Chuyên đề bài tập bất đẳng thức
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (695.87 KB, 58 trang )
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI TẬP VẬN DỤNG
1
6
Bài 1. Với x, y , z là các số thực dương sao cho x. y.z .
Chứng minh:
1
1
1
3
1.
3
3
3
x 8 y 1 8 y 27 z 1 27 z x 3 1
3
Lời giải
1
6
Có: x. y.z 6 x. y.z 1
Ta có: x3 2 y x.2 y x 2 y
3
x 3 2 y 1 2 xy x 2 y 3 z
1
3
Chứng minh tương tự:
1
2 y 3z
3
3z
1
x3 2 y 1
3
3
3
2 y 3z
3
x 1
1
1
1
3
1
3
x 2 y 1
3
3
1
2 xy x 2 y 3 z
1
6 yz x 2 y 3 z
1
3 xz x 2 y 3 z
3z
1
3
x3 1
1
1
1
1
x 2 y 3z 2 xy 6 yz 3zx
1
1
1
3
1.
3
3
3
x 8 y 1 8 y 27 z 1 27 z x 3 1
3
Bài 2. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x y 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
2
3 xy
3
y 1
Lời giải
A
2
3xy
3
2
3
y 1 3xy
3 y 1
2
6
2
xy
6
y4 1
2
xy y
3xy 3 y 1 3xy 6 y 4
6
6
3
A 2
2
3
2
1
y. x 1
6
3 y 1
2
1
1
1
2 4 1
2
y. 3 y 1 2 y. 4 y 2 y 2 4 y 4 y 2
6
6
6
3 3 6
A
4
với mọi x, y .
3
Vậy AMin
4
khi x 1; y 2 .
3
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
95
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 3. Cho các số dương a , b thoả mãn
1 3 3
a b a b ab a 2 b 2 1 .
3
Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: M
a 2 8 b2 2
.
a
b
Lời giải
Ta có
1 3 3
1
a b a b ab a 2 b 2 1 a b a 2 b 2 ab 1 a 2 b 2 ab 1
3
3
Vì
a 2 b 2 ab 1 0 a,b R
1
a b 1 a b 3
3
Khi đó ta có
M
a 2 8 b2 2
8
2
4
1 4 1
a b a b
a
b
a
b
a
b a b
4
1 4 1
M a b
a
b a b
Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho các cặp số dương ta có:
4
4
a 2 a. 2 4 4
a
a
1
1
b 2 b. 2 1 2
b
b
4 1 2 12 9
3
ab
3
a b
GTNN của M là 4 2 3 9 .
4
a a
a 2
1
Dấu “ ” xảy ra khi b
b
b 1
a 2b
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất là 9 khi a 2; b 1 .
Bài 4. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x 2 y 2 1 .
1
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y
x, y 0:
x y
2
1
.
y
Lời giải
0 x 2 2 xy y 2 0 2 x 2 y 2 x 2 2 xy y 2 2 x 2 y 2 x y
2
x y 2 x2 y 2 .
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
96
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
x y
2
0 x 2 2 xy y 2 0 x 2 2 xy y 2 4 xy x y 4 xy
2
x y
4
xy
x y
1 1
4
.
x y x y
P x
2
1
1
1
1 11 1
1
1 1 4
= 2 2
y x
y
2 x.
2 y.
.
x
y
2x
2y 2 x y
2x
2y 2 x y
x y
P2 2
2
2 x y
2
2
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x y
2
.
2
2 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 2 khi x y
Bài 5. Chứng minh rằng:
2
3 2 .
2.1
2
.
2
1
1
Với mọi x 1 ,ta ln có 3 x 2 2 2 x 3 3
x
x
Lời giải
1
1
Ta có 3 x 2 2 2 x 3 3
x
x
1
1
2 x3 3 3 x 2 2 0
x
x
1
2
3
x 2 x 2 2 3x 2 0
x
x
x
1
2 1
4
x 2 x 2 2 x 2 2 4 x 2 0
x
x
x
x
1
2 1
2
2
x x 2 x 1 2 x 1 2 2 x 1 0
x
x x
x
x
1
1
2
x x 2 2 x 1 0
x
x
x
2
1 x 1
2
x
2 x 1 0
x x
x
1
x x 0
2
x 1
Vì x 1 nên
0 .
x
2
2 x x 1 0
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
97
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab bc ac 3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của
a2
b2
c2
.
c c2 a 2 a a 2 b2 b b2 c 2
biểu thức K
Lời giải
ab bc ac 3abc
Ta có
1 1 1
3
a b c
(1)
Cauchy
a2
a2 c2
c2
1
ac
1 1
.
2
2
2
2
2
2
2
2
c 2a
c c a c c a c c a c a c a
Tương tự,
b2
1 1
c2
1 1
,
.
2
2
2
2
a a b a 2b b b c b 2c
1 1 1 3
11
Khi đó K .
2a b c 2
Vậy Min K
a ,b , c 0
3
a b c 1.
2
Bài 7. điểm) Cho a , b là các số khác 0 thỏa mãn điều kiện: a b ab a b ab . Tìm giá
2
trị lớn nhất của biểu thức P
1 1
2.
a3 b3
Lời giải
Theo giả thiết:
a b ab a b
2
ab
a 2b ab 2 a 2 ab b 2
Do a 0 ; b 0 nên chia cả hai vế cho a 2b 2 ta được:
1
a
Đặt x ; y
1 1 1
1
1
2
2.
a b a
ab b
1
ta được :
b
x y x 2 xy y 2 (1)
x y x y 3 xy
2
xy
x y
2
3
Mà x y 4 xy
2
x y
Suy ra
2
3
x y
3
x y
hay xy
2
4
x y x y
3
4
2
x y 4x y 0
2
0 x y 4
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
98
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ta có: P
1 1
2
3 2 x 3 y 3 2 x y x 2 xy y 2 2 x y 2 (do 1)
3
a b
Mà 0 x y 4 nên 2 x y 2 18 .
2
1
2
Vậy giá trị lớn nhất của P là 18 khi x y 2 và a b .
Bài 8. Cho các số thực thỏa mãn x 2 y 2 – xy 4 .
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P x 2 y 2 .
Lời giải
+) Tìm GTLN của P :
Ta có x 2 y 2 – xy 4
2 x 2 2 y 2 – 2 xy 8 x 2 y 2 x y 8 P x y 8 P 8 x y
2
2
2
Ta có x y 0 với mọi x, y
2
Suy ra P 8
x y 0
x y 2 .
Max P 8 2
2
x y xy 4
Vậy Max P 8 khi x y 2 .
+) Tìm GTNN của P :
Ta có x 2 y 2 – xy 4
2 x 2 2 y 2 – 2 xy 8
3 x 2 y 2 x y 8 3P 8 x y
2
2
Ta có x y 0 với mọi x, y
2
Suy ra 3P 8 P
8
3
2
x
3
y x
2
y
2
x
x y 0
y x
3
8
Min P 2
3
2
2
2
3
x y xy 4 3x 4
x
2
x
3
3
2
y
3
Vậy Min P
2
2
2
2
8
;y
khi x
hoặc x ; y
.
3
3
3
3
3
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
99
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 9. Cho ba số dương a , b , c thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
ab bc ca 1
a2
b2
c2
ab bc ca
Lời giải
a 2 b2 c 2 a b c
, ta được
x
y z
x yz
2
Áp dụng bất đẳng thức:
a b c 2a b c
a2
b2
c2
A
a b b c c a 2 a b c
4
2
a b b c c a 2
ab bc ca
4
4
1
2
Dấu " " xảy ra khi a b c 1 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
a2
b2
c2
1
là khi a b c 1 .
ab bc ca
2
3
7
Bài 10. Cho x 2 y 2 z 2 . Chứng minh: 8 14 x 8 14 y 8 14 z 3 3 7 .
Lời giải
ĐKXĐ: x, y, z
4
.
7
Áp dụng bất đẳng thức Cô –si cho hai số không âm 8 2 7 và 8 14x , ta có:
8 2 7 8 14 x 8 2
7 8 14 x
2
2
7 1 8 14 x 8 7 7 x
8 14 x
8 7 7x
.
7 1
(1)
Chứng minh tương tự, ta có:
8 14 y
8 7 7y
.
7 1
8 14 z
8 7 7z
7 1
(2)
(3)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
8 14 x 8 14 y 8 14 z
24 3 7 7 x y z
7 1
.
Ta có:
DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM
100
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
2
x y z x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 zx .
Mà: 2 xy 2 yx 2 zx 2 x 2 y 2 z 2 .
3
7
9
7
Suy ra: x y z 3 x 2 y 2 z 2 3. .
2
Do đó: x y z
3
.
7
Suy ra:
8 14 x 8 14 y 8 14 z
3
7 24 6 7 3 8 2 7 3 3 7 .
7 1
7 1
24 3 7 7.
7 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y z
1
.
7
Bài 11. Tìm cặp số (x ; y) với y là số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện
x2 + 5y2 + 2y – 4xy – 3 = 0
Lời giải
Phương trình có nghiệm ẩn x khi và chỉ khi
4 y 2 5 y 2 2 y 3 0
y2 2 y 3 0
y 1 4 2 y 1 2 3 y 1
2
Giá trị nhỏ nhất của y là 3 khi đó phương trình x 2 12 x 36 0 x 6
Bài 12. Cho 3 x 5.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A
2
2
1
x 3 5 x
( x 3)(5 x)
Lời giải
Ta có 3 x 5 nên x 3 0;5 x 0
Áp dụng BĐT Cauchy:
A
2
2
2.
x 3 5 x
4
x 3 5 x
4
x 3 5 x
3
x 3 5 x
Áp dụng BĐT Cauchy:
Suy ra
1
x 3 5 x
x 3 5 x
x 35 x
1
2
1
Suy ra A 3.
Vậy GTNN A 3 khi và chỉ khi x 3 5 x x 4.
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
101
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 13. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x y 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
6
x
biểu thức: P x y
24
.
y
Lời giải
6
x
Ta có: P x y
24
4
16 2 8
x y
y
x
y x y
1 2
16 2
2
9
4 8 2. 15
x y
6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P 15 . Dấu bằng xảy ra khi x 2; y 4
2 4 2
Bài 14. Cho a, b, c 0 . Chứng minh rằng
a2 b2 c2
a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 .
b
c
a
Lời giải
Đặt
2
2
2
a
b
c
a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2 (*).
b
c
a
Vì a, b, c 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm a, b, c,
a 2 b2 c2
ta được
, ,
b c a
a2
a2
b2
b2
c2
c2
b 2
.b 2a ,
c 2
.c 2b ,
a2
.a 2c
b
b
c
c
a
a
a 2 b2 c2 a 2 b2 c2
a2 b2 c2
a b c 2
a b c (1)
b
c
a
c
a b
c
a
b
Suy ra
Ta có
a2 b2 c2
a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2
abc
a b c . (2)
b
c
a
b
c
a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm
a 2 ab b 2
b 2 bc c 2
c 2 ca a 2
, b,
, c,
,a
b
c
a
ta được
a 2 ab b 2
b 2 bc c 2
c 2 ca a 2
b 2 a 2 ab b 2 ,
c 2 b 2 bc c 2 ,
a 2 c 2 ca a 2
b
c
a
(3)
a2
b2
c2
Từ (1), (2) và (3) suy ra 2 2 a 2 ab b 2 2 b 2 bc c 2 2 c 2 ca a 2 hay
c
a
b
a 2 b2 c2
a 2 ab b 2 b 2 bc c 2 c 2 ca a 2
b
c a
Do đó (*) được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi dấu bằng tại (1) và (4) xảy ra. Tức là
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
102
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
a2
b2
c2
b
c
,
,
a
a 2 b2 , b2 c2 , c2 a2
b
c
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
a ab b b, b bc c c, c ca a a a ab b b , b bc c c , c ca a a
b
c
a
a 2 b2 , b2 c 2 , c 2 a 2
.
a(a b) 0, b(b c ) 0, c (c a ) 0
Vì a, b, c 0 nên suy ra dấu bằng xảy ra khi a b c.
Bài 15. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
a
2
2
2b 2c a
2
b
2
2
2 a 2c b
2
c
2
2a 2b 2 c 2
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên
2a 2 2c 2 b 2 , 2a 2 2b 2 c 2 , 2b 2 2c 2 a 2
đểu là các số dương.
Áp
dụng
3a 2 2b 2 2c 2 a 2
Ta có:
P
cơng
2
2
2
thức
Cauchy
ta
có:
2
3a 2b 2c a
a2 b2 c2
2
a
2b 2 2c 2 a 2
a
2b 2 2c 2 a 2
a2 3
3a 2 2b 2 2c 2 a 2
b
2a 2 2c 2 b 2
a2 3
a 2 b2 c 2
c
2a 2 2b 2 c 2
3 a 2 b2 c 2
a 2 b2 c 2
3
Vậy GTNN P 3 khi và chỉ khi a b c hay là tam giác đều.
2) Ta coi như hình vẽ thành bài tốn đường trịn tâm O nội tiếp tam giác đều ABC vậy tâm
O của đường tròn sẽ trùng với trọng tâm tam giác
đều là 3R (với R là bán kinh đường tròn O )
Suy ra BC
ABC vậy nên đường cao của tam giác
2.3R
2 3R.
3
1
3
1
3
Thể tích hình nón là: V R 2 .h
2
3 R .3R 3 R 3
4
3
Thể tích hình cầu là: V R 3
Vậy tính thể tích theo R phần hình nón nằm bên ngoài quả cầu kem là
4
5
V 3 R 3 R 3 R 3 .
3
3
Bài 16. Cho ba số dương a , b , c thoả mãn
ab bc ca 1 .
a
b2
c2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
.
ab bc ca
2
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
103
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Lời giải
Áp dụng bất đăng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có
a2
b2
c2
2
2 a b c A a b b c c a
(a b c)
a
b
b
c
c
a
Suy ra A
abc
2
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có
a b 2 ab
b c 2 bc
c a 2 ca
Suy ra a b b c c a 2
Suy ra 2 a b c 2 , hay
Vậy nên A
ab bc ca 2.1 2
abc 1
2
2
abc 1
2
2
Khi a b c
1
1
thì A
3
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
1
.
2
Bài 17. Cho a, b 0 thỏa mãn 2a ab 4 0. Tính giá trị nhỏ nhất của T
a 2 2b 2
.
ab
Lời giải
Ta có 2a ab 4 0 a 2 b 4 .
Kết hơp với a 0 ta suy ra b 2 a
Ta có T
4
.
2b
a 2b 7 a a 2b 7 a
1
b a 8b 8b a 8b
7
4
7
1
9
T .
1 .
1 .
2
8 b 2 b
2 2b b
2
2
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
104
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
4
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a 2 b ba 14 .
2 b b
9
, đạt được khi a 4 và b 1 .
2
Bài 18. ) Cho các số thực x ; y ; z thỏa mãn 2 x 3; 4 y 6; 4 z 6 và x y z 12 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz .
Lời giải
2
1
yz
x 12 x 12 x .
4
2
Ta có P x yz x
3
3
1
1 x 24
1 3 24 243
.
3 x 12 x 12 x
12
12 3 12 3
4
243
9
khi x 3; y z .
4
2
2
Bài 19. Cho x , y là các số thực thỏa mãn x xy y 2 3 .
Vậy MaxP
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y 2 .
Lời giải
Ta có x 2 xy y 2 3 2 x 2 xy y 2 6
x
2
y2 x y 6 P 6 x y 6
2
2
x y 3
x y
2
2
2
x xy y 3 x 3
x y 3
Dấu “” xảy ra
x y
x y 3
GTLN của P là 6 khi và chỉ khi
x y 3
+) Có
6 2 x 2 xy y 2 3 x 2 y 2 x y
2
3P x y 6 3 P 6 x y P
2
2
1
2
x y 2 2
3
x 1
x y
x y
y 1
Dấu “” xảy ra 2
2
2
x 1
x xy y 3 3 x 3
y 1
x 1
x 1
hoặc
y 1
y 1
Vậy GTNN của P là 2 khi và chỉ khi
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
105
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 20. Cho biểu thức M x 2 y 2 với x, y là các số thực thỏa mãn 0 y x 4 và x y 7 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Lời giải
Ta có M x y x xy xy y x x y y x y
2
2
2
2
Do 0 y x 4 và x y 7 nên M 4 x y 7 y
M 4x 3y
M 3 x y x 3.7 4
M 25
Dấu “=” xảy ra x 4; y 3
Vậy Max M 25 khi và chỉ khi x 4; y 3
Bài 21. Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x y 5 . Chứng minh
rằng:
25
12, 5
4.
2
x y
xy
2
Lời giải
Dễ dàng chứng minh được với a 0, b 0 ta có
khi a b .
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
1 1
4
(1). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ
a b ab
25
12,5
1
1
4
4
2
4.
2
2
2
x y
2 xy x y
25
x y
xy
2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x y 2, 5 ( thỏa mãn).
Bài 22. Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x 7 , x y 12 và x y z 15 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức A x 2 y 2 z 2 .
Lời giải
Ta có: x 7 , x y 12 và x y z 15
x 7
2
0, x x 2 14 x 49 0 x 2 14 x 49
y 5
2
0, y y 2 10 x 25 0 y 2 10 y 25
2
0, z z 2 6 z 9 0 z 2 6 x 9
z 3
A x 2 y 2 z 2 14 x 10 y 6 z 83
A 6 x 6 y 6 z 4 x 4 y 4 x 83
A 6 x y z 4 x y 4 x 83
A 6.15 4.12 4.7 83 (vì x 7 , x y 12 và x y z 15 )
A 83 .
Dấu “ = ” xảy ra khi x 7 , y 5 , z 3 (thỏa mãn)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 83 khi x 7 , y 5 , z 3
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
106
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1
1
1
2020 . Tìm giá trị lớn
ab bc ca
1
1
1
nhất của biểu thức P
.
2a 3b 3c 3a 2b 3c 3a 3b 2c
Bài 23. Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương a, b, c, d ta có :
a b c d 4 4 abcd
1 1 1 1
1
44
a b c d
abcd
1 1 1 1
a b c d 16
a b c d
1 1 1 1
16
a b c d abcd
Ta có :
1
1
2a 3b 3c (a b) (a c) (b c) (b c)
Áp dụng bất đằng thức phía trên ta có :
1
1 1
1
1
1
.
( a b) (a c) (b c ) (b c ) 16 a b a c b c b c
1
1 1
1
2
.
2a 3b 3c 16 a b a c b c
Chứng minh tương tự ta có:
1
1 1
1
2
.
3a 2b 3c 16 a b b c a c
1
1 1
1
2
.
3a 3b 2c 16 a c b c a b
P
1 1
1
1
.4
16 a b a c b c
1
P .2020 505
4
3
4040 .
2
2
Bài 24. Cho biểu thức M x y với x, y là các số thực thỏa mãn 0 y x 4 và x y 7 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M
Dấu ‘’= “ xảy ra khi a b c
Lời giải
Ta có M x 2 y 2 x 2 xy xy y 2 x x y y x y
Do 0 y x 4 và x y 7 nên M 4 x y 7 y
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
107
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
M 4x 3y
M 3 x y x 3.7 4
M 25
Dấu “=” xảy ra x 4; y 3
Vậy Max M 25 khi và chỉ khi x 4; y 3
Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2 y 2 x 1 5 4 y 1 16 .
Lời giải
A x 2 y 2 x 1 5 4 y 1 16
2 A 2 x 4 y 2 2 x 1 10 4 y 1 32
2 A 2 x 1 2 2 x 1 1 4 y 1 2 4 y 1.5 25 8
2A
2
2x 1 1
2
1
3
4 y 1 5 8 8 (với mọi x ; y ).
2
4
A 4.
2x 1 1 0
2x 1 1 0
1
3
2 x 1 1 (với mọi x ; y ).
Min A 4
y
4
1
25
y
y
4
1
5
0
4
1
5
0
2
4
x 1
13 (nhận).
y
2
x 1
13 .
y
2
Vậy Min A 4
Bài 26. Cho a , b , c 0 thỏa mãn a 2b 3c 20 . Tìm GTNN của biểu thức A . Biết
A abc
3 9 4
.
a 2b c
Lời giải
Ta có:
A abc
3 9 4 3a 3 b 9 c 4 1
a 2b 3c
a 2b c 4 a 2 2b 4 c 4
Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số không âm, ta được
3a 3
3a 3
2
. 3
4 a
4 a
b 9
b 9
2 .
3
2 2b
2 2b
c 4
c 4
2 . 2
4 c
4 c
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
108
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Do đó A 3 3 2
1
a 2b 3c 13 .
4
Dấu “ ” xảy ra khi a 2 ; b 3 ; c 4 .
Vậy GTNN của biểu thức A bằng 13 khi a 2 ; b 3 ; c 4 .
1
..
2
x 3 2 y 2 4 y 3 0
2
2 2
x x y 2 y 0
Bài 27. Cho hai số thực x , y thoả mãn hệ điều kiện:
Tính giá trị của biểu thức: P x 2020 y 2020 .
Lời giải
Từ 1 ta có: x 3 2 y 1 1 1 x 1 .
3
2
Từ 2 ta có: x 2
2y
2y
y2 1
2
x
1 1 x 1 .
y2 1
y2 1 y2 1
4
Từ 3 và 4 , suy ra x 1 y 1 .
Vậy P 2 .
Bài 28. Cho đường thẳng d : y m2 1 x 4 . Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến
đường thẳng d lớn nhất.
Lời giải
y
A
H
B
O
x
1
(d)
Vì m 2 1 0 với mọi m nên đường thẳng d luôn xác định.
Gọi A là giao điểm của đường thẳng d với trục Oy , B là giao điểm của đường thẳng d với
4
;0 .
2
m 1
trục Ox . Khi đó tọa độ của A và B là A 0; 4 ; B
Vẽ OH AB , khi đó OH là khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d .
Ta có OA 4 ; OB
4
.
m 1
2
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
109
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Xét tam giác OAB vuông tại O , vì OH AB nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta
2
m 2 1 1
1 m 1
1
1
1
có:
OH
16
16
16
OH 2 OA2 OB 2
2
2
4
m 2 1 1
2
.
Ta có m2 0 với mọi m m 2 1 1 với mọi m
2
m 2 1 1 2
2
m
2
1 1 2 với mọi m OH
4
2
m
2
1 1
2
4
2 2.
2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 0 .
Vậy với m 0 thì khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất là 2 2 .
Bài 29. Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh
nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo.
Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50
tấn gạo. Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất
khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất?
Lời giải
Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860 500 430 000 (USD)
Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x * , 0 x 20
Giá gạo sau khi giảm giá là 500 25x (USD/tấn)
Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860 50x (tấn)
Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P 500 25 x 860 50 x (USD)
Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn
hơn 430 000
P 430000 0 500 25 x 860 50 x 430000 0 1250 x 2 3500 x 0
50 x 70 25x 0 0 x 2,8 .
Vì x * x 1; 2 .
Với x 1 P 432 250 .
Với x 2 P 432 000 .
Vậy doanh nghiệp bán gạo với giá 475 USD/tấn để doanh thu trong tháng 2/2020
lớn nhất .
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
110
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 30. Cho x , y là hai số không âm thỏa mãn x2 y 2 4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A x 2 y x 5 y y 2x y 5x .
Lời giải
Với mọi a , b ta có a b 0 a b 2 a 2 b 2 a b 2 a2 b2
2
2
Áp dụng kết quả trên ta được
A x 2 y x 5 y y 2 x y 5 x 2 2 x 2 xy 5 y 2 2 y 2 xy 5 x 2
2 8 xy 20 xy
2 2 xy x 2 y 2 20 xy
2
2
Mặt khác theo bất đẳng thức Cô-si với hai số khơng âm x , y ta có xy
ta có xy
4
2.
2
Vậy nên A 2 8 xy 20 xy
2
x2 y2
nên
2
2 8.2 20.22 8 3 .
Khi x y 2 thì A 8 3 , do đó giá trị lớn nhất của A là 8 3 .
Bài 31. Giải phương trình
2 x 5 7 2 x 3 x 2 18 x 29
Lời giải
Đặt a 2 x 5, b 7 2 x
a, b 0
a b 2
Ta có:
Phương trình có dạng:
a b 3.
ab 35
29 4
4
Bình phương hai vế phương trình ta có:
a b 3ab 11
16 a b 2 ab 9a 2b 2 66ab 121 16 2 2 ab 9a 2b 2 66ab 121
9a 2b 2 66ab 32 ab 89 0
ab 1 9
ab
3
9ab 57 ab 89 0
ab 1
3
9 ab 9ab 57 ab 89 0
+) Với
ab 1 ab 1 thế b 2 a vào ta có
a 2 a 1 a 2 2a 1 0 a 1 x 3
+) Với 9
Do
ab
nghiệm.
ab
3
ab
1 nên 9
2
9ab 57 ab 89 0
ab
3
9ab 57 ab 89 9 9 0 89 71 nên phương trình vơ
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 3 .
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
111
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 32. Cho ba số dương x, y , z thỏa mãn điều kiện
Chứng minh:
xy
xy z
x y z 1.
yz
yz x
xz
3
.
xz y 2
Lời giải
Sử dụng giả thiết x y z 1 và bất đẳng thức AM-GM ta có:
LHS
xy
xy z x y z
xy
z x y z
yz
zx
yz x x y z
zx y x y z
yz
x y z x
zx
y z x y
1 x
y 1 y
z 1 z
x
2 z x y z 2 x y z x 2 y z x y
1 x
z y
z y
x 3
2 z x z x y z y z x y x y 2
1
3
Bài 33. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 3, b 7, c 7 và a 2 b 2 c 2 122 . Tìm giá trị nhỏ nhất
Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi x y z .
của biểu thức P 8a 15b 17c .
Lời giải
2
2
2
2
2
Có a 122 b c 122 7 7 24 a 5
3 a 5 a 3 a 5 0 8a a 2 15 1
b 2 122 a 2 c 2 122 32 7 2 64 b 8
7 b 8 b 7 b 8 0 15b b 2 56 2
c 2 122 a 2 b 2 122 32 7 2 64 c 8 10
7 c 10 c 7 c 10 0 17c c 2 70 3
2
2
2
Từ 1 , 2 , 3 suy ra 8a 15b 17c a b c 15 56 70 122 141 263
a 2 b 2 c 2 122
a 3
b 8
Xảy ra dấu “=” khi 8a 15b 17c 263
3 a 5; 7 b 8; 7 c 8
c 7
GTNN P 263 a 3 , b 8 , c 7 .
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
112
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 34. Một doanh nghiệp xuất khẩu gạo ước tính rằng , trong tháng 2/2020 , nếu doanh
nghiệp xuất khẩu gạo với giá là 500 USD/tấn thì họ sẽ xuất khẩu được khoảng 860 tấn gạo.
Tuy nhiên nếu hạ giá gạo và cứ mỗi lần giảm giá 25 USD/tấn thì sẽ xuất khẩu thêm được 50
tấn gạo. Hỏi doanh nghiệp cần bán gạo với giá bao nhiêu USD mỗi tấn để doanh thu xuất
khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất?
Lời giải
Doanh thu dự kiến xuất khẩu trong tháng 2 là 860 500 430 000 (USD)
Gọi số lần giảm giá là x (lần), điều kiện x * , 0 x 20
Giá gạo sau khi giảm giá là 500 25x (USD/tấn)
Số gạo xuất khẩu được sau khi giảm giá là 860 50x (tấn)
Doanh thu sau khi giảm giá gạo là P 500 25 x 860 50 x (USD)
Để doanh thu xuất khẩu gạo trong tháng 2/2020 là lớn nhất thì P phải lớn
hơn 430 000
P 430000 0 500 25 x 860 50 x 430000 0 1250 x 2 3500 x 0
50 x 70 25x 0 0 x 2,8 .
Vì x * x 1; 2 .
Với x 1 P 432 250 .
Với x 2 P 432 000 .
Vậy doanh nghiệp bán gạo với giá 475 USD/tấn để doanh thu trong tháng 2/2020
lớn nhất .
Bài 35. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn x y 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A
2
xy
3
.
y 1
Lời giải
A
2
3
2
6
3y 3 y
3 y 1 3 y 3 y 3 y 1
2 6
2
6
4
36
3 y 3 y 3 y 1 6 y 3 y 6 y 4 18 y 6 y 2 6 y 24
2
2 6
2
2
18 y 6 y 6 y 24
⇒ GTNN của A
64
48 6 y 2
2
64 4
48 3
4
khi x 1 , y 2
3
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
113
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 36 Cho ba số a , b , c dương.
Chứng minh rằng:
abc
1
1
1
2
2
a bc b ac c ab
2abc
2
Lời giải
+ Vì a, b, c 0 nên theo BĐT Cô si ta có:
a b 2 ab
b c 2 bc a b c ab bc ca
c a 2 ac
+ Vì a, b, c 0 nên ta có:
a 2 bc 2a bc
1
1
a bc 2a bc
abc
bc
a bc
2
2
2
Chứng minh tương tự ta có:
abc
ac
b ac
2
2
abc
ab
c ab
2
2
abc
abc
abc
bc
ac
ab 1
2
2
a bc b ac c ab
2
2
2
2
1
1
1
abc
2
2
a bc b ac c ab
2abc
2
bc ac ab
abc
2
2
Bài 37. Cho a,b,c là hai số thực không âm thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng:
a b b c c a 6.
Lời giải
Vì x, y 0 :
0 2 x y x y và a b c 1 nên ta có:
c a 2 a b c 2 a b b c 2 b c c a 2
x y
a b bc
2
2
c a a b
2 a b c a b b c b c c a c a a b 6 a b c 6
1
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c .
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
114
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1
x
2
2
Bài 38. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 x 2 xy y 3 x 2 x 2 2020.
Lời giải:
1
x
ĐK: x 2. Ta có: P x 2 2 xy y 2 x 2 4 x 4 x 2 x 2 2016
P ( x y ) 2 ( x 2) 2 2 x 2 x
1
2016.
x
1
x
x 1 3
5
. .2 .
4 x 4
2
5 4037
4037
Vậy P 2016
. Dấu “=” khi x y 2 . Kết luận: min P
.
2
2
2
x
4
1
x
3
4
Theo BĐT Cô-si và x 2 thì x x 2
Bài 39. Với a , b , c là các số dương thỏa mãn điều kiện a b c ab bc ca 6abc . Chứng
minh
1 1 1
3.
a 2 b2 c 2
Lời giải
Ta có a b c ab bc ca 6abc
a b c ab bc ca
6
abc
1 1 1 1 1 1
6.
a b c ab bc ca
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta được :
1
1
1
1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
a
b
c
a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a
ab bc ca
Cộng vế với vế 1 và 2 suy ra
1 1 1
3.
a 2 b2 c 2
Dấu “=” xảy ra khi a b c 1 .
Bài 40. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b b c c a 24 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức S a b c
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
4a ab
.
4
4b bc
4b bc 4b c b c
.
4
4c ca
4c ca 4c a c a
.
4
4a ab 4a b a b
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
115
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Do đó:
4a ab 4b bc 4c ca
ab bc ca
abc
1
4
4
4
4
1
1
1
2
2
2
2
Mà a b c 3 ab bc ca a b b c c a 0 a, b, c
2
2
2
24 a b b c c a
a b c
ab bc ca
a b c 3 ab bc ca
2
a b c
2
2
3
Từ 1 và 2 suy ra :
a b c
2
24 a b c 12 a b c 288 0
2
12
a b c 12 a b c 24 0
Mà a b c 24 0 với a, b, c 0
a b c 12 0 a b c 12
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a b c là 12 khi a b c 4
Bài 41. Cho các số dương a , b , c thỏa mãn điều kiện a b c 2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P 2a 2 ab 2b2 2b2 bc 2c 2 2c 2 ca 2a 2 .
Lời giải
2
2
2
a 2 2ab b 2 3a 2 3b 2 a b 3 a b
Ta có 2a ab 2b
2
2
2
2
2
Mà a b
2
2
2
a b
2
Suy ra 2a ab 2b
2
Suy ra
2
2
3 a 2 b2
2
a b
2
2a 2 ab 2b 2
2
3 a b
3 a b
.
2
2
4
2
2
3 a b
5 a b
4
4
2
2
5
a b .
2
Chứng minh tương tự ta có
2b 2 bc 2c 2
5
b c ;
2
2c 2 ca 2a 2
5
c a .
2
5
a b b c a 2019 5 .
2
a b c
a b c 673 .
Dấu " " xảy ra khi
a b c 2019
Cộng vế theo vế ta có P
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2019 5 , đạt được khi a b c 673 .
1
x
Bài 42. a) Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh x y z
1 1
9.
y z
b) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn a b c 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A
ab
bc
ca
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b
Lời giải
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
116
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
a) Ta có:
1 1 1 x x x y y y x y z
VT x y z
x y z x y z x y z z z z
x y x z y z
3 3 2 2 2 9 , dấu bằng xảy ra khi x y z .
y x z x z x
(đpcm)
b) Áp dụng bất đẳng thức ở phần a) ta có:
9ab
9ab
ab
ab a
;
a 3b 2c a c b c 2b c a c b 2
Tương tự
9bc
bc
bc
b
9ca
ca
ca c
;
b 3c 2a a c a b 2 c 3a 2b b a b c 2
Cộng theo các vế của ba bất đẳng thức trên ta được
9A
ab
ab a bc
bc b
ca
ca
c
ca cb 2 a c a b 2 ba bc 2
bc ab
ca bc
ca a b c
ab
9A
2
ca ac cb bc a b b a
9A
3(a b c)
2
A 1 dấu bằng xảy ra khi a b c 2 . Suy ra GTLN của A bằng 1.
Bài 43. Gọi m là giá trị nhỏ nhất trong ba số x y , y z , z x với x, y, z là ba số thực
2
bất kì. Chứng minh m
2
2
1 2
x y2 z2 .
2
Lời giải
Vì x , y , z là ba số thực bất kì nên giải sử x y z .
Mà m là giá trị nhỏ nhất trong ba số x y , y z , z x .
2
2
2
m là số nhỏ nhất trong ba số x y , y z , z x .
Ta có:
z x x z x y y z x y y z 2 m .
Do đó z x 4m .
2
mà
y z
2
x y
x y z
2
m
2
m
0 x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 xz 0
3 x 2 y 2 z 2 x y y z z x 6m
2
x 2 y 2 z 2 2m hay m
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
2
2
1 2
x y2 z2 .
2
117
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 44.
Người ta giăng lưới để ni riêng một loại cá
trên một góc hồ. Biết rằng lưới được
giăng theo một đường thẳng từ một vị
trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ
dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm
sẵn ở vị trí A. Hỏi diện tích nhỏ nhất có
thể giăng là bao nhiêu, biết rằng
khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5
m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là
12 m.
Lời giải
Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt CJ x, ( x 0).
Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên:
CJ
JA
x 12
60
KB .
AK KB
5 KB
x
1
60
Diện tích của khu ni cá là: S x 5 . 12 .
2
x
1
300
150
S ( x) 60 12 x
60 S ( x) 6 x
60
2
x
x
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
6x
Dấu bằng xảy ra khi 6 x
Nên S ( x) 6 x
150
150
2 6 x.
60
x
x
150
x 2 25 x 5 .
x
150
60 60 60 120
x
Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là 120(m 2 ) , đạt được khi x 5 m .
DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM
118
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 45. Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xy yz xz 3xyz .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=
1
2 x 2 xy y 2
1
2 y 2 yz z 2
1
2 z 2 zx x 2
Lời giải:
Từ giả thiết ta có:
1 1 1
3.
x y z
Ta có
2
2
2 x xy y
Tương tự:
5x 3 y
1
2 y 2 yz z 2
2
7 x y
4
2
1
4
5x 3 y
2
2
5x 3 y
4
2 x xy y
4
1
4
;
5 y 3z 2 z 2 zx x 2 5 z 3x
16 P
64
64
64
4 x x 3 y 4 y y 3z 4 z z 3x
16 P
16 16 16
16
16
16
4 x 4 y 4 z x 3 y y 3z z 3x
4 4 4 4
4 4
4 4
4
x y z x y 2 y y z 2z z x 2x
1 1 1
8 24
x y z
P
3
.
2
Dấu bằng xảy ra khi x y z 1 .
3
2
Vậy max P .
Bài 46. Cho hình vng ABCD có cạnh là 30 cm .
Trên cạnh AB lấy hai điểm E , G sao
cho
AE GB x cm và điểm E nằm giữa
điểm A và điểm G . Qua E kẻ đường
thẳng
vng góc với AB cắt CD tại F ; qua G
kẻ
đường thẳng vuông góc với AB cắt CD tại H . Người ta gập hình vng theo hai
cạnh EF và GH sao cho cạnh AD trùng cạnh BC như hình vẽ để tạo thành hình
lăng trụ đứng khuyết đáy. Tìm x để thể tích hình lăng trụ lớn nhất.
Lời giải
DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM
119
GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG
