Tải bản đầy đủ (.pdf) (14 trang)

Những bài tập hệ phương trình lượng giác potx

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (273.39 KB, 14 trang )

CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

I. GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ

Bài 173: Giải hệ phương trình:
(
)
()
2cosx 1 0 1
3
sin 2x 2
2
−=



=




Ta có:
()
1
1cosx
2

=


()


xk2k
3
π
⇔=±+ π∈Z

Với
xk
3
2
π
=+ π
thay vào (2), ta được
23
sin 2x sin k4
32
π
⎛⎞
=+π=
⎜⎟
⎝⎠

Với
x
3
π
=− + πk2
thay vào (2), ta được

23
sin 2x sin k4

32
π
⎛⎞
=−+π=−≠
⎜⎟
⎝⎠
3
2
(loại)
Do đó nghiệm của hệ là:
2,
3
π
=
+π∈

xkk


Bài 174: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 1
xy
3
+
=


π

+=





Cách 1:

Hệ đã cho
xy xy
2sin .cos 1
22
xy
3
+−

=




π

+=




π−




=
=


⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
π
⎪⎪
+=
+=




xy
xy
2.sin .cos 1
cos 1
62
2
xy
xy
3
3


4
2

2
3
3


−= π



⎪⎪
⇔⇔
π
⎨⎨
π
+=
⎪⎪
+=



xy
x
yk
k
xy
xy
()
2
6
2

6
π

=+ π


⇔∈

π

=−π


xk
kZ
yk


Cách 2:
Hệ đã cho

3
3
31
sin sin 1
cos sin 1
3
22
3
3

sin 1
2
3
32
2
6
2
6
π
π


=−
=−


⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
⎛⎞
⎪⎪
+−=
+
=
⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠



π

π

=−
=−


⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
π
ππ
⎛⎞
⎪⎪
+=
+
=+ π
⎜⎟



⎝⎠

π

=+ π


⇔∈


π

=− π



yx
yx
xx
x
x
yx
yx
x
x
k
xk
k
yk


Bài 175: Giải hệ phương trình:
sin x sin y 2 (1)
cos x cos y 2 (2)

+=


+=





Cách 1:
Hệ đã cho
xy xy
2sin cos 2 (1)
22
xy xy
2cos cos 2 (2)
22
+−

=




+−

=



Lấy (1) chia cho (2) ta được:

+
⎛⎞
=

⎜⎟
⎝⎠
xy xy
tg 1 ( do cos 0
22

=
không là nghiệm của (1) và (2) )

24
22
22

⇔=+π
ππ
⇔+=+ π⇔=−+ π
xy
k
x
ykyxk

thay vào (1) ta được:
sin x sin x k2 2
2
π
⎛⎞
+−+π=
⎜⎟
⎝⎠



sin x cos x 2⇔+=


2 cos 2
4
2,
4
π
⎛⎞
⇔−
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔− = π∈
=

x
xhh

Do đó: hệ đã cho
()
2,
4
2,,
4
π

=+ π∈





π

=
+− π ∈




xhh
ykhkh

Cách 2: Ta có
A
BACB
CD ACBD
=+=
⎧⎧

⎨⎨
=−=
⎩⎩
D+


Hệ đã cho
(
)

(
)
()()
⎧− + − =



++−=


⎧π π
⎛⎞ ⎛⎞
−+ −=
⎜⎟ ⎜⎟

⎪⎝⎠ ⎝⎠


ππ
⎛⎞ ⎛⎞

++ +=
⎜⎟ ⎜⎟

⎝⎠ ⎝⎠

sin x cos x sin y cos y 0
sin x cos x sin y cos y 2 2
2sin x 2sin y 0
44

2sin x 2sin y 2 2
44
sin sin 0
44
sin sin 0
44
sin 1
4
sin sin 2
44
sin 1
4
2
42
2
42
sin sin 0
44
xy
xy
x
xy
y
xk
yh
xy
⎧π π
⎛⎞⎛⎞

+−=

⎜⎟⎜⎟

⎧π π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞

−+ −=
⎜⎟⎜⎟


π
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛⎞
⇔⇔+=
⎨⎨
⎜⎟
ππ
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
++ +=
⎜⎟⎜⎟
⎪⎪
π
⎝⎠⎝⎠
⎛⎞

+=

⎜⎟

⎝⎠


ππ
+=+π


ππ

⇔+=+π



ππ
⎛⎞⎛⎞
−+ −=
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠



π

=+ π




π


=+ π ∈


xk2
4
yh2,h,k
4
Z


Bài 176: Giải hệ phương trình:
−− =



+=−


tgx tgy tgxtgy 1 (1)
cos2y 3cos2x 1 (2)




Ta có:
tgx tgy 1 tgxtgy

=+



()
2
1tgxtgy 0
tg x y 1
tgx tgy 0
1tgxtgy 0
1tgx 0(VN)

+=
−=⎧
⎪⎪
⇔∨−=
⎨⎨
+≠



+=


(
xy k kZ
4
π
⇔−=+π ∈
)
,
với
x, y k

2
π




xy k
4
π
⇔=++π,
với
x, y k
2
π



Thay vào (2) ta được:
cos2y 3 cos 2y k2 1
2
π
⎛⎞
+
++ π=−
⎜⎟
⎝⎠


cos 2 3 s 2 1
31 1

s2 cos2 sin2
222 6
yiny
in y y y
⇔− =−
π
⎛⎞
⇔−=⇔−
⎜⎟
⎝⎠
1
2
=


()
5
222 2
66 6 6
y h hay y h h Z
ππ π π
⇔−=+π −=+π ∈


,,
62
(lọai)yhhhayyhh
ππ
⇔=+π ∈ =+π ∈



Do đó:
Hệ đã cho
()
()
5
6
,
6
xkh
hk Z
yh
π

=++π


⇔∈

π

=+π




Bài 177: Giải hệ phương trình
3
3
cos x cos x sin y 0 (1)

sin x sin y cos x 0 (2)

−+=


−+=



Lấy (1) + (2) ta được:
33
sin x cos x 0
+
=

33
3
sin x cos x
tg x 1
tgx 1
xk(k
4
⇔=−
⇔=−
⇔=−
π
⇔=−+π∈Z)

Thay vào (1) ta được:
(

)
32
sin y cos x cos x cos x 1 cos x=− = −


==
2
1
cos x.sin x sin 2x sin x
2


ππ
⎛⎞⎛
=− −+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
1
sin sin k
22 4

π




π
⎛⎞
=− − + π
⎜⎟

⎝⎠
1
sin k
24





=





2
(nếu k chẵn)
4
2
(nếu k lẻ)
4

Đặt
2
sin
4
α=
(với
02
<

α< π
)
Vậy nghiệm hệ
()
ππ
⎧⎧
=− + π ∈ =− + + π ∈
⎪⎪
⎪⎪

⎨⎨
=α+ π ∈ =−α+ π ∈
⎡⎡
⎪⎪
⎢⎢
⎪⎪
=π−α+ π ∈ =π+α+ π ∈
⎣⎣
⎩⎩




x2m,m x 2m1,m
44
yh2,h y 2h,h
yh2,hyh2,h


II. GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG


Bài 178:
Giải hệ phương trình:
()
()
1
sin x.cos y 1
2
tgx.cotgy 1 2

=−



=



Điều kiện:
cos x.sin y 0


Cách 1: Hệ đã cho
() ()
11
sin x y sin x y
22
sin x.cos y
10
cos x.sin y


+
+−=
⎡⎤
⎣⎦





−=





()
(
)
() ()
()
+
+−=⎧



−=




+
+−=⎧



−=


sin x y sin x y 1
sin x cos y sin y cos x 0
sin x y sin x y 1
sin x y 0



(
)
()
+=−




−=


π

+=−+ π ∈





−=π ∈



sin x y 1
sin x y 0
xy k2,k
2
xy h,h


()
()
ππ

=− + + ∈




ππ

=− + − ∈






x2kh,k,h
42
y2kh,k,h
42
(nhận do sin y cos x 0)

Cách 2:
()
sin x cos y
21
cos xsin y

=

=sin x cos y cos xsin y



() ( )
()
()
() ()(
() ()(
1
sin cos 3
2
1
cos sin 4
2

sin 1 3 4
sin 0 3 4
Thế 1 vào 2 ta được:
xy
xy
xy
xy

=−




=−


+=− +⎧



−= −


)
)

2,
2
,
xy k k

xyhh
π

+
=− + π ∈




−=π∈





()
()
()
2
42
,
2
42
xkh
hk Z
ykh
ππ

=− + +



⇔∈

ππ

=− + −




III. GIẢI HỆ BẰNG ẨN PHỤ

Bài 179: Giải hệ phương trình:

()
()
23
1
3
23
cotg cotg 2
3
tgx tgy
xy

+=






+=




Đặt
==
X
tgx, Y tgy

Hệ đã cho thành:
23 23
XY XY
33
1 1 23 Y X 23
X
Y3 YX
⎧⎧
+= +=
⎪⎪
⎪⎪

⎨⎨
+
⎪⎪
+=− =−
⎪⎪
⎩⎩
3



2
23
XY
23
XY
3
3
23
XY 1
X
X10
3
X3 3
X
3
3
Y
Y3
3


+=

+=
⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨
⎪⎪

=−

−=



⎧⎧
=
=−
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩

Do đó:
Hệ đã cho :
tgx 3 3
tgx
3
3
tgy
tgy 3
3
⎧⎧
=
=−
⎪⎪

⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩

,,
36
,,
63
ππ
⎧⎧
=+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=− +π ∈ = +π ∈
⎪⎪
⎩⎩


xkk x kk
yhhyhh




Bài 180: Cho hệ phương trình:
1
sin x sin y
2
cos 2x cos 2y m

+=



+
=


a/ Giải hệ phương trình khi
1
m
2
=


b/ Tìm m để hệ có nghiệm.

Hệ đã cho
()()
22
1
sin x sin y
2
12sinx 12siny m


+=




−+−

=


()

+=






+=



+=






+− =−


22
2
1
sin x sin y
2
2m
sin x sin y
2
1
sin x sin y
2
m
sin x sin y 2sin x sin y 1
2



+=





−=


1

sin x sin y
2
1m
2sinxsiny 1
42




+=





=− +


1
sin x sin y
2
3m
sin x sin y
84

Đặt
X
sin x, Y sin y với X , Y 1== ≤

thì X, Y là nghiệm của hệ phương trình

()
2
1m3
tt 0
248
−+−=
*

a/
()
=−
1
Khi m thì * thành :
2


−−=
⇔−−=
⇔=∨=−
2
2
11
tt 0
22
2t t 1 0
1
t1t
2

Vậy hệ đã cho

sin x 1 1
sin x
2
1
sin y
sin y 1
2
=
⎧⎧
=

⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
=−
⎪⎪
=
⎩⎩


2, (1) ,
26
(1) ,
2,
6
2
ππ
⎧⎧
=+ π∈ =−− +π∈
⎪⎪

⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
π
π
⎪⎪
=−− + π ∈
=+ π∈
⎪⎪
⎩⎩




h
h
xkk x hh
yhh
ykk

b/ Ta có :
()
2
m1
*t
42
⇔=−++
3
t
8


Xét
()
[]
2
13
yt t CtrênD 1,1
28
=− + + = −

thì:
1
y' 2t
2
=− +


1
y' 0 t
4
=⇔=


Hệ đã cho có nghiệm
(
)
[
]
* có 2 nghiệm trên -1,1⇔



()
m
dy
4
⇔=
cắt (C) tại 2 điểm hoặc tiếp xúc
[
]
trên -1,1


⇔− ≤ ≤
⇔− ≤ ≤
1m 7
8416
17
m
24

Cách khác
2
() 8 4 3 2 0⇔=−−+=ycbt f t t t m có 2 nghiệm t
1
, t
2
thỏa
12
11⇔− ≤ ≤ ≤tt
/

28 16 0
(1) 1 2 0
(1) 9 2 0
1
11
24

Δ= − ≥

=+ ≥




−=+ ≥


−≤ = ≤


m
af m
af m
S
17
24
⇔− ≤ ≤m




Bài 181: Cho hệ phương trình:
2
2
sin x mtgy m
tg y m sin x m

+=


+
=



a/ Giải hệ khi m = -4
b/ Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm.

Đặt
X
sin x=
với
X
1



Ytgy=
Hệ thành:
(
)

()
2
2
X
mY m 1
YmXm 2

+=


+=



Lấy (1) – (2) ta được:
(
)
22
X
YmYX0

+−=


()
(
)
X
YX Y m 0
X

YYmX
⇔− +−=
⇔=∨=−

Hệ thành
()
2
2
=−
=



⎨⎨
+
−=
+=



YmX
XY
hay
X
mm X m
XmXm


() ( )
222

X
YYmX
X
mX m 0 * X mX m m 0 * *
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+−= −+−=
⎪⎪
⎩⎩

a/Khi m = -4 ta được hệ

()
()
2
2
Y4X
XY
X
4X 20 0 vô nghiệm
X4X40
X2loạidoX1
Y2
=− −
=





⎨⎨
++=
−+=




=≤



=



Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi m = 4.
b/ Ta có (*)
2
X
mX m 0 với X 1⇔+ −= ≤


()
()
2
2
Xm1X
X

m do m không là nghiệm của *
1X
⇔= −
⇔=


Xét
[
)
()
22
2
X
X2X
Ztrên1,1Z'
1X
1X
−+
=−⇒=


;

Z' 0 X 0 X 2=⇔ =∨ =


Do đó hệ
()
2
XYX1

X
mX m 0

=≤


+−=


có nghiệm
m0



Xét (**):
22
X
mX m m 0−+−=

Ta có
()
22 2
m4mm 3m4mΔ= − − =− +

4
00m
3
Δ≥ ⇔ ≤ ≤

Kết luận:


Khi
m
thì (I) có nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm
0≥


Khi < thì (I) vô nghiệm mà (**) cùng vô nghiệm m
0

Δ
(do < 0)
nên hệ đã cho vô nghiệm
Do đó: Hệ có nghiệm
m0



Cách khác
Hệ có nghiệm (*)hay ⇔=+−=
2
f(X) X mX m 0
(**) có nghiệm trên [-1,1] =− + −=
22
g(X) X mX m m 0

(1) (1) 0ff⇔− ≤
2
1
40

(1) 0
(1) 0
11
22
mm
af
hay
af
m
S

Δ= + ≥





−≥



−≤ = ≤



hay
(1)(1) 0gg−≤
2
2
2

2
34
(1) 1 0
(1) ( 1) 0
11
22
mm
ag m
hay
ag m
Sm

Δ=− + ≥

0

=+≥



=
−≥


−≤ = ≤



12 0m⇔− ≤
2

1
40
12 0
22
mm
hay m
m

Δ= + ≥

−≥


−≤ ≤

hay m = 1 hay


4
0m
3

m0⇔≥






IV. HỆ KHÔNG MẪU MỰC



Bài 182: Giải hệ phương trình:
⎧π
⎛⎞
+
⎜⎟

⎪⎝

π
⎛⎞

+
⎜⎟

⎝⎠

tgx cotgx = 2sin y + (1)
4
tgy cotgy = 2sin x - (2)
4



Cách 1:
Ta có:
22
sin cos sin cos 2
tg cotg =

cos sin sin cos sin 2
αα α+α
α+ α + = =
α
ααα α

Vậy hệ đã cho
⎧π
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎝⎠



π
⎛⎞

=−
⎜⎟

⎝⎠

1
sin y (1)
sin 2x 4
1
sin x (2)
sin 2y 4



⎧π
⎛⎞
=+
⎜⎟

⎪⎝


π
⎛⎞

=−
⎜⎟

⎝⎠

1sin2xsiny (1)
4
1 sin 2y.sin x (2)
4


Ta có: (1)
==
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
ππ

⎨⎨
⎛⎞ ⎛⎞
+= +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
sin2x 1 sin2x 1
sin y 1 sin y 1
44


ππ
⎧⎧
=+π∈ =−+π∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=+ π∈ =− + π∈
⎪⎪
⎩⎩


xk,k x k,k
44
3
yh2,h y h2,h

44

Thay
π

=+π∈



π

=+ π∈




xk,k
4
yh2,h
4
vào (2) ta được
sin 2y.sin x sin .sin k 0 1
42
ππ
⎛⎞
−= π=≠
⎜⎟
⎝⎠
(loại)
Thay

−π

=+π∈



π

=− + π ∈




xk,k
4
3
yh2,h
4
vào (2) ta được
πππ
⎛⎞ ⎛⎞⎛
−= − −+π
⎜⎟ ⎜⎟⎜
⎝⎠ ⎝⎠⎝
3
sin 2y.sin x sin sin k
422







π
⎛⎞
=−+π=

⎜⎟

⎝⎠

1( nếuklẻ)
sin k
2
1 ( nếu k chẵn)

Do đó hệ có nghiệm

()
()
π

=− + + π





π


=− + π


x2m1
4
m, h Z
3
yh2
4

Cách 2:
Do bất đẳng thức Cauchy
tgx cotgx 2+≥

dấu = xảy ra
1
tgx cotgx tgx=
tgx
⇔= ⇔
tgx 1⇔=±

Do đó:
tgx+cotgx 2 2sin y
4
π
⎛⎞
≥≥ +
⎜⎟
⎝⎠


Dấu = tại (1) chỉ xảy ra khi
==−
⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
ππ
⎨⎨
⎛⎞ ⎛⎞
+= +=−
⎜⎟ ⎜⎟
⎪⎪
⎝⎠ ⎝⎠
⎩⎩
ππ
⎧⎧
=+π ∈ =−+π ∈
⎪⎪
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
ππ
⎪⎪
=+ π ∈ =− + π ∈
⎪⎪
⎩⎩


tgx 1 tgx 1
sin y 1 sin y 1
44

x k,k x k,k
44
(I) (II)
3
yh2,h y h2,h
44

thay (I) vào (2):
π
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
tgy cotgy=2sin x -
4

ta thấy không thỏa
22sink 0=π=
thay (II) vào (2) ta thấy
π
⎛⎞
=
−+π
⎜⎟
⎝⎠
22sin k
2

chỉ thỏa khi k lẻ
Vậy: hệ đã cho

()
π

=− + + π


⇔∈

π

=− + π



x2m1
4
,m,h
3
y2h
4


Bài 183: Cho hệ phương trình:

()
2
xym (1)
2 cos2x cos 2y 1 4 cos m 0 (2)
−=




+−− =


Tìm m để hệ phương trình có nghiệm.

Hệ đã cho
()()
2
xym
4cos x y cos x y 1 4cos m
−=




+−=+


()
() ()
() ()
−=




−+ + +=



−=




−++− +


−=




−++ +=


2
22
22
xym
4cos x y cosm 4cos m 1 0
xym
[2 cos m cos x y ] 1 cos x y 0
xym
[2 cos m cos x y ] sin x y 0
=

()
()


−=

⇔+=


+=

xym
cos x y 2 cos m
sin x y 0


−=


⇔+=π∈


π=


xym
xyk,k
cos(k ) 2 cos m

Do đó hệ có nghiệm
π
π
⇔=±+π∨=± +π∈


2
mh2m h2,h
33


BÀI TẬP

1. Giải các hệ phương trình sau:
a/
22
sin x sin y 2
tgx tgy tgxtgy 1
f/
3sin2y 2 cos4x
sin x sin y 2
+=
+
+=


⎨⎨
−=
+=







=−
−=


⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪
=
+=




1
3
sin x sin y
sin x sin 2y
2
2
b/ g/
1
1
cosxcosy
cos x cos 2y
2
2


(
)

(
)
2
2
cos x y 2cos x y
2cosx 1 cosy
c/ h/
3
cos x.cos y
2sinx siny
4
1
sin x 7cos y
sin x cos y
d/ k/
4
5siny cosx 6
3tgx tgy
tgx tgy 1
sin x cos xcos y
e/ l/
xy
tg tg 2
cos x sin x sin y
22
+
=−


=+

⎪⎪
⎨⎨
=
=





=
=


⎨⎨
=−


=

+=


=
⎪⎪
⎨⎨
+=
=






2.Cho hệ phương trình:
2
cos x cos y m 1
sin x sin y 4m 2m
=+


=+

a/ Giải hệ khi
1
m
4
=−

b/ Tìm m để hệ có nghiệm
⎛⎞
−≤≤−
⎜⎟
⎝⎠
31
ĐS m hay m=0
44

3. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất:

()


+=


+= ++


22
2
ytgx1
y 1 ax a sin x ĐS a= 2

4. Tìm m để các hệ sau đây có nghiệm.

3
2
3
cos x m cos y
sin x cos y m
a/ b/
sin y cos x m
sin x m cos y

=

=

⎨⎨
=
=





()
≤≤ĐS 1 m 2

⎛⎞
+
≤≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1- 5 1 5
ĐS m
22


Th.S Phạm Hồng Danh
TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn

×