Phương trình và bất phương trình mũ logarit ppsx

PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1.
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

2.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
3.
ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =

4.
ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 ÷
+
 
5.
ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
6.
ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3 1
3
2log (4 3) log (2 3) 2x x

− + + ≤
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
8.
*ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2
1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
9.
*Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
10.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1

log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
11.
Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =
12.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
3 9
3
4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =
−
13.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2

1
1log
2
1
132log
2
2
2
2
1
≥−++− xxx
14.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
15.
*ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
16.
Tham khảo 2006 Giải PT
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =

17.
ĐH-B-2006 Giải BPT
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
18.
Tham khảo 2006
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
19.
*Tham khảo 2006
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
20.
ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
e e x y
y x a

− = + − +


− =

21.
ĐH-D-2006 Giải PT
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
22.
Tham khảo 2006 Giải PT
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+
− − =
23.
***Tham khảo 2006 Giải HPT
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =


24.
Tham khảo 2006 Giải
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
1
25.
*ĐH-B-2005 Giải hệ
x y
log ( x ) log y .
2 3
9 3
1 2 1
3 9 3

− + − =


− =


26.
***ĐH-D-2005 CMR
12 15 20
3 4 5
5 4 3

x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
27.
Tham khảo-2005 Giải
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
2
2
2
2
1
9 2 3
3
28.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR:
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
29.
ĐH-A-2004 Giải HPT:

log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

30.
Tham khảo-2004 Giải BPT
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <
 
 

31.
Tham khảo-2004 Giải BPT:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
32.
***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất
( )
1
1 ( 0)
x
x
x x x
+
= + >
33.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số:
ln x
y
x
 
= ∈
 
2
3

x 1;e
34.
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1
>
−
−+
−
x
x
x
35.
***Tham khảo 2004
Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x= − +
Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
36.
*Tham khảo 2004 Giải BPT
3 x
log x log 3>
37.
***Tham khảo 2004 Giải HPT






−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
38.
Tham khảo 2003 Giải BPT
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
+ +
+ ≥ − +
39.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1):
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog

40.
ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
41.
Tham khảo 2003 Giải PT:
( )
x
5
log 5 4 1 x− = −
42.
ĐH-A-2002 Cho PT
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
43.
Tham khảo 2002 Giải PT
2
2

3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
44.
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )





≤−+
<−−−
11
3
1
2
1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog

45.
ĐH-B-2002 Giải BPT
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
2
46.
Tham khảo 2002 Giải HPT
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y

− + =


− =


47.
Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
( )
2
1 1 1 1
2

9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
48.
Tham khảo 2002 Giải PT:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
49.
ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −



+
=

+

50.
Tham khảo 2002 Giải PT :
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =


51.
Tham khảo 2002 Giải BPT
( ) ( )
loglog

212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
PT-BPT MŨ LÔGARIT
***
1.
ĐH-A-2009. Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
log ( ) 1 log ( )
3 81
x y xy
x y xy
+ −

+ = +


 =

HD: HPT tương đương
2 2
2 2
0
2

4
xy
x y xy
x y xy
>


+ =


+ − =

2 2
0
4
xy
x y
x y xy

>

⇔ =


+ − =

2 2
2 2
x x
y y

= = −
 
⇔ ∨
 
= = −
 
2.
*CĐ-2009. Cho 0<a<b<1. Chứng minh BĐT:
2 2
ln ln ln lna b b a a b− > −
HD: Đưa BĐT về dạng tương đương
2 2
(1 )ln ln (1 )a b a b+ > +
2 2
ln ln
1 1
a b
a b
⇔ <
+ +
Xét hàm số
2
ln
( )
1
x
f x
x
=
+

với 0<x<1
( )
2
2
2
1 (1 2ln )
( ) 0
1
x x
f x
x x
+ −
′
= >
+
vì lnx<0 và 0<x<1
Suy ra f(x) đồng biến trên (0;1) Mà 0<a<b<1 nên f(a)<f(b). Bài toán được chứng minh.
3.
ĐH-A-2008. Giải phương trình:
2 2
2 1 1
log (2 1) log (2 1) 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
HD: Với điều kiện
1
2
x >

, PT tương đương:
2 1 1
log (2 1)( 1) 2log (2 1) 4
x x
x x x
− +
− + + − =
2 1 1
log ( 1) 2log (2 1) 3
x x
x x
− +
⇔ + + − =
Đặt
2 1
log ( 1)
x
t x
−
= +
ta được:
2
3t
t
+ =
1
2
t
t
=


⇔

=

 Với t=1 ta có:
2 1
log ( 1) 1 1 2 1 2
x
x x x x
−
+ = ⇔ + = − ⇔ =
thỏa ĐK
1
2
x >
 Với t=2 ta có:
2
2 1
log ( 1) 2 1 (2 1)
x
x x x
−
+ = ⇔ + = −
2
4 5 0x x
⇔ − =
0
5
4

x
x
=


⇔

=

3
Do ĐK ta chỉ nhận
5
4
x
=
. ĐS: x=2,
5
4
x
=
4.
ĐH-B- 08 Giải bất phương trình:
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+

<
 ÷
+
 
HD:
2
2
6
0,7 6
2
6
log 0
4
log log 0
4
log 1
4
x x
x x
x
x
x x
x

+
>

 
+


+
< ⇔

 ÷
+
+
 

>

+


2
2
6
2
0
4
log 1
4
6
4
x x
x x
x
x
x x
x


+
>

+

+
⇔ > ⇔

+
+

>

+

2
6
4
x x
x
+
⇔ >
+
4 3 8x x
⇔ − < < − ∨ >
5.
ĐH-B-08 Giải bất phương trình:
2
1
2

3 2
0
x x
x
− +
≥log
HD:
2
1
2
3 2
0
x x
x
− +
≥log
2
2
3 2
0
3 2
1
x x
x
x x
x

− +
>



⇔

− +

≤


2
0 1 2
4 2
0
x x
x x
x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


2
0 1 2
4 2
0
x x
x x

x
< < ∨ >


⇔

− +
≤


( )
( )
0 1 2
0 2 2 2 2
x x
x x
< < ∨ >


⇔

< ∨ − ≤ ≤ +


( ) ( )
2 2 1 2 2 2x x⇔ − ≤ < ∨ < ≤ +
6.
ĐH-A-07 Giải bất phương trình:
3 1
3

2log (4 3) log (2 3) 2x x
− + + ≤
HD: BPT tương đương
2
3 3
3
4
log (4 3) log (2 3) 2
x
x x

>



− − + ≤

2
3
3
4
(4 3)
log 2
2 3
x
x
x

>



⇔

−

≤

+

2
3
4
(4 3)
9
2 3
x
x
x

>


⇔

−

≤

+


2
3
4
8 21 9 0
x
x x

>

⇔


− − ≤

3
4
3
3
8
x
x

>


⇔


− ≤ ≤



3
3
4
x
⇔ < ≤
7.
*ĐH-B-07 Giải phương trình:
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
HD: Đặt
( )
2 1
x
t = +
ta được PT:
1
2 2t
t
+ =
2
2 2 1 0t t⇔ − + =
2 1 2 1t t⇔ = − ∨ = +
1 1x x⇔ = − ∨ =
8.
*ĐH-D-07 Giải phương trình:
2 2

1
log (4 15.2 27) log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
HD: Đặt t=2
x
, t>0 ta được:
2
2 2
1
log ( 15 27) log 0
4 3
t t
t
+ + + =
−
2
4
3
15 27 4 3
t
t t t

>

⇔



+ + = −

2
4
3
11 30 0
t
t t

>

⇔


+ + =

Phương trình vô nghiệm t nên phương trình đã cho vô nghiệm x
4
9.
*Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
HD: ĐK: x>0, x≠1
Đưa về
2 2

1 1
3log 2 log log
2 2
x
x x+ = +
2
6
2 1 ( log )t t t x
t
⇔ + = + =
2
6 0t t⇔ − + =
3 2t t⇔ = ∨ = −
1
8
4
x t⇔ = ∨ =
10.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
4 2
2 1
1 1
log ( 1) log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
.
HD: ĐK: x>1 Đưa về

2 2
2 1
1 1 1 1
log ( 1) log ( 2)
2 2log 2 2 2
x
x x
+
− + = + +
2 2 2
log ( 1) log (2 1) 1 log ( 2)x x x⇔ − + + = + +
2 2
log ( 1)(2 1) log 2( 2)x x x⇔ − + = +
2
2 3 5 0x x⇔ − − =
5
1
2
x x⇔ = − ∨ =
Do ĐK, chỉ nhận nghiệm
5
2
x =
11.
Tham khảo 2007. Giải PT:
2
3
3
log ( 1) log (2 1) 2x x
− + − =

HD: ĐK x>1
Đưa về
3 3
2log ( 1) 2log (2 1) 2x x
− + − =
3
log ( 1)(2 1) 1x x
⇔ − − =
( 1)(2 1) 3x x⇔ − − =
2
2 3 2 0x x
⇔ − − =
1
2
2
x x
⇔ = ∨ = −
.
Do ĐK chỉ nhận x=2
12.
*Tham khảo 2007. Giải PT:
3 9
3
4
(2 log )log 3 1
1 log
x
x
x
− − =

−
HD: ĐK x>0, x≠
1
9
Đưa về
3
3 3
1 4
(2 log ) 1
log 9 1 log
x
x x
− − =
−
3
3 3
2 log 4
1
2 log 1 log
x
x x
−
⇔ − =
+ −
3
2 4
1 ( log )
2 1
t
t x

t t
−
⇔ − = =
+ −
(2 )(1 ) 4(2 ) (2 )(1 )t t t t t⇔ − − − − = + −

2
4 0t t
⇔ + − =
1 17 1 17
2 2
t t
− − − +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
t
− +
=
13.
Tham khảo 2007. Giải BPT:
( )
2
1
1log
2
1
132log
2

2
2
2
1
≥−++− xxx
HD: ĐK
1
1
2
x x< ∨ >
Đưa về
( )
2
2 2
1 1 1
log ( 1)(2 1) log 1
2 2 2
x x x− − − + − ≥
( )
2
2
1
log 1
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
( )

2
1
2
( 1)(2 1)
x
x x
−
⇔ ≥
− −
2
3 4 1
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− + −
⇔ ≥
− −
( 1)( 3 1)
0
( 1)(2 1)
x x
x x
− − +
⇔ ≥
− −
3 1
0
2 1
x

x
− +
⇔ ≥
−
1 1
3 2
x⇔ ≤ <
Kết hợp ĐK:
1
1
2
1 1
3 2
x x
x

< ∨ >




≤ <


1 1
3 2
x⇔ ≤ <
5
14.
Tham khảo 2007. Giải BPT:

3x 1 2x x
2 7.2 7.2 2 0
+
− + − =
HD:
3 2
2 7 7 2 0 ( 2 , 0)
x
t t t t t− + − = = >
2
( 1)(2 5 2) 0t t t⇔ − − + =
1
1 2
2
t t t⇔ = ∨ = ∨ =
0 1 1x x x⇔ = ∨ = ∨ = −
15.
*ĐH-A-2006 Giải phương trình
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
HD:
3 2 2 3
3.2 4.3 2 3 2 2.3 0
x x x x x x
+ − − =
Chia 2 vế của PT cho 3
3x
ta đươc:
3 2

2 2 2
3. 4 2 0
3 3 3
x x x
     
+ − − =
 ÷  ÷  ÷
     
Đặt
2
3
x
t
 
=
 ÷
 
, t>0 ta có:
3 2
3 4 2 0t t t+ − − =
2
1
3
t t⇔ = − ∨ =
Do ĐK ta chỉ nhận
2
3
t =
⇔ x=1
16.

Tham khảo 2006 Giải PT:
2
2
log 2 2log 4 log 8
x x
x
+ =
HD: ĐK x>0, x≠1, x≠
1
2
. PT tương đương với:
2 4
8
1 2 1
log log 2
log 2
x x
x
+ =
2 2 2
1 4 6
log 1 log 1 logx x x
⇔ + =
+ +
2 2
1 2
log 1 logx x
⇔ =
+
2 2

1 log 2logx x
⇔ + =
2
2x x
⇔ =
2x
⇔ =
17.
ĐH-B-2006 Giải BPT:
( ) ( )
x x 2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
HD: Biến đổi BPT
( )
x
x 2
5 5
4 144
log log 5.2 5
16
−
 
+
< +
 ÷
 

x
x 2
4 144
5.2 5
16
−
+
⇔ < +
x x
4 -20.2 64 0⇔ + <
2
t -20.t 64 0(t=2 0)
x
⇔ + < >
( 4)( 16) 0t t⇔ − − <
4 16t
⇔ < <
2 4x
⇔ < <
18.
Tham khảo 2006:
3
1 8
2
2
log 1 log (3 ) log ( 1) 0x x x+ − − − − =
HD: ĐK 1<x<3. Biến đổi PT
2 2 2
log ( 1) log (3 ) log ( 1) 0x x x+ + − − − =
2

( 1)(3 )
log 0
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
( 1)(3 )
1
1
x x
x
+ −
⇔ =
−
2
4 0x x⇔ − − =
1 17 1 17
2 2
x x
− +
⇔ = ∨ =
Do ĐK chỉ nhận
1 17
2
x
+
=
19.

*Tham khảo 2006:
1 2
2 2
9 10.3 1 0
x x x x+ − + −
− + =
HD:
2 2
1 10
9 .3 1 0
9 9
x x x x+ +
− + =
. Đặt
2
3 , 0
x x
t t
+
= >
Ta được
2
10 9 0t t− + =
1 9t t⇔ = ∨ =
2 2
0 2 0x x x x⇔ + = ∨ + − =
2 1 0 1x x x x⇔ = − ∨ = − ∨ = ∨ =
20.
***ĐH-D-2006 CM với mỗi a>0 hệ sau có nghiệm duy nhất:
ln(1 ) ln(1 )

x y
e e x y
y x a

− = + − +

− =

HD: Biến đổi
ln(1 ) ln(1 ) 0
x a x
e e x a x
y x a
+

− − + + + + =

= +

6
Xét hàm số
( ) ln(1 ) ln(1 ), 1
x a x
f x e e x a x x
+
= − − + + + + > −
( ) ( 1) 0
(1 )(1 )
x a
a

f x e e
x x a
′
= − + >
+ + +
(vì a>0 và x>−1)

1
lim ( ) , lim ( )
x
t
f x f x
→+∞
→−
+
= +∞ = −∞
, f(x) liên tục trên
( 1; )− +∞
. Từ hai kết quả trên, f(x)=0 có nghiệm
x
0
trên
( 1; )− +∞
 Do
( ) 0, 1f x x
′
> ∀ > −
nên f(x)=0 có không quá 1 nghiệm
 Kết luận f(x)=0 có nghiệm duy nhất x
0

và HPT có nghiệm duy nhất.(x=x
0
;y=x
0
+a)
21.
ĐH-D-2006 Giải PT:
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x
+ −
− − + =
HD: Đặt
2
2
2
2
x x
x x
u
v
+
−

=



=


Suy ra
2
. 2
x
u v =
(u>0,v>0)
Phương trình thành:
u 4v uv 4 0− − + =
u(1-v)+4(1-v)=0⇔
(u+4)(1-v)=0⇔
v=1⇔
2
x 0x⇔ − =
x 0 1x⇔ = ∨ =
22.
Tham khảo 2006 Giải PT:
( ) ( )
x x 1
3 3
log 3 1 log 3 3 6
+
− − =
HD: Đưa về:
( ) ( )
x x
3 3
log 3 1 log 3(3 1) 6− − =
( ) ( )
x x

3 3
log 3 1 1+log 3 1 6
 
⇔ − − =
 
( )
( )
x
3
(1 ) 6 log 3 1t t t⇔ + = = −
2
6 0t t⇔ + − =
2 3t t⇔ = ∨ = −
( ) ( )
3 3
log 3 1 2 log 3 1 3
x x
⇔ − = ∨ − = −
1
3 1 9 3 1
27
x x
⇔ − = ∨ − =
28
3 10 3
27
x x
⇔ = ∨ =
3 3
28

log 10 log
27
x x⇔ = ∨ =
23.
***Tham khảo 2006 Giải HPT:
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0.
x y x y
x xy y
+ − + = −


− + =

HD:
 Xét PT thứ nhất ln(1+x)-x=ln(1+y)−y
Đặt f(t)=ln(1+t)−t (t>−1)
1
( ) 1
1 1
t
f t
t t
−
′
= − =
+ +
Nếu −1<t<0 thì f’(t)>0, Nếu t>0 thì f’(t)<0
PT thành f(x)=f(y)

 Xét x
2
−12xy+20y
2
=0 ⇔ x=10y V x=2y
Nếu y=0 thì x=0 thỏa hệ PT
Nếu y>0 thì x=10y hay x=2y đều cho x>0, y>0
Nếu −1<y<0 thì x=10y hay x=2y đều cho x<0, y<0
Vậy y>−1 (y≠0) thì x,y cùng dấu và tính chất đơn điệu của hàm số trên các khoảng
( )
1;0 ,(0; )− +∞
làm cho
PT đầu thành f(x)=f(y) ⇔ x=y
Hệ đã cho thành
1, 0
10 2
y y
x y x y
x y
> − ≠


= ∨ =


=

vô nghiệm
 Kết luận: hệ có nghiệm (x=0;y=0)
7

24.
Tham khảo 2006 Giải:
( )
2 4 2
1
2 log x 1 log x log 0
4
+ + =
HD: Đưa về
( )
2 2
log x 1 log x 2 0+ − =
.
Đặt t=log
2
x
2
t +t 2 0− =
t=1 t= 2
⇔ ∨ −
1
x=2 x=
4
⇔ ∨
25.
*ĐH-B-2005 Giải hệ:
x y
log ( x ) log y .
2 3
9 3

1 2 1
3 9 3

− + − =


− =


HD: Với điều kiện x≥1, 0<y≤2 ta có hệ tương đương
x y
log ( x) log y

− + − =


− =

 3 3
1 2 1
3 1
x y
x
log
y

− + − =

⇔


 
=

 ÷
 

3
1 2 1
3
1
x y
x y

− + − =

⇔

=


1 2 1
y x
x x
=


⇔

− + − =



1 2 1
Xét
x x− + − =1 2 1
(1≤1≤2) ta có
x x x x− + − + − − =1 2 2 1 2 1
x x⇔ − − =1 2 0
x x
⇔ = ∨ =
1 2
Nghiệm của hệ là
1 2
1 2
x x
y y
= =
 
∨
 
= =
 
26.
***ĐH-D-2005 CMR:
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +

 ÷  ÷  ÷
     
HD: Dùng BĐT Côsi ta có:
12 15 12 15
2 2.3
5 4 5 4
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
12 20 12 20
2 2.4
5 3 5 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
15 20 15 20
2 2.5
4 3 4 3
x x x x
x
       
+ ≥ =
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

Suy ra
12 15 20
3 4 5
5 4 3
x x x
x x x
     
+ + ≥ + +
 ÷  ÷  ÷
     
27.
Tham khảo-2005 Giải:
x x
x x
−
−
 
− ≤
 ÷
 
2
2
2
2
1
9 2 3
3
HD: Đặt
2
2

3 , 0
x x
t t
−
= >
ta có t
2
−2t−3≤0 ⇔ −1≤t≤3
BPT thành
2
2 2
3 3 2 0
x x
x x
−
≤ ⇔ − ≤
0 2x⇔ ≤ ≤
28.
***Tham khảo-2005 Cho x +y +z = 0. CMR:
x y z
.2 4 2 4 2 4 3 3
+ + + + + ≥
HD: Môt bài toán hay. Dự đoán x=y=z=0 thì “=” xảy ra. Ta dùng BĐT Côsi với chú ý x=0 thì 4
x
=1.
3
2 4 1 1 4 3 4
x x x
+ = + + ≥
3

2 4 32
x
x
⇒ + ≥
Tương tự với y,z ta có:
8
x y z
x y z
 
+ + + + + ≥ + +
 ÷
 ÷
 
3 3 3
2 4 2 4 2 4 3 2 2 2
x y z
+ +
≥ =
3
3
3 3 2 3 3
(vì x+y+z=0)
29.
ĐH-A-2004 Giải HPT:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2

1
1
25

− − =



+ =

HD:
log (y x) log
y
x y
1 4
4
2 2
1
1
25

− − =



+ =

log (y x) log y
x y
− − + =


⇔

+ =

4 4
2 2
1
25
y , y x
y
log
y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

4
2 2
0
1
25

y , y x
y
y x
x y

> >


⇔ =

−


+ =

2 2
0
4
25
y , y x
x
y
x y
> >



⇔ =




+ =

2 2
0
4
3
25
y , y x
x
y
x
> >



⇔ =



=

2
0
4
3
9
y , y x y , y x
y y
x x

> > > >
 
 
⇔ = ∨ = −
 
 
= = −
 
0 0
4 4
3 3
x
y
=

⇔

=

3
4
30.
Tham khảo-2004 Giải BPT:
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0

π
 
+ − <
 
 
HD:
(
)
log log x x x .
2
2
4
2 0
π
 
+ − <
 
 
(
)
(
)
log x x x
log x x x

+ − >

⇔



+ − >

2
2
2
2
2 0
2 1
(
)
log x x x⇔ + − >
2
2
2 1
x x x
x x x

+ − >

⇔


+ − >

2
2
2 0
2 2
x x x⇔ + − >
2

2 2
x x x⇔ − > −
2
2 2
x x
x x x x x x
− < − ≥
 
⇔ ∨
 
− ≥ − > − +
 
2 2 2
2 0 2 0
2 0 2 4 4
x
x
x x
x x
≤
> 

⇔ ∨
 
≤ ∨ ≥
+ − >


2
2

2
0 2
3 4 0
x
x
x x
≤

⇔ > ∨

< − ∨ >

2
2
4 1
( ) ( )
x x⇔ < − ∨ <4 1
31.
Tham khảo-2004 Giải BPT:
2 2
1 3
log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
HD:
2 2
1 3

log log
2 2
2. 2
x x
x
≥
2 2
1 3
log log
2 2
2 2
log 2. log 2
x x
x
 
⇔ ≥
 ÷
 
2 2
1 3
1 log log
2 2
x x
⇔ + ≥
2
1 log x
⇔ ≥
0 2x
⇔ < ≤
32.

***Tham khảo-2004 CMR phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( )
1
1 ( 0)
x
x
x x x
+
= + >
HD:
( )
1
1
x
x
x x
+
= +
( )
1
ln ln 1
x
x
x x
+
⇔ = +
( )
( 1) ln ln 1x x x x⇔ + = +
( 1) ln ln( 1) 0x x x x⇔ + − + =
Đặt

( ) ( 1)ln ln( 1)f x x x x x= + − +
1 1
( ) ln ln( 1)
1
f x x x
x x
′
= − + + +
+

2
2 2
1
( ) 0
( 1)
x x
f x
x x
− − −
′′
= <
+
Suy ra f’(x) nghịch biến trên R
+
Mà:
1 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x

f x
x x x
→+∞ →+∞
 
′
= + + =
 ÷
+ +
 
⇒ f’(x)>0 với mọi x>0 ⇒ f(x) đồng biến trên R
+
0
lim ( )
x
f x
+
→
= −∞
f(e)=e+1−eln(e+1)>0
Vậy có x
0
thuộc (0;e) để f(x
0
)=0 và x
0
là nghiệm duy nhất.
9
33.
ĐH-B-2004 Tìm GTNN của hàm số:
ln x

y
x
 
= ∈
 
2
3
x 1;e
HD:
ln x
y f (x)
x
 
= = ∈
 
2
3
x 1;e

ln x( ln x)
f (x)
x
−
′
=
2
2

f (x) x x e
′

= ⇔ = ∨ =
2
0 1
f(1)=0;
2
2
4
( )f e
e
=
;
3
3
9
( )f e
e
=
GTNN là f(1)=0; GTLN là
2
2
4
( )f e
e
=
34.
***Tham khảo 2004 Giải BPT:
4
2
1162
1

>
−
−+
−
x
x
x
HD:
1
2 2 3
0
2
x
x
x
−
+ −
>
−
 x<1 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − <


− <

suy ra x<1 thỏa BPT
 x=1 không thỏa BPT
 1<x<2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − >

− <

suy ra 1<x<2 không thỏa BPT
 x>2 thì
1
2 2 3 0
2 0
x
x
x
−

+ − >

− >


suy ra x>2 thỏa BPT
 Kết luận: nghiệm là x<1, x>2
35.
Tham khảo 2004 Cho hàm số
2
sin
2
x
x
y e x= − +

Tìm GTNN của hàm số và CMR f(x)=3 có đúng 2 nghiệm.
HD:
2
( ) sin
2
x
x
y f x e x= = − +

( ) cos
x
f x e x x
′
= − +

( ) sin 1 0
x
f x e x

′′
= + + >
 Suy ra f’(x) đồng biến trên R, f’(0)=0
 Suy ra f’(x)>0 khi x>0 và f’(x)<0 khi x<0
 Suy ra f(x) đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0
 GTNN là f(0)=1

2 2
( ) 1 1 sin 1
2 2
x x
x x
y f x e x e= = − + − + ≥ − +
 Mà
2
lim 1
2
x
x
x
e
→+∞
 
− + = +∞
 ÷
 
⇒
( )
lim
x

f x
→+∞
= +∞
 Và
2
lim 1
2
x
x
x
e
→−∞
 
− + = +∞
 ÷
 
⇒
( )
lim
x
f x
→−∞
= +∞
 Bảng biến thiên hàm số cho ta f(x)=3 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
36.
*Tham khảo 2004 Giải BPT
3 x
log x log 3>
HD: Đưa về
3

0, 1
log
1
x x
t x
t
t


> ≠

=



>

3
2
0, 1
log
1
0
x x
t x
t
t


> ≠



⇔ =


−

>


3
0, 1
log
1 0 1
x x
t x
t t
> ≠


⇔ =


− < < ∨ >

3 3
0, 1
1 log 0 log 1
x x
x x

> ≠

⇔

− < < ∨ >

1
1 3
3
x x⇔ < < ∨ >
10
37.
***Tham khảo 2004 Giải HPT





−=−
+=+
−+
.yx
xyyx
xyx 1
22
22
HD: Xét PT thứ nhất: (x−y)(x+y−1)=0
 Thay y=x vào PT thứ hai
2 1
2 2 0

x x−
− =
2 1 1x x x⇔ = − ⇔ = −
(y=−1)
 Thay y=1−x vào PT thứ hai
1
2 2 3 0
x
x
−
+ − =
Hàm số
1
( ) 2 2 3
x
f x x
−
= + −
đồng biến trên R và f(1)=0
nên f(x)=0 có nghiệm duy nhất x=1 (y=0)
 Kết luận (x=−1;y=−1), (x=1;y=0)
38.
Tham khảo 2003 Giải BPT
1 1
15.2 1 2 1 2
x x x
+ +
+ ≥ − +
HD: Đặt t=2
x

ta được
30 1 1 2t t t
+ ≥ − +
 t=1 thỏa BPT
 t>1 ta được
30 1 3 1t t
+ ≥ −
2
1
30 1 9 6 1
t
t t t
>

⇔

+ ≥ − +

2
1
4 0
t
t t
>

⇔

− ≤

1 4t

⇔ < ≤
 t<1 ta được
30 1 1t t
+ ≥ +
2
1
1 1
1
30 1 2 1
30
t
t
t
t t t
< −

− ≤ <


⇔ ∨
− 
≥
+ ≥ + +



2
1 1
1
1

30
28 0
t
t
t t
− ≤ <

−
⇔ ≤ < − ∨

− ≤

1 1
1
1
0 28
30
t
t
t
− ≤ <

−
⇔ ≤ < − ∨

≤ ≤

1
1 0 1
30

t t
−
⇔ ≤ < − ∨ ≤ <
 Tổng hợp các trường hợp và điều kiện t>0 ta có
0 4t
< ≤
0 2 4 2
x
x⇔ < ≤ ⇔ ≤
39.
Tham khảo 2003 Tìm m để PT có nghiệm thuộc (0;1) :
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog
HD:
( )
04
2
1
2
2
=+−
mxx loglog
( )
2

2 2
log log 0x x m
⇔ + + =
( )
2
2 2
log logm x x
⇔ = − −
 Với 0<x<1 thì
2
0 1 log 0x x< < ⇔ <
 PT có nghiệm thuộc (0;1) khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số
2
( ) ( 0)f t t t t= − − <
 Khảo sát hàm số cho kết quả
1
4
m ≤
40.
ĐH-D-2003 Giải PT:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −
− =
HD:
2
2 2
2 2 3
x x x x− + −

− =
2
2
4
2 3
2
x x
x x
−
−
⇔ − =
2
2
2
3 4 0
x x
t
t t
−


=
⇔

− − =


2
2 4
x x−

⇔ =
2
2 0x x⇔ − − =
1 2x x⇔ = − ∨ =
41.
Tham khảo 2003 Giải PT:
( )
x
5
log 5 4 1 x− = −
HD:
( )
5
log 5 4 1
x
x− = −
1
5 4 5
x x−
⇔ − =
5
5
4
x
t
t
t

=


⇔

− =


2
5
4 5 0
x
t
t t

=

⇔

− − =


5
5
x
t
t

=
⇔

=


1x⇔ =
42.
ĐH-A-2002 Cho PT :
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
1) Giải PT khi m=2
2) Tìm m để PT có nghiệm trên [1 ; 3
3
]
HD:
11
1)
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
+ + − =
2
3
2
log 1
6 0
t x
t t

= +


⇔

+ − =


2
3
log 1
2
t x
t

= +

⇔

=


2
3
log 3x
⇔ =
3
log 3x⇔ = ±
3
3x
±
⇔ =

2) Xét
3
3
1 3 0 log 3x x≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
0121
2
3
2
3
=−−++
mxx loglog
( )
2
3
2
log 1
1
( ) 2
2
t x
m f t t t

= +

⇔

= = + −


 PT ban đầu có nghiệm x thỏa

3
1 3x≤ ≤
khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của f(t) với
1 2t≤ ≤
 Khảo sát hàm số ta được
0 2m
≤ ≤
43.
Tham khảo 2002 Giải PT:
2
2
3
27
16log 3log 0
x
x
x x− =
HD: Với ĐK
1 1
0, ,
3
3
x x x> ≠ ≠
 Đưa về dạng
3 3
3 3
8log 3log
3 2log 1 log
x x
x x

=
+ +
 Hoặc
3
log 0 1x x= ⇔ =
 Hoặc
3 3
8 3
3 2log 1 logx x
=
+ +
3
1
log
2
x⇔ =
3x⇔ =
Tham khảo 2002 Tìm k để hệ BPT sau có nghiệm:
( )





≤−+
<−−−
11
3
1
2

1
031
3
2
2
2
3
xx
kxx
loglog
HD: Xét BPT ta có
( )
3
2
2 2
1 1
log log 1 1
2 3
x x+ − ≤
 Giải xong được
1 2x− ≤ ≤
 Xét BPT
3
1 3 0x x k− − − <
3
( ) 1 3k f x x x⇔ > = − −
 Xét
1 1x− ≤ ≤
,
( )

3
( ) 1 3k f x x x> = − −

44.
ĐH-B-2002 Giải BPT :
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
HD:
( )
( )
3
log log 9 72 1
x
x
− ≤
( )
( )
( )
( )
3 3
3 3
0 1 1
log 9 72 0 log 9 72 0
log 9 72 log 9 72
x x

x x
x x
x x
 
< < >
 
 
⇔ − > ∨ − >
 
 
− ≥ − ≤
 
 
( )
3
1
0 1
9 72 1
log 9 72
9 72 3
x
x
x x
x
x
x
>

< <




⇔ ∨ − >
 
− ≥



− ≤

1
0 1
3 6 2
9 72 3
9 3 72 0
x
x x
x x
x
x
>

< <


⇔ ∨ >
 
− ≥



− − ≤

1
0 1
3 8 3 9
6 2 3 9
x x
x
x
x
>
< <



⇔ ∨
 
≤ − ∨ ≥
≤ ≤




( )
3
log 6 2 2x⇔ < ≤
45.
Tham khảo 2002 Giải HPT
4 2
4 3 0

log log 0
x y
x y

− + =


− =


12
HD:
4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y

− + =


− =


4 2
1, 1
4 3
log log
x y
x y

x y
≥ ≥


⇔ = −


=

2
1, 1
4 3
x y
x y
x y

≥ ≥

⇔ = −


=

2
1, 1
4 3
4 3 0
x y
x y
y y


≥ ≥

⇔ = −


− + =

1 9
1 3
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 
= =
 
46.
Tham khảo 2002 Tìm m để PT sau có nghiệm:
( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
HD:

( )
2
1 1 1 1
2
9 2 3 2 1 0
x x
a a
+ − + −
− + + + =
2
1
2
3
9 3( 2) 2 1 0
x
t
t a t a
−


=
⇔


− + + + =

Với −1≤x≤1 ta có
1
3
3

t≤ ≤
Ta tìm a để PT
2
9 3( 2) 2 1 0t a t a
− + + + =
có nghiệm t thỏa
1
3
3
t≤ ≤
Biến đổi PT
2
9 6 1
( )
3 2
t t
a f t
t
− +
= =
−

2
2
9(3 4 1)
( )
(3 2)
t t
f t
t

− +
′
=
−
,
1
( ) 0 1
3
f t t t
′
= ⇔ = ∨ =
x
-∞
1/3 2/3 1
+∞
f’(t) + 0
− −
0 +
f(t) 0
+∞
-∞
4
PT có nghiệm khi a≤0 V a≥4
47.
Tham khảo 2002 Giải PT:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1

log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
HD:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
( )
2 2 2
0, 1
log 3 log 1 log (4 )
x x
x x x
> ≠


⇔

+ + − =


2 2
0, 1
4
log 1 log

3
x x
x
x
x
> ≠


⇔

− =

+

0, 1
4
1
3
x x
x
x
x
> ≠


⇔

− =

+


0 1 1
4 4
1 1
3 3
x x
x x
x x
x x
< < >
 
 
⇔ ∨
 
− + = − =
 
+ +
 
2 2
0 1 1
2 3 4 2 3 4
x x
x x x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
− − + = + − =
 
2 2

0 1 1
6 3 0 2 3 0
x x
x x x x
< < >
 
⇔ ∨
 
+ − = − − =
 
3 2 3 3x x⇔ = − + ∨ =
48.
ĐH-D-2002 Giải HPT
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=


+

HD:
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+

= −


+
=

+
3 2
2 5 4
(2 2)2
2 2
x
x x
x

y y
y

= −

⇔

+
=

+
3 2
2 5 4
2
x
x
y y
y

= −

⇔

=


3 2
2
5 4 0
x

y
y y y

=

⇔

− + =


2
2
5 4 0
x
y
y y

=

⇔

− + =


2
1 4
x
y
y y


=
⇔

= ∨ =

0 2
1 4
x x
y y
= =
 
⇔ ∨
 
= =
 
49.
Tham khảo 2002 Giải PHƯƠNG TRÌNH :
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

+ − − =



+ − − =


HD:
13
( )
( )
3 2
3 2
log 2 3 5 3
log 2 3 5 3
x
y
x x x y
y y y x

+ − − =


+ − − =


3 2 3
3 2 3
0, 1, 0, 1
2 3 5
2 3 5
x x y y
x x x y x

y y y x y
> ≠ > ≠


⇔ + − − =


+ − − =

2
2
0, 1, 0, 1
2 3 5 0
2 3 5 0
x x y y
x x y
y y x
> ≠ > ≠


⇔ − − =


− − =

2 2
2 2
0, 1, 0, 1
2( ) 3( ) 5( ) 0
4( ) 3( ) 5( ) 0

x x y y
x y x y y x
x y x y x y
> ≠ > ≠


⇔ − − − − − =


+ − + − + =

2 2
0, 1, 0, 1
( )( 1) 0
4( ) 8( ) 0
x x y y
x y x y
x y x y

> ≠ > ≠

⇔ − + + =


+ − + =

2 2
0, 1, 0, 1 0, 1, 0, 1
1
8 16 0 8 8 13 0

x x y y x x y y
x y y x
x x x x
 
> ≠ > ≠ > ≠ > ≠
 
⇔ = ∨ = − −
 
 
− = + + =
 
2
2
x
y
=

⇔

=

50.
Tham khảo 2002 Giải BPT:
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1

23244 −≥+
+xx
HD:
( ) ( )
loglog
212
2
1
2
1
23244 −≥+
+xx
2 1 2
2 1 2
2 3.2 0
4 4 2 3.2
x
x x
+
+

− >

⇔

+ ≤ −


4 16
x

⇔ ≥
2x
⇔ ≥
14