Hệ thức lượng giác cơ bản doc

Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
I. Những công thức lượng giác.
1. Hệ thức lượng giác cơ bản.
Sin
2
α + Cos
2
α =1 => Sin
2
α = 1- Cos
2
α; Cos
2
α = 1-
Sin
2
α=(1-Sinα)(1+Sinα).
Tanα= ; Cotα= ; Tanα. Cotα=1.
1+tan
2
α=1/Cos
2
α 1+Cot
2
α=1/Sin
2
α
2. Gía trị lượng giác của các cung đặc biệt
a) Cung đối nhau
cos(-α)=cosα sin(-α)= -sinα tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα
b) Cung bù nhau

cos(π- α)= -cosα sin(π- α)= sinα tan(π- α)= -tanα cot(π- α)= -cotα
c) Cung hơn kém nhau π
cos(π+α)= -cosα sin(π+α)= -sinα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα
d) Cung phụ nhau
cos( - α)= sinα sin( - α)= cosα tan( - α)= cotα cot( - α)= tanα
e) Cung hơn kém nhau
cos( + α)= -sinα sin( + α)= cosα tan( + α)= -cotα cot( + α)= -tanα
3. Công thức cộng
Cos(a-b)= cosa.cosb + sina.sinb cos(a+b)= cosa.cosb – sina.sinab.
Sin(a-b)= sina.cosb -cosa.sinb sin(a+b)= sina.cosb + cosa.sinb.
Tan(a-b)= tan(a+b)=
1
Công
thức
lượng
Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Cot(a-b)= Cot(a+b)=
4. Công thức nhân đôi, nhân ba.
a) Công thức nhân đôi
sin2a= 2sina.cosa = (sina+cosa)
2
– 1 = 1 – (sina-cosa)
2
cos2a= cos
2
a – sin
2
a = 1 – 2sin
2
a = 2cos

2
a – 1.
Tan2a= 2tana/(1-tan
2
a) cot2a=(cot
2
a – 1)/2cota.
b) Công thức nhân ba
sin3a= 3sina – 4sin
3
a cos3a= 4cos
3
a – 3cosa
tan3a= (3tana –tan
3
a)/(1- 3tan
2
a)
cot3a= (cot
3
a-3cota)/(3cot
2
a – 1).
5. Công thức hạ bậc
Sina.cosa= sin2a sin
2
a= cos
2
a=
Tan

2
a=
Sin
3
a= cos
3
a=
Tan
3
a= tan3a.(1-3tan
2
a) + 3tana
Cot
3
a=cot3a.(3cot
2
a-1) + 3cota
Sin
4
a+cos
4
a=1-sin
2
2a sin
6
a+cos
6
a=1-sin
2
2a

6. Công thức biến đổi tổng thành tích
Cosa + cosb=2cos cos sina + sinb=2sin cos
cosa - cosb= -2sin sin sina - sinb=2cos sin
Cosa - sina=cos(a + ); sina – cosa= - cos(a + ) = -sin( - a)
Cosa + sina=sin(a + );
2
Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Tana + tanb= Tana - tanb=
cota + cotb= cota - cotb=
cota – tana= 2cot2a.
7. Công thức biến đổi tích thành tổng
Cosa.cosb= [ cos(a-b) + cos(a+b) ]
Sina.sinb= [ cos(a-b) – cos(a+b) ]
Sina.cosb= [ sin(a-b) + sin(a+b) ]
Cosa.sinb=[ sin(b-a) +sin(b+a) ]
II. Những phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình sinx=m
Bước 1: Nếu m∣>1 => phương trình vô nghiệm
Bước 2: Nếu ∣m∣≤1
+) Trường hợp 1: Nếu m là các giá trị đặc biệt: 0, ± ; ±; ± ; ±1
Thì đặt m=sinα => x= α+k2π hoặc x= π-α+k2π
+) Trường hợp 2: Nếu m không là các giá trị đặc biệt
=> x= arcsinm + k2π hoặc x= π – arcsinm + k2π
+) Đặc biệt
3
Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Sinx=0  x=kπ
Sinx=1  x= Sinx= -1  x=
2. Phương trình cosx=m
Bước 1: Nếu m∣>1 => phương trình vô nghiệm

Bước 2: Nếu ∣m∣≤1
+) Trường hợp 1: Nếu m là các giá trị đặc biệt: 0, ± ; ±; ± ; ±1
Thì đặt m=cosα => x= ±α + k2π
+) Trường hợp 2: Nếu m không là các giá trị đặc biệt
=> x= ±arccosm + k2π
+) Đặc biệt
Cosx= 0  x= ; Cosx= 1  x=k2π; Cosx= -1  x= π + k2π
3. Phương trình tanx=m
Đặt điều kiện tanx ≠ 0  Cosx ≠ 0  x ≠
Xét 2 trường hợp
+) Trường hợp 1: Nếu m là giá trị đặc biệt 0; ±1; ± ; ±
Thì đặt m= tanα  x= α +kπ
+) Trường hợp 2: Nếu m không là giá trị đặc biệt thì
=> x= arc tanm +kπ
4. Phương trình cotx=m
Đặt điều kiện sinx ≠ 0  x ≠ kπ
Xét 2 trường hợp
+) Trường hợp 1: Nếu m là giá trị đặc biệt 0; ±1; ± ; ±
4
Trên con đường thành công không có dấu chân của kẻ lười biếng
Thì đặt m= cotα  x= α +kπ
+) Trường hợp 2: Nếu m không là giá trị đặc biệt thì
=> x= arc cotm +kπ
*) Nhận xét: Phương trình tanx=m và cotx=m luôn có nghiệm với mọi m
*) Các phương trình lượng giác luôn có giá trị k ϵ Z

5