co luu chat chuong4 clc dong luc hoc luu chat cuuduongthancong com

CHƯƠNG 4: ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
I.

Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất

II.

Phương trình năng lượng

III.

Tích phân phương trình euler

IV.

Phương trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thực

V.

Phương trình biến thiên động lượng


I. Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất:
1. Phương trình Euler cho chuyển động của lưu chất lý tưởng.
°

Lưu chất lý tưởng: =0
khái niệm áp suất:

=0
p

z
p

ii

p dx

p,

x 2

°

Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên phương x:dz
° Lực khối:
. dxdydz . F x
°

Lực mặt:

p

x 2

y
dy
dx

dxdydz

x

F

x
°

Phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần tử =>
du

x

dt
°

Tương tự:

du
dt
du
dt

z

y

1

Fx

Fz

p
x

1

Fy

p
y

1

p
z

hay


du
dt


F

1

grad

p dx

p

p


I. Phương trình vi phân c.động của lưu chất (tt):
2. Phương trình Navier-Stokes cho chuyển động của lưu chất thực.
°
°

Lưu chất thực:

0

0

°

Lực khối:

dz

z
yx
yx

xx

yx

xx

x

yx

dz
dy

zx

Lực mặt:

dy

y

xx

xx

. dxdydz . F x

x

zx

y

dx

dxdydz


F

z

x

Viết phương trình Định luật II Newton trên phương x cho phần
tử =>
du

x

dt
°

z

Ngoại lực tác dụng lên phần tử trên
phương x:
°

°

zx
zx

1

Fx

yx

xx

x

zx

y

z

Giả thiết Stokes:
ij

p

ij

ui

u

j

2

ul

x

xi

3

xl

j

ij

với

p

1
3

xx

yy

zz

dx


°

Đưa tới phương trình Navier-Stokes trên trục x:
du
dt

°

x

Fx

1

2

p
x

2

ux

x

2

2

ux

y

2

z

2

1
3

x

Dưới dạng vector:

du


F

1

grad

2

p


u

dt

°

ux


u

1
3

Đối với lưu chất không nén được:

du


F

1

grad

2

p


u

dt
°

Lưu ý gia tốc được tính:

du


u

dt

t

ux


u
x

uy


u

y

uz


u


u

z

t


u


u

ux

u

x

y

y

uz
z


II. Phương trình năng lượng
1. Phương trình vận tải năng lượng:
°

Định luật bảo toàn năng lượng (ĐL thứ nhất của nhiệt động lực
học): Tốc độ biến thiên của động năng và nội năng bằng tổng
công cơ học của ngoại lực và các dòng năng lượng khác trên 1
đơn vị thời gian d
 
 
u
2

e dV

dt

F .u dV

2

V

n

V

S

e: nội năng (khí lý tưởng:e c T ; chất lỏng không nén:e

q dòng nhiệt riêng đi vào qua bề mặt bao bọc

λ.grad T
λ .T
Định luật truyền nhiệt Fourier: q
 
Biến đổi:
. u dS
u n dS
u dV
e

°

ij

ij

n

i

S

S

d
dt

u

j

j

j

q dV

j

V

2

F j .u

T dV

V

2

e

i

V

j

q n dS

Thu được:

j

S

e

°

q n dS

S

V

°

e

.u dS

j

1

ij
j

ui

1

j
j

T

cT

)


II. Phương trình năng lượng (tt)
2. Phương trình vận tải động năng:
°

Ptrình Navier dưới dạng tensor:
du

x

dt
°

1

Fx

yx

xx

x

du

zx

y

i

dt

z

1

Fi

ij

j

Nhân ptrình trên cho ui :
du

i

dt

Fi

1

ij
j

d

ui

dt

u

2

2

Fi u

i

1

ij
j

ui

1

ij
j

ui

3. Phương trình vận tải nội năng:
°

Trừ ptrình vận tải năng lượng cho ptrình vận tải động năng:
de
dt

°

1

j
j

T

1

ij
j

ui

Sử dụng giả thiết Stokes và cho lưu chất không nén được:
de
dt

2

T
2

2

ui

u

x

xi

j

j


III. Tích phân phương trình euler

°

Phương trình Euler dạng Lambo-Gromeko:

u

grad

t
°


2


u


F

1

grad

p

2

Giả thiết:
°
= const

° F

°

2

u

grad

U

Phương trình Euler dạng Lambo-Gromeko thành:

u
t

grad

U

p

u

2

2


2


u

0


III. Tích phân phương trình euler (tt)
1. Trường hợp chuyển động có thế.

°
Chuyển động có thế: u grad
°
Phương trình Euler trên thành:
grad

grad

U

p

t

°


0

2

U

0

2

t

p

u

2

2

Trong trường trọng lực: U = - gz
1
g

°

u

và

p

z

u

t

2

C t

2g

Đối với chuyển động ổn định:
z

p

u

2

2g

C

(Tphân Lagrange)

C t


III. Tích phân phương trình euler (tt)
2. Trường hợp lưu chất chuyển động ổn
định, tphân dọc đường dòng.
°
Lấy vi phân chiều dài đường
dòng: d s
°
Nhân vô hướng nó với pt. Euler:

u

grad

p

U

2

u

t


2



u .d s


b


n


u



s


ds


dn

R
O

0

2

d

U

p

u

2

2
°

Rút ra:

p

U

u

2

C

2
°

Trong trường trọng lực: U = - gz
z

p

u

2

2g

C

(Ptrình Bernoulli)

0


III. Tích phân phương trình euler (tt)
3 Trường hợp lưu chất chuyển động ổn định, tphân theo phương
vuông góc với đường dòng.
°

Phương trình Euler trong hệ toạ độ tự nhiên:

u

u

t

2

2 

s

u

2


n

grad

p

U

R



°

Lấy vi phân chiều dài đường pháp tuyến với đường dòng:d n

°

Nhân vô hướng nó với pt. Euler:

u
t

°
°

u

2

2 

s

u

2



n dn

grad

p

U

R

u

2

dn

d

U

R

p

C
Khi R ∞:
Trong trường trọng lực: U = - gz
U


dn

n

z

p

(Tphân Euler)
Cn

p
n


III. Tích phân phương trình euler (tt)
Ýnghóa năng lượng của các số hạng tích phân.
°

Xét pt Bernoulli. Quá trình thiết lập qua các bước:

u

grad

p

U

u

t

d

2


2

Lực trên 1đv



u .d s

0

klượng

2
p

U

u

U

u

Công

0

2

C

2

z

p

u

Quãng

đường

2

2

p

lchất

sinh ra từ 1đv klượng

lchất

N ăng lượng

của 1đv klượng

lchất

và nó không

thay đổi trong

cđộng

N ăng lượng

của 1đv tlượng

lchất

2

C

2g

°

Các số hạng: z
u
z

2

p

Thế

2g

Động

p

u

của 1đv tlượng

năng

lchất

của 1đv tlượng

lchất

(cột áp tónh)
(cột áp vận tốc)

2

2g
°

năng

N ăng lượng
(cột áp toàn

toàn

phần

của 1đv tlượng

lchất

phần)

Phương trình Bernoulli là pt bảo toàn năng lượng


IV. Phương trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thực
°

°

Xét đoạn dòng chảy ổn định nằm giữa 2
mcắt ướt 1-1 và 2-2.
Xét 1 đường dòng trong đoạn dòng chảy.
Nếu cho rằng lưu chất là lý tưởng, ptrình
Bernoulli cho đường dòng:
z2

dQ

2

của 1 đv tlượng

lchất)

1

2

p2

dQ

Q

u2

2g

1

dQ

Phương trình trên thể hiện tính bảo toàn.
Nếu lưu chất là “thực” thì:
2

p1

u1

2

p2

z2

2g

u2

( h f : tổn thất nlượng

hf

2g

Bây giờ xét 1 dòng chảy nguyên tố. Năng lượng của nó biến đổi theo ptrình:
z1

°

u1

2g

z1
°

2

p1

z1
°

2

p1

2

u1

dQ

z2

2g

p2

2

u2

dQ

2g

h f dQ

Như vậy cho toàn bộ dòng chảy, năng lượng của nó sẽ biến đổi theo ptrình:
z1
A1

p1

2

u1

dQ
A1

2g

dQ

z2
A2

p2

2

u2

dQ

A2

2g

dQ

h f dQ
Q


IV. Phương trình bernoulli cho dòng chảy lưu chất thực(tt)
°

Thực hiện các tích phân:
p

z

dQ

p

z

Điều

Q

kiện : tại mcắt

ướt A dòng

chảy

là bđổi chậm

A

u

2

V

dQ

2g

A

3

2

: hsố

Q

h f dQ

h

hf Q

f

A

V

A

dA

: tổn thất năng lượng của 1 đv tlượng

1 , 05

lchất

Thay vào cho kết quả:
p1

z1
°

đnăng,

u

(tổn thất cột áp)

Q

°

hchỉnh

2g

1

V1

2

z2

2g

p2

2

V2
2g

hf

Ghi chú:

1. Điều kiện áp dụng pt Bernoulli
cho dòng chảy:


°
°
°

=const; F
g
Tại hai mcắt áp dụng pt, dòng chảy phải là biến đổi chậm.
Trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt, không có nhập lưu hoặc tách lưu.
t

0;

2. Nếu trong đoạn dòng chảy giữa 2 mcắt viết pt có turbine, máy bôm:
hf

hf

H

T

H

B

1 ,10


V. Phương trình biến thiên động lượng
1. Phương trình biến thiên động lượng.
Nguyên lý biến thiên động lượng: tốc độ biến thiên của động lượng
của một hệ vật chất bằng vector tổng ngoại lực tác dụng lên hệ.
p dụng cho lưu chất trong thể tích kiểm soát:

u dV

d
dt


R


n

un

V

u
un.dS

Biến đổi:



u dV
t

V


u u n dS


R

S

V

Đối với dòng chảy ổn định, ptrình biến thiên
động lượng là:

u u n dS
S


R

S


V. Phương trình biến thiên động lượng (tt)
2. Ptrình biến thiên đlượng cho dchảy ổn định của lchất không nén được.
Xét thể tích kiểm soát là đoạn dòng chảy giữa hai mcắt 1-1 và 2-2

Chia diện tích bao bọc S = A1 + A2 + Sn
Ptrình biến thiên động lượng thành:

u u n dS
A1


u u n dS
Sn

A1


u dQ

2

1

Tích phân thứ 3 bằng không còn hai tích
phân đầu được viết lại thành:

u dQ


u

un=0



R


u u n dS

A2

2

Sn


n


R


u


n

A2

1
A1

A2

Các tích phân này được thực hiện:

u dQ


V Q

2

: hsố

A

hchỉnh

1

đlượng,

Thay vào cho kết quả:

R

Q


V2
2

A


V
1 1


R

Q2

u
A


V
2 2

dA

1 , 02

V

Q1


V
1 1

1 , 05

VD1: Cho 1 vòi có tiết diện A = 10cm2, phun nước với vận tốc v = 30m/s
vào tấm phẳng đặt nằm nghiêng 1 góc =600 so với phương ngang.
Bỏ qua ma sát, không khí, hỏi:
a) Nếu tấm phẳng đứng yên (u =0), lực F tác dụng lên tấm phẳng, lưu
lượng Q2, Q3.
b) Nếu tấm phẳng di chuyển (u =10m/s), lực F tác dụng lên tấm phẳng,
phản lực N của tấm phẳng
V2,Q2
Giải:
a) Lấy thể tích kiểm soát như hình. Ngoại lực:
F

V1 ,Q1
Trọng lượng nước trong TTKS G
u


Phản lực của tấm phẳng F ' (
F)
F’
Phương trình biến thiên động lượng cho TTKS
G


F

'


G

Q
 2
F

Hay:
Chấp nhận xấp xỉ:


V
2 2

Q
 3
V
2 2

Q2
G

0

(G

vi

v

(i


V
3 3

Q3

Q
 1
V
3 3

F)
1, 2 ,3 )


V
1 1

Q1


V
1 1

V3,Q3

(*)

Chiếu (*) lên phương n:
-F = - .Q1 . 1.v1.sin => F= .A . v21.sin (**)
Với Q1 = v1.A , 1=1
Hay F= .A . v2.sin . Thế số F = 1000.10.10-4.302.sin600=779,4 N
Chiếu (*) lên phương :
0 = Q2 2v2 - Q3 3v3 - Q1 1v1cos
Suy ra:
0 = Q2 –Q3 –Q1cos
(1)
ptltục:
Q1 = Q2 –Q3
(2)
(1) vaø (2): Q2 = Q1(1+cos )/2 ; Q3 = Q1(1-cos )/2
b)u = 10m/s
Đổi hệ quy chiếu, xem tấm phẳng đứng yên, vòi chuyển động giật
lùi với vận toác v1 = v-u. Suy ra: F = .A . (v-u)2.sin =346,4 N
Công suất của tấm phẳng: N = F.u.sin =3000 W
Công suất của vòi: Nv = Qv2/2g = .A . v3/2 = 13500 W
Hiệu suất tấm phẳng: = N/Nv= 22,22%