Phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân pptx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 27 trang )
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 1
CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN
Bảng công thức tích phân bất ñịnh
:
∫
= Cdx0
∫
+= Cxdx
1
1
1
−≠+
+
=
∫
+
nC
n
x
dxx
n
n
Cxdx
x
+=
∫
ln
1
∫
+= Cedxe
xx
∫
= C
a
a
dxa
x
x
ln
∫
+−= Cxxdx cossin
∫
+= Cxxdx sincos
∫
+= Cxdx
x
tan
cos
1
2
∫
+−= Cxdx
x
cot
sin
1
2
∫
+=
′
Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)(
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
22
∫
+++++=+ Caxx
a
ax
x
dxax
222
ln
2
2
Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số
)(xf liên tục trên ñoạn
[
]
ba;
có nguyên hàm là )(xF .
Giả sử )(xu là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn
[
]
βα
,
và có miền giá trị là
[
]
ba;
thì ta có :
[
]
[
]
CxuxFdxxuxuf
+=
∫
)()()('.)(
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
+
=
1
0
2
1
1x
xdx
I
b)
∫
−
=
1
0
2
1
x
x
e
dxe
I
c)
∫
+
=
e
x
dxx
I
1
3
ln1
Bài làm :
a) ðặt
2
21
2
dt
xdxxdxdtxt =⇒=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
21
10
tx
tx
Vậy :
2ln
2
1
ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
===
+
=
∫ ∫
t
t
dt
x
xdx
I
b) ðặt
dxedtet
xx
=⇒−= 1
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 2
ðổi cận :
−=→=
−=→=
12
11
2
etx
etx
Vậy :
)1ln(ln
1
1
1
1
1
1
0
2
2
2
+===
−
=
−
−
−
−
∫∫
et
t
dt
e
dxe
I
e
e
e
e
x
x
c) ðặt
dx
x
tdtxt
1
ln1 =⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
11
tex
tx
Tích phân lượng giác :
Dạng 1 :
∫
=
β
α
nxdxmxI cos.sin
Cách làm:
biến ñổi tích sang tổng .
Dạng 2
:
∫
=
β
α
dxxxI
nm
.cos.sin
Cách làm :
Nếu
n
m
,
chẵn . ðặt
x
t
tan
=
Nếu
m
chẵn
n
lẻ . ðặt
xt sin
=
(trường hợp còn lại thì ngược lại)
Dạng 3 :
∫
++
=
β
α
cxbxa
dx
I
cos.sin.
Cách làm
:
ðặt :
+
−
=
+
=
⇒=
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
2
tan
t
t
x
t
t
x
x
t
Dạng 4 :
∫
+
+
=
β
α
dx
xdxc
xbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
ðặt :
x
d
x
c
xdxcB
A
x
d
x
c
xbxa
cos
.
sin
.
)sin.cos.(
cos
.
sin
.
cos.sin.
+
−
+=
+
+
Sau ñó dùng ñồng nhất thức .
Dạng 5:
∫
++
++
=
β
α
dx
nxdxc
mxbxa
I .
cos.sin.
cos.sin.
Cách làm :
)122(
3
2
3
2ln1
2
1
2
1
2
3
1
3
−===
+
=
∫∫
tdtt
x
dxx
I
e
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 3
ðặt :
n
x
d
x
c
C
n
x
d
x
c
xdxcB
A
n
x
d
x
c
mxbxa
++
+
++
−
+=
++
+
+
cos
.
sin
.
cos
.
sin
.
)sin.cos.(
cos
.
sin
.
cos.sin.
Sau ñó dùng ñồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
a)
∫
+
=
2
0
4
1
)1(sin
cos
π
x
xdx
I
b)
∫
=
2
0
5
2
cos
π
xdxI
c)
∫
=
4
0
6
3
tan
π
xdxI
Bài làm :
a) ðặt :
xdxdtxt cos1sin
=
⇒
+
=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
10
tx
tx
π
Vậy :
24
7
3
1
)1(sin
cos
2
1
3
2
1
4
2
0
4
1
=−==
+
=
∫∫
tt
dt
x
xdx
I
π
b) ðặt : xdxdtxt cossin
=
⇒
=
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( ) ( )
15
8
3
2
5
211cos
1
0
1
0
3
5
1
0
1
0
24
2
2
2
0
5
2
=
+−=
−+=−==
∫
∫ ∫∫
tt
t
dtttdttxdxI
π
c) ðặt :
dxxdtxt )1(tantan
2
+=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
1
4
00
tx
tx
π
Vậy :
415
13
35
1
1
1
1
tan
4
0
1
0
35
1
0
1
0
2
24
2
6
4
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 4
Tính các tích phân sau
:
a)
∫
+
=
2
0
2222
1
cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I
b)
∫
+
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) ðặt :
xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin.
222222
+−=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu
ba ≠
Vậy :
( )
ba
ab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
=
∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22
22
1
2
2
2
2
π
Nếu
ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
2222
1
=−==
=
+
=
∫
∫∫
π
π
ππ
b) ðặt :
xdxdtxt cossin
=
⇒
=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy :
∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0
2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
23
2cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
ðặt :
ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 5
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0
2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau
:
a)
∫
++
=
2
0
1
5cos3sin4
1
π
dx
xx
I
b)
∫
++
++
=
2
0
2
5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) ðặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+
=
∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
t
I
b)ðặt :
5
cos
3
sin
4
5
cos
3
sin
4
sin3cos4
5
cos
3
sin
4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
+
+
x
x
C
x
x
xx
BA
x
x
xx
Dùng ñồng nhất thức ta ñược:
1,1,1
=
=
=
CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
=
∫∫
π
π
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn ñọc tự làm :
a)
∫
=
2
6
2
3
1
sin
cos
π
π
dx
x
x
I
b)
∫
=
2
0
3
2
sin.cos
π
xdxxI
c)
∫
+
=
2
0
3
2sin
π
x
dx
I
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 6
c)
∫
+
=
2
0
3
3
1cos
sin4
π
dx
x
x
I
d)
∫
++
=
2
0
5
3cos2sin
1
π
dx
xx
I
d)
∫
++
+−
=
2
0
6
3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1
:
( ) ( )
C
ax
n
ax
dx
I
nn
+
−
−
−=
−
=
−
∫
1
1
.
1
1
với
(
)
{
}
(
)
1,0, −×∈ NCna
ta có :
Nếu Ran
∈
=
,1 ta có : Cx
a
x
dx
I +=
−
=
∫
ln
Dạng 2
:
( )
∫
++
+
= dx
cbxax
x
I
n
2
β
α
trong ñó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2
acb
Rcba
βα
* Giai ñoạn 1 :
0
≠
α
,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++
2
,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )
∫∫∫
++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2
α
βαα
α
β
α
* Giai ñoạn 2 :
Tính
( ) ( )
∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22
1
2
.
4
* Giai ñoạn 3 :
Tính
( )
∫
+
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt
φ
tan
=
t
Dạng 3 :
(
)
( )
∫
= dx
xQ
xP
I
n
m
Ta có :
(
)
( )
01
01
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu :
(
)
(
)
QP degdeg ≥
thì ta thực hiện phép chia
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m
+=
−
trong ñó
phân số
(
)
( )
xQ
xR
n
r
có
(
)
(
)
QR degdeg <
Nếu :
(
)
(
)
QP degdeg <
ta có các qui tắc sau :
*Qt 1
:
( )
( )
( )
( ) ( )
n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
−
−
−
1
11
Vdụ 1a :
(
)
( )
( )
∑
∏
=
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b :
(
)
( )
2
2
))()((
cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xP
m
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 7
*Qt 2'
:
(
)
( )
( )
( ) ( )
n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
2
1
2
11
2
11
2
với 0
<
∆
*Qt 3
:
(
)
( )
( )
( )
( )
∑ ∑
= =
++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
n
m
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2
α
α
Vdụ 1 :
(
)
( ) ( )
cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
−
=
++−
22
)(
αα
Vdụ 2 :
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
22
2
11
2
2
cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xP
t
++
+
+
++
+
+
−
=
++−
α
α
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
2
1
23xx
dx
I
b)
( )
∫
++
=
1
0
2
2
2
23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( )
∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
2
1
2
1
1
1
21
23
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( )
( ) ( )
( )( )
dx
xx
xx
dx
xx
dx
I
∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
2
2
2
21
2
2
1
1
1
23
( )
OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a)
∫
++
=
1
0
24
1
33xx
dx
I
b)
( )
( )
∫
++
−
=
1
0
2
2
21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược
∫
+=
+
= C
a
x
a
a
x
dx
I arctan
1
22
0
với 0
>
a
( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
24
1
3
1
1
1
2
1
3133
( )
329
2
3
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
π
x
x
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+= xx
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 8
b) ðặt :
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
12
22
1212
24
2
2
22
++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do ñó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy :
( )
( )
∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
2
2
2
1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[
]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2
=−++−=+++−= xx
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )
∫
−
+
=
3
2
2
1
1
1
dx
xx
x
I
b)
∫
−+
=
5
2
2
2
32xx
dx
I
c) dx
xx
x
I
∫
−
−
=
2
1
3
3
3
4
1
d)
∫
+−
=
2
3
24
3
23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( )
1
1
1
22
−
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x
b)
3
1
3
2
1
2
+
+
−
=
−
+
x
B
x
A
x
x
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x
d)
22
11
23
24
−
+
+
+
+
+
−
=
+−
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận
xét một số ñặc ñiểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ
những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
−=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx
m
n
n
m
Bài làm :
Xét
( )
∫
−=
1
0
1 dxxxI
n
m
ðặt :
dtdxdxdtxt
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
1
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 9
ðổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI
n
m
n
mn
m
(ñpcm)
Chứng minh rằng nếu
)(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn
[
]
aa,−
thì :
( )
∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )
1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét
( )
∫
−
0
a
dxxf
. ðặt dtdxdxdtxt
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy :
( ) ( ) ( )
∫ ∫∫
−=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta ñược :
0
=
I (ñpcm)
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn
[
]
aa,−
thì
( ) ( )
∫ ∫
−
==
a
a
a
dxxfdxxfI
0
2
Cho
0
>
a và
(
)
xf
là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên
R
.
Chứng minh rằng :
(
)
( )
∫ ∫
−
=
+
α
α
α
dxxfdx
a
xf
x
0
1
Bài làm :
Xét
(
)
dx
a
xf
x
∫
−
+
0
1
α
. ðặt dtdxdxdtxt
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
tx
αα
Vậy :
(
)
(
)
(
)
∫ ∫∫
+
=
+
−
=
+
−
−
α α
α
0 0
0
111
t
t
tx
a
tfa
dt
a
tf
dx
a
xf
(
)
(
)
(
)
( )
∫ ∫ ∫
− −
+
+
+
=
+
α
α α
α
0
0
1
111
dx
a
xf
dx
a
xf
dx
a
xf
xxx
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 10
Thế vào (1) ta ñược :
(
)
(
)
(
)
( )
∫∫ ∫ ∫
=
+
+
+
=
+
− −
αα
α α
α
0
0
0
111
dxxfdx
a
xf
dx
a
xfa
dx
a
xf
xx
x
x
(ñpcm)
Cho hàm số
(
)
xf
liên tục trên
[
]
1,0
. Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
=
π π
π
0 0
sin
2
sin. dxxfdxxfx
Bài làm :
Xét
( )
∫
π
0
sin. dxxfx
. ðặt dtdxdxdtxt
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
π
ðổi cận :
=→=
=→=
0
0
tx
tx
π
π
Vậy :
( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫∫
−=−−=
π ππ
πππ
0 00
sin.sin.sin. dttftdttftdxxfx
( ) ( )
∫ ∫
−=
π π
π
0 0
sin.sin dttftdttf
( ) ( )
( )
( )
dxxfdxxfx
dxxfdxxfx
∫∫
∫∫
=⇒
=⇒
ππ
ππ
π
π
00
00
sin
2
sin.
sinsin.2
Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số
(
)
xf
liên tục trên
[
]
ba,
và
(
)
(
)
xfxbaf =−+
. Thì ta luôn có :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
b
a
dxxf
ba
dxxfx
π
0
2
.
Cho hàm số
(
)
xf
liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
.
Chứng minh rằng :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
Bài làm :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫∫∫ ∫
+++
++=+=
Ta
T
T
a
Ta
T
Ta
a
T
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf
0
0
Vậy ta cần chứng minh
( ) ( )
∫ ∫
+
=
a Ta
T
dxxfdxxf
0
Xét
( )
∫
a
dxxf
0
. ðặt
dxdtTxt
=
⇒
+
=
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 11
ðổi cận :
+=→=
=→=
Tatax
Ttx 0
Vậy :
( ) ( )
∫ ∫
+ +
=−
Ta
T
Ta
T
dttfdtTtf
Hay :
( ) ( )
∫ ∫
+
=
Ta
a
T
dxxfdxxf
0
(ñpcm)
Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số
(
)
xf
liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên
R
và có chu kì
T
, thì ta luôn
có :
( ) ( )
∫ ∫
−
=
T
T
T
dxxfdxxf
0
2
2
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )
∫
−=
1
0
6
1
1 dxxxI
b)
(
)
∫
−
++=
1
1
22
2
1lncos.sin dxxxxxI
c)
∫
+
=
π
0
2
3
cos49
sin.
dx
x
xx
I
d)
∫
+
=
π
0
2
4
cos1
sin.
dx
x
xx
I
e)
∫
−
+
=
2
2
2
5
21
sin
π
π
dx
xx
I
x
f)
∫
−
+
+
=
1
1
2
2
6
1
sin
dx
x
xx
I
g)
(
)
∫
++=
∗
π
2
0
2
7
sin1sinln dxxxI
h)
dxxI
∫
−=
∗
π
2009
0
8
2cos1
Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số
u
và
v
có ñạo hàm liên tục trên ñoạn
[
]
ba,
, thì ta có :
[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt
xu ln
=
hay
xu
a
log=
.
*ưu tiên 2 : ðặt
??
=
u
mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau
:
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 12
a)
∫
=
1
0
1
. dxexI
x
b)
∫
=
2
0
2
2
cos.
π
xdxxI
c)
∫
=
e
xdxI
1
3
ln
Bài làm :
a) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xx
evdxedv
dxduxu
Vậy :
( )
11
1
0
1
0
1
0
1
0
1
=−−=−=−==
∫∫
eeeedxeexdxexI
xxxx
b) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
xdxduxu
sincos
2
2
Vậy :
( )
1sin.2
4
sin.2cos
2
0
2
0
2
2
0
1
0
1
∫∫∫
−=−−==
ππ
π
π
xdxxxdxxxxdxexI
x
Ta ñi tính tích phân
∫
2
0
sin.
π
xdxx
ðặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxduxu
cossin
Vậy :
1sincos.coscos.sin.
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
=+−=+−=
∫∫
ππ
π
π
π
xxxdxxxxdxx
Thế vào (1) ta ñược :
4
8
.
2
1
0
1
−
==
∫
π
dxexI
x
c) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dx
x
duxu
1
ln
Vậy :
1ln.ln.ln
01
1
1
1
3
=−=−==
∫∫
ee
e
e
e
xxxdxxxxdxI
Tính các tích phân sau
:
a)
∫
=
π
0
1
sin. xdxeI
x
b)
∫
=
4
0
2
2
cos
π
dx
x
x
I
c)
( )
∫
=
π
e
dxxI
1
3
lncos
Bài làm :
a) ðặt :
−=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
cossin
Vậy :
( )
∫∫
++=+−==
π
π
π
π
0
0
0
1
11cos.cos.sin. JexdxexexdxeI
xxx
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 13
ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvxdxdv
dxedueu
xx
sincos
Vậy :
IxdxexexdxeJ
xxx
−=−==
∫∫
π
π
π
0
0
0
sin.sin.cos.
Thế vào (1) ta ñược :
2
1
12
11
+
=⇒+=
π
π
e
IeI
b) ðặt :
=⇒=
=⇒=
xvdx
x
dv
dxduxu
tan
cos
1
2
Vậy :
( )
2
2
ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
2
2
+=+=−==
∫∫
ππ
π
π
π
π
xxdxxxdx
x
x
I
c) ðặt :
( ) ( )
=⇒=
−=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lnsin
1
lncos
Vậy :
( ) ( ) ( )
( )
JedxxxxdxxI
e
e
e
++−=+==
∫∫
1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3
π
π
π
π
ðặt :
( ) ( )
=⇒=
=⇒=
xvdxdv
dxx
x
duxu lncos
1
lnsin
Vậy :
( ) ( ) ( )
3
1
1
1
3
0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
−=−==
∫∫
π
π
π
Thế vào (1) ta ñược :
( )
2
1
12
33
+
−=⇒+−=
π
π
e
IeI
Bạn ñọc tự làm :
a)
∫
−
=
2ln
0
1
. dxexI
x
b)
( )
∫
−=
e
dxxI
1
2
2
ln1
c)
∫
−=
2
2
3
ln
1
ln
1
e
dx
xx
I
d)
(
)
∫
++=
1
0
2
4
1ln dxxxI
e)
( )
∫
=
3
4
5
tanln.sin
π
π
dxxxI
f)
( )
∫
=
e
dxxI
1
2
6
lncos
g)
∫
=
∗
4
0
2
7
2cos
π
xxI
h)
∫
+
+
=
∗
2
0
7
cos1
sin1
π
dxe
x
x
I
x
Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max :
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 14
Muốn tính
( )
∫
=
b
a
dxxfI
ta ñi xét dấu
(
)
xf
trên ñoạn
[
]
ba,
, khử trị tuyệt ñối
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,max
ta ñi xét dấu
(
)
(
)
xgxf −
trên ñoạn
[
]
ba,
Muốn tính
( ) ( )
[ ]
∫
=
b
a
dxxgxfI ,min
ta ñi xét dấu
(
)
(
)
xgxf −
trên ñoạn
[
]
ba,
Tính các tích phân sau :
a)
∫
−=
4
1
1
2 dxxI
b)
∫
−+=
2
0
2
1
32 dxxxI
Bài làm :
x 1 2 4
a)
x-2 - 0 +
Vậy :
( ) ( )
4
2
2
2
1
2
4
2
2
1
4
1
1
2
22
2222
−+
−=++−=−=
∫∫∫
x
xx
xdxxdxxdxxI
( ) ( ) ( )
[ ]
2
5
4288
2
1
224 =−−−+
−−−=
b) Lập bảng xét dấu
[
]
2,0,32
2
∈−+ xxx
tương tự ta ñược
( ) ( )
∫∫∫
−++−+−=−+=
2
1
2
1
0
2
2
0
2
1
323232 dxxxdxxxdxxxI
.
Tính
∫
−=
1
0
dxaxxI
a
với
a
là tham số :
Bài làm :
x
∞
−
a
∞
+
x-a - 0 +
(Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ).
Nếu
0
≤
a
.
4
3
3
3
3
2
1
3
2
1
0
3
2
1
=
++−+
−−=
x
xx
x
xxI
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 15
( )
∫∫
−=
−=−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Nếu
10
<
<
a
.
( ) ( )
∫ ∫∫
−+−−=−=
a
a
a
dxaxxdxaxxdxaxxI
0
1
22
1
0
223
1
3232
32
1
32
0
32
aaxaxxax
a
a
+−=
+−+
−=
Nếu
1
≥
a
.
( )
∫∫
+−=
−−=−−=−=
1
0
1
0
23
2
1
0
23
1
23
aaxx
dxaxxdxaxxI
a
Tính : a)
( )
∫
=
2
0
2
1
,1min dxxI
( )
∫
=
3
0
2
2
,max dxxxI
Bài làm :
a) Xét hiệu số :
(
)
[
]
2,01
2
∈∀− xx
Vậy :
( )
3
4
3
,1min
2
1
2
0
3
2
1
1
0
2
2
0
2
1
=+=+==
∫∫∫
x
x
dxdxxdxxI
b) Xét hiệu số :
(
)
[
]
3,01 ∈∀− xxx
tương tự như trên ta có .
( )
6
55
32
,max
3
1
3
1
0
2
3
1
2
1
0
3
0
2
2
=+=+==
∫∫∫
xx
dxxxdxdxxxI
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )
∫
−
−=
3
2
2
1
3,min dxxxI
b)
( )
∫
=
2
0
2
cos,sinmax
π
dxxxI
c)
∫
−=
4
3
0
3
cossin
π
dxxxI
d)
( )
∫
−
−=
3
2
2
4
34,max dxxxI
d)
∫
−−+−+=
∗
5
1
4
1212 dxxxxxI
Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:
(
)
∫
++ dxcbxaxxR
2
,
ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ.
∆−
+
+
∆−
=++→
<∆
>
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
+=++
2
22
1,,
Tới ñây , ñặt
u
t
tan
=
.
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 16
Dạng 2:
∆−
+
−
∆−
=++→
<∆
<
2
2
2
1
4
0
0
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆−
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới ñây , ñặt
ut sin
=
.
Dạng 3:
−
∆−
+∆
=++→
>∆
>
1
2
4
0
0
2
2
bax
a
cbxax
a
(
)
(
)
dtttSdxcbxaxxR
bax
t
∫∫
∆
+
=
−=++
2
22
1,,
Tới ñây, ñặt
u
t
sin
1
=
.
Dạng 4 (dạng ñặc biệt) :
( )
∫∫
+
=
++
=
+++
βα
ζµαβα
x
t
tt
dt
cbxaxx
dx
1
22
Một số cách ñặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
ñặt
π
≤
≤
=
ttax 0cos.
(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
ñặt
2
2
tan.
π
π
<<−= ttax
(
)
dxaxxS
∫
−
22
,
ñặt
π
π
kt
t
a
x +≠=
2
cos
(
)
dxcbxaxxS
∫
++
2
,
ñặt
( )
>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫
+
+
m
dcx
bax
xS ,
ñặt
0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t
m
Tính :
( )
∫
++
=
3
2
74xx
dx
I
Bài làm :
( ) ( )
∫∫
+=
+
=
++
2
3
2
3
2
374
xt
t
dt
xx
dx
ðặt :
(
)
duudtut 1tan3tan3
2
+=⇒=
Ta có
(
)
( )
∫∫
=
+
+
=
uu
udu
u
duu
I
tan3tan3
3
2
2
cos
3
1
1tan.33
1tan3
C
xx
x
C
t
t
Cu +
++
+
=+
+
=+=
74
2
3
1
1
3
1
sin
3
1
22
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 17
Tính : a)
∫
++
=
1
2
xx
xdx
I
b)
∫
−−
=
12
2
xxx
dx
I
Bài làm :
a)
∫∫∫
+
=
+
−
=
+
+
=
++
3
12
222
1
13
2
1
4
3
2
1
1
x
t
dt
t
t
x
xdx
xx
xdx
(
)
Cxxxxx
Ctttdt
t
t
I
x
t
+
+++++−++=
+++−+=
+
−
=
∫
+
=
1
2
1
ln
2
1
1
1ln
2
1
1
2
3
1
13
2
1
22
22
3
12
2
b)ðặt :
2
1
t
dt
dx
t
x −=⇒=
( )
C
t
t
dt
xxx
dx
I
t
x
+
+
−=
+−
−=
−−
=
∫∫
=
2
1
arcsin
12
12
1
22
C
x
C
x
+
+
−=+
+
−=
2
1
arcsin
2
1
1
arcsin
Tìm các nguyên hàm sau
a)
∫
+++
=
3
11 xx
dx
I
b)
∫
+++
=
11 xx
dx
I
Bài làm :
a)ðặt :
dxdttxtxt =⇒+=⇒+=
56
6
611
Vậy :
∫∫∫
+=+=
+
−+−=
+
=
+++
=
66
1
2
1
23
5
3
1
1
166
11
xtxt
dt
t
tt
tt
dtt
xx
dx
I
Cxxxx
Ctttt
+++−+++−+=
++−+−=
11ln6161312
1ln6632
663
23
b)
∫ ∫∫∫
+
−
+=
+−+
=
+++
=
−
dx
x
x
dxxdx
x
xx
xx
dx
I
1
2
1
1
2
1
2
11
11
2
1
( )
1
1
2
1
2
1
dx
x
x
xx
∫
+
−+=
Xét
dx
x
x
∫
+1
ðặt :
( )
dt
t
t
dx
t
x
x
x
t
2
2
2
1
2
1
11
−
−=⇒
−
=⇒
+
=
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 18
Vậy :
( )
OK
t
dtt
dx
x
x
x
x
t
=
−
−=
+
∫∫
+
=
1
2
2
1
2
1
Tìm các nguyên hàm sau :
a)
∫
+= dxxxI 9.
22
b)
∫
+= dxxxI 4.16
22
Bài làm :
a)ðặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
9
2
9
9
+
=⇒
−
=⇒−=+
Vậy :
(
)
(
)
( )
( )
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
tt
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+
+−
−+−−
+−
−=
+
−−−=
+−−=
−
−=
−
−−
+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
22
2
2
1
94
6561
9ln162
4
9
16
1
4
6561
ln162
416
16561162
16
1
81
16
1
4
9
.
2
9
.
2
9
b)ðặt :
dt
t
t
dx
t
t
xtxx
2
22
2
2
4
2
4
4
+
=⇒
−
=⇒−=+
(
)
(
)
( )
( )
C
xx
xx
xx
C
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
I
+
+−
−+−+
+−
−=
+
−−−=
+−−=
−
−=
−
−−
+
=
∫
∫∫
4
2
2
4
2
4
4
5
3
5
2
4
2
2
2
2
2
2
4
64
4ln36
4
4
64
ln36
4
25636
16
4
4
.
2
4
.
2
4
16
Tính các tích phân sau
:
a)
∫
−=
1
2
1
2
1
dxxxI
b)
∫
−
−
−
=
8
3
2
1
dx
xx
dx
I
Bài làm :
( )
∫∫
−−=−=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
121
2
1
dxxdxxxI
| - Thư viện sách trực tuyến
Trang 19
ðặt :
tdtdxtx cos
2
1
sin12 =⇒=−
ðổi cận :
=→=
=→=
2
1
0
2
1
π
tx
tx
Vậy :
( )
2
0
2
0
2
0
2
1
2sin
2
1
1
8
1
2cos1
8
1
cos
4
1
π
ππ
+=+==
∫∫
tdtttdtI
b) ðặt :
dxtdtxt =−⇒−= 21
ðổi cận :
=→−=
=→−=
38
23
tx
tx
Vậy :
( )
∫∫∫
−
=
−
=
−
=
−
−
3
2
2
3
2
2
8
3
2
1
2
1
2
1
t
dt
tt
tdt
dx
xx
dx
I
Bạn ñọc tự làm :
a)
∫
+
=
1
2
1
xx
dx
I
b) dxxxI
∫
−=
2
2
4 c)
( )
∫
+
=
3
2
3
4x
dx
I
d)
∫
+= dxxI
2
4
1 d)
∫
−−
−+
=
∗
dx
x
x
I
11
11
2
2
5
d) dx
x
I
11
1
2
6
++
=
∗
Bất ñẳng thức tích phân :
Nếu
( )
[ ]
( )
0,0 ≥⇒∈∀≥
∫
dxxfbaxxf
b
a
Nếu
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
dxxgdxxfbaxxgxf
b
a
b
a
∫∫
≥⇒∈∀≥ ,
Nếu
( )
[ ]
( ) ( ) ( )
abMdxxfabmbaxxfm
b
a
−≤≤−⇒∈∀≤≤
∫
,
Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM
Và các bước chặn sinx,cosx
BÀI TẬP
( )
16
000
28
1
ππ
=
+−
−=
2ln1ln
2
1
ln
1
1
ln
3
2
=
−−=
+
−
−=
t
t
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 20
Chứng minh các bất ñẳng thức sau :
a)
( )
∫
≤−
1
0
4
1
1 dxxx
b)
2
1
15
2
2
1
2
≤
+
≤
∫
dx
x
x
c)
( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx
Bài làm:
a)Áp dụng AM-GM ta có :
( )
(
)
[ ]
1,0
4
1
2
1
1
2
∈∀=
−+
≤− x
xx
xx
Vậy :
( )
4
1
4
1
1
1
0
1
0
=≤−
∫ ∫
dxdxxx
(ñpcm)
b) Xét hàm số :
( )
[ ]
2,1
1
2
∈∀
+
= x
x
x
xf
ðạo hàm :
( )
( )
( )
−=
=
⇔=
′
+
−
=
′
1
1
0
1
1
2
2
2
x
x
xf
x
x
xf
Ta có :
( )
( )
=
=
5
2
2
2
1
1
f
f
Vậy :
[ ]
2
1
15
2
2
1
15
2
2,1
2
1
15
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
≤
+
≤⇒
≤
+
≤⇒
∈∀≤
+
≤
∫
∫∫∫
dx
x
x
dxdx
x
x
dx
x
x
x
Áp dụng Bunhicopxki ta có :
[
]
1,02111111
22
∈∀=−+++≤−++ xxxxx
Vậy :
( )
( )
01211
1
0
−≤−++
∫
dxxx
( )
∫
≤−++
1
0
211 dxxx
(ñpcm)
Chứng minh rằng :
e
dx
x
xe
x
121
sin.
3
1
2
π
<
+
∫
−
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 21
Bài làm :
[
]
e
exx
x
1
13,1 ≤⇒−≤−⇒∈∀
−
( )
∫∫
+
<
+
⇒
−
3
1
2
3
1
2
1
1
1
sin.
dx
xe
dx
x
xe
x
Xét
( )
∫
+
3
1
2
1
1
dx
xe
ðặt :
(
)
dttdxtx 1tantan
2
+=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
3
3
4
1
π
π
tx
tx
Do ñó :
( )
( )
12
1tan
1tan
3
4
3
4
2
2
π
π
π
π
π
==
+
+
∫∫
e
dt
te
dtt
Từ ñó ta ñược ñpcm.
Bạn ñọc tự làm :
Chứng minh rằng :
a)
10cos3516
2
0
2
ππ
π
≤
+
≤
∫
x
dx
b)
2
1sin
4
3
3
6
<<
∫
π
π
dx
x
x
c)
8
2
4
6
3
6
32
ππ
π
π
≤
−−
≤
∫
xx
dx
d
*
) Cho 2 hàm số liên tục :
[
]
[
]
[
]
[
]
1,01,0:;1,01,0: →→
gf
Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫∫
≤
1
0
1
0
2
1
0
dxxgdxxfdxxgxf
Một số ứng dụng của tích phân thường gặp :
1)Tính diện tích :
Cho hai hàm số
(
)
(
)
xfxf
&
liên tục trên ñoạn
[
]
ba
,
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các ñường là :
( ) ( )
=
=
=
=
xgy
bx
xfy
ax
;
ðược tính như sau :
( ) ( )
∫
−=
b
a
dxxgxfS
2)Tính thể tích :
( )
1
1
1
sin.
22
+
<
+
⇒
−
xex
xe
x
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 22
Nếu diện tích
(
)
xS
của mặt cắt vật thể do mặt phẳng vuông góc với trục tọa ñộ , là
hàm số liên tục trên ñoạn
[
]
ba,
thì thể tích vật thể ñược tính :
( )
dxxfV
b
a
∫
=
Nếu hàm số
(
)
xf
liên tục trên
[
]
ba,
và (H) là hình phẳng giới hạn bởi các ñường:
( )
=
==
Ox
xfy
bxax ,
Khi (H) quay quanh Ox ta ñược 1 vật thể tròn xoay . Lúc ñó thể tích ñược tính :
( )
[ ]
dxxfV
b
a
∫
=
2
π
Tương tự ta cũng có thể tính thể tích vật thể quay quanh oy
3)Tính giới hạn :
( ) ( )
dxxfxf
b
a
n
i
ii
n
∫
∑
=∆
=
∞→
1
.lim
ξ
trong ñó
−=∆
≤≤
−
−
1
1
iix
ii
xx
xx
ξ
Từ ñó ta xây dựng bài toán giới hạn như sau :
Viết dãy số thành dạng :
∑
=
=
n
i
n
n
i
f
n
S
1
1
sau ñó lập phân hoạch ñều trên
[
]
1,0
, chọn
n
i
x
ii
==
ξ
ta có
( )
∫
∑
=
=
∞→
1
0
1
1
lim dxxf
n
i
f
n
n
i
n
4)Tính ñộ dài cung ñường cong trơn:
Nếu ñường cong trơn cho bởi phương trinh
(
)
xfy =
thì ñộ dài ñường cung nó ñược tính
như sau :
( )
dxyl
b
a
∫
′
+=
2
1
với ba, là hoành ñộ các ñiểm ñầu cung .
4)Tính tổng trong khai triển nhị thức Newton.
Tìm công thức tổng quát , chọn số liệu thích hợp,sau ñó dùng ñồng nhất thức, bước cuối
cùng là tính tích phân .
Hình1a hình1b
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 23
hình1c hình1d
BÀI TẬP
Tính diện tích hình tròn , tâm O , bán kính R.
Bài làm : (hình 1a)
Phương trình ñường tròn có dạng :
22222
xRyRyx −±=⇔=+
Do tính ñối xứng của ñồ thị nên :
dxxRS
R
∫
−=
0
22
4
ðặt : tdtRdxtRx cossin
=
⇒
=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
=→=
=→=
2
00
π
tRx
tx
Vậy :
( )
( )
dvdtRtxR
dttRtdtRtRS
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2sin
2
1
2
2cos12cossin4
π
π
ππ
=
+=
+=−=
∫∫
Xét hình chắn phía dưới bởi Parabol
2
xy = , phía trên bởi ñường thẳng ñi qua ñiểm
A(1,4) và hệ số góc là k . Xác ñịnh k ñể hình phẳng trên có diện tích nhỏ nhất .
Bài làm (hình 1b)
Phương trình ñường thẳng có dạng.
(
)
41 +−= xky
Phương trình hoành ñộ giao ñiểm .
(
)
0441
22
=−+−⇔+−= kkxxxkx
Phương trình trên luôn có hai nghiệm , giả sử
21
xx <
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 24
Vậy diện tích là :
( )
[ ]
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
*4
2
1
3
1
4
23
41
12
2
121
2
212
2
3
2
2
1
2
1
−+++++−−=
−++−=−+−=
∫
kxxkxxxxxx
xkx
kx
dxxxkS
x
x
x
x
Với :
( )
( )
( )
−−=−+=−
−=
=+
44.4
4.
2
12
2
1
2
2
2
2
12
12
12
kkxxxxxx
kxx
kxx
Thế vào
(
)
*
ta ñược :
( )
( )
( )
164164
6
1
4
2
1
44
3
1
164
22
222
+−+−=
−+++−−+−=
kkkk
kkkkkkS
(
)
( )
[
]
34122
6
1
164
6
1
3
2
3
2
≥+−=+−= kkk
Vậy :
34min =S khi 2
=
k
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
=
=
2
2
xay
yax
Bài làm : (hình 1c)
Do tính chất ñối xứng của ñồ thị mà ta chỉ cần xét
0
>
a
Xét :
(
)
(
)
>
=
=++−
⇔
>
=
=
0
0
0
22
2
a
xay
ayxyx
a
xay
yax
Với
y
x
=
ta ñược :
( )
( )
=
=
⇔
>
=
=
lx
nax
a
xay
yx
0
0
2
Với
0
=
+
+
ayx ta ñược :
( )
( )
=
=
⇔
>
=
=++
⇔
>
=
=++
lx
nax
a
xay
aaxx
a
xay
ayx
0
0
0
0
0
2
22
2
Ta lại có :
| - Thư viện sách trực tuyến Trang 25
>
=
±=
⇔
>
=
=
0
0
2
2
2
a
a
x
y
axy
a
xay
yax
Vậy diện tích cần tính là :
( )
dvtta
a
x
xa
dx
a
x
xadx
a
x
axS
a
aa
2
0
3
2
3
0
2
2
1
0
2
3
1
32
3
=
−=
−=
−=
∫∫
Bạn ñọc tự làm :
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñường :
a)
=
=−+
=+−
2
01
01
3
x
yx
yx
b)
=
=
=
4
4
2
y
xy
xy
c) 0
0
2
=
=−+
=
y
yx
yx
d)
≠
=+
0,
1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
Hình vẽ tương ứng ↓↓↓
hình a hình b
hình c hình d
