Phßng gi¸o dôc ®Çm hµ

Phòng giáo dục đầm hà
Trờng THCS Quảng Lợi

Đề thi giao lu học sinh giỏi năm học 2007-2008

Môn : Toán 7

Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngời ra đề: Hoàng Văn Ngọc
Câu 1(1,5 điểm )
So sánh các số sau:
2300 và 3200
Câu2 (3,5 điểm )
Tìm các số a1, a2, a3,….,a100 , biÕt:
a1 −1 a 2 − 2
a −3
a −100
=
= 3
=….= 100
100
99
98
1

Vµ a1+ a2 + a3+ …+ a100 = 10100
Câu 3(3,0 điểm )
Tính giá trị của đa thức sau, biÕt x + y – 2 = 0
M = x3 + x2y – 2x2 – xy - y2 + 3y + x + 2006
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho hai hai đa thøc P(x) = x2 + 2mx + m2 vµ Q(x) = x2 + (2m +1 )x + m2

T×m m, biÕt P(1) = Q(- 1)
Câu5 (8 điểm )
Cho tam giác giác nhọn ABC ,AH là đờng cao .Về phía ngoài của tam giác vẽ
các tam giác vuông cân ABE và ACF, vuông ở B và C.Trên tia đối của tia AH
lấy ®iÓm I sao cho AI = BC. Chøng minh
a) ∆ABI = BEC
b) BI = CE và BI vuông góc với CE
c) Ba đờng thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm.
Câu 6 (2 điểm )
Chứng minh rằng tổng các bình phơng của 5 số tự nhiên liên tiếp không
thể là một số chính phơng
=====Hết====


đáp án biểu điểm
đáp án

Câu

1
2

điể
m

2300 = (23)100 = 8100
3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100.Do đó 2300 <3200
a1 −1 a 2 − 2 a 3 − 3
a −100

=
=
=….= 100
100
99
98
1
(a + a2 + ... + a100 ) − (1 + 2 + ... + 100)
¸p dơng d·y tû sè b»ng nhau ta cã: 1
=
100 + 99 + ... + 1
(a1 + a2 + ... + a100 )
-1
100 + 99 + ... + 1

⇒ a1 = a2 =…= a100 = 101

0,5
0,5
0,5

1,5
1
1

10100
=
-1=2–1=1
5050

3

Tõ P(1) = Q(-1) ,suy ra 1+2m +m2 =1 – (2m +1) +m2 m =

4

Biến đổi mỗi đa thức theo híng lµm xt hiƯn thõa sè x + y – 2
M = ( x3 + x2y – 2x) – (xy +y2 - 2y ) + (x+y -2 ) + 1
= x2(x + y – 2) – y(x + y – 2) + (x + y – 2) +2008
=x2.0 – y.0 + 0 + 2008 = 2008

2,0

1
4

0,5
1,0
1,0
0,5

5

I

E

A
F

M

B

H

C

- Vẽ hình,ghi giả thiết kết luận đúng đợc
a) Ta có IAB = 1800 - ∠BAH =1800 – (900 - ∠ABC) =900 + ∠ABC = ∠EBC
∆ABI = ∆BEC (c – g – c)
b) ∆ABI = BEC( câu a ) nên BI = EC (hai cạnh tơng ứng ).
ECB = BIA hay ECB = BIH.
Gọi M là giao điểm của CE với AB ,ta có :
∠MCB + ∠MBC = ∠BIH + ∠IBH = 900, do ®ã CE ⊥ BI.
c) Trong tam gi¸c BIC: AH, CF , BE là ba đờng cao.Vậy AH, CF , BE ®ång quy t¹i
mét ®iĨm.

1,0
2,5
3,5
1


Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là: n - 2, n- 1, n, n + 1,n +2, trong ®ã n ∈ N vµ N ≥ 2
2
2
2
2
2

2
2
Ta cã A = (n – 2) + (n – 1) + n + (n +1) + (n+2) = 5(n + 2)
Vì n2 không thể có chữ số tận cùng bởi 3 hoặc 8, do đó (n2 + 2) không chia hết
cho 5, vì thế 5(n2 + 2) không là số chính phơng, hay A không phải là số chính
phơng .
*) Ghi chú: Cách làm đúng khác vẫn cho điểm.

6