Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán hình học

BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải
bài tốn hình học ”
MỤC LỤC:
A. Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài………………………………………………………4
2. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………..5
3. Đối tượng nghiên cứu………………………………………………….6
4. Phạm vi nghiên cứu……………………………………………………6
5. Phương pháo nghiên cứu………………………………………………6
B. Phần nội dung.
I.

Cơ sở lý luận và thực trạng của vẫn đề…………………………….….6

II.

Phương pháp thực nghiệm…………………………………………….8

III. Nội dung cụ thể……………………………………………………….12
C. Phần kết luận và kiến nghị………………….…27
D. Khả năng áp dụng của sáng kiến……………...28
E. Tài liệu tham khảo……………………………..30

1


BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN:
Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải

bài tốn hình học ”
1. Lời giới thiệu:
Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để
giải bài tốn hình học ”. Là sáng kiến được viết để hướng dẫn học sinh có kỹ
năng vẽ hình, vẽ hình phụ trong việc giải bài tốn hình học.
Nâng cao chất lượng dạy và học là nhiệm vụ lớn nhất trong q trình giáo
dục. Với bộ mơn Tốn nói riêng, việc nâng cao chất lượng dạy và học là một
nhiệm vụ hết sức nặng nề. Vì đây là một mơn học cơ bản, có nhiều ứng dụng
trong cuộc sống, và là nền tảng cho các môn khoa học khác. Mơn Tốn u cầu
cần phải rèn luyện cho học sinh có kĩ năng tư duy logic, nhanh nhẹn, sáng tạo và
đảm bảo tính chính xác cao.
Trong giai đoạn hiện nay, để nâng cao được chất lượng giáo dục đại trà và
chất lượng bồi dưỡng học sinh mũi nhọn đòi hỏi công tác giáo dục luôn phải đổi
mới về phương pháp giáo dục, đổi mới về kiểm tra đánh giá, đổi mới cả việc
giao bài và kiểm tra việc làm bài tập về nhà của học sinh ...Việc nâng cao chất
lượng dạy và học phải được thực hiện thường xuyên, liên tục trong từng tiết học,
từng giờ lên lớp.
Đối với mơn hình học, đây là một mơn học u cầu học sinh phải có trí
tưởng tượng phong phú, tư duy suy luận logic, sự sáng tạo cao. Đối với đa số
học sinh, bộ mơn hình học thường là bộ mơn mà học sinh cảm thấy khó học và
học yếu nhất. Vì vậy, muốn nâng cao chất lượng học hình học thì giáo viên cần
phải có sự đầu tư về phương pháp, tìm phương pháp hợp lý để dẫn dắt học sinh
tìm hiểu kiến thức bộ mơn, giải các dạng bài tập, các ứng dụng thực tế của hình
học trong thực tế.
Trong thực tế giảng dạy, tơi thấy có nhiều bài tốn hình khó mà để giải
được nó thì học sinh phải biết cách vẽ thêm các đường phụ từ đó mới giải quyết
được bài toán. Phương pháp giải toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ là phương
pháp không tự nhiên, muốn thực hiện được thì học sinh cần phải có những kĩ
năng giải bài tốn hình học tốt, có óc tư duy sáng tạo tốt mà điều đó không phải
học sinh nào cũng có được, nó chỉ có được khi được rèn luyện từ rất sớm.

2


Từ những lý do trên tôi lựa chọn chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh vẽ
thêm yếu tố phụ để giải bài tốn hình học ”.
2. Tên sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài tốn
hình học ”.
3.Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên:
- Địa chỉ:
- Điện thoại:
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến.
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:
- Lĩnh vực giáo dục
6. Ngày sáng kiến được áp dụng : Sáng kiến được áp dụng từ 1/9/2022.
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
8. Những thơng tin cần bảo mật : Khơng có.
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Điều kiện dạy học bình
thường.
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến:
10.1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến tác giả: Sáng kiến khi áp dụng, triển khai tại trường đã giúp
cho giáo viên trong trường nhất là bộ mơn tốn tiến hành cơng việc dạy hình học
được dễ dàng hơn. Chất lượng bộ môn được nâng lên rõ rệt…
10.2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng
kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Sáng kiến khi áp dụng, triển khai tại trường đã giúp cho giáo viên trong
trường nhất là bộ mơn tốn tiến hành cơng việc dạy hình học được dễ dàng hơn.
Chất lượng bộ môn được nâng lên rõ rệt…

11. Danh sách những cá nhân đã tham gia áp dụng thử sáng kiến:
Số TT

Họ và tên

Địa chỉ

Lĩnh vực áp dụng
3


1
2

A . PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Xuât phát từ mục tiêu giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra
con người có trí tuệ phát triển,giầu tính sáng tạo và có tinh thần nhân văn cao.
Để tạo ra lớp người như vậy từ nghị quyết TW 4 khoá 7 năm 1993 đã xác định
“phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng
lực tư duy sáng tạo ,năng lực giải quyết vấn đề”. Nghị quyết TW 2 khoá 8 tiếp
tục khẳng định “phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một
chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp
dụng phương tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời
gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh”
Nâng cao chất lượng dạy và học là nhiệm vụ lớn nhất trong quá trình giáo
dục. Với bộ mơn Tốn nói riêng, việc nâng cao chất lượng dạy và học là một
nhiệm vụ hết sức nặng nề. Vì đây là một mơn học cơ bản, có nhiều ứng dụng
trong cuộc sống, và là nền tảng cho các mơn khoa học khác. Mơn Tốn u cầu
cần phải rèn luyện cho học sinh có kĩ năng tư duy logic, nhanh nhẹn, sáng tạo và

đảm bảo tính chính xác cao.
Trong giai đoạn hiện nay, để nâng cao được chất lượng giáo dục đại trà và
chất lượng bồi dưỡng học sinh mũi nhọn địi hỏi cơng tác giáo dục ln phải đổi
mới về phương pháp giáo dục, đổi mới về kiểm tra đánh giá, đổi mới cả việc
giao bài và kiểm tra việc làm bài tập về nhà của học sinh ...Việc nâng cao chất
lượng dạy và học phải được thực hiện thường xuyên, liên tục trong từng tiết học,
từng giờ lên lớp.
Đối với mơn hình học, đây là một mơn học u cầu học sinh phải có trí
tưởng tượng phóng phú, tư duy suy luận logic, sự sáng tạo cao. Đối với đa số
học sinh, bộ mơn hình học thường là bộ mơn mà học sinh cảm thấy khó học và
học yếu nhất. Vì vậy, muốn nâng cao chất lượng học Hình học thì giáo viên cần
phải có sự đầu tư về phương pháp, tìm phương pháp hợp lý để dẫn dắt học sinh

4


tìm hiểu kiến thức bộ mơn, giải các dạng bài tập, các ứng dụng thực tế của hình
học trong thực tế.
Trong thực tế giảng dạy, tơi thấy có nhiều bài tốn hình khó mà để giải
được nó thì học sinh phải biết cách vẽ thêm các đường phụ từ đó mới giải quyết
được bài toán. Phương pháp giải toán bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ là phương
pháp không tự nhiên, muốn thực hiện được thì học sinh cần phải có những kĩ
năng giải bài tốn hình học tốt, có óc tư duy sáng tạo tốt mà điều đó không phải
học sinh nào cũng có được, nó chỉ có được khi được rèn luyện từ rất sớm.
Từ những lý do trên tôi lựa chọn chuyên đề: “Vẽ thêm yếu tố phụ trong
một số bài tốn hình học ”.
2. Mục đích nghiên cứu:
Đưa ra một số cách vẽ thêm yếu tố phụ và một số bài tập có kẻ thêm yếu
tố phụ để giúp học sinh hình thành và rèn kĩ năng giải tốn hình học. Từ đó nâng
cao chất lượng dạy và học mơn hình học và giúp học sinh có kỹ năng cơ bản cho

việc học bộ mơn hình học ở các lớp sau này.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh lớp 7, 8 trường THCS.
4. Phạm vi nghiên cứu:
Trong chuyên đề này tôi đưa ra một số cách vẽ thêm yếu tố phụ, giúp học
sinh phân tích một số bài tập và phát hiện ra yếu tố phụ cần vẽ để từ đó giải
được bài tốn và có hướng tư duy cho các bài toán khác ở dạng tương tự.
5. Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, các tài liệu tham khảo mơn
hình học .
Nghiên cứu việc thực hành giải bài tập của học sinh.
Nghiên cứu việc giảng dạy, hướng dẫn giải bài tập của giáo viên.
Nghiên cứu các tình huống dạy học điển hình.
Phương pháp thực nghiệm, tổng kết kinh nghiệm.
Tham dự các lớp tập huấn, các lớp bồi dưỡng chuyên môn.

5


B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
1. Cơ sở lý luận:
Khi tìm phương pháp giải bài tốn hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu
tố phụ làm cho việc giải bài toán trở lên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí
phải vẽ thêm yếu tố phụ mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như
thế nào để có lợi cho việc giải tốn là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm cho thấy rằng khơng có phương pháp chung cho việc vẽ
thên các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong khi giải tốn, bởi vì việc vẽ
thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài
tốn một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tùy tiện.

2. Cơ sở thực tiễn:
Giải bài tốn hình có kẻ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều
các thao tác tư duy. Vì vậy địi hỏi ở học sinh phải rèn luyện về mặt tư duy hình
học. Do đó trong các định lý ở sách giáo khoa, để chứng minh định lý phải sử
dụng việc vẽ đường phụ thì sách giáo khoa (SGK) rất ít đề cập đến, việc làm các
ví dụ về bài tốn ở trên lớp cũng rất hiếm khi có loại tốn dạng này. Tuy nhiên
trong các bài tập thì SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng toán này và nhất là ở các
bài tập nâng cao thì các bài tốn hay và khó lại là những bài toán khi giải cần
phải kẻ thêm đường phụ.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài tốn dạng này cần phải có
rất nhiều thời gian nghiên cứu. Do đó việc đi sâu vào nghiên cứu và tìm tịi các
cách giải bài tốn có vẽ thêm đường phụ đối với học sinh cịn rất ít. Cịn đối với
đa số học sinh việc nắm vững về mục đích, yêu cầu khi vẽ các đường kẻ phụ
cũng như kiến thức về một số loại đường phụ là còn rất hạn chế. Các tài liệu viết
riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh
cịn gặp nhiều khó khăn.
Vì vậy với trình bày của chuyên đề này sẽ là một nội dung tham khảo
cho giáo viên để góp phần tạo nên cơ sở cho giáo viên có thể dạy tốt hơn loại
tốn hình có kẻ thêm đường phụ.
3. Thực trạng nghiên cứu vấn đề:
Khi khảo sát thực tế: Còn nhiều học sinh lúng túng hoặc khơng giải được
các bài tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ.
6


Khi giảng bài cho học sinh giáo viên chưa phân tích kĩ cho học sinh làm
thế nào để vẽ thêm yếu tố phụ cho bài tốn.
Đa số học sinh cịn lười học, chưa có ý thức tự đọc.
Kĩ năng trình bày lời giải một bài tốn hình học của học sinh còn nhiều
hạn chế.

Khi khảo sát đầu năm học 2022-2023 kết quả hai lớp 7A, 8B, của học sinh
trường THCS Thổ Tang về một số bài tốn có kẻ thêm yếu tố phụ, kết quả đạt
được như sau:
Lớp

Tổng số

Yếu

Trung bình

Khá

Giỏi

Tb trở lên

7A

42

15

18

10

2

27

8B

41

18

17

9

2

28

Tổng

82

33

35

19

4

55

Qua bảng số liệu trên ta thấy tỉ lệ học sinh yếu và học sinh trung bình cịn chiếm

tỉ lệ cao, số lượng học học sinh khá giỏi chưa nhiều. Do vậy việc hướng dẫn cho
học sinh về các cách vẽ thêm đường phụ và rèn luyện kĩ năng giải các bài tốn
có vẽ thêm yếu tố phụ là rất quan trọng trong bộ mơn Hình học .
4. Những giải pháp mới của đề tài
Đề tài đã đưa ra được những giải pháp mới như sau:
Hệ thống được các cách vẽ thêm yếu tố phụ trong hình học từ cơ bản đến
nâng cao.
Sắp xếp, mở rộng thêm các bài toán giúp học sinh rèn luyện kĩ năng vẽ
thêm yếu tố phụ và trình bày lời giải bài tốn hình học.
Mỗi một bài tốn đều có những nhận xét, rút kinh nghiệm cho từng bài toán.
Áp dụng được cho cả học sinh đại trà và khá giỏi.
II. PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM
1. Các bài tốn dựng hình cơ bản:

7


Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và
một số bài tốn dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài tốn dựng hình cơ bản
trong hình học có thể áp dụng.
Bài toán 1: Dựng đường thẳng đi qua một điểm ở ngoài đường thẳng a và
song song với đường thẳng a.
Bài toán 2: Dựng đường thẳng đi qua một điểm vng góc với đường thẳng
cho trước.
Bài tốn 3. Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
Cách dựng

a
b

B
c

c

a

Dựng tiab Ax

A

x
C
Dựng đường tròn (A;b). Gọi C là giao điểm của đường tròn (A;b) với tia Ax.

Dựng đường tròn (A;c) và đường tròn (C;a). Gọi B là giao điểm của
chúng.Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì có AB = a; AC = b và BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường trong (A;c) và (C; a) khơng cắt nhau thì khơng
dựng được tam giác ABC.
Bài tốn 4: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng
Gọi
là góc cho trước. Dựng đường trịn (O;r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta
được ∆ OAB
Dựng ∆ O’A’B’ = ∆ OAB(c-c-c) như bài toán 1, ta có Ơ’ = Ơ.
x
A
A’
O

B

y
O’

8
B’


Bài tốn 5: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dựng các đường tròn (B; r) và (C; r) chúng cắt nhau ở D. Tia phân giác của
.
Thật vậy ∆ABD =∆ACD(c-c-c) ⇒ =
x
B
r
A

r
D

1
2

z

r
r

Bài toán 6: Dựng trung điểm của đoạn thẳng AB cho trước.
C
Dựng hai đường tròn (A; AB) và (B; BA) chúng cắt nhau tại C, D. Giao
y điểm
của CD và AB là trung điểm của AB.
Bài toán 7: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng cho trước .
Cách dựng:
Dựng đường tròn (A;r), (B;r) cắt nhau tại hai điểm C, D. (Chú ý r >

)

Đường thẳng CD là đường trung trực của AB.

Trên đây là 7 bài tốn dựng hình cơ bản, khi cần thì sử dụng mà khơng
cần nhắc lại cách dựng.
9


Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào
những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ một cách tùy tiện.
2) Các kiến thức thường găp trong giải toán:
2.1. Chứng minh hai đường thẳng song song
Khi nghiên cứu nội dung hình học , các dạng toán chứng minh hai đường
thẳng song song ta thường sử dụng các kiến thức sau:
Dấu hiệu nhận biến hai đường thẳng song song.
Các định lý:
+ Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì chúng song
song với nhau.
+ Hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ 3 thì chúng song
song với nhau.

+ Tính chất của các hình tứ giác đã học.
Vì vậy muốn chứng minh hai đường thẳng song song ta cần phải tìm cách
để vận dụng dấu hiệu nhận biết hoặc các định lý một cách linh hoạt.

2.2. Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
Nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng
minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng
nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc
hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng
bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải tốn thì khơng phải lúc nào hai tam giác cần
có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới
xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải tốn.
10


Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào để học sinh có thể nhận biết cách vẽ
thêm được các yếu tố phụ để giải tốn hình học .
3) Mức độ và yêu cầu:
Yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức:
Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng, tính chất một
đường thẳng cắt hai đường thẳng song song, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng
song song, tiên đề Ơ-Clit về hai đường thẳng song song, các định lý về hai
đường thẳng song song, từ vuông góc đến song song.
Các định lý về tổng ba góc của tam giác.

Các trường hợp bằng nhau của tam giác, tam giác vuông.
Các kiến thức về tam giác cân, tam giác vuông cân, tam giác đều.
Các kiến thức về tứ giác
Qua thực tế giảng dạy, tôi thấy một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ đơn
giản, thiết thực khi hướng dẫn cho học sinh thực hiện giải tốn có hiệu quả cao.
4) Kĩ năng cơ bản:
Yêu cầu học sinh nắm vững các kĩ năng: Vẽ hình theo diễn đạt bằng lời,
kĩ năng trình bày lời giải bài tốn hình học, kĩ năng nhận dạng tình huống
III. Nội dung cụ thể:
1. Cách 1: Vẽ đoạn thẳng, tia ,đường thẳng:
Ta thường nối hai điểm để tạo thành một đoạn thẳng, kẻ tia đối của một
tia, ... Chẳng hạn:
+ Khi có trung điểm của một cạnh trong tam giác, ta thường kẻ đường
trung tuyến, đường trung bình.
+ Khi cần tạo góc ngồi của tam giác ta thường kẻ tia đối của tia chứa một
cạnh của tam giác.
+ Kẻ đường chéo của tứ giác khi có các đoạn thẳng nối trung điểm các
cạnh của tứ giác .
+ Kẻ đường trung bình của hình thang khi có trung điểm của hai cạnh bên.
+ Kẻ đường vng góc để xuất hiện hình chữ nhật, tam giác vng .
Bài tốn 1: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. Chứng minh rằng:
A

C

B
11
D

AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Tốn 7 tập 1)
( Bài tốn cịn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng
song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh
trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
CHỨNG MINH

B

A

Xét ∆ ABD và ∆ DCA có:
• BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
• AD là cạnh chung
•

=

C

D

( so le trong AC // BD)

⇒ ∆ ABD = ∆ DCA ( g - c - g)
⇒ AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
Nhận xét: Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh
chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cần chứng minh ∆
ABD = ∆ DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau (cạnh chung)

nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được
trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng
tính chất của hai đường thẳng song song.
Để giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, ta có thể cho HS làm thêm bài tập sau đây:
Bài tốn 2: Trên hình vẽ cho biết AB = DB; AC = DC. Chứng minh rằng:

Bằng cách suy luận như bài tốn 1. Ta thấy hình phụ vẽ thêm là đoạn thẳng BC
từ đó HS dễ dàng chứng minh được bài toán.
Bài tập tự luyện:
12


Bài tốn 3: Trên hình vẽ cho biết AB//CD, AB = CD, chứng minh rằng:
AD = CB và AD//CB

Bài toán 4: Trên hình vẽ cho biết: AB//CD và AD//BC. Chứng minh rằng:
AB = CD, AD= BC.

Nhận xét chung:
Qua các bài tốn trên, ta thấy việc vẽ thêm hình phụ cho mỗi bài toán này
tuy đơn giản nhưng để học sinh tiếp thu được và vận dụng tốt thì yếu tố quan
trọng nhất là phân tích bài tốn. Khi phân tích các bài tốn này giáo viên cần
phân tích rõ cho học sinh, ngoài các yếu tố đề bài đã cho sẵn ta cần chú ý tới các
“giả thiết ngầm” trong bài tốn, đó là: Khi cho hai đường thẳng song song thì
“giả thiết ngầm” sẽ là các góc so le trong, các góc đồng vị bằng nhau. Khi cho
hai tam giác có hai cạnh bằng nhau thì “giả thiết ngầm” hoặc là có thêm cạnh
cịn lại bằng nhau hoặc góc xen giữa hai cạnh ấy bằng nhau. Từ đó định hướng
cho học sinh cách vẽ thêm hình phụ.
2. Cách 2. Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vng
góc với một đường thẳng.

Bài 1: Trên hình vẽ cho biết
minh rằng: Ax//By

,

,

. Chứng

13


HƯỚNG DẪN
Muốn chứng minh Ax song song với By ta chứng minh chúng cùng song
song với đường thẳng thứ 3. Từ đó cho ta định hướng vẽ thêm yếu tố phụ là tia
Cz không nằm trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC. Rồi từ đó ta
chứng minh Cz//By
Từ bài toán trên ta khai thác, mở rộng bài toán để phát triển tư duy của
học sinh và rèn luyện kĩ năng cho học sinh, ví dụ như:
Bài tốn 2(bài 63 trang 100 tốn 8): Tìm x trên hình vẽ:

Hướng dẫn giải: kẻ thêm đường phụ.
Cách 1: Làm xuất hiện đoạn thẳng có độ dài bằng x và có thể tính được
+ Kẻ BH vng góc với DC.

14


Cách 2: Làm xuất hiện tam giác vng có một cạnh có độ dài x ,hai cạnh cịn lại
có thể tính được: Kẻ AH//BC.

Bài tốn 3: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A
thành ba góc bằng nhau.
Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác vuông và ∆ ABM là tam giác đều?
HƯỚNG DẪN GIẢI
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng
vng góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy
suy ra AB ⊥ AC và suy ra = 900.
CHỨNG MINH

15


Vẽ MI ⊥ AC ( I ∈ AC)
Xét ∆ MAI và ∆ MAH có:
• Hˆ = ˆI = 900 ( gt)
• AM là cạnh chung)
•

⇒ ∆ MAI = ∆ MAH ( cạnh huyền - góc nhọn)

Aˆ 2 = Aˆ 3 (gt)

⇒ MI = MH ( 2 cạnh tương ứng)

(1)

Xét ∆ ABH và ∆ AMH có:
• Hˆ1 = Hˆ 2 = 90 0 ( gt)
• AH là cạnh chung

•

⇒ ∆ ABHI = ∆ AMH ( g - c - g)

ˆ =A
ˆ
A
1
2 ( gt)

⇒ BH = MH ( 2cạnh tương ứng)
1
2

1
2

(2)

1
2

Mặt khác: H ∈ BM , Từ (1) và (2) ⇒ BH = MH = BM = CM ⇒ MI = CM
1
Xét ∆ vng MIC có: MI = CM nên Cˆ = 300 từ đó suy ra:
2

⇒

=

= 600 .

= 900

=

Vậy ∆ ABC vng tại A.
Vì Cˆ = 300 ⇒ Bˆ = 600 ;
1

Lại có AM = MB = BC (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam
2
giác vuông)
∆ ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.

16


Nhận xét: Trong bài tốn trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như
rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ⊥ AC) thì bài tốn lại
trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trị của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong
giải tốn hình học.
3. Cách 3: Vẽ giao điểm của hai đường thẳng:
Hãy chú ý đến giao điểm của hai đường thẳng nếu hình vẽ tạo ra các tam
giác liên quan đến các quan hệ trong đề bài.
Hãy nghĩ đến vẽ giao điểm của hai đường nếu hình vẽ tạo ra những hình
mới có lợi cho chứng minh.
Bài tốn (Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc).
Cho tam giác ABC vng tại A, tia phân giác của góc B cắt AC ở D.

Đường vng góc với DB tại D cắt BC ở E. Kẻ EH vng góc với AC. Chứng
minh rằng AD = DH.

HƯỚNG DẪN GIẢI: Ta thấy tam giác DHE vuông tại H. Để chứng minh AD =
DH ta sẽ tạo ra một tam giác vuông chứa đoạn thẳng AD và bằng với tam giác
DHE. Từ đó cho ta định hướng vẽ giao điểm của AB và DE.

CHỨNG MINH
Gọi K là giao điểm của AB và DE.
BDK = BDE (g.c.g) suy ra DK = DE.
ADK = HDE (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra AD = HD (đpcm)
17


Nhận xét:
Trong bài tốn trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất
khó giải bài toán. Tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm giao điểm của AB và
DE thì bài tốn lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trị của việc vẽ
thêm yếu tố phụ trong giải tốn hình học.
Ngoài cách vẽ thêm giao điểm của AD và DE ta có thể có cách vẽ thêm
đường phụ khác là: Từ D kẻ DK vng góc với BC.(Cách 2)

Nhận xét chung : Qua bài toán ta thấy, yếu tố tư duy tự nhiên của bài toán khá
phức tạp, yêu cầu của việc vẽ thêm hình phụ lúc này chính là vẽ thêm một hình
phụ sao cho có lợi cho chứng minh và việc vẽ thêm hình phụ phải tận dụng hết
giả thiết của bài toán. Yếu tố “giả thiết ngầm” trong bài tốn này ta cần phân
tích rõ cho học sinh là: Khi cho BD là tia phân giác của góc B, ta có thêm giả
thiết là có hai tam giác vng bằng nhau chứa cạnh BD, từ đó cho ta tư duy về
vẽ thêm đường phụ trong bài toán.

4. Cách 4: Vẽ trung điểm của đoạn thẳng, vẽ đoạn thẳng bằng đoạn thẳng
cho trước.
Trong một tam giác, khi đã có trung điểm của một cạnh, ta thường vẽ
trung điểm của một cạnh khác.
Vẽ một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng cho trước nhằm tạo ra:
+ Một tam giác mới bằng một tam giác trong bài toán.
+ Một tam giác cân để thuận lợi cho việc chứng minh.
+ Tổng (hiệu) của hai đoạn thẳng.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông tại A; M là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh AM =
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
18


Từ AM =

2AM = BC.

Tìm cách tạo ra đoạn thẳng 2AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn
thẳng đó. Như vậy yếu tố phụ cần vẽ là điểm D trên tia đối của tia MA sao cho
MD = MA
CHỨNG MINH
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
+Với học sinh lớp 7 ta chưng minh như sau:
Xét MAC và MDB có:
MA = MD;

=

(đối đỉnh)

MC = MB (giả thiết)
Do đó: MAC = MDB (c-g-c)
Suy ra: AC = DB và
=

=

mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AC//DB.

Ta có AC//DB, AC AB
Xét ABC và

BD

=900

AB

BAD có:AC = BD;

=

=900

AB là cạnh chung
ABC =
Mà: AM =

BAD (c-g-c) nên BC = AD
do đó AM =

(đpcm)

+ Với học sinh lớp 8: GV có thể hướng dẫn hs chứng minh tứ giác ABDC là
hình chữ nhật và suy ra điều phải chứng minh.
Bài tốn 2. (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC ở D.
Chứng minh DC > DB.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Khi so sánh hai đoạn thẳng, ta thường sử dụng mối quan hệ giữa góc và
cạnh đối diện. Sử dụng phương pháp loại trừ trong bài tốn ta có thể thấy ngay
khơng thể có đoạn thẳng trung gian có sẵn trong hình vẽ giúp ta giải quyết bài
tốn. Từ đó cho ta định hướng tạo ra một tam giác chứa DC mà có một cạnh
bằng với cạnh BD. Bằng cách lấy điểm E nằm trên AC sao cho AE = AB.
19


CHỨNG MINH
Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB.
ADB = ADE (g-c-g) Nên DE = BD (1) và
Suy ra

=

.

=

Ta lại có:

>

(

Tam giác DEC có

là góc ngồi tam giác ABC) nên:
>

>

nên DC > DE (2)

Từ (1) và (2) suy ra DC > DB (Đpcm)
Nhận xét:
Cách vẽ đường phụ trong bài toán này nhằm tạo ra đoạn thẳng thứ ba bằng một
trong hai đoạn thẳng cần so sánh, đây là cách rất hay dụng trong nhiều bài toán
nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng. Cách giải này cũng được
áp dụng để giải một số bài tốn rất hay trong chương trình THCS.
Bài tốn 3: (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của của AC. So sánh góc
ABM và góc MBC.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Trong một tam giác thì góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn. Vì vậy
để so sánh
và
ta đưa về so sánh hai góc trong một tam giác. từ đó
cho ta định hướng vẽ thêm hình phụ là đoạn thẳng ME trên tia đối của tia MB

sao cho ME = MB và chứng minh được
=

20


CHỨNG MINH
Trên tia đối của tia MB lấy diểm E sao cho ME = MB.
AMB = CME (c-g-c) suy ra AB = CE và

= (1)

Do BC > AB nên BC > CE.
Tam giác BCE có BC > CE nên
Từ (1) và (2) suy ra

>

>

(2)
hay

>

Bài tập tự luyện:
Bài toán 1: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến Am chia góc A
thành ba góc bằng nhau.
Bài tốn 2: Cho tam giác ABC ( AB < AC). Từ trung điểm M của BC kẻ đường
vng góc với tia phân giác của góc A cắt tia này tại H, cắt tia AB tại D và AC

tại E.Chứng minh rằng: BD = CE.
Bài toán 3: Cho điểm B và C nằm trên đường thẳng AD sao cho AB = CD. M là
điểm nằm ngoài AD. Chứng minh MA + MD > MB + MC.
5. Cách 5: Vẽ tia phân giác của góc, vẽ góc bằng góc cho trước.
Ta thường vẽ tia phân giác của một góc nếu góc đó gấp đơi góc khác trong
bài tốn. Vẽ một góc bằng một góc cho trước thường tạo ra một tam giác cân,
hai tam giác bằng nhau .
Bài tốn 1. Cho tam giác ABC có

=

. Chứng minh rằng AB = AC.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Để chứng minh AB = AC ta tạo ra hai tam giác chứa hai cạnh AB và AC bằng
nhau, bằng cách vẽ AM là tia phân giác của góc A.
21


CHỨNG MINH
Kẻ AM là tia phân giác của góc A (M thuộc BC). Ta có:
=

(1)

= 1800 – (

+

)

(2)

= 1800 – (

+

)

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

=

Xét AMB và AMC có:
=
AM là cạnh chung.
=

(chứng minh trên)

Suy ra AMB = AMC (g-c-g)
Suy ra AB = AC
Bài toán 2. Chứng minh định lý: Nếu một tam giác vng có một góc bằng 300
thì cạnh đối diện với góc 300 bằng nửa cạnh huyền.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Trước hết ta cho học sinh phát biểu lại định lý dưới dạng một bài toán:
Cho tam giác ABC vng tại A có góc ACB bằng 300.
Chứng minh rằng: AB =

Dễ thấy
= 600. Cho ta nghĩ đến tam giác đều. Từ đó cho ta hướng tư duy là
vẽ điểm M trên cạnh BC sao cho BMA =60o

22


Bài tập tự luyện:
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, góc A bằng 600. Phân giác BD và CE cắt nhau
tại O. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DOE cân.
b) BE + CD = BC
Bài toán 4: Cho 2 điểm A, B trên cùng nửa mặt phẳng bờ xy. Hãy xác định một
điểm O thuộc xy sao cho hai góc Aox và Boy bằng nhau.
Bài toán 5: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D,
trên tia đối của tia BA lấy điểm, E sao cho: ED = EB. Chứng minh ED // AC.
Bài tốn 6: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên hai cạnh AB và AC lấy lần
lượt các điểm D và E sao cho AD = AE. Nối D với E. Gọi M và N là trung điểm
của các đoạn thẳng DE và BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng.
6. Cách 6: Phương pháp tam giác đều.
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được
vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải
toán được thuận lợi.
Đặc biệt, đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học
sinh chú ý đến những tam giác có số đo xác định như:
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vng cân.
- Tam giác vng có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vng bằng nửa cạnh
huyền.

Bài tốn 1: Cho tam giác ABC cân tại A, = 200 . Trên cạnh AB lấy điểm D
1
sao cho AD = BC. Chứng minh rằng
= Aˆ .
2

23


HƯỚNG DẪN GIẢI
Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800.
Ta thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều ⇒ Vẽ tam giác đều
BMC

CHỨNG MINH
Ta có: ∆ABC; AB = AC;

= 200 ( gt)

1800 − 200
ˆ
ˆ
B
=
C
=
= 800
Suy ra:
2

Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC),
ta được: AD = BC = CM.
∆ MAB = ∆ MAC ( c - c - c) ⇒

= 200 : 2 = 100

=

= 800 - 600 = 200

=

Xét ∆CAD và ∆ACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
( = 200)

=

AC là cạnh chung
⇒ ∆CAD = ∆ACM ( c - g - c )
⇒

=

= 100, do đó:

=

.

Nhận xét:
1.Đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta
thấy 800 - 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi
ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC
24


thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các
cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2. Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
Bài toán 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ điểm D nằm trong tam giác
đó sao cho
=
= 150. Chứng minh rằng BA = BD.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ những dữ kiện của bài tốn ta dễ dàng suy ra được góc BAD = 75 0.
Nếu AB = BD thì tam giác ABD cân tại B từ đó suy ra góc BDA cũng bằng 75 0.
Suy luận tương tự như bài toán 1, ta vẽ thêm hình phụ là điểm I nằm trong tam
giác ABD sao cho
=
=150. Từ đó ta có thể chứng minh được bài tốn.

CHỨNG MINH
Vẽ tam giác IAB có điểm I nằm trong tam giác ABC và
Ta có: IAB =

Nên

= 900 -150 - 150 = 600

-

IAD đều, suy ra IA = ID và

Ta có:
BIA =

=150.

DAC (g-c-g) suy ra AI = AD.

= 900 -

Lại có:

=

= 3600 -

-

= 600.

= 3600 – 1500 – 600 = 1500.

BID (c-g-c) nên BA = BD

Có thể bổ sung bài toán:
Cho tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm AB. Trên tia AB lấy điểm E sao
cho B là trung điểm của AE. Chứng minh rằng CE = 2CM.
25