Bài giảng Xác suất thống kê

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ
KINH DOANH, TIN HỌC ...)

ThS. Nguyễn Thành Tâm

Đồng Tháp – 2017
(Lưu hành nội bộ)


UBND TỈNH ĐỒNG THÁP
TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG HỌC PHẦN

XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ
KINH DOANH, TIN HỌC ...)
(SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT))

ThS. Nguyễn Thành Tâm

Đồng Tháp 2017

LỜI NÓI ĐẦU
1. Đối tượng sử dụng
Tài liệu xác suất thống kê dùng cho khối ngành kinh tế, các ngành kế toán,
quản trị kinh doanh, tin học ... và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử
dụng bài giảng xem như một tài liệu tham khảo.
2. Cấu trúc bài giảng
Bài giảng môn học xác suất thống kê được phân bố thành 5 chương, cụ thể.
Chương 1: Những khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất.
Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của ĐLNN.
Chương 3: Mẫu ngẫu nhiên.
Chương 4:Ước lượng các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên.
Chương 5: Kiểm định giả thiết thống kê.
3. Mục tiêu môn học
Xác suất thống kê là mơn học thuộc lĩnh vực tốn ứng dụng và là một trong
những mơn tốn cơ bản có ứng dụng ở rất nhiều lĩnh vực đặc biệt trong lĩnh vực
kinh tế. Lý thuyết xác suất nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên.
Dựa trên thành tựu của lý thuyết xác suất, thống kê toán là khoa học ra quyết định
trên cơ sở thông tin thu thập từ thực tế. Hiện nay nội dung và phương pháp của xác
suất thống kê rất phong phú và được áp dụng rộng rãi ở nhiều ngành, nhiều lĩnh
vực. Mục tiêu cụ thể của mơn học là:
• Cung cấp các kiến thức để người học hiểu được bản chất xác suất và cách
tính xác suất bằng các định nghĩa và bằng các công thức xác suất.
• Hiểu được bản chất và phân loại được đại lượng ngẫu nhiên. Lập được dãy
phân phối xác suất, tìm kỳ vọng số, phương sai, độ lệch chuẩn, mode, ... của một
tập hợp số liệu quan sát. Nắm được khái niệm về hàm ngẫu nhiên. Hiểu rõ bản chất
của một số quy luật phân phối xác suất thông dụng.
• Giúp người học biết sắp xếp số liệu thu được qua thực nghiệm để xử lý
thống kê. Qua mẫu số liệu thu thập tính được các đặt trưng mẫu gồm: trung bình

mẫu, phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu, mode của mẫu ...
• Cung cấp các phương pháp ước lượng các tham số thông kê của tổng thể và
kiểm định giả thiết về các tham số của tổng thể, so sánh hai trung bình, hai tỉ lệ của
hai tổng thể, tạo nền tản để phân tích các dữ liệu thống kê kinh tế xã hội.
4. Phương pháp giảng dạy
Phương pháp thuyết trình, phân tích, thảo luận, giải quyết vấn đề, thực hành nhóm ..
• Giảng lý thuyết trên lớp: 28 tiết.
• Kiểm tra : 2 tiết.
• Tự học, tự nghiên cứu: 60 tiết.

1


MỤC LỤC
Lời nói đầu

.............................................................................................................. 1

Mục lục

.............................................................................................................. 2

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT ......... 5
1.1

CÁC KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP ............................................. 5

1.1.1

Quy tắc nhân......................................................................................... 5

1.1.2

Chỉnh hợp ............................................................................................. 7

1.1.3

Hoán vị ................................................................................................. 7

1.1.4

Tổ hợp .................................................................................................. 8

1.2

PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ .......................................................................... 9

1.2.1

Khái niệm phép thử và biến cố............................................................. 9

1.2.2

Các loại biến cố ................................................................................ 100

1.2.3

Các mối quan hệ giữa các biến cố ...................................................... 12

1.3

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT ...................................................................... 14

1.3.1

Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển .................................................. 14

1.3.2

Định nghĩa xác suất theo tần suất ....................................................... 15

1.3.3

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học ................................... 16

1.3.4

Các tính chất cơ bản của xác suất ...................................................... 18

1.4

CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT ................................................... 19

1.4.1

Cơng thức cộng xác suất ..................................................................... 19

1.4.2

Công thức nhân xác suất .................................................................... 22

1.4.3

Công thức xác suất tồn phần ............................................................ 28

1.4.4

Cơng thức Bayes ................................................................................ 29

Bài tập ôn tập chương 1 .......................................................................................... 31
Chương 2
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN .................................................................................. 37
2.1

KHÁI NIỆM ĐLNN VÀ PHÂN LOẠI ĐLNN ....................................... 37

2.1.1

Khái niệm ĐLNN ............................................................................... 37

2.1.2

Các loại đại lượng ngẫu nhiện. ........................................................... 38

2.1.3

Luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ............................ 38

2.2

CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN .......................................... 44

2.2.1

Kỳ vọng (Expectation) ....................................................................... 44

2.2.2

Phương sai ( Variance) ...................................................................... 46

2.2.3

Độ lệch chuẩn ( Standard deviation) .................................................. 49

2


2.2.4
2.3

Mode................................................................................................... 49

MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG .................. 50

2.3.1

Phân phối nhị thức B(n;p) .................................................................. 50

2.3.2

Phân phối Poisson P(a) ....................................................................... 53

2.3.3

Phân phối siêu bội H(N;M;n) ............................................................. 54

2.3.4

Phân phối chuẩn N —; σ 2 ................................................................. 56

(

)

Bài tập ôn tập chương 2 .......................................................................................... 61
Chương 3
3.1

THỐNG KÊ VÀ DỮ LIỆU ................................................................ 69

MỘT SỐ KHÁI NIỆM .............................................................................. 69

3.1.1

Thống kê và thống kê kinh tế ............................................................. 69

3.1.2

Tổng thể và mẫu ................................................................................. 70

3.1.3

Các loại biến số và các loại thang đo …………………………..…. 71

3.2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN MẪU. ......................................... 72

3.2.1

Một số phương pháp chọn mẫu .......................................................... 73

3.2.2

Khái niệm mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể ......................................... 73

3.2.3 Các tham số đặc trưng của mẫu ngẫu nhiên và luật phân phối của các
tham số mẫu. .................................................................................................... 76
3.3

DỮ LIỆU VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THAM SỐ MẪU CỤ THỂ77

3.3.1

Dữ liệu ................................................................................................ 77

3.3.2

Các tham số mẫu cụ thể...................................................................... 80

3.3.3

Sắp xếp số liệu để tính các đặc trưng của mẫu .................................. 80

3.3.4

Các phương pháp tính giá trị các tham số đặc trưng mẫu .................. 83

Bài tập ôn tập chương 3 .......................................................................................... 89
Chương 4
4.1

ƯỚC LƯỢNG CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN .......... 91

ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ................................................................................ 91

4.1.1

Đặt vấn đề........................................................................................... 91

4.1.2

Các tiêu chuẩn ước lượng điểm.......................................................... 91

4.2

Phương pháp khoảng tin cậy. .................................................................... 95

4.2.1

Đặt vấn đề........................................................................................... 95

4.2.2

Phương pháp chung ............................................................................ 95

4.2.3

Ước lượng trung bình ......................................................................... 97

4.2.4

Ước lượng tỉ lệ ................................................................................. 104

4.2.5

Ước lượng phương sai ...................................................................... 107

3


Bài tập ôn tập chương 4......................................................................................... 110
Chương 5
5.1

KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ........................................... 113

Các định nghĩa và phương pháp kiểm định ............................................. 113

5.1.1

Các khái niệm và định nghĩa ............................................................ 113

5.1.2

Kiểm định giả thiết thống kê về các đặc trưng của ĐLNN .............. 114

5.1.3

Nguyên tắc kiểm định ...................................................................... 114

5.2

Một số bài toán kiểm định ....................................................................... 116

5.2.1

Kiểm định giả thiết về trung bình. ................................................... 116

5.2.2

Kiểm định giả thiết về tỉ lệ ............................................................... 120

5.2.3

Kiểm định giả thiết về phương sai ................................................... 122

5.2.4

Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai trung bình .................. 124

5.2.5

Kiểm định giả thiết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ. .......................... 128

Bài tập ôn tập chương 5......................................................................................... 131
Phụ lục ................................................................................................................... 137
Tài liệu tham khảo ................................................................................................. 143

4


Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT XÁC
SUẤT
Các hiện tượng trong tự nhiên hay xã hội xảy ra một cách ngẫu nhiên (không
biết trước kết quả) hoặc tất định (biết trước kết quả). Chẳng hạn khi thả một vật từ
trên cao thì chắc chắn sẽ rơi xuống đất, ta biết chắc rằng lá vàng sẽ rụng xuống . . .
đó là những hiện tượng diễn ra có tính quy luật, tất định. Trái lại khi tung đồng xu
ta khơng biết kết quả của nó là mặt sấp hay ngửa, ta khơng biết có bao nhiêu cuộc
gọi đến tổng đài trong một ngày, ta không biết năng suất của vụ mùa tới ra sau,
không biết khi cải tiến sản xuất thì tỉ lệ phế phẩm có giảm khơng . . . đó là những
hiện tượng ngẫu nhiên. Tuy nhiên nếu quan sát nhiều lần một hiện tượng ngẫu
nhiên trong những hồn cảnh như nhau, thì trong nhiều trường hợp ta có thể rút ra
những kết luận có tính quy luật về hiện tượng này. Lý thuyết xác suất nghiên cứu
các quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho
phép dự báo các hiện tượng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào . Chính vì vậy các
phương pháp của lý thuyết xác suất có ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán
thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế − xã hội, y
học, nông nghiệp . . .Trong chương này ta làm quen với các khái niệm, các kết quả

chính về lý thuyết xác suất:
− Nhắc lại sơ lược các khái niệm giải tích tổ hợp.
− Các khái niệm biến cố, phép thử, không gian mẫu, các loại biến cố và quan hệ
giữa các biến cố.
− Các định nghĩa về xác suất: định nghĩa xác suất theo cổ điển, theo thống kê,
theo quan điểm hình học.
− Các cơng thức tính xác suất: công thức cộng xác suất, công thức nhân xác
suất, xác suất có điều kiện, cơng thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes . . .
− Làm quen với dãy phép thử Bernoulli và công thức Bernoulli
Để học tốt chương này cần trang bị kiến thức về giải tích tổ hợp, các khái niệm,
các phép tính của tập hợp, phân tích được một số tình huống trong thực tế để giải
các bài tốn.
1.1
1.1.1

CÁC KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP
Quy tắc nhân.

Xét ví dụ 1: Đoạn đường đi từ A đến C phải đi qua B. Từ A đến B có 3 cách
đi, từ B đến C có 2 cách đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến C?
Giải

5


− Số cách chọn đường đi từ A đến B là 3
− Số cách chọn đường đi từ B đến C là 2
Vậy số cách chọn đường đi từ A đến C là 3.2 = 6
Qui tắc nhân:
Giả sử một cơng việc nào đó được chia thành k giai đoạn . Có n1 cách thực hiện

giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực hiện giai đoạn thứ 2, . . . . . ., nk cách thực hiện giai
đoạn thứ k.
Khi đó số cách thực hiện cơng việc là
(1.1)

n = n1 .n2 ....nk

Ví dụ 2:
Một người có 5 cái áo mới, 4 cái quần mới, 3 cà vạt, 3 đôi giày. Mỗi lần đi
chơi người đó mặt 1 áo, 1 quần, thắt 1 cà vạt và mang một đôi giày. Hỏi người đó
có bao nhiêu cách để lựa chọn?
Giải
− Có 5 cách chọn áo
− Có 4 cách chọn quần
− Có 3 cách chọn cà vạt
− Có 3 cách chọn giày
Vậy số cách để người đó lựa chọn là: 5.4.3.3 = 180
Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số?
Giải
Gọi X = abcde là số tự nhiên cần tìm.
Khi đó:
a có 9 cách chọn.
b có 10 cách chọn.
c có 10 cách chọn.
d có 10 cách chọn.
e có 10 cách chọn.

⇒ có 9.10 4 cách chọn X.

?

a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó 2 chữ số kề nhau phải
khác nhau?

6


b) Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số
1.1.2 Chỉnh hợp
Z Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k của n phần tử ( k ≤ n ) là một nhóm gồm k phần tử
khác nhau, có sự phân biệt thứ tự, chọn từ tập n phần tử cho trước.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu: Ank .
Z Cơng thức tính:

Ank =

n!
= n(n −1)…(n − k +1)
(n − k )!

(1.2)

Ví dụ 4
Một Chi đồn Thanh niên gồm 60 Đồn viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân
cơng 5 ĐV phụ trách 5 nhóm thiếu nhi (mỗi ĐV phụ trách 1 trong 5 nhóm đó).
Giải
Cách chọn ra 5 Đồn viên để phụ trách 5 nhóm thiếu nhi (mỗi ĐV phụ trách 1
trong 5 nhóm) là một chỉnh hợp chập 5 của 60 phần tử.

⇒ có A 560 cách chọn thỏa yêu cầu đề bài.

? a) Biết rằng biển số xe gắn máy có 4 chữ số. Hỏi có thể có tối đa bao nhiêu
biển số trên đó có 4 chữ số hồn tồn khác nhau?
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 người vào một dãy ghế có 10 ghế?
1.1.3 Hoán vị
Z Định nghĩa: Một phép hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp thứ tự của n
phần tử đó.
Số hốn vị của n phần tử kí hiệu: Pn .
Z Cơng thức tính
(1.3)

Pn = n !
Đặc biệt: Nếu k = n thì Ann = Pn = n !.
Chú ý
0! = 1 .
1! = 1 .

n! = n.( n − 1 ).( n − 2 )...2.1

7


Ví dụ 5: Khi sắp xếp 10 quyển giáo trình khác nhau vào một kệ sách thì có bao
nhiêu cách sắp xếp?
Giải
Vì mỗi cách sắp xếp các quyển giáo trình lên kệ sách là một hoán vị của 10
phần tử nên số cách sắp xếp tất cả là

P10 = 10!.

?

Từ các chữ số 1, 2, 3,4 có thể lập được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số?

1.1.4 Tổ hợp
Z Định nghĩa: Tổ hợp chập k của n phần tử ( k ≤ n ) là một nhóm gồm k phần tử
khác nhau, không phân biệt thứ tự, chọn từ tập n phần tử cho trước.
Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu: Cnk .
Z Cơng thức tính:

Cnk =

n!
Ak
= n
k !.(n − k )! k !

(1.5)

Ví dụ 7: Từ một lô hàng gồm 10 sản phẩm, cần chọn ngẫu nhiên (đồng thời) ra 3
sản phẩm để kiểm tra. Hỏi có bao nhêu cách chọn?
Giải
Do mỗi cách chọn ra một mẫu kiểm tra là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử
nên tổng số cách chọn khác nhau là
3
C10
=

10!
= 120 .

3! .7 !

?

Nhóm A gồm 10 Sinh viên và nhóm B gồm 12 Sinh viên, cần chọn
ngẫu nhiên 9 sinh viên trong đó có 4 sinh viên nhóm A và 5 sinh viên nhóm B. Hỏi
có bao nhêu cách chọn?

Tính chất của tổ hợp
i)

Cn0 = Cnn = 1 .

ii)

Cn1 = Cnn−1 = n .

iii)

Cnk = Cnn −k .

iv)

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1

8


n

v) Công thức nhị thức Newton: (a + b) n = ∑ Cnk a k b n −k
k =0

1.2
1.2.1

PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Khái niệm phép thử và biến cố

1.2.1.1 Phép thử
Trong xác suất, khái niệm phép thử là khái niệm cơ bản nhưng khơng có định
nghĩa chính xác. Chúng ta có thể hiểu phép thử là một thí nghiệm hay quan sát nào
đó. Khi thực hiện phép thử ta thường không thể biết trước kết quả nào sẽ xảy ra.
Khi thực hiện một phép thử, sẽ có nhiều kết quả có thể xảy ra. Có kết quả đơn
giản cũng có kết quả phức hợp (gồm nhiều kết quả đơn giản nhất hợp thành).
Ví dụ 8.
Y Tung ngẫu nhiên một đồng xu (có 2 mặt S và N) và quan sát 2 mặt xuất hiện
S hay N.
Y Tung ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối và đồng chất, quan sát số chấm
xuất hiện.
Y Rút ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ lơ hàng có 100 sản phẩm và kiểm tra có bao
nhiêu phế phẩm được rút ra.

1.2.1.2 Không gian mẫu
Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử ngẫu nhiên được gọi là
không gian mẫu và kí hiệu là
Ví dụ 9.
i) Tung đồng tiền:

= {S,N}

ii) Tung 1 con xúc xắc 6 mặt:

= {1chấm, 2chấm, . . . , 6chấm}

1.2.1.3 Biến cố (sự kiện)
Biến cố là kết quả ghi nhận được sau khi thực hiện phép thử.
Ví dụ 10
Xét phép thử rút 1 sản phẩm từ lô hàng. Qui ước: sản phẩm có khối lượng <
95 g là phế phẩm. Gọi A là biến cố rút được phế phẩm. Trong phép thử này sẽ xuất
hiện các loại biến cố sau:
Y Sản phẩm rút được có khối lượng < 95 g thì ta nói rằng biến cố A xảy ra.
Y Sản phẩm rút được có khối lượng > 95 g thì biến cố A khơng xảy ra.

Nhận xét
Một biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử gắn liền với nó được thực hiện.

9


1.2.2 Các loại biến cố
1.2.2.1 Biến cố sơ cấp
Mỗi phần tử ω ∈ , được gọi là một biến cố sơ cấp ( biến cố cơ bản). Nói
cách khác biến cố sơ cấp là biến cố không thể biểu diễn được thành tổng của các
biến cố khác hay nó là một kết quả đơn giản nhất của phép thử.
1.2.2.2 Biến cố chắc chắn
Biến cố chắc chắn là biến cố nhất định xảy ra khi thực hiện phép thử.
Kí hiệu: ( ) .
Ví dụ 11: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất, biến cố xúc xắc xuất hiện
không quá 6 chấm là biến cố chắc chắn.

1.2.2.3 Biến cố không thể
Biến cố không thể là biến cố nhất định khơng xảy ra khi thực hiện phép thử.
Kí hiệu: O
/.
Ví dụ 12: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất, biến cố xúc xắc xuất hiện
mặt nhỏ hơn 1 là biến cố không thể.
1.2.2.4 Biến cố ngẫu nhiên
Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra và cũng có thể khơng xảy ra khi
thực hiện phép thử.
Kí hiệu: A, B, C,… hay A1 , A2 , A3 ,....
Ví dụ 13: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất , các biến cố xúc xắc xuất
hiện mặt có số chấm lẻ (chẵn), mặt có số chấm nhỏ hơn 3, … là những biến cố ngẫu
nhiên.
Ví dụ 14: Cho phép thử là tung một con xúc xắc cân đối đồng chất.
Ta có khơng gian mẫu là

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} là các biến cố sơ cấp.
A = {2, 4, 6}: biến cố mặt chẵn
B = {1, 3, 5}: biến cố mặt lẻ.
C = {1, 2}: biến cố
D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} : biến cố chắc chắn, tức D =

.

E = {7, 8}: biến cố không thể, tức E = O
/

Nếu mặt 1 xuất hiện: ta nói biến cố {1}, B, C, D xảy ra

Nếu mặt 2 xuất hiện: ta nói biến cố {2}, A, C, D xảy ra
1.2.2.5 Biến cố thuận lợi ( quan hệ kéo theo)
Biến cố A được gọi là biến cố thuận lợi cho biến cố B nếu A xảy ra thì sẽ kéo
theo B xảy ra.

10


Kí hiệu: A ⇒ B (hay A ⊆ B ).
Ví dụ 15: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất
Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện 5 chấm.
B là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ.
Khi đó: A ⇒ B .

?

a) Một người mua một tờ vé số. Gọi A là biến cố người này trúng số độc đắc,
B là biến cố người này trúng số. Tìm quan hệ giữa hai biến cố A và B?
b) Một gia đình có hai con. Gọi A là biến cố gia đình có con trai, B là biến cố
gia đình có hai con trai. Hỏi A ⊆ B hay B ⊆ A

1.2.2.6 Biến cố tương đương
Biến cố A được gọi là biến cố tương đương biến cố B nếu A xảy ra thì sẽ kéo
theo B xảy ra và ngược lại.
Kí hiệu: A = B hay A ⇔ B .
Ví dụ 16: Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất
Gọi A là biến cố xúc xắc xuất hiện 5 chấm.
B là biến cố xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ và lớn hơn 3
Khi đó: A = B .

1.2.2.7 Biến cố tổng
Biến cố C được gọi là biến cố tổng của hai biến cố A và B khi và chỉ khi nếu
C xảy ra thì có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra và ngược lại.
Kí hiệu: C = A + B hay C = A ∪ B .
Ví dụ 17: Quan sát hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào cùng một bia.
Gọi: A là biến cố “người thứ nhất bắn trúng”.
B là biến cố “người thứ hai bắn trúng”.
C là biến cố “trúng đạn”.
Khi đó : C = A ∪ B .

1.2.2.8 Biến cố tích
Biến cố C được gọi là biến cố tích của hai biến cố A và B khi và chỉ khi nếu C
xảy ra thì A và B đồng thời cùng xảy ra.
Kí hiệu: C = A.B hay C = A ∩ B .
Ví dụ 18:
Một dây điện có hai nhánh được mắc song song. Gọi A và B lần lượt là biến
cố dòng điện ở nhánh thứ nhất và nhánh thứ hai bị khóa, C là biến cố đường dây
điện khơng hoạt động. Khi đó: C = A.B .

11


Chú ý
Định nghĩa biến cố về tổng và tích có thể mở rộng ra cho tổng và tích của
nhóm nhiều hơn hai biến cố.
Ví dụ 19: Từ 5 lơ sản phẩm, lấy ra ngẫu nhiên mỗi lô một sản phẩm. Gọi Ai là biến
cố sản phẩm lấy ra từ lô thứ i là phế phẩm i = 1,5 , A là biến cố trong số sản phẩm
lấy ra có ít nhất 1 phế phẩm, B là biến cố cả 5 sản phẩm lấy ra đều là phế phẩm.

Ta có

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 .
B = A1. A2 . A3 . A4 . A5 .
1.2.2.9 Biến cố đối lập
Hai biến cố A và B được gọi là đối lập nhau nếu A và B không đồng thời xảy
ra (xung khắc nhau), và một trong hai biến cố A hoặc B phải xảy ra khi thực hiện
phép thử AB = φ , A + B =
Biến cố đối lập của A kí hiệu là A .
Ví dụ 20. Trong phép thử tung xúc xắc cân đối đồng chất
Y Nếu A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt lẻ thì A là biến cố xúc xắc xuất hiện
mặt chẵn.

?

Tung một con xúc xắc . Gọi
A: biến cố xuất hiện mặt chẵn
B: biến cố xuất hiện mặt lẻ
C: biến cố xuất hiện mặt 2 hoặc 4

Hỏi A và B có đối lập khơng? B và C có đối lập không?

1.2.3 Các mối quan hệ giữa các biến cố
1.2.3.1 Quan hệ xung khắc
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời
xảy ra trong một phép thử. Tức là AB = φ
Ví dụ 21: Tung một đồng xu. Gọi A là biến cố xuất hiên mặt số, B là biến cố xuất
hiện mặt hình. Thì AB = φ
Một thí sinh đi thi đại học. Gọi A là biến cố thi đậu, B là biến cố thi trượt, và
C là biến cố đạt tổng điểm trên 10. Hỏi A và B, A và C, B và C có xung khắc khơng?

?

Họ xung khắc:(Cịn gọi là họ xung khắc từng đơi)
Họ các biến cố A1 , A2 ,..., An được gọi là họ xung khắc nếu 2 biến cố tuỳ ý
trong họ các biến cố đó xung khắc với nhau

12


Ví dụ 22: Quan sát điểm bài thi của một thí sinh. Gọi A5 , A6 , A7 , A8 tương ứng là các
biến cố bài thi được 5, 6, 7, 8 điểm, thì các biến cố A5 , A6 , A7 , A8 xung khắc từng đơi

1.2.3.2 Nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Họ biến cố { A1, A2 ,..., An } được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu chúng
thỏa:
− Họ đầy đủ A1 + A2 + ... + An =

.

− Họ xung khắc (từng đôi) nếu Ai A j = O/ ∀i, j (i ≠ j ) .
Ví dụ 23:
Y Kiểm tra 6 sản phẩm, gọi A0 , A1 , A2 ,..., A6 tương ứng là các biến cố có 0, 1,
2,..., 6 sản phẩm tốt trong 6 sản phẩm kiểm tra. Các biến cố A0 , A1 , A2 ,..., A6 là một
nhóm biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi.

{ }

Y Họ đầy đủ và xung khắc là A, A vì A + A =

và A. A = O/ .

1.2.3.3 Quan hệ độc lập
Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của
biến cố kia và ngược lại.
Tổng quát các biến cố A1 , A2 ,… , An được gọi là độc lập tồn phần nếu việc
xảy ra hay khơng xảy ra của một nhóm bất kỳ k biến cố, trong đó 1 ≤ k ≤ n , khơng
làm ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại.
Cần lưu ý là: nếu A, B độc lập, thì A và B ; B và A ; A và B cũng độc lập
với nhau.
1.2.3.4 Các tính chất phép toán của biến cố
i)

A + ( B + C ) = ( A + B) + C ; A.( B.C ) = ( A.B ).C . (kết hợp)

ii)

A + B = B + A ; A.B = B. A .

(giao hoán)

iii)

A.( B + C ) = A.B + A.C .

(phân phối)

iv)

( A) = A .

v)

A+ A =

vi)

A. = A ; A.O/ = O/ .

vii)

A + B = A.B ; A.B = A + B

viii)

Nếu A ⇒ B thì A.B = A .

; A. A = O/ .

Số trường hợp đồng khả năng

13


− Hai hay nhiều biến cố trong một phép thử có khả năng xảy ra như nhau, được
gọi là đồng khả năng
− Trong một phép thử mà mọi biến cố sơ cấp đều đồng khả năng thì số phần tử
của không gian mẫu được gọi là số trường hợp đồng khả năng của phép thử

Ví dụ 24:

a) Tung một đồng xu cân đối đồng chất, ta có số trường hợp đồng khả năng là 2.
b) Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, ta có số trường hợp đồng khả năng là 6

1.3
1.3.1

ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển
Xét một phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có

m A biến cố thuận lợi cho biến cố A. Khi đó, xác suất xảy ra biến cố A, kí hiệu:
P(A), được xác định bởi hệ thức:

P ( A) =

mA
n

Số trường hợp thuận lợi cho A

(1.6)

Số trường hợp đồng khả năng

Ví dụ 25
Tung ngẫu nhiên một con xúc xắc. Không gian các biến cố sơ cấp gồm 6
trường hợp đồng khả năng W = {W1 ,W2 ,..,W6 } .
Gọi A là biến cố xuất hiện số chấm lẻ thì có 3 trường hợp thuận lợi cho A là
W1 ,W3 ,W5 . Do đó:
P ( A) =

mA 3
= = 0, 5 .
n
6

Ví dụ 26
Tung đồng thời hai con xúc xắc cân đối đồng chất khác nhau, gọi A là biến cố
tổng số chấm xuất hiện trên mặt của các xúc xắc bằng 8. Tính P(A).

Giải
* Số trường hợp đồng khả năng: n = 6.6 = 36 .
* Số trường hợp thuận lợi cho A là: mA = 5 .
Do đó: P( A) =

mA 5
=
= 0,5 .
n 36

Ví dụ 27

14


Hộp có 15 viên bi trong đó có 6 viên bi màu đỏ, còn lại là màu trắng. Rút
ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi. Tính xác suất của biến cố A: trong đó rút được 3 bi
đỏ.

Giải

5
* Số trường hợp đồng khả năng: n = C15
.

* Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ từ 6 viên bi đỏ là: C36
Số trường hợp rút được 2 viên bi trắng từ 9 viên bi trắng là: C 92

⇒ Số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là: mA = C63 .C92 .
m A C63 .C92
Do đó: P ( A) =
=
= 0, 24 .
5
n
C15

?

a) Trên 1 giá sách có một bộ sách tham khảo gồm 12 quyển. Tìm xác suất để
số sách đó được sắp theo 1 thứ tự nhất định (từ trái sang phải hay từ phải sang trái)
b) Một lớp học có 30 sinh viên. Trong đó có 5 giỏi, 9 khá, 12 trung bình và 4
yếu. Chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 sinh viên. Tìm xác suất để
i) Cả 3 đều học yếu
ii) Có đúng 1 học sinh giỏi
c)Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau và đều bằng 0,5. Quan
sát số con gái của một gia đình có 3 con được chọn một cách ngẫu nhiên. Tìm xác
suất để gia đình này có 2 con gái.

Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất theo lối cổ điển
− Ưu điểm: Tính được chính xác giá trị của xác suất của các biến cố mà không

cần phải tiến hành phương pháp để thực hiện các thí nghiệm, thử nghiệm, các quan
sát thực tế.
− Hạn chế: Do địi hỏi phải có hữu hạn các biến cố sơ cấp và tính đồng khả năng
của chúng mà trong thực tế lại có nhiều phép thử khơng có tính chất đó.

1.3.2

Định nghĩa xác suất theo tần suất ( hay thống kê)

1.3.2.1 Tần suất
Giả sử thực hiện n lần một phép thử giống nhau, trong đó biến cố A xảy ra m
lần (m được gọi là tần số của biến cố A). Tần suất của biến cố A được kí hiệu là
f n ( A ) và được xác định

f n ( A) =

15

m
n

(1.7)


? Tần suất xuất hiện biến cố viên đạn được bắn trúng tâm của một xạ thủ là
0,85. Nếu xạ thủ đó bắn 500 viên, tìm số viên đạn được bắn trúng tâm?
1.3.2.2 Xác suất
Khi số phép thử n càng tăng lên (n khá lớn), tần suất f n ( A ) tiến dần về một
giá trị ổn định p nào đó và giá trị đó được định nghĩa là xác suất xảy ra biến cố A.
(1.8)

m
P( A) = lim f n ( A) = lim
n→∞
n→∞ n

Ví dụ 28

Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng tiền, người ta
tiến hành tung đồng tiền nhiều lần và thu được kết quả cho ở bảng dưới đây.
Người làm thí nghiệm

Số lần tung

Số lần mặt sấp

Tần suất f n ( A)

Buyffon

4040

2048

0,5069

Pearson

12000

6019

0,5016

Pearson

24000

12012

0,5005

Ta thấy lim f n ( A) =
n →∞

1
2

Nhận xét
Định nghĩa xác suất theo tần suất (hay thống kê) chỉ cho ta giá trị xấp xỉ và
mức độ chính xác của việc xấp xỉ tùy thuộc vào số lần thực hiện phép thử.
Phương pháp này được áp dụng có hiệu quả khi liên quan đến số lượng lớn
như: xác định tỷ lệ phế phẩm, tỷ lệ bắn trúng bia, tỷ lệ sinh con (nam, nữ) trong khu
vực dân cư lớn,…,trong việc tìm ra quy luật diễn biến phức tạp về thời tiết,…

Ưu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất theo tần suất
− Ưu điểm: Khơng địi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác
suất dựa trên quan sát thực tế vì vậy được ứng dụng rộng rãi.
− Nhược điểm: Đòi hỏi phải lặp lại nhiều lần phép thử. Trong nhiều bài tốn
thực tế điều này khơng cho phép do điều kiện và kinh phí làm phép thử.

1.3.3

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Xét một phép thử có khơng gian các biến cố sơ cấp là miền hình học W (đoạn
thẳng, hình phẳng, khối khơng gian,…) có số đo (độ dài, diện tích, thể tích,…) hữu
hạn khác 0. Biến cố A được biểu diễn tương ứng thành miền hình học A, là miền
con của W. Khi đó: xác suất xảy ra biến cố A được xác định bởi hệ thức:

P(A)

Số đo của miền A
Số đo của miền W

16

(1.9)


Ví dụ 29
Thả rơi ngẫu nhiên một chất điểm vào một hình vng có độ dài cành bằng
2R. Tính xác suất của biến cố A sao cho chất điểm rơi vào trong hình trịn nội tiếp
hình vng.

Giải

A

Mỗi vị trí có thể của chất điểm là một điểm của hình vng.

W

Do đó:
* Khơng gian các biến cố sơ cấp W là các điểm của hình vng. 2R
* Biến cố A được biểu diễn tương ứng bởi hình trịn nội tiếp.
Suy ra xác suất của biến cố A là

P(A)

Diện tích hình trịn

π R2

π

Diện tích hình vng

4R 2

4

Ví dụ 30
Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm trong khoảng thời gian từ 12:00 đến
14:00. Mỗi người đến địa điểm hẹn vào thời gian ngẫu nhiên và đợi người kia
không quá 30 phút. Tính xác suất để hai người gặp nhau.

(II)

Giải

y
y = x + 0,5
14.00

2
1

O
12.00

y = x − 0,5

A
1

2
14.00

x

(I)

Lấy gốc thời gian là 12 h. Gọi x, y lần lượt là thời gian đến điểm hẹn của
người thứ I, II và đơn vị tính là giờ.
Khơng gian các biến cố sơ cấp

W = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2} .
Gọi A là biến cố hai người gặp nhau. Khi đó tập các trường hợp thuận lợi cho
A là

17


A = {( x, y ) : x − y ≤ 0,5}
= {( x, y ) : x − 0,5 ≤ y ≤ x + 0,5}
Diện tích của miền A

7

Diện tích của miền W

16

.

P(A)
1.3.4

Một số tính chất cơ bản của xác suất

1.3.4.1 Ý nghĩa của xác suất
Xác suất là một độ đo, cho biết khả năng xảy ra của một biến cố, biến cố có
xác suất càng lớn thì khả năng xảy ra càng cao và ngược lại.
1.3.4.2 Tính chất
i)

0 ≤ P( A) ≤ 1 .

ii)

P(

iii)

Nếu A ⇒ B thì P ( A) ≤ P( B ) .

) = 1 ; P (φ ) = 0 .

Suy ra nếu A ⇔ B thì P ( A) = P( B ) .
iv)

P ( A) + P( A) = 1 .

Ví dụ 31
Xét phép thử tung ngẫu nhiên một con xúc xắc.
Gọi: A là biến có xuất hiện số chấm lẻ.
B là biến cố xuất hiện 3 hoặc 5 chấm.
Khi đó: B ⊂ A ⇒ P ( A) =

3
2
> P ( B) = .
6
6

Ví dụ 32: Từ một lơ có 20 sản phẩm, trong đó có 6 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên ra 5
sản phẩm. Tính xác suất sao cho trong các sản phẩm lấy ra có
a) Đúng 2 phế phẩm.
b) Ít nhất một phế phẩm.

Giải
a) Gọi A là biến cố có đúng 2 phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra.
Theo định nghĩa xác suất cổ điển, ta có

C 2 .C 3
P( A ) = 6 14 = 0,352167.
5
C20
b) Gọi B là biến cố có ít nhất một phế phẩm trong 5 sản phẩm lấy ra

18


C5
P( B ) = 1 − P( B ) = 1 − 14 = 0,870872.
5
C20

1.4 CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1.4.1

Công thức cộng xác suất

1.4.1.1 Với A, B là hai biến cố tùy ý, ta có

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB )

.

(1.10)

Đặc biệt
Nếu A.B = O/ (xung khắc) thì P ( A + B) = P( A) + P ( B ) .

Ví dụ 33
Một cơ quan có tất cả là 100 nhân viên, trong đó có 40 nữ. Trong 50 nhân
viên có nhà ở gần cơ quan có 15 nữ. Chọn ngẫu nhiên một nhân viên, tính xác suất
sao cho chọn được người thuộc diện phải trực cơ quan vào ban đêm. Biết rằng theo
qui định của cơ quan hoặc là nam hoặc có nhà gần cơ quan thì thuộc diện phải trực
đêm.

Giải
* Gọi A là biến cố nhân viên được chọn là nam.
B là biến cố nhân viên được chọn là có nhà gần cơ quan.
C là biến cố nhân viên được chọn phải trực đêm.
Theo qui định của cơ quan, ta có
C = A+ B.

⇒ P( C ) = P( A + B )
= P( A ) + P( B ) − P( A.B ) =

.
60
50
35
+
−
= 0,75
100 100 100

Vậy xác suất cần tìm là 0,75.

Ví dụ 34
Chọn ngẫu nhiên một số điện thoại có 6 chữ số. Tính xác suất sao cho số được
chọn
a) Có một chữ số 1.
b) Có chữ số 1 và chữ số 2.

Giải
a) Gọi A là biến cố chọn được số điện thoại có chữ số 1.
Xác suất xảy ra biến cố A được tính theo biến cố đối lập.

19


96
P( A ) = 1 − P( A ) = 1 − 6 = 1 − 0,531441 = 0,468559 .
10
b) Gọi B là biến cố chọn được số điện thoại có chữ số 2.
C là biến cố chọn được số vừa có chữ số 1 vừa có chữ số 2.
Khi đó: C = A.B .

⇒ P( C ) = 1 − P( C ).
Mà

P( C ) = P( A.B ) = P( A + B )
.
96
96

86
0,800738
+
−
=
106 106 106
Do đó, xác suất chọn được số điện thoại có chữ số 1 và chữ số 2 là

= P( A ) + P( B ) − P( A.B ) =

P( C ) = 1 − P( C ) = 1 − 0,800738 = 0,199262 .
1.4.1.2 Với A, B, C là ba biến cố tùy ý, ta có
P ( A + B + C ) = [ P ( A) + P ( B ) + P (C ) ] − [ P ( AB ) + P ( BC ) + P ( AC ) ] + P ( ABC )
Đặc biệt

(1.11)

 A.B = O/

Nếu  B.C = O/ (xung khắc đôi một) thì
 A.C = O/

P ( A + B + C ) = P ( A) + P ( B) + P(C ) .
Ví dụ 35
Một nhóm 48 người trong đó có 14 người biết sử dụng máy A, 22 người biết
sử dụng máy B, 12 người biết sử dụng máy C. Trong số người biết sử dụng máy nói
trên có:
Y 10 người biết sử dụng cả 2 máy A và B.
Y 8 người biết sử dụng cả 2 máy A và C.
Y 6 người biết sử dụng cả 2 máy B và C.

Y 4 người biết sử dụng cả 3 máy.
Chọn ngẫu nhiên một người từ nhóm người đã chọn. Tính xác suất để người
được chọn ra biết sử dụng một loại máy nào đó.

Giải
* Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người được chọn ra biết sử dụng máy A,
B, C.
* Gọi D là biến cố người được chọn ra biết sử dụng một loại máy nào đó.

20


Khi đó: D = A + B + C .
Suy ra

P( D ) = P( A + B + C )
= [ P( A ) + P( B ) + P( C )] − [ P( AB ) + P( BC ) + P( AC )] + P( ABC )
14 22 12 10 6
8
4
+
+
−
−
−
+
48 48 48 48 48 48 48
= 0,583
=

.

Vậy P ( D) = 0, 583 .

Ví dụ 36
Một hộp chứa các viên bi với kích thước giống nhau trong đó có 5 bi đỏ, 4 bi
xanh, 3 bi vàng và 2 bi trắng. Từ hộp lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, tính xác suất lấy
được 3 bi cùng màu.

Giải
* Gọi Ai ( i = 1,3 ) lần lượt là biến cố 3 bi lấy ra có cùng màu đỏ, cùng màu
xanh, cùng màu vàng.
* Gọi A là biến cố lấy được 3 bi cùng màu.
Ta có:

A = A1 + A2 + A3 .
⇒ P( A) = P ( A1 + A2 + A3 ) .

Vì các biến cố A1, A2 , A3 đôi một xung khắc nhau nên

P ( A) = P( A1 ) + P ( A2 ) + P( A3 )
=

C53

3
C14

+

C43

3
C14

+

C33

.

3
C14

= 0, 041209
Vậy P( A ) = 0,041209 .
1.4.1.3 Tổng quát
Với A1 , A2 ,..., An là các biến cố tùy ý, ta có:

n
  n
P ( A1 + A2 + ... + An ) =  ∑ P ( Ai )  −  ∑ P ( Ai . A j ) 

i =1
 i < j
 n

+  ∑ P ( Ai . A j . Ak )  + ... + ( −1) n −1.[ P ( A1. A2 ... An ) ]
i < j < k


Đặc biệt

21


Nếu các biến cố A1 , A2 ,..., An tạo nên họ biến cố xung khắc từng đơi thì

P ( A1 + A2 + ... + An ) = P( A1 ) + P ( A2 ) + ... + P( An ) .

?

1/ Cơng ty sử dụng hai hình thức quảng cáo là đài phát thanh và vô tuyến
truyền hình. Giả sử 25% khách hàng nắm được thơng tin này qua vơ tuyến truyền
hình, 34% khách hàng nắm được thông tin này qua đài phát thanh và 10% khách
hàng nắm được thơng tin này qua cả hai hình thức quảng cáo. Tìm xác suất để chọn
ngẫu nhiên 1 khách hàng thì người đó nắm được thơng tin về sản phẩm của công
ty?
2/ Trong một cuộc điều tra gồm 100 người trong đó: 65 người có uống rượu,
28 người có hút thuốc, 30 người không hút thuốc cũng không uống rượu. Chọn
ngẫu nhiên 1 người, tính xác suất để người đó:
a) Hoặc hút thuốc, hoặc uống rượu.
b) Vừa hút thuốc, vừa uống rượu.
c) Chỉ hút thuốc
d) Chỉ uống rượu

1.4.2

Công thức nhân xác suất

1.4.2.1 Xác suất có điều kiện
Xác suất của biến cố A được xác định khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác
suất có điều kiện của biến cố A đối với biến cố B (với điều kiện B).
* Kí hiệu:

P(A/B).

* Cơng thức tính:

P( A / B) =

P ( AB )
P( B)

(1.12)

Ví dụ 37
Hộp có 10 viên bi trong đó có 4 viên màu đỏ, 6 viên bi màu trắng. Lần lượt rút
khơng hồn lại 2 viên bi. Giả sử lần thứ 1 rút được bi màu đỏ, tính xác suất để lần
thứ 2 rút được bi màu đỏ.

Giải

lần 1
4Đ/10

lần 2
3Đ/9

1 Đ1

22

Đ2 ?


Ta có: P ( Đ2 / Đ1 ) =

3
.
9

Ví dụ 38
Từ một hộp có 5 sản phẩm với 2 phế phẩm, lấy lần lượt khơng hồn lại ra 1
sản phẩm. Gọi A, B lần lượt là biến cố sản phẩm lấy ra lần thứ nhất và thứ hai là
phế phẩm. Tính các xác suất P( B / A ) & P( B / A ) .

Giải
* Nếu biến cố A xảy ra thì trong hộp chỉ cịn 4 sản phẩm trong đó có 1 phế
phẩm. Do đó:

P ( B / A) =

1
= 0, 25 .
4

* Khi biến cố A xảy ra thì trong 4 sản phẩm cịn lại vẫn cịn đủ 2 phế phẩm.
Suy ra:

P ( B / A) =

2
= 0,5 .
4

Ví dụ 39
Có 20 tấm thẻ được ghi số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên một thẻ. Tính xác suất
sao cho thẻ được chọn ra ghi số chia hết cho 3, khi biết số đó chia hết cho 2.

Giải
* Gọi A, B lần lượt là biến cố trên thẻ lấy ra chia hết cho 2 và 3.
Ta cần tính: P ( B / A) =

( AB )
.
P ( A)

* Vì trong 20 thẻ có 10 thẻ chẵn nên số trường hợp thuận lợi cho A là 10.

⇒ P( A) =

10 1
= = 0,5 .
20 2

* Mặt khác: Vì AB là biến cố thẻ chọn ra có số chia hết cho 6 nên có 3 trường
hợp thuận lợi (gồm các số 6, 12, 18).

⇒ P( AB ) =

Suy ra P ( B / A) =

3
= 0,15 .
20
0,15
= 0,3 .
0,5

Chú ý
Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì

P ( A / B ) = P( A) .

23