Luận văn thạc sĩ khoa học toán học biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian hardy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ THU HÀ

BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH
TRÊN KHÔNG GIAN HARDY

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN HỌC
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số: 63.46.01

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TSKH. Nguyễn Quan



Mục lục
Chương 1. HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.Khái niệm về hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 3 1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2.Công thức tích phân Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.8

1.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 9 1.2.3. Định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.Công thức khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 12 1.3.2. Công thức khai triển Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 1.4.Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
1.4.1. Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2. Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3. Tính đối ngẫu của không gian Hp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16 1.4.4. Biến dạng biên của tích phân Poisson-Stieltjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
...
18

Chương 2. BIẾN DẠNG CHAOTIC CỦA TOÁN TỬ HỢP THÀNH TRÊN KHÔNG
GIAN HARDY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.1.Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.1.1. Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 24 2.1.2. Tiêu chuẩn hypercyclic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 2.2.Toán tử hợp thành Chaotic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 26


2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27 2.2.2. Chứng minh định lý 2.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 27

2.3.Áp dụng kết quả của định lý 2.2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Kết luận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Tài liệu tham khảo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

i


MỞ ĐẦU
Cho đĩa đơn vị mở D := {z ∈C : |z| < 1} , ký hiệu H2(D) là không gian
Hardy của các hàm f chỉnh hình trên D với chuẩn
kfk =

.
r

Giả sử ψ là tự đồng cấu chỉnh hình của D. Khi đó toán tử hợp thành Cψ :
H2(D) → H2(D) được định nghĩa Cψ f = f ◦ ψ, là một toán tử tuyến tính bị chặn
trên H2(D). Nếu ψ không có điểm cố định trong D thì ψ có một hoặc hai điểm
cố định trên ∂D. Ta gọi ψ là parabolic nếu nó chỉ có một điểm biên cố định và

là hyperbolic nếu nó có hai điểm biên cố định, với γ là một số phức. Luận văn
trình bày kết quả sau:
1. Nếu ψ là tự đẳng cấu hyperbolic của D và λ > 1 là đạo hàm tại điểm đẩy cố
định của ψ. Khi đó bội vô hướng của toán tử hợp thành γCψ là chaotic trên
H 2(D) khi và chỉ khi λ−1/2 < |γ| < λ1/2
2. Nếu ψ là tự đẳng cấu parabolic của D. Khi đó γCψ là chaotic trên H2(D) khi và
chỉ khi |γ| = 1.
3. Nếu ψ là tự đẳng cấu của D, nó có một điểm cố định trong D. Khi đó γCψ
không là chaotic trên H2(D) với mọi γ ∈C.
Đó là kết quả trong bài báo "Chaotic behavior of composition operators on the
Hardy space" của Takuya Hosokawa về việc nghiên cứu biến dạng chaotic của


toán tử hợp thành trên không gian Hardy H2(D) thông qua việc phân loại điểm
dính trên biên của dãy trọng lặp. Luận văn gồm 2 chương:

• Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức sử
dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình,
điều kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực
đại, định lý khai triển Taylor, không gian Hardy và tính chất của nó.

• Chương 2: Trình bày và làm rõ công trình nghiên cứu của Takuya
Hosokawa về biến dạng chaotic của toán tử hợp thành trên không gian
Hardy H2(D), như các tính chất cơ bản của toán tử hợp thành trên không
gian Hardy, đặc biệt là tính hypercyclic của toán tử này, áp dụng định lý
Denjoy-Wolf về phân loại các điểm dính hyperbolic, elliptic nằm trên
đường tròn đơn vị để nghiên cứu chaotic của toán tử hợp thành.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
PGS - TSKH Nguyễn Quang Diệu, người thầy đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm
thuộc Đại học Thái Nguyên, các thầy cô giáo trường Đại học sư phạm Hà Nội
và các thầy cô giáo Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy, giúp đỡ tác giả hoàn
thành khóa học.
Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Trường trung học phổ thông
Dương Tự Minh, thành phố Thái Nguyên, gia đình và bạn bè đã động viên, giúp
đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình tác giả học tập.
2


Thái Nguyên, tháng 8 năm 2015

Chương 1
HÀM CHỈNH HÌNH, CÔNG THỨC
TÍCH PHÂN CAUCHY VÀ KHÔNG
GIAN HARDY
Trong chương trình bày một số kiến thức cơ sở, đặc biệt là các kiến thức
sử dụng cho việc chứng minh chương sau, như khái niệm hàm chỉnh hình, điều
kiện Cauchy-Riemann, công thức tích phân Cauchy, nguyên lý cực đại, định lý
khai triển Taylor, không gian Hardy H2(D) và tính chất.

1.1. Khái niệm về hàm chỉnh hình
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f xác định trên miền Ω∈C. Xét giới hạn
f(z+∆z)− f(z) lim
z,z+∆z ∈Ω.
∆z→0

,

với

∆z

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z,
ký hiệu

f0(z)

df
hay (z). Như vậy dz


0 f(z+∆z)−

f(z) f (z) = lim .
∆z→0

∆z

Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C- khả vi tại z.
Định nghĩa 1.1.2. Hàm f xác định trong miền Ω∈C với giá trị trong C gọi là hàm
chỉnh hình tại z0 ∈Ω nếu tồn tại r > 0 để f C-khả vi tại mọi z ∈ D(z0,r) ⊂ Ω. Nếu
f chỉnh hình tại mọi z ∈Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω.
Định lý 1.1.3. Giả sử Ω⊂C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh hình trên Ω. Khi
đó
1. H(Ω) là một không gian véc tơ trên C.
2. H(Ω) là một vành.
3. Nếu f ∈ H(Ω) và f(z) 6= 0,∀z ∈Ω thì

.
f

4. Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Chứng minh. Chứng minh 4.
∂f∂f
Do f chỉ nhận giá trị thực ,

cũng chỉ nhận giá trị thực. Nhưng mặt
∂x ∂y

∂ f ∂ f ∂ f ∂ f khác = i , ta suy ra = = 0. Vậy f = const.
∂x

∂y

∂x

∂y

4


1.1.2. Điều kiện Cauchy - Riemann
Giả sử f(z) = u(x,y)+iv(x,y),z = x+iy xác định trên miền Ω∈C. Hàm f được
gọi là R2- khả vi tại z = x+iy nếu hàm u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y) (theo định
nghĩa đã biết trong giải tích thực).
Định lý 1.1.4. Để hàm f C- khả vi tại z = x+iy ∈Ω điều kiện cần và đủ là f
R2- khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Riemann sau được thỏa mãn tại z.
∂u ∂v

(x y) =

(x,y)

∂y
(1.1.1)
∂u

∂

∂ y (x,y) = −∂x (x,y).
Chứng minh. Điều kiện cần:
Giả sử f C - khả vi tại z = x+iy ∈Ω. Khi đó tồn tại giới hạn
0

f(z+∆z)− f(z) f (z) = lim với ∆z = ∆x+i∆y.
∆z→0 ∆z

Vì nếu giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến điểm 0 của ∆z nên
nếu chọn ∆z = ∆x, ta có :
u(x+∆x,y)+iv(x+∆x,y)−u(x,y)−iv(x,y)
f (z) = lim =

0

∆z→0

∆x

u(x+∆x,y)−u(x,y)
= lim +i lim

∆z→0

∆x

∆z→0

v(x+∆x,y)−v(x,y)

∆x

tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x,y) và
∂u

0

∂x

∂v
f (z) = (x,y)+i

(x,y). (1.1.2)

∂x

Tương tự bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có
f0(z) = −i∂u(x,y)+ ∂v(x,y).(1.1.3)

∂y

∂y

So sánh (1.1.2) và (1.1.3) ta được
,y)

∂u

∂v

∂ y (x,y) = −∂x (x,y).

Ta còn phải chứng tỏ u(x,y) và v(x,y) khả vi tại (x,y).
Vì f C- khả vi tại z nên
∆f = f(z+∆z)− f(z) = f0(z)∆z+o(∆z)

6


với o(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là
o(∆z) lim
0.

=

∆z→0 ∆z

Rõ ràng
∆f = ∆u+i∆v,∆z = ∆x+i∆y.

theo (1.1.2) ta có
∂u ∂v
∆u+i∆v = ( +i
∂x

)(∆x+i∆y)+o(∆z)+io(∆z).

∂x

Từ đó
∂u

∂v
∂u
∂u
∆u = ∆x− ∆y+o(∆z) = ∆x+ ∆y+o(|∆z|),

∂x

∂x
∂

∂x
u

∆v = ∆

∂x

∂x

∂y
∂v

∂v

∆y+o(∆z) = ∆x+ ∆y+o(|∆z|).

∂x

∂y

điều kiện đó nghĩa là u và v khả vi tại (x,y).
Điều kiện đủ:
Vì u và v khả vi tại (x,y) nên

∂u
∂u
∆u = ∆x+ ∆y+o( ∆x ∂x

p 2 +∆y2)
∂y


và
∆v = ∂v∆x+ ∂v ∆y+o(p∆x 2 +∆y2).
∂x

∂y

Theo điều kiện (1.1.1) hai đẳng thức này có thể viết thành
∂u
∂v
∆u = ∆x− ∆y+o(|∆z|),
∂x
∂x
∂v
∂u
∆v = ∆x+ ∆y+o(|∆z|).

∂x

(1.1.4)

(1.1.5)

∂x

Từ (1.1.4) và (1.1.5) ta có
∆f ∆u ∆v = +i
∆z ∆z ∆z
=

∂u∆ x− ∂xv∆y+o(∆z)
∂x

∂

∂∂ux∆x+ ∂∂x v∆y+o(∆z)

+i
∆z∆z
y

x

=++

∂u

∂v

∆z
o(∆z)

∆z
8

∆z

o( ∆z)


= +i
∂x

+

.

∂x

∆z

Vì vậy
∆f ∂u ∂v
= +i
∆x

∂x

tức là f C- khả vi tại z = x+iy.
Nhận xét 1.1.5. (1.) Giả sử f là R2-khả vi tại z ∈Ω⊂C
Xét vi phân
∂f
∂f
d f = dx+ dy.
∂x
∂y

(1.1.6)

Vì dz = dx+idy và dz¯ = dx−idy nên
1

1 dx = (dz+dz¯),dy =
(dz−dz¯).
2 2i

Thế các đẳng thức này vào (1.1.6) ta có

1∂f ∂f
1∂f ∂f
d f = ( −i )dz+ ( +i
)dz¯.
2 ∂x ∂y
2 ∂x ∂y
Nếu đặt
∂f

1∂f ∂f∂f1∂f ∂f
= ( −i ),
=
(
∂z
2 ∂x ∂y ∂z¯ 2 ∂x ∂y

(1.1.7)
+i

)

thì
∂f ∂ f d f =
dz+ dz¯.

(1.1.8)


∂z

∂z¯

Bởi vì
∂f
1∂f ∂f
1 ∂u ∂v
∂v ∂u
= ( +i ) = [( − )+i( + )] ∂z¯ 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

nên f thỏa mãn điều kiện Cauchy-Riemann tại z nếu và chỉ nếu
∂ f (z) = 0.
∂z¯
Nói cách khác hàm R2-khả vi f tại z là C-khả vi nếu và chỉ nếu
∂ f (z) = 0.
∂z¯
(2.) Từ (1.1.1) và (1.1.2) và nhận xét trên, nếu f C-khả vi tại z thì ta có

∂2

∂x ∂x

∂y

∂y
f

2

∂x

∂x

∂x

∂
10

.


1.2. Công thức tích phân Cauchy
1.2.1. Công thức tích phân Cauchy
Định lý 1.2.1. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và z0 ∈Ω. Khi đó với mọi chu
tuyến γ ⊂Ωγ ⊂Ω ta có công thức tích phân Cauchy
f( f(z0)
=

.
2πi γ η− 0

Nếu thêm f liên tục trên Ω¯ và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈Ω ta có
1 Z f(η)
f(z) = dη.
2πi ∂Ωη−z
Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý vây quanh z0 sao cho Ωγ ⊂Ω. Chọn ρ > 0
đủ bé để hình tròn D(z0,ρ) ⊂Ωγ. Ký hiệu Cρ là biên của D(z0,ρ) và đặt
Ωγ,ρ = Ωγ\D(z0,ρ)
Ωγ,ρ là miền 2- liên, ta có
Z f(η)

Từ đó ta có công thức

dη = 0. γ∪Cρ− η−z0


η)
.

0

Thực hiện phép biến đổi η = z0 +ρeiϕ,dη = iρeiϕdϕ ta được
iρeiϕdϕ
Z 2π

=i

f(z0 +ρeiϕ)dϕ
0
Z 2π

=i

[f(z0 +ρeiϕ)− f(z0)]dϕ +2πif(z0).
0

Chú ý rằng khi ρ → 0 thì do tính liên tục của f ta có

vì thế
f( ρ→0 γ η− 0 dη
= 2πif(z 0).

Vậy
f( f(z0)
=

.
2πi γ η− 0

Trong trường hợp f liên tục trên Ω¯ và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂Ω thay cho
γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈Ω các điều kiện của trường hợp
nói trên đều được thỏa mãn, vì vậy ta có :
12


1 Z f(η)
f(z) = dη.
2πi ∂Ωη−z


14


1.2.2. Bất đẳng thức Cauchy
Định lý 1.2.2. Nếu f là hàm chỉnh hình trên Ω, điểm a ∈Ω,0 < r < d(a,∂Ω)
và
M(a,r) = sup|z−a|=r|f(z)|.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau
(n) |≤

n!M(a,r) .

(1.2.1)

|f (a)
rn
Chứng minh. Ta có
f
với γ = ∂D(a,r) ta có

n! M(a,r) n!M(a,r)
γ
≤
n+1 | | =

n

,n = 0,1,···

2π r r

1.2.3. Định lý về giá trị trung bình
Định lý 1.2.3. Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền Ω và hình tròn D¯(z0,r) ⊂Ω,
thì
f

.


Chứng minh. Theo công thức tích phân Cauchy ta có
1 Z f(z)
f(z0) =dz.

2πi ∂D(z0,r) (z−z0)
Viết z = z0 +reiϕ,z ∈∂D(z0,r) ta có
.

f

1.2.4. Nguyên lý môđun cực đại
Định lý 1.2.4. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền bị chặn trên miền Ω và
liên tục trên Ω. Khi đó hoặc f = const hoặc |f (z)| chỉ đạt cực đại trên biên ∂Ω của Ω.

Chứng minh. Vì f liên tục trên tập compact Ω nên tồn tại z0 ∈Ω sao cho
max|f (z)| = |f (z0)|. z∈Ω
Giả sử z0 ∈Ω, ta sẽ chứng minh rằng f (z)=const. Lấy r >0 sao cho D(z0,r)⊂ Ω. Theo
định lý giá trị trung bình ta có

(1.2.2)

suy ra

16


.

(1.2.3)

Trên đường tròn ∂D(z0,r) ta có

f zM
và do đó

,
bởi tính liên tục suy ra

M, với mọi 0 6ϕ 6 2π.
0

Tương tự có đẳng thức trên với mọi r 6 r, do đó |f (z)| = M với mọi z ∈
D(z0,r).
Lấy z∗ tùy ý trong Ω. Gọi L là đường cong nối z0 với z∗. Do L compact tồn tại các
điểm z0,z1,...,zn = z∗ trên L và r > 0 sao cho
n

L ⊂ [ D(zj,r) và zj+1 ∈ D(zj,r) ⊂Ω, j = 0,1,...,n−1.
j=0

Do |f (z)|=M trên D(z0,r) nên |f (z1)|=M. Vì vậy theo lập luận trên |f (z)|= M với
mọi z∈D(z1,r),...,|f (z)|=M với mọi z∈D(zn−1,r). Đặc biệt |f (z∗)|=
M.
Như vậy ta chứng minh được |f (z)| = M với mọi z ∈Ω. Viết
f (z) = |f (z)|eiarg f(z) = Meiϕ(x,y) = Mcosϕ(x,y)+iMsinϕ(x,y).
Theo điều kiện Cauchy - Riemann


∂ϕ

y
(1.2.4)
∂ϕ ∂ϕ
−Mcosϕ = −Msinϕ

.

∂x
∂y
Nhân đẳng thức thứ nhất của (1.2.4) với sinϕ và nhân đẳng thức thứ 2 với cosϕ
rồi so sánh ta có
Msin2ϕ∂ϕ = −Mcos2ϕ∂ϕ hay M∂ϕ = 0.

∂x

∂x

∂x

Nếu M = 0 thì hiển nhiên f = const. Nếu M

. Thay vào một

. Từ đó suy ra ϕ = const trong miền Ω, vậy f

trong hai vế của (1.2.4) ta có
= const

1.3. Công thức khai triển Taylor
1.3.1. Chuỗi Taylor
Định nghĩa 1.3.1. Chuỗi hàm có dạng
n
n=0

gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z−z0.

18


1.3.2. Công thức khai triển Taylor
Định lý 1.3.2. Nếu hàm f chỉnh hình trên hình tròn |z−z0| < R, thì trong hình tròn
này f(z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0. Cụ thể là
với |z−z0| < R

n

f
n=0

ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức
f(n)(z0)
Cn =

!

1Z

= 2πi |η−z0|=r (η−

f(η)
n+1dη n z0)

với 0 < r < R.
Chứng minh. Lấy tùy ý z với |z−z0| < R.
Chọn r > 0 sao cho |z−z0| < r < R. Theo công thức tích phân Cauchy ta có

f

dη
2πi γr η−

ở đây γr là đường tròn |z−z0| = r.
Ta viết
1 1
=

1
=

η−z

vì thế nếu η ∈γr
Ta có

z−z0
thì | | < 1. η−z0

−z0


1
= η−z
(η−z0)k+1

1

η−z0

∞ (z−z0)k

∞ z−z0 k

∑=0(η−z1) = k∑=0

k

và chuỗi này hội tụ đều trên γr. Theo định lý về tích phân đường (Định lý 1, §1 ,
ch 4, [1]) ta có
1 (z−z0)k
− k +1 ]dη π k=0 (η z0)
f( η) k+1 dη.
k1 Z

2

k=0

πi γr (η−z0)

2

Chú ý rằng
z0)
Ck =,k = 0,1,2,···
!
không phụ thuộc vào r,0 < rR. Vậy ta có

f

d

n=0

20

Cn(z−z0)n.


Hệ quả 1.3.3. Hàm f(z) xác định trên miền Ω là chỉnh hình khi và chỉ khi với mọi
z0 ∈Ω hàm f có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa theo z−z0 mà nó hội tụ tới
f(z) với bán kính hội tụ R ≥ d(z0,∂D).
Nhận xét: Định lý Taylor không đúng trong tường hợp khả vi thực. Chẳng
hạn hàm ϕ xác định trên đoạn thẳng thực bởi
nếu x 6= 0
ϕ
0

nếu x = 0

khả vi vô hạn với ϕ(n)(0) = 0 với n = 0,1,2, ...
Điều đó có nghĩa chuỗi Taylor của ϕ tại 0 bằng 0, song ϕ không đồng nhất bằng
không trong bất cứ lân cận nào của 0.

1.4. Không gian Hardy
1.4.1. Không gian Lp
Ta ký hiệu T là đường tròn đơn vị phức và L 1(p = 1) là không gian tuyến tính
các hàm khả tích Lebesgue trên T với phép cộng điểm và nhân vô

hướng, đặt

N

.

Ký hiệu L1 là không gian thương LN với chuẩn
thấy đây là một chuẩn trên L1, ta kiểm tra tính đầy đủ của nó. Thật
vậy, lấy

là một dãy trong L1 thỏa mãn

. Dễ