Tài liệu Phần 9: Hệ thức lượng giác trong tam giác pptx

CHƯƠNG X:
HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC

I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN
Cho
ABC
Δ
có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của



A,B,C, R
là bán kính
đường tròn ngoại tiếp
ABC
Δ
, S là diện tích
ABC
Δ
thì

===
=+− =+−
=+− =+−
=+− =+−
222 22
222 22
222 22
abc
2R
sin A sin B sin C

abc2bccosAbc4S.cotg
bac2accosBac4S.cotgB
cab2abcosCab4S.cotg
A
C






Bài 184 Cho
ABC
Δ
. Chứng minh:

22
A 2B a b bc
=⇔=+


Ta có:
2 2 22 22 2
a b bc 4R sin A 4R sin B 4R sin B.sinC
=+⇔ = +

()()
()()
()()
() ()

()
()
⇔−=
⇔− −− =
⇔−=
⇔− + − =
⇔+ −=
⇔ −= += >
⇔−=∨−=π−
⇔ =
22
sin A sin B sin B sin C
11
1 cos 2A 1 cos 2B sin B sin C
22
cos 2B cos 2A 2 sin B sin C
2 sin B A sin B A 2 sin B sin C
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A 2B

Cách khác:
−=
⇔− +=
+− + −
⇔=
22
sin A sin B sin B sin C
(s in A sin B) (s in A sin B) sin B sin C

AB AB AB AB
2 cos sin .2 sin co s sin B sin C
22 2 2

()()
() ()
()
()
⇔+ −=
⇔−= +=>
⇔−=∨−=π−
⇔=
sin B A sin A B sin B sin C
sin A B sin B do sin A B sin C 0
ABBAB Bloại
A 2B


Bài 185: Cho
ABC
Δ
. Chứng minh:
( )
22
2
sin A B
ab
sin C c
−
−

=


Ta có
−−
=
22 22 22
222
ab 4RsinA4RsinB
c4RsinC


()()
()()
()() ()
()
()
−−−
−
==
−+ −
−
==
+− −
==
+= >
22
22
22
2

11
1 cos 2A 1 cos 2B
sin A sin B
22
sin C sin C
2sin A B sin B A
cos 2B cos 2A
2sin C 2sin C
sin A B .sin A B sin A B
sin C
sin C
do sin A B sin C 0

Bài 186: Cho
ABC
Δ
biết rằng
A B1
tg tg
223
⋅ =⋅

Chứng minh
ab

2c
+=

Ta có :
⋅=⇔ =

A B1 A B A B
tg tg 3sin sin cos cos
223 22 22


A B
do cos 0,cos 0
22
⎛⎞
>>
⎜⎟
⎝⎠


()
A BABA
2sin sin cos cos sin sin
22 22 22
AB AB AB
cos cos cos
22 2
AB AB
cos 2cos *
22
⇔=−
+− +
⎡⎤
⇔− − =
⎢⎥
⎣⎦

−+
⇔=
B

Mặt khác:
()
ab2RsinAsinB+= +

()
()
()
+−
=
++
=
=+
= =
A BAB
4R sin cos
22
AB AB
8R sin cos do *
22
4R sin A B
4R sin C 2c

Cách khác:
()
+=
⇔+=

ab2c
2R sin A sin B 4R sin C

+−
⇔=
−++
⎛⎞
⇔== =
⎜⎟
⎝⎠
A BAB CC
2sin cos 4sin cos
22 22
A BC AB AB
cos 2 sin 2 cos do sin cos
22 2 2
C
2

⇔+= −
⇔=
A BAB AB A
cos cos sin sin 2 cos cos 2 sin sin
22 22 22 2
AB AB
3sin sin cos cos
22 22
B
2

⇔⋅=
A B1
tg tg
223

Bài 187: Cho
ABC
Δ
, chứng minh nếu tạo một cấp số cộng thì
cotgA, cotgB, cotgC
222
a,b,c
cũng là cấp số cộng.

Ta có:
()
⇔+=cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng cot gA cot gC 2 cot gB *
Cách 1:
( )
()
()() ()
()()()
[]
()()()
2
2
22
22
22 2 2
222

sin A C
2cosB
Ta có: * sin B 2sin A sin C cos B
sin A sin C sin B
sinB cosA C cosA C cosA C
sin B cos A C cos A C cos A C
1
sin B cos B cos 2A cos 2C
2
1
sin B 1 sin B 1 2sin A 1 2sin C
2
2sin B sin A sin C
+
⇔=⇔=
⇔=− +−−−+
⎡⎤⎡⎤
⎣⎦⎣⎦
⇔= +−− +
⇔=− +
⎡ ⎤
⇔=− −− +−

⎣ ⎦
⇔=+
⇔
22 2
222
222
222

2b a c
4R 4R 4R
2b a c
a , b ,c là câùp số cộng
=+
⇔=+
⇔•
Cách 2:
()
=+−
⎛⎞
⇔=+−
⎜⎟
⎝⎠
⇔=+−
+−
=
+− +−
==
+− +− +−
⇔+=⋅
⇔ =+
222
222
222
22 2
22 2 2 22
22 2 2 22 22 2
222
Ta có: a b c 2ab cos A

1
abc4bcsinA.cotgA
2
abc4ScotgA
bca
Do đó cotgA
4S
acb abc
Tương tự cotgB , cotgC
4S 4S
bca abc acb
Do đó: * 2
4S 4S 4S
2b a c



Bài 188: Cho
ABC
Δ
có
22
sin B sin C 2sin A
+=
2
Chứng minh

0
BAC 60 .
≤

()
22 2
22 2
22 2
22 2
Ta có: sin B sin C 2sin A
bc2a
4R 4R 4R
bc 2a*
+=
⇔+=
⇔+=
A

Do đònh lý hàm cosin nên ta có
222
abc2bccos
=+−

( )
()
()

+−−
+−
⇔= =
+
=≥=
≤

22 22
22 2
22
0
2b c b c
bca
cos A ( do * )
2bc 4bc
bc 2bc1
do Cauchy
4bc 4bc 2
Vạây : BAC 60 .

Cách khác:
đònh lý hàm cosin cho
=+− ⇒+=+
222 222
a b c 2bc cos A b c a 2bc cos A

Do đó
(*) a bc cos A a
abc
cos A ( do Cauchy)
bcbc
⇔+ =
+
⇔== ≥
22
222
22

1
242


Bài 189: Cho
ABC
Δ
. Chứng minh :

( )
222
Ra b c
cotgA+cotgB+cotgC
abc
++
=

+−
=
+− +−
==
+ +++
++= =
++
=
22 2
22 2 2 22
222 22
222
bca

Ta có: cotgA
4S
acb abc
Tương tự: cotgB ,cotgC
4S 4S
abc abc
Do đó cot gA cot gB cot gC
abc
4S
4
4R
abc
R
abc
2

Bài 190:
Cho
ABC
Δ
có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2.
Giả sử A < B < C.
Chứng minh:
= +
111
abc


Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A
24

Mà A B C nên A ,B ,C
77 7
π ππ
++=π = = =

Cách 1:
+= +
⎛⎞
⎜⎟
=+
⎜⎟
ππ
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ππ
+
=
ππ
ππ
π π
⎛⎞
=⋅ =
⎜⎟
ππ
⎝⎠
π
=⋅ =
ππ
=

11 1 1
Ta có:
b c 2R sin B 2R sin C
11 1
24
2R
sin sin
77
42
sin sin
1
77
24
2R
sin sin
77
3
2sin .cos
143
77
do sin sin
23
2R 7 7
sin .sin
77
cos
11
7
R2RsinA
2sin .cos

77
1
a

Cách 2:

=+⇔ = +
+
⇔= + =
⇔= = =
ππ
===•
111 1 1 1
a b c sin A sin B sin C
11 1sin4Asin2A
sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A
1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA
sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A
34
do : sin 3A sin sin sin 4A
77

Bài 191: Tính các góc của
ABC
Δ
nếu
sin A sin B sin C
12
3
==

Do đònh lý hàm sin:
abc
2R
sin A sin B sin C
===

nên :
()
sin A sin B sin C
*
12
3
==


abc
2R 4R
2R 3
bc
ba3
a
2
3
c2a
⇔= =
⎧
=
⎪

⇔= =⇔
⎨
=
⎪
⎩

()
()
2
22
222
0
0
Ta có: c 4a a 3 a
cba
Vạây ABC vuông tại C
Thay sin C 1 vào * tược
sin A sin B 1
12
3
1
sin A
2
3
sin B
2
A30
B60
== +
⇔=+

Δ
=
==
⎧
=
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
=
⎪
⎩
⎧
=
⎪
⇔
⎨
=
⎪
⎩
2

Ghi chú:
Trong tam giác ABC ta có
a b A B sin A sin B cos A cos B=⇔ = ⇔ = ⇔ =


II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN
Cho UABC có trung tuyến AM thì:

2
22 2
BC
AB AC 2AM
2
+= +


hay :
2
22 2
a
a
cb2m
2
+= +



Bài 192:
Cho UABC có AM trung tuyến,

AMB
=
α
, AC = b, AB = c, S là diện tích
UABC. Với 0 < <
90

α
0
a/ Chứng minh:
22
bc
cotg
−
4S
α=

b/ Giả sử
α=
, chứng minh: cotgC – cotgB = 2
0
45

a/ UAHM vuông
HM MB BH
cotg
AHAH
−
⇒α= =

()
aBH
cotg 1
2AH AH
⇒α= −