Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC
I. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .............................................................................................................................. 2
DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH ........................................................................................................... 2
DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP. ................................................ 3
DẠNG 3: QUA MỘT BƢỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI .............................. 4
DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI ............................................................................................................................... 7
DẠNG 5: DỰ ĐỐN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP ........................................................................ 7
DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ............................................................... 10
DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN.................................................................................................... 13
II. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ................................................................................................................... 15
III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ................................................................................... 18
DẠNG 1: ĐƢA VỀ BÌNH PHƢƠNG ............................................................................................................ 18
DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT .................................................... 20
DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca .......................................................................................................................... 22
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH
KHƠNG ÂM..................................................................................................................................................... 22
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1 ............................................ 25
DẠNG 6 : DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI XÉT HIỆU ...................................................................................... 27
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ ................................................................................. 75
I.

BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI....................................................................................................................... 75

II.

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA ............................................................................................................... 77

III. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG ................................................................................... 77

1

I. BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI
1. Dạng hai số khơng âm x, y


Dạng tổng sang tích: x  y  2 xy .

x y
 x y

Dạng tích sang tổng: xy 
hay xy  
 .
2
 2 
x2  y 2
.

Dạng lũy thừa: x 2  y 2  2 xy hay xy 
2
Dấu "  " xảy ra  x  y .
2

x2  1

Dạng đặc biệt: x  x.1 
.
2
2. Dạng ba số không âm x, y, z


Dạng tổng sang tích: x  y  z  3 3 xyz .



Dạng tích sang tổng:



Dạng lũy thừa: x3  y3  z 3  3xyz hay xyz 

x yz
 x yz
hay xyz  
xyz 
 .
3
3


3

3

x3  y 3  z 3
.
3

Dấu "  " xảy ra  x  y  z .

x3  1  1
.
3
3. Dạng tổng quát với n số không âm x1 , x2 ,..., xn


Dạng đặc biệt: x  x.1.1 



Dạng tổng sang tích: x1  x2  ...  xn  n n x1 x2 ...xn .

x  x  ...  xn
 x  x  ...  xn 
hay x1 x2 ...xn   1 2

Dạng tích sang tổng: x1 x2 ...xn  1 2
 .
n
n


n
n
n
x  x2  ...  xn
.

Dạng lũy thừa: x1n  x2n  ...  xnn  x1 x2 ...xn hay x1 x2 ...xn  1
n

Dấu "  " xảy ra  x1  x2  ...  xn .
n

n



Dạng đặc biệt: x  x.1.1...1 
n 1

xn  n  1
.
n

4. Bất đẳng thức trung gian
1 1
4

 
x  0, y  0 . Dấu "  " xảy ra  x  y .
x y x y
1 1 1
9

  
x  0, y  0, z  0 . Dấu "  " xảy ra  x  y  z .
x y z x yz
DẠNG 1: DẠNG TỔNG SANG TÍCH
Ví dụ 1. Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  8 x 2  4 x 
Lời giải

2

1
 15 .
4 x2


1 

Có T   4 x 2  4 x  1   4 x 2  2   14
4x 


1 
1
2

  2 x  1   4 x 2  2   14  0  2 4 x 2 . 2  14  16
4x 
4x

1
Vậy MinT  16 khi x 
2
Ví dụ 2. Cho x  0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  4 x 2  3x 

1
 2011 .
4x

Lời giải
Có M  4 x 2  4 x  1  x 

1
 2010
4x

1 
1
2

  2 x  1   x    2010  0  2 x.  2010  2011 .
4x 
4x

1
Vậy MinM  2011 khi x 
2
Ví dụ 2. Cho x  y  0 và xy  2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H 

x2  y 2
.
x y

Lời giải
Có H 

x  y  2 xy  2 xy  x  y   4

x y

x y
2

  x  y 

2

2

4
2
x y

 x  y .

4
 4.
x y

4


y  2  x
x  y  2
x  y 
x  3 1
x y  
.
Vậy Min H  4 khi 
 2



xy
2



x
x
2
2
0


y
3
1





 xy  2
DẠNG 2: DẠNG TÍCH SANG TỔNG, NHÂN BẰNG SỐ THÍCH HỢP.
Ví dụ 1: Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh : a b  1  b a  1  ab
Lời giải
ab
1  (b  1) b
Có b  1  1.(b  1) 
  a b 1  ;

2
2
2
ab
ab ab
V| tƣơng tự: b a  1 
 a b 1  b a 1 

 ab  đpcm
2
2
2
Dấu ‘=” xảy ra khi a = b = 2
Ví dụ 2: Cho a ≥ 9, b≥ 4, c≥ 1. Chứng minh: ab c  1  bc a  9  ca b  4 
Lời giải:
Có:
3

11abc
12


bc
ca
. (a  9).9  . (b  4).4
3
2
(c  1)  1 bc (a  9)  9 ca (b  4)  4 11abc
 ab.
 .

 .

2
3
2
2
2
12
Dấu “=” xảy ra khi a = 18, b = 8, c = 2
ab c  1  bc a  9  ca b  4  ab (c  1).1 

Ví dụ 3: Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a2 + b2 ≤ 2. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức: M = a b(a  2b)  b a(b  2a)
Lời giải
Xét:

M . 3  a. 3b(a  2b)  b 3a(b  2a)  a.

3b  (a  2b)
3a  (b  2a) a 2  b 2
 b.

 5ab
2
2
2

a 2  b2
a 2  b2
 5.
6 M 2 3

2
2
Vậy MaxM = 2 3 khi a = b = 1


Ví dụ 4. Cho x  0 , y  0 và x 2  y 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P  x 14 x  10 y   y 14 y  10 x 
Lời giải
Xét: P. 24  24 x 14 x  10 y   24 y 14 y  10 x 

24 x  14 x  10 y  24 y  14 y  10 x 

 24  x.1  y.1
2
2
 x2  1 y 2  1 
 x2  y 2  1 
48
 24 

 P4 6.
  24 
  48  P 
2 
2
24
 2





Vậy MaxP  4 6 khi x  y  1 .
Ví dụ 5. Cho x  0 , y  0 và
Từ

xy  x  y   x  y . Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x  y .

xy  x  y   x  y  x  y

Lời giải

 x  y
1
1  4 xy    x  y 
2
4 xy  x  y  

và x  y  xy  x  y  
2
2
2
4
2
  x  y  4 x  y  0  x  y  4 .
2

2

2

 x  y 2  4 xy
 x  y 2  8 xy
 xy  2


Dấu "=" xảy ra khi 


x  y  4
x  y  4
x  y  4



 x , y là hai nghiệm phƣơng trình t 2  4t  2  0  t  2  2 .
Do x  y  x  2  2 , y  2  2 .
Vậy MinP  4 khi x  2  2 , y  2  2 .
DẠNG 3: QUA MỘT BƯỚC BIẾN ĐỔI RỒI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CƠSI
Ví dụ 1. Cho a , b , c  0 và ab  bc  ac  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4


P

a

b



a2  1
b2  1
Lời giải



c
c2  1

.

Thay 1  ab  bc  ac , ta đƣợc:
a
b
c
P


a 2  ab  bc  ac
b2  ab  bc  ac
c 2  ab  bc  ac
a
b
c



 a  b  a  c   b  a  b  c   c  a  c  b 

a
a
b
b
c
c
.

.

.
ab ac
ba bc
ca c b
a
a
b
b
c
c



 ab ac  ba bc  ca cb
2
2
2
a
b

a
c
c 

 
  b







ab ab  ac ac  bc bc  3


2
2
1
3
.
Vậy MaxP  khi a  b  c 
2
3
Ví dụ 2. Cho các số dƣơng a , b , c thỏa mãn a  b  c  1. Chứng minh:


ab
bc
ca

3



c  ab
a  bc
b  ca 2
Lời giải
Ta có

ab
bc
ca
ab
bc
ca





c  ab
a  bc
b  ca
c.1  ab
a.1  bc
b.1  ca
ab
bc
ca




c  a  b  c   ab
a  a  b  c   bc
b  a  b  c   ca


ab

 a  c  b  c 

bc

 a  b  a  c 

ac
 b  c b  a 

a
b
b
c
c
a
.

.

.

ac cb
a b a c
bc ba
1  a
b   b
c   c
a  3
 





  ( đpcm).
2  c  a c  b   a  b a  c   b  c a  b   2



Ví dụ 3. Cho a  0 , b  0 , c  0 và ab  bc  ac  3abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của
a2
b2
c2
.
P


c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2 
Lời giải
Có P 

2

2

2

a
b
c


c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2 

5




a 2  c 2  c 2 b2  a 2  a 2 c 2  b2  b2


c  c 2  a 2  a  a 2  b2  b  b2  c 2 

c  1
a  1
b 
1
  2

 2

  2 2
2  
2  
 c c a   a a b  b b c 
1
c  1
a  1
b 
 
 
 



2 2
2 2
2 2
c 2 c a  a 2 a b  b 2 b c 
 1 1   1 1   1 1  1  1 1 1  ab  bc  ac 3
             
 .
2abc
2
 c 2a   a 2b   b 2c  2  a b c 
3
Vậy MinP  khi a  b  c  1 .
2
Ví dụ 4. Cho a  0 , b  0 , c  0 và a  b  c  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a
b

c
.
T


2
2
1  9b 1  9c 1  9a 2
Lời giải

Có T 

a 1  9b2   9ab2



b 1  9c 2   9bc 2



c 1  9a 2   9ca 2

1  9b2
1  9c 2
1  9a 2

9ab2  
9bc 2  
9ca 2 
b

c
 a 




2  
2  
2 
 1  9b   1  9c   1  9a 


9ab2  
9bc 2  
9ca 2 
 a 
  b 
  c 

2 1.9b2  
2 1.9c 2  
2 1.9a 2 

3
1
1
2
 a  b  c   ab  bc  ac   a  b  c   a  b  c  
 do a  b  c  1 .
2

2
2
1
1
Vậy MinT  khi a  b  c  .
2
3
1
1
1
1
Ví dụ 5. Cho a , b , c  0 và


 2 . Chứng minh: abc  .
1 a 1 b 1 c
8
Lời giải
1
1
1
Có


2
1 a 1 b 1 c
1
1  
1 
b

c cos i
b
c
bc

.
1
.

 1 




2
2
 

1 a  1 b   1 c  1 b 1 c
1 b 1 c
1  b 1  c 
Tƣơng tự:

1
2
1 b

ac
1
;

2
1  a 1  c  1  c

ab
.
1  a 1  b 

Nhân các bất đẳng thức dƣơng, cùng chiều ta đƣợc:
1
8abc
1

hay abc  (đpcm).
8
1  a 1  b 1  c  1  a 1  b 1  c 

6


DẠNG 4: GHÉP CẶP ĐÔI
1
1
1
Tách x  y  z   x  y    y  z    z  x  .
2
2
2
xyz  xy . yz . zx x, y, z  0 .
Ví dụ 1. Cho a  0 , b  0 , c  0 và a 2  b2  c2  1 . Chứng minh:
ab bc ac

bc ca ab
a)
b)
 
 abc ;
 
 3.
c
a b
a b
c
Lời giải
ab bc ac 1  bc ca  1  ca ab  1  ab bc 
a) Có
 
         
c
a b 2 a b  2 b
c  2 c
a 
1
bc ca 1 ca ab 1 ab bc
 .2
.  .
.  .
.  a  b  c (đpcm).
2
a b 2 b c 2 c a
2

2 2
2 2
2 2
 bc ca ab  b c c a a b
b) Xét      2  2  2  2  a 2  b2  c 2 
c 
a
b
c
 a b
1  b 2 c 2 c 2 a 2  1  c 2 a 2 a 2b 2  1  a 2b 2 b 2 c 2 
  2  2   2  2   2  2 2
2 a
b  2 b
c  2 c
a 

b2c 2 c 2 a 2 1
c 2 a 2 a 2b 2 1
a 2b 2 b 2 c 2
1
 .2
.

.2
.

.2
.
2

a 2 b2
2
b2 c 2
2
c2 a2
bc ac ab
 a2  b2  c2  2  3 , do đó
 
 3 (đpcm).
a b
2
Ví dụ 2. Cho a, b, c l| độ d|i ba cạnh của ABC . Chứng minh (a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc .
Lời giải
Vì a, b, c l| độ d|i ba cạnh của ABC nên
a  b  c  0, b  c  a  0,c  a  b  0 .
(a  b  c)  (b  c  a)
Có 0  (a  b  c)(b  c  a) 
b;
2
(b  c  a)  (c  a  b)
 c;
0  (b  c  a)(c  a  b) 
2
(c  a  b)  (a  b  c)
a;
0  (c  a  b)(a  b  c) 
2
Nh}n ba đẳng thức dƣơng cùng chiều ta đƣợc
(a  b  c)(b  c  a)(c  a  b)  abc (điều phải chứng minh).
DẠNG 5: DỰ ĐOÁN KẾT QUẢ RỒI TÁCH THÍCH HỢP

Bước 1: Kẻ bảng dự đốn giái trị lớn nhất,nhỏ nhất và đạt tại giá trị nào của biến.
Bước 2: Kẻ bảng xác định số nào sẽ đi với nhau.
Bước 3: Tách ghép thích hợp số hạng và sử dụng bất đẳng thức Cơ-si.
5
Ví dụ 1. Cho a  2 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P  2a  .
a
Lời giải
Phân tích bài tốn
7


a

2

3

P

13
 6,5
2

23
 7, 7
3

Từ bảng thứ nhất dự đo{n min P 

4

37
 9, 25
4

13
 a  2.
2

1
a
1
2

a
a2
Từ bảng thứ hai, ta suy ra

2

a
1
5
5a
sẽ đi với
nên sẽ đi với
.
4
a
a
4

Trình bày lời giải
5 5a 3a
3a
3.2 13
 5 5a  3a
Có P     
2 

 5
 5
 ( do a  2) .
4
4
4
2
a 4
a 4  4
 5 5a
13
 
Vậy min P 
khi  a 4  a  2 (thỏa mãn).
2

a  2
Ví dụ 2. Cho x  0, y  0 và x  y  6 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức F  x  y 

6 24
.


x y

Lời giải
Phân tích bài tốn
( x ; y)

(1 ; 5)
(2 ; 4)
(3 ; 3)
84
 16,8
15
16
F
5
Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n min F  15 khi x  2, y  4 .

1
x
1
2

x
x  2, y  4

Từ bảng thứ hai, ta suy ra

2

y

4

(5 ; 1)
156
 31, 2
5

1
y
1
4

24
1
6
6 x 3x 1
x
y
sẽ đi với
nên sẽ đi với
sẽ đi với
nên
sẽ đi với
 ;
x
x
4
2 y

4
16
y

24 y 3 y
.

16
4
Trình bày lời giải
Có
 6 3x   24 3 y   x y 
F        
2  2 2
x 2   y

2

(4 ; 2)
39
 19,5
2

6 3x
24 3 y 1
1
 2

 ( x  y )  18  ( x  y )
x 2

y 2 2
2

1
 18   6  15 (do x  y  6).
2
8


Vậy min F  15 khi

x  2
6 3x 24 3 y
(thỏa mãn).
 ;  ;x y  6  
x 2 y
2
y  4

Ví dụ 3. Cho x  0, y  0 và x  y  3 . Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 x 2  y 2 

28 1
 .
x y

Lời giải
Phân tích bài tốn
 x; y 

1; 2 

 2;1

69
 34,5
2
Từ bảng thứ nhất, ta dự đo{n min P  24 khi x  2, y  1 .

24

P

1
x
1
2

x
x  2, y  1

Từ bảng thứ hai, ta suy ra

2

y

1
y

1

1

1
x
1
28 x
28
sẽ đi với
nên
sẽ đi với
se đi với y .
 7x ;
4
4
x
x
y

Trình bày lời giải
Có

 28
 1
P    7 x     y   2x2  y 2  7 x  y
 x
 y




 28
 1
   7 x     y   2( x  2) 2  ( y  1) 2  ( x  y )  9
 x
 y

28
1
 7x  2
 y  0  0  3  9  24.
x
y
28
1
Vậy min P  24 khi
 7 x;  y; x  2  0; y  1  0; x  y  3  x  2, y  1 .
x
y
2

Ví dụ 4. Cho 2  x  3, 4  y  6, 4  z  6 và x  y  z  12 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  xyz .
Lời giải
Nhận xét: Do y và z vai trò nhƣ nhau nên sử dụng bất đẳng thức Cơ-si đối với tích yz , ta đƣợc
 yz 1
P  x( yz )  x 
  x(12  x)(12  x) .
4
 2 
Đến đ}y ta kẻ bảng để dự đo{n gi{ trị lớn nhất của P
x

2
2

P

3
243
 60, 75
4

50

243
khi x  3 .
4
x
x3
3
Từ bảng thứ hai, ta suy ra 3x sẽ đi với 12  x nên ta biến đổi

Từ bảng thứ nhất dự đo{n max P 

9

12  x
9


1
1  x  24 

1  3  24  243
.
P  [(3x)(12  x)(12  x)]  
  
 
12
12  3  12  3 
4
243
9
Vậy max P 
khi x  3, y  z  .
4
2
3

3

DẠNG 6: KẾT HỢP ĐẶT ẨN PHỤ VÀ DỰ ĐOÁN KÊT QUẢ

Khi đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện của ẩn phụ.

Một số bất đẳng thức trung gian thƣờng dùng:

Với mọi a, b thì 2  a 2  b2   (a  b)2  4ab . Dấu bằng xảy ra khi a  b .


Với mọi a, b, c thì 3  a 2  b2  c 2   (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) . Dấu bằng xảy ra khi a  b  c .



Với mọi a, b thì

a 2  b2  a  b 
a 3  b3  a  b 


 a, b;
 a  b  0 . Dấu bằng xảy ra khi a  b .
2
2
 2 
 2 
2

3

1 1
4
 
a  0, b  0 . Dấu bằng xảy ra khi a  b .
a b ab
1 1 1
9

  
a  0, b  0, c  0 . Dấu bằng xảy ra khi a  b  c .
a b c a bc
x 2y
x 8

Ví dụ 1. Cho x  0, y  0 và   2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K  
.
2 y
y x



Lời giải
Đặt a

K

x
, do 2
y

a

Có

2
a

2
a

16 31a
Vậy MinK

Đặt a

Do m

n

Vậy MinA

x

p

2

Ví dụ 3. Cho x

2

2

x
y

33
do 0
4

1
hay x
4

2, y

a

1
4

x
y

2
.32a
a

1
4

xy

y

x

3(mn

0, y

4

0

1
4

a

31a
1
4

8.

0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

0, y

10
khi a
3

x 8
.
2 y

31a

16 31.

y 1

xy

2

32a

33
khi a
4

Ví dụ 2. Cho x

x

8
y

x
2

x

np

3

x

2

pm)

y

y 1

xy

x

1
a

y

y 1

x

x

y 1

2

3 xy

3

x

y

a

x2

y2

xy
x y

1.

0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải
10

xy

2

y

xy

x

y

x

y 1

2


2

y
2 xy
xy

x

Có A

x

Đặt t

y
, do x
xy

xy
x y

2 xy

y

Ta đƣợc A

t2

1
2
t

7 2
t
8

2

2
2

t
2

2

2

x

y
xy

x

y
xy

2
2

xy
x y

t2
8

1
t

7 2
t
8

7 2
.2
8

2

5
(do t
2

2

t

2

2

t2 1
.
8 t

Cos i

x

xy
x y

y
xy

7 2
t
8

2

2

2 ).

5
khi t 2 x y .
2
Ví dụ 4. Cho a 0, b 0, c 0 thỏa mãn b2
1 2
1
1
P
b c2 a2 2
2
a
b
c2

Vậy MinA

a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

c2

Lời giải

1 2
b
a2

Có P

c2

a2

1
b2

1
c2

2

2bc
a2

a 2 b2 c 2 2bc
2 ta đƣợc
bc
bc
bc
1
t 1 3t
t 1
2 t
2
22 .
4 t
4
4 t

t

2a
bc

2

3t
4

21

a2
bc

bc
a2

Dặt t
P

Vậy MinP

b

5 khi

Ví dụ 5. Cho x

b

c
2

c

2

a

b

2

0 và x

0, y

y

c

3t
4

21

3.2
4

5 (do t

2 ).

a
2

1
x

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

1
. 1 x2 y 2
y

Lời giải
1 1
. . 1
x y

Có P

2

Đặt a

xy , do xy

P

2

1
a

MinP

a

2

x

y

2
2

1
a

0, y

16a

1
x. y

1

4

2

17 khi a

Ví dụ 6: Cho x

x2 y 2

15a

1
hay x
4
0 và x

y
y

xy

0

2 2

a

1
, ta đƣợc

4

1
.16a 15a
a

2 8 15a

2. 8 15.

1
4

17 do 0

a

1
4

1
2
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Lời giải
11

1
x

2

y

2

1
xy

4 xy .


1

Có P

x

1
x

2

y

2

y

1

2 xy

2

1
2 xy

2

x

4
y2

2

1
2a

4

MinP

(x

2

1
2a

4

y)

1
4

0

8a

4a

2

4a

7 khi x

2 xy
y

1
a

1
b

a

b

4(do 0

x

y

4 xy . Sử dụng
4

x

Đặt a = xy, do xy

P

1
2 xy

4
12

2

4

0 , ta đƣợc

a, b

1) . Suy ra P

1
2 xy

4

4 xy .

1
ta đƣợc
4

a

4

1
.8a
2a

2

4a

8 4a

8 4.

1
4

7 (do 0

1
)
4

a

1
2

y

Ví dụ 7: Cho x,y >0 và x

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K

y

x

1
x

2

1

y

y

2

Lời giải
a

Cách 1: Sử dụng

Đặt a

K

4
a
3
a

Cách 2: K

K

2.

1
y

y

1
a
2
1
. 2
2

2

1
x

x

15
4a

2

1
y

y
x

y

2

2.

0, y

2.

1
2

a
1
y

b

a, b

0.

2

1
x
2

2

1
1
2 a.

2
a

a

2

15
1
4.
4

0 và x

y

4

y

2

4
x

y

25
khi x
2

y

2

2

1
4

2

1
b

1
x

x

25
(do 0
2

2

4

Ví dụ 8: Cho x

3
a

1
a

1, ta đƣợc:

a

1
a
3
1

xy, do xy

1
2

a, b và

2

2

2

b

2

c

y , điều kiện 0

1
a
2

Đặt a

a

2

1
x

2.

x

1
2
2

b

2

2

x
ta đƣợc K

2

y

3
a

1 ). Vậy, MinK
1
x2

x2

y2

0

a

4

25
do 0
2

1
y2

4

2. xy

1
.
2

1
xy

4.

1
. Ta đƣợc:
4
a

1
. Vậy, MinK
4

25
khi x
2

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S

Lời giải
1 1
4
a b  ab 
a  b  0 , ta đƣợc

 a  b  0 và + 
a b ab
2
 2 
3

Sử dụng

3

3

12

1

1
.
2

y

x

1
x

3

1

y

1
y

3


3

3
1 
1

1
1

1  x    1  y  
 1 x  x 1 y  y 
x 
y



S  2.
 2
2
2






Đặt a  x  y , điều kiện 0  a  1, ta đƣợc
3

1
4 1 
1  3
S   2  a    2   a    
4
a 4 
a  a
3

3

3
3
1
1 3 1

3 1
3  343
  2  2 a.     4     4   
4
a a 4
a  4
1
4

3

343
1
khi x  y 
4
2
DẠNG 7: TÌM LẠI ĐIỀU KIỆN CỦA ẨN

Vậy MinS 

Ví dụ 1. Cho x, y  0 và 2 x2  2 xy  y 2  2 x  8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 

2 4
  2x  3y .
x y

Lời giải
Có 2 x  2 xy  y 2 x  8  x  2 xy  y  x  2 x  1  9
2

2

2

2

2

  x  y    x  1  9 , mà  x  y    x  y    x  1   x  y   9  0  x  y  3
2

2

2

2

2

2


2
4
2
 4
Có P    2 x     y   4 x  4 y  2 .2 x  2 . y  4( x  y)
x
y
x

 y

 8  4( x  y)  8  4.3  4 (do 0  x  y  3 ). Vậy MinP  4 khi x  1, y  2 .

Ví dụ 2: Cho a
thức T
Có 2 b
3a2
a2

a

a

2

x

c

c

2

0 thỏa mãn 2 b2

0, c

2
a

2
b

bc

b

c

2

2
c

33 a

1
a

a

a b

1
b
b

1
c

c, 0

2

3 3 a 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

c2

2

3a

2

2b

2

Lời giải
2bc 2c 2 9

2b2 2bc
2ab 2ac 2c2 2ab 2ac 9
b2 c 2 2ab 2bc 2ca
a 2 b2 2ab
a2

18
x
Vậy MinT

T

b

bc

Sử dụng
Đặt x

0, b

a c

2

9

a

9
ta đƣợc T
a b c
x 3 , ta đƣợc

b3

6ab

9

0

b

c

a

b

c

x

12 3

18
18
2x x 2
.2 x x 12
x
x
9 khi x 3 hay a b c 1

Ví dụ 3: Cho a 0, b 0 và a3
1
3
P
ab
2

2
a b
ab

2

c2

2ac

9

b

c

3

9 (do 0

x

3)

a

18
a b c

8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Lời giải
13


Có a3

b3

6ab

3

3ab a

b

a

b 2

a

b 2 a2

a

b 2 2a 2

a

b 2

a b

a

2

a

b

b3

b 2

a

0

a3

8
2

b

8

ab

2b2
2

b

4

3ab a

2a

2b

2

4a
2

4

2

3ab a

b 2

b 2

8
0

0

8

0

2

0

1

1
5
ab
a b
2ab
2ab
1 1
4
Sử dụng
x, y 0 , ta đƣợc:
x y x y
1
1
1
4

4
2
2
2
2
2
a b
2ab a
2ab b
22
a b

Có P

2

Suy ra P
Đặt x
P

6ab

0

4b

b

3a2b 3ab2

23

b

2ab

a

3

a

2 a

b2

3a2b 3ab2

2

5
2ab

1

5
2x

a

b

2
5
2x

1

x

a

2)

b

ab

ab , do ab

1

1 (do 0

2

22
1
2
5 x 3x

2
2

0

x

1 , ta đƣợc:

5 5 x 3x
3x
3.1 9
.
6
6
(do 0 x 1 )
2x 2
2
2
2
2
9
khi a b 1
Vậy MinP
2
Ví dụ 4: Cho a 0, b 0 và a 2 b2 a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2020
P a 4 b4
2
a b

1 2

Lời giải
x

Sử dụng

a

Đặt x

P

x
2

y

2

x

2

b

P

2

a

2.
a

b
2

2

2.
b2

a2

b2

a

2020

2

b , ), 0

x

8
x

b

2

b

a

2

2

a

x
2

2

2

2

2020
x

, ta đƣợc

2

2

a2

y

2

2

2

2

b

1

2

a2

b2

2

2

4 , ta đƣợc:

2012
x

2

x 8
.
2 x

2012
x
14

b

b

2

0

2
a

2020
a

a

b

2

2

a

2

b

2020
a

b

2


2012
2012
4
50 (do 0
x
4
Vậy MinP 507 khi x 4 hay a
4

Ví dụ 5: Cho x

0 và

0, y

x

4)

b

1

1

x

4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

1

y

Lời giải
Có

x

Mà

xy

1

x2
y

Có P

1

y

4

x.1

y.1

y2
x

x2
y

x

xy

x

y

x 1
2

2

y2
x

y

x2
y2
.y 2
.x x
y
x
Vậy MinP 2 khi x y 1
2

II.
1.

3

y 1
2

x
y

3

y

x
x

x

xy

x.1

y.1

y 1 , suy ra x

y

2

y
2

y

BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIA
Dạng bộ hai số a; b và x; y bất kỳ



ax

Dấu "

by

2

a2

b2 x 2

x
a

" xảy ra

y2

y
b



Đặc biệt x

2.

Dạng bộ ba số a; b; c và x; y; z bất kì



ax

Dấu "

by

cz

" xảy ra

y

2

2

1.x 1. y

a2
x
a

b2

y
b

2

c 2 x2

Đặc biệt x

3.

Dạng tổng quát bộ n số a1; a2 ;


Dấu "

a1 x1

a2 x2

" xảy ra

z

2

an xn
x1
a1

Quy ƣớc trong dấu "

x2
a2

12 x 2

y2

y2

z2

z
c



y

12

1.x 1. y 1.z
2

a12

2

12

12

12 x 2

y2

z2

; an và x1; x2 ; ; xn
a22

an2 x12

x22

xn2

xn
an

" xảy ra, nếu mẫu nào bằng 0 thì tử tƣơng ứng bằng 0.

Ví dụ 1. Cho 4x + 9y = 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 9y2
Lời giải
15

x2
y

y2
x

Bunhia

Có 13 = (4x + 9y) = (2.2x + 3.3y)  (22 + 32)(4x2 + 9y2) = 13A  A  13
Ví dụ 2. Cho 4x + 3y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 4x2 + 3y2
2

2

2

Lời giải
Bunhia

Có 12 = (4x + 3y)2 = (2.2x +



3 . 3 y)2

(4 + 3)(4x2 + 3y2) = 7A  A 

1
7

 2x
3x
=
1

1

Vậy MinA =
khi  3y
3 x=y=
7
7
4x + 3y = 1

Ví dụ 3. Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 v| x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2 + z2
Lời giải
Bunhia

Có 22 = (1.x + 1.y + 1.z)2



(12 + 12 + 12)( x2 + y2 + z2) = 3A  A 

4
3

y z
x
4
2
 = 
Vậy MinA =
khi  1
1 1 x=y=

3
3

x + y + z = 2
6
Ví dụ 4. Cho 3x2 + 2y2 =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x + 3y
35

3
 2

. 3x +
. 2y 
Có S2 = (2x + 3y)2 = 
2
 3


2

Lời giải

Bunhia

35
35 6
4 9
2
2

3x 2 +2y 2  
. =1  S  1

 +   3x +2y  =
6
6 35
3 2
 3x
4y
2y


2y
x=
 3x
 2 = 3

x =
=




9
 2

Vậy MaxS =
1 
3 
8y

2
 3


y =
+ 3y = 1
2x + 3y = 1



9

2x + 3y = 1
1
Ví dụ 5. Cho 4a2 + 25b2 ≤
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = 6a – 5b
10



Lời giải
Có H = (6a – 5b) = (3.2a + (–1) .5b)
2

Bunhia



2

2

(9 + 1)(4a2 + 25b2) = 10(4a2 + 25b2) ≤ 10.

1
=1  H≤1
10

16

4
35
9
35


3

5b
a=
 2a

=
2a + 15b = 0


20
Vậy MaxH =
1  3



-1
18a - 15b = 3

b = - 1
6a - 5b = 1

50

3
Ví dụ 6. Cho x2 + y2 + z2 = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y + z
4
Lời giải
Bunhia

Có P2 = (1.x + 1.y + 1.z)2



(12+ + 12 + 12)(x2 + y2 + z2) = 3.

3 19
3
=  P≤
4 4
2

y z
x


=
 1
3
1
1 x=y=z= 1
Vậy MaxP = khi 
2
2
x + y + z = 3

2
Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x - 1 + 3 - x khi 1 ≤ x ≤ 3



Có P2 = 1. x - 1 + 1. 3 - x



2 Bunhia



1

2

 12 



Lời giải
2

x-1 + 3-x

2

 =4  P≤2

x 1
3 x

 x = 2 (thỏa mãn)
1
1
Ví dụ 8. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 3. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức
K = 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5
Vậy MaxP = 2 khi



Có K2 = 1. 4a + 5 + 1. 4b + 5 + 1. 4c + 5



Lời giải
2

Bunhia



(12+ + 12 + 12)( 4a + 5 + 4b + 5 + 4c + 5)
= 3[4(a + b + c) + 15] = 3(4.3 + 15) = 81  K ≤ 9
 4a + 5
4b + 5
4c + 5
=
=

 a=b=c=1
Vậy MaxK = 9 khi  1
1
1
a + b + c = 3

Ví dụ 9. Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 v| a + b + c = 1. Tìm gi{ trị lớn nhất của biểu thức
P= b+c + c+a + a+b



Có P2 = 1. b + c + 1. c + a + 1. a + b
Bunhia



(12+ + 12 + 12)



2



2

Lời giải
2

b+c + c+a + a+b

2



= 6 (a +b + c) = 6  P  6
17


Vậy MaxP =

 a+b
b+c
c+a
1
=
=

6 khi  1

1
1  a=b=c=
3
a + b + c = 1


Ví dụ 10. Cho a, b, c ≥ 0 v|

a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a+b
+
2

M=

b+c
+
2

c+a
2

Lời giải







 a+


 b+

 c+


a+ b 

Ta có

Suy ra

2



 = 1.
c  = 1.
a  = 1.
2

b

2

b +1.

2

c +1.

2(a+b), b + c 



a + b+ c 

2



a+b
+
2
Vậy MinM = 3 khi a = b = c = 1



c
a

a +1. b

a + b+ c 

2 Bunhia

1 +1   a+b  =2  a+b 

2 Bunhia

1 +1   b+c  =2  b+c 

2 Bunhia

1 +1   c+a  =2  c+a 







2

2

2

2

2

2

2(b+c), c+ a 

a+b + b+c + c+a

2(c+a)



b+c
c+a
+
hay M ≥ 3
2
2

III. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
DẠNG 1: ĐƯA VỀ BÌNH PHƯƠNG
 A2 ± m ≥ 0 ± m ; - A2 ± m ≤ 0 ± m
Dấu “=” xảy ra khi A = 0.
 A2 + B2 ± m ≥ 0 + 0 ± m; - A2 - B2 ± m ≤ 0 + 0 ± m
Dấu “=” xảy ra khi A = 0, B = 0.
Ví dụ 1. Cho x ≥ - 2; y ≥ 1. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x + y - 2 x + 2 - 4 y - 1 + 24 .
Lời giải



  y - 1 - 4 y - 1  4 + 18
=  x + 2 - 1 +  y - 1 - 2  +18  0 + 0 + 18 = 18

Có A = x + 2 - 2 x + 2  1 +
2

2

 x + 2 = 1  x = -1


( thỏa mãn)
Vậy MinA = 18 khi 
y
=
5
y
1
=
2



1
Ví dụ 2. Cho x ≥ - . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 5x - 6 2x + 7 - 4 3x + 1 + 2 .
3

18


Lời giải



  3x + 1 - 4 3x + 1  4 - 19
=  2x + 7 - 3 +  3x + 1 - 2  - 19  0 + 0 - 19 = - 19

Có E = 2x + 7 - 6 2x + 7  9 +
2

2


 2x + 7 = 3 2x + 7 = 9
Vậy MinA = - 19 khi 

 x = 1 ( thỏa mãn)
3x + 1 = 4

 3x + 1 = 2
Ví dụ 3. Cho x  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T = x  x  1  3 x  7  28.
Lời giải
Xét 2T = 2 x  2 x  1  6 x  7  56




 



 x  1  2 x  1  1  x  7  6 x  7  9  40

 



2

x 1 1 

2

x  7  3  40  0  0  40  40  T  20

 x 1  1
 x 1  1

Vậy Min T  20 khi 

 x  2 (thỏa mãn)
x


7
9
x


7
3



Ví dụ 4. Cho x  15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x

F  x2  x 
Xét 2F  2 x 2  2 x  2



x



x 2  15  x  3 

 x 2  15  x  3  2


x

2

 15  x  3  x 2  15  x  3  38.
Lời giải

2

 15  x  3  2 x 2  15  x  3  76



 



 15   x  3  x 2  15  2 x 2  15  1  x  3  2 x  3  1

2

 
2

 



2

x 2  15  1 

2

x  3  1  42  0  0  42  42

 F  21
Vậy Min F  21 khi x2  15  x  3  1  x  4 (thỏa mãn)
Ví dụ 5. Cho a  0, b  0,c  0 và a  b  c  6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T= a 2  4ab  b2  b2  4ab  c2  c 2  4ca  a 2 .
Lời giải
Chú ý: Với x  0, y  0, ta có

6 x  y  2 x  y
6 x  y

x  4 xy  y 
4
4
 x  y 6 .
 x 2  4 xy  y 2 
2
Vận dụng vào bài tốn, ta có
2

2

T

 a  b
2

2

2

2

6



b  c 

2

6



c  a 
2

6

 a  b  c 6  6 6
19


Vậy MaxT  6 6 khi a = b = c =2.
Ví dụ 6. Cho a  0, b  0,c  0 , x  y  z  1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
S=

x2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  z 2 .

Lời giải
Chú ý: Với x  0, y  0, ta có
 3 a  b
a  b
a  ab  b

4
4
ab

 a 2  ab  b 2 
2
x y yz zx
Vận dụng vào bài tốn, ta có
S


 x  y  z  1.
2
2
2
1
Vậy MinS  1 khi x  y  z  .
3
2

2

 a  b


2

2

2

DẠNG 2: TẠO RA BẬC HAI BẰNG CÁCH NHÂN HAI BẬC MỘT
m  x  n   x  m  x  n   0.




m x n



x m





x  n  0.

Ví dụ 1.Cho 2  a, b, c  3 và a 2  b2  c2  22.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  a  b  c.
Lời giải
Vì 2  a  3 nên a  2  0, a  3  0.
Suy ra  a  2 a  3  0  a 2  a  6  0  a  a 2  6.

Tƣơng tự, ta cũng tìm đƣợc b  b2  6, c  c2  6
Do đó M  a  b  c  a 2  b2  c2  18  22  18  4.
a  2, a  3
 a  b  3, c  2
b  2, b  3

Vậy MinM =4 khi 
  a  c  3, b  2




c
c
2,
3

b  c  3, a  2

a  b  c  4
Ví dụ 2.Cho x  0, y  0, z  0 thỏa mãn x  y  z  6.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2  z 2 .
Lời giải


Tìm MinA

Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Có 62  1.x  1. y  1.z 

2

 12  12  12  x2  y 2  z 2   3 A  A  12.

Bunhia

x y z
  
Vậy MinA = 12 khi  1 1 1  x  y  z  2.
 x  y  z  6
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z=2)

20


Có A  x2  y 2  z 2   x 2  4   y 2  4    z 2  4   12
 2 x 2 .4  2 y 2 .4  2 z 2 .4  12  4  x  y  z   12  4.6  12  12.

Vậy MinA  12 Khi x  y  z  2.
Tìm MaxA



Có x, y, z  0 và x  y  z  6 nên 0  x, y, z  6.
 x  x  6  y  y  6  z  z  6  0

 x 2  y 2  z 2  6  x  y  z   6.6  36  A  36.
 x  0, x  6
 y  0, y  6

Vậy MaxA  36 khi 
hay  x; y; z  là hoán vị của  0;0;6  .
0,
z
6
z



 x  y  z  6
Ví dụ 3.Cho a  0, b  0,c  0 thỏa mãn a  b  c  3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức K  3a  1  3b  1  3c  1.

Lời giải
Tìm MaxK



Cách 1 (Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)



Xét K 2  1. 3a  1  1. 3b  1  1. 3c  1



2

 12  12  12   3a  1  3b  1  3c  1  9  a  b  c  1  36  K  6.

Bunhia

Vậy MaxK  6 khi a  b  c  1.
Cách 2 (Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại a=b=c=1)
1
K  3a  1  3b  1  3c  1    3a  1 .4   3b  1 .4   3c  1 .4 

2
1   3a  1  4  3b  1  4  3c  1  4  3  a  b  c   15 3.3  15
 




 6.

2
2
2
2
4
4

Vậy Max K  6 khi a  b  c  1.
Tìm MinA



Có a  b  c  3  3a  3b  3c  9   3a  1   3b  1  3c  1  12.
Đặt x  3a  1, y  3b  1, z  3c  1  x, y, z  1 và x  y  z  12.
Từ x, y, z  1 và x  y  z  12  1  x, y, z  10







x 1

Tƣơng tự



x  10  0  x 
y





10  1

x  10  0  x 

y  10
z  10
, suy ra
, z
10  1
10  1

21

x  10
.
10  1


x y z

12  3 10
x  y  z  3 10
K

 10  2.
10  1
10  1

Vậy MinK  10  2 khi  x, y, z  là hoán vị của 1;1;10  nên  a; b; c  hoán vị của  0;0;3 .
DẠNG 3: TẠO RA ab+bc+ca


0  a, b, c  m   m  a  m  b  m  c   0



0  a, b, c  m   m  a  m  b    m  a  m  c    m  b  m  c   0

Ví dụ 1. Cho 0  a, b, c  2 và a  b  c  3. Chứng minh ab  bc  ca  2.
Lời giải
Do 0  a, b, c  2 nên  2  a  2  b  2  c   0

 8  4  a  b  c   2  ab  bc  ca   abc  0
 8  4.3  2  ab  bc  ca   abc  0 (do a  b  c  3 )
abc
abc
, mà 2 
 2 nên ab  bc  ca  2 (đpcm).
2
2
Ví dụ 2: Cho a  1, b  1, c  1 và ab+bc+ca =9.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =a2 + b2 + c2
Lời giải:
* Tìm Min P

Có (a –b)2 +(b- c)2 +(c-a)2  0 => a2 +b2 +c 2  ab +bc+ca => P  9.
 ab  bc  ca  2 

Vậy MinP =9 khi a = b= c = 3
* Tìm MãP
Do a  1, b  1, c  1 => (a-1)(b-1) +(b-1)(c-1) +(c-1)(a-1)  0
<=> (ab+ bc +ca) -2(a+b+c) +3  0 <=> a+ b+ c  6
<=> a2 + b2 +c2 +2(ab+bc+ca)  36 <=> P  18
Vậy MaxP=18 khi (a,b,c) là hoán vị của (1;1;4)
DẠNG 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT TRONG BA SỐ BẤT KÌ LN TỊN TẠI HAI SỐ CĨ TÍCH
KHƠNG ÂM
Tính chất 1: Nếu -1  a  1 thì a n  a n  N*
Dấu “=” xảy ra khi a=0 hoặc a=1 nếu n lẻ, khi a=0 hoặc a=  1 nếu n chẳn
Tính chất 2: Nếu hai số a và b có tích ab  0 thì a  b  a  b
Tính chất 3: Với ba số x, y, z bất kỳ, ln tồn tại hai số có tích khơng âm.
Bài toán cơ bản: Cho -1  x, y, z  1, x+ y+ z =0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = x  y  z
Lời giải:
Với ba số x, y, z bất kỳ, ln tồn tại hai số có tích khơng âm.
Giả sử xy  0 => x  y  x  y  z  z
Nên T  2 z  2 ( do -1  z  1 ).
22


Vậy MaxT =2 khi (x;y;z) là hốn vị (-1;0;1).
Ví dụ 1. Cho -2  x, y, z  2, x+ y+ z =0. Chứng minh rằng a4 +b4 +c4  32
Lời giải:
a a a
Có -2  x, y, z  2 => 1  , , ,  1
2 2 2

a
b
c
Đặt x  , y  , z   1  x, y, z  1 và x+y+z=0.
2
2
2
4
4
4
Khi đó a +b +c =16(x4 +y4 +z4)  16  x  y  z  .

Với ba số x, y, z bất kỳ, ln tồn tại hai số có tích không âm.
Giả sử: xy  0 => x  y  x  y  z  z nên

x  y  z  2 z  2  a 4  b4  c4  32 ( đpcm)
3
.
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x2 +y2 +z2

Ví dụ 2. Cho 0  x, y, z  1 và x+ y+ z =

Lời giải:
Tìm Min P
Cách 1( Sử dụng bất đẳng thúc Bunhia)
2

Bunhia
3

3
Có    (1.x  1.y  1.z) 2  (12  12  12 )(x 2  y 2  z 2 )  3P  P 
4
2
x y z
 1  1  1
1
3
 x  y  z 
Vậy MinP = Khi 
2
4
x  y  z  3

2

1
)
2
1 
1 
1
1
1
1 3
3

Cã P  x2  y2  z 2   x2     y2     z 2    2 x 2 .  2 y2 .  2 z 2 .   x  y  z  .
4 
4 

4
4
4
4 4
4

3
1
Vậy MinP =
Khi x = y = z =
4
2
Tìm MaxP
3
Có x + y + z =  (2x – 1) + (2y – 1) + (2z – 1) = 0
2
Đặt a = 2x – 1, b = 2y – 1, c = 2z – 1.
Do (2x – 1) + (2y – 1) + (2z – 1) = 0 nên a + b + c = 0
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1  - 1 ≤ 2x – 1, 2y – 1, 2z – 1 ≤ 1 nên – 1 ≤ a, b, c ≤ 1.

Cách 2( Sử dụng bất đẳng thức Côsi – dự đo{n min đạt tại x=y=z=

a 2  b2  c 2  2(a  b  c)  3
 a 1   b 1   c 1 
Có P = 
 
 
 
4
 2   2   2 

2
2
2
a b c 3 a  b  c 3

(do  1  a, b, c  1)
=
4
4
2

2

2

23


Với ba số a, b, c bất kì, ln tồn tại hai số có tích khơng âm.
Giả sử a.b ≥ 0 thì a  b  a  b  c  c nên

P

2 c 3
4



23 5
 (do c  1) .

4
4

5
 1 3
khi (a; b; c) là hoán vị của (- 1; 0; 1) hay (x; y; z) là hốn vị của  0; ;  .
4
 2 2
Ví dụ 3: Cho 0 ≤ x, y, z ≤ 2 v| x + y + z = 3. Tìm gi{ trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
M = x4 + y4 + z4 + 12(1 – x)(1 – y)(1 – z).
Vậy MaxP =

Lời giải
Có x + y + z = 3  (x – 1) + (y – 1) + (z – 1) = 0
Đặt a = x – 1, b = y – 1, c = z – 1  - 1 ≤ a, b, c ≤ 1 v| a + b + c = 0
Với a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
Có M = (a + 1)4 + (b + 1)4 + (c + 1)4 – 12abc
= (a4 + b4 + c4 ) + 4(a3 + b3 + c3) + 6(a2 + b2 + c2) + 4(a + b + c) – 12abc
= (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2).
* Có M = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2) ≥ 0
Vậy Min M = 0 khi a = b = c = 0  x = y = z = 1
* Có M = (a4 + b4 + c4) + 6(a2 + b2 + c2) ≤  a  b  c   6  a  b  c   7  a  b  c  .
Với ba số a, b, c bất kì, ln tồn tại hai số có tích khơng âm.
Giả sử ab ≥ 0  a  b  a  b  c  c
 a  b  c  2 c  2  M  14 .
Vậy MaxM = 14 khi (a; b; c) là hoán vị của (- 1; 0; 1) hay (x, y, z) là hốn vị của (0; 1; 2).
Ví dụ 4: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 4 v| a + b + c = 6.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca.

Lời giải

a 2  b2  c 2  a  b  c 
a 2  b2  c 2


 18.
2
2
2
2

Có P

Do a + b + c = 6  (a – 2) + (b – 2) + (c – 2) = 0 
Đặt x 

a2
b2
c2
,y
,z
 x + y + z = 0.
2
2
2

a2 b2 c2


0

2
2
2

Vì 0 ≤ a, b, c ≤ 4  - 2 ≤ a – 2, b – 2, c – 2 ≤ 2  - 1 

a2 b2 c2
 1.
,
,
2
2
2

 - 1 ≤ x, y, z ≤ 1.

 2x  2   2 y  2   2z  2

2

Có P

2

2

2

 18 = 2(x2 + y2 + z2) + 4(x + y + z) + 24
24

= 2(x2 + y2 + z2) + 24 ≤ 2  x  y  z   24
Với ba số x, y, z bất kì, ln tồn tại hai số có tích khơng âm.
Giả sử xy ≥ 0  x  y  x  y   z  z nên P  4 z  24  4  24  28 (do  1  z  1).
Vậy MaxP = 28 khi (x, y, z) là hoán vị của (- 1; 0; 1) nên (a, b, c) là hoán vị của
(0; 2; 4).
DẠNG 5: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ BỊ CHẶN TỪ 0 ĐẾN 1
* Nếu 0  x  1 thì x  x . Dấu “” xảy ra khi x  0 hoặc x  1
* Nếu 0  x  1 thì xn  x n  * . Dấu “” xảy ra khi x  0 hoặc x  1 .
Ví dụ 1: Cho a  0; b  0; c  0 và a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
P  bc  c a  a b .

Lời giải
* Tìm MaxP
Cách 1: ( Sử dụng bất đẳng thức Bunhia)
Xét P2  (1. b  c  1. c  a  1. a  b )2

 Bunhia 12  12  12 



2

2

bc  ca  ab

2



 6(a  b  c)  6( do a  b  c  1)  P  6
1
Vậy Max P  6 khi a  b  c 
3
Cách 2: ( Sử dụng bất đẳng thức Cosi - dự đo{n max đạt tại a  b  c 

2
2
2
2

(b  c) 
(c  a ) 
(a  b)
3
3
3
3
2
2
2
 (b  c)
 (c  a )
 (a  b)
3
3
3
2

2
2

Xét P.

 1  a  b  c  2 ( do a  b  c  1)  P  2 :
Vậy Max P  6 khi a  b  c 

2
 6
3

1
3

* Tìm MinP
Sử dụng tính chất: 0  x  1 thì x  x
Do a, b, c  0 và a  b  c  1 nên 0  a  b, b  c, c  a  1
Có P  b  c  c  a  a  b  (b  c)  (c  a)  (a  b)  1
 2(a  b  c)  2( do a  b  c  1).
Vậy MinP  2 khi (a; b; c) là hoán vị (1;0;0) .
25

1
)
3