Sử Dụng Đạo Hàm Để Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 7 trang )
SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Cho hàm số xác định trên D
+Nếu
thì
+Nếu
thì
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN
Ta thường gặp hai dạng bài toán sau:
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là
+∞). Hãy tìm
và
(nếu chúng tồn tại).
Cách giải. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết
luận. Nếu trên khoảng (a;b) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu), thì giá trị
cực đại đó là giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên
khoảng (a;b).
Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có mợt sớ hữu hạn
điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãi tìm
và
.
Cách giải 1. Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức
là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây:
1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …., xn của f(x) trên đoạn [a;b].
2) Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
3)
;
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk)
trên đoạn [-4;4]
Bài làm
Ta có:
,
Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4]
f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15
Vậy
và
.
Bài 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk)
trên đoạn
Bài làm
Ta có:
Trên đoạn
Vậy max y =
phương trình trên có nghiệm là 2x = ±
, min y =
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số(Bài tập 3b trang 66 Sgk)
trên đoạn [-10;10]
Bài làm
Ta có
Bảng biến thiên
x
-10
1
-
y(x)
2
+ 0
10
- +
132
72
0
0
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của y là [0;132]
,
Bài 4.
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài làm.
Ta có
Đặt t=sinx + cosx (
)
. Khi đó :
. Ta có
với
) với
g(t) =
với
Bảng biến thiên:
t
0
-
+
0
g(x)
-+
8
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của g(t) là
Do f(x)≥0 nên
;
Bài 5.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
Tìm m sao cho
a) Đạt GTNN
b) Đạt GTLN
Bài làm:
Để phương trình có nghiệm
Theo định lí Vi- et thì
Ta có
,
.
Bảng biến thiên :
m
-∞
+
-2
0
2
+
+∞
F
Do đó F lớn nhất =
F nhỏ nhất =
Bài 6.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
Bài làm
Ta có :
Đặt
Suy ra
ta có
nên F(X) nghịch biến trên đoạn [0;1]. Do đó
GTLN của F(X) = F(0)=1, GTLN của F(X) = F(1)=
Bài 7
Cho phương trình :
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Tìm GTLN của
Bài làm:
Để phương trình có nghiệm
Theo định lí Vi – et ta có
trên đoạn [-5;-1]
Do đó
trên đoạn [-5;-1]. Bảng biến thiên
m
-5
-4
0
+
-1
-
A
4
0
Vậy GTLN của A bằng
Ta còn gặp bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến số
Bài 8.
Cho
. Tìm max, min của
Bài làm.
Nếu y=0 thì S=0
Nếu y≠0 thì chia cả tử và mẫu của S cho
, ta có
với
Ta có
,
Mặt khác
Bảng biến thiên:
t
S
-∞
-
t1
0
+
t2
0
-
+∞
0
0
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra:
,
Bài 9.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Với a,b≠0
Bài làm
Đặt
Thì
. Khi đó
Suy ra:
X≥2
X≤-2
Bảng biến thiên
X
F
,
-∞
-
+∞
-2
+
-2
Giá trị nhỏ nhất của F = -2
2
+∞
+∞
2
Bài 10
Cho x,y≥0 và x+y = 1. Tìm GTLN, GTNN của
Bài làm
Từ giả thiết suy ra
Ta có
Đặt xy = t (
), suy ra
. Bảng biến
thiên
Nhìn vào bảng biến thiên ta suy ra: GTLN của S bằng 1; GTNN của S bằng
Bài 11
x≥0
Cho hai số thực x, y thoã mãn :
y≥1
x+y = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức : P = x3 + 2y2 +3x2 + 4xy - 5x
Bài làm
x≥0
x + y = 3 => y = 3 - x . Ta có
=> 0 ≤ x ≤ 2
y≥1
3
2
2
2
P = x + x – 5x + 2(y +2xy + x ) = x3 + x2 – 5x + 2(x + y)2 = x3 + x2 – 5x + 18
Xét f(x) = x3 + x2 – 5x + 18 ;
f’(x) = 3x2 + 2x – 5 ;
f’(x) = 0 <=>
;
loại
Ta có f(0) = 18 ; f(1) = 15 ; f(2) = 20.
Vậy GTLN của P bằng 20 ; GTNN của P bằng 15
Bài tập tự giải:
Bài 1.Với giá trị nào của m thì hàm số:
có GTNN lớn hơn 1?
Bài 2.Tìm p,q để giá trị lớn nhất của hàm số
trên đoạn [-1;1] là bé nhất
Bài 3. Cho x, y > 0 và x + y =1.
Tìm GTNN của
Bài 4. Giả sử
có nghiệm x1 , x2 . Tìm p ≠ 0 sao cho S = x14 + x24 nhỏ nhất
