.
1+ t
0

D. I = 


Câu 17. Tìm cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x 4 và y = x 2
1

A.

4
2
 ( x − x ) dx .

1

1

B.

−1

2
4
 ( x − x ) dx .

C.

2
4
 ( x − x ) dx .

−1

0

1

D.

(x

4

− x 2 ) dx .

0

Lời giải
Chọn C
x = 0
Ta có: x 4 − x 2 = 0  x 2 ( x 2 − 1) = 0  

.
 x = 1

Nhận xét: x 2  x 4 , với x  ( −1;1) .
1

Vậy S =

 (x

2

− x 4 ) dx .

−1

Câu 18. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và độ dài đường sinh bằng l . Tìm cơng thức tính thể tích
khối trụ đó.
1
A.  r 2l .
B.  r 2l .
C.  rl .
D. 2 r 2l .
3
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối trụ đã cho là V =  r 2l .
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y = 0 . Tính bán kính của ( S ) .
A. 2 2 .

B.

2.

C. 1 .
Lời giải

D. 2 .

Chọn B
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y = 0  x 2 + y 2 + z 2 − 2.1.x − 2.1. y + 0 = 0
 a = 1, b = 1, c = d = 0.
Tâm: I (1;1;0 ) , bán kính R = 12 + 12 + 02 − 0 = 2 .
Câu 20. Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước là 1, 2 và x nội tiếp mặt cầu bán kính 3. Tìm x .
A. x = 31 .
B. x = 29 .
C. x = 1 .
D. x = 2 .
Lời giải
Chọn A

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật:


a 2 + b2 + c 2
12 + 22 + x 2
3=
 x = 31 .
2
2

Câu 21. Cho khối cầu có bán kính bằng 3. Tính thể tích khối cầu đó.
A. 36 .
B. 108 .
C. 12 .
Lời giải
Chọn A
4
4
Thể tích khối cầu V = . .R 3 = . .33 = 36 .
3
3
R=

D. 18 .

4

Câu 25. Tính tích phân I =  xdx .
1

A.

13
.
3

B.

14
.

3

C. 4 .

D.

11
.
3

Lời giải
Chọn B
4

4

1

1

1

Ta có I =  xdx =  x 2 dx =

4

(

)

2
2
14
x x = 4 4 −1 = .
3
3
3
1

Câu 26. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình bên.

Tìm số nghiệm của phương trình f ( x ) = 3 .
A. 2 .

B. 1 .

C. 4 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn D
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 3 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) với đường
thẳng y = 3 .
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm.
Câu 27. Có bao nhiêu cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh?
A. 20 .
B. 100 .

C. 90 .
D. 45 .
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là một tổ hợp chập 2 của 10.
Số cách chọn 2 học sinh từ một nhóm gồm 10 học sinh là C102 = 45.
Câu 22. Đường cong trong hình vẽ bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây?


B. y = x3 − x .

A. y = x 3 − x 2 .

C. y = x3 − x 2 + 1 .

D. y = x3 − x + 1 .

Lời giải
Chọn C
* Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số không đi qua điểm O 0;0 nên loại đáp án A, B .
* Xét hàm số y
- y'

0

3x

2

x3

2x

x2

0

1 có :

x

0

x

2
3

Khi đó hàm số có hai cực trị là x

0; x

2
.
3

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 2 cực trị x
Vậy đồ thị hàm số trên là đồ thị của hàm số y

x3

2
.
3

0; x
x2

1.

Câu 23. Cho hình lập phương ABCD. A B C D có cạnh AB a. Gọi O là tâm của hình vng ABCD .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A O và BC .

A.

a 2
.
2

Chọn B

B.

a 5
.
5

a
.
2

Lời giải
C.

D.

2a 5
.
5


* Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB, CD .
Khi đó mặt phẳng MNA D

d A O; BC
* Hạ AH
Vì MN

AH

chứa A O và MNA D // BC .

d A D NM ; BC

AM.
ABB A nên MN

d B; A D NM

AH

AH .

Xét tam giác A AM có: AH =
Vậy d A O; BC

AA. AM
AA + AM
2

2

=

5
a.
5

a 5
.
5

Câu 24. Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đạo hàm trên
g  ( x ) + f ( x ) = − x , với x 

2
−2.
e

.

A D NM .

d A; A B NM

A.

d A; A D NM

và thỏa mãn f  ( x ) + g ( x ) = x ;

. Biết f ( 0 ) = g ( 0 ) = 1 . Tính f (1) .

1
B. e + − 2 .
e

e2 + 2
.
2e
Lời giải

C.

Chọn B


 f ( x) + g ( x) = x
* Ta có: 
 f  ( x) + g ( x ) = − f ( x ) − g ( x )


g
x
+
f
x
=
−
x
(
)
(
)


 f  ( x) + f ( x) = −g ( x ) − g ( x )
 f  ( x ) ex + f ( x ) ex = −g ( x ) ex − g ( x ) ex

  f ( x ) e x  = −  g ( x ) e x 
 f ( x ) .e x = − g ( x ) e x + C .

 f ( x) = −g ( x) + c  c = 2 .

D.

e2 − 2
.
2e


Vậy g ( x ) =

2 − f ( x) ex
e

x

=

2
− f ( x) .
ex

* Ta có: f  ( x ) + g ( x ) = x
2
− f ( x) = x
ex
 f  ( x ) e− x − f ( x ) e− x = xe− x − 2e−2 x

 f '( x) +

  f ( x ) e− x  = xe− x − 2e−2 x .
Vì hàm số có đạo hàm trên
1

  f ( x ) e
0

−x

nên ta có:

1

1
1
 dx =   xe− x − 2e−2 x  dx  f ( x ) e − x = (− xe − x − e − x + e −2 x )
0
0

0

 f (1) e −1 =

1
1 2
− + 1  f (1) = + e − 2
2
e
e e

1
Vậy f (1) = + e − 2 .
e

Câu 28. Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = x 4 − x3 − x trên đoạn  0; 2 .
A. 7 .

B. 6 .

D. −1 .

C. 5 .
Lời giải

Chọn C
Ta có: y = 4 x3 − 3x 2 − 1 = 0  ( x − 1) ( 4 x 2 + x + 1) = 0  x = 1.
y (1) = −1; y ( 0 ) = 0; y ( 2 ) = 6  min y = −1; max y = 6  min y + max = −1 + 6 = 5 .
 0;2

0;2

0;2

0;2

Câu 29. Cho hàm bậc ba f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d với a  0 . Biết hàm số y = f ( − x ) có đồ thị như hình
sau.

Hỏi trong các số a, b, c, d có bao nhiêu số dương?
A. 4 .
Chọn D

B. 1 .

C. 3 .
Lời giải

D. 2 .

Đặt t = − x , ta có f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d  f ( −t ) = −at 3 + bt 2 − ct + d .

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( − x ) , suy ra các hệ số của các số hạng trong biểu thức của hàm số

f ( −t ) như sau:
* −a  0  a  0 ;
* hàm số có hai điểm cực trị trái dấu và điểm cực trị dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tuyệt

 ab  0
b  0

đối của điểm cực trị âm   c
; kết hợp với a  0  
c  0
 3a  0
* f ( 0) = d  0 .
Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương là c, d .
Câu 30. Biết phương trình z 3 − 8 = 0 có ba nghiệm phức, trong đó có một nghiệm có phần ảo âm là z0 .
Tính z0 + i 3 .
B. 2 3 .

A. 1 .

C.

3.

D. 2 .

Lời giải

Chọn A
z=2


Ta có z − 8 = 0   z = −1 + i 3 , suy ra z0 = −1 − i 3 .
 z = −1 − i 3

3

Ta có z0 + i 3 = −1 − i 3 + i 3 = −1 = 1 .
Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :
hồnh độ bằng 2 . Tìm tung độ của M .
A. −4 .
B. −6 .

x −1 y + 2 z − 3
. Biết M là điểm thuộc d và có
=
=
1
3
−2

D. −2 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn A
Ta có: M  d  M (1 + t ; − 2 − 2t;3 + 3t ) .

Vì M có hồnh độ bằng 2 nên 1 + t = 2  t = 1  M (2; −4;6) .
Vậy tung độ của M là −4 .
Câu 32. Cho x là số thực dương bất kì. Chọn khẳng định đúng

( )
C. log (10 x ) = 10 + 2log x .

B. log (10 x 2 ) = 1 + 2log x .

A. log 10 x2 = 1 + log x .

(

)

D. log 10 x 2 = 2 + log x .

2

Lời giải
Chọn B

(

)

Ta có log 10 x2 = log10 + log x2 = 1 + 2log x .
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a và AD = 2a . Biết SA vng góc với
mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a 15 . Tính góc giữa SC và ( ABCD ) .
A. 90 .

Chọn B

B. 60 .

C. 45 .
Lời giải

D. 30 .


Ta có ( SC, ( ABCD ) ) = ( SC, AC ) = SCA .
Ta có hình chữ nhật ABCD có AC = a 5 .
Xét SAC có SAC = 90, SA = a 15, AC = a 5 khi đó tan SCA =

SA a 15
=
= 3.
AC a 5

 SCA = 60 .
Câu 34. Một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x 2 + 1 là

B. 3x 3 + x .

A. 6x .
Chọn D
Ta có

 f ( x ) dx =  (3x

2

C. x 3 + 1 .
Lời giải

D. x3 + x .

+ 1) dx = x3 + x + C . Nên chọn D.

Câu 35. Tìm nghiệm của phương trình 2 x −1.3x = 18 bằng
A. 3 .
B. 0 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn C

D. 1 .

2x x
Ta có 2 .3 = 18  .3 = 18  6 x = 36  x = 2 .
2
Câu 36. Cho số phức z thoả i ( z − i ) = 3i + 5 . Tính môđun của z
x −1

x

A. 3 .

B. 10 .

Chọn D
Gọi z = a + bi, ( a, b 

C. 13 .
Lời giải

D. 5 .

).

1 − b = 5
b = −4

Nên i ( z − i ) = 3i + 5  i ( a + bi − i ) = 3i + 5  1 − b + ai = 3i + 5  
 a=3
 a=3

Suy ra

z = 32 + ( −4 ) = 5 .
2

Câu 37. Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 − 1 + 2i = z2 + 1 − 2i = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = 2 z1 − iz2 .
A. 8 .

B. 7 .

C. 5 .

Lời giải

Chọn A


 2 z1 − 2 + 4i = 2
Ta có z1 − 1 + 2i = z2 + 1 − 2i = 1  

 iz2 + 2 + i = 1

D. 6 .


Tập hợp điểm M biểu diễn số phức 2z1 là đường tròn tâm I1 ( 2; −4 ) , bán kính R1 = 2
Tập hợp điểm N biểu diễn số phức iz2 là đường tròn tâm I 2 ( −2; −1) , bán kính R1 = 1

T = 2 z1 − iz2 = MN .
Suy ra MN max = R1 + R2 + I1 I 2 = 8 .
Câu 38. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên

. Biết hàm số y = f ( 3x − 1) có bảng biến thiên như hình bên.

Tìm số nghiệm của phương trình f ( x3 − 3x ) = 1 .
A. 7 .

B. 8 .

C. 6 .
Lời giải

Chọn C
Đặt t = 3x −1 ta có bảng biến thiên của hàm số f ( t ) như sau:

 x3 − 3x = 2

Từ đó ta có f ( x3 − 3x ) = 1   x3 − 3x = a ( −2  a  −1)
 3
 x − 3x = b ( b  −2 )
 x = −1  u = 2
Đặt: u = x 3 − 3x  u  = 3x 2 − 3 = 0  
 x = 1  u = −2
Ta có BBT của u ( x ) :

D. 3 .


Do đó phương trình x 3 − 3 x = 2 có 2 nghiệm phân biệt

x3 − 3x = a ( −2  a  −1) có ba nghiệm phân biệt
x3 − 3x = b ( b  −2 ) có một nghiệm
Nhận thấy 6 nghiệm của ba phương trình trên là phân biệt với nhau
Từ đó ta có f ( x3 − 3x ) = 1 có 6 nghiệm phân biệt.
Câu 39. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

và có bảng biến thiên như hình bên.

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 0; 2 ) .
B. ( −1;0 ) .
C. ( 2; 4 ) .

D. (1;3) .

Lời giải
Chọn A
Từ BBT ta thấy y  0 với mọi x  ( 0; 2 ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .
Câu 40. Tìm phần ảo của số phức z = i ( 2 − i )
A. −1 .

B. 2 .

C. 1 .
Lời giải

D. −2 .

Chọn B
z = i ( 2 − i ) = 2i − i 2 = 1 + 2i .
Phần ảo của số phức z = i ( 2 − i ) bằng 2 .


 
4
2
Câu 41. Cho hàm số f ( x ) có f ( 0 ) = 0 và f  ( x ) = tan x + tan x x   0;  . Tính I =  f ( x ) dx
 2
0
4

A.

1
.
12

Chọn B

B.

1 − ln 2
.
6

f  ( x ) = tan 4 x + tan 2 x = tan 2 x (1 + tan 2 x ) .

1
.
6
Lời giải

C.

D.

1 − ln 2
.
3




f  ( x ) dx =  tan 2 x (1 + tan 2 x ) dx =  tan 2 x d ( tan x ) =

 f ( x) =

tan 3 x
+C
3

tan 3 x
+C .
3

f ( 0) = 0  C = 0  f ( x ) =

tan 3 x
3





 4

 4

4
4
tan x
1

 1

2
I =
dx =   tan x ( tan x + 1) dx −  tan xdx  =   tan xd ( tan x ) −  tan xdx 
3
3 0
3 0
0
0
0




4

3


 1 1
1  tan 2 x 4
2  1 − ln 2
= 
|0 + ln cos x |04  =  + ln
.
=
3 2
3
2

2
6




Câu 42. Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên ( 0; + ) ?
A. y = log 1 x .

B. y = log x .

C. y = log 2 x .

D. ln x .

2

Lời giải
Chọn A
Hàm số y = log 1 x nghịch biến trên ( 0; + ) vì hàm số có cơ số bằng
2

1
 1.
2

Câu 43. Tìm tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( x + 4 ) + log 2 ( x − 2 )  4 .
A. ( −4; 4 ) .

C. ( 2; 4 ) .

B. ( −6; 2 ) .

D. ( −6; 4 ) .

Lời giải
Chọn C
Điều kiện x  2 .
Với điều kiện trên bất phương trình tương đương
log 2 ( x + 4 )( x − 2 )  log 2 16  x 2 + 2 x − 24  0  −6  x  4 .

Kết hợp với điều kiện bất phương trình có tập nghiệm là T = ( 2; 4 ) .

Câu 44. Cho hai số thực a, b thỏa mãn a  1, b  1 và ab  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = log 2 a 2 + log 2b 2 + log 4 2 .
ab

A.

9
.
4

19
.
8
Lời giải

B. 3 .

C.

D.

5
.
2

Chọn D
Ta có P = log 2 a 2 + log 2b 2 + log 4 2 =
ab

1
1
1
+
+
.
1 + log 2 a 1 + log 2 b 2 − log 2 a − log 2 b

 x = log 2 a
 x, y  0
1
1
1
2+ x+ y
1
+
+
=

+
Đặt 
ta được 
và P =
.
1 + x 1 + y 2 − x − y 1 + x + y + xy 2 − x − y
x + y  1
 y = log 2 b
2+ x+ y
2+ x+ y
2+ x+ y
1
2+t
1

+
=
+
= g ( t ) với
Vì xy  0 nên
suy ra P 
1 + x + y + xy 1 + x + y
1+ x + y 2 − x − y 1+ t 2 − t
t = x + y, 0  t  1 .
1
5
1
1
1 7
Ta có g  ( t ) = −

và g  ( t ) = 0  t = , đồng thời g ( 0 ) = g (1) = ; g   = .
+
2
2
2
2
2 3
(1 + t ) ( t − 2 )
Vậy giá trị lớn nhất của P là

5
, đạt được khi
2

t = 0
a = 2 a = 1 a = 1



.

t = 1

b = 1 b = 2 b = 1


1 2
m − 1) x3 + mx 2 + 3x + 1 có cực đại
(
3

C. 1 .
D. 3 .
Lời giải

Câu 45. Tìm số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
A. 2 .

B. 0 .

Chọn A
y = ( m2 − 1) x 2 + 2mx + 3
Trường hợp 1. m = 1
Xét dấu y 

ta có y  = 2 x + 3

 m = 1 loại
Trường hợp 2. m = −1 ta có y = −2 x + 3

y = 0  x =

3
2

 m = −1 thỏa mãn
•
m  1
Hàm số có cực đại  phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt
   0

 m 2 − 3 ( m 2 − 1)  0

 3 − 2m 2  0  −
Vì m

6
6
m
2
2

nên m  −1;0;1 kết hợp với điều kiện ta được m = 0

Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Câu 46. Cho hai số phức z1 = 1 + 2i, z2 = 2 − i . Tìm phần ảo của số phức z = 2 z1 + z2
A. −3 .

C. 4 .
Lời giải

B. 2 .

D. 3 .

Chọn D

z = 2 z1 + z2 = 2 (1 + 2i ) + 2 − i = 4 + 3i

 phần ảo của số phức z = 2 z1 + z2 là 3 .
Câu 47. Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 0;1; 2 ) và mặt phẳng ( P ) : x + 2 y − 2 z + 1 = 0 . Gọi d là

đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) . Biết A ( a; b;0 )  d . Tính a + b .
A. 1 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B
Do d đi qua M ( 0;1; 2 ) và vuông góc với ( P ) nên d nhận véc tơ pháp tuyến n = (1; 2; −2 ) của

( P)

làm véc tơ chỉ phương .


Suy ra d :

x y −1 z − 2
=
=
.
1
2
−2

Mặt khác A ( a; b;0 )  d nên ta có

a b −1 0 − 2
=
=
 a = 1, b = 3 .
1
2
−2

Vậy a + b = 4 .
Câu 48. Cho x, y, 2,3 là cấp số cộng. Tính y − x .
A.

3
.
2

B.

1
.
2

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn C
Do x, y, 2,3 là cấp số cộng nên công sai d của CSC này là d = 3 − 2 = 1 .
Suy ra y − x = 1 .

Câu 49. Cho F ( x ) là nột nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên
số nào dưới đây?

( )

( )

B. 2 x. f x 2 .

A. f x 2 .

( )

. Hỏi F x 2 là một nguyên hàm của hàm

C. 2 x. f ( x ) .

( )

D. x. f x 2 .

Lời giải
Chọn B
Ta có F  ( x ) = f ( x ) .

  F ( x 2 )  = 2 x.F  ( x 2 ) = 2 x. f x 2 .

( )

( )

( )

Vậy F x 2 là một nguyên hàm của hàm số 2 x. f x 2 .
Câu 50. Tính tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =
B. 3 .

A. 2 .

C. 1 .
Lời giải

x− x−2
.
x2 − 9
D. 4 .

Chọn A
Tập xác định: D =  2; + ) \ 3 .
Vì lim y = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
x →+

Vì lim+ y = + và lim− y = − nên đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
x→3

x→3

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y =

x− x−2

là 2 .
x2 − 9

------------- Hết -------------

Tham khảo thêm các đề thi THPT Quốc gia tại đây: />