Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>DẠNG 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</b>
<b>PP: Cho hàm số f(x) xác định trên D</b>

0 0

( ) ,
axf ( )

: ( )

<i>f x</i> <i>M</i> <i>x D</i>

<i>M</i> <i>m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>D f x</i> <i>M</i>

  



  _{ }

  

 <b></b> 0 0

( ) ,
inf ( )

: ( )

<i>f x</i> <i>m x D</i>

<i>m m</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>D f x</i> <i>m</i>

  



  _{ }

  



<b>Lưu ý: </b>

2 2

1 s nx; os 1
0 sin ; os 1
0 sinx; cos 1

<i>i</i> <i>c x</i>
<i>x c</i> <i>x</i>

<i>x</i>

   

  

  

<b>Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b><i>y</i> 2 3cos<i>x</i>_.

Ta có  1 cos<i>x</i>   1 3 3cos<i>x</i>    3 1 2 3cos<i>x</i>5.
cos<i>x</i> 1 <i>x</i>  <i>k</i>2 , <i>k </i> _.

cos<i>x</i> 1 <i>x k</i> 2 , <i>k </i> _.

Hàm số y có giá trị lớn nhất là 5 khi <i>x</i>  <i>k</i>2 , <i>k </i> _.

Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là -1 khi <i>x k</i> 2 , <i>k </i> _.

<b>Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b><i>y</i>2 sin 32 <i>x</i>1_.
Ta có _{0 sin 3}2 <i>_x</i> ₁ _{0 2sin 3}2 <i>_x</i> ₂ _{1 2sin 3}2 <i>_x</i> _{1 1}

          _.

2

sin 3 0 sin 3 0 3 ,
3
<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x k</i>   <i>x k</i>  <i>k </i>

.

2 sin 3 1

sin 3 1 3 ,

sin 3 1 2 6 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>k</i> <i>x</i> <i>k</i> <i>k</i>

<i>x</i> 

  






  _       



 .

Hàm số y có giá trị lớn nhất là 1 khi <i>x</i> 6 <i>k</i>3,<i>k </i>

 

  
.

Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là -1 khi <i>x k</i>3,<i>k </i>



 

.

<b>Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b><i>y</i>2 sin 2<i>x</i>1_.
Ta có 0sin 2<i>x</i> 1 1 <i>y</i> 3_.

sin 2 0 sin 2 0 , .
2
<i>x</i>   <i>x</i>  <i>x k</i>  <i>k </i>

sin 2 1 sin 2 1 , .

4

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Hàm số y có giá trị lớn nhất là 3 khi <i>x</i> 4 <i>k k </i>,



  

.
Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là 1 khi <i>x k</i> 2,<i>k </i>



 

.

<b>Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b>

3
2 sin

3
<i>y</i>

<i>x</i>




 
 _  _
 _.
Ta có 1 sin 3 <i>x</i> 1 1 <i>y</i> 3



 

  _  _   

  .

5

sin 1 2 ,

3 <i>x</i> <i>x</i> 6 <i>k</i> <i>k </i>

 



 

     

 

  .

sin 1 2 ,

3 <i>x</i> <i>x</i> 6 <i>k</i> <i>k </i>

 



 

     

 

  .

Hàm số y có giá trị lớn nhất là 3 khi
5

2 ,
6

<i>x</i>  <i>k</i>  <i>k </i>
.
Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là 1 khi <i>x</i> 6 <i>k</i>2 ,<i>k </i>




  

.
<b>Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b>

4
3 1 cos 2
<i>y</i>

<i>x</i>


  _.

Ta có  1 cos<i>x</i> 1 0 1 cos  <i>x</i> 2 0 1 cos <i>x</i> 2 2 3 1 cos  <i>x</i> 2 3 2 2

4 4

2
3 2 2 3 1 cos<i>x</i> 2

  

   _.

cos<i>x</i> 1 <i>x</i>  <i>k</i>2 , <i>k </i> _.
cos<i>x</i> 1 <i>x k</i> 2 , <i>k </i> _.

Hàm số y có giá trị lớn nhất là 2 khi <i>x</i>  <i>k</i>2 , <i>k </i> _.

Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là

4

3 2 2 _khi<i>x k</i> 2 , <i>k </i> _.

<b>Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b>

3

1
2 sin
<i>y</i>

<i>x</i>

 

 _.

Điều kiện: <i>x </i>0_.

Ta có

3 3

1 sin 1 1 2 sin 3 3 3 3 1 1 4

2 sin 2 sin

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

              

  _.

2

sin 1 2 , 2 ,

2 2

<i>x</i>  <i>x</i>  <i>k</i>  <i>k</i>   <i>x</i> _  <i>k</i> _ <i>k</i> 

 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

2

sin 1 2 , 0, 2 , 0,

2 2

<i>x</i>  <i>x</i> <i>k</i>  <i>k</i> <i>k</i>  <i>x</i>_ <i>k</i> _ <i>k</i> <i>k</i>

 

 

.
Hàm số y có giá trị lớn nhất là 4 khi

2

2 , 0,
2

<i>x</i>_ <i>k</i> _ <i>k</i> <i>k</i>

 


.
Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là 3 1 khi

2

2 ,
2

<i>x</i>   <i>k</i>  <i>k</i> 

 _  _ 

   .

<b>Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số </b><i>y</i> 2 4sin 2<i>x</i>cos2<i>x</i>_.
Ta có <i>y</i> 2 4sin 2<i>x</i>cos2<i>x</i> 2 sin 2 2 <i>x</i>_.

2

0 sin 2 <i>x</i> 1 1 <i>y</i> 2_.

2

sin 2 0 sin 2 0 , .
2
<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x k</i>  <i>k</i> 
2

sin 2 1 sin 2 1 , .

4 2
<i>x</i>  <i>x</i>  <i>x</i> <i>k</i> <i>k</i> 

Hàm số y có giá trị lớn nhất là 2_khi<i>x k</i> 2,<i>k </i>


 

.
Hàm số y có giá trị nhỏ nhất là 1 khi <i>x</i> 4 <i>k</i>2,<i>k </i>

 

  

.
<b>Bài tập tương tự</b>

<b>Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số.</b>

) 2sin( ) 1 ) 2 cos 1

4

<i>a y</i> <i>x</i>  <i>b y</i> <i>x</i>

2 4 2

) 3 sin 2 os2 ) os 2sin 2 ) sin 2 cos 1

<i>c y</i> <i>x c</i> <i>x</i> <i>d y c</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>e y</i> <i>x</i> <i>x</i>

<b>Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số</b>

2

4

) 3 sinx 2 ) sinx 3cos 3 ) 1 2 sin 2 )

1 2sin

<i>a y</i> <i>b y</i> <i>x</i> <i>c y</i> <i>x d y</i>

<i>x</i>

        



<b>Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số</b>

2 2 2 2

2

) 6cos os 2 ) 3sin 4cos 1 ) 2sin 3sin 2 4cos
) (4sin 3cos ) 4(4sin 3cos ) 1

<i>a y</i> <i>x c</i> <i>x b y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>c y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>d y</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

       

    

<b>Bài 4. Cho hai số x, y thỏa mãn </b>

2

2

1

9 4

<i>x</i> <i>y</i>

 

</div>

<!--links-->