Bài giảng Toán giải tích

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

TOÁN GIẢI TÍCH
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN
QUẢN TRỊ KINH DOANH)

ThS. Phạm Thị Kiều Anh

Đồng Tháp – 2017
(Lƣu hành nội bộ)


UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

TOÁN GIẢI TÍCH
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG KẾ TOÁN
QUẢN TRỊ KINH DOANH)
(SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))

ThS. Phạm Thị Kiều Anh

Đồng Tháp – 2017

LỜI NÓI ĐẦU
1. Đối tƣợng sử dụng
Dùng cho sinh viên ngành Kế toán, Quản trị kinh doanh và sinh viên thuộc
các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng nhƣ tài liệu tham khảo.
2. Cấu trúc bài giảng: Gồm 4 chƣơng
Học phần Vi Tích Phân đƣợc chia làm 4 chƣơng:
Chƣơng 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ.
Chƣơng 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN.
Chƣơng 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN.
Chƣơng 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN.
3. Mục tiêu môn học
Trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng
cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh
viên khả năng tƣ duy logic, phƣơng pháp định lƣợng trong kinh tế và kỹ thuật. Cụ
thể
 Cung cấp cho ngƣời học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một
biến. Khái niệm về đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vơ
định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục.
 Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến. Ứng dụng đƣợc
qui tắc L‟Hospital khử các dạng vơ định trong tính giới hạn và khảo sát một hàm số,
tìm cực trị; giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó, vận dụng để giải
một số bài toán tối ƣu.
 Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân hàm một biến và phƣơng pháp
tính các loại tích phân đó. Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích
của một vật thể.
 Trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm
nhiều biến, làm cơ sở cho việc nghiên cứu Toán học hiện đại ở bậc Đại học và các
môn học khác có liên quan.
Tuy nhiên, bài giảng khơng khai thác sâu các vấn đề lý thuyết mà chỉ ở mức

độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật. Nhiều định lý đƣợc phát biểu không chứng
minh mà chỉ hƣớng dẫn sử dụng thơng qua hệ thống ví dụ và bài tập. Việc giới thiệu
nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mơ hình hóa các vấn
đề thực tế thành bài toán Toán học.
4. Phƣơng pháp giảng dạy
Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra.
 Nghe giảng lý thuyết
: 23 tiết
 Làm bài tập trên lớp
: 7 tiết
 Tự học
: 60 tiết


MỤC LỤC
Trang
Chƣơng 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ....... 5
1.1. Hàm số .............................................................................................................. 6
1.1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số ....................................................... 6
1.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 6
1.1.1.2. Các phép toán trên hàm số ................................................................. 6
1.1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số ......................................................... 7
1.1.2.1. Hàm số đơn điệu ................................................................................. 7
1.1.2.2. Hàm số chẵn lẻ ................................................................................... 7
1.1.2.3. Hàm số tuần hoàn ............................................................................... 8
1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc .................................................................... 8
1.1.3.1. Hàm số hợp ........................................................................................ 8
1.1.3.2. Hàm số ngƣợc..................................................................................... 9
1.1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản .......................................................................... 10
1.1.4.1. Hàm lũy thừa y  x  ,   ......................................................... 10

1.1.4.2. Hàm số mũ y  a x , 0  a  1 ............................................................. 11
1.1.4.3. Hàm số logarit y  loga x, 0  a  1. ................................................ 11
1.1.4.4. Các hàm số lƣợng giác ....................................................................... 12
1.1.4.5. Các hàm lƣợng giác ngƣợc ................................................................. 12
1.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số ............................................................ 13
1.2.1. Giới hạn của dãy số ................................................................................... 13
1.2.1.1. Định nghĩa dãy số ............................................................................... 13
1.2.1.2. Giới hạn dãy số ................................................................................... 14
1.2.1.3. Các phép toán ..................................................................................... 15
1.2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy ....................................................... 16
1.2.2. Giới hạn hàm số ......................................................................................... 16
1.2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ  ,  ) ................................................................ 16
1.2.2.2. Giới hạn một phía ................................................................................ 17
1.2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận ........................................................... 18
1.2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số....................................................... 18
1.2.2.5. Các phép toán ...................................................................................... 19
0 
1.2.2.6. Các dạng vô định  ; ; 0.;     ............................................... 19
0 

1.2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng ................................................ 22
1.2.2.8. Đại lƣợng vô cùng bé – đại lƣợng vơ cùng lớn ................................... 23
1.2.3. Tính liên tục của hàm số ............................................................................ 25
1.2.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 25
1.2.3.2. Điểm gián đoạn .................................................................................. 25
1.2.3.3. Hàm số liên tục trên đoạn – khoảng ................................................... 26
1.2.3.4. Các phép toán trên hàm số liên tục ................................................... 27
1.2.3.5. Tính chất của hàm số liên tục ............................................................. 27
1.2.3.6. Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục ................................................ 27
BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ......................................................................................... 28

1


Chƣơng 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN ....................................... 30
2.1. Đạo hàm của hàm số ...................................................................................... 31
2.1.1. Đạo hàm ..................................................................................................... 31
2.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 31
2.1.1.2. Đạo hàm một phía .............................................................................. 31
2.1.1.3. Mối liên hệ giữa đạo hàm và liên tục ................................................ 32
2.1.1.4. Các qui tắc tính đạo hàm .................................................................... 32
2.1.1.5. Đạo hàm hàm số cho bởi phƣơng trình tham số ................................ 33
2.1.2. Đạo hàm cấp cao ........................................................................................ 33
2.1.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 33
2.1.2.2. Các phép toán ..................................................................................... 34
2.1.2.3. Một số đạo hàm cấp cao thông dụng .................................................. 34
2.1.2.4. Ý nghĩa của đạo hàm (cấp 1 và cấp 2) ............................................... 34
2.2. Vi phân của hàm số ........................................................................................ 36
2.2.1. Vi phân ....................................................................................................... 36
2.2.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 36
2.2.1.2. Các qui tắc tính vi phân ...................................................................... 36
2.2.1.3. Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) ........................... 36
2.2.2. Vi phân cấp cao ......................................................................................... 37
2.2.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 37
2.2.2.2. Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao ............................. 37
2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân..................................................... 38
2.3.1. Đinh lý Rolle .............................................................................................. 38
2.3.2. Định lý Lagrange ....................................................................................... 38
2.3.3. Định lý Cauchy .......................................................................................... 38
2.3.4. Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định) .............................................. 39
2.3.5. Ứng dụng của phép tính vi phân ................................................................ 41

2.3.5.1. Xác định khoảng đơn điệu .................................................................. 41
2.3.5.2. Cực trị địa phƣơng của hàm số ........................................................... 41
2.3.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ..................................................... 43
2.3.5.4. Bài toán tối ƣu trong thực tế ............................................................... 44
BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ............................................................................................. 48
Chƣơng 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ....................... 50
3.1. Tích phân khơng xác định .............................................................................. 51
3.1.1. Ngun hàm và tích phân khơng xác định ................................................ 51
3.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 51
3.1.1.2. Định lý ................................................................................................ 51
3.1.1.3. Tính chất của tích phân khơng xác định ............................................. 51
3.1.2. Các phƣơng pháp tính ................................................................................ 53
3.1.2.1. Phƣơng pháp phân tích ....................................................................... 53
3.1.2.2. Phƣơng pháp đổi biến số .................................................................... 53
3.1.2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần ...................................................... 54
3.1.3. Tích phân một số hàm thƣờng gặp ............................................................ 56
3.1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ ................................................................... 56
2


3.1.3.2. Tích phân các hàm vơ tỉ ..................................................................... 59
3.1.3.3. Tích phân hàm số lƣợng giác ............................................................. 60
3.2. Tích phân xác định ......................................................................................... 62
3.2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 63
3.2.2. Tính chất ................................................................................................ 63
3.2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân .......................................... 64
3.2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định ............................................. 64
3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định .......................................................... 67
3.3. Tích phân suy rộng.......................................................................................... 72
3.3.1. Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vơ tận).................................. 72

3.3.2. Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn) 74
3.3.3. Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng ..... 74
BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ......................................................................................... 78
Chƣơng 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ................................... 80
4.1. Khái niệm về hàm nhiều biến ......................................................................... 81
4.1.1. Khái niệm về không gian n .................................................................... 81
4.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 81
4.1.1.2. Các phép toán ..................................................................................... 81
4.1.2. Định nghĩa hàm hai biến ............................................................................ 81
4.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến ............................................... 83
4.2.1. Định nghĩa giới hạn dãy............................................................................. 83
4.2.2. Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội)............ 83
4.2.3. Tính chất (Tương tự như hàm một biến).................................................... 84
4.2.4. Tính liên tục của hàm số ............................................................................ 85
4.2.4.1. Định nghĩa .......................................................................................... 85
4.2.4.2. Điểm gián đoạn .................................................................................. 86
4.3. Đạo hàm của hàm hai biến ............................................................................. 86
4.3.1. Đạo hàm riêng ............................................................................................ 86
4.3.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1 ........................................................................... 86
4.3.1.2. Cách tính............................................................................................. 87
4.3.2. Đạo hàm riêng cấp cao .............................................................................. 87
4.3.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 87
4.3.2.2. Định lý (SCHWARTZ) ..................................................................... 89
4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp ............................................................................... 89
4.3.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 89
4.3.3.2. Định lý (Quy tắc xích) ........................................................................ 89
4.3.4. Đạo hàm của hàm ẩn.................................................................................. 90
4.3.4.1. Định nghĩa .......................................................................................... 90
4.3.4.2. Định lý về sự tồn tại hàm ẩn............................................................... 90
4.3.4.3. Đạo hàm của hàm ẩn .......................................................................... 91

4.4. Vi phân của hàm hai biến ............................................................................... 93
4.4.1. Sự khả vi .................................................................................................... 93
4.4.1.1.Định nghĩa ........................................................................................... 93
4.4.1.2. Mối liên hệ giữa liên tục và khả vi ..................................................... 93
4.4.2. Vi phân toàn phần ...................................................................................... 94
3


4.4.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 94
4.4.2.2. Các qui tắc tính vi phân ...................................................................... 94
4.4.2.3. Áp dụng vi phân tính gần đúng .......................................................... 94
4.4.3. Vi phân cấp cao ......................................................................................... 95
4.4.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 95
4.4.3.2. Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao ............................. 95
4.4.4. Công thức Taylor ....................................................................................... 96
4.5. Cực trị của hàm hai biến ................................................................................ 97
4.5.1. Cực trị địa phƣơng ..................................................................................... 97
4.5.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 97
4.5.1.2. Điều kiện cần của cực trị ................................................................... 98
4.5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị ..................................................................... 99
4.3.5.4. Ứng dụng vào bài toán Kinh tế 2 biến ............................................. 100
4.5.2. Cực trị có điều kiện .................................................................................... 102
4.5.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 102
4.5.2.2. Cách tìm cực trị có điều kiện.............................................................. 102
a) Phƣơng pháp thế ................................................................................... 102
b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 103
4.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ............................................................. 105
BAI TẬP CHƢƠNG 4 ............................................................................................. 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 112

4


Chƣơng 1
HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
 Mục đích yêu cầu
Chƣơng này cung cấp cho ngƣời học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của
hàm một biến. Các phép tốn tính giới hạn. Khái niệm về đại lƣợng vô cùng bé – vơ
cùng lớn và áp dụng vào tính giới hạn. Các tính chất của hàm số liên tục.
Sau khi học xong chƣơng này, Sinh viên cần đạt đƣợc:
- Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của dãy số, hàm số, các phép tốn
cơ bản khi việc thực hiện tính giới hạn. Hiểu và vận dụng đƣợc các phƣơng
pháp giải đƣợc giới thiệu trong mỗi dạng toán, mỗi vấn đề, áp dụng các công
thức giới hạn đặc biệt đã đƣợc giảng dạy.
- Hiểu và vận dụng đƣợc phép tính trên các đại lƣợng vô cùng bé (VCB),
vô cùng lớn (VCL). Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử
dạng vơ định khi tính giới hạn.
- Hiểu đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số
liên tục trên đoạn a, b  .
- Làm đƣợc các bài tập tƣơng tự.
 Kiến thức chuẩn bị
Khái niệm hàm số, miền xác định, các tính chất đặc biệt của hàm số, đồ thị của
các hàm số sơ cấp.
Ơn lại các kiến thức về tính giới hạn, tính liên tục của hàm số (lớp 11).

5


1.1. Hàm số
1.1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số

1.1.1.1. Định nghĩa
Cho X,Y  ; X,Y   , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi giá
trị của biến x  X có duy nhất một giá trị thực y Y , kí hiệu y  f (x ) .
* Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau:
f : X Y

y  f (x )

x

(1.1.1)

 Biến x đƣợc gọi là biến độc lập.
 y  f (x ) đƣợc gọi là biến phụ thuộc.
 Tập D  x 

| f (x ) có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm số.





 Tập Y  f (X )  f (x ) | x  X đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số.
* Đồ thị hàm số y  f (x ) là tập hợp các điểm có tọa độ (x, f (x )) trong hệ tọa
độ Descartes. Kí hiệu: G  M (x, f (x )) : x  X  .
Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau
Miền xác định: D 
a) y  2x  1 .
b) y 

2x
.
x 1
2

Miền xác định: D 

x 3
. Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi:
c) y 
2x  1
Vậy miền xác định D   3;   \

21.

.



\ 1;1 .



x  3
 x  3  0

2x  1  0  
1.

x 

2



 Chú ý: Hàm số y  f (x ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y .
Ví dụ 2 : * Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h. Mối liên hệ giữa thời
gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số
s  s(t )  60t .
* Khi ni 1 con bị, quan sát q trình tăng trọng của con bị ta có mối
liên hệ giữa thời gian nuôi t(tuần) và trọng lượng m(kg) của con bò là hàm số
m  m(t ).
1.1.1.2. Các phép toán trên hàm số
Cho hàm số f (x ), g(x ) có cùng miền xác định D . Khi đó, ta xác định các
hàm số sau :
(f  g )(x )  f (x )  g(x ) ,
(x  D) .
(1.1.2)
i)
ii)

(f .g )(x )  f (x ).g(x ) ,
6

(x  D) .

(1.1.3)


f (x )
f 

 g  (x )  g(x )
 
lần lƣợt gọi là tổng, hiệu, tích, thƣơng của f và g .
iii)

(g(x )  0, x  D) .

(1.1.4)

1.1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số
1.1.2.1. Hàm số đơn điệu
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là đơn điệu tăng (hay giảm) trên miền D nào đó nếu
với cặp số x1, x 2 bất kỳ thuộc miền D và từ x1  x2 suy ra f (x1)  f (x 2 ) (hay
f (x1)  f (x 2 ) ).
Nếu từ x1  x2 suy ra f (x1)  f (x 2 ) (hay f (x1)  f (x 2 ) ) thì ta nói hàm số
f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó.
Ví dụ 3: Hàm y  f (x )  x 2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng  0;   .
Thật vậy, giả sử x1, x 2   0;   và x1  x2 .
Xét f (x1)  f (x 2 )  x12  x 22  (x1  x 2 )(x1  x 2 )  0 vì x1  x2 .
Suy ra f (x1)  f (x 2 ) .
Vậy hàm số đã cho tăng nghiêm ngặt trên  0;   .



Q

 Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hƣớng từ trái
qua phải.
y
y

O

a

b

x

O

Đồ thị hàm số tăng

a

b

Đồ thị hàm số giảm

1.1.2.2. Hàm số chẵn lẻ
Cho hàm số f (x ) xác định trên tập đối xứng D (x  D thì x  D ).
Khi đó:

 f đƣợc gọi là chẵn nếu với mọi x  D , ta có:

f (x )  f (x ) .
 f đƣợc gọi là lẻ nếu với mọi x  D , ta có:

f (x )   f (x ) .
Ví dụ 4:

x

* Hàm số y  f (x )  cos x  x 2  x là hàm số chẵn.
* Hàm số y  g(x )  x 3  x là hàm số lẻ.
7


 Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy .
- Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O .
y

y

y  f (x )

O

O

x

Dạng đồ thị của hàm số chẵn

x

Dạng đồ thị hàm số lẻ

1.1.2.3. Hàm số tuần hoàn
Hàm số f (x ) đƣợc gọi là tuần hoàn trên miền D nếu tồn tại hằng số T  0

sao cho với mọi x  D , ta có: f (x  T )  f (x ) . Số T0  0 nhỏ nhất trong định
nghĩa (nếu có) đƣợc gọi là chu kì của hàm số tuần hồn f .
Ví dụ 5
* Hàm số y  f (x )  sin x ; y  f (x )  cos x tuần hồn với chu kì T0  2 .
* Hàm số y  f (x )  tan x ; y  f (x )  cot x tuần hồn với chu kì T0   .
* Hàm số y  sin(ax  b) ; y  cos(ax  b) tuần hoàn với chu kỳ T0 

2
.
a

1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc
1.1.3.1. Hàm số hợp
Cho hàm số f : X  Y , g : Y  Z , với f (X )  Y . Khi đó, hàm số
đn

h : X  Z với h(x )  g  f (x ) đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g .
Kí hiệu là: h  g f .

y  f (x )

f

x

g
đn

h(x )  g  f (x )

g f

 Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác định
của hàm f sao cho f (x ) thuộc miền xác định của hàm g .
 Chú ý: g f  (x )   f g  (x )

8


Ví dụ 6: Cho hàm số f (x )  x , g(x )  x  5 . Hãy xác định các hàm hợp g f ,
f g , g g , f f và miền xác định của chúng.
Giải
Ta có:

f (x )  x

Miền xác định Df  0;   .

g(x )  x  5

Miền xác định Dg 

.

Suy ra : g f  (x )  g  f (x )  g( x )  x  5. Miền xác định D  0;   .

 f g  (x )  f g(x )  x  5

Miền xác định D  5;   .

 f f  (x )  f  f (x ) 

Miền xác định D  0;   .

x  4x .

g g  (x )  g g(x )  x  10 .

Miền xác định D 



.

Cho hàm số f (x )  2x  1 , g(x )  x 2  4 . Hãy xác định các hàm hợp g f ,
f g , g g , f f và miền xác định của chúng.
?

1.1.3.2. Hàm số ngƣợc
Cho hàm số f : X  Y

x

y  f (x ) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa

với x1  x2 thì f (x1)  f (x 2 ) . Khi đó, hàm số ngƣợc của f , kí hiệu f 1 đƣợc xác
định:

f 1 : Y  X

y
x  f 1(y ) (thỏa điều kiện y  f (x ) ) có miền xác định
Y và miền giá trị là tập X .
Ví dụ 7
* Hàm số y  x 3 có hàm số ngược là x  3 y .
* Hàm số y  e x có miền xác định D 
và
có miền giá trị là T   0;   . Hàm này có hàm
ngược là x  ln y xác định trên D   0;   và
có miền giá trị là T  .

y

y  ex

y x

y  ln x

O

x

 Chú ý
+ Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng với
nhau qua đƣờng thẳng y  x .
+ Có một số hàm nếu xét chung trên miền xác định của nó thì khơng tồn tại hàm
ngƣợc nhƣng khi giới hạn lại miền xác định thì sẽ tồn tại hàm ngƣợc, cụ thể :

9

Hàm số y  x 2 , D 
khơng có hàm số ngược trên tồn trục số vì nó khơng
phải là một song ánh. Nhưng hàm y  x 2 có D  [0;+) sẽ có hàm ngược
y  x.
+ Nếu hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a, b) thì sẽ có hàm ngƣợc trên (a, b) .
1.1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản

y  x2
y x

y



1.1.4.1. Hàm lũy thừa y  x ,  
 Miền xác định: D  trừ các trƣờng hợp
* Nếu  nguyên dƣơng thì hàm số có miền xác
định là .
* Nếu  ngun âm hoặc   0 thì hàm số có
miền xác định là * .
 Đồ thị
* Luôn đi qua điểm (1;1) .

y  x 1/ 2

y  x 1
x

O

*   0 hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) .
*   0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) .
 Một số tính chất của lũy thừa
 a  a n  a.a......a ( n thừa số a )

 a0  1

 a  1  1, 

 a n 





 a .a  a

a
   a  
a

 

 (a  )  a  .

 (ab)  a .b

a  a 


   
b
b 


na



n



mna

m
an

 n am

 n ab  n a .n b

 b  bn  a

a na
 n (b  0)
b
b



1
an

 n a p   n a  (a  0)
p

 mn a

 Với a  1 , a  a     
 Với 0  a  1 , a  a     

10


1.1.4.2. Hàm số mũ y  a x , 0  a  1

y  ax

Hàm số mũ là hàm có dạng y  a x , trong
đó a đƣợc gọi là cơ số và 0  a  1 và x là biến.
 Miền xác định: D 
 Miền giá trị là: T = (0; ) .

y

(a  1)

y  ax

(a  1)

1

 Đồ thị
* a  1 : hàm tăng
O
* 0  a  1 : hàm giảm.
* Ln đi qua điểm (0,1) , nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox .

x

1.1.4.3. Hàm số logarit y  loga x, 0  a  1
Hàm số ngƣợc của hàm số mũ y  a x đƣợc gọi là hàm logarit, kí hiệu
y  loga x, 0  a  1 .
Miền xác định của hàm logarit là D  (0, ) và miền giá trị là T 
 Logarit thập phân :

.

lg b  log b  log10 b

1 n

 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b  loge b (với e  lim  1    2, 718281 )
n  
n
 Theo công thức biến đổi cơ số, ta có:
 Đồ thị:

ln x .

lg x
lg e

* a  1 : hàm tăng.
* 0  a  1 : hàm giảm.
* Luôn đi qua điểm (1, 0) , nằm bên
phải trục Oy và tiệm cận với Oy .

y

y  loga x
(a  1)

O

1

 Một số tính chất của logarit: 0  a, b, c  1
 loga 1  0

 loga a  1

 a loga b  b

 loga ab  b

 loga (bc)  loga b  loga c

b
 loga    loga b  loga c
c 
1
 loga c  loga c (  0)

 loga b   loga b

(a  1)



 logb c 

loga b
.
loga c

 loga b.logb c  loga c

 loga b 

1
logb a

 a logb c  c logb a
11

x
y  loga x

1.1.4.4. Các hàm số lƣợng giác
cos x và sin x đƣợc xem là tọa độ của điểm Px trên đƣờng trịn đơn vị (C), ở
vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , đƣợc đo dọc theo đƣờng tròn (C) theo ngƣợc
chiều kim đồng hồ nếu x  0 và cùng chiều nếu x  0 . Khi đó, số đo của góc
cos x
sin x
; cot x 
AOP  x (radians). Ta cũng định nghĩa tan x 
sin x
cos x
y
Trên hình ta có
C
B
D
OP  cos x .
Px

Q

OQ  sin x .
BD  cot x

x

AC  tan x

O

x
P

A(1,0)

* Hàm y  sin x có miền xác định là D 
hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0  2 .

và miền giá trị là T   1;1 ,

* Hàm y  cos x có miền xác định là D 
hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T0  2 .

và miền giá trị là T   1;1 ,

* Hàm số y  tan x có miền xác định là D 
giá trị là T 

\

, hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0   .

* Hàm số y  cot x có miền xác định là D 
là T  và tuần hoàn với chu kỳ T0   .

2  k  (k 

) và miền

\ k  (k  ) và miền giá trị

1.1.4.5. Các hàm lƣợng giác ngƣợc
a. Hàm số y  arcsin x

 
Do y  sin x là hàm tăng nghiêm ngặt trên   ;  nên có hàm ngƣợc là
 2 2 
 
f 1 :  1;1    ; 
 2 2 
x
y  arcsin x

Ví dụ 8: arcsin 0  0; arcsin(1)  


2

; arcsin

12

3 
 .
2
3

(1.1.5)

b. Hàm số y  arccos x
Do y  cos x là hàm giảm nghiêm ngặt trên  0;   nên có hàm ngƣợc là
f 1 :  1;1  0;  
y  arccos x

x

Ví dụ 9: arccos 0 



; arccos(1)   ; arccos

2
c. Hàm số y  arctan x

(1.1.6)

3 
1 2
.
 ; arccos

2
6
2
3

 

Do y  tan x là hàm tăng nghiêm ngặt trên   ;  nên có hàm ngƣợc là
 2 2
f 1 :

 
   ; 
 2 2
x
y  arctan x

(1.1.7)



;arctan 3  .
4
3


* Qui ƣớc : arctan     ; arctan     
2
2
d. Hàm số y  arc cot x

Ví dụ 10: arctan 0  0;arctan(1) 

Do y  cot x là hàm giảm nghiêm ngặt trên  0;   nên có hàm ngƣợc là
f 1 :

  0;  

x

(1.1.8)

y  arc cot x

p
3p
p
; arc cot(-1) 
; arc cot 3  .
2
4
6
* Qui ƣớc : arc cot     0; arc cot      .
Ví dụ 11: arc cot 0 

1.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số
1.2.1. Giới hạn của dãy số
1.2.1.1. Định nghĩa dãy số
Cho hàm số f (n ) xác định trên tập số tự nhiên . Ứng với các giá trị
n  1, 2,3,... ta có tập giá trị x1  f (1), x2  f (2),... lập thành một dãy số.
Kí hiệu: x n  .

(1.2.1)

 x n : số hạng tổng quát của x n  .
 n : chỉ số của số hạng x n .
13

Ví dụ 12: xn 

n
1 2
 xn  :
; ;...
n 1
2 3

xn  (1)n  xn  : -1; 1; -1;...
 Nhắc lại
+ Cấp số cộng x n  với công sai d : xn  xn 1  d  x1  (n  1)d và tổng

Sn 

n

 xn
i 1



n
2x1  (n  1)d  .
2

(1.2.2)

+ Cấp số nhân x n  với công bội q : xn  xn 1.q  x1.q n 1 và tổng

Sn 

n

 x n  x1
i 1

1  qn
, q  1 .
1q

(1.2.3)

1.2.1.2. Giới hạn dãy số
Dãy số x n  đƣợc gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n   nếu

(  0) (N 0  ) (n  N 0 thì xn  L   ) .

(1.2.4)

n 
Kí hiệu: lim xn  L hay xn 
L .

n 

 Chú ý: Nếu dãy x n  có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu x n  khơng
có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ.
Ví dụ 13: Chứng minh

1
1
a) lim  0 . Tổng quát : lim k  0
n  n
n  n
1
1
1
Thật vậy,   0, xét xn  L   0     n  .

n
n

1
Ta chọn N 0    .
  
1
Khi đó:   0, N 0    
  
1
Vậy lim  0 .
n  n

: n  N0 thì

1
0  .
n


b) lim q n  0 , với q  1 .
n 

Thật vậy ,   0, xét xn  L  q n  0  q n    n  log q  .
Ta chọn N 0  log q   .
Khi đó:   0, N 0  log q  
Vậy lim q n  0 .

: n  N0 thì q n  0   .


n 

14


 Các dãy dần đến vô cực

* lim xn     M  0, N0 : n  N 0  xn  M  .
n 

* lim xn     M  0, N0 : n  N 0  xn  M  .
n 

* lim xn     M  0, N0 : n  N 0  xn  M  .
n 

Ví dụ 14: Chứng minh lim n   .
n 

Thật vậy: M  0, xét xn  M 

n  M  n  M  n  M2

Ta chọn số tự nhiên N 0 sao cho N 0  M 2 .
Khi đó: M  0, N 0 : n  N0 

n M.

Vậy lim n   .



n 

1.2.1.3. Các phép toán
Định lý: Nếu lim xn  L và lim yn  M thì
n 

n 

i)
iii)

lim(xn  yn )  L  M .

ii)

x  L
(yn  0, n, M  0) .

lim  n  
n   yn 
M

iv)

n 

lim(xn .yn )  L.M .

n 

lim kxn  k.L

n 

( k là một hằng số)
Ví dụ 15: Tính:

2n 3  4n 2  3n  3
.
n 
n 3  5n  7

b) lim

c) lim

5n 2  n  2
n 

n 1

d) lim

4n 2  1  n
e) lim
n  2 n  3n  1

f) lim 2n  4n 2  6n  1 .

a) lim

n2  n  3
3
n  n  2n

2n  4n
n
n
n  2.3  4

n 





Định nghĩa
i)

Dãy x n  đƣợc gọi là dãy tăng (hay tăng nghiêm ngặt) nếu
xn  xn 1, n (hay xn  xn 1, n ).

Dãy x n  đƣợc gọi là dãy giảm (hay giảm nghiêm ngặt) nếu
xn  xn 1, n (hay xn  xn 1, n ).
Dãy tăng hoặc giảm đƣợc gọi là dãy đơn điệu.
ii)

Dãy x n  đƣợc gọi là bị chặn dƣới (trên) nếu tồn tại A sao cho
A  xn , n ( xn  A, n ).
Dãy x n  đƣợc gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và chặn dƣới.
15


1.2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy
Giới hạn của một dãy x n  (nếu có) là duy nhất.

i)

ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn.
Ngoài ra ta còn chứng minh đƣợc các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy nhƣ sau
Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa)

Cho x n  , yn  và zn  . Nếu: lim xn  lim yn  L và xn  zn  yn , n
n 

n 

thì lim zn  L .
n 

sin n
n  n
1 sin n 1
Giải: Ta có: n  N * , ta có  
 .
n
n
n
sin n
1
1
Vì lim    lim     0 nên lim
 0.
n  n
n   n 
n   n 
Ví dụ 16: Tìm giới hạn lim



Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn)
Nếu x n  tăng (giảm) và bị chặn trên (dƣới) thì nó là dãy hội tụ (có giới hạn
hữu hạn).
Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy)
Điều kiện cần và đủ để dãy x n  hội tụ là

  0) (N

0



 ) (n, m  N 0  xn  xm   .

1.2.2. Giới hạn hàm số
1.2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ  ,  )
Số L (hữu hạn) đƣợc gọi là giới hạn của f (x ) khi x  x 0 , x  x 0 nếu

(  0)(  ( )  0)  x : 0  x  x 0    f (x )  L   
Ki hiệu: lim f (x )  L
x x 0

hay

(1.2.5)

f (x )  L khi x  x 0 .

x2  4
 4.
x 2 x  2

Ví dụ 17: Dùng định nghĩa chứng minh lim

x2  4
Thật vậy,   0 , xét: f (x )  L   
4    x 2   .
x 2
Ta chọn    . Khi đó:

x2  4
4  .
  0,     0 : x thỏa 0  x  2   , ta có:
x 2
x2  4
 4.
Vậy lim
x 2 x  2


16


* Định nghĩa tƣơng đƣơng (ngôn ngữ dãy số)
Hàm số f (x ) có giới hạn là L khi x  x 0 nếu

 xn  , xn  x 0, n và lim xn  x 0 thì lim f (xn )  L .
n 

n 

(1.2.6)

 Nhận xét: Để chứng minh lim f (x ) không tồn tại. Ta chọn 2 dãy: {xn },{xn }
x x 0

sao cho lim xn  x 0, lim xn  x 0 nhƣng lim f (xn )  lim f (x n )
n 

n 

n 

Ví dụ 18: Chứng minh lim cos
x 0

n 

1
không tồn tại
x

Thật vậy: Chọn x n  và x 'n  cùng dần về 0.
 xn 

1
2n

 x 'n 

n 

 0 thì lim f (xn )  lim cos(2n )  1 .
n 

n 

n 


f (x 'n )  lim cos(2n  )  0 .
  0 thì nlim
n 

2
2n 

1

2
Suy ra lim f (xn )  lim f (x 'n ) .
n 

n 

Vậy  lim cos
x 0

1
khơng tồn tại
x



1.2.2.2. Giới hạn một phía
Định nghĩa
* Số L đƣợc gọi là giới hạn trái của f (x ) khi x  x 0 nếu

(  0)(  ( )  0)  x : 0  x 0  x    f (x )  L   

(1.2.7)

Kí hiệu: lim f (x )  L hay f (x 0 ) .
x x 0

* Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của f (x ) khi x  x 0 nếu

(  0)(  ( )  0)  x : 0  x  x 0    f (x )  L   

(1.2.8)

Kí hiệu: lim f (x )  L hay f (x 0 ) .
x x 0

Ví dụ 19: Xét hàm số: f (x )  x tại x 0  1 , ta có

f (1 )  lim f (x )  lim x  1 .
x 1

x 1



f (1 )  lim f (x )  lim(x )  1 .
x 1

x 1

Định lý: Hàm số f (x ) có giới hạn là L khi x  x 0 khi và chỉ khi giới hạn trái và
phải của f (x ) tại x 0 cũng tồn tại và bằng L .

lim f (x )  L   lim f (x ),  lim f (x ) và lim f (x )  lim f (x )  L

x x 0

x x 0

x x 0

x x 0

17

x x 0

(1.2.9)



 lim f (x )

x x 0

 Nhận xét:  lim f (x )  
.
 lim f (x )
x x 0
x x 0

 lim f (x )  lim f (x )

x x 0
 x x 0
Ví dụ 20: Trong ví dụ trên, ta thấy f (1 )  f (1 ) nên  lim x .
x 1



1.2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận
 Giới hạn vô tận

lim f (x )    (A  0) (A  0)(x : 0  x  x 0    f (x )  A) .

x x 0

(1.2.10)
* Tƣơng tự

lim f (x )    (A  0) (A  0)(x : 0  x  x 0    f (x )  A)

x x 0

1
1
  và lim 2
 0.
x 1 x  1
x  x  1
 Nhận xét : Giới hạn của dãy số là trƣờng hợp đặc biệt của giới hạn hàm khi biến
số dần ra  .
 Giới hạn ở vô tận: Giả sử f ( x) xác định trên tập khơng bị chặn X

Ví dụ 21: lim

2

Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của f (x ) khi x   nếu

(  0) (M  0)(x  X : x  M  f (x )  L   )

(1.2.11)

Kí hiệu: lim f (x )  L .
x 

* Tƣơng tự

lim f (x )  L  (  0) (M  0)(x  X : x  M  f (x )  L   ) .

x 

1.2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số
i)
lim C  C ( C là hằng số).
x x 0

ii)
iii)

Giới hạn hàm số nếu có là duy nhất.
Cho f (x ), g(x ) và h(x ) xác định trong lân cận của x 0 (không cần xác
định tại x 0 ). Nếu

a) lim f (x )  lim h(x )  L .
x x 0

x x 0

b) f (x )  g(x )  h(x ) .
thì lim g(x )  L .
x x 0

iv) Tiêu chuẩn hội tụ: Cho f (x ) xác định với mọi x dƣơng khá lớn, nếu
f (x ) tăng và bị chặn thì  lim f (x ) .
x 

18


1
Ví dụ 22: Tính lim  x sin  .
x 0 
x
Giải: x  0 , ta có 0  x sin

1
 x . Mà lim 0  0 và lim x  0 .
x 0
x 0
x

1
Suy ra lim  x sin   0 .

x 0 
x
1.2.2.5. Các phép toán
Định lý: Nếu lim f (x )  L; lim g(x )  M thì
x x 0

x x 0

ii) lim  f (x ).g(x )  L.M .

i) lim  f (x )  g(x )  L  M .

x x 0

x x 0

f (x ) L

M  0 .
x x 0 g(x )
M

iv) lim k.f (x )  k.L ( k là hằng số).

iii) lim

Định lý: Xét hàm hợp: f u : x

x x 0

f u(x ) . Nếu lim u(x )  u0 và f (u ) xác định
x x 0

ở lân cận u0 và lim f (u)  L thì lim f u(x )  L .
u u0

x x 0

Ví dụ 23: Tính A  lim(x 2  5x )2002 .
x 1

Giải:

Đặt u(x )  x 2  5x . Khi x  1 thì u(x )  u(1)  6 .
Khi u  6 thì f (u)  u 2002  f (6)  62002 . Vậy A  62002 .

0 
1.2.2.6. Các dạng vô định  ; ; 0.;    
0 

 Dạng

0
0

f (x )
với lim f (x )  lim g(x )  0 .
x x 0 g (x )
x x 0
x x 0

Tính lim

 Cách khử nhƣ sau
 Nếu f (x ) và g(x ) là đa thức thì ta phân tích

f (x ) (x  x 0 ).f1(x )
f (x )
f (x )

 lim
 lim 1
.
x x 0 g(x )
x x 0 g1(x )
g(x ) (x  x 0 ).g1(x )
 Nếu f (x ) hay g(x ) có chứa căn cùng bậc thì ta nhân tử và mẫu của
phân thức với lƣợng liên hợp.
 Nếu f (x ) hay g(x ) có chứa căn khơng đồng bậc
Giả sử: P(x) =

m u( x )  n

v( x ) với

m u( x

Ta phân tích P(x) =
19

0)

 n v( x0 )  a .

m u(x )  a   a  n v(x )  .


3x 3  x 2  x
Ví dụ 24: Tính a) lim
x 0
x 2  2x
Giải

3

b) lim

x 0

1x 1
.
x

x (3x 2  x  1)
3x 3  x 2  x
3x 2  x  1 1
a ) lim
 lim
 lim


x 0
x 0
x 0
x 2  2x
x (x  2)
x 2
2

 3 1  x  1  3 1  x   3 1  x  1
1 x 1
 lim
2
x 0
x
x  3 1  x   3 1  x  1


2

3

b) lim

x 0

 lim

x 0

?

Tính

x
2
x  3 1  x   3 1  x  1



 lim

x 2  5x  6
2
x 2 2x  7x  6



x 0 3 1  x

b) lim

a) lim

x 4

1



2

 31x 1



1
3

2x  4  3 3x  4
x 2  x  12

f (x )

Tính lim
trong q trình nào đó, với f (x )   , g(x )  
g(x )

trong q trình đó.
 Cách khử khi x   nhƣ sau
 Dạng

+ Nếu f (x ) và g(x ) là đa thức thì chia tử và mẫu của phân thức
cho x n với n là số mũ cao nhất của x trong f (x ) và g(x ) .
+ Nếu f (x ) và g(x ) có chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho
luỹ thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
1
+ Áp dụng công thức: lim   0; lim x     >0 .
x  x
x 

x 3  2x 2  x  1
Ví dụ 25: Tính a) lim
x 
3x 3  x 2

b) lim

x 

Giải

2 1
1
 2  2
x x
x 1
1
3
3
x
1
1
1 6  4
3
4
x  x  x
x
x  2.
 lim
x 

3
2x  3
2
2
x

x 3  2x 2  x  1
 lim
a) lim
x 
x 
3x 3  x 2

b) lim

x 

1

20

x  3x  4x
2x  3


Tính

?

2x 2  x

c) lim
x  3x  2
P (x )
(dạng hữu tỷ).
 Nhận xét: Khi x   , xét giới hạn của f (x ) với f (x ) 
Q(x )
x 3  2
a) lim 3
2
x  3x  x  1

7x  3
b) lim 2
x  x  5

* Nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q thì f (x )   .
* Nếu bậc của P nhỏ hơn bậc của Q thì f (x )  0 .
* Nếu bậc của P bằng bậc của Q thì giới hạn của f (x ) là một hằng số.
Tính lim  f (x )  g(x ) , với f (x )   , g(x )   .

 Dạng (  )

 Cách khử khi x   nhƣ sau
+ Nếu có căn ta ta nhân với lượng liên hợp để khử dạng vô định.
+ Sau đó chia tử và mẫu cho x n (n là số mũ cao nhất của x) nếu cần.

Ví dụ 26: Tính lim

x 

Giải

lim

x 



 lim

x 

?



x2  1  x2  1




2

x 2  1  x 2  1  lim


x 


Tính a) lim

x 

 Dạng 0.

x2  1  x2  1
2

2
x
0
 lim
1
1
1  x 
1
1 2  1 2
1 2  1 2 
x
x
x 
x
1
3 
b) lim 
x2  x  x


x 1  1  x
1  x3 

x 





Tính lim  f (x ).g(x ) , với f (x )  0 , g(x )   .
Ta đưa về dạng





Ví dụ 27: lim x x  x 2  1  lim
x 

? Tính lim (2x  1).
x 

x 


0
hay .

0
x

x  x2  1

3
x  x  11
2

21

 lim

x 

1
1 1

1
x2



1
2


1.2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng (thường áp dụng để khử dạng

ln(1  x )
sin x
lim
1
1
x 0

x 0 x
x
ax  1
1 x

 ln a
lim
lim  1    e
x 0 x
x  
x

(1  x )  1
lim

x 0
x

0
)
0

ex  1
1
x 0 x
lim

lim

lim 1  u 1/ u  e

u 0

(1.2.12)

 Tổng quát: Nếu u x   0 khi x  x 0 thì các công thức trên vẫn đúng khi thay
x bởi u(x ) .

ln(1  u(x ))
lim
1
x x 0
u(x )

sin u(x )
1
lim
x x 0 u(x )
lim

a

x x 0



u(x )

1
 ln a

u(x )

Ví dụ 28: Tính

eu(x )  1
1
lim
x x 0 u(x )

(1.2.13)

(1  u(x ))  1

x x 0
u(x )
lim

1  cos x
x 0
x2

sin 7x
x 0 4x

a) lim

b) lim

5x  4x
2

x 0 x  x

c) lim

Giải

sin 7x
sin 7x 7 7
 lim
.  .
x 0 4x
x 0 7x
4 4

a) lim

1  cos x
 lim
x 0
x 0
x2

b) lim

 2x
x
 sin  2 1
2  lim 
2 .  .
2

2
x 0  x
x
 4 2


 4 

2 sin2

5
1  5x  1 4x  1 
5x  4x
 ln 5  ln 4  ln .


lim


2
x 0 x  1 
x 0 x  x
4
x 
x

c) lim
?



Tính

cos x  cos 2x
a) lim
x 0
1  cos x

2

e x  cos 3x
b) lim
x 0
x2

c) lim

x 0

1  sin 5x  1
.
x

 Giới hạn của hàm mũ hợp 0; 00;1
Tính lim u(x )v(x ) . Sử dụng định lý giới hạn của hàm hợp và tính liên tục của
x x 0

hàm số mũ và hàm số logarithm mà ta sẽ xét ở phần sau, có thể chứng minh đƣợc
cơng thức:

22