Phương pháp đạt điểm cao Nguyên hàm Tích phân

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m

/g
ro
up
s

/T
ai
Li
eu
O

nT

hi
D
ai
H

oc
01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

LỜI NĨI ĐẦU

Bước 1: Đọc kỹ và hiểu phương pháp.

/g
ro
up
s

Bước 2: Đọc ví dụ rồi đóng sách làm lại

/T
ai

Li
eu
O

nT
hi
D
ai
H

oc
01

Khi các em cầm trên tay cuốn sách này tức là các em đang rất quan tâm đến việc học của
mình, chúc mừng tinh thần học tập đó của em!
Có thể em chưa biết, tích phân là một mảng rất rộng và bao hàm nhiều dạng bài và
phương pháp xử lý khác nhau. Đặc biệt khi lên đại học, những nghành liên quan đến kỹ thuật,
chúng ta sẽ tiếp cận Nguyên Hàm – Tích Phân ở mức độ cao hơn.
Tuy nhiên trong khuôn khổ kỳ thi THPT Quốc gia 2017, thầy đã chắt lọc cho các em trong cuốn
sách này:
 Đầy đủ những phương pháp chắc chắn có trong đề thi, bám sát cấu trúc đề của Bộ Giáo
Dục
 Nhiều ví dụ đa dạng và giải chi tiết theo hướng Step by Step (từng bước), dù là học sinh
mất gốc vẫn có thể sử dụng cuốn sách này.
 Đề trắc nghiệm theo mọi hướng để các em tiếp cận được rộng nhất.
 Kết hợp các phương pháp sử dụng máy tính Casio, Vinacal.
Thầy tự tin khẳng định rằng, khi các em sử dụng thành thạo 8 kỹ thuật trong cuốn sách này,
việc đạt điểm tối đa chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân là cực kỳ đơn giản!
Cách sử dụng sách

Bước 3: Làm đề trắc nghiệm bên cạnh đồng hồ (Cố làm nhanh nhất có thể).
Chú ý: Không được đọc phần bấm máy trước! Hãy nhuần nhuyễn giải tay trước, vì nhiều bài
có khả năng bấm máy lâu hơn tính tay rất nhiều.

.c
o

m

Mặc dù thầy đã cố gắng hết sức, nhưng khơng tránh khỏi sai sót, mong các em đóng góp
ý kiến chân thành.

ok

Giáo viên

bo

Nguyễn Tiến Đạt

Mọi góp ý gửi về: “Trung tâm luyện thi Đại Học Tiến Đạt”

Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu, HBT, Hà Nội | Liên hệ: 090.32888.66

ce



w

w

w

.fa

Email: | Facebook: Đạt Nguyễn Tiến

“Tri thức khơng vơ tình mà đạt được. Chúng ta phải tìm kiếm nó với sự nhiệt tình và đạt
được nó bằng sự chăm chỉ.”

- LỜI NĨI ĐẦU

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

1


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

MỤC LỤC
Nguyên Hàm .................................................................................................................................. 5

oc
01

A. Định Nghĩa Và Tính Chất ...................................................................................................... 5
B. Bảng Các Nguyên Hàm, Đạo Hàm Cơ Bản ........................................................................... 6

Trắc Nghiệm Lý Thuyết .............................................................................................................. 8

nT
hi
D
ai
H

Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết .............................................................................................. 11

Kỹ Thuật 1: Sử Dung Bảng Nguyên Hàm Cơ Bản ..................................................................... 12
Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 1 ........................................................................................... 13

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 1 ............................................................................. 14
Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 2 ........................................................................................... 15

/T
ai
Li
eu
O

Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 1 – Dạng 2 ............................................................................. 15

Kỹ Thuật 2: Tính Nguyên Hàm Của Hàm Số Hữu Tỷ ............................................................... 16
Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 2 .......................................................................................................... 22
Đáp Án Trắc Nghiệm Kỹ Thuật 2 ............................................................................................. 23
Kỹ Thuật 3: Đổi Biến Dạng 1 ..................................................................................................... 24

/g

ro
up
s

1. Các Dạng Đổi Biến Số Thường Gặp ..................................................................................... 24
Trắc Nghiệm Đổi Biến Số Dạng 1 ............................................................................................ 26
Đáp Án Trắc Nghiệm Đổi Biến Dạng 1 .................................................................................... 28
Tích Phân ..................................................................................................................................... 30
Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân........................................................................................... 31

m

Đáp Án Trắc Nghiệm Lý Thuyết Tích Phân ............................................................................. 33

.c
o

Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 .......................................................................................................... 37

ce

bo

ok

I 1  f (ax  b )n  xdx  t  ax  b  dt  a .dx


m


 xn 
n 1
n
Dạng I 2    n 1
  dx  t  x  1  dt  (n  1)x .dx  ................................... 37

 ax  1 

n
2
2
I 3   f (ax  b )  xdx  t  ax  b  dt  2ax .dx

w

w

.fa

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P1) ........................................................................ 43

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P1) ........................................................... 45
Dạng: ......................................................................................................................................... 46

w

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P2) ........................................................................ 47
Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P2) ........................................................... 48

2

LỜI NÓI ĐẦU -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
Dạng .......................................................................................................................................... 49
b

1
Trắc Nghiệm Dạng I   f (ln x)   dx .................................................................................... 50
x
a
b

oc
01

1
Đáp Án Trắc Nghiệm Dạng I   f (ln x)   dx ...................................................................... 51
x
a

nT
hi
D
ai

H

Kỹ Thuật 4: Tích Phân Lượng Giác ............................................................................................ 51
1.Công Thức Lượng Giác Thường Sử Dụng: ........................................................................... 51

Dạng 4.1. Sử Dụng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản ............................................................. 53
Dạng 4.2: Dùng Công Thức Hạ Bậc ......................................................................................... 55
Dạng 4.3: Dùng Cơng Thức Biến Đổi Tích Thành Tổng.......................................................... 57

/T
ai
Li
eu
O

Dạng 4.4: Đổi Biến Số .............................................................................................................. 59

Dạng 4.4.1. Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Với D(Sinx)=Cosx, D(Cosx)=-Sinx .......... 59
Dạng 4.4.2. Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và

d  sin 2 x   sin 2 xdx; d  cos 2 x    sin 2 xdx ......................................................................... 66

Dạng 4.4.3 Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và............................................................... 67
1
1
dx  1  tan 2 x  dx ; d  cot x    2 dx   1  cot 2 x  dx ................. 67
2
cos x
sin x

/g
ro
up
s

d  tan x  

Dạng 4.4.4 Kết Hợp 1 Trong 4 Dạng A,B,C,D Và d  sin x  cos x    cos x  sin x  dx ..... 70
Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P3) ........................................................................ 72
Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 1 (P3) ........................................................... 75

m

Kỹ Thuật 5: Đổi Biến Số Dạng 2 ................................................................................................ 76

.c
o

Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 2 ................................................................................ 85

ok

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Đổi Biến Dạng 2................................................................... 86
Kỹ Thuật 6: Tích Phân Từng Phần .............................................................................................. 87

bo

Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần .......................................................................................... 93

ce

Đáp Án Trắc Nghiệm Tích Phân Từng Phần ............................................................................ 97

.fa

Kỹ Thuật 7: Tích Phân Chứa Giá Trị Tuyệt Đối ......................................................................... 98

w

w

w

Ứng Dụng Tích Phân .................................................................................................................. 102
1. Tính Diện Tích Hình Phẳng ................................................................................................ 102
1.1 Diện Tích Hình Thang Cong ......................................................................................... 102
1.2. Diện Tích Hình Phẳng .................................................................................................. 103

- LỜI NĨI ĐẦU

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
2. Tính Thể Tích Khối Trịn Xoay .......................................................................................... 107
3. Bài Tốn Chuyển Động ....................................................................................................... 111

Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân ........................................................................................ 113

oc
01

Đáp Án Trắc Nghiệm Ứng Dụng Tích Phân ........................................................................... 117

Kỹ Thuật 8: Sử Dụng Máy Tính Casio ..................................................................................... 118

nT
hi
D
ai
H

Dạng: Tìm Ngun Hàm F X  Của Hàm Số F X ............................................................... 118

Dạng: Tìm Nguyên Hàm F(X) Của F(X) Khi Biết F ( xo )  M ............................................. 120
Dạng: Tính Tích Phân ............................................................................................................. 122
Dạng: Tìm A, B Sao Cho

a

 f ( x).dx  A ................................................................................. 122
b

/T
ai
Li
eu

O

Dạng: Tính Diện Tích, Thể Tích ............................................................................................. 123

Dạng: Mối Liên Hệ Giữa A, B,C… ........................................................................................ 125
Phụ Lục: ..................................................................................................................................... 127
A. Đề Tổng Hợp Nguyên Hàm – Tích Phân ............................................................................ 127
Đáp Án Đề Tổng Hợp ............................................................................................................. 139

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m

/g
ro

up
s

B .Tích Phân Trong Đề Thi Đại Học 10 Năm Gần Đây ............................................................. 140

4

LỜI NÓI ĐẦU -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

NGUYÊN HÀM

oc
01

A. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Định nghĩa

Ta gọi F  x  là một nguyên hàm của f  x  . Vì với C là một hằng số bất kỳ, ta có
'

nên nếu F  x  là nguyên hàm của f  x  thì F  x   C cũng là một

nT

hi
D
ai
H

 F  x  C   F ' x  f  x

nguyên hàm của f  x  . Ta gọi F  x   C , (c là hằng số (constant) là Họ nguyên hàm của f  x  .
Ký hiệu:

 f  x  dx  F  x   C

/T
ai
Li
eu
O

Hay đơn giản cho dễ hiểu nhé mấy đứa: NGUYÊN HÀM LÀ NGƯỢC LẠI CỦA
ĐẠO HÀM.
VÍ DỤ : x 2 đạo hàm là gì? ( x 2 ) '  2 x chuẩn chưa?
Thì

 2xdx  x

2

 C . Tại sao phải cộng thêm C? Vì đạo hàm của hằng số luôn là 0.

Nên ( x 2  C ) '  2 x . Người ta ghi thêm C vào cho đầy đủ?

/g
ro
up
s

Oke? Vậy tạm hiểu nguyên hàm là gì rồi nhé!!
2. Tính chất

  f  x  dx   f  x 
'

m

•

.c
o

•  kf  x  dx  k  f  x  dx , . k . là hằng số

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

•

  f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

bo

ok

•

ce

3. Sự tồn tại nguyên hàm

w

w

w

.fa

Mọi hàm số liên tục trên đoạn  a; b đều có nguyên hàm trên đoạn  a; b .

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

5


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Bảng đạo hàm

oc
01

B. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM, ĐẠO HÀM CƠ BẢN

Bảng nguyên hàm

 x '  1

 kdx  kx  c ,

 ln u  ' 

 1

;

 u  '   .u '.u


u'
,
u

 e  '  u '.e
u

x dx 

1

u0

u

u

0  a 1

 sin u  '  u '.cos u

.c
o

m

 cos u  '  u '.sin u

1

e

x
 a dx 

x

c

ax

c
ln a

ax  b

dx 

mx  n
 a dx 

c

1

 e dx  e

1 ax b
e
c
a

a mx  n
c
m.ln a
1

 cos xdx  sin x  c

 cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   c

 sin xdx   cos x  c

 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   c

u'
 u '. 1  tan 2 u 
cos 2 u

 cos

 cot u  ' 

u '
 u '. 1  cot 2 u 
sin 2 u

 sin

ok

 1

 ax  b dx  a ln ax  b  c

 tan u  ' 

1
2

x

1
2

x

1

1

1

dx  tan x  c

 cos  ax  b  dx  a tan  ax  b   c

dx   cot x  c

 sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   c

2

1

1

2

.fa

ce

bo

1  ax  b 
  ax  b  dx  a .   1


 x dx  ln x  c
x

 a  '  u '.a .ln a ,
u

x 1
 c,
 1

  1

 1

/T
ai
Li
eu
O



k là hằng số

/g
ro
up
s

x '   x

nT
hi
D
ai
H

(u là hàm số hợp)

w

w

w

Một số lưu ý

6

1. Cần nắm vững bảng nguyên hàm.
2. Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm hàm số khơng bao giờ bằng tích (thương) của
các nguyên hàm của những hàm thành phần.

3. Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số, ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu
của những hàm số tìm được nguyên hàm (dựa vào bảng nguyên hàm).

NGUYÊN HÀM -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

 f  x  dx  F  x   c thì

* Lưu ý: do

F '  x   f  x  nên khi quên công thức nguyên hàm, ta cần

liên tưởng đến đạo hàm. Cụ thể như sau:

 f  x  dx (mà qn cơng thức) ta có thể tự đặt câu hỏi : “ hàm số nào

oc
01

VÍ DỤ ta cần tìm

mà lấy đạo hàm ra là f(x)?”. Với cách hỏi như thế, kết hợp với việc nắm vững cơng thức đạo
hàm, ta có thể nhớ lại cơng thức nguyên hàm một cách dễ dàng.

ax  b

m

ax  b

a

2

a

2

dx 

1

 tg  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   c

1
m ax b  c
a ln m

1

 cotg  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   c

dx
1

x
 arctg  c
2
x
a
a

 sin

dx
1
ax
ln

c
2
2a a  x
x

 cos

dx
x2  a2

2

1
dx
 cotg  ax  b   c
 ax  b  a

 ln  x  x 2  a 2   c



2

dx
1
 tg  ax  b   c
 ax  b  a

dx

a 2  x2

 arcsin

x
c
a

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m



1 ax b
e
c
a

dx 

/T
ai
Li
eu
O

e

nT
hi

D
ai
H

BẢNG CÔNG THỨC MỞ RỘNG (LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM)
Chú ý: Những cơng thức khơng có trong SGK, nếu khi các em dùng cho làm tự
luận, phải chứng minh lại! (Cách chứng minh đơn giản nhất: Đạo hàm lại kết
quả. Hehe.

/g
ro
up
s

I.

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

7


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Câu 1. Hàm số f  x  có nguyên hàm trên K nếu:
B. f  x  có giá trị lớn nhất trên K .

C. f  x  có giá trị nhỏ nhất trên K .

D. f  x  liên tục trên K .

Câu 2. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của

f  x  trên

 a; b 

 f  x  dx  F  x   C .

và C là hằng số thì

/T
ai
Li
eu
O

B. Mọi hàm số liên tục trên  a; b  đều có nguyên hàm trên  a; b  .

nT
hi
D
ai
H

A. f  x  xác định trên K .

oc
01

TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

C. F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b   F /  x   f  x  , x   a; b  .

  f  x  dx 

/

 f  x .

Câu 3. Xét hai khẳng định sau:

/g
ro
up
s

D.

(I) Mọi hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số f  x  liên tục trên đoạn  a; b  đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

.c
o

A. Chỉ có (I) đúng.

m

Trong hai khẳng định trên:

D. Cả hai đều sai.

ok

C. Cả hai đều đúng.

B. Chỉ có (II) đúng.

bo

Câu 4. Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên đoạn  a; b nếu:

ce

A. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  .

.fa

B. Với mọi x   a; b  , ta có f /  x   F  x  .

w

w

w

C. Với mọi x   a; b , ta có F /  x   f  x  .
D. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  , ngoài ra F /  a    f  a  và F /  b    f  b  .

Câu 5. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D ,
câu nào là sai?

8

NGUYÊN HÀM -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu x  D : F '  x   f  x  .

(I)

A. Khơng có câu nào sai.

B. Câu (I) sai.

C. Câu (II) sai.

D. Câu (III) sai.

nT

hi
D
ai
H

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.

oc
01

(II) Nếu f liên tục trên D thì . f . có ngun hàm trên D .

Câu 6. Giả sử F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên khoảng  a; b  . Giả sử G  x  cũng là
một nguyên hàm của f  x  trên khoảng  a; b  . Khi đó:
A. F  x   G  x  trên khoảng  a; b  .

/T
ai
Li
eu
O

B. G  x   F  x   C trên khoảng  a; b  , với C là hằng số.

C. F  x   G  x   C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 7. Xét hai câu sau:

  f  x   g  x   dx   f  x  d x   g  x  d x  F  x   G  x   C ,

/g
ro
up
s

(I)

trong đó F  x  và G  x  tương ứng là nguyên hàm của f  x  , g  x  .

Trong hai câu trên:

B. Chỉ có (II) đúng.

.c
o

A. Chỉ có (I) đúng.

m

(II) Mỗi nguyên hàm của a. f  x  là tích của a với một nguyên hàm của f  x  .

ok

C. Cả hai câu đều đúng.

D. Cả hai câu đều sai.

 f  x  dx  F  x   C   f  t  dt  F  t   C .

ce

A.

bo

Câu 8. Các khẳng định nào sau đây là sai?

/

w

w

w

.fa

B.   f  x  dx   f  x  .


C.

 f  x  dx  F  x   C   f  u  dx  F  u   C .

D.  kf  x  dx  k  f  x  dx ( k là hằng số).

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

9


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến
Câu 9. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. F  x   x 2 là một nguyên hàm của f  x   2 x .

oc
01

B. F  x   x là một nguyên hàm của f  x   2 x .

C. Nếu F  x  và G  x  đều là nguyên hàm của hàm số f  x  thì F  x   G  x   C (hằng số).

nT
hi
D
ai
H

D. Cả 3 đáp án trên
Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  thì mọi nguyên hàm của f  x  đều có
dạng F  x   C ( C là hằng số).

u/  x

/T
ai
Li
eu
O

B.

 u  x  dx  log u  x   C .

C. F  x   1  tan x là một nguyên hàm của hàm số f  x   1  tan 2 x .

/g
ro
up
s

D. F  x   5  cos x là một nguyên hàm của hàm số f  x   sin x .
Câu 11. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
1

 x dx  ln x  C

A.  0dx  C ( C là hằng số).

B.

x 1
C.  x dx 

 C ( C là hằng số).
 1

D.  dx  x  C ( C là hằng số).

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m



( C là hằng số).

10

NGUYÊN HÀM -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

ĐÁP ÁN
D
C
B
D

CÂU
5.
6.
7.
8.

ĐÁP ÁN
A
B
C
C

CÂU
9.
10.

11.

ĐÁP ÁN
B
B
C

nT
hi
D
ai
H

CÂU
1.
2.
3.
4.

oc
01

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT

Câu 1. Để hàm số f  x  có nguyên hàm trên K khi và chỉ khi f  x  liên tục trên K . Chọn D.

Câu 2. Sửa lại cho đúng là '' Tất cả các nguyên hàm của f  x  trên  a; b  đều có đạo hàm bằng

/T
ai

Li
eu
O

f  x  '' . Chọn C.

Câu 3. Vì hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0 , nhưng nếu hàm số liên tục tại x0 thì chưa
chắc đã có đạo hàm tại x0 . Chẳng hạn xét hàm số f  x   x tại điểm x  0 . Chọn B.
Câu 4. Với mọi x   a; b  , ta có F /  x   f  x  , ngoài ra

/g
ro
up
s

F /  a    f  a  và F /  b    f  b  .Chọn D.

Câu 5. Chọn A.

Câu 6. Vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số. Chọn B.

 f  x  dx  F  x   C   f  u  du  F  u   C . Chọn C.

.c
o

Câu 8. Vì

m

Câu 7. Chọn C.

Câu 9. Vì  x   1  2 x  F /  x   f  x   F  x   x không phải là nguyên hàm của hàm số

ok

/

ce

bo

f  x   2 x . Chọn B.

.fa

Câu 10. Vì

u/  x

 u  x

dx  

d u  x 
u  x

 ln u  x   C . Chọn B.

w

w

w

Câu 11. Vì kết quả này không đúng với trường hợp   1 . Chọn C.

- NGUYÊN HÀM

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

11


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN


PP
1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa 
 khai triển.

oc
01

PP
 khai triển theo công thức mũ.

2. Tích các hàm mũ 
PP
3. Chứa căn 
 chuyển về lũy thừa.

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m

/g
ro
up
s

Bài 1. Tìm các nguyên hàm:

/T
ai
Li
eu
O

PP
 Hạ bậc.
5. Bậc chẵn của sin và cosin 

nT
hi
D
ai
H

PP
4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin 
 khai triễn theo cơng thức tích thành tổng.
1
 sin ax.cos bx  sin(a  b) x  sin( a  b) x 
2
1
 sin ax.sin bx   cos(a  b) x  cos( a  b) x 
2
1
 cos ax.cos bx   cos(a  b) x  cos( a  b) x 
2

12

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

x
Câu 12. Tìm ngun hàm f ( x)  3x 2  
2

x2
 C.
4

C. F ( x)  x3 

B. F ( x)  x3 

x2
 C.
4

D. F ( x)  5 x3 

Câu 13. Tìm nguyên hàm f ( x)  2 x 3  5 x  7.

x4 5x2

 7 x  C.
2
3
x4 5x2
B. F ( x ) 

 7 x  C.
2
2

x2
 C.
4

3x 4 5 x 2

 7 x  C.
2
2
x4 5x2
F ( x)  
 8 x  C.
2
2
D.
C. F ( x ) 

/T

ai
Li
eu
O

A. F ( x ) 

7 x2
 C.
4

nT
hi
D
ai
H

A. F ( x)  x3 

oc
01

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 1

Câu 14. Tìm nguyên hàm f ( x)  6 x 5  12 x3  x 2  8.
x3
A. F ( x)  x  3x   8 x  C.
3
x3
B. F ( x)  x 6  3x 4   8 x  C.

3
4

/g
ro
up
s

6

x3
C. F ( x)  x  3x   8 x  C.
3
3
x
F ( x)  x 6  x 4   8 x  C.
3
D.
6

4

Câu 15. Tìm nguyên hàm f ( x)  ( x 2  3x)  ( x  1) 
x 4 2 x3 3x2


 C.
4
3
2

x 4 2 x3 3x2
B. F ( x ) 


 C.
2
3
2

ce

bo

A. 4
B. 16

w

w

w

.fa

Câu 17.

A. 0
B. 1

Câu 18.

x4 2 x3 3x2


 C.
4
5
2
x4 2 x3 3x2
F ( x)  

 C.
4
3
7
D.
C. F ( x ) 

f ( x)  (3  x)3 . Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)  

ok

Câu 16.

.c
o

m

A. F ( x ) 

(3  x)a
 C. Tìm a 2
a

C. 32
D. 9

1
1
1 x3 x
2
f ( x)  2  x   Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)      C. Tính a-b?
x
3
x a b
C. 2
D. 3
ax
f ( x)  10 2 x. Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x) 
 C. Tìm a?
2 ln10

- KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM
CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

13

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

A. 10
B. 100

Câu 20.
A. 0
B. 1

oc
01


1 
2
I    2x2 
 dx  x3  3 b x  C. Tính a-b?

3 2
a
x 

C. 2
D. 3

nT
hi

D
ai
H

A. 5
B. 1

3
x4
f ( x)  x 3  4 x   Biết nguyên hàm của f(x) là F ( x)   bx 2  c.ln x  C. Tính a-b+c
x
a
C. 4
D. 7

/T
ai
Li
eu
O

Câu 19.

C. 5
D. 20

CÂU

ĐÁP ÁN

CÂU

12

A

16

13

B

17

14

/g
ro
up
s

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 1
CÂU

ĐÁP ÁN

B

20.

A

A

C

18

B

A

19

A

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m

15

ĐÁP ÁN

14

KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Bài 2. Tìm ngun hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các trường hợp sau:
Phương pháp: Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x), tức đi tính

VÍ DỤ : f ( x)  x 3  4 x  5, F (1)  3.
Ta có  ( x3  4 x  5)dx 

x4
 x 2  5 x  c  Mà F (1)  3.
4

14 2
 1  5.1  c  3
4
5
x4
5
 c=  . Kết luận: F ( x)   x 2  5 x  
4
4
4

/T
ai
Li
eu
O



nT
hi
D
ai
H

oc
01

Rồi sau đó thế F ( xo )  C   để tìm hằng số C.

 f ( x)  dx  F ( x)  C.

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 2
Tìm F(x) biết:
Câu 21. f ( x)  3  5cos x, F ( )  2.
A. F ( x )  3 x  5sin x
B. F ( x )  3 x  5sin x  2  2 .
f ( x) 

A. 2
B. 3

m

I 

bo

Câu 24.

x2  1
3
x2
f ( x) 
, F (1)   Biết F ( x)   b ln x  c. Kết quả của a-b-c là?
x
2
a
C. 8
D. 0

.c
o

A. 4
B. 3

w

w

w

.fa

ce

A. 1
B. 2

3  5x2
5 x 2 5e 2
, F (e)  1. Biết F ( x)  3ln x 

 c. c chia hết cho mấy?
x
2
2
C. 6
D. 7

3x 4  2 x3  5
a
 dx, biết F (1)  2. ĐS: F ( x)  x3  c.x 2   b. Tính a+b+c?
2
x
x
C. 3
D. 4
ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 1 – DẠNG 2

ok

Câu 23.

D. F ( x )  3 x  5sin x  2  3 .

/g
ro
up
s

Câu 22.

C. F ( x )  3 x  5sin x  2

CÂU

ĐÁP ÁN

CÂU

ĐÁP ÁN

Câu 21

D

Câu 23

D

Câu 22

A

Câu 24

A

- KỸ THUẬT 1: SỬ DUNG BẢNG NGUYÊN HÀM
CƠ BẢN

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

15


KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ


Bài tốn tổng qt: Tính ngun hàm I  

oc
01

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

P( x)
 dx, với P ( x) và Q ( x) là các đa thức không
Q( x)

nT
hi
D
ai
H

căn.
Phương pháp giải:
PP
 Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P ( x)  bậc của mẫu số Q ( x) 

/g
ro
up
s

/T
ai
Li
eu
O

PP
Nếu bậc của tử số P ( x)  bậc của mẫu số Q ( x) 
 Xem xét mẫu số và khi đó:
+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng
của các phân số.
Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:
1
1
b 
 a





(ax  m)  (bx  n) an  bm  ax  m bx  n 
( A  B )  x  ( Ab  Ba )  A  B  m
mx  n
A
B







( x  a )  ( x  b) x  a x  b
( x  a )  ( x  b)
 Ab  Ba   n
1
A
Bx  C


 2
, với   b 2  4ac  0.
2
( x  m)  (ax  bx  c ) x  m ax  bx  c
1
A
B
C
D






2
2
2
( x  a )  ( x  b)

x  a ( x  a)
x  b ( x  b) 2
+ Nếu mẫu số khơng phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

.c
o

m

Mẹo sử dụng Casio
mx  n
A
B



( x  a )  ( x  b) x  a x  b

ok

(Ta muốn tìm hệ số nào, ta xóa nghiệm dưới mẫu của thằng đó đi trong

Để tìm B. Ta nhập vào máy tính

mx  n
. Calc x = b
( x  a)

w

w

w

.fa

ce

bo

Calc đúng nghiệm dưới mẫu của nó)
mx  n
Để tìm A. Ta nhập vào máy tính
. Calc x = a
( x  b)

mx  n
. Và
( x  a )  ( x  b)

16

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

2x 1
 dx 
x 1
Ta thấy bậc tử bằng bậc mẫu: Chia đa thức
2x 1
3
I 
 dx   (2 
) dx  2 x  3.ln | x  1| c
x 1
x 1

oc
01

BÀI TẬP VẬN DỤNG

x2  x  1
 dx 
x2
Ta thấy bậc tử lớn hơn bậc mẫu: Chia đa thức
3
x2  x  1
x2
I 
 dx  I   ( x  1 
)  dx   x  3ln x  2  C.
x2
x2

2
dx
VÍ DỤ3. Tìm ngun hàm I   2

2x  7 x  5
dx
dx
A
B
I  2
)dx

 (

2x  7x  5
( x  1)(2 x  5)
x 1 2x  5
Ta có:
B ( x  1)  A(2 x  5)  1

/T
ai
Li
eu
O

VÍ DỤ 2. Tìm ngun hàm I  

nT
hi

D
ai
H

VÍ DỤ 1. Tìm ngun hàm I  

/g
ro
up
s

 x(2 A  B )  5 A  B  1

.c
o

m

1

A

 2A  B  0

3


 5 A  B  1  B  2

3

1
2
2 ln | 2 x  5 |
1
1
1
I   ( 3  3 ) dx  ln | x  1| 
 C  ln | x  1|  ln | 2 x  5 | C
x 1 2x  5
3
3
2
3
3

ok

Mẹo sử dụng máy tính:

1
1
Calc X = 1. Thu được A 
3
(2 x  5)
1
5
2
Tìm B: Nhập vào máy
Calc X = . Thu được B =
x 1

2
3

.fa

ce

bo

Tìm A: Nhập vào máy

w

w

w

VÍ DỤ 4. Tìm ngun hàm I  

6 x 2  10 x  2
dx
x 3  3x 2  2 x

6 x 2  10 x  2
6 x 2  10 x  2
I  3
dx  
dx
x  3x2  2 x
 x  1 x  2  x

- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

17


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

Xét:

6 x 2  10 x  2
A
B
C
 

x  x  1 x  2  x x  1 x  2

oc
01

 6 x 2  10 x  2  A  x  1 x  2   Bx  x  2   Cx  x  1

6  A  B  C
A 1
6 x 2  10 x  2

1
2
3


 10  3 A  2 B  C   B  2 
 

x  x  1 x  2  x x  1 x  2
2  2 A
C  3


Từ đó:

/T
ai
Li
eu
O

2
3 
1
I   

dx  ln x  2 ln x  1  3ln x  2  C
 x x 1 x  2 

nT

hi
D
ai
H

 6 x 2  10 x  2   A  B  C  x 2   3 A  2 B  C  x  2 A

Mẹo sử dụng máy tính

/g
ro
up
s

6 x 2  10 x  2
Tìm A: Ta nhập vào máy
Calc X=0. Thu được A = 1
 x  1 x  2 

6 x 2  10 x  2
Calc X=-1. Thu được B = 2
x  x  2

Tìm C: Ta nhập vào máy

6 x 2  10 x  2
Calc X=-2. Thu được C = 3
x  x  1

6 x 2  10 x  2

1
2
3
 

x  x  1 x  2  x x  1 x  2

bo

ok



.c
o

m

Tìm B: Ta nhập vào máy

w

w

w

.fa

ce

6 x 2  26 x  26
VÍ DỤ 5. Tìm ngun hàm J   3
dx
x  6 x 2  11x  6
6 x 2  26 x  26
6 x 2  26 x  26
J  3
dx  
dx
x  6 x 2  11x  6
 x  1 x  2  x  3

Ta tìm A, B, C sao cho:
18

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

6 x 2  26 x  26
A
B
C




 x  1 x  2  x  3 x  1 x  2 x  3

oc
01

 6 x 2  26 x  26  A  x  2  x  3  B  x  1 x  3  C  x  1 x  2 

Từ đó:
2
1 
 3
J  


 dx  3ln x  1  2 ln x  2  ln x  3  C
 x 1 x  2 x  3 

x 8
x 8
1 
 2
dx  
dx   

 dx  2 ln x  2  ln x  3  C
x  x6
 x  2  x  3
 x 2 x 3
2

VÍ DỤ 6 .Tìm nguyên hàm L  

3 x 2  13 x  11
dx
x3  5x 2  8 x  4

/g
ro
up
s

3 x 2  13 x  11
3 x 2  13 x  11
L 3
dx  
dx
2
x  5x 2  8 x  4
 x  1 x  2 
Ta tìm A, B, C sao cho:
3 x 2  13 x  11



A
B
C



x  1 x  2  x  2 2

m

 x  1 x  2 

2

/T
ai
Li
eu
O

• K 

nT
hi
D
ai
H

Cho x giá trị lần lượt bằng 1, 2, 3 ta tìm được A  3; B  2; C  1

 3 x 2  13 x  11  A  x  2   B  x  1 x  2   C  x  1

.c
o

2

ok

 3 x 2  13 x  11   A  B  x 2   4 A  3B  C  x   4 A  2 B  C 

ce

bo

3  A  B
A 1


 13  4 A  3B  C   B  2
11  4 A  2 B  C C  3



w

w

w

.fa

Từ đó:

 1
2

3 
3
L  


C
dx  ln x  1  2 ln x  2 
2
 x  1 x  2  x  2 
2
x




- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

19


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

M 

2 x3  6 x 2  4 x  1

dx
x 2  3x  2



2 x3  6 x2  4 x  1
1
1


dx
x
dx
x
2
2





  x 2  3x  2     x  1 x  2   dx
x 2  3x  2



VÍ DỤ 8. Tìm nguyên hàm N  

nT
hi

D
ai
H

1
1 

2
   2x 

dx  x  ln x  2  ln x  1  C


x
x
2
1



3x 2  4 x  2
dx
x3  2 x 2  2 x  5

2

2

2

2

2
1   x  3   x  1 
1 1
1 
 

  

4   x  3 x  1 
4  x 1 x  3 

m

 1 1
1 1
1
2
1
1
1 






 


2
2
2
2
x  3 x  1 
4   x  1  x  3  x  1 x  3  4   x  1  x  3

.c
o



 x  3  x  1

2

1

 x  3  x  1

dx

/g
ro
up
s

Ta phân tích:

/T

ai
Li
eu
O

d  x3  2 x 2  2 x  5
3x 2  4 x  2
N  3
dx  
 ln x3  2 x 2  2 x  5  C
x  2x2  2x  5
x3  2 x 2  2 x  5

VÍ DỤ 9. Tìm ngun hàm I  

ok

Từ đó:

w

w

w

.fa

ce

bo

 1
1
1
1 
1 1
1 1
1
1
I  



 .
 ln x  3  ln x  1  C
dx   .
2
2
x  3 x  1 
4 x 1 4 x  3 4
4
  x  1  x  3

VÍ DỤ 10. Tìm ngun hàm . J  

dx

 x  3  x  4 
2

2

.

Ta phân tích:
20

oc
01

VÍ DỤ 7. Tìm ngun hàm M  

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

2

 x  3  x  4 
2

2

1   x  4    x  3 
1  1

2
1 
 .




 
49   x  3 x  4  
49   x  3 2  x  3 x  4   x  4 2 

oc
01

1

1
1
1
2
1
1
dx  
dx  
dx
2

49  x  3
49  x  3 x  4 
49  x  4 2



1 1
1
1
1  1
1 
 .


.

dx

49 x  3 49 x  4 343  x  3 x  4 

1 1
1
1
1
x3
 .

C
.
ln
49 x  3 49 x  4 343 x  4

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m

/g
ro
up
s



/T
ai
Li
eu
O

J

nT
hi
D
ai
H

Từ đó:

- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

21


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

4x2  6 x  1
.dx là I  a.x 2  b.x  c.ln 2 x  1  C . Tính a-b-c ?
2x 1
1
3
1
3

B.
C. 
D. 
A.
2
2
2
2

Câu 25. 

oc
01

TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 2

4 x3  4 x 2  1
.dx có dạng F  x   a.x3  b.x 2  c.x  d .ln 2 x  1  C . Tính a.  b  c  d  ?
2x 1
1
3
A.
B.
C. 3
D. 2
3
2
2x  1
.dx có dạng I  a.x  b.ln x  1  C . Tính a.b ?
Câu 27. 

x 1
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
3x  1
.dx có dạng I  a.x  b.ln x  2  C . Tính b-a ?
Câu 28. 
x2
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
x 1
có dạng F  x   a.x  b.ln 2 x  3  C . Tính a.b ?
Câu 29. Nguyên hàm của f  x  
2x  3
1
A. 
B. 4
C. 2
D. -6
8

/g
ro
up
s

/T

ai
Li
eu
O

nT
hi
D
ai
H

Câu 26. 

x2  x  1
.dx có dạng I  a.x 2  b.x  c.ln x  2  C . Tính b+c ?
Câu 30. 
x2
A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

m

dx

x  6x  9

Câu 31.
1
1
C. I  
 C.
 C.
A. I 
x 3
x3
1
2
 C.
 C.
B. I  
D. I  
x3
x3
x2  1
x 1
Câu 32. I   2  dx  ĐS: I  x  ln
 C.
x 1
x 1
2x 1
x 1
A. I  x  ln
C. I  x  ln
 C.
 C.
x 1

x 1
x 1
x 1
B. I  x  ln
D. I  ln
 C.
 C.
x 1
x 1
3x  2
7
a
Câu 33. I   2
 dx  ln 2 x  1 
 C. . Tính b – a ?
4x  4x 1
b
4(2 x  1)
A. 0
B. 1
2

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

I 

22

KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

C. 2

D. 3
2

oc
01

c
x x
 dx  ax  b ln x  2 
 C. Tính a + b – c?
2
( x  2)
x2
A. 0
C. 2
B. 1
D. 3

Câu 34. I  

nT
hi
D
ai
H

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM KỸ THUẬT 2
ĐÁP ÁN

CÂU

ĐÁP ÁN

CÂU

ĐÁP ÁN

25

C

29

A

33

B

26

A

30

D

34

B

27

C

31

C

28

C

32

/T
ai
Li
eu
O

CÂU

w

w

w

.fa

ce

bo

ok

.c
o

m

/g
ro
up
s

B

- KỸ THUẬT 2. TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM
SỐ HỮU TỶ

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

23


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
8 Kỹ thuật đạt điểm tối đa Nguyên hàm - Tích phân 2017 |
: Đạt Nguyễn Tiến

KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1
CÁCH ĐỔI BIẾN
Đặt t  ax  b

x

Đặt t  x n 1

n 1

.x n dx

dx
x

 f  x . 2

Đặt t  x
Đặt t  sin x

 f  sin x  cos xdx
 f  cos x  sin xdx

Đặt t  cos x
Đặt t  tan x

2

dx

 f  cot x  sin
 f  e  .e dx
x

2

x
x

x

dx
x
1 
1

 f  x  x  .  x  x  dx
Các bước để đổi biến:

/g
ro
up
s

 f  ln x 

/T
ai
Li
eu
O

dx

 f  tan x  cos

Bước 1: Đặt v(x) = t

nT
hi
D
ai
H

DẠNG
  ax  b  dx

oc
01

1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶP

Đặt t  cot x
Đặt t  e x

Đặt t  ln x
Đặt t  x 

1
x

.c
o

m

Bước 2: vi phân: d(v(x)) = d(t) (Vi phân như đạo hàm thôi, nhưng đạo hàm theo biến x, nhân thêm dx,
đạo hàm theo biến t thì nhân thêm dt)
Bước 3: Chuyển hết f(x) về f(t).

ok

Ví dụ về vi phân: d ( x 2  2 x  1)  ( x 2  2 x  1) '.dx  (2 x  2)dx

bo

VÍ DỤ : Tìm nguyên hàm các hàm số sau

.fa

ce

1. I   x 2004  1.x 2003 dx

w

w

w

Đặt t  x 2004  1  d (t )  d ( x 2004  1)  dt  2004 x 2003 dx  x 2003 dx 

24

1

dt . Từ đó ta được:
2004

1
1
1
1 2 32
1
1
2
. t C 
I
tdt 
t dt 
t3  C 


2004
2004
2004 3
3006
3006

x

2004

KỸ THUẬT 3. ĐỔI BIẾN DẠNG 1 -

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 1  C
3