12. Bất Phương Trình Mũ - Logarit (Da-Vd).Pdf

Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT

Chuyên đề 20

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ-GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM
DẠNG 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Sử dụng các phương pháp giải phương trình logarit đã đưa ra tại Chuyên đề 19. Phương trình mũ
– logarit để giải
Câu 1.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 2log 2  x  1  log 2  5  x   1 là
A. 3;5

B. 1;3

C. 1;3

D. 1;5 

Lời giải
Chọn B
Điều kiện: 1  x  5 .
Ta có 2log 2  x  1  log 2  5  x   1  log 2  x  1  log 2  2  5  x    x  1  10  2 x
2

2

 x 2  9  0  3  x  3 . Vậy tập nghiệm của bpt là S  1;3 .

Câu 2.

(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tìm tập nghiệm

S

của bất phương trình

2 log3  4 x  3  log 3 18 x  27  .
 3 
A. S    ;3 .
 8 

3 
B. S   ;3 .
4 

3

C. S   ;    .
4


Lời giải

D. S  3;    .

2 log3  4 x  3  log3 18 x  27 * .

4 x  3  0
3
x .
Điều kiện: 
4
18 x  27  0
Với điều kiện trên, *  log 3  4 x  3   log 3 18 x  27 
2

  4 x  3   18 x  27
2

3
   x  3.
8
3 
Kết hợp điều kiện ta được S   ;3 .
4 

(THPT Yên Khánh - Ninh Bình -2019) Tập nghiệm của bất phương trình log 22  2 x   log 2

T

1 
D.  ; 2  .
2 

E

C. 1;5 .

I.
N

chứa tập hợp nào sau đây?
3 
A.  ;6  .
B.  0;3 .
2 

x
9
4

H

Lời giải
N

T

+ Điều kiện: x  0 .

A

IL

IE

U

O

+ Ta có:

T

Câu 3.

Trang 1



Tài Liệu Ôn Thi Group

x
2
 9  1  log 2 x   log 2 x  2  9  log 22 x  3log 2 x  10  0
4
1
 5  log 2 x  2  5  x  4
2

log 22  2 x   log 2

.

1 
 1 

Vậy x   5 ; 4  chứa tập  ; 2  .
2 
2

Câu 4.

(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình log 1  x  1  log 3 11  2 x   0
3

là:
A.  ; 4 .

B. 1; 4 .

 11 
D.  4;  .
 2

C. 1; 4  .
Lời giải

Chọn D
x  1
 x 1  0

 11 
ĐK: 

11  x   1; 
 2

11  2 x  0
 x  2

Ta có log 1  x  1  log 3 11  2 x   0  log 3
3

11  2 x
11  2 x
 11 
0
 0  x  1; 
x 1
x 1
 2

 11 
 11   11 
Kết luận: x   1;  . Vì x   4;   1;  . Ta chọn đáp án D
 2
 2  2
Câu 5.

(Sở Phú Thọ 2019) Tập nghiệm của bất phương trình log 1  x  1  log 3 11  2 x   0 là
3

A.  ; 4

B. 1; 4

 11 

D.  4; 
 2

C. 1; 4 
Lời giải

Chọn B
Điều kiện xác định: 1  x 

11
.
2

Khi đó ta có: log 1  x  1  log 3 11  2 x   0  log3 11  2 x   log3  x  1  11  2 x  x  1  0
3

x  1

 x  1; 4 .
x  4
E

T

(Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình log 1  x  1  log 3 11  2 x   0 là:

I.
N

Câu 6.

C. S  1; 4 .

 11 
D. S   3;  .
 2
U

O

Lời giải
IL

IE

log 1  x  1  log 3 11  2 x   0  log3 11  2 x   log 3  x  1  0

Trang 2


T

A

3

11  2 x  x  1
 log 3 11  2 x   log 3  x  1  
1 x  4 .
x 1  0

T

B. S  1; 4  .

N

A. S    ; 4 .

H

3


Tài Liệu Ôn Thi Group

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 4 .
Câu 7.

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình

2 log 2 x  1  2  log 2  x  2  bằng
A. 12

B. 9

C. 5
Lời giải

D. 3

Chọn D
x 1  0
 x  1
Điều kiện 

x2
x  2  0
x  2

2 log 2 x  1  2  log 2  x  2   log 2  x  1  log 2


4
4
 x 1 
 x  2
 x  2

x2  x  2  4
x2  x  6
0
 0  x   ; 2   2;3
x2
x2

Suy ra nghiệm của bất phương trình là: x   2;3 .

Nghiệm nguyên là: x  3 . Vậy tổng tất cả các nghiệm nguyên là 3
Câu 8.

(Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất cả giá trị của tham số m để bất phương trình

log  2 x 2  3   log  x 2  mx  1 có tập nghiệm là  .

A. 2  m  2 .

B. m  2 2 .

C. 2 2  m  2 2 . D. m  2 .
Lời giải

Ta có log  2 x 2  3  log  x 2  mx  1
2
2
 x  mx  1  0
 x  mx  1  0
 2

 

2
2
2 x  3  x  mx  1
 x  mx  2  0

Để bất phương trình log  2 x 2  3   log  x 2  mx  1 có tập nghiệm là  thì hệ   có tập nghiệm
là 

1  m 2  4  0

 2  m  2 .
2
2  m  8  0
Câu 9.

(Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log 22 x  5log 2 x  4  0 .
A. S  (   ; 1]  [4 ;  ) B. S  [2  ;16]

E

T

C. S  (0  ; 2]  [16 ;  ) D. (   ; 2]  [16 ;  )
Lời giải
Chọn C
Điều kiện x  0

T

H

I.
N

log 2 x  4
 x  16


Bpt  
x  2
log 2 x  1

O
U

IL
A

log 22 x  2 log 2 x  3m  2  0 có nghiệm thực.

IE

(Mã 105 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
T

Câu 10.

N

Kết hợp điều kiện ta có S   0; 2   16;   .

Trang 3



Tài Liệu Ôn Thi Group

A. m  1

B. m  1

C. m  0

D. m 

2
3

Lời giải
Chọn.A
Đặt t  log 2 x  x  0  , ta có bất phương trình : t 2  2t  3m  2  0 .
Để BPT ln có nghiệm thực thì   3  3m  0  m  1 .
Câu 11.

(THPT

Đồn

Thượng

-

Hải

Dương

2019)

Biết

rằng

bất

phương

trình

log 2  5x  2   2.log 5x  2 2  3 có tập nghiệm là S   log a b;   , với a , b là các số nguyên





dương nhỏ hơn 6 và a  1 . Tính P  2a  3b .
A. P  7 .
B. P  11.

C. P  18 .
Lời giải

D. P  16.

Đặt log 2 (5x  2)  t . Do 5 x  2  2 với mọi x nên log 2 (5x  2)  log 2 2  1 hay t  1 .
Bất phương trình đã cho trở thành: t 

t 1
2

.
 3  t 2  3t  2  0 (do t  1 )  
t
t  2

Đối chiếu với t  1 ta lấy t  2 .
Khi đó log 2 (5x  2)  2  5x  2  x  log5 2 .
Vậy bất phương trình có nghiệm là S  (log5 2; ) , ta có a  5, b  2  2a  3b  16 .
Câu 12. Tập nghiệm S của bất phương trình log 22 x  5log 2 x  6  0 là
1

A. S   ; 64  .
2



 1
B. S   0;  .
 2

C. S   64;   .

 1
D. S   0;    64;   .
 2
Lời giải

log 22 x  5 log 2 x  6  0 1

ĐK: x  0 *

Đặt t  log 2 x  2 

1

 2

thành t 2  5t  6  0  1  t  6   1  log 2 x  6 

So với * : 1 

1
 x  64
2

1
 x  64
2

E

T

1

Vậy S   ; 64 .
2


Lời giải
Trang 4

T
N
O
U

IL

IE

D. S   2;   .
A



của bất phương trình max log 2 x; log 1 x   1.
3 

1 
 1
A. S   ; 2  .
B. S   0;2  .
C. S   0;  .
3 
 3

H

I.

N

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Kí hiệu max a; b là số lớn nhất trong hai số a , b. Tìm tập nghiệm S

T

Câu 13.


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Chọn A

y  log 2 x  log 1 x  log 2 x  log 3 x
3

y' 

1
1

 0, x  0 nên phương trình y  0 có nghiệm duy nhất
x ln 2 x ln 3

Mà phương trình y  0 có nghiệm x  1 do đó
TH1: x  1: log 2 x  log 1 x
3



1
Ta có max log 2 x; log 1 x   1.  log 1 x  1  x 
3
3 
3

Do đó

1
 x 1
3

TH2: x  1: log 2 x  log 1 x
3



Ta có max log 2 x; log 1 x   1.  log 2 x  1  x  2
3 

Do đó 1  x  2
1 
Vậy S   ; 2  .
3 
1 
S   ; 2 .
3 





(Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình log 2 x x 2  2  4  x 2  2 x  x 2  2  1



là  a ;  b  .
Khi đó a.b bằng
15
A.
.
16
Ta có: x x 2  2  x 2  x

B.

12
.
5



x2  2  x 







16
.
15
Lời giải
2x
.
2
x 2x

C.

D.



Ta có: log 2 x x 2  2  4  x 2  2 x  x 2  2  1  log 2 x



5
.
12

 

x2  2  x  4  2 x  x2  2  1



E
U

O

N

2

H

x  0
8

 x   , *
Điều kiện: 3x  2 x  2  0  2 x  2  3x    x  0
5
  4 x 2  8  9 x 2

2

I.
N

x 2  2  x  0 , x   .

T

Ta có

T

2 3x  2 x 2  2


2x
2
 log 2 
 4   2 x  x  2  1  log 2
 2 x  x 2  2  1, 1
2
2
x 2x
 x 2x






IL



x 2  2  3 x  2 x 2  2  log 2

x 2  2  x  x 2  2  x,  2 
A

1  log 2  3x  2

IE

Với điều kiện * , ta có
T

Câu 14.

Trang 5



Tài Liệu Ôn Thi Group

Xét hàm số f  t   log 2 t  t với t  0 . Có f   t  



1
 1  0 , t   0;   .
t.ln 2



Hàm số f  t   log 2 t  t đồng biến trên  0;   , 3 x  2 x 2  2   0;   và





x 2  2  x   0;  

 



Nên  2   f 3 x  2 x 2  2  f

x2  2  x



 2 x  0
x  0
2
 2
x
 3x  2 x 2  2  x 2  2  x  x 2  2  2 x   2
.
2
3
x  2  4x
3x  2
 8
16
2
Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là   ;   hay a.b  .
 5
15

3

Chọn đáp án
C.

Câu 15.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Bất phương trình  x 3  9 x  ln  x  5   0 có bao nhiêu nghiệm
ngun?
A. 4.

B. 7.

C. 6.
Lời giải

D. Vơ số.

Chọn C
Điều kiện: x  5 .
 x  3
x  0
 x  9x  0
Cho  x 3  9 x  ln  x  5   0  
.

x  3
 ln  x  5   0

 x  4

Bảng xét dấu:
3

 4  x  3
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f  x   0  
.
0  x  3
Vì x    x  4;  3;0;1; 2;3 .
Vậy có 6 giá trị nguyên của x thỏa bài tốn.
(THPT

Đồn

Thượng

–

Hải

Dương

2019)

Biết

rằng

bất

phương

trình

log 2  5  2   2.log 5x  2 2  3 có tập nghiệm là S   log a b;   , với a , b là các số nguyên
D. P  16.

E

dương nhỏ hơn 6 và a  1 . Tính P  2 a  3b .
A. P  7 .
B. P  11.
C. P  18 .
Lời giải
Chọn D

T



I.
N



H

x

T

Câu 16.

Khi đó log 2 (5x  2)  2  5x  2  x  log5 2 .
Trang 6


T

A

Đối chiếu với t  1 ta lấy t  2 .

O
U

IE

t 1
2
.
 3  t 2  3t  2  0 (do t  1 )  
t
t  2

IL

Bất phương trình đã cho trở thành: t 

N

Đặt log 2 (5x  2)  t . Do 5 x  2  2 với mọi x nên log 2 (5x  2)  log 2 2  1 hay t  1 .


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

Vậy bất phương trình có nghiệm là S  (log5 2; ) , ta có a  5, b  2  2a  3b  16 .
Câu 17.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình

log 2  x 2  3  log 2 x  x2  4 x  1  0 .
A. 4 .

B. 6 .

C. 5 .
Lời giải

D. 3 .

Chọn B
Điều kiện: x  0 .
Ta có

log 2  x2  3  log 2 x  x2  4 x  1  0  log 2  x2  3  x 2  3  log 2 4 x  4 x * .

Xét hàm số f  t   log 2 t  t trên D   0;    . Ta có

f t  

1
 1  0 t  D  hàm số f đồng biến trên D .
t ln 2

Suy ra

*  f  x2  3  f  4x   x 2  3  4 x  1  x  3 .

Vậy tập hợp các nghiệm nguyên của bất phương trình là 1; 2; 3 .
Nhận xét: Với cách hỏi và đáp án của câu này ta chỉ cần mở MODE 7 của máy tính cầm tay, nhập
vế trái của bất phương trình và cho biến chạy từ 1 đến 6 là tìm được đáp án ngay.

 x2  x  1 
(HKI-NK HCM-2019) Biết bất phương trình log 2 

 16 x  3 





2

x  2  x  1 có tập nghiệm

là S   a; b  . Hãy tính tổng T  20a  10b.
A. T  45  10 2 .

B. T  46 10 2 .

C. T  46 11 2 .

D. T  47 11 2 .

Lời giải:
Chọn A
Điều kiện: x  0 .





x  2  x  1  log 2  x 2  x  1  log 2 16 x  3  2 x  4 x  3  0
2

2

1 3

1 3

 log 2   x      2   x      log 2  2 x


2 4
2 4









2

3
3

   22 x  
4
4


E

3
2t

 3
Xét hàm số f  t   log 2  t 2    2  t   với t  0 có f   t  
 2  0 , t  0
4
 2 3

 4
 t   ln 2
4



T

 x2  x  1 
log 2 

 16 x  3 

H

I.
N

nên f  t  đồng biến trên khoảng  0;   .

3 2 2
3 2 2
;b 
 T  20a  10b  45  10 2
2
2

A

a

IL

IE

U

O

N

T

x  0
1 3
3
1
32 2
3 2 2



x
Suy ra  x     2 x   2 x  x    2
1
2 4
4
2
2
2

 x  3x  4  0
T

Câu 18.

Trang 7



Tài Liệu Ơn Thi Group

Câu 19.

(THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Tập nghiệm của bất phương trình log 3 10  3 x1   1 x chứa
mấy số nguyên.
A. 3 .

B. 5 .

C. 4 .
Lời giải

D. Vô số.

Chọn A
Ta có log 3 10  3x1   1 x  10  3x1  31 x  3.3x 
Giải (*) ta có

3
10  0 (*).
3x

1

 3x  3  1  x  1 . Vậy có 3 số nguyên thuộc tập nghiệm của bất phương
3

trình.
Câu 20.

(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2018) Số nghiệm nguyên của bất phương trình
log 2 x  log 3 x  1  log 2 x.log 3 x là
A. 1 .

C. 3 .

B. 2 .

D. Vô số.

Lời giải
Điều kiện xác định: x  0 .
Ta có: log 2 x  log 3 x  1  log 2 x.log 3 x   log 2 x  1 log 3 x  1  0
 log 2 x  1  0
 0  x  2


log 3 x  1  0
x  3



 2 x 3.
 log x  1  0

 x  2
2


 log 3 x  1  0
 0  x  3
Do đó có 2 nghiệm nguyên thỏa mãn.

3x  7 
(THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Bất phương trình log 2  log 1
  0 có tập nghiệm
 3 x3 
là  a; b  . Tính giá trị P  3a  b .

O
U
IL

(THPT Ngô Quyền - Hải Phịng - 2018) Tập nghiệm của bất phương trình log 1   log 2 x   0 là
T

A

Câu 22.

7
7
; b  3 . Vậy P  3a  b  3.  3  4 .
3
3

IE

Suy ra a 

N

 3x  7
 3x  7

0
 x3  0
 3x  7
 3x  7
 x3


0
 x3  0
 x  3


3x  7 
3x  7

 3x  7
log 2  log 1
0 
1  


  0  log 1
8 x  3
3
x

7
1
x

3
 3

 x3

 
 3 x3
0


 3x  7 1
 3  x  3
 x  3 3
3x  7
1
log 1
 x3  3

 3 x  3

7


 x   ;  3   3 ;   



7 

 x   ;3 .
3 
 8  x  3  0 x   3;3
 3  x  3

T

D. P  7 .

E

C. P  10 .
Lời giải

I.
N

B. P  4 .

H

A. P  5 .

T

Câu 21.

Trang 8


3


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

1 
C.  ;4  .
4 

B. 1;2  .

A.  0;5 .

 1
D.  0;  .
 2

Lời giải

x  0
x  0


 0  x 1
Điều kiện xác định: 
 log 2 x  0  x  1
log 1   log 2 x   0   log 2 x  1  log 2 x  1  x 
3

1
2

 1
So sánh điều kiện, suy ra S   0;  .
 2

Câu 23.

(THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
log 2 5 x 5  25 log 5 x 2  75  0 là
A. 70 .

B. 64 .

C. 62 .
Lời giải

D. 66 .

Điều kiện x  0 .

log2 5 x 5  25 log

1
5

5

 x  125 . Nghiệm nguyên của bất phương trình là: 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11 .

S  1  2  ...  11 
Câu 24.

1
3
x 2  75  0  4 log52 x  4 log5 x  3  0    log5 x  
2
2

11. 11  1
2

 66 .

(THPT Lương Văn Can - 2018) Cho bất phương trình  log x  1 4  log x   0 . Có bao nhiêu số
nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.
A. 10000 .
B. 10001 .

C. 9998 .

D. 9999 .

Lời giải

 log x  1 4  log x   0 1
Điều kiện: x  0 .
1
 x  10000 . Vì x   nên x  1; 2;3;...;9999
10
Vậy có tất cả 9999 số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên.

Khi ấy 1  1  log x  4 

DẠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ đã đưa ra tại Chuyên đề 19. Phương trình mũ –
logarit để giải
E
I.
N
H

D.  4; .

T

C. ; 4
Lời giải

N


1

B. ;   .

4 

O

 1

A.  ; 
 4


T

(THPT Trần Phú - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình: 3x  24 x1  82 x1   0

U

Chọn A

3

3

IL
A

 4.2 2 x  8.2 2 x   0  2.2 2 x   2 2 x  0(*)

IE

3x  24 x1  82 x1   0  4 x1  82 x1  0
T

Câu 1.

Trang 9



Tài Liệu Ôn Thi Group


 2  t  0

Đặt 2 2 x  t , t  0 , suy ra bpt (*) trở thành: 2.t 3  t  0   2

t  2

2

Giao với Đk t  0 ta được: t 

1

2
2
1
1
 22 x 

 22 x  2 2  2 x    x  
2
2
2
4

 1

Vậy tập nghiệm của BPT đã cho là T   ;  .
 4


Câu 2.

(Lý Nhân Tơng - Bắc Ninh 2019) Bất phương trình 32 x 1  7.3 x  2  0 có tập nghiệm là
A.   ; 1   log 2 3;   .

B.   ; 2    log 2 3;   .

C.   ; 1   log3 2;   .

D.   ; 2    log 3 2;   .
Lời giải

Chọn C
Ta có 32 x 1  7.3 x  2  0  3.  3x   7.3x  2  0 .
2

1


t  0
0t
Đặt 3 x  t  0 ta được  2

3.

3t  7t  2  0
t  2
1

0  3x  31
0  3x 
 x  1


Suy ra
.
3 x
log
2
 x
x  log3 2
3 3 3


3  2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là   ; 1   log 3 2;   .
Câu 3.

(Chuyên ĐH Vinh -2019) Biết tập nghiệm của bất phương trình 2 x  3 

a  b bằng
A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .

2
là  a ; b  . Giá trị
2x

D. 1.

Lời giải
Chọn D
Ta có: 2 x  3 

2
2
  2 x   3.  2 x   2  0  1  2 x  2  0  x  1 .
x
2

Tập nghiệm của bất phương trình là: S   0;1 .
Suy ra a  0 và b  1 nên a  b  1 .
B.  3;    .

C. 1;    .

D.  ;3 .

E

A.  ;1 .

T

(Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 33 x 1  9  3 x 1  9.32 x  0 là
I.
N

Câu 4.

H

Lời giải
O

N

T

Chọn C
Ta có 33 x 1  9  3x 1  9.32 x  0  3.33 x  9  3.3 x  9.32 x  0

Trang 10

IL
A
T

Ta có bất phương trình 3t 3  9  3t  9t 2  0
 3t 3  9t 2  3t  9  0

IE

U

Đặt 3x  t  t  0  .


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

 3t 2  t  3  3  t  3  0
  3t 2  3  t  3  0
 t 3  0
t 3
Khi đó ta có 3 x  3  x  1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1;    .
Câu 5.

(THPT Đông Sơn 1 - Thanh Hóa - 2019) Bất phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  0 có tập
nghiệm là?
A. S   ; 1  1;   .

B. S   ; 2   1;   .

C. S   ; 1  1;   .

D. S   ; 2   2;   .
Lời giải

Chọn C
 2  x 3
  
2x
x
2
 x  1
2
2
3


x
x
x
Ta có 6.4  13.6  6.9  0  6.    13.    6  0  

.
x

3
3

x 1
2
2

  
3
 3 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S    ;  1  1;   .
.
(Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho bất phương trình: 2.5 x  2  5.2 x  2  133. 10 x  0 có tập
nghiệm là: S   a; b  . Biểu thức A  1000b  5a có giá trị bằng
A. 2021

B. 2020

C. 2019
Lời giải

D. 2018

Chọn B
2

Ta có: 2.5

x2

 5.2

x2

2

x x
 x
 x
 133. 10  0  50.  5 2   133.5 2.2 2  20.  2 2   0
 
 
x

E
I.
N
H
T

A

IL

IE

U

O

N

x

1
  5  2  1
 x
  2 
x
x
x
  2x

1
1

  2  1  0

x
 2.5  5.2 2  0
 5 2  2 2

  5  2  2
 x  2

 x 2
x
x
x
 x  2  0
2


1







2
2
2
2
 25.5  4.2  0
 5  2
  2
 x  4
  2 





x
x
x
 x  2
1
1
  2x
  2x 1


 x  1  0
2
2
2

5



2.5

5.2

0
5

2


  2
    1
  x  4
x
x
x

 x 2
 2 


2



x
 25.5 2  4.2 2  0
 5 2  2 2
  2  0
x
 
2
2
  2
  5   1


  2 

 4  x  2 . Suy ra S   4; 2 . Vậy A  1000b  5a  1000.2  5.  4   2020 .

T

x
x
x
x
x
2 
 x



 x
 x  2
  2.5 2  5.2 2   25.5 2  4.2 2   0   2.5 2  5.2 2  5 2  2 2   0







T

Câu 6.

Trang 11



Tài Liệu Ơn Thi Group

Câu 7.

(Tốn

Học

Tuổi

Trẻ

17 12 2   3  8
x

A. 3 .



x2



x



Số

B. 1.

 

x 2 2 x

2019)

nghiệm

nguyên

của

bất

phương

trình:

là:

Ta có: 17 12 2  3  8

 3 8

Năm



x2



 3 8



C. 2 .
Lời giải

2x

D. 4 .



 3 8



x2

 1  x 2  2 x  0  x  2;0 .

Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm ngun.
Câu 8.

(Chun Lê Q Dơn Diện Biên 2019) Tìm tập nghiệm của bất phương trình
2 x  2 x 1  3 x  3x 1 .
A.  2;  .
Ta có 2  2
x

 2
 
 3

C.  ; 2 .

B.  ; 2  .
x 1

3 3
x

x 1

 3.2  4.3
x

x 1

Lời giải
 2 x  2  3x  2

x2

1 x  2  0  x  2.
2

Câu 9.

D.  2;   .

1

1

 1 x
 1 x
(Chuyên Hưng Yên 2019) Cho bất phương trình    3    12 có tập nghiệm S   a ; b  .

 3
3
Giá trị của biểu thức P  3a  10b là
A. 5 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Lời giải
1

 1 x
Đặt t     t  0  . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành
3

t 2  t  12   t  3 t  4   0  t  3 (vì t  0 ).
1

1
 1 x
Từ đó suy ra:    3   1  1  x  0 . Tập nghiệm của bất phương trình là  1;0  .
x
 3
Vậy a  1 và b  0 . Suy ra P  3a  10b  3 .

Câu 10.

(Chuyên Hạ Long 2019) Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm ngun dương

9 x  4.3x  3  0 .
A. 3.

B. 1.

C. 0.
Lời giải

D. 2.

H

E

I.
N

Bất phương trình đã cho trở thành t 2  4.t  3  0  1  t  3  1  3x  3  0  x  1 .
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S   0,1 nên nó khơng có nghiệm nguyên dương.

T

Đặt t  3x  0 .

Lời giải
Trang 12


O
U

D. S   ; 2   2;   .

IE

C. S   ; 1  1;   .

IL

B. S   ; 2   1;   .

A

A. S   ; 1  1;   .

N

T

(THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Bất phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  0 có tập nghiệm là?

T

Câu 11.


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

2
Ta có 6.4 x  13.6 x  6.9 x  0  6.  

3

2x

2
 13.  
3

x

 2  x 3
  
2
 x  1
 3 
6 0  

.
x
x 1

2
2



 3   3


Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ; 1  1;   .

Câu 12.

(THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình

2  3

x 2  4 x 14

 7  4 3 là:

A.  6; 2 .

B.    6   2;   . C.  6; 2  .

D.  ; 6    2;   .

Lời giải



 



2





Ta có 7  4 3  2  3 , 2  3 2  3  1 và 2  3  2  3



2 3



x 2  4 x 14



74 3  2 3



x 2  4 x 14



 2 3





1



 74 3  2 3



2

.

2

 x 2  4 x  14  2  x 2  4 x  12  0  6  x  2 .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm  6; 2 .
Câu 13.

(Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 6 x  4  2 x 1  2.3x
A. 2.
B. 3.
C. 1.
D. 0
Lời giải
Chọn C
6 x  4  2 x 1  2.3 x  6 x  4  2.2 x  2.3x  0
 2 x  3x  2   2  2  3x   0
  3x  2  2 x  2   0

 x   log3 2;1
(Chuyên Thái Bình 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 3x

2

9

  x 2  9  .5 x 1  1 là khoảng

 a ; b  . Tính b  a
A. 6 .
3x

2

9

B. 3 .

  x 2  9  .5 x 1  1 1 .

C. 8 .
Lời giải

D. 4 .

T

Có 5 x 1  0 x .


  VT 1  1 luôn đúng.
 x 2  9  .5x1  0 
3x

2

9

I.
N
O

N

T

H

 30  1

U

9

 30  1

Có x 2  9  0  x   3;3 .

IE

2

IL

Xét x  9  0 
2


  VT 1  1 (loại).
 x 2  9  .5x1  0 

3x

A

Xét x  9  0 
2

E

Xét x 2  9  0 , VT 1  30  0  1 (loại).

T

Câu 14.

Trang 13



Tài Liệu Ôn Thi Group

 Tập nghiệm của bất phương trình là:  3;3  b  a  6 .

Câu 15.

(

Hsg

Bắc

23

Ninh

2019)

Bất

phương

trình

3  43 7
3 2

có bao nhiêu nghiệm?
2
x
3
2  32 x  2  32 x
4  34 x  2  32 x
A. Vô số.

B. 1.
C. 2.
D. 3
Lời giải
2x
Đặt t  3  0 , bất phương trình đã cho trở thành
2x



4x

4x

2x

2t
t2  4  t2  7
t2


1
t
2t  2t
4  t2  2  t
Điều kiện: 0  t  2

1 

2t



2t  2t
2t

t

2

 4  t2  7
t2

t
4  t2  2  t



2
t  3 4  t 2  2t 2  12
t 2
t  3 4  t 2  2t 2  12  t  2  4  t  2  t




2t
2t
2t 2  4t
4  t2  2  t



 t  3 4  t 2  2t 2  12   4  t 2  2  t  4 4  t 2  2t 2  10  0





2
1
4  t 2  1  0  t  3 . Với t  3  32 x  3  x  .
4
Vậy bất phương trình có 1 nghiệm duy nhất.



Câu 16.

(KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Số nghiệm nguyên thuộc đoạn  20; 20 của bất phương
trình: 2 2 x 1  9.2 x  4 x 2  2 x  3  0 là
A. 38 .
B. 36 .
Chọn

C. 37 .
Lời giải

D. 19 .

B.

Điều kiện: x 2  2 x  3  0  x  3 hoặc x  1 * .
Vì x là số nguyên thuộc đoạn  20; 20 nên ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1. 3  x  20 , khi đó dễ thấy 2 2 x 1  9.2 x  2 x  2 x 1  9   0 nên
2 2 x 1  9.2 x  4 x 2  2 x  3  0 , do đó trên 3; 20 bất phương trình có 18 nghiệm nguyên.

E

T

Trường hợp 2. x  2 thay trực tiếp vào bất phương trình ta có: 4 5  4  0 (đúng).
Do đó x  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 3. x  1 thay trực tiếp vào bất phương trình ta có: 10  0 (sai).
Do đó x  1 khơng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trường hợp 4. 20  x  4 . Khi đó, xét hàm số: f  x   x 2  2 x  3 , dễ thấy
I.
N

min f  x   f  4   5 nên 4 x 2  2 x  3  4 5, x   20; 4   a  .

H

 20;4

N

T

Mặt khác, đặt t  2 x , khi đó 22 x 1  9.2 x  2t 2  9t , 20  x  4  220  t  24 .

U
IE

71
b
128
T

A

IL

min g  t   g  2 4   

 220 ; 2 4 



O

Khi đó xét hàm số g  t   2t 2  9t với 2 20  t  24 , dễ thấy

Trang 14



Tài Liệu Ôn Thi Group





TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

71
 0 . Do đó
128
bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi 20  x  4 , nên trên đoạn  20; 4 bất phương
Từ  a  ,  b  suy ra min h  x   2
 20;4

2 x 1

 9.2  4 x  2 x  3  h  4   4 5 
x

2

trình có 17 nghiệm ngun.
Trường hợp x  3 thay trực tiếp vào bất phương trình ta thấy khơng thỏa mãn.
Vậy số nghiệm ngun của bất phương trình là: 36.
Câu 17.

(Chuyên Thái Nguyên 2019) Tập hợp tất cả các số thực x khơng thỏa mãn bất phương trình

9x

2

4

  x 2  4  .2019 x2  1 là khoảng  a; b  . Tính b  a .

A. 5 .

C. 5 .
Lời giải

B. 4 .

D. 1 .

Xét hai trường hợp: x 2  4  0 và x2  4  0
x  2
TH1: x 2  4  0  
khi đó ta có:
 x  2

9 x2 4  9 0  1
2

 9 x 4   x 2  4 2019 x2  1

x

2
0
x  2  0  2019  2019  1

x 2  4  0

Dấu "  " xảy ra  
 x2
x  2  0

TH2: x2  4  0  2  x  2 , khi đó ta có:
2
9 x 4  9 0  1
2
 9 x 4   x 2  4 2019 x2  1

x  2  0  2019 x2  2019 0  1

 bất phương trình vô nghiệm

Vậy tập hợp tất cả các số thực

x

không thỏa mãn bất phương trình là

( 2; 2)  a  2; b  2  b  a  4

(THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 3x

2

9

  x 2  9  .5x 1  1 là

khoảng  a; b  . Tính b  a .
A. 6.

B. 3.

C. 8.
Lời giải

D. 4.

Chọn A

3x 9  30  1
2
nên 3x 9   x 2  9  .5x 1  1
 2
x 1
 x  9  .5  0
 không thỏa mãn bất phương trình đã cho, do đó bất phương trình vơ nghiệm.

 x  3
, ta có
Với x  9  0  
x  3

2

3x 9  30  1
2
2

Với x  9  0  3  x  3, ta có  2
nên 3x 9   x 2  9  .5x 1  1
x 1
 x  9  .5  0

N

T

H

I.
N

E

T

2

A

 Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S   3;3 .

IL

IE

U

O

2

T

Câu 18.

Trang 15



Tài Liệu Ơn Thi Group

Khi đó, a  3; b  3 nên b  a  6 .
Câu 19.

(Chuyên Bắc Ninh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của x trong đoạn  0; 2020 thỏa mãn bất
phương trình sau
16 x  25x  36 x  20 x  24 x  30 x .
A. 3 .
B. 2000 .

C. 1 .
Lời giải

D. 1000 .

Chọn C
Ta có

16 x  25x  36 x  20 x  24 x  30 x  42 x  52 x  62 x  4 x.5x  4 x.6 x  5x.6 x
2
2
2
 2  4 x    5 x    6 x     2.4 x.5 x  2.4 x.6 x  2.5 x.6 x   0


  4 x  5x    4x  6 x    5x  6 x 
2

2

2

 45  x  1
 4x  5x  0
 x

 0  4 x  6 x  0   46   1  x  0  0; 2020 .
5x  6 x  0
 5 x

 6   1

Vậy có 1 giá trị nguyên của x trong đoạn  0; 2020 thỏa mãn bất phương trình.
Câu 20.

(Hải

Hậu

(32 x  9)(3x 

-

Nam

Định

-

2020)

Tập

nghiệm

của

bất

phương

trình

1
) 3x1  1  0 chứa bao nhiêu số nguyên ?
27

A. 2.

B. 3.

C. 4.
Lời giải

D. 5.

Chọn B
x 1

x 1

Điều kiện 3  1  0  3  1  x  1 .
Ta có x  1 là một nghiệm của bất phương trình.
Với x  1 , bất phương trình tương đương với (32 x  9)(3x 

1
)  0.
27

 t  3
1
1
Đặt t  3  0 , ta có (t  9)(t  )  0  (t  3)(t  3)(t  )  0   1
. Kết hợp
 t 3
27
27
 27

1
1
x
điều kiện t  3  0 ta được nghiệm
t 3 
 3x  3  3  x  1 . Kết hợp điều
27
27
kiện x  1 ta được 1  x  1 suy ra trường hợp này bất phương trình có 2 nghiệm ngun.
x

2

A.  0;1   2;    .

B.  ;1   2;    .C. 1; 2 .

D.  ;0   2;    .

H

Lời giải

T

Đặt 3  t , t  0 .
Xét phương trình: t 2  2  x  5  t  9  2 x  1  0 1 .

U

O

N

x

IE

Ta có    x  5   9  2 x  1  x 2  8 x  16   x  4  nên phương trình 1 ln có nghiệm.
Do đó bất phương trình đã cho trở thành 3x  x  5 (luôn đúng khi x  4 ).
Trang 16


A

Nếu x  4    0 thì phương trình 1 có nghiệm kép t  x  5 .

IL

2

T

2

E

(THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Tập nghiệm của bất phương trình
9 x  2  x  5  .3x  9  2 x  1  0 là
I.

N

Câu 21.

T

Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 3 nghiệm ngun.


Tài Liệu Ôn Thi Group

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

t  2 x  1
Nếu x  4    0 thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 
.
t  9
Xét các phương trình 3x  9  x  2 1 và 3x  2 x  1  3x  2 x  1  0  2  .
Đặt f  x   3x  2 x  1 ; ta có f   x   3x ln 3  2 là hàm số đồng biến trên  .
Lại có f  0   f 1  0 và f   0   0 , f  1  0 nên f   x  đổi dấu một lần duy nhất trong
khoảng  0;1 .
Vậy phương trình  2  có đúng hai nghiệm x  0 , x  1 .
Lập bảng xét dấu cho 1 và  2  ta được tập nghiệm của bất phương trình là: S   0;1   2;    .
Câu 22.

(Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Tập nghiệm của bất phương trình 2.7 x  2  7.2 x  2  351. 14 x có dạng
là đoạn S   a; b . Giá trị b  2 a thuộc khoảng nào dưới đây?





B.   4; 2  .

A. 3; 10 .

C.





7; 4 10 .

 2 49 
D.  ;  .
9 5 

Lời giải
2.7 x  2  7.2 x  2  351. 14 x  49.7 x  28.2 x  351. 14 x  49.

 49.

72 x
22 x

28.
 351
14 x
14 x

28
7x
2x
7x

28.

351
.
Đặt
t

, t  0 thì bpt trở thành 49t 
 351
x
x
x
2
7
2
t

4
7
4
7x 7

t  


  4  x  2 , khi đó S   4; 2 .
49
2
49
2x 2
Giá trị b  2 a  10 
Câu 23.





7; 4 10 .

1
(Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho f  x   .52 x1 ; g  x   5 x  4 x.ln 5 . Tập nghiệm của bất
2
phương trình f   x   g   x  là
A. x  0 .

B. x  1 .

C. 0  x  1 .
Lời giải

D. x  0 .

1
Ta có: f   x   .52 x 1.  2 x  1 .ln 5  52 x 1.ln 5 .
2

Và: g   x   5x.ln 5  4ln 5   5 x  4  ln 5 .

Do đó: f   x   g   x   52 x 1.ln 5   5x  4  ln 5  52 x1  5x  4  5.52 x  5x  4  0

E
I.
N
H

T

(THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Bất phương trình 2.5x  2  5.2 x  2  133. 10 x có tập

Lời giải

O
U

D. 2017 .
IE

C. 1004 .

IL

B. 4008 .

A

A. 3992 .

N

nghiệm là S   a; b  thì biểu thức A  1000b  4a  1 có giá trị bằng

T

Câu 24.

T

4
 x
5   VN 


 5x  1  x  0 .
5
 x
5  1
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x  0 .

Trang 17



Tài Liệu Ơn Thi Group

Ta có:
x

2.5

x 2

 5.2

x

 5
 2
 133. 10  50.5  20.2  133. 10  50. 
.
 2   20.  5   133  0





x 2

x

x

x

x

x

 5
4
5
Đặt t  
, t  0 , ta được bất phương trình: 50t 2  133t  20  0 
t  .
 2 
25
2


x

4  5 5
4
5
x
 Với
 t  , ta có:
 
   2   1  4  x  2 .
25
2
25  2 
2
2
Tập nghiệm của bất phương trình là S   4; 2  a  4 , b  2 .

 A  1000b  4a  1  1000.2  4  4   1  2017 .

Câu 25. Số nghiệm nguyên thuộc khoảng  0;12  của bất phương trình 3
A. 7 .

B. 8 .

1
x  1
x

C. 5 .

2

3

11
x

 log 2

2 x  11
là:
x2  x  1

D. 11 .

Lời giải
Chọn C
Điều kiện x  
Khi đó 3

3

1
x  1
x

1
x  1
x

2

3

2

3

11
và x  0 .
2

11
x

11
x

 log 2

1
11
x  1
2
1
2 x  11
 2 x  11 
x
x

3

3
 log 2  2

2
2
x  x 1
 x  x 1

11 

2
1
11

1
x   3x  x 1  1 log  x  1  1   32 x  1 log  2  11  .
 log 2 


2
2


2
2
x
2
x


 x 1 1 
x


1
1
Xét hàm số f  t   3t  log 2 t với t  0 . Khi đó f   t   3t ln 3 
 0, t  0 nên hàm số đã
2
2t ln 2
cho đồng biến trên  0;   .

Do đó

1
1
11
x 2  3 x  10


 11 
 11

f  x 1    f  2    x 1   2  
 0  x    ; 2    0;5 .
x
x
x
x
x


 2


T

A

IL

IE

U

O

N

T

H

I.
N

E

T

Vậy trên khoảng  0;12  có 5 nghiệm nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Trang 18