bài tập xác xuất thống kê (không có lời giải)

I. Biến cố và xác suất
Câu 1.** Một hộp đựng 4 bi đỏ và 6 bi vàng. Bốc ngẫu nhiên liên tiếp hai viên bi. Nếu biết viên bi
thứ hai là bi đỏ thì tìm xác suất để viên bi đầu tiên cũng là bi đỏ?
Câu 2.* Có hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Năng suất của máy thứ hai gấp ba năng suất
của máy thứ nhất. Máy thứ nhất sản xuất trung bình được 95 % chính phẩm, máy thứ hai sản xuất
trung bình được 60 % chính phẩm. Các sản phẩm được đóng chung vào một lô. Lấy ngẫu nhiên từ
một sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm?
Câu 3. Một lớp học cần chọn ra 3 bạn làm cán bộ lớp dựa trên danh sách đề cử gồm 5 bạn nữ và 2
bạn nam. Tính xác suất để trong 3 bạn được bầu có ít nhất một bạn nam?
Câu 3. Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Người ta lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm
trong hộp. Tính xác suất để
a. Người đó lấy phải phế phẩm;

b. Người đó lấy được số phế phẩm nhiều hơn số chính phẩm.

Câu 4.* Có hai hộp bút màu. Hộp thứ nhất có 6 bút đỏ và 4 bút xanh, hộp thứ hai có 7 bút đỏ và 3
bút xanh. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 cái bút.
a) Tìm xác suất để lấy được 3 bút màu đỏ;
b) Giả sử đã lấy được 3 bút màu đỏ. Tìm xác suất để đó là 3 bút màu đỏ đó là của hộp thứ hai.
Câu 5.*Có hai hộp bi: Hộp I có 6 bi trắng và 4 bi đỏ, Hộp I có 7 bi trắng và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên
1 viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để viên bi lấy
ra sau cùng là bi trắng.
Câu 6.** Tại ga tàu, có 3 hành khách lên 1 đoàn tàu gồm 3 toa một cách độc lập. Tính xác suất để
a) 3 hành khách lên cùng 1 toa tàu.
b) 2 hành khách lên cùng 1 toa tàu, người cịn lại thì lên một toa khác.
Câu 7. Một hộp có chứa 8 bi trắng và 4 bi đen. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 5 viên bi. Tính xác suất
để trong 5 viên bi đó có ít nhất 3 bi đen.
Câu 8.** Hộp thứ nhất có 8 sản phẩm loại 1 và 2 sản phẩm loại 2 ; hộp thứ hai có 5 sản phẩm loại 1
và 3 sản phẩm loại 2. Lấy từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

Câu 9. Ba máy 1, 2 và 3 của một xí nghiệp sản xuất theo thứ tự 60%, 30% và 10% tổng số sản phẩm


của một xí nghiệp. Tỉ lệ sản xuất ra chính phẩm của các máy trên, theo thứ tự, là 90%, 80% và 85%.
Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng của xí nghiệp, trong đó để lẫn lộn các sản phẩm do ba máy
sản xuất. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là phế phẩm?
Câu 10.*Một thùng hàng chứa 40 sản phẩm loại 1 và 60 sản phẩm loại 2. Trong quá trình vận
chuyển về kho bị mất một sản phẩm. Lấy ngẫu nhiên trong các sản phẩm cịn lại một sản phẩm.
Tính xác suất để lấy được một sản phẩm loại 2?
Câu 11. Trong một bộ đề thi có 30 câu hỏi vấn đáp gồm 10 câu khó, 20 câu trung bình. Một học sinh
khi thi phải bốc và trả lời hai câu. Tính xác suất để học sinh đó bốc được ít nhất một câu trung bình?
Câu 12.* Ba xạ thủ cùng bắn vào đích. Xác suất bắn trúng của ba xạ thủ lần lượt là 0,8; 0,7 và 0,6.
Tìm xác suất để:

a) Có 1 xạ thủ bắn trúng đích.

b) Có 2 xạ thủ bắn trúng đích.

Câu 13.** Một lơ hàng có 30% sản phẩm của máy 1 và 70% sản phẩm của máy 2. Tỷ lệ phế phẩm
của các máy tương ứng là 2% và 5%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm để kiểm tra:
a) Tìm xác suất để lấy được chính phẩm; phế phẩm
b) Giả sử đã lấy được phế phẩm thì phế phẩm đó có khả năng do máy nào sản xuất là nhiều hơn.
Câu 14.** Một xưởng sản xuất có 3 máy chế tạo các chi tiết máy. Năng suất chế tạo sản phẩm của
máy I và máy II là như nhau và bằng một nửa năng suất của máy III. Biết các chi tiết máy do máy
I,II,II sản xuất có tỷ lệ sản phẩm lỗi lần lượt là 2%, 5% và 7%.
a. Từ kho của xưởng sản xuất, lấy ra ngẫu nhiên 1 chi tiết máy để kiểm tra. Tìm xác suất để lấy được
chi tiết máy bị lỗi.
b. Giả sử đã lấy được chi tiết máy chuẩn. Tìm xác suất để chi tiết máy đó do máy III sản xuất.

Câu 15. Có 3 người, mỗi người cùng bắn 1 viên đạn vào đích độc lập nhau với xác bắn trượt của mỗi
người lần lượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:
a. Có đúng 2 hai người bắn trượt.
b. Có ít nhất 1 người bắn trượt.
Câu 16 ** Một sinh viên thi 3 môn. Xác suất để lần đầu thi đạt là 0,8. Nếu lần trước thi đạt thì xác
suất để lần sau cũng thi đạt là 0,9, cịn nếu lần trước thi trượt thì xác suất để lần sau thi đạt chỉ là 0,4.
Tìm xác suất để:
a. Cả ba lần đều thi đạt.

b. Có đúng hai lần thi đạt.

Câu 17 *: Một tập tiền có 50 tờ tiền trong đó có 7 tờ giả. Một tờ bị mất đi không rõ thật hay giả.
Người ta lấy ngẫu nhiên trong các tờ còn lại một tờ thì được tờ tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị


rút đi trước đó là tờ tiền thật.
Câu 18. Một túi chứa 7 bi đỏ và 3 bi vàng. Túi kia có 4 bi đỏ và 5 bi vàng. Từ mỗi túi lấy ra ngẫu
nhiên một viên bi. Những viên bi còn lại được dồn vào một túi thứ ba.
Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để ta rút ra được viên bi vàng ở túi
thứ ba.

II. Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên-Bảng phân phối xs, hàm p.p.xs, hàm mật
độ xs, E(X), V(X)
Câu 19*. Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

  ( x − 1) 2 : x   0,1

a. f ( x) = 
b. f ( x) =  x 4
: x   0,1

0
0

: x  [2,3]
: x  [2,3]

a.(x + 1)(2 − x) : x   0, 2
c. f ( x) = 
: x   0, 2
0

Tìm hằng số a,  ,  ; Tính E(X),V(X)?
Câu 20. Một lơ hàng có 70 chính phẩm và 30 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ra 5 sản phẩm có
hồn lại. Gọi X là số chính phẩm lấy được.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

Câu 21. Có hai hộp bi: hộp thứ nhất có 6 đỏ , 4 xanh, hộp thứ hai có 7 đỏ và 3 xanh. Lấy ngẫu nhiên
một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi.
a. Lập bảng phân phối xác suất của số bi đỏ được lấy ra;

b. Tính số bi đỏ trung bình được lấy ra;

Câu 22. Một hộp bi có 9 bi đỏ và 6 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi. Gọi X là số bi đỏ
lấy được lấy được. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X; tính kì vọng E ( X ) , V ( X ) .
Câu 23.** Có 3 người, mỗi người cùng bắn một viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất bắn
trượt của mỗi người tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. Gọi X là số đạn bị bắn trượt khỏi bia.
a.Tìm bảng phân phối xác suất của X. b.Tính xác suất để có không quá 2 viên đạn bị bắn trượt.
Câu 24. Một lô hàng gồm 20 thiết bị tương tự nhau, trong đó có 3 thiết bị lỗi. Một trường học mua

ngẫu nhiên 3 thiết bị.
a. Lập bảng phân phối xác suất cho số thiết bị lỗi X mà trường học mua phải. b Tính E ( X ) , V ( X ) .
Câu 25. Một hộp có 3 bi xanh và 2 bi đỏ. Một người lấy lần lượt từng viên bi (khơng hồn lại) cho
đến khi lấy được 1 bi xanh. Gọi X là số bi lấy ra.
a. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X ;

b. Tính E ( X ) , V ( X ) .


a( x + 1)

Câu 26* Cho hàm số f ( x) = a(2 − x)
0


khi x  [−1, 0)
khi x  [0,1]
khi x  [−1,1]

a. Xác định a để f ( x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X .
b. Tìm kỳ vọng và phương sai của X .
Câu 27* Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất
như sau (đơn vị: sản phẩm):

 (8 − x)
f ( x) = 
0
a. Xác định hằng số  ?

khi x  (0,8)

khi x  (0,8)

c. Tìm E ( X ) .

b. Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó khơng vượt q 7 sản phẩm trong một năm.
Câu 28** Trong 1 000 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu
đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng. Một người mua ngẫu nhiên một vé
xổ số.
a. Lập bảng phân phối xác suất của số tiền (X) mà người đó nhận được.
b. Tìm E(X), V(X).
Câu 29**. Biến ngẫu nhiên X có quy luật phân phối xác suất như sau:
X

x1

P

p1

Tìm x1 , x2 và p1 biết E ( X ) =

x2
0,7

9
và V ( X ) = 0,5 ( x1  x2 ).
2

III. Ước lượng khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết thống kê
Câu 30. Doanh số của cửa hàng bán đồ điện tử là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Điều tra doanh

số của một số cửa hàng có quy mơ tương tự ta được bảng số liệu sau:
Doanh sơ (triệu/tháng)

14-15

15-16

16-17

17-18

18-19

Số cửa hàng

10

13

40

25

7

Tìm khoảng tin cậy đối xứng doanh số trung bình của các cửa hàng nói trên với độ tin cậy 95%.
Câu 31. Đo chiều cao của 12 cây bạch đàn ta thu được kết quả như sau
12; 13; 14; 14,5; 15; 15,5; 16; 16,4; 16,8; 17; 18; 20 (mét)

Bằng khoảng tin cậy đối xứng, hãy ước lượng chiều cao đàn trung bình của các cây bạch đàn nói
trên với độ tin cậy 95%. Biết rằng lượng chiều cao của cây bạch đàn là biến ngẫu nhiên có phân phối
(11)
(11)
chuẩn. Cho t0,05
= 1, 796 ; t0,025
= 2, 201 .

Câu 32. Trọng lượng của gia xúc trong xưởng chăn nuôi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với
trọng lượng trung bình là 20 (kg). Nghi ngờ điều kiện thời tiết thất thường làm thay đổi trọng lượng
trung bình của đàn gia xúc, người ta cân thử một số gia xúc và thu được bảng số liệu sau
Trọng lượng

19

20

21

22

23

Số gia xúc

10

35

20

9

5

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận về điều nghi ngờ nói trên. Cho biết: u0,05 = 1,65; u 0,025 = 1,96 .
Câu 33. Mức chi tiêu cho một gia đình trung bình trong khu dân cư A là 28 triệu. Do điều kiện khó
khăn, thắt chặt chi tiêu và người ta cho rằng mức chi tiêu trung bình giảm xuống. Điều tra một số
mức độ chi tiêu của một số gia đình trong khu dân cư A, ta thu được bảng số liệu
Mức chi tiêu
(triệu)

25-26

26-27

27-28

28-29

29-30

5

9

10

3

2

Số lần

Với mức ý nghĩa 5% hãy kết luận về ý kiến nêu trên, biết rằng mức hao phí xăng cho một loại xe ôtô
chạy trên đoạn đường AB là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
(28)
(28)
Cho biết: t0,025
= 1, 699 ; u0,05 = 1, 65 ; u 0,025 = 1,96 .
= 2,045 ; t0,05

Câu 34. Một loại chi tiết máy có kích thước trung bình là 14cm, nghi ngờ kích thước của loại chi
tiết máy này bị thay đổi nên người ta kiểm tra một số sản phẩm và bảng số liệu sau:
Kích thước (cm)

11

13

15

17

19

Số sản phẩm tương ứng

6

5

16

15

7

Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về điều trên, biết rằng kích thước của sản phẩm A là biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn, cho u0,025 = 1,96 , u0,05 = 1, 65 .
Câu 35. Biết rằng lượng hao phí xăng của ơtơ chạy trên đoạn đường cao tốc AB là biến ngẫu nhiên
có phân phối chuẩn. Theo dõi một ôtô chạy trên đoạn đường AB ta thu được bảng số liệu
Mức xăng (lít)
Số lần

9,5-9,7

9,7-10

10-10,3

10,3-10,5

10,5-10,8

5

10

28

8

4


bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng lượng hao phí xăng trung bình cho
một ôtô chạy trên đoạn đường AB? Cho biết: u0,05 = 1, 65 ; u 0,025 = 1,96 .
Câu 36. Để điều tra doanh số bán hàng của một siêu thị, người ta điều tra một số siêu thị có mơ
hình tương tự và có bảng số liệu sau:
Doanh số (triệu/tháng)

11-12

12-13

13-14

14-15

15-17

17-18

Số siêu thị

10

15

20

30

15

10

Tìm khoảng tin cậy đối xứng doanh số trung bình của các hộ nói trên, với độ tin cậy 95%. Biết
doanh số bán hàng của các hộ là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn, cho

u0,025 = 1,96 , u0,05 = 1,65.
Câu 37. Một xưởng sản xuất một số rất lớn các chi tiết máy với số lỗi trung bình ở mỗi sản phẩm là
3. Người ta cải tiến cách sản xuất nhằm làm giảm số lỗi trên các chi tiết máy. Kiểm tra một số sản
phẩm, kết quả thu được như sau:
Số khuyết tật trên
sản phẩm
Số sản phẩm tương
ứng

0-1

1-2

2-3

3-4

4-5

5-6

7

9

6

7

5

7

Giả sử số lỗi của các sản phẩm là b.n.n có phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa là 0,05 hãy cho kết
luận về hiệu quả của việc cải tiến sản xuất đó. Cho biết: u0,05 = 1,65; u 0,025 = 1,96 .
Câu 38. Chỉ tiêu A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Mẫu điều tra về
chỉ tiêu A (tính bằng %) của sản phẩm này được cho trong bảng:
Chỉ tiêu A

0-4

4-8

8-12

12-16

16-20

20-24

24-28

Số sản phẩm

20

10

16

12

10

6

1

Tìm khoảng tin cậy đối xứng của chỉ tiêu A trung bình của loại sản phẩm nói trên với độ tin cậy
90%. Cho u0,025 = 1,96 , u0,05 = 1, 65 .
Câu 39. Điều tra thu nhập/tháng của một số công nhân một nhà máy trong năm nay thu được kết quả
sau:
Thu nhập (triệu đồng)

4

4.5

5

5.5

6

7,0

Số nhân viên

5

12

25

21

19

6


Nếu năm trước thu nhập trung bình của cơng nhân nhà máy này là 6,2 triệu đồng/tháng thì có thể cho
rằng thu nhập năm nay cao hơn năm trước không? Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa 5%, biết thu
nhập/tháng của công nhân nhà máy A là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn.
Câu 40. Điều tra doanh thu trong tuần (triệu đồng) của một số siêu thị trong quận I, ta thu được số
liệu sau:
Doanh thu

21

22

23

24

25

26

Số cửa hàng

14

8

20

10

6

4

Với độ tin cậy 95% hãy tìm khoảng tin cậy cho doanh thu/tuần trung bình tối thiểu của các cửa hàng
tạp hóa ở vùng M. Biết doanh thu/tuần của các cửa hàng tạp hóa ở vùng M là biến ngẫu nhiên có
phân phối chuẩn.
Câu 41*. Nghiên cứu mức độ tiêu thụ về một loại hàng ở một khu vực, người ta tiến hành khảo sát

về mức độ tiêu thụ mặt hàng này ở một số hộ gia đình, kết quả cho trong bảng:
Mức độ tiêu thụ (kg/tháng)

0-1

Số hộ

3

1-2

2-3

3-4

4-5

5-6

7

15

6

4

2

Giả sử khu vực nghiên cứu có 4000 hộ và mức độ tiêu thụ loại hàng này là biến ngẫu nhiên có

phân phối chuẩn. Ước lượng mức độ tiêu thụ trung bình của mặt hàng này của khu vực trong một
tháng với độ tin cậy 95%. Cho u0,025 = 1,96 , u0,05 = 1, 65 .
Câu 42. Kết quả quan sát về tỷ lệ điểm A của sinh viên ở một trường ĐH cho ở bảng sau:
Tỷ lệ điểm A (%)
Số sinh viên

4-8

8-12

12-16

16-20

20-24

24-28

3

15

34

26

14

2

Biết Tỷ lệ điểm A của sinh viên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Với độ tin cậy 95%, hãy tìm
khoảng tin cậy đối xứng của tỷ lệ điểm A trung bình trong sinh viên ở một trường ĐH đó.
Câu 43. Chỉ tiêu chất lượng A của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Một
mẫu điều tra được kết quả cho trong bảng:
Chỉ tiêu A (gam)
Số sản phẩm

200

220

240

260

280

300

6

4

14

22

5

6

Có ý kiến cho rằng trung bình chỉ tiêu A các sản phẩm loại này là 270 gam. Cho nhận xét về ý kiến
này với mức ý nghĩa 5%.
Câu 44*. Điều tra doanh số bán hàng (đơn vị: triệu đồng/tháng) của các hộ kinh doanh thiết bị y tế
năm nay cho số liệu:
Doanh số(triệu đồng/tháng)

45

47

48

50

55

60

Số hộ

5

9

25

16

8

2

Năm trước doanh số bán hàng trung bình của các hộ này là 500 triệu/1 năm. Có thể cho rằng doanh
số bán hàng của các hộ này năm nay tăng lên không, với mức ý nghĩa 5%? Biết doanh số bán hàng là
biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn. Cho u0,025 = 1,96 , u0,05 = 1, 65 .